ارائه برای درس "مقایسه لگاریتم ها" مطالب برای آمادگی برای امتحان دولتی واحد (GIA) در جبر (پایه 11) با موضوع. خواص اصلی لگاریتم ها لگاریتم ها را با مثال های پایه های مختلف مقایسه کنید

خواص اصلی.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

زمینه های یکسان

Log6 4 + log6 9.

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم.

نمونه هایی از حل لگاریتم

اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x >

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

انتقال به یک پایه جدید

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

همچنین ببینید:

ویژگی های اصلی لگاریتم

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.

3.

4. جایی که .

مثال 2. x if را پیدا کنید

مثال 3. اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید. این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم.

فرمول های لگاریتمی لگاریتم ها راه حل هایی را مثال می زنند.

ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

همچنین ببینید:

لگاریتم b به پایه a بیانگر عبارت است. محاسبه لگاریتم به معنای یافتن توان x () است که در آن برابری برآورده می شود

ویژگی های اصلی لگاریتم

دانستن ویژگی های فوق ضروری است، زیرا تقریباً تمام مسائل و مثال های مربوط به لگاریتم ها بر اساس آنها حل می شود. بقیه خواص عجیب و غریب را می توان از طریق دستکاری های ریاضی با این فرمول ها به دست آورد

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

هنگام محاسبه فرمول مجموع و تفاضل لگاریتم ها (3.4) اغلب با آنها روبرو می شوید. بقیه تا حدودی پیچیده هستند، اما در تعدادی از کارها برای ساده کردن عبارات پیچیده و محاسبه مقادیر آنها ضروری هستند.

موارد رایج لگاریتم ها

برخی از لگاریتم های رایج آنهایی هستند که در آنها پایه حتی ده، نمایی یا دو است.
لگاریتم پایه ده معمولاً لگاریتم اعشاری نامیده می شود و به سادگی با lg(x) نشان داده می شود.

از ضبط مشخص است که اصول اولیه در ضبط نوشته نشده است. مثلا

لگاریتم طبیعی لگاریتمی است که پایه آن یک توان است (با ln(x) نشان داده می شود).

توان 2.718281828 است…. برای به خاطر سپردن توان، می توانید قانون را مطالعه کنید: توان برابر با 2.7 و دو برابر سال تولد لئو نیکولایویچ تولستوی است. با دانستن این قانون، هم ارزش دقیق نما و هم تاریخ تولد لئو تولستوی را خواهید دانست.

و لگاریتم مهم دیگری برای پایه دو با نشان داده می شود

مشتق لگاریتم یک تابع برابر است با تقسیم بر متغیر

لگاریتم انتگرال یا ضد مشتق با رابطه تعیین می شود

مطالب داده شده برای شما کافی است تا بتوانید کلاس وسیعی از مسائل مربوط به لگاریتم و لگاریتم را حل کنید. برای کمک به درک مطالب، من فقط چند مثال رایج از برنامه درسی مدارس و دانشگاه ها را بیان می کنم.

مثال هایی برای لگاریتم ها

عبارات لگاریتمی

مثال 1.
آ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

با استفاده از خواص 3.5 محاسبه می کنیم

2.
با خاصیت اختلاف لگاریتم داریم

3.
با استفاده از خواص 3.5 پیدا می کنیم

4. جایی که .

یک عبارت به ظاهر پیچیده با استفاده از تعدادی قانون ساده شده است

یافتن مقادیر لگاریتمی

مثال 2. x if را پیدا کنید

راه حل. برای محاسبه، ما برای آخرین ترم 5 و 13 خواص اعمال می کنیم

ما آن را ثبت می کنیم و عزاداری می کنیم

از آنجایی که پایه ها برابر هستند، عبارات را برابر می کنیم

لگاریتم ها سطح اول.

اجازه دهید مقدار لگاریتم داده شود

محاسبه log(x) if

راه حل: بیایید یک لگاریتم از متغیر در نظر بگیریم تا لگاریتم را از مجموع عبارت های آن بنویسیم.

این تازه شروع آشنایی ما با لگاریتم ها و خواص آنهاست. محاسبات را تمرین کنید، مهارت های عملی خود را غنی کنید - به زودی به دانشی که برای حل معادلات لگاریتمی به دست می آورید نیاز خواهید داشت. پس از مطالعه روش های اساسی برای حل چنین معادلاتی، دانش شما را به یک موضوع به همان اندازه مهم - نابرابری های لگاریتمی گسترش می دهیم.

ویژگی های اصلی لگاریتم ها

لگاریتم ها، مانند هر اعداد، از هر نظر قابل جمع، تفریق و تبدیل هستند. اما از آنجایی که لگاریتم ها دقیقاً اعداد معمولی نیستند، در اینجا قوانینی وجود دارد که نامیده می شوند خواص اصلی.

شما قطعاً باید این قوانین را بدانید - بدون آنها، یک مشکل لگاریتمی جدی نمی تواند حل شود. علاوه بر این، تعداد بسیار کمی از آنها وجود دارد - می توانید همه چیز را در یک روز یاد بگیرید. پس بیایید شروع کنیم.

جمع و تفریق لگاریتم

دو لگاریتم با پایه های یکسان را در نظر بگیرید: لوگاکس و لوگی. سپس می توان آنها را جمع و تفریق کرد و:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = لوگا (x: y).

پس مجموع لگاریتم ها برابر لگاریتم حاصلضرب است و تفاوت آن برابر لگاریتم ضریب است. لطفا توجه داشته باشید: نکته کلیدی اینجاست زمینه های یکسان. اگر دلایل متفاوت است، این قوانین کار نمی کند!

این فرمول‌ها به شما کمک می‌کنند یک عبارت لگاریتمی را حتی زمانی که بخش‌های جداگانه آن در نظر گرفته نمی‌شوند محاسبه کنید (به درس "لگاریتم چیست" مراجعه کنید). به نمونه ها دقت کنید و ببینید:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log6 4 + log6 9.

از آنجایی که لگاریتم ها پایه های یکسانی دارند، از فرمول جمع استفاده می کنیم:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log2 48 − log2 3.

پایه ها یکسان هستند، ما از فرمول تفاوت استفاده می کنیم:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log3 135 − log3 5.

باز هم پایه ها یکسان هستند، بنابراین داریم:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

همانطور که می بینید، عبارات اصلی از لگاریتم های "بد" تشکیل شده اند که به طور جداگانه محاسبه نمی شوند. اما پس از تبدیل ها اعداد کاملا نرمال به دست می آید. بسیاری از آزمایش ها بر اساس این واقعیت است. بله، عبارات شبیه به آزمون با جدیت تمام (گاهی اوقات تقریباً بدون تغییر) در آزمون یکپارچه دولت ارائه می شود.

استخراج توان از لگاریتم

حالا بیایید کار را کمی پیچیده کنیم. اگر پایه یا آرگومان لگاریتم یک توان باشد چه؟ سپس توان این درجه را می توان طبق قوانین زیر از علامت لگاریتم خارج کرد:

به راحتی می توان فهمید که آخرین قانون از دو قانون اول پیروی می کند. اما به هر حال بهتر است آن را به خاطر بسپارید - در برخی موارد میزان محاسبات را به میزان قابل توجهی کاهش می دهد.

البته، اگر ODZ لگاریتم رعایت شود، همه این قوانین منطقی هستند: a > 0، a ≠ 1، x > 0. و یک چیز دیگر: یاد بگیرید که همه فرمول ها را نه تنها از چپ به راست، بلکه برعکس اعمال کنید. ، یعنی می توانید اعداد قبل از علامت لگاریتم را در خود لگاریتم وارد کنید.

نحوه حل لگاریتم

این چیزی است که اغلب مورد نیاز است.

وظیفه. مقدار عبارت log7 496 را بیابید.

بیایید با استفاده از فرمول اول از درجه در استدلال خلاص شویم:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که مخرج شامل یک لگاریتمی است که پایه و آرگومان آن توان های دقیق هستند: 16 = 24; 49 = 72. داریم:

فکر می کنم مثال آخر نیاز به توضیح دارد. لگاریتم ها کجا رفته اند؟ تا آخرین لحظه ما فقط با مخرج کار می کنیم. ما پایه و استدلال لگاریتم ایستاده در آنجا را به شکل توان ارائه کردیم و توان ها را خارج کردیم - کسری "سه طبقه" به دست آوردیم.

حالا بیایید به کسر اصلی نگاه کنیم. صورت و مخرج دارای یک عدد هستند: log2 7. از آنجایی که log2 7 ≠ 0 است، می توانیم کسر را کاهش دهیم - 2/4 در مخرج باقی می ماند. با توجه به قواعد حساب، چهار را می توان به صورتگر منتقل کرد، کاری که انجام شد. نتیجه این شد: 2.

انتقال به یک پایه جدید

در مورد قوانین جمع و تفریق لگاریتم ها، من به طور خاص تأکید کردم که آنها فقط با پایه های مشابه کار می کنند. اگر دلایل متفاوت باشد چه؟ اگر آنها قدرت های دقیق یکسان نباشند چه؟

فرمول های انتقال به یک بنیاد جدید به کمک می آیند. اجازه دهید آنها را در قالب یک قضیه فرموله کنیم:

اجازه دهید لوگوکس لگاریتمی داده شود. سپس برای هر عدد c به طوری که c > 0 و c ≠ 1، برابری درست است:

به طور خاص، اگر c = x را تنظیم کنیم، به دست می آید:

از فرمول دوم برمی‌آید که پایه و آرگومان لگاریتم را می‌توان عوض کرد، اما در این حالت کل عبارت «برگردانده می‌شود»، یعنی. لگاریتم در مخرج ظاهر می شود.

این فرمول ها به ندرت در عبارات عددی معمولی یافت می شوند. ارزیابی راحت بودن آنها فقط هنگام حل معادلات لگاریتمی و نابرابری ها امکان پذیر است.

با این حال، مشکلاتی وجود دارد که به هیچ وجه نمی توان آنها را حل کرد، مگر با حرکت به یک پایه جدید. بیایید به چند مورد از این موارد نگاه کنیم:

وظیفه. مقدار عبارت را پیدا کنید: log5 16 log2 25.

توجه داشته باشید که آرگومان های هر دو لگاریتم دارای توان های دقیق هستند. بیایید نشانگرها را برداریم: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

حالا بیایید لگاریتم دوم را "معکوس" کنیم:

از آنجایی که حاصلضرب هنگام تنظیم مجدد فاکتورها تغییر نمی کند، ما با آرامش چهار و دو را ضرب کردیم و سپس با لگاریتم ها برخورد کردیم.

وظیفه. مقدار عبارت log9 100 lg 3 را بیابید.

پایه و آرگومان لگاریتم اول توانهای دقیق هستند. بیایید این را بنویسیم و از شر شاخص ها خلاص شویم:

حالا بیایید با حرکت به یک پایه جدید از شر لگاریتم اعشاری خلاص شویم:

هویت لگاریتمی پایه

اغلب در فرآیند حل، لازم است یک عدد به عنوان لگاریتم به یک پایه معین نشان داده شود. در این مورد، فرمول های زیر به ما کمک می کند:

در حالت اول، عدد n به توان آرگومان تبدیل می شود. عدد n می تواند مطلقاً هر چیزی باشد، زیرا فقط یک مقدار لگاریتمی است.

فرمول دوم در واقع یک تعریف بازنویسی شده است. به این می گویند: .

در واقع اگر عدد b به قدری افزایش یابد که عدد b به این توان عدد a را بدهد چه اتفاقی می افتد؟ درست است: نتیجه همان عدد a است. این پاراگراف را دوباره با دقت بخوانید - بسیاری از مردم در آن گیر می کنند.

مانند فرمول های انتقال به یک پایه جدید، هویت لگاریتمی پایه گاهی اوقات تنها راه حل ممکن است.

وظیفه. معنی عبارت را پیدا کنید:

توجه داشته باشید که log25 64 = log5 8 - به سادگی مربع را از پایه و آرگومان لگاریتم گرفت. با در نظر گرفتن قوانین ضرب توان با پایه یکسان، به دست می آوریم:

اگر کسی نمی داند، این یک کار واقعی از آزمون یکپارچه دولتی بود :)

واحد لگاریتمی و صفر لگاریتمی

در پایان، من دو هویت را ارائه خواهم داد که به سختی می توان آنها را ویژگی نامید - بلکه آنها پیامدهای تعریف لگاریتم هستند. آنها دائماً در مشکلات ظاهر می شوند و در کمال تعجب حتی برای دانش آموزان "پیشرفته" نیز مشکل ایجاد می کنند.

1. logaa = 1 است. یک بار برای همیشه به یاد داشته باشید: لگاریتم به هر پایه a از خود آن پایه برابر با یک است.
2. لوگا 1 = 0 است. پایه a می تواند هر چیزی باشد، اما اگر آرگومان دارای یک باشد، لگاریتم برابر با صفر است! زیرا a0 = 1 نتیجه مستقیم این تعریف است.

این همه خواص است. حتما تمرین کنید که آنها را عملی کنید! برگه تقلب را در ابتدای درس دانلود کرده و پرینت بگیرید و مشکلات را حل کنید.

بیا شروع کنیم با خواص لگاریتم یک. فرمول آن به صورت زیر است: لگاریتم وحدت برابر با صفر است، یعنی 1=0 را ثبت کنیدبرای هر a>0، a≠1. اثبات کار دشواری نیست: از آنجایی که 0 = 1 برای هر a که شرایط فوق را ارضا می کند a>0 و a≠1، پس ثبت تساوی a 1=0 که باید ثابت شود بلافاصله از تعریف لگاریتم تبعیت می کند.

اجازه دهید مثال هایی از کاربرد خاصیت در نظر گرفته شده ارائه دهیم: log 3 1=0، log1=0 و .

بیایید به ملک بعدی برویم: لگاریتم یک عدد مساوی با پایه برابر با یک است، به این معنا که، ورود a=1برای a>0، a≠1. در واقع، از آنجایی که a 1 =a برای هر a، پس طبق تعریف لگاریتم log a=1 است.

نمونه هایی از استفاده از این ویژگی لگاریتم برابری های log 5 5=1، log 5.6 5.6 و lne=1 هستند.

به عنوان مثال، log 2 2 7 =7، log10 -4 =-4 و .

لگاریتم حاصل ضرب دو عدد مثبت x و y برابر است با حاصل ضرب لگاریتم این اعداد: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . بیایید خاصیت لگاریتم یک محصول را ثابت کنیم. با توجه به خواص درجه a log a x+log a y =a log a x ·a log a yو از آنجایی که با هویت لگاریتمی اصلی یک log a x =x و یک log a y =y است، سپس یک log a x ·a log a y =x·y. بنابراین، یک log a x+log a y =x·y، که با تعریف لگاریتم، برابری در حال اثبات از آن به دست می‌آید.

بیایید مثال هایی از استفاده از ویژگی لگاریتم یک محصول را نشان دهیم: log 5 (2 3) = log 5 2 + log 5 3 و .

خاصیت لگاریتم یک محصول را می توان به حاصل ضرب عدد محدود n از اعداد مثبت x 1 , x 2 , …, x n تعمیم داد. log a (x 1 · x 2 ·… · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . این برابری بدون مشکل قابل اثبات است.

به عنوان مثال، لگاریتم طبیعی حاصلضرب را می توان با مجموع سه لگاریتم طبیعی اعداد 4، e و.

لگاریتم ضریب دو عدد مثبت x و y برابر است با اختلاف لگاریتم این اعداد. خاصیت لگاریتم یک ضریب منطبق بر فرمولی از فرم است که در آن a>0، a≠1، x و y برخی اعداد مثبت هستند. اعتبار این فرمول و همچنین فرمول لگاریتم یک محصول ثابت شده است: از آنجا که ، سپس با تعریف لگاریتم.

در اینجا مثالی از استفاده از این ویژگی لگاریتم آورده شده است: .

بیایید به ادامه مطلب برویم ویژگی لگاریتم توان. لگاریتم یک درجه برابر است با حاصل ضرب توان و لگاریتم مدول پایه این درجه. اجازه دهید این ویژگی لگاریتم یک توان را به صورت فرمول بنویسیم: log a b p =p·log a |b|، که در آن a>0، a≠1، b و p اعدادی هستند به طوری که درجه b p معنی دارد و b p > 0.

ابتدا این خاصیت را برای مثبت b ثابت می کنیم. هویت لگاریتمی پایه به ما این امکان را می دهد که عدد b را به صورت log a b، سپس b p =(a log a b) p نمایش دهیم و عبارت حاصل، به دلیل خاصیت توان، برابر با p·log a b است. بنابراین به برابری b p = a p·log a b می رسیم که از آن با تعریف لگاریتم نتیجه می گیریم که log a b p = p·log a b.

باقی می ماند که این خاصیت برای منفی b ثابت شود. در اینجا توجه می کنیم که عبارت log a b p برای منفی b فقط برای توان های زوج p معنی دارد (زیرا مقدار درجه b p باید بزرگتر از صفر باشد، در غیر این صورت لگاریتم معنی نخواهد داشت) و در این مورد b p =|b| پ. سپس b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|، از آنجا log a b p =p·log a |b| .

مثلا، و ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

از ملک قبلی بر می آید ویژگی لگاریتم از ریشه: لگاریتم ریشه n برابر است با حاصل ضرب کسری 1/n توسط لگاریتم عبارت رادیکال، یعنی ، که در آن a>0، a≠1، n یک عدد طبیعی بزرگتر از یک است، b>0.

اثبات بر اساس برابری (نگاه کنید به) است که برای هر b مثبت معتبر است، و خاصیت لگاریتم توان: .

در اینجا مثالی از استفاده از این ویژگی آورده شده است: .

حالا بیایید ثابت کنیم فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدیدنوع . برای این کار کافی است صحت log برابری c b=log a b·log c a را اثبات کنیم. هویت لگاریتمی پایه به ما این امکان را می دهد که عدد b را به صورت log a b نمایش دهیم، سپس log c b=log c a log a b را نشان دهیم. باقی مانده است که از ویژگی لگاریتم درجه استفاده کنیم: log c a log a b =log a b log c a. این log برابری c b=log a b·log c a را ثابت می کند، به این معنی که فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم نیز ثابت شده است.

بیایید چند مثال از استفاده از این خاصیت لگاریتم را نشان دهیم: and .

فرمول انتقال به یک پایه جدید به شما امکان می دهد تا به کار با لگاریتم هایی بروید که پایه "مناسب" دارند. برای مثال می توان از آن برای رفتن به لگاریتم های طبیعی یا اعشاری استفاده کرد تا بتوانید مقدار لگاریتم را از جدول لگاریتم محاسبه کنید. فرمول انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید همچنین در برخی موارد امکان یافتن مقدار لگاریتم معین را هنگامی که مقادیر برخی از لگاریتم ها با پایه های دیگر مشخص است، می دهد.

یک مورد خاص از فرمول برای انتقال به یک پایه لگاریتمی جدید برای c=b فرم اغلب استفاده می شود . این نشان می دهد که log a b و log b a – . به عنوان مثال، .

فرمول نیز اغلب استفاده می شود ، که برای یافتن مقادیر لگاریتمی مناسب است. برای تأیید کلمات خود، نشان خواهیم داد که چگونه می توان از آن برای محاسبه مقدار لگاریتم فرم استفاده کرد. ما داریم . برای اثبات فرمول کافی است از فرمول انتقال به پایه جدید لگاریتم a استفاده کنید: .

باقی مانده است که خواص مقایسه لگاریتم ها را اثبات کنیم.

اجازه دهید ثابت کنیم که برای هر عدد مثبت b 1 و b 2، b 1 log a b 2 و برای a>1 - نابرابری log a b 1

در نهایت، باید آخرین ویژگی لگاریتم ها را ثابت کرد. اجازه دهید خود را به اثبات قسمت اول آن محدود کنیم، یعنی ثابت کنیم که اگر 1 >1، 2 >1 و a 1 1 درست است log a 1 b>log a 2 b . گزاره های باقی مانده از این خاصیت لگاریتم بر اساس اصل مشابهی ثابت می شوند.

از روش مخالف استفاده کنیم. فرض کنید که برای 1 > 1، 2 > 1 و 1 1 درست است log a 1 b≤log a 2 b . بر اساس ویژگی های لگاریتم، این نابرابری ها را می توان به صورت بازنویسی کرد و به ترتیب، و از آنها چنین است که به ترتیب log b a 1 ≤log b a 2 و log b a 1 ≥log b a 2. سپس، با توجه به ویژگی‌های توان‌های دارای پایه‌های یکسان، برابری‌های b log b a 1 ≥b log b a 2 و b log b a 1 ≥b log b a 2 باید برقرار باشند، یعنی a 1 ≥a 2 . بنابراین به تناقض با شرط a 1 رسیدیم

کتابشناسی - فهرست کتب.

• کولموگروف A.N.، Abramov A.M.، Dudnitsyn Yu.P. جبر و آغاز تحلیل: کتاب درسی پایه دهم تا یازدهم موسسات آموزش عمومی.
• گوسف V.A.، Mordkovich A.G. ریاضیات (راهنمای برای کسانی که وارد دانشکده فنی می شوند).

مقایسه مقادیر لگاریتم یا مقدار لگاریتم با تعداد معینی در تمرین حل مسئله مدرسه نه تنها به عنوان یک کار مستقل رخ می دهد. مثلاً هنگام حل معادلات و نابرابری ها باید لگاریتم ها را با هم مقایسه کنید. مطالب مقاله (مسائل و راه حل های آنها) بر اساس اصل "از ساده به پیچیده" تنظیم شده است و می توان از آن برای تهیه و برگزاری درس (دروس) در مورد این موضوع و همچنین در کلاس های انتخابی استفاده کرد. تعداد وظایف در نظر گرفته شده در یک درس به سطح کلاس و حوزه تخصصی آن بستگی دارد. در کلاس های ریاضی پیشرفته می توان از این مطالب برای یک درس سخنرانی دو ساعته استفاده کرد.

1. (شفاهی.) کدام یک از توابع در حال افزایش و کدام یک کاهش هستند:

اظهار نظر.این تمرین یک تمرین مقدماتی است.

2. (شفاهی.)مقایسه با صفر:

اظهار نظر. هنگام حل تمرین شماره 2 می توانید با استفاده از نمودار تابع لگاریتمی هم از ویژگی های تابع لگاریتمی استفاده کنید و هم از موارد زیر. خاصیت مفید:

اگر اعداد مثبت a و b روی خط عددی سمت راست 1 یا سمت چپ 1 قرار داشته باشند (یعنی a>1 و b>1 یا 0 0 ;
اگر اعداد مثبت a و b روی خط عددی طرف مقابل 1 قرار داشته باشند (یعنی 0 .

بیایید استفاده از این ویژگی را نشان دهیم در تصمیم شماره 2 (الف).

از آنجایی که تابع y = log 7 tافزایش می یابد R+، 10 > 7، سپس log 7 10 > log 7 7، یعنی log 7 10 > 1. بنابراین، اعداد مثبت sin3 و log 7 10 در دو طرف 1 قرار دارند. بنابراین، log sin3 log 7 10< 0.

3. (شفاهی.) خطا در استدلال را پیدا کنید:

تابع y = lgtبا R + افزایش می یابد، سپس ,

اجازه دهید هر دو طرف آخرین نابرابری را بر تقسیم کنیم. دریافت می کنیم که 2 > 3.

راه حل.

اعداد مثبت و 10 (پایه لگاریتم) در دو طرف مقابل 1 قرار دارند. این بدان معنی است که< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (شفاهی.) مقایسه اعداد:

اظهار نظر.هنگام حل تمرین های شماره 4 (a-c)، از خاصیت یکنواختی تابع لگاریتمی استفاده می کنیم. برای راه حل شماره 4(d)، از ویژگی استفاده می کنیم:

اگر c > a > 1، آنگاه برای b>1 log نابرابری a b > log c b درست است.

راه حل 4 (د).

از 1< 5 < 7 и 13 >1، سپس log 5 13 > log 7 13.

5. اعداد را با هم مقایسه کنیدلاگ 2 6 و 2.

راه حل.

راه اول (با استفاده از یکنواختی تابع لگاریتمی).

تابع y = log 2 tافزایش می یابد R+، 6 > 4. بنابراین، log 2 6 > log 2 4و گزارش 2 5 > 2.

روش دوم (انشاء تفاوت).

بیایید تفاوت را جبران کنیم.

6. اعداد را با هم مقایسه کنید و -1.

تابع y =کاهش می یابد R+ , 3 < 5. Значит, >و > -1 .

7. اعداد را با هم مقایسه کنید و 3log 8 26 .

تابع y = log 2 tافزایش می یابد R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

راه اول

بیایید هر دو طرف نابرابری را در 3 ضرب کنیم:

تابع y = log 5 tافزایش می یابد R+ ، 27 > 25. بنابراین،

راه دوم

بیایید تفاوت را جبران کنیم
. از اینجا.

9. ثبت اعداد 4 26 را با هم مقایسه کنید و لاگ 6 17.

بیایید لگاریتم ها را تخمین بزنیم، با در نظر گرفتن اینکه توابع y = log 4 t و y = log 6 t افزایش می یابد R+:

با توجه به اینکه توابع کاهش می یابد R+، ما داریم:

به معنای،

اظهار نظر. روش مقایسه پیشنهادی نامیده می شود روش "درج".یا روش "جدایی".(ما عدد 4 را پیدا کردیم که این دو عدد را از هم جدا می کند).

11. ثبت اعداد 2 3 را با هم مقایسه کنید و لاگ 3 5.

توجه داشته باشید که هر دو لگاریتم بزرگتر از 1 اما کمتر از 2 هستند.

راه اول بیایید سعی کنیم از روش "جداسازی" استفاده کنیم. بیایید لگاریتم ها را با عدد مقایسه کنیم.

روش دوم ( ضرب در یک عدد طبیعی).

نکته 1. ذات روش “ضرب در یک عدد طبیعی” این است که ما به دنبال یک عدد طبیعی هستیم ک، هنگامی که در آن اعداد مقایسه ضرب می شود آو باین اعداد را دریافت کنید کاو کیلوبایتکه حداقل یک عدد صحیح بین آنها وجود دارد.

نکته 2. در صورتی که اعداد مورد مقایسه بسیار نزدیک به یکدیگر باشند، اجرای روش فوق می تواند بسیار پر زحمت باشد.
در این مورد، می توانید مقایسه را امتحان کنید روش تفریق یک" بیایید آن را با مثال زیر نشان دهیم.

12. ثبت اعداد 7 8 را با هم مقایسه کنید و لاگ 6 7.

راه اول (یک را کم کنید).

1 را از اعداد مقایسه شده کم کنید.

در نابرابری اول از این واقعیت استفاده کردیم که

اگر c > a > 1، برای b > 1 log نابرابری a b > log c b درست است.

در نابرابری دوم - یکنواختی تابع y = log a x.

راه دوم (کاربرد نابرابری کوشی).

13. ثبت اعداد 24 72 را با هم مقایسه کنید و ثبت 12 18.

14. ثبت اعداد 20 80 را با هم مقایسه کنید و log 80 640.

اجازه دهید log 2 5 = ایکس. توجه کنید که ایکس > 0.

نابرابری می گیریم.

بیایید راه حل های زیادی برای نابرابری پیدا کنیم، ارضای شرط x > 0.

اجازه دهید هر دو طرف نابرابری را بسازیم مربع (در ایکس> 0 هر دو طرف نابرابری مثبت هستند). ما 9x2 داریم< 9x + 28.

مجموعه راه حل های آخرین نابرابری بازه است.

با توجه به اینکه ایکس> 0، دریافت می کنیم: .

پاسخ: نابرابری درست است.

کارگاه حل مسئله.

1. اعداد را با هم مقایسه کنید:

2. اعداد را به ترتیب صعودی مرتب کنید:

3. نابرابری را حل کنید 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . شماره است √2 راه حل این نابرابری؟ (پاسخ:(–∞؛ log 2 3) ; عدد √2 راه حلی برای این نابرابری است.)

نتیجه.

روش های زیادی برای مقایسه لگاریتم ها وجود دارد. هدف از درس های این موضوع این است که به فرد بیاموزد در انواع روش ها پیمایش کند، منطقی ترین روش حل را در هر موقعیت خاص انتخاب و به کار گیرد.

در کلاس هایی با مطالعه عمیق ریاضیات می توان مطالب مربوط به این موضوع را به صورت سخنرانی ارائه کرد. این شکل از فعالیت آموزشی پیش‌فرض می‌گیرد که مطالب سخنرانی باید با دقت انتخاب شود، کار شود و در یک دنباله منطقی خاص تنظیم شود. یادداشت هایی که معلم روی تخته می گذارد باید متفکرانه و از نظر ریاضی دقیق باشد.

توصیه می شود مطالب سخنرانی را ادغام کنید و مهارت های حل مسئله را در دروس عملی تمرین کنید. هدف از برگزاری کارگاه نه تنها تثبیت و آزمایش دانش کسب شده، بلکه گسترش آن است. بنابراین، وظایف باید شامل وظایف سطوح مختلف، از ساده ترین وظایف تا وظایف با پیچیدگی بیشتر باشد. معلم در چنین کارگاه هایی به عنوان مشاور عمل می کند.

ادبیات.

1. گالیتسکی ام.ال.و دیگران مطالعه عمیق درس جبر و تحلیل ریاضی: روش. توصیه ها و مواد آموزشی: کتابچه راهنمای معلمان - M.: آموزش و پرورش، 1986.
2. Ziv B.G.، Goldich V.A.مطالب آموزشی در مورد جبر و تجزیه و تحلیل پایه برای کلاس 10. – سن پترزبورگ: «CheRo-on-Neva»، 2003.
3. لیتویننکو V.N.، Mordkovich A.G.کارگاه ریاضیات ابتدایی. جبر. مثلثات: نشریه آموزشی. - م.: آموزش و پرورش، 1990.
4. ریازانوفسکی A.R.جبر و آغاز تجزیه و تحلیل: 500 راه و روش حل مسائل ریاضی برای دانش آموزان و دانشجویان ورودی به دانشگاه. - M.: Bustard، 2001.
5. سادوونیچی یو.و.ریاضیات. مسائل رقابت در جبر با راه حل. بخش 4. معادلات لگاریتمی، نابرابری ها، سیستم ها. کتاب درسی - ویرایش سوم، ster.-M.: بخش انتشارات UNTsDO، 2003.
6. شاریگین I.F.، Golubev V.I.درس اختیاری در ریاضیات: حل مسئله: Proc. کمک هزینه کلاس یازدهم دبیرستان - M.: Prosveshchenie، 1991.

در قسمت سوال چگونه لگاریتم ها را در زمانی که ....(+) مقایسه کنیم؟ توسط نویسنده ارائه شده است الک کردنبهترین پاسخ این است یا نمی توانید آن را به یک پایه کاهش دهید، بلکه از ویژگی های تابع لگاریتمی استفاده کنید.
اگر پایه یک تابع لگاریتمی بزرگتر از 1 باشد، تابع افزایش می یابد و برای x > 1، هرچه پایه کوچکتر باشد، نمودار بالاتر قرار می گیرد.
برای 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
اگر پایه لگاریتم بزرگتر از صفر و کوچکتر از 1 باشد، تابع در حال کاهش است.
علاوه بر این، برای x > 1، هرچه پایه کوچکتر باشد، نمودار بالاتر است.
برای 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
اینجوری میشه:

پاسخ از لاغر[گورو]
لگاریتم ها را به یک پایه کاهش دهید (مثلاً به یک عدد طبیعی) و سپس مقایسه کنید.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

پاسخ از متخصص نوروپاتولوژی[گورو]
از فرمول انتقال به یک پایه جدید استفاده کنید: log(a)b=1/log(b)a.
سپس مخرج کسری مانند لگاریتم را با پایه یکسان مقایسه کنید.
از دو کسر با اعداد یکسان، کسری با مخرج کوچکتر بزرگتر است.
برای مثال، log(7)16 و log(3)16
1/log(16)7 و 1/log(16)3
از آنجایی که log(16)7>log(16)3، سپس 1/log(16)7< 1/log(16)3.