Презентация за урока "Сравнение на логаритми" материал за подготовка за Единния държавен изпит (GIA) по алгебра (11 клас) по темата. Основни свойства на логаритмите Сравнете логаритмите с различни основи примери

основни свойства.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

идентични основания

Log6 4 + log6 9.

Сега нека усложним малко задачата.

Примери за решаване на логаритми

Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x >

Задача. Намерете значението на израза:

Преход към нова основа

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

Задача. Намерете значението на израза:

Вижте също:

Основни свойства на логаритъма

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой.

Основни свойства на логаритмите

Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

Примери за логаритми

Логаритмични изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Използвайки свойства 3.5, изчисляваме

2.

3.

4. Където .

Пример 2. Намерете x if

Пример 3. Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм. Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя.

Логаритмични формули. Логаритми примерни решения.

Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
2. log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Вижте също:

Логаритъмът от b при основа а означава израза. Да се ​​изчисли логаритъм означава да се намери степен x (), при която равенството е изпълнено

Основни свойства на логаритъма

Необходимо е да се знаят горните свойства, тъй като почти всички задачи и примери, свързани с логаритми, се решават на тяхна основа. Останалите екзотични свойства могат да бъдат извлечени чрез математически манипулации с тези формули

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Когато изчислявате формулата за сбора и разликата на логаритмите (3.4), срещате доста често. Останалите са малко сложни, но в редица задачи са незаменими за опростяване на сложни изрази и изчисляване на техните стойности.

Често срещани случаи на логаритми

Някои от често срещаните логаритми са тези, при които основата е дори десет, експоненциална или две.
Логаритъмът по основа десет обикновено се нарича десетичен логаритъм и се означава просто с lg(x).

От записа става ясно, че основното не е написано в записа. Например

Натурален логаритъм е логаритъм, чиято основа е показател (обозначен с ln(x)).

Показателят е 2,718281828…. За да запомните показателя, можете да изучите правилото: показателят е равен на 2,7 и два пъти годината на раждане на Лев Николаевич Толстой. Познавайки това правило, вие ще знаете както точната стойност на експонента, така и датата на раждане на Лев Толстой.

И друг важен логаритъм при основа две е означен с

Производната на логаритъма на функция е равна на единица, разделена на променливата

Интегралният или противопроизводният логаритъм се определя от връзката

Даденият материал е достатъчен, за да решите широк клас задачи, свързани с логаритми и логаритми. За да ви помогна да разберете материала, ще дам само няколко общи примера от училищната програма и университетите.

Примери за логаритми

Логаритмични изрази

Пример 1.
А). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Използвайки свойства 3.5, изчисляваме

2.
По свойството разлика на логаритмите имаме

3.
Използвайки свойства 3.5 намираме

4. Където .

Привидно сложен израз се опростява, за да се формира с помощта на редица правила

Намиране на логаритмични стойности

Пример 2. Намерете x if

Решение. За изчисление прилагаме към последния термин 5 и 13 свойства

Записваме го и скърбим

Тъй като основите са равни, приравняваме изразите

Логаритми. Първо ниво.

Нека е дадена стойността на логаритмите

Изчислете log(x), ако

Решение: Нека вземем логаритъм на променливата, за да запишем логаритъма чрез сумата от нейните членове

Това е само началото на нашето запознаване с логаритмите и техните свойства. Практикувайте изчисления, обогатете практическите си умения - скоро ще имате нужда от знанията, които придобивате, за решаване на логаритмични уравнения. След като изучихме основните методи за решаване на такива уравнения, ще разширим знанията ви към друга също толкова важна тема - логаритмичните неравенства...

Основни свойства на логаритмите

Логаритмите, като всички числа, могат да се събират, изваждат и трансформират по всякакъв начин. Но тъй като логаритмите не са съвсем обикновени числа, тук има правила, които се наричат основни свойства.

Определено трябва да знаете тези правила - без тях не може да се реши нито една сериозна логаритмична задача. Освен това има много малко от тях - можете да научите всичко за един ден. Така че да започваме.

Събиране и изваждане на логаритми

Помислете за два логаритма с еднакви основи: logax и logay. След това те могат да се събират и изваждат и:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

И така, сумата от логаритми е равна на логаритъма от произведението, а разликата е равна на логаритъма от частното. Моля, обърнете внимание: ключовият момент тук е идентични основания. Ако причините са различни, тези правила не работят!

Тези формули ще ви помогнат да изчислите логаритмичен израз, дори когато отделните му части не се вземат предвид (вижте урока „Какво е логаритъм“). Разгледайте примерите и вижте:

Задача. Намерете стойността на израза: log6 4 + log6 9.

Тъй като логаритмите имат еднакви основи, ние използваме формулата за сумата:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Задача. Намерете стойността на израза: log2 48 − log2 3.

Базите са еднакви, използваме формулата за разликата:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Задача. Намерете стойността на израза: log3 135 − log3 5.

Отново основите са същите, така че имаме:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Както можете да видите, оригиналните изрази са съставени от „лоши“ логаритми, които не се изчисляват отделно. Но след трансформациите се получават напълно нормални числа. Много тестове се основават на този факт. Да, изрази, подобни на тестове, се предлагат напълно сериозно (понякога почти без промени) на Единния държавен изпит.

Извличане на показателя от логаритъма

Сега нека усложним малко задачата. Ами ако основата или аргументът на логаритъм е степен? Тогава показателят на тази степен може да бъде изваден от знака на логаритъма съгласно следните правила:

Лесно се вижда, че последното правило следва първите две. Но все пак е по-добре да го запомните - в някои случаи това значително ще намали количеството на изчисленията.

Разбира се, всички тези правила имат смисъл, ако се спазва ODZ на логаритъма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И още нещо: научете се да прилагате всички формули не само отляво надясно, но и обратно , т.е. Можете да въведете числата преди знака за логаритъм в самия логаритъм.

Как се решават логаритми

Това е, което най-често се изисква.

Задача. Намерете стойността на израза: log7 496.

Нека се отървем от степента в аргумента, използвайки първата формула:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че знаменателят съдържа логаритъм, чиято основа и аргумент са точни степени: 16 = 24; 49 = 72. Имаме:

Мисля, че последният пример изисква известно пояснение. Къде изчезнаха логаритмите? До последния момент работим само със знаменателя. Представихме основата и аргумента на логаритъма, който стои там под формата на степени и извадихме показателите - получихме "триетажна" дроб.

Сега нека разгледаме основната фракция. Числителят и знаменателят съдържат едно и също число: log2 7. Тъй като log2 7 ≠ 0, можем да намалим дробта - 2/4 ще остане в знаменателя. Според правилата на аритметиката четворката може да се прехвърли в числителя, което и беше направено. Резултатът беше отговорът: 2.

Преход към нова основа

Говорейки за правилата за събиране и изваждане на логаритми, специално подчертах, че те работят само с еднакви основи. Ами ако причините са различни? Ами ако не са точни степени на едно и също число?

Формулите за преход към нова основа идват на помощ. Нека ги формулираме под формата на теорема:

Нека е даден логаритъм logax. Тогава за всяко число c, такова че c > 0 и c ≠ 1, равенството е вярно:

По-специално, ако зададем c = x, получаваме:

От втората формула следва, че основата и аргументът на логаритъма могат да се разменят, но в този случай целият израз се „обръща“, т.е. логаритъма се появява в знаменателя.

Тези формули рядко се срещат в обикновени числови изрази. Възможно е да се оцени колко са удобни само при решаване на логаритмични уравнения и неравенства.

Има обаче проблеми, които изобщо не могат да бъдат решени, освен чрез преминаване към нова основа. Нека да разгледаме няколко от тях:

Задача. Намерете стойността на израза: log5 16 log2 25.

Обърнете внимание, че аргументите на двата логаритма съдържат точни степени. Нека извадим индикаторите: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Сега нека "обърнем" втория логаритъм:

Тъй като продуктът не се променя при пренареждане на множителите, ние спокойно умножихме четири и две и след това се справихме с логаритмите.

Задача. Намерете стойността на израза: log9 100 lg 3.

Основата и аргументът на първия логаритъм са точни степени. Нека запишем това и да се отървем от индикаторите:

Сега нека се отървем от десетичния логаритъм, като преминем към нова основа:

Основно логаритмично тъждество

Често в процеса на решаване е необходимо да се представи число като логаритъм на дадена основа. В този случай ще ни помогнат следните формули:

В първия случай числото n става експонента в аргумента. Числото n може да бъде абсолютно всичко, защото е само логаритъм.

Втората формула всъщност е перифразирана дефиниция. Така се казва: .

Всъщност, какво се случва, ако числото b се повдигне на такава степен, че числото b на тази степен дава числото a? Точно така: резултатът е същото число a. Прочетете внимателно този параграф отново - много хора се забиват в него.

Подобно на формулите за преминаване към нова база, основното логаритмично тъждество понякога е единственото възможно решение.

Задача. Намерете значението на израза:

Обърнете внимание, че log25 64 = log5 8 - просто взе квадрат от основата и аргумента на логаритъма. Като вземем предвид правилата за умножение на степени с една и съща основа, получаваме:

Ако някой не знае, това беше истинска задача от Единния държавен изпит :)

Логаритмична единица и логаритмична нула

В заключение ще дам две тъждества, които трудно могат да бъдат наречени свойства - по-скоро те са следствия от дефиницията на логаритъма. Те постоянно се появяват в проблеми и, изненадващо, създават проблеми дори за „напреднали“ ученици.

1. logaa = 1 е. Запомнете веднъж завинаги: логаритъмът при всяка основа а на самата тази основа е равен на едно.
2. log 1 = 0 е. Основата a може да бъде всякаква, но ако аргументът съдържа единица, логаритъма е равен на нула! Тъй като a0 = 1 е пряко следствие от определението.

Това са всички имоти. Не забравяйте да се упражнявате да ги прилагате на практика! Изтеглете измамника в началото на урока, разпечатайте го и решете задачите.

Да започнем с свойства на логаритъма от едно. Неговата формулировка е следната: логаритъмът от единица е равен на нула, т.е. log a 1=0за всяко a>0, a≠1. Доказателството не е трудно: тъй като a 0 =1 за всяко a, удовлетворяващо горните условия a>0 и a≠1, тогава равенството log a 1=0, което трябва да се докаже, следва непосредствено от дефиницията на логаритъма.

Нека дадем примери за приложението на разглежданото свойство: log 3 1=0, log1=0 и .

Да преминем към следващото свойство: логаритъма на число, равно на основата, е равен на единица, това е, log a a=1за a>0, a≠1. Наистина, тъй като a 1 =a за всяко a, тогава по дефиниция на логаритъма log a a=1.

Примери за използване на това свойство на логаритмите са равенствата log 5 5=1, log 5.6 5.6 и lne=1.

Например log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 и .

Логаритъм от произведението на две положителни числа x и y е равно на произведението от логаритмите на тези числа: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Нека докажем свойството на логаритъма на произведение. Поради свойствата на степента a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, и тъй като чрез главното логаритмично тъждество a log a x =x и a log a y =y, тогава a log a x ·a log a y =x·y. По този начин, a log a x+log a y =x·y, от което по дефиницията на логаритъм следва доказаното равенство.

Нека покажем примери за използване на свойството на логаритъма на произведение: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 и .

Свойството на логаритъм на произведение може да се обобщи до произведението на крайно число n от положителни числа x 1 , x 2 , …, x n като log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +...+log a x n . Това равенство може да се докаже без проблеми.

Например натуралният логаритъм на произведението може да бъде заменен със сумата от три натурални логаритъма на числата 4, e и.

Логаритъм от частното на две положителни числа x и y е равно на разликата между логаритмите на тези числа. Свойството логаритъм на частно съответства на формула от вида , където a>0, a≠1, x и y са някои положителни числа. Валидността на тази формула е доказана, както и на формулата за логаритъм на произведение: тъй като , тогава по дефиниция на логаритъм.

Ето пример за използване на това свойство на логаритъма: .

Да преминем към свойство на логаритъма на степента. Логаритъмът на степента е равен на произведението на степента и логаритъма на модула на основата на тази степен. Нека запишем това свойство на логаритъма на степен като формула: log a b p =p·log a |b|, където a>0, a≠1, b и p са такива числа, че степента b p има смисъл и b p >0.

Първо доказваме това свойство за положително b. Основното логаритмично тъждество ни позволява да представим числото b като log a b , тогава b p =(a log a b) p и полученият израз, поради свойството степен, е равен на a p·log a b . Така стигаме до равенството b p =a p·log a b, от което по дефиницията на логаритъм заключаваме, че log a b p =p·log a b.

Остава да докажем това свойство за отрицателно b. Тук отбелязваме, че изразът log a b p за отрицателно b има смисъл само за четни експоненти p (тъй като стойността на степента b p трябва да е по-голяма от нула, в противен случай логаритъма няма да има смисъл), и в този случай b p =|b| стр. Тогава b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, от където log a b p =p·log a |b| .

Например, и ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Следва от предишното свойство свойство на логаритъма от корена: логаритъма на n-тия корен е равен на произведението на дробта 1/n по логаритъма на радикалния израз, т.е. , където a>0, a≠1, n е естествено число, по-голямо от едно, b>0.

Доказателството се основава на равенството (виж), което е валидно за всяко положително b, и свойството на логаритъма на степента: .

Ето пример за използване на това свойство: .

Сега да докажем формула за преминаване към нова основа на логаритъммил . За целта е достатъчно да се докаже валидността на равенството log c b=log a b·log c a. Основното логаритмично тъждество ни позволява да представим числото b като log a b, тогава log c b=log c a log a b. Остава да използваме свойството на логаритъма на степента: log c a log a b =log a b log c a. Това доказва равенството log c b=log a b·log c a, което означава, че е доказана и формулата за преминаване към нова основа на логаритъма.

Нека да покажем няколко примера за използване на това свойство на логаритмите: и .

Формулата за преминаване към нова база ви позволява да преминете към работа с логаритми, които имат „удобна“ база. Например, може да се използва за преминаване към естествени или десетични логаритми, така че да можете да изчислите стойността на логаритъм от таблица с логаритми. Формулата за преминаване към нова логаритъмна основа също позволява в някои случаи да се намери стойността на даден логаритъм, когато са известни стойностите на някои логаритми с други бази.

Често се използва частен случай на формулата за преход към нова основа на логаритъм за c=b на формата . Това показва, че log a b и log b a – . напр. .

Формулата също се използва често , което е удобно за намиране на логаритмични стойности. За да потвърдим думите си, ще покажем как може да се използва за изчисляване на стойността на логаритъм от формата . Ние имаме . За доказване на формулата достатъчно е да използвате формулата за преход към нова основа на логаритъма a: .

Остава да се докажат свойствата на сравнение на логаритми.

Нека докажем, че за всякакви положителни числа b 1 и b 2, b 1 log a b 2 , а при a>1 – неравенството log a b 1

Накрая остава да докажем последното от изброените свойства на логаритмите. Нека се ограничим до доказателството на първата му част, тоест ще докажем, че ако a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b>log a 2 b . Останалите твърдения на това свойство на логаритмите се доказват по подобен принцип.

Нека използваме обратния метод. Да предположим, че за a 1 >1, a 2 >1 и a 1 1 е вярно log a 1 b≤log a 2 b . Въз основа на свойствата на логаритмите, тези неравенства могат да бъдат пренаписани като И съответно и от тях следва, че log b a 1 ≤log b a 2 и съответно log b a 1 ≥log b a 2. Тогава, според свойствата на степени с еднакви основи, трябва да са валидни равенствата b log b a 1 ≥b log b a 2 и b log b a 1 ≥b log b a 2, тоест a 1 ≥a 2 . Така че стигнахме до противоречие с условието a 1

Библиография.

• Колмогоров A.N., Абрамов A.M., Дудницин Ю.П. и др.. Алгебра и началото на анализа: Учебник за 10-11 клас на общообразователните институции.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика (наръчник за постъпващите в техникуми).

Сравняването на стойностите на логаритмите или стойността на логаритъм с определено число се среща в практиката за решаване на проблеми в училище не само като независима задача. Трябва да сравнявате логаритми, например, когато решавате уравнения и неравенства. Материалите на статията (проблеми и техните решения) са подредени на принципа „от просто към сложно“ и могат да се използват за подготовка и провеждане на урок (уроци) по тази тема, както и в избираеми часове. Броят на разглежданите задачи в урока зависи от нивото на класа и неговата специализирана област. В часовете по математика за напреднали този материал може да се използва за двучасов лекционен урок.

1. (Устно.) Кои от функциите нарастват и кои намаляват:

Коментирайте.Това упражнение е подготвително упражнение.

2. (Устно.)Сравнете с нула:

Коментирайте. Когато решавате упражнение № 2, можете да използвате както свойствата на логаритмичната функция, използвайки графиката на логаритмичната функция, така и следното полезно свойство:

ако положителните числа a и b лежат на числовата ос отдясно на 1 или отляво на 1 (т.е. a>1 и b>1 или 0 0 ;
ако положителните числа a и b лежат на числовата ос от противоположните страни на 1 (т.е. 0 .

Нека покажем използването на това свойство в решение № 2(а).

Тъй като функцията y = log 7 tсе увеличава с R+, 10 > 7, тогава log 7 10 > log 7 7, т.е. log 7 10 > 1. Така положителните числа sin3 и log 7 10 лежат на противоположните страни на 1. Следователно, log sin3 log 7 10< 0.

3. (Устно.) Намерете грешката в разсъждението:

функция y = lgtнараства с R + , тогава ,

Нека разделим двете страни на последното неравенство на . Получаваме, че 2 > 3.

Решение.

Положителните числа и 10 (основата на логаритъма) лежат на противоположните страни на 1. Това означава, че< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Устно.) Сравнете числата:

Коментирайте.При решаването на задачи № 4(a–c) използваме свойството монотонност на логаритмичната функция. За решение № 4(d) използваме свойството:

ако c > a >1, тогава за b>1 неравенството log a b > log c b е вярно.

Разтвор 4(d).

От 1< 5 < 7 и 13 >1, след това log 5 13 > log 7 13.

5. Сравнете числатадневник 2 6 и 2.

Решение.

Първи начин (използвайки монотонността на логаритмичната функция).

функция y = log 2 tсе увеличава с R+, 6 > 4. И така, log 2 6 > log 2 4И log 2 5 > 2.

Вторият метод (съставяне на разликата).

Нека компенсираме разликата.

6. Сравнете числата И -1.

функция y =намалява с R+ , 3 < 5. Значит, >И > -1 .

7. Сравнете числата И 3log 8 26 .

функция y = log 2 tсе увеличава с R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Първи начин.

Нека умножим двете страни на неравенството по 3:

функция y = log 5 tсе увеличава с R+ , 27 > 25. И така,

Втори начин.

Нека компенсираме разликата
. Оттук.

9. Сравнете числата log 4 26 И дневник 6 17.

Нека оценим логаритмите, като вземем предвид, че функциите y = log 4 t и y = log 6 t, увеличаващи се с R+:

Като се има предвид, че функциите намалявайки с R+, ние имаме:

означава,

Коментирайте. Предложеният метод за сравнение се нарича метод "вмъкване".или метод "разделяне".(намерихме числото 4, разделящо тези две числа).

11. Сравнете числата log 2 3 И дневник 3 5.

Имайте предвид, че и двата логаритма са по-големи от 1, но по-малки от 2.

Първи начин. Нека се опитаме да използваме метода "разделяне". Нека сравним логаритмите с числото.

Втори метод ( умножение с естествено число).

Забележка 1. Същността метод “умножение по естествено число” е, че търсим естествено число к, когато се умножат по които сравнените числа аИ bвземете тези числа каИ kbче между тях има поне едно цяло число.

Забележка 2. Прилагането на горния метод може да бъде много трудоемко, ако сравняваните числа са много близки едно до друго.
В този случай можете да опитате сравнение метод за „изваждане на едно“" Нека го демонстрираме със следния пример.

12. Сравнете числата log 7 8 И дневник 6 7.

Първи начин (извадете едно).

Извадете 1 от сравняваните числа.

В първото неравенство използвахме факта, че

ако c > a > 1, тогава за b > 1 неравенството log a b > log c b е вярно.

Във второто неравенство – монотонността на функцията y = log a x.

Втори начин (приложение на неравенството на Коши).

13. Сравнете числата log 24 72 И дневник 12 18.

14. Сравнете числата log 20 80 И дневник 80 640.

Нека log 2 5 = х. забележи това х > 0.

Получаваме неравенство.

Нека намерим много решения на неравенството, отговарящи на условието x > 0.

Нека построим двете страни на неравенството на квадрат (в х> 0 и двете страни на неравенството са положителни). Имаме 9x 2< 9x + 28.

Множеството от решения на последното неравенство е интервалът.

Като се има предвид това х> 0, получаваме: .

Отговор: Неравенството е вярно.

Работилница за решаване на проблеми.

1. Сравнете числата:

2. Подредете числата във възходящ ред:

3. Решете неравенството 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Е числото √2 решение на това неравенство? (Отговор:(–∞; log 2 3) ; номер √2 е решение на това неравенство.)

Заключение.

Има много методи за сравняване на логаритми. Целта на уроците по тази тема е да се научи човек да се ориентира в разнообразието от методи, да избира и прилага най-рационалния метод за решение във всяка конкретна ситуация.

В класове със задълбочено изучаване на математика материалът по тази тема може да бъде представен под формата на лекция. Тази форма на учебна дейност предполага, че лекционният материал трябва да бъде внимателно подбран, разработен и подреден в определена логическа последователност. Записките, които учителят прави на дъската, трябва да са обмислени и математически точни.

Препоръчително е да консолидирате лекционния материал и да практикувате умения за решаване на проблеми в практическите уроци. Целта на уъркшопа е не само да затвърди и провери придобитите знания, но и да ги разшири. Следователно задачите трябва да съдържат задачи от различни нива, от най-простите задачи до задачите с повишена сложност. Учителят на такива работилници действа като консултант.

Литература.

1. Галицки М.Л.и др.. Задълбочено изучаване на курса по алгебра и математически анализ: Метод. препоръки и учебни материали: Наръчник за учители , - М.: Образование, 1986.
2. Зив Б.Г., Голдич В.А.Дидактически материали по алгебра и основен анализ за 10 клас. – Санкт Петербург: „ЧеРо на Нева”, 2003 г.
3. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.Работилница по елементарна математика. Алгебра. Тригонометрия: Учебно издание. – М.: Образование, 1990.
4. Рязановски А.Р.Алгебра и началото на анализа: 500 начина и метода за решаване на задачи по математика за ученици и постъпващи в университети. – М.: Дропла, 2001.
5. Садовничи Ю.В.Математика. Състезателни задачи по алгебра с решения. Част 4. Логаритмични уравнения, неравенства, системи. Учебник.-3-то изд., ст.-М .: Издателски отдел на UNTsDO, 2003.
6. Шаригин И.Ф., Голубев В.И.Избираема дисциплина по математика: Решаване на задачи: Учеб. помощ за 11 клас. средно училище – М.: Просвещение, 1991.

В раздела относно въпроса как да сравняваме логаритми, когато....(+)? дадено от автора пресейтенай-добрият отговор е Или можете да не го редуцирате до една основа, а да използвате свойствата на логаритмичната функция.
Ако основата на логаритмична функция е по-голяма от 1, тогава функцията нараства и за x > 1, колкото по-малка е основата, толкова по-високо е разположена графиката,
за 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Ако основата на логаритъма е по-голяма от нула и по-малка от 1, тогава функцията е намаляваща,
Освен това, за x > 1, колкото по-малка е основата, толкова по-висока е графиката,
за 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Ще се получи така:

Отговор от кльощав[гуру]
Намалете логаритмите до една и съща основа (например до естествено число) и след това сравнете.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Отговор от Невропатолог[гуру]
Използвайте формулата за преместване към нова база: log(a)b=1/log(b)a.
След това сравнете знаменателите на дроби като логаритми с една и съща основа.
От две дроби с еднакви числители, дробта с по-малък знаменател е по-голяма.
Например log(7)16 и log(3)16
1/log(16)7 и 1/log(16)3
Тъй като log(16)7>log(16)3, тогава 1/log(16)7< 1/log(16)3.