تعیین رتبه. رتبه ماتریسی

اجازه دهید مقداری ماتریس داده شود:

.

اجازه دهید در این ماتریس انتخاب کنیم رشته های دلخواه و ستون های دلخواه
. سپس تعیین کننده مرتبه ام، از عناصر ماتریسی تشکیل شده است
، که در محل تقاطع سطرها و ستون های انتخاب شده قرار دارد، مینور نامیده می شود ماتریس مرتبه ام
.

تعریف 1.13.رتبه ماتریسی
بزرگترین مرتبه مینور غیر صفر این ماتریس است.

برای محاسبه رتبه یک ماتریس، باید تمام مینورهای آن را با کمترین مرتبه در نظر گرفت و اگر حداقل یکی از آنها با صفر متفاوت بود، به در نظر گرفتن مینورهای بالاترین مرتبه اقدام کرد. این رویکرد برای تعیین رتبه یک ماتریس، روش مرزی (یا روش مرزبندی خردسالان) نامیده می شود.

مشکل 1.4.با استفاده از روش مرزبندی مینورها، رتبه ماتریس را تعیین کنید
.

.

به عنوان مثال، لبه های مرتبه اول را در نظر بگیرید،
. سپس به بررسی لبه های مرتبه دوم می پردازیم.

مثلا،
.

در نهایت، بیایید حاشیه‌های مرتبه سوم را تحلیل کنیم.

.

بنابراین بالاترین ترتیب یک مینور غیر صفر 2 است، بنابراین
.

هنگام حل مسئله 1.4، می توانید متوجه شوید که تعدادی از مینورهای مرزی مرتبه دوم غیر صفر هستند. در این رابطه مفهوم زیر کاربرد دارد.

تعریف 1.14.مینور پایه یک ماتریس هر مینور غیر صفر است که ترتیب آن برابر با رتبه ماتریس باشد.

قضیه 1.2.(قضیه جزئی پایه). ردیف های پایه (ستون های پایه) به صورت خطی مستقل هستند.

توجه داشته باشید که سطرها (ستون‌های) یک ماتریس به صورت خطی وابسته هستند اگر و تنها در صورتی که حداقل یکی از آنها را بتوان به صورت ترکیبی خطی از بقیه نشان داد.

قضیه 1.3.تعداد ردیف‌های ماتریس مستقل خطی برابر با تعداد ستون‌های ماتریس مستقل خطی و برابر با رتبه ماتریس است.

قضیه 1.4.(شرط لازم و کافی برای اینکه تعیین کننده برابر با صفر باشد). به منظور تعیین کننده - مرتبه برابر صفر بود، لازم و کافی است که ردیف ها (ستون های) آن به صورت خطی وابسته باشند.

محاسبه رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف آن بسیار دشوار است. این امر به ویژه برای ماتریس هایی با مرتبه های بالا مهم می شود. در این راستا، در عمل، رتبه یک ماتریس بر اساس استفاده از قضایای 10.2 - 10.4 و همچنین استفاده از مفاهیم هم ارزی ماتریس و تبدیل های ابتدایی محاسبه می شود.

تعریف 1.15.دو ماتریس
و معادل نامیده می شوند اگر رتبه های آنها مساوی باشد، یعنی.
.

اگر ماتریس ها
و معادل هستند، سپس توجه داشته باشید
 .

قضیه 1.5.رتبه ماتریس به دلیل تبدیلات اولیه تغییر نمی کند.

ما تبدیل های ماتریس ابتدایی را می نامیم
هر یک از عملیات زیر در یک ماتریس:

جایگزینی ردیف ها با ستون ها و ستون ها با ردیف های مربوطه.

تنظیم مجدد ردیف های ماتریس؛

عبور از خطی که همه عناصر آن صفر هستند.

ضرب رشته در عددی غیر از صفر؛

افزودن عناصر یک خط به عناصر یک خط دیگر ضرب در همان عدد
.

نتیجه قضیه 1.5.اگر ماتریس
به دست آمده از ماتریس با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی، سپس ماتریس
و معادل هستند.

هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، باید با استفاده از تعداد محدودی از تبدیل های ابتدایی به شکل ذوزنقه ای کاهش یابد.

تعریف 1.16.ما ذوزنقه شکلی از نمایش یک ماتریس را زمانی می نامیم که در مینور مرزی بالاترین مرتبه غیر از صفر، همه عناصر زیر عناصر مورب ناپدید شوند. مثلا:

.

اینجا
، عناصر ماتریس
برو به صفر سپس شکل نمایش چنین ماتریسی ذوزنقه ای خواهد بود.

به عنوان یک قاعده، ماتریس ها با استفاده از الگوریتم گاوسی به شکل ذوزنقه ای کاهش می یابند. ایده الگوریتم گاوس این است که با ضرب عناصر ردیف اول ماتریس در فاکتورهای مربوطه، به این نتیجه می رسد که تمام عناصر ستون اول در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. سپس با ضرب عناصر ستون دوم در فاکتورهای مربوطه، اطمینان حاصل می کنیم که تمام عناصر ستون دوم در زیر عنصر قرار دارند.
، به صفر تبدیل می شود. سپس به همین ترتیب ادامه دهید.

مشکل 1.5.رتبه یک ماتریس را با کاهش آن به شکل ذوزنقه ای تعیین کنید.

.

برای سهولت استفاده از الگوریتم گاوسی، می توانید خط اول و سوم را با هم عوض کنید.








.

واضح است که اینجا
. با این حال، برای به ارمغان آوردن نتیجه به شکل ظریف تر، می توانید به تغییر ستون ها ادامه دهید.










.

تعریف. رتبه ماتریسیحداکثر تعداد سطرهای مستقل خطی در نظر گرفته شده به عنوان بردار است.

قضیه 1 در رتبه ماتریس. رتبه ماتریسیحداکثر مرتبه مینور غیر صفر یک ماتریس نامیده می شود.

قبلاً در درس تعیین کننده ها در مورد مفهوم جزئی بحث کردیم و اکنون آن را تعمیم می دهیم. بیایید تعداد مشخصی از سطرها و تعدادی ستون معین را در ماتریس در نظر بگیریم، و این «چقدر» باید کمتر از تعداد سطرها و ستون‌های ماتریس باشد و برای سطرها و ستون‌ها این «چند» باید باشد. همان شماره سپس در محل تقاطع چند ردیف و چند ستون، ماتریسی با مرتبه پایین تر از ماتریس اصلی ما وجود خواهد داشت. تعیین کننده یک ماتریس است و اگر مقدار "some" ذکر شده (تعداد سطرها و ستون ها) با k نشان داده شود جزئی از مرتبه k ام خواهد بود.

تعریف.جزئی ( r+1)مین مرتبه، که در آن مینور انتخاب شده قرار دارد rمرتبه -ام مرز برای یک مینور معین نامیده می شود.

دو روش پرکاربرد عبارتند از پیدا کردن رتبه ماتریس. این روش مرزبندی خردسالانو روش تبدیل های ابتدایی(روش گاوس).

هنگام استفاده از روش فرعی مرزی، از قضیه زیر استفاده می شود.

قضیه 2 در رتبه ماتریس.اگر بتوان یک مینور را از عناصر ماتریس تشکیل داد rمرتبه ام، برابر با صفر نیست، پس رتبه ماتریس برابر است با r.

هنگام استفاده از روش تبدیل ابتدایی، از ویژگی زیر استفاده می شود:

اگر از طریق تبدیل های ابتدایی، یک ماتریس ذوزنقه ای معادل ماتریس اصلی به دست آید، آنگاه رتبه این ماتریستعداد خطوط موجود در آن به غیر از خطوطی است که کاملاً از صفر تشکیل شده است.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از روش مرزبندی مینورها

اگر این جزئی از مرتبه بالاتر حاوی مینور معین باشد، یک جزئی از مرتبه بالاتر نسبت به مورد داده شده، جزئی است.

به عنوان مثال، با توجه به ماتریس

بیایید یک خرده بگیریم

خردسالان مرزی عبارتند از:

الگوریتم برای یافتن رتبه یک ماتریسبعد.

1. مینورهای مرتبه دوم که برابر با صفر نیستند را پیدا کنید. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با یک خواهد بود ( r =1 ).

2. اگر حداقل یک مینور از مرتبه دوم وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، مینورهای مرزی مرتبه سوم را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با دو است ( r =2 ).

3. اگر حداقل یکی از مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر نباشد، مینورهای مرزی را ترکیب می کنیم. اگر همه مینورهای مرزی مرتبه چهارم برابر با صفر باشند، رتبه ماتریس برابر با سه است ( r =2 ).

4. تا زمانی که اندازه ماتریس اجازه می دهد به این روش ادامه دهید.

مثال 1.رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

.

راه حل. جزئی از مرتبه دوم .

بیایید آن را مرزبندی کنیم. چهار خردسال مرزی وجود خواهد داشت:

,

,

بنابراین، تمام مینورهای مرزی مرتبه سوم برابر با صفر هستند، بنابراین، رتبه این ماتریس برابر با دو است ( r =2 ).

مثال 2.رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس برابر با 1 است، زیرا تمام مینورهای مرتبه دوم این ماتریس برابر با صفر هستند (در این مورد نیز مانند موارد فرعی حاشیه در دو مثال زیر، از دانش آموزان عزیز دعوت به عمل می آید خود، شاید با استفاده از قوانین برای محاسبه تعیین کننده ها)، و در میان جزئی های مرتبه اول، یعنی در بین عناصر ماتریس، عناصر غیر صفر وجود دارد.

مثال 3.رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. مینور مرتبه دوم این ماتریس است و همه مینورهای مرتبه سوم این ماتریس برابر با صفر هستند. بنابراین، رتبه این ماتریس دو است.

مثال 4.رتبه یک ماتریس را پیدا کنید

راه حل. رتبه این ماتریس 3 است، زیرا تنها مینور مرتبه سوم این ماتریس 3 است.

یافتن رتبه یک ماتریس با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی (روش گاوس)

قبلاً در مثال 1 مشخص است که وظیفه تعیین رتبه یک ماتریس با استفاده از روش مرزبندی مینورها مستلزم محاسبه تعداد زیادی از عوامل تعیین کننده است. با این حال، راهی برای کاهش مقدار محاسبات به حداقل وجود دارد. این روش مبتنی بر استفاده از تبدیل های ماتریس ابتدایی است و روش گاوس نیز نامیده می شود.

عملیات زیر به عنوان تبدیل ماتریس ابتدایی درک می شود:

1) ضرب هر سطر یا ستون ماتریس در عددی غیر از صفر.

2) افزودن عناصر هر سطر یا ستون ماتریس به عناصر مربوط به سطر یا ستون دیگر، ضرب در همان عدد.

3) تعویض دو سطر یا ستون ماتریس.

4) حذف ردیف های "تهی"، یعنی آنهایی که همه عناصر آنها برابر با صفر هستند.

5) حذف تمام خطوط متناسب به جز یک.

قضیه.در طول یک تبدیل ابتدایی، رتبه ماتریس تغییر نمی کند. به عبارت دیگر، اگر از تبدیل های ابتدایی از ماتریس استفاده کنیم آبه سمت ماتریس رفت ب، آن

برای کار با مفهوم رتبه ماتریسی به اطلاعاتی از مبحث "متمم ها و مینورهای جبری. انواع مینورها و متمم های جبری" نیاز خواهیم داشت. اول از همه، این به اصطلاح "ماتریس مینور" مربوط می شود، زیرا ما رتبه ماتریس را دقیقاً از طریق مینورها تعیین خواهیم کرد.

رتبه ماتریسیحداکثر ترتیب مینورهای آن است که در میان آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست.

ماتریس های معادل- ماتریس هایی که رتبه های آنها با یکدیگر برابر است.

اجازه دهید با جزئیات بیشتر توضیح دهیم. فرض کنید در بین خرده‌های مرتبه دوم حداقل یکی وجود دارد که با صفر متفاوت است. و همه خردسالانی که ترتیب آنها بالاتر از دو باشد برابر با صفر هستند. نتیجه گیری: رتبه ماتریس 2 است. یا مثلاً در بین مینورهای مرتبه دهم حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست. و تمامی خردسالانی که ترتیب آنها بالاتر از 10 باشد برابر با صفر می باشد. نتیجه گیری: رتبه ماتریس 10 است.

رتبه ماتریس $A$ به صورت زیر نشان داده می شود: $\rang A$ یا $r(A)$. رتبه ماتریس صفر $O$ صفر، $\rang O=0$ در نظر گرفته شده است. اجازه دهید به شما یادآوری کنم که برای تشکیل یک ماتریس مینور باید سطرها و ستون‌ها را خط بکشید، اما غیرممکن است که ردیف‌ها و ستون‌های بیشتری نسبت به خود ماتریس خط بکشید. به عنوان مثال، اگر ماتریس $F$ دارای اندازه $5\ برابر 4$ باشد (یعنی شامل 5 ردیف و 4 ستون باشد)، حداکثر ترتیب مینورهای آن چهار است. دیگر امکان تشکیل مینورهای مرتبه پنجم وجود نخواهد داشت، زیرا آنها به 5 ستون نیاز دارند (و ما فقط 4 ستون داریم). این بدان معنی است که رتبه ماتریس $F$ نمی تواند بیشتر از چهار باشد، یعنی. $\رنگ F≤4$.

در شکل کلی تر، موارد بالا به این معنی است که اگر یک ماتریس حاوی ردیف های $m$ و ستون های $n$ باشد، رتبه آن نمی تواند از کوچکترین $m$ و $n$ تجاوز کند. $\rang A≤\min(m,n)$.

اصولاً از همان تعریف رتبه، روش یافتن آن دنبال می شود. فرآیند یافتن رتبه یک ماتریس، طبق تعریف، می تواند به صورت شماتیک به صورت زیر نمایش داده شود:

اجازه دهید این نمودار را با جزئیات بیشتری توضیح دهم. بیایید استدلال را از همان ابتدا شروع کنیم، یعنی. از مینورهای مرتبه اول برخی از ماتریس $A$.

1. اگر همه مینورهای مرتبه اول (یعنی عناصر ماتریس $A$) برابر با صفر باشند، آنگاه $\rang A=0$. اگر در بین مینورهای مرتبه اول حداقل یکی وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، آنگاه $\رنگ A≥ 1$ است. بیایید به بررسی خردسالان درجه دوم برویم.
2. اگر همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، آنگاه $\rang A=1$. اگر در بین مینورهای مرتبه دوم حداقل یکی وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، آنگاه $\رنگ A≥ 2$ است. بیایید به بررسی خردسالان درجه سوم برویم.
3. اگر همه مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر باشند، آنگاه $\rang A=2$. اگر در بین مینورهای مرتبه سوم حداقل یکی وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، آنگاه $\رنگ A≥ 3$ است. بیایید به بررسی خردسالان مرتبه چهارم برویم.
4. اگر همه مینورهای مرتبه چهارم برابر با صفر باشند، آنگاه $\rang A=3$. اگر در بین مینورهای مرتبه چهارم حداقل یکی وجود داشته باشد که برابر با صفر نباشد، آنگاه $\رنگ A≥ 4$ است. ما به بررسی خردسالان مرتبه پنجم و غیره می رویم.

در پایان این رویه چه چیزی در انتظار ما است؟ این امکان وجود دارد که در بین مینورهای مرتبه k، حداقل یکی با صفر متفاوت باشد و همه مینورهای مرتبه (k+1) برابر با صفر باشند. این بدان معنی است که k حداکثر مرتبه مینورها است که در بین آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، یعنی. رتبه برابر با k خواهد بود. ممکن است وضعیت متفاوتی وجود داشته باشد: در بین مینورهای مرتبه k حداقل یکی وجود خواهد داشت که برابر با صفر نیست، اما دیگر امکان تشکیل مینورهای مرتبه (k+1) وجود نخواهد داشت. در این حالت، رتبه ماتریس نیز برابر با k است. به اختصار، ترتیب آخرین مینور غیر صفر تشکیل شده برابر با رتبه ماتریس خواهد بود.

بیایید به مثال‌هایی برویم که در آن فرآیند یافتن رتبه یک ماتریس، طبق تعریف، به وضوح نشان داده می‌شود. یک بار دیگر تاکید می کنم که در مثال های این مبحث رتبه ماتریس ها را فقط با استفاده از تعریف رتبه پیدا می کنیم. روش های دیگر (محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از روش مرزبندی مینورها، محاسبه رتبه یک ماتریس با استفاده از روش تبدیل های ابتدایی) در مباحث زیر مورد بحث قرار گرفته است.

ضمناً ، همانطور که در مثال های شماره 1 و شماره 2 انجام شد ، اصلاً لازم نیست که مراحل یافتن رتبه را با افراد خردسال با کوچکترین مرتبه شروع کنید. می توانید فوراً به سراغ افراد خردسال با درجه های بالاتر بروید (به مثال شماره 3 مراجعه کنید).

مثال شماره 1

رتبه ماتریس $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 را پیدا کنید & 0 & 1 \end(آرایه) \راست)$.

این ماتریس دارای اندازه $3\ برابر 5 $ است، یعنی. شامل سه ردیف و پنج ستون است. از اعداد 3 و 5، حداقل 3 است، بنابراین رتبه ماتریس $A$ بیش از 3 نیست، یعنی. $\rang A≤ 3$. و این نابرابری واضح است، زیرا ما دیگر نمی‌توانیم مینورهای مرتبه چهارم را تشکیل دهیم - آنها به 4 ردیف نیاز دارند و ما فقط 3 ردیف داریم. بیایید مستقیماً به روند یافتن رتبه یک ماتریس معین برویم.

در میان مینورهای مرتبه اول (یعنی در بین عناصر ماتریس $A$) موارد غیر صفر وجود دارد. به عنوان مثال، 5، -3، 2، 7. به طور کلی، ما علاقه ای به تعداد کل عناصر غیر صفر نداریم. حداقل یک عنصر غیر صفر وجود دارد - و این کافی است. از آنجایی که در بین مینورهای مرتبه اول حداقل یک غیر صفر وجود دارد، نتیجه می گیریم که $\رنگ A≥ 1$ است و به بررسی مینورهای مرتبه دوم ادامه می دهیم.

بیایید شروع به بررسی خردسالان درجه دوم کنیم. به عنوان مثال، در تقاطع ردیف های شماره 1، شماره 2 و ستون های شماره 1، شماره 4 عناصر جزئی زیر وجود دارد: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(آرایه) \راست| $. برای این تعیین کننده، تمام عناصر ستون دوم برابر با صفر هستند، بنابراین خود تعیین کننده برابر با صفر است، یعنی. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (به ویژگی شماره 3 در مبحث خصوصیات دترمینان مراجعه کنید). یا می توانید به سادگی این دترمینان را با استفاده از فرمول شماره 1 از قسمت محاسبه دترمینال های مرتبه دوم و سوم محاسبه کنید:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

اولین مینور مرتبه دوم که آزمایش کردیم برابر با صفر بود. این یعنی چی؟ در مورد نیاز به بررسی بیشتر خردسالان درجه دوم. یا همه آنها صفر خواهند شد (و سپس رتبه برابر با 1 خواهد بود) یا در بین آنها حداقل یک مینور وجود دارد که با صفر متفاوت است. بیایید با نوشتن یک مینور مرتبه دوم که عناصر آن در محل تلاقی ردیف های شماره 1، شماره 2 و ستون های شماره 1 و شماره 5 قرار دارند، انتخاب بهتری داشته باشیم: $\left|\begin( آرایه)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|$. بیایید مقدار این مینور مرتبه دوم را پیدا کنیم:

$$ \left|\begin(array)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(array) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

این مینور برابر با صفر نیست. نتیجه گیری: در بین خردسالان درجه دوم حداقل یک غیر صفر وجود دارد. بنابراین $\rang A≥ 2$. ما باید به مطالعه خردسالان درجه سوم برویم.

اگر ستون شماره 2 یا ستون شماره 4 را برای تشکیل مینورهای مرتبه سوم انتخاب کنیم، چنین مینورهایی برابر با صفر خواهند بود (زیرا دارای ستون صفر هستند). باقی مانده است که فقط یک مینور مرتبه سوم بررسی شود که عناصر آن در تقاطع ستون های شماره 1، شماره 3، شماره 5 و ردیف های شماره 1، شماره 2، شماره 3 قرار دارند. بیایید این مینور را بنویسیم و مقدار آن را پیدا کنیم:

$$ \left|\begin(array)(cccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(array) \right|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

بنابراین، تمام مینورهای مرتبه سوم برابر با صفر هستند. آخرین مینور غیر صفر که ما گردآوری کردیم مرتبه دوم بود. نتیجه گیری: حداکثر ترتیب مینورها که در بین آنها حداقل یک غیر صفر وجود دارد 2 است. بنابراین $\rang A=2$ است.

پاسخ: $\rang A=2$.

مثال شماره 2

رتبه ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 را پیدا کنید \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

ما یک ماتریس مربع از مرتبه چهارم داریم. بیایید بلافاصله توجه داشته باشیم که رتبه این ماتریس از 4 تجاوز نمی کند، یعنی. $\rang A≤ 4$. بیایید شروع به یافتن رتبه ماتریس کنیم.

در میان مینورهای مرتبه اول (یعنی در میان عناصر ماتریس $A$) حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، بنابراین $\rang A≥ 1$. بیایید به بررسی خردسالان درجه دوم برویم. به عنوان مثال، در محل تلاقی ردیف های شماره 2، شماره 3 و ستون های شماره 1 و شماره 2، مینور مرتبه دوم زیر را به دست می آوریم: $\left| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|$. بیایید آن را محاسبه کنیم:

$$\ چپ| \begin(array) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(array) \right|=0-10=-10. $$

در میان مینورهای مرتبه دوم حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، بنابراین $\رنگ A≥ 2$ است.

بیایید به سراغ خردسالان درجه سوم برویم. بیایید به عنوان مثال، یک فرعی پیدا کنیم که عناصر آن در تقاطع ردیف های شماره 1، شماره 3، شماره 4 و ستون های شماره 1، شماره 2، شماره 4 قرار دارند:

$$\ چپ | \begin(array) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(array) \right|=105-105=0. $$

از آنجایی که این مینور مرتبه سوم برابر با صفر است، لازم است یک مینور مرتبه سوم دیگر بررسی شود. یا همه آنها برابر با صفر خواهند بود (سپس رتبه برابر با 2 خواهد بود) یا در بین آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست (سپس ما شروع به مطالعه خردسالان مرتبه چهارم خواهیم کرد). بیایید یک مینور مرتبه سوم را در نظر بگیریم که عناصر آن در محل تلاقی ردیف های شماره 2، شماره 3، شماره 4 و ستون های شماره 2، شماره 3، شماره 4 قرار دارند:

$$\ چپ| \begin(array) (cccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(array) \right|=-28. $$

در میان مینورهای مرتبه سوم حداقل یک غیر صفر وجود دارد، بنابراین $\رنگ A≥ 3$ است. بیایید به بررسی خردسالان مرتبه چهارم برویم.

هر مینور مرتبه چهارم در محل تلاقی چهار سطر و چهار ستون ماتریس $A$ قرار دارد. به عبارت دیگر، مینور مرتبه چهارم، تعیین کننده ماتریس $A$ است، زیرا این ماتریس شامل 4 سطر و 4 ستون است. تعیین کننده این ماتریس در مثال شماره 2 مبحث "کاهش ترتیب دترمینانت. تجزیه دترمینانت در یک ردیف (ستون)" محاسبه شده است، بنابراین فقط نتیجه نهایی را می گیریم:

$$\ چپ| \ آغاز (آرایه) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \end (آرایه)\right|=86. $$

بنابراین مینور مرتبه چهارم برابر با صفر نیست. ما دیگر نمی توانیم خردسالان درجه پنجم را تشکیل دهیم. نتیجه گیری: بالاترین مرتبه مینورها که در بین آنها حداقل یک غیر صفر وجود دارد 4 است. نتیجه: $\rang A=4$.

پاسخ: $\rang A=4$.

مثال شماره 3

رتبه ماتریس $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 را پیدا کنید \end(آرایه) \راست)$.

بیایید بلافاصله توجه کنیم که این ماتریس شامل 3 ردیف و 4 ستون است، بنابراین $\rang A≤ 3$ است. در مثال‌های قبلی، فرآیند یافتن رتبه را با در نظر گرفتن مینورهای کوچک‌ترین (اول) مرتبه آغاز کردیم. در اینجا ما سعی خواهیم کرد فوراً خردسالان را با بالاترین مرتبه ممکن بررسی کنیم. برای ماتریس $A$ اینها مینورهای مرتبه سوم هستند. بیایید یک مینور مرتبه سوم را در نظر بگیریم که عناصر آن در محل تلاقی ردیف های شماره 1، شماره 2، شماره 3 و ستون های شماره 2، شماره 3، شماره 4 قرار دارند:

$$\ چپ| \begin(array) (cccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(array) \right|=-8-60-20=-88. $$

بنابراین، بالاترین مرتبه مینورها، که در میان آنها حداقل یکی وجود دارد که برابر با صفر نیست، 3 است. بنابراین، رتبه ماتریس 3 است، یعنی. $\rang A=3$.

پاسخ: $\rang A=3$.

به طور کلی، یافتن رتبه یک ماتریس بر اساس تعریف، در حالت کلی، یک کار نسبتاً فشرده است. به عنوان مثال، یک ماتریس نسبتا کوچک به اندازه $5\ برابر 4 $ دارای 60 مینور درجه دوم است. و حتی اگر 59 عدد از آنها برابر با صفر باشد، ممکن است مینور 60 غیر صفر باشد. سپس شما باید مینورهای مرتبه سوم را مطالعه کنید که این ماتریس دارای 40 قطعه است. معمولاً سعی می‌کنند از روش‌های کمتر دست و پا گیر استفاده کنند، مانند روش مرزبندی خرده‌ها یا روش تبدیل‌های معادل.

رتبه ماتریسیبزرگترین مرتبه مینورهای غیر صفر آن نامیده می شود. رتبه یک ماتریس با یا نشان داده می شود.

اگر همه مینورهای مرتبه یک ماتریس معین برابر با صفر باشند، آنگاه همه فرعی های مرتبه بالاتر یک ماتریس معین نیز برابر با صفر هستند. این از تعریف تعیین کننده به دست می آید. این شامل یک الگوریتم برای یافتن رتبه یک ماتریس است.

اگر همه مینورهای مرتبه اول (عناصر ماتریس) برابر با صفر باشند، آنگاه . اگر حداقل یکی از مینورهای مرتبه اول با صفر متفاوت باشد و همه مینورهای مرتبه دوم برابر با صفر باشند، آنگاه . علاوه بر این، کافی است فقط به آن دسته از مینورهای درجه دوم نگاه کنیم که با مینورهای مرتبه اول غیر صفر هم مرز هستند. اگر مینور مرتبه دوم غیر از صفر وجود دارد، مینورهای مرتبه سوم را که در حاشیه مینور مرتبه دوم غیر صفر قرار دارند بررسی کنید. این کار تا زمانی ادامه می یابد که به یکی از این دو مورد برسند: یا همه مینورهای مرتبه ای که در مرز یک مینور غیر صفر از مرتبه هفتم قرار دارند برابر با صفر هستند یا چنین موارد فرعی وجود ندارد. سپس .

مثال 10. رتبه یک ماتریس را محاسبه کنید.

مینور مرتبه اول (عنصر) غیر صفر است. جزئی اطراف آن نیز برابر با صفر نیست.

همه این مینورها برابر با صفر هستند که به معنی .

الگوریتم داده شده برای یافتن رتبه یک ماتریس همیشه راحت نیست، زیرا با محاسبه تعداد زیادی از عوامل تعیین کننده همراه است. هنگام محاسبه رتبه یک ماتریس، استفاده از تبدیل های ابتدایی راحت تر است، که با کمک آنها ماتریس به شکل ساده ای کاهش می یابد که مشخص است رتبه آن چیست.

تبدیلات ماتریس ابتداییتبدیل های زیر نامیده می شوند:

Ø ضرب یک ردیف (ستون) ماتریس در عددی غیر از صفر.

Ø اضافه کردن به یک ردیف (ستون) یک ردیف دیگر (ستون)، ضرب در یک عدد دلخواه.

پولوژوردانوفتبدیل ردیف های ماتریس:

با یک عنصر حل، مجموعه ای از تبدیل های زیر با ردیف های ماتریسی است:

Ø به خط اول 0 اضافه کنید، ضرب در عدد و غیره.

Ø به خط آخر yu ضرب در عدد اضافه کنید.

تبدیل نیمه اردن ستون های ماتریسبا یک عنصر حل، مجموعه ای از تبدیل های زیر با ستون های ماتریسی است:

Ø th را به ستون اول، ضرب در عدد و غیره اضافه کنید.

Ø th را به آخرین ستون ضرب در عدد اضافه کنید.

پس از انجام این تبدیل ها، ماتریس به دست می آید:

تبدیل نیمه اردن سطرها یا ستون های یک ماتریس مربع، تعیین کننده آن را تغییر نمی دهد.

تبدیل های ماتریس ابتدایی رتبه آن را تغییر نمی دهد. اجازه دهید با مثال نشان دهیم که چگونه رتبه یک ماتریس را با استفاده از تبدیل های ابتدایی محاسبه کنیم. سطرها (ستون ها) به صورت خطی وابسته هستند.

هر ماتریسی آسفارش m×nرا می توان به عنوان یک مجموعه در نظر گرفت متربردار رشته یا nبردارهای ستونی

رتبهماتریس ها آسفارش m×nحداکثر تعداد بردارهای ستونی یا ردیفی مستقل خطی است.

اگر رتبه ماتریس آبرابر است r، سپس نوشته شده است:

پیدا کردن رتبه یک ماتریس

اجازه دهید آماتریس سفارش دلخواه متر× n. برای پیدا کردن رتبه یک ماتریس آروش حذف گاوسی را برای آن اعمال می کنیم.

توجه داشته باشید که اگر در مرحله ای از حذف عنصر پیشرو برابر با صفر باشد، این خط را با خطی که عنصر پیشرو در آن با صفر متفاوت است تعویض می کنیم. اگر معلوم شد که چنین خطی وجود ندارد، به ستون بعدی و غیره بروید.

پس از فرآیند حذف گاوسی رو به جلو، ماتریسی به دست می آوریم که عناصر آن در زیر قطر اصلی برابر با صفر است. علاوه بر این، ممکن است بردارهای ردیف صفر وجود داشته باشد.

تعداد بردارهای ردیف غیر صفر رتبه ماتریس خواهد بود آ.

بیایید با مثال های ساده به همه اینها نگاه کنیم.

مثال 1.

با ضرب سطر اول در 4 و جمع کردن به سطر دوم و ضرب سطر اول در 2 و جمع کردن سطر سوم داریم:

خط دوم را در -1 ضرب کنید و به خط سوم اضافه کنید:

ما دو ردیف غیر صفر دریافت کردیم و بنابراین، رتبه ماتریس 2 است.

مثال 2.

بیایید رتبه ماتریس زیر را پیدا کنیم:

خط اول را در -2 ضرب کرده و به خط دوم اضافه کنید. به همین ترتیب، عناصر ردیف سوم و چهارم ستون اول را بازنشانی می کنیم:

بیایید عناصر ردیف سوم و چهارم ستون دوم را با اضافه کردن سطرهای مربوطه به ردیف دوم ضرب در عدد -1 تنظیم مجدد کنیم.