Теорема на Vieta: примери за нейното използване при работа с квадратни уравнения. Теорема на Виета

В тази лекция ще се запознаем с любопитните зависимости между корените на квадратно уравнение и неговите коефициенти. Тези връзки са открити за първи път от френския математик Франсоа Виете (1540-1603).

Например, за уравнението 3x 2 - 8x - 6 = 0, без да намирате неговите корени, можете, като използвате теоремата на Виета, незабавно да кажете, че сумата от корените е равна на , а произведението на корените е равно на
т.е. - 2. А за уравнението x 2 - 6x + 8 = 0 заключаваме: сборът на корените е 6, произведението на корените е 8; Между другото, не е трудно да се досетите на какво са равни корените: 4 и 2.
Доказателство на теоремата на Виета. Корените x 1 и x 2 на квадратното уравнение ax 2 + bx + c = 0 се намират по формулите

Където D = b 2 - 4ac е дискриминантът на уравнението. Сглобявайки тези корени,
получаваме

Сега нека изчислим произведението на корените x 1 и x 2. Имаме

Второто съотношение е доказано:
Коментирайте. Теоремата на Vieta е валидна и в случая, когато квадратното уравнение има един корен (т.е. когато D = 0), просто се приема, че в този случай уравнението има два еднакви корена, към които се прилагат горните отношения.
Доказаните отношения за редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0 приемат особено проста форма.В този случай получаваме:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 = q
тези. сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с обратен знак, а произведението на корените е равно на свободния член.
Използвайки теоремата на Vieta, можете да получите други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Нека, например, x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0. Тогава

Основната цел на теоремата на Виета обаче не е, че тя изразява някои връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Много по-важно е, че с помощта на теоремата на Виета се извежда формула за факторизиране на квадратен трином, без която няма да можем да се справим в бъдеще.

Доказателство. Ние имаме

Пример 1. Разложете на множители квадратния трином 3x 2 - 10x + 3.
Решение. След като решихме уравнението 3x 2 - 10x + 3 = 0, намираме корените на квадратния трином 3x 2 - 10x + 3: x 1 = 3, x2 = .
Използвайки теорема 2, получаваме

Има смисъл вместо това да напишем 3x - 1. Тогава накрая получаваме 3x 2 - 10x + 3 = (x - 3)(3x - 1).
Обърнете внимание, че даден квадратен трином може да бъде факторизиран без прилагане на теорема 2, като се използва методът на групиране:

3x 2 - 10x + 3 = 3x 2 - 9x - x + 3 =
= 3x (x - 3) - (x - 3) = (x - 3) (3x - 1).

Но, както виждате, при този метод успехът зависи от това дали можем да намерим успешно групиране или не, докато при първия метод успехът е гарантиран.
Пример 1. Намалете фракцията

Решение. От уравнението 2x 2 + 5x + 2 = 0 намираме x 1 = - 2,

От уравнението x2 - 4x - 12 = 0 намираме x 1 = 6, x 2 = -2. Ето защо
x 2 - 4x - 12 = (x - 6) (x - (- 2)) = (x - 6) (x + 2).
Сега нека намалим дадената дроб:

Пример 3. Разложете изразите на множители:
а)x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Решение а) Нека въведем нова променлива y = x2. Това ще ви позволи да пренапишете дадения израз под формата на квадратен тричлен по отношение на променливата y, а именно във формата y 2 + bу + 6.
След като решихме уравнението y 2 + bу + 6 = 0, намираме корените на квадратния трином y 2 + 5у + 6: y 1 = - 2, y 2 = -3. Сега нека използваме теорема 2; получаваме

y 2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Остава да запомните, че y = x 2, т.е. върнете се към дадения израз. Така,
x 4 + 5x 2 + 6 = (x 2 + 2)(x 2 + 3).
б) Нека въведем нова променлива y = . Това ще ви позволи да пренапишете дадения израз под формата на квадратен тричлен по отношение на променливата y, а именно във формата 2y 2 + y - 3. След като решите уравнението
2y 2 + y - 3 = 0, намерете корените на квадратния трином 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . След това, използвайки теорема 2, получаваме:

Остава да запомните, че y = , т.е. върнете се към дадения израз. Така,

В края на раздела - някои разсъждения, отново свързани с теоремата на Виета, или по-скоро с обратното твърдение:
ако числата x 1, x 2 са такива, че x 1 + x 2 = - p, x 1 x 2 = q, тогава тези числа са корените на уравнението
Използвайки това твърдение, можете да решавате много квадратни уравнения устно, без да използвате тромави формули за корени, както и да съставяте квадратни уравнения с дадени корени. Да дадем примери.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Тук x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Лесно е да се досетите, че x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Тук x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Лесно е да се досетите, че x 1 = -5, x 2 = -6.
Имайте предвид, че ако фиктивният член на уравнението е положително число, тогава и двата корена са или положителни, или отрицателни; Това е важно да се има предвид при избора на корени.

3) x 2 + x - 12 = 0. Тук x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Лесно е да се досетите, че x 1 = 3, x2 = -4.
Моля, обърнете внимание: ако свободният член на уравнението е отрицателно число, тогава корените имат различни знаци; Това е важно да се има предвид при избора на корени.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Лесно се вижда, че x = 1 удовлетворява уравнението, т.е. x 1 = 1 е коренът на уравнението. Тъй като x 1 x 2 = - и x 1 = 1, получаваме, че x 2 = -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Тук x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Ако обърнете внимание на факта, че 2830 = 283. 10 и 293 = 283 + 10, тогава става ясно, че x 1 = 283, x 2 = 10 (сега си представете какви изчисления трябва да се извършат, за да се реши това квадратно уравнение с помощта на стандартни формули).

6) Нека съставим квадратно уравнение, така че неговите корени да са числата x 1 = 8, x 2 = - 4. Обикновено в такива случаи съставяме редуцираното квадратно уравнение x 2 + px + q = 0.
Имаме x 1 + x 2 = -p, така че 8 - 4 = -p, т.е. p = -4. След това x 1 x 2 = q, т.е. 8 «(-4) = q, откъдето получаваме q = -32. И така, p = -4, q = -32, което означава, че изискваното квадратно уравнение има формата x 2 -4x-32 = 0.

При изучаване на методи за решаване на уравнения от втори ред в училищен курс по алгебра се разглеждат свойствата на получените корени. Понастоящем те са известни като теорема на Виета. Примери за използването му са дадени в тази статия.

Квадратно уравнение

Уравнението от втори ред е равенството, показано на снимката по-долу.

Тук символите a, b, c са някои числа, наречени коефициенти на разглежданото уравнение. За да разрешите равенство, трябва да намерите стойности на x, които го правят вярно.

Обърнете внимание, че тъй като максималната степен, до която x може да бъде повдигнато, е две, тогава броят на корените в общия случай също е две.

Има няколко начина за решаване на този тип равенства. В тази статия ще разгледаме един от тях, който включва използването на така наречената теорема на Виета.

Формулировка на теоремата на Виета

В края на 16-ти век известният математик Франсоа Виете (френски) забелязва, докато анализира свойствата на корените на различни квадратни уравнения, че някои комбинации от тях удовлетворяват специфични зависимости. По-специално, тези комбинации са техният продукт и сбор.

Теоремата на Виета установява следното: корените на квадратно уравнение, когато се сумират, дават съотношението на линейните към квадратните коефициенти, взети с обратен знак, а когато се умножат, те водят до съотношението на свободния член към квадратния коефициент .

Ако общата форма на уравнението е написана, както е показано на снимката в предишния раздел на статията, тогава математически тази теорема може да бъде написана под формата на две равенства:

• r 2 + r 1 = -b / a;
• r 1 x r 2 = c / a.

Където r 1, r 2 е стойността на корените на въпросното уравнение.

Горните две равенства могат да се използват за решаване на редица различни математически задачи. Използването на теоремата на Vieta в примери с решения е дадено в следващите раздели на статията.

Теоремата на Vieta (по-точно теоремата, обратна на теоремата на Vieta) ви позволява да намалите времето за решаване на квадратни уравнения. Просто трябва да знаете как да го използвате. Как да се научим да решаваме квадратни уравнения с помощта на теоремата на Vieta? Не е трудно, ако се замислите малко.

Сега ще говорим само за решаването на редуцираното квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета. Редуцираното квадратно уравнение е уравнение, в което a, тоест коефициентът на x², е равно на 1. Също така е възможно да се решават квадратни уравнения, които не са дадени с помощта на теоремата на Виета, но поне един от корените не е цяло число. Те са по-трудни за отгатване.

Обратната теорема на теоремата на Виета гласи: ако числата x1 и x2 са такива, че

тогава x1 и x2 са корените на квадратното уравнение

При решаване на квадратно уравнение с помощта на теоремата на Виета са възможни само 4 варианта. Ако си спомняте реда на разсъждение, можете да се научите да намирате цели корени много бързо.

I. Ако q е положително число,

това означава, че корените x1 и x2 са числа с един и същи знак (тъй като само умножаването на числа с еднакви знаци дава положително число).

I.a. Ако -p е положително число, (съответно, стр<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Ако -p е отрицателно число, (съответно p>0), тогава и двата корена са отрицателни числа (събрахме числа с един и същ знак и получихме отрицателно число).

II. Ако q е отрицателно число,

това означава, че корените x1 и x2 имат различни знаци (при умножаване на числа отрицателно число се получава само когато знаците на факторите са различни). В този случай x1 + x2 вече не е сума, а разлика (в края на краищата, когато събираме числа с различни знаци, изваждаме по-малкото от по-голямото по абсолютна стойност). Следователно x1+x2 показва колко се различават корените x1 и x2, тоест колко един корен е по-голям от другия (по абсолютна стойност).

II.а. Ако -p е положително число, (тоест, стр<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.б. Ако -p е отрицателно число, (p>0), тогава по-големият (по модул) корен е отрицателно число.

Нека разгледаме решаването на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета, използвайки примери.

Решете даденото квадратно уравнение, като използвате теоремата на Виета:

Тук q=12>0, така че корените x1 и x2 са числа с един и същи знак. Тяхната сума е -p=7>0, така че и двата корена са положителни числа. Избираме цели числа, чието произведение е равно на 12. Това са 1 и 12, 2 и 6, 3 и 4. Сборът е 7 за двойката 3 и 4. Това означава, че 3 и 4 са корените на уравнението.

В този пример q=16>0, което означава, че корените x1 и x2 са числа с еднакъв знак. Сборът им е -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тук q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, тогава по-голямото число е положително. Така че корените са 5 и -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Има редица връзки в квадратните уравнения. Основните са връзките между корени и коефициенти. Също така в квадратните уравнения има редица отношения, които са дадени от теоремата на Виета.

В тази тема ще представим самата теорема на Виета и нейното доказателство за квадратно уравнение, теоремата, обратна на теоремата на Виета, и ще анализираме редица примери за решаване на задачи. В материала ще обърнем специално внимание на разглеждането на формулите на Виета, които определят връзката между реалните корени на алгебрично уравнение на степен ни неговите коефициенти.

Формулиране и доказателство на теоремата на Виета

Формула за корените на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0от формата x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, където D = b 2 − 4 a c, установява отношения x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Това се потвърждава от теоремата на Виета.

Теорема 1

В квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, Където х 1И х 2– корени, сумата от корените ще бъде равна на отношението на коефициентите bИ а, което е взето с обратен знак, а произведението на корените ще бъде равно на съотношението на коефициентите ° СИ а, т.е. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Доказателство 1

Предлагаме ви следната схема за извършване на доказателството: вземете формулата на корените, съставете сбора и произведението на корените на квадратното уравнение и след това преобразувайте получените изрази, за да се уверите, че са равни - б аИ в асъответно.

Нека направим сбора на корените x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Нека приведем дробите към общ знаменател - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Нека отворим скобите в числителя на получената дроб и представим подобни членове: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Нека намалим дробта с: 2 - b a = - b a.

Ето как доказахме първото отношение на теоремата на Виета, което се отнася до сбора от корените на квадратно уравнение.

Сега да преминем към втората връзка.

За да направим това, трябва да съставим произведението на корените на квадратното уравнение: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Нека си припомним правилото за умножение на дроби и запишем последния продукт по следния начин: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Нека умножим скоба по скоба в числителя на дробта или използваме формулата за разликата на квадратите, за да трансформираме този продукт по-бързо: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Нека използваме определението за квадратен корен, за да направим следния преход: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 a cсъответства на дискриминанта на квадратно уравнение, следователно, в дроб вместо дмогат да бъдат заменени b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Нека отворим скобите, добавим подобни членове и получим: 4 · a · c 4 · a 2 . Ако го съкратим до 4 а, тогава това, което остава, е c a . Така доказахме второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Доказателството на теоремата на Виета може да бъде написано в много лаконична форма, ако пропуснем обясненията:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Когато дискриминантът на квадратно уравнение е равен на нула, уравнението ще има само един корен. За да можем да приложим теоремата на Виета към такова уравнение, можем да приемем, че уравнението с дискриминант, равен на нула, има два еднакви корена. Наистина кога D=0коренът на квадратното уравнение е: - b 2 · a, тогава x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a и x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , и тъй като D = 0, т.е. b 2 - 4 · a · c = 0, откъдето b 2 = 4 · a · c, тогава b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

Най-често в практиката теоремата на Виета се прилага към редуцираното квадратно уравнение на формата x 2 + p x + q = 0, където водещият коефициент a е равен на 1. В тази връзка теоремата на Vieta е формулирана специално за уравнения от този тип. Това не ограничава общото уравнение поради факта, че всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение. За да направите това, трябва да разделите двете му части на число, различно от нула.

Нека дадем друга формулировка на теоремата на Виета.

Теорема 2

Сбор от корените в даденото квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0ще бъде равен на коефициента на х, който се взема с обратен знак, произведението на корените ще бъде равно на свободния член, т.е. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Ако погледнете внимателно втората формулировка на теоремата на Виета, можете да видите това за корените х 1И х 2редуцирано квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0ще бъдат валидни следните отношения: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. От тези отношения x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q следва, че х 1И х 2са корените на квадратното уравнение x 2 + p x + q = 0. Така стигаме до твърдение, което е обратното на теоремата на Виета.

Сега предлагаме да формализираме това твърдение като теорема и да извършим доказателството му.

Теорема 3

Ако числата х 1И х 2са такива, че x 1 + x 2 = − pИ x 1 x 2 = q, Че х 1И х 2са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0.

Доказателство 2

Замяна на коефициенти стрИ ркъм изразяването им чрез х 1И х 2ви позволява да трансформирате уравнението x 2 + p x + q = 0в еквивалент .

Ако заместим числото в полученото уравнение х 1вместо х, тогава получаваме равенството x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Това е равенство за всички х 1И х 2се превръща в истинско числово равенство 0 = 0 , защото x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Означава, че х 1- корен на уравнението x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, какво от това х 1е и коренът на еквивалентното уравнение x 2 + p x + q = 0.

Заместване в уравнение x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0числа х 2вместо x ни позволява да получим равенство x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Това равенство може да се счита за вярно, тъй като x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Оказва се, че х 2е коренът на уравнението x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, а оттам и уравненията x 2 + p x + q = 0.

Обратното на теоремата на Виета е доказано.

Примери за използване на теоремата на Vieta

Нека сега започнем да анализираме най-типичните примери по темата. Нека започнем с анализиране на проблеми, които изискват прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Може да се използва за проверка на числа, получени чрез изчисления, за да се види дали те са корените на дадено квадратно уравнение. За да направите това, трябва да изчислите тяхната сума и разлика и след това да проверите валидността на отношенията x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c.

Изпълнението на двете отношения показва, че получените по време на изчисленията числа са корените на уравнението. Ако видим, че поне едно от условията не е изпълнено, тогава тези числа не могат да бъдат корените на квадратното уравнение, дадено в постановката на проблема.

Пример 1

Коя от двойките числа 1) x 1 = − 5, x 2 = 3 или 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3 или 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 е двойка корени на квадратно уравнение 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Решение

Нека намерим коефициентите на квадратното уравнение 4 x 2 − 16 x + 9 = 0.Това е a = 4, b = − 16, c = 9. Според теоремата на Виета сборът от корените на квадратно уравнение трябва да бъде равен на - б а, това е, 16 4 = 4 , а произведението на корените трябва да е равно в а, това е, 9 4 .

Нека проверим получените числа, като изчислим сбора и произведението на числа от три дадени двойки и ги сравним с получените стойности.

В първия случай x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Тази стойност е различна от 4, следователно проверката не трябва да продължава. Съгласно теоремата, обратна на теоремата на Виета, можем веднага да заключим, че първата двойка числа не са корените на това квадратно уравнение.

Във втория случай x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Виждаме, че първото условие е изпълнено. Но второто условие не е: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Стойността, която получихме, е различна от 9 4 . Това означава, че втората двойка числа не са корените на квадратното уравнение.

Нека да преминем към разглеждането на третата двойка. Тук x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 и x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. И двете условия са изпълнени, което означава, че х 1И х 2са корените на дадено квадратно уравнение.

Отговор: x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2

Можем също да използваме обратното на теоремата на Виета, за да намерим корените на квадратно уравнение. Най-простият начин е да се изберат цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти. Могат да се обмислят и други варианти. Но това може значително да усложни изчисленията.

За да изберем корени, използваме факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратно уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение.

Пример 2

Като пример използваме квадратното уравнение x 2 − 5 x + 6 = 0. Числа х 1И х 2могат да бъдат корените на това уравнение, ако са изпълнени две равенства x 1 + x 2 = 5И x 1 x 2 = 6. Нека изберем тези числа. Това са номера 2 и 3, тъй като 2 + 3 = 5 И 2 3 = 6. Оказва се, че 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Обратното на теоремата на Виета може да се използва за намиране на втория корен, когато първият е известен или очевиден. За да направим това, можем да използваме отношенията x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Пример 3

Разгледайте квадратното уравнение 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Необходимо е да се намерят корените на това уравнение.

Решение

Първият корен на уравнението е 1, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е нула. Оказва се, че х 1 = 1.

Сега нека намерим втория корен. За това можете да използвате релацията x 1 x 2 = c a. Оказва се, че 1 x 2 = − 3 512, където x 2 = - 3,512.

Отговор:корени на квадратното уравнение, посочено в постановката на задачата 1 И - 3 512 .

Възможно е да се избират корени с помощта на теоремата, обратна на теоремата на Виета, само в прости случаи. В други случаи е по-добре да търсите с помощта на формулата за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.

Благодарение на обратното на теоремата на Виета, можем също да конструираме квадратни уравнения, използвайки съществуващите корени х 1И х 2. За да направим това, трябва да изчислим сумата от корените, която дава коефициента за хс обратен знак на даденото квадратно уравнение и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример 4

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са числа − 11 И 23 .

Решение

Да приемем, че x 1 = − 11И х 2 = 23. Сумата и произведението на тези числа ще бъдат равни: x 1 + x 2 = 12И x 1 x 2 = − 253. Това означава, че вторият коефициент е 12, свободният термин − 253.

Нека съставим уравнение: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Отговор: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Можем да използваме теоремата на Виета за решаване на задачи, които включват знаците на корените на квадратни уравнения. Връзката между теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 + p x + q = 0по следния начин:

• ако квадратното уравнение има реални корени и ако прихващащият член ре положително число, тогава тези корени ще имат същия знак „+“ или „-“;
• ако квадратното уравнение има корени и ако пресеченият член ре отрицателно число, тогава единият корен ще бъде „+“, а вторият „-“.

И двете твърдения са следствие от формулата x 1 x 2 = qи правила за умножение на положителни и отрицателни числа, както и на числа с различни знаци.

Пример 5

Са корените на квадратно уравнение x 2 − 64 x − 21 = 0положителен?

Решение

Според теоремата на Виета, корените на това уравнение не могат едновременно да бъдат положителни, тъй като те трябва да удовлетворяват равенството x 1 x 2 = − 21. Това е невъзможно с положително х 1И х 2.

Отговор:Не

Пример 6

При какви стойности на параметрите rквадратно уравнение x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0ще има два реални корена с различни знаци.

Решение

Нека започнем с намирането на стойностите на които r, за което уравнението ще има два корена. Нека намерим дискриминанта и да видим на какво rще приема положителни стойности. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Стойност на израза r 2 + 8положителен за всеки реален r, следователно, дискриминантът ще бъде по-голям от нула за всяко реално число r. Това означава, че първоначалното квадратно уравнение ще има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега да видим кога корените имат различни знаци. Това е възможно, ако продуктът им е отрицателен. Според теоремата на Виета произведението на корените на редуцираното квадратно уравнение е равно на свободния член. Това означава, че правилното решение ще бъдат тези стойности r, за които свободният член r − 1 е отрицателен. Нека решим линейното неравенство r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Отговор:при r< 1 .

Виета формули

Има редица формули, които са приложими за извършване на операции с корените и коефициентите не само на квадратни, но и на кубични и други видове уравнения. Наричат ​​се формули на Виета.

За алгебрично уравнение на степен нот формата a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 x + a n = 0 се счита, че уравнението има нистински корени x 1 , x 2 , … , x n, сред които могат да бъдат същите:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Определение 1

Формулите на Vieta ни помагат да получим:

• теорема за разлагането на полином на линейни множители;
• определяне на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти.

Така полиномът a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n и неговото разлагане на линейни множители от вида a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) са равни.

Ако отворим скобите в последното произведение и приравним съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta. Приемайки n = 2, можем да получим формулата на Vieta за квадратното уравнение: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Определение 2

Формулата на Vieta за кубичното уравнение:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0, x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0, x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Лявата страна на формулата на Vieta съдържа така наречените елементарни симетрични полиноми.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Между корените и коефициентите на квадратно уравнение, в допълнение към коренните формули, има други полезни връзки, които са дадени Теорема на Виета. В тази статия ще дадем формулировка и доказателство на теоремата на Виета за квадратно уравнение. След това разглеждаме теоремата, обратна на теоремата на Виета. След това ще анализираме решенията на най-типичните примери. Накрая записваме формулите на Vieta, които определят връзката между реалните корени алгебрично уравнениестепен n и нейните коефициенти.

Навигация в страницата.

Теорема на Виета, формулировка, доказателство

От формулите на корените на квадратното уравнение a·x 2 +b·x+c=0 от вида, където D=b 2 −4·a·c следват следните съотношения: x 1 +x 2 =− b/a, x 1 ·x 2 = c/a. Тези резултати се потвърждават Теорема на Виета:

Теорема.

Ако x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение a x 2 +b x+c=0, тогава сумата от корените е равна на отношението на коефициентите b и a, взети с обратен знак, и произведението на корените е равно на отношението на коефициентите c и a, т.е.

Доказателство.

Ще проведем доказателството на теоремата на Виета по следната схема: съставяме сумата и произведението на корените на квадратното уравнение с помощта на известни коренни формули, след което трансформираме получените изрази и се уверяваме, че те са равни на −b/ a и c/a, съответно.

Да започнем със сбора на корените и да го съставим. Сега привеждаме дробите към общ знаменател, имаме . В числителя на получената дроб, след което:. Накрая, след 2, получаваме . Това доказва първата връзка от теоремата на Виета за сумата от корените на квадратно уравнение. Да преминем към второто.

Съставяме произведението на корените на квадратното уравнение: . Съгласно правилото за умножаване на дроби последният продукт може да бъде записан като . Сега умножаваме скоба по скоба в числителя, но е по-бързо да свием този продукт с формула за квадратна разлика, Така . След това, спомняйки си, извършваме следващия преход. И тъй като дискриминантът на квадратното уравнение съответства на формулата D=b 2 −4·a·c, тогава вместо D в последната дроб можем да заместим b 2 −4·a·c, получаваме. След отваряне на скобите и привеждане на подобни членове, стигаме до дробта , а намаляването й с 4·a дава . Това доказва второто отношение на теоремата на Виета за произведението на корените.

Ако пропуснем обясненията, доказателството на теоремата на Виета ще приеме лаконична форма:
,
.

Остава само да се отбележи, че ако дискриминантът е равен на нула, квадратното уравнение има един корен. Но ако приемем, че уравнението в този случай има два еднакви корена, то равенствата от теоремата на Виета също са в сила. Наистина, когато D=0 коренът на квадратното уравнение е равен на , тогава и , и тъй като D=0, т.е. b 2 −4·a·c=0, откъдето b 2 =4·a·c, тогава .

На практика теоремата на Vieta най-често се използва във връзка с редуцираното квадратно уравнение (с водещ коефициент a равен на 1) от вида x 2 +p·x+q=0. Понякога се формулира само за квадратни уравнения от този тип, което не ограничава общото, тъй като всяко квадратно уравнение може да бъде заменено с еквивалентно уравнение чрез разделяне на двете страни на различно от нула число a. Нека дадем съответната формулировка на теоремата на Виета:

Теорема.

Сумата от корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0 е равна на коефициента на x, взет с противоположния знак, а произведението на корените е равно на свободния член, т.е. x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 = q.

Теорема, обратна на теоремата на Виета

Втората формулировка на теоремата на Виета, дадена в предишния параграф, показва, че ако x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p x+q=0, тогава отношенията x 1 +x 2 =−p , x 1 x 2 =q. От друга страна, от записаните отношения x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q следва, че x 1 и x 2 са корените на квадратното уравнение x 2 +p x+q=0. С други думи, обратното на теоремата на Виета е вярно. Нека го формулираме под формата на теорема и го докажем.

Теорема.

Ако числата x 1 и x 2 са такива, че x 1 +x 2 =−p и x 1 · x 2 =q, тогава x 1 и x 2 са корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p · x+q =0.

Доказателство.

След замяна на коефициентите p и q в уравнението x 2 +p·x+q=0 с техните изрази чрез x 1 и x 2, то се трансформира в еквивалентно уравнение.

Нека заместим числото x 1 вместо x в полученото уравнение и имаме равенството x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, което за всяко x 1 и x 2 представлява правилното числено равенство 0=0, тъй като x 1 2 −(x 1 +x 2) x 1 +x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 1 е коренът на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, което означава, че x 1 е коренът на еквивалентното уравнение x 2 +p·x+q=0.

Ако в уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0заместваме числото x 2 вместо x, получаваме равенството x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 =0. Това е истинско равенство, тъй като x 2 2 −(x 1 +x 2) x 2 +x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Следователно x 2 също е корен на уравнението x 2 −(x 1 +x 2) x+x 1 x 2 =0, и следователно уравненията x 2 +p·x+q=0.

Това завършва доказателството на теоремата, обратна на теоремата на Виета.

Примери за използване на теоремата на Vieta

Време е да поговорим за практическото приложение на теоремата на Виета и обратната й теорема. В този раздел ще анализираме решения на няколко от най-типичните примери.

Нека започнем с прилагането на теоремата, обратна на теоремата на Виета. Удобно е да се използва за проверка дали дадени две числа са корени на дадено квадратно уравнение. В този случай се изчислява тяхната сума и разлика, след което се проверява валидността на отношенията. Ако и двете от тези отношения са изпълнени, тогава по силата на теоремата, обратна на теоремата на Виета, се заключава, че тези числа са корените на уравнението. Ако поне едно от отношенията не е изпълнено, тогава тези числа не са корените на квадратното уравнение. Този подход може да се използва при решаване на квадратни уравнения за проверка на намерените корени.

Пример.

Коя от двойките числа 1) x 1 =−5, x 2 =3 или 2) или 3) е двойка корени на квадратното уравнение 4 x 2 −16 x+9=0?

Решение.

Коефициентите на даденото квадратно уравнение 4 x 2 −16 x+9=0 са a=4, b=−16, c=9. Според теоремата на Виета сумата от корените на квадратно уравнение трябва да е равна на −b/a, т.е. 16/4=4, а произведението на корените трябва да е равно на c/a, т.е. 9 /4.

Сега нека изчислим сумата и произведението на числата във всяка от трите дадени двойки и да ги сравним със стойностите, които току-що получихме.

В първия случай имаме x 1 +x 2 =−5+3=−2. Получената стойност е различна от 4, така че не може да се извърши допълнителна проверка, но използвайки теоремата, обратна на теоремата на Виета, може веднага да се заключи, че първата двойка числа не е двойка корени на даденото квадратно уравнение.

Да преминем към втория случай. Ето, че първото условие е изпълнено. Проверяваме второто условие: получената стойност е различна от 9/4. Следователно втората двойка числа не е двойка корени на квадратното уравнение.

Остава един последен случай. Тук и . И двете условия са изпълнени, така че тези числа x 1 и x 2 са корените на даденото квадратно уравнение.

Отговор:

Обратното на теоремата на Виета може да се използва на практика за намиране на корените на квадратно уравнение. Обикновено се избират цели корени на дадените квадратни уравнения с цели коефициенти, тъй като в други случаи това е доста трудно да се направи. В този случай те използват факта, че ако сумата от две числа е равна на втория коефициент на квадратно уравнение, взето със знак минус, и произведението на тези числа е равно на свободния член, тогава тези числа са корени на това квадратно уравнение. Нека разберем това с пример.

Нека вземем квадратното уравнение x 2 −5 x+6=0. За да бъдат числата x 1 и x 2 корени на това уравнение, трябва да са изпълнени две равенства: x 1 + x 2 =5 и x 1 ·x 2 =6. Остава само да изберете такива числа. В този случай това е доста лесно да се направи: такива числа са 2 и 3, тъй като 2+3=5 и 2·3=6. Така 2 и 3 са корените на това квадратно уравнение.

Теоремата, обратна на теоремата на Виета, е особено удобна за използване за намиране на втория корен на дадено квадратно уравнение, когато един от корените вече е известен или очевиден. В този случай вторият корен може да бъде намерен от всяка една от релациите.

Например, нека вземем квадратното уравнение 512 x 2 −509 x −3=0. Тук е лесно да се види, че единството е коренът на уравнението, тъй като сумата от коефициентите на това квадратно уравнение е равна на нула. Така че x 1 =1. Вторият корен x 2 може да се намери например от връзката x 1 ·x 2 =c/a. Имаме 1 x 2 =−3/512, от което x 2 =−3/512. Ето как определихме двата корена на квадратното уравнение: 1 и −3/512.

Ясно е, че изборът на корени е препоръчителен само в най-простите случаи. В други случаи, за да намерите корени, можете да използвате формули за корените на квадратно уравнение чрез дискриминант.

Друго практическо приложение на обратното на теоремата на Виета е да се съставят квадратни уравнения с дадени корени x 1 и x 2 . За да направите това, достатъчно е да изчислите сумата от корените, която дава коефициента на x с противоположен знак на даденото квадратно уравнение, и произведението на корените, което дава свободния член.

Пример.

Напишете квадратно уравнение, чиито корени са −11 и 23.

Решение.

Нека означим x 1 =−11 и x 2 =23. Изчисляваме сумата и произведението на тези числа: x 1 +x 2 =12 и x 1 ·x 2 =−253. Следователно посочените числа са корените на редуцираното квадратно уравнение с втори коефициент −12 и свободен член −253. Тоест x 2 −12·x−253=0 е търсеното уравнение.

Отговор:

x 2 −12·x−253=0 .

Теоремата на Vieta се използва много често при решаване на задачи, свързани със знаците на корените на квадратни уравнения. Как теоремата на Виета е свързана със знаците на корените на редуцираното квадратно уравнение x 2 +p·x+q=0? Ето две уместни твърдения:

• Ако пресечната точка q е положително число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава или и двете са положителни, или и двете отрицателни.
• Ако свободният член q е отрицателно число и ако квадратното уравнение има реални корени, тогава техните знаци са различни, с други думи, единият корен е положителен, а другият е отрицателен.

Тези твърдения следват от формулата x 1 · x 2 =q, както и от правилата за умножение на положителни, отрицателни числа и числа с различни знаци. Нека да разгледаме примери за тяхното приложение.

Пример.

R е положителен. Използвайки дискриминантната формула намираме D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8, стойността на израза r 2 +8 е положителен за всяко реално r, следователно D>0 за всяко реално r. Следователно, оригиналното квадратно уравнение има два корена за всякакви реални стойности на параметъра r.

Сега нека разберем кога корените имат различни знаци. Ако знаците на корените са различни, тогава техният продукт е отрицателен и според теоремата на Vieta продуктът на корените на редуцираното квадратно уравнение е равен на свободния член. Следователно, ние се интересуваме от тези стойности на r, за които свободният член r−1 е отрицателен. По този начин, за да намерим стойностите на r, които ни интересуват, имаме нужда решаване на линейно неравенство r−1<0 , откуда находим r<1 .

Отговор:

при r<1 .

Виета формули

По-горе говорихме за теоремата на Виета за квадратно уравнение и анализирахме връзките, които тя твърди. Но има формули, които свързват реалните корени и коефициенти не само на квадратни уравнения, но и на кубични уравнения, уравнения от четвърта степен и като цяло, алгебрични уравнениястепен n. Те се наричат Формулите на Виета.

Нека напишем формулата на Vieta за алгебрично уравнение от степен n на формата и ще приемем, че то има n реални корена x 1, x 2, ..., x n (сред тях може да има съвпадащи):

Могат да се получат формулите на Vieta теорема за разлагането на полином на линейни множители, както и дефинирането на равни полиноми чрез равенството на всичките им съответни коефициенти. Така че полиномът и неговото разлагане на линейни множители на формата са равни. Отваряйки скобите в последния продукт и приравнявайки съответните коефициенти, получаваме формулите на Vieta.

По-специално, за n=2 имаме вече познатите формули на Vieta за квадратно уравнение.

За кубично уравнение формулите на Виета имат формата

Остава само да се отбележи, че от лявата страна на формулите на Виета има така наречените елементарни симетрични полиноми.

Библиография.

• Алгебра:учебник за 8 клас. общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; редактиран от С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М.: Образование, 2008. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г.Алгебра. 8 клас. В 2 ч. Част 1. Учебник за ученици от общообразователни институции / А. Г. Мордкович. - 11-то изд., изтрито. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебраи началото на математическия анализ. 10. клас: учебник. за общо образование институции: основни и профилни. нива / [Ю. М. Колягин, М. В. Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; редактиран от А. Б. Жижченко. - 3-то изд. - М .: Образование, 2010.- 368 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-022771-1.