Potensfunktion, dess egenskaper och graf Demonstrationsmaterial Lektion-föreläsning Funktionsbegrepp. Funktionsegenskaper

I den senaste lektionen upprepade och generaliserade vi vår kunskap om ämnet "Begreppet en exponent."

Låt oss komma ihåg att om - pe dividerat med ku är ett vanligt bråktal, och ku inte är lika med ett och a är större än eller lika med noll, så menar vi med uttrycket a i styrkan av pe dividerat med ku roten till graden ku av a till styrkan av pe.

Till exempel kan siffran en punkt tre till potensen tre sjundedelar skrivas som den sjunde roten av en punkt tre i kub.

Funktioner av formen, där k är valfritt reellt tal, brukar kallas potensfunktioner.

Idag kommer vi att överväga fallet där k är en rationell (fraktionell) exponent.

I algebrakursen för årskurs 7-9 studerade du egenskaper och grafer för potensfunktioner med naturlig exponent. Funktion (k-valfritt reellt tal), effektfunktion.

För k=n (n∈N), -potensfunktion med naturlig exponent.

Låt oss komma ihåg graferna för sådana funktioner.

Grafen för funktionen eller y=x (y är lika med x i första potens eller y är lika med x) är en rät linje.

Grafen för funktionen (E är lika med x i kvadrat) är en parabel.

Grafen för funktionen (E är lika med X i kubform) är en kubisk parabel.

Grafen för en potensfunktion (y är lika med x till potensen av ka) i fallet med jämn k liknar en parabel. Figuren visar en graf över en potensfunktion med k lika med sex.

Grafen för en potensfunktion (y är lika med x till potensen av ka) i fallet med udda k liknar en kubisk parabel. Figuren visar en graf över en potensfunktion med k lika med sju.

Om potensfunktionens exponent har ett negativt heltal så får vi en funktion av formen: y är lika med x i potens minus en eller y är lika med ett dividerat med x i n:te potens.

Om n är ett jämnt tal, ser grafen ut som den som visas i figuren.

Var visas funktionen y=x-2 eller y=?

Om n är ett udda tal, så ser grafen ut så här.

Ritningen visar funktionen y=x-3, eller y=

Om exponenten för en potensfunktion är lika med noll, kommer funktionen att ta formen: Grafen för en sådan funktion är en rät linje som går genom ordinatan ett och är parallell med abskissaxeln.

För k=-n (n∈Z), -potensfunktion med negativ heltalsexponent.

Betrakta en potensfunktion (E är lika med x till potensen k), där k är ett negativt eller positivt bråktal.

Som ett exempel, låt oss bygga en graf av en potensfunktion (E är lika med x potensen av två komma tre).

Domänen för dess definition (det vill säga alla värden som accepteras av x) är en stråle med början vid nollpunkten.

I denna definitionsdomän kommer vi att konstruera grafer av funktioner (y lika med x i kvadrat) - detta är en gren av en parabel, markerad i ljusgrönt, och (y lika med x i kub) - en gren av en kubisk parabel, markerad i mörkgrönt.

Det är lätt att verifiera att på intervallet (0;1) är den kubiska parabeln belägen under parabeln och på den öppna strålen (1;+) - ovanför.

Observera att graferna för funktionerna (y är lika med x i kvadrat), (y är lika med x i potensen av två komma tre) och (y är lika med x i kuber) passerar genom punkterna (0;0) och (1;1).

För andra värden av argumentet x, är grafen för funktionen (y är lika med x i potensen av två komma tre) mellan graferna för funktionerna (y är lika med x i kvadrat) och (y är lika med x kubad).

Situationen är liknande med vilken potensfunktion som helst, där är ett oegentligt bråk, det vill säga täljaren m är större än nämnaren n. Grafen för denna funktion är en kurva som liknar grenen av en parabel.

Ju högre funktionsindex k, desto "brantare" riktas grenen.

Figuren visar grafen för funktionen y är lika med x med sju sekunders potens.

Således kan vi urskilja följande egenskaper hos potensfunktionen igr är lika med x till potensen em dividerat med en, där täljaren m är större än nämnaren n.

1. Definitionsdomänen är värdena på x från noll till plus oändlighet.

4. Begränsad underifrån av x-axeln, inte begränsad från ovan.

5. Funktionen tar det minsta värdet noll; spelar inte så stor roll.

8. Konvexa nedåt.

Låt oss bygga en graf av funktionen, där är en egen bråkdel (täljaren är mindre än nämnaren) och 0< <1.

De tidigare diskuterade egenskaperna och grafen för funktionen (y är lika med den n:te roten av x) eller (y är lika med x i potensen av en dividerat med n) gäller också för funktionen, där är en egen bråkdel och 0< <1.

Låt oss komma ihåg dessa egenskaper:

1. Definitionsdomänen är alla värden på x från noll till plus oändlighet.

2. Funktionen är varken jämn eller udda.

3. Funktionen ökar över hela definitionsdomänen.

5. Funktionen tar det minsta värdet noll; spelar inte så stor roll.

6. Funktionen är kontinuerlig över hela definitionsdomänen.

7. Funktionens omfång är spelets värden från noll till plus oändlighet.

8. Konvexa uppåt. funktion, där är en egen bråkdel (täljaren är mindre än nämnaren) och 0<

2. Varken jämnt eller udda.

3. Ökar med.

4. Avgränsad underifrån av x-axeln, inte begränsad från ovan.

5. ynaim=0; spelar inte så stor roll.

6. Kontinuerlig.

8. Konvexa uppåt.

Låt oss betrakta följande typ av potensfunktion - en funktion av formen: y är lika med x till potensen minus em dividerat med en.

Tidigare ritade vi en potensfunktion med en negativ heltalsexponent lika med x med potensen minus k, där k är ett naturligt tal.

Om x är större än noll ser grafen för denna funktion ut som en gren av en hyperbel.

På ett liknande sätt konstrueras en graf över vilken potensfunktion som helst med en negativ rationell (fraktionell) exponent.

Man bör komma ihåg att grafen för en sådan funktion har två asymptoter: en horisontell etta - y är lika med noll och en vertikal asymptot - x är lika med noll.

Så, potensfunktionen igr är lika med x till potensen minus em dividerat med en har följande egenskaper (och x är större än noll, eftersom i fallet med en negativ bas med en negativ exponent, kraften i uttrycket inte Vettigt):

1) Definitionsdomänen är en öppen stråle från noll till oändlighet.

2) Funktionen är varken jämn eller udda.

3) Funktionen minskar över hela definitionsdomänen.

4) Botten är begränsad av x-axeln, toppen är inte begränsad.

5) Funktionen har inget minimum- eller maxvärde.

6) Funktionen är kontinuerlig över hela definitionsdomänen.

7) Funktionens omfång är spelets värden från noll till plus oändlighet.

8) Konvexa nedåt.

Power-funktionens egenskaper (x 0):

2). Varken jämnt eller udda.

3). Minskar.

4). Botten är begränsad av x-axeln, toppen är inte begränsad.

5). Har inte det minsta eller största värdet.

6). Kontinuerlig för

8). Konvexa nedåt.

Du vet redan att derivatan av en potensfunktion av formen yrek är lika med x potensen av en, där n är ett naturligt tal, lika med n gånger x potensen av n minus ett.

På liknande sätt kan du beräkna derivatan av en potensfunktion med en rationell exponent.

Följande teorem är alltså sant:

Om x är större än noll och r är ett godtyckligt rationellt tal, så är derivatan av potensfunktionen y lika med x i potensen av r, och beräknas med formeln: derivatan av x till potensen av r är lika med till r gånger x till r minus ett.

Till exempel är derivatan av a till minus tredje potens lika med minus tre och med minus fyra potens.

Derivatan av x i potensen minus två tredjedelar är lika med minus två tredjedelar av x i potensen av minus fem tredjedelar.

Här representerades minus ett som en oegentlig bråkdel av tre tredjedelar, sedan adderades bråken minus två tredjedelar och minus tre tredjedelar.

Sats: om x>0, r-rationellt tal, då

Det är inte svårt att få fram motsvarande formel för att integrera en potensfunktion när r inte är lika med ett. Så, den obestämda integralen av x till potensen av r är lika med x till potensen av r plus ett dividerat med r plus ett plus konstanten ce.

Det är inte svårt att förstå att funktionen är lika med x till potensen av r plus ett, dividerat med r plus ett är antiderivatan av funktionen lika med x till potensen av r. Formel för att integrera en kraftfunktion:

En funktion är antiderivata av en funktion.

Låt oss överväga tillämpningen av den förvärvade kunskapen när vi konstruerar en graf av en potensfunktion.

Konstruera en graf av funktionen y är lika med x plus två upp till hälften.

1. Låt oss bygga en graf av funktionen x i ena halvans potens. Detta är en funktion av formen där är en egen bråkdel (täljaren är mindre än nämnaren) och 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Det är uppenbart att grafen för funktionen y är lika med x plus två till hälften är konstruerad med hjälp av en parallell translation relativt x-axeln med två enheter till vänster. I figuren är grafen markerad i grönt.

Plotta funktionen

1. - ett specialfall för en funktion av formen, där - är en egen bråkdel (täljaren är mindre än nämnaren) och 0< <1.

2. Grafen erhölls genom parallell translation längs X-axel 2-enheterna till vänster.

Lektionsplanering:

"Maktfunktion, dess egenskaper och graf"

Fullständiga namn Stadnik Elena Ivanovna

Arbetsplats St. Petersburg, Pushkinsky-distriktets GBOU-skola nr 606

fördjupning i engelska.

Jobbtitel mattelärare

Artikel Matematiker

Klass 10

Ämne och nummer i ämnet"Kraftfunktion, dess egenskaper och grafer"

2 lektioner i ämnet (2 lektioner totalt)

Grundläggande handledning Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, N.E.

"Algebra och början av analys 10-11", lärobok för utbildningsinstitutioner Rekommenderad av Ryska federationens utbildningsministerium: 9:e upplagan Moskva Education 2007.

Syftet med lektionen: Bildande av färdigheter i att tillämpa kunskap om detta ämne vid lösning av standard- och icke-standardiserade algebraiska problem. Forma förmågan att integrera kunskap från olika ämnen i en matematikkurs

Uppgifter:

Utbildning: (bildning av kognitiv UUD)

kunna jämföra tal, lösa ojämlikheter med hjälp av grafer och (eller) egenskaper hos potensfunktioner

Utbildning: (bildning av kommunikativa och personliga pedagogiska färdigheter)

att odla ett hållbart intresse för ämnet, att forma elevernas kommunikativa kompetens, att odla ansvar och noggrannhet

Lektionstyp: generalisering och systematisering av kunskap

Metoder: diskussion, observation, jämförelse, erfarenhet.

Utrustning: tavla, multimediautrustning, interaktiv skrivtavla, dator, undervisningsmaterial, affisch med grafer för nr 126(2;3)

Under lektionerna:

1. Organisatorisk punkt:(2 min.) för att upprepa teorin med hjälp av stödanteckningarna.

2. Kontrollera läxor i grupp.(10 minuter.)

Obligatorisk nivå (1 grupp)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

nr. 119 (2,4,6) från platsen anger D (f), E (f) i form av numeriska intervall och figurens nummer enligt den stödjande konturen .(se bilaga 1)

Exempel på svar:

nr. 119(2): D(f)=(); E(f) =(), Fig. 2

nr 119(4): D(f)=(),(0; ),

E (f) =(0;), Fig 3

nr. 119(6):): D(f)=; ); E(f) =; ), fig5

nr 124(2) från platsen

Exempel på svar:

Enligt fig. 13 från läroboken, grafen

ligger ovanför funktionens graf

.

Nr 128. På tavlan skriver elev 1 ner svar på frågor och konstruerar schematiska grafer över funktioner.

Exempel på svar

2) ; D(f)=; );

E(f) =; );

4); D(f)=(-1;); E(f) =(0;);

Avancerad nivå (grupp 2) Medan läraren med grupp 1 kontrollerar D/Z, håller eleverna i grupp 2 på att fylla i korten. Och en elev vid tavlan Nr 129(2,4) Exempelsvar:

D()=R; E () = ; );

4) . D()=R; E () = ; );

Kortalternativ 1.

Kortalternativ 2.

Nej. 1. Rita schematiskt graferna för funktionerna:

Nej. 2. Hitta koordinaterna för skärningspunkterna för funktionsgraferna:

III . Uppdatering av grundläggande kunskaper:(12 min.)

1. Ange definitionsdomänen och uppsättningen av värden för funktionen:

,

2. Hur ökande eller minskande är dessa funktioner:

,

3.Given funktion

Skriv ner slutsatsen i din anteckningsbok

För alla funktioner

4. Nr 122 (muntligt). Använd egenskaperna för en potensfunktion, jämför med enhet:

Exempel på svar:

Nr 126(1) - vid styrelsen (nr 126(2,3) oberoende enligt optioner).

Exempel på svar:

Konstruera grafer för funktioner i ett koordinatsystem.

IV . Gör övningar. ( 4 min.)

nr 125(1,3,5,7) under diktat.

Jämför betydelsen av uttrycken:

Exempel på svar: (låt oss titta på stödanteckningarna igen)

3); därför att och funktion;

5); därför att ; och funktionen minskar;

7); därför att och funktionen ökar.

V . Läxa:(1 min.)

1 grupp - nr 125 (jämnt), 175 (2,6), 177 (1,3)

Grupp 2 - nr 184(2.4), 177(2.4), 182(2.3).

VI . Lektionssammanfattning:(3 min.) Eleverna formulerar de viktigaste slutsatserna av lektionen:

Om exponenten inte är ett heltal, är grafen för funktionen placerad i det första kvartalet.

Om exponenten är ett positivt icke-heltal ökar funktionen.

Om exponenten är ett negativt icke-heltal, så minskar funktionen. (bildspel)

VII . Test (10 min.) (se bilaga 2) B1 och B2 på ”4” och ”5”, B3 och B4 – obligatorisk nivå (en poäng för rätt svar).

VIII . Ytterligare uppgifter. ( 3 min.)

Lös ekvationen: Var1.

Svar: -1;6. Svar: -4;4.

Lektionens ämne: "Kraftfunktioner, deras egenskaper och grafer"

Lektionens mål:

Pedagogisk:

Skapa förutsättningar för bildandet av kunskap om egenskaperna och egenskaperna hos grafer av potensfunktioner y = x r för olika värden på r.

Pedagogisk:

Att främja utvecklingen av elevernas informationsförmåga: förmågan att arbeta med bildtext, förmågan att skriva en stödjande sammanfattning.

Att främja utvecklingen av kreativa och mentala aktiviteter hos elever.

Fortsätt att utveckla färdigheterna för att tydligt och tydligt uttrycka dina tankar, analysera och dra slutsatser.

Pedagogisk:

Fortsätta utvecklingen av en kultur av matematiskt tal.

Bidra till bildandet av kommunikativ kompetens.

Lektionstyp: kombinerad

Former för att organisera utbildningsaktiviteter: frontal, individuell.

Metoder: förklarande-illustrerande, delvis sökande.

Utbildningsmedel:

dator, mediaprojektor;

svarta tavlan;

bildpresentation (PowerPoint), (bilaga 1);

lärobok "Algebra och analysens början", red. A.G. Mordkovich;

arbetsbok, ritverktyg;

stödjande sammanfattning av ämnet (Word-dokument), (bilaga 3);

Som ett resultat av att studera ämnet bör eleverna

Känna till: begreppet maktfunktion,

egenskaper hos en potensfunktion beroende på exponenten.

Kunna: namnge egenskaperna för en potensfunktion beroende på exponenten,

bygga grafer (skisser av grafer) av potensfunktioner med rationell

indikator

utföra enkla graftransformationer,

kunna skriva en stödjande sammanfattning,

kunna tydligt och tydligt uttrycka dina tankar, analysera och dra slutsatser.

Under lektionerna: Vi fortsätter att arbeta med att utveckla kompetensen att konstruera grafer över potensfunktioner. Ett antal sådana funktioner är bekanta för oss från algebrakursen för årskurs 7-9, det är funktioner med naturlig exponent och potensfunktioner med negativ heltalsexponent. I förra lektionen skrev vi med dig ner teorin om potensfunktioner med bråkexponenter

y = x p, där p är ett givet reellt tal

Egenskaperna och grafen för en potensfunktion beror på egenskaperna hos potensen med en reell exponent, och i synnerhet på värdena för x och p för vilka potensen x p är meningsfull.

2.

Generalisering av egenskaper hos maktfunktioner. Arbeta med en stödjande disposition.

1. Arbeta i styrelsen: konstruera grafer över funktioner. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

7 personer arbetar i styrelsen, de som är kvar på plats förenas i grupper för vidare verifiering

Vi listar fastigheterna enligt planen.

Domän.

Värdeintervall (uppsättning värden).

Jämn, udda funktion.

Ökar, minskar.

I slutet av arbetet, kontrollera av eleverna som stannade på plats (bilder med grafer över funktioner visas på skärmen).

2. "matematisk lotto" Färdiga funktionsdiagram visas på skärmen, uppsättningar av formler skrivs på tavlan och relationer måste upprättas.

Ömsesidig kontroll:

Rätt svar: nr 1 578 643 192

3 Muntligt arbete

1. Använd graferna för dessa funktioner och hitta intervallen i vilka grafen för funktionen y = x π ligger ovanför (under) grafen för funktionen y = x.

2. Använd graferna för dessa funktioner och hitta intervallen i vilka grafen för funktionen y = x sin 45 ligger ovanför (under) grafen för funktionen y = x.

3. Använd figuren för att hitta intervallen i vilka grafen för funktionen y = x 1- π ligger ovanför (under) grafen för funktionen y = x.

Konvertera grafer

I många fall kan funktionsgrafer konstrueras genom vissa transformationer av redan kända funktionsgrafer av enklare form. Låt oss komma ihåg några av dem.

Överväg att omvandla grafen för en potensfunktion verbalt och konstruera sedan två grafer.

Självständigt arbete

Definiera en potensfunktion själv, rita dess graf, beskriv dess egenskaper

4.3 STRÖMFUNKTION, DESS EGENSKAPER OCH GRAFIK

Innehåll i utbildningsmaterial:

1. Power funktion, definition, notation.

2. Grundegenskaper för effektfunktionen.

3. Grafer över kraftfunktioner och deras egenskaper.

4. Beräkning av funktionsvärden baserat på argumentvärdet. Bestämma positionen för en punkt på en graf genom dess koordinater och vice versa.

5.Använda egenskaperna hos funktioner för att jämföra graders värden.

Kraft kallas en funktion av formen y = x r , Varx är basen för graden,

r– exponent En potensfunktions egenskaper bestäms av dess exponent. Låt oss överväga de grundläggande egenskaperna hos potensfunktioner med olika exponenter och deras grafer.

a) Funktionens egenskaper y = x r , r > 1

D(x) = )