قضیه نیمساز. نیمساز مثلث

در این درس به طور مفصل به خواص نقاطی که روی نیمساز یک زاویه قرار دارند و نقاطی که روی نیمساز عمود بر یک پاره قرار دارند نگاه خواهیم کرد.

موضوع: دایره

درس: ویژگی های نیمساز یک زاویه و عمود بر یک پاره

بیایید ویژگی های نقطه ای را در نظر بگیریم که روی نیمساز یک زاویه قرار دارد (شکل 1 را ببینید).

برنج. 1

زاویه داده شده است، نیمساز آن AL است، نقطه M روی نیمساز قرار دارد.

قضیه:

اگر نقطه M روی نیمساز یک زاویه قرار گیرد، از اضلاع زاویه به یک اندازه فاصله دارد، یعنی فواصل نقطه M تا AC و تا BC اضلاع زاویه برابر است.

اثبات:

مثلث و . اینها مثلث های قائم الزاویه هستند و مساوی هستند زیرا ... یک فرضیه AM مشترک دارند و زوایا مساوی هستند، زیرا AL نیمساز زاویه است. بنابراین، مثلث های قائم الزاویه از نظر هیپوتانوز و زاویه تند برابر هستند، نتیجه آن چیزی است که باید ثابت شود. بنابراین، نقطه ای از نیمساز یک زاویه از اضلاع آن زاویه به یک اندازه فاصله دارد.

قضیه معکوس درست است.

اگر نقطه ای از اضلاع یک زاویه توسعه نیافته فاصله داشته باشد، آنگاه روی نیمساز خود قرار می گیرد.

برنج. 2

یک زاویه توسعه نیافته، نقطه M داده می شود، به طوری که فاصله از آن تا دو طرف زاویه یکسان است (شکل 2 را ببینید).

ثابت کنید که نقطه M روی نیمساز زاویه قرار دارد.

اثبات:

فاصله یک نقطه تا یک خط طول عمود است. از نقطه M عمودهای MK را به سمت AB و MR را به سمت AC رسم می کنیم.

مثلث و . اینها مثلث های قائم الزاویه هستند و مساوی هستند زیرا ... دارای یک هیپوتانوز مشترک AM هستند، پاها MK و MR بر اساس شرایط برابر هستند. بنابراین، مثلث های قائم الزاویه در هیپوتنوز و ساق برابر هستند. از تساوی مثلث ها، زوایای مساوی در مقابل اضلاع مساوی قرار دارند، بنابراین، بنابراین نقطه M روی نیمساز زاویه داده شده قرار دارد.

قضایای مستقیم و معکوس را می توان با هم ترکیب کرد.

قضیه

نیمساز یک زاویه توسعه نیافته جایگاه نقاطی است که از اضلاع یک زاویه معین فاصله دارند.

قضیه

نیمسازهای AA 1، BB 1، СС 1 مثلث در یک نقطه O قطع می شوند (شکل 3 را ببینید).

برنج. 3

اثبات:

اجازه دهید ابتدا دو نیمساز BB 1 و CC 1 را در نظر بگیریم. آنها قطع می کنند، نقطه تقاطع O وجود دارد. برای اثبات این موضوع، اجازه دهید برعکس را فرض کنیم - حتی اگر این نیمسازها همدیگر را قطع نکنند، در این صورت موازی هستند. سپس خط مستقیم BC یک مقطع است و مجموع زوایا ، این در تضاد با این واقعیت است که در کل مثلث مجموع زاویه ها است.

پس نقطه O از تقاطع دو نیمساز وجود دارد. بیایید خواص آن را در نظر بگیریم:

نقطه O روی نیمساز زاویه قرار دارد، به این معنی که از اضلاع BA و BC فاصله دارد. اگر OK عمود بر BC باشد، OL عمود بر BA باشد، طول این عمودها برابر است - . همچنین نقطه O روی نیمساز زاویه قرار دارد و از اضلاع CB و CA به یک اندازه فاصله دارد، عمودهای OM و OK برابر هستند.

برابری های زیر را به دست آوردیم:

یعنی هر سه عمودی که از نقطه O به اضلاع مثلث افتاده اند با هم برابرند.

ما به برابری عمودهای OL و OM علاقه مندیم. این تساوی می گوید که نقطه O از اضلاع زاویه به یک اندازه فاصله دارد، بنابراین روی نیمساز آن AA 1 قرار دارد.

بنابراین، ما ثابت کردیم که هر سه نیمساز یک مثلث در یک نقطه قطع می شوند.

بیایید به بررسی بخش، عمود بر آن و ویژگی های نقطه ای که روی نیمساز عمود قرار دارد، ادامه دهیم.

یک قطعه AB داده شده است، p عمود بر عمود بر آن است. این بدان معنی است که خط مستقیم p از وسط قطعه AB می گذرد و بر آن عمود است.

قضیه

برنج. 4

هر نقطه ای که روی نیمساز عمود قرار گیرد از انتهای قطعه فاصله دارد (شکل 4 را ببینید).

ثابت کنیم که

اثبات:

مثلث و . آنها مستطیل و مساوی هستند، زیرا. دارای یک پایه OM مشترک، و پاهای AO و OB بر اساس شرایط برابر هستند، بنابراین، ما دو مثلث قائم الزاویه داریم که در دو پا مساوی هستند. نتیجه می شود که فرضیه های مثلث ها نیز برابرند، یعنی آنچه باید ثابت می شد.

توجه داشته باشید که قطعه AB یک وتر مشترک برای بسیاری از دایره ها است.

به عنوان مثال، اولین دایره با مرکز در نقطه M و شعاع MA و MB. دایره دوم با مرکز در نقطه N، شعاع NA و NB.

بنابراین، ما ثابت کرده‌ایم که اگر نقطه‌ای روی نیم‌ساز عمود بر یک پاره قرار گیرد، از انتهای قطعه به یک اندازه فاصله دارد (شکل 5 را ببینید).

برنج. 5

قضیه معکوس درست است.

قضیه

اگر نقطه معینی M از انتهای یک پاره مساوی فاصله داشته باشد، آنگاه روی نیمساز عمود بر این قطعه قرار می گیرد.

با توجه به یک قطعه AB، یک نیمساز عمود بر آن p، یک نقطه M با فاصله مساوی از انتهای قطعه (شکل 6 را ببینید).

ثابت کنید که نقطه M روی عمود بر عمود بر پاره قرار دارد.

برنج. 6

اثبات:

مثلثی را در نظر بگیرید. طبق شرایط متساوی الساقین است. میانه یک مثلث را در نظر بگیرید: نقطه O وسط پایه AB است، OM میانه است. با توجه به ویژگی یک مثلث متساوی الساقین، میانه ای که به قاعده آن کشیده شده است، هم ارتفاع و هم نیمساز است. نتیجه می شود که . اما خط p نیز عمود بر AB است. می دانیم که در نقطه O می توان یک عمود بر پاره AB رسم کرد، به این معنی که خطوط OM و p بر هم منطبق هستند، نتیجه می شود که نقطه M متعلق به خط مستقیم p است، چیزی که باید ثابت کنیم.

قضایای مستقیم و معکوس را می توان تعمیم داد.

قضیه

عمود بر یک پاره، مکان نقاطی است که از انتهای آن فاصله دارند.

همانطور که می دانید یک مثلث از سه قسمت تشکیل شده است که به این معنی است که می توان سه نیمساز عمود بر آن رسم کرد. معلوم می شود که آنها در یک نقطه تلاقی می کنند.

نیمسازهای عمود بر مثلث در یک نقطه همدیگر را قطع می کنند.

یک مثلث داده شده است. عمود بر اضلاع آن: P 1 به سمت BC، P 2 به سمت AC، P 3 به سمت AB (نگاه کنید به شکل 7).

ثابت کنید که عمودهای P 1، P 2 و P 3 در نقطه O قطع می شوند.

امروز یک درس بسیار آسان خواهد بود. ما فقط یک شی - نیمساز زاویه - را در نظر می گیریم و مهمترین خاصیت آن را ثابت می کنیم که در آینده برای ما بسیار مفید خواهد بود.

فقط آرام نگیرید: گاهی اوقات دانش‌آموزانی که می‌خواهند در همان آزمون یکپارچه دولتی یا یک آزمون دولتی یکپارچه نمره بالایی کسب کنند، حتی نمی‌توانند به طور دقیق تعریف نیم‌ساز را در درس اول بیان کنند.

و به جای انجام کارهای واقعا جالب، وقت خود را بر روی چنین چیزهای ساده ای تلف می کنیم. پس بخوانید، تماشا کنید و بپذیرید:)

برای شروع، یک سوال کمی عجیب و غریب: زاویه چیست؟ درست است: یک زاویه به سادگی دو پرتو است که از یک نقطه ساطع می شود. مثلا:

مثال هایی از زاویه ها: تند، مبهم و راست

همانطور که از تصویر می بینید، زاویه ها می توانند حاد، مبهم، مستقیم باشند - اکنون مهم نیست. اغلب برای راحتی، یک نقطه اضافی روی هر پرتو مشخص می شود و می گویند که در مقابل ما زاویه $AOB$ است (که به صورت $\angle AOB$ نوشته می شود).

به نظر می رسد Captain Obviousness اشاره می کند که علاوه بر پرتوهای $OA$ و $OB$، همیشه می توان تعداد زیادی پرتو از نقطه $O$ ترسیم کرد. اما در میان آنها یک مورد خاص وجود خواهد داشت - او نیمساز نامیده می شود.

تعریف. نیمساز یک زاویه پرتویی است که از راس آن زاویه خارج شده و زاویه را نصف می کند.

برای زوایای بالا، نیمسازها به شکل زیر خواهند بود:

نمونه هایی از نیمسازها برای زوایای تند، منفرد و راست

از آنجایی که در نقشه های واقعی همیشه واضح نیست که یک پرتو خاص (در مورد ما پرتو $OM$ است) زاویه اصلی را به دو برابر تقسیم می کند، در هندسه مرسوم است که زوایای مساوی را با همان تعداد کمان علامت گذاری کنیم. در نقاشی ما این 1 قوس برای زاویه تند، دو برای مبهم، سه برای مستقیم است).

خوب، ما تعریف را مرتب کردیم. اکنون باید بدانید که نیمساز چه ویژگی هایی دارد.

ویژگی اصلی نیمساز زاویه

در واقع نیمساز خواص زیادی دارد. و حتما در درس بعدی به آنها نگاه خواهیم کرد. اما یک ترفند وجود دارد که باید همین الان آن را درک کنید:

قضیه. نیمساز یک زاویه مکان نقاطی است که از اضلاع یک زاویه معین فاصله دارند.

از ریاضی به روسی ترجمه شده است، این به معنای دو واقعیت است:

1. هر نقطه ای که روی نیمساز یک زاویه معین قرار گیرد در همان فاصله از اضلاع این زاویه قرار دارد.
2. و بالعکس: اگر نقطه ای در فاصله یکسانی از اضلاع یک زاویه قرار گیرد، مطمئناً روی نیمساز این زاویه قرار می گیرد.

قبل از اثبات این گزاره ها، اجازه دهید یک نکته را روشن کنیم: فاصله یک نقطه تا ضلع یک زاویه دقیقاً چیست؟ در اینجا تعیین خوب قدیمی فاصله از یک نقطه تا یک خط به ما کمک می کند:

تعریف. فاصله یک نقطه تا یک خط، طول عمود رسم شده از یک نقطه معین به این خط است.

برای مثال، یک خط $l$ و یک نقطه $A$ را در نظر بگیرید که روی این خط قرار ندارد. اجازه دهید یک عمود بر $AH$ رسم کنیم که در آن $H\in l$ است. سپس طول این عمود، فاصله از نقطه $A$ تا خط مستقیم $l$ خواهد بود.

نمایش گرافیکی فاصله از یک نقطه تا یک خط

از آنجایی که یک زاویه به سادگی دو پرتو است و هر پرتو تکه ای از یک خط مستقیم است، تعیین فاصله از یک نقطه تا اضلاع یک زاویه آسان است. اینها فقط دو عمود هستند:

فاصله نقطه تا اضلاع زاویه را تعیین کنید

همین! اکنون می دانیم که فاصله چیست و نیمساز چیست. بنابراین می توانیم خاصیت اصلی را اثبات کنیم.

همانطور که وعده داده شده بود، برهان را به دو بخش تقسیم می کنیم:

1. فواصل نقطه روی نیمساز تا اضلاع زاویه یکسان است

یک زاویه دلخواه با راس $O$ و نیمساز $OM$ را در نظر بگیرید:

اجازه دهید ثابت کنیم که این نقطه $M$ در همان فاصله از اضلاع زاویه قرار دارد.

اثبات اجازه دهید از نقطه $M$ عمود بر اضلاع زاویه رسم کنیم. بیایید آنها را $M((H)_(1))$ و $M((H)_(2))$ بنامیم:

عمود بر اضلاع زاویه رسم کنید

ما دو مثلث قائم الزاویه به دست آوردیم: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. آنها یک فرضیه مشترک $OM$ و زوایای برابر دارند:

1. $\angle MO((H)_(1))=\ زاویه MO((H)_(2))$ بر اساس شرط (از آنجایی که $OM$ یک نیمساز است);
2. $\angle M((H)_(1))O=\زاویه M((H)_(2))O=90()^\circ $ بر اساس ساخت;
3. $\angle OM((H)_(1))=\ زاویه OM((H)_(2))=90()^\circ -\angle MO((H)_(1))$، زیرا مجموع زوایای تند مثلث قائم الزاویه همیشه 90 درجه است.

در نتیجه، مثلث ها در ضلع و دو زاویه مجاور برابر هستند (به علائم تساوی مثلث ها مراجعه کنید). بنابراین، به طور خاص، $M((H)_(2))=M((H)_(1))$، یعنی. فواصل نقطه $O$ تا اضلاع زاویه در واقع برابر است. Q.E.D. :)

2. اگر فواصل مساوی باشند، نقطه روی نیمساز قرار دارد

اکنون وضعیت برعکس شده است. اجازه دهید یک زاویه $O$ و یک نقطه $M$ به مساوی از اضلاع این زاویه داده شود:

اجازه دهید ثابت کنیم که پرتو $OM$ یک نیمساز است، یعنی. $\ زاویه MO((H)_(1))=\زاویه MO((H)_(2))$.

اثبات ابتدا، بیایید این پرتو $OM$ را ترسیم کنیم، در غیر این صورت چیزی برای اثبات وجود نخواهد داشت:

پرتو $OM$ را در داخل گوشه هدایت کرد

دوباره دو مثلث قائم الزاویه دریافت می کنیم: $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$. بدیهی است که آنها برابر هستند زیرا:

1. Hypotenuse $OM$ - general;
2. پاها $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ بر اساس شرط (در نهایت، نقطه $M$ از اضلاع زاویه به یک اندازه فاصله دارد).
3. پاهای باقی مانده نیز برابر هستند، زیرا توسط قضیه فیثاغورث $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

بنابراین، مثلث $\vartriangle OM((H)_(1))$ و $\vartriangle OM((H)_(2))$ در سه ضلع. به طور خاص، زاویه آنها برابر است: $\angle MO((H)_(1))=\ زاویه MO((H)_(2))$. و این فقط به این معنی است که $OM$ یک نیمساز است.

برای نتیجه گیری، زوایای مساوی به دست آمده را با کمان قرمز مشخص می کنیم:

نیمساز زاویه $\angle ((H)_(1))O((H)_(2))$ را به دو مساوی تقسیم می کند.

همانطور که می بینید، هیچ چیز پیچیده ای نیست. ما ثابت کرده‌ایم که نیم‌ساز یک زاویه، جایگاه نقاطی است که با اضلاع این زاویه فاصله دارند.

اکنون که کم و بیش در مورد اصطلاحات تصمیم گرفته ایم، زمان آن است که به سطح بعدی برویم. در درس بعدی به ویژگی های پیچیده تر نیمساز نگاه خواهیم کرد و یاد خواهیم گرفت که چگونه آنها را برای حل مسائل واقعی به کار ببریم.

وزارت آموزش و پرورش و علوم جمهوری تاتارستان

اداره آموزش کمیته اجرایی

ناحیه شهرداری بوگولما جمهوری تاتارستان

بوگلما

MBOU دبیرستان شماره 1 با مطالعه عمیق موضوعات فردی

کلاس: 9 A

کار تحقیقاتی

موضوع:نیمساز زاویه یک مثلث

دانشجو: الکساندروف A.A.

رئیس: چوکانوا I.I.

بوگلما، 2012

محتوا.

1. معرفی …………………………………………………………………………3

2-قسمت اصلی:

2.1. فرمول بندی قضیه روی نیمساز یک مثلث…………………4

2.2. روشهای مختلف برای اثبات قضیه نیمساز زاویه مثلث……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

2.21. روش تشابه…………………………………………………………………………

2.22. روش مساحت……………………………………………………5

2.23. دایره محدود……………………………………………………………………

2.24 قضیه سینوس ها. ………………………………………………………6

2.25. روش برداری…………………………………………………………………

2.26. اثبات با استفاده از تقارن محوری……………………

2.3. حل مسائل برنامه………………………………………..8

2.31. حل مسائل از کتاب درسی……………………………………………………………

2.32. حل مسائل المپیاد……………………………………………

3. نتیجه گیری ………………………………………………………………...........10

4. ادبیات استفاده شده …………………………………………………….11

1. معرفی.

اولین مفاهیم هندسی در دوران ماقبل تاریخ به وجود آمد. انسان نه تنها طبیعت را منفعلانه مشاهده کرد، بلکه عملاً بر ثروت آن تسلط یافت و از آن استفاده کرد. نیازهای مادی مردم را به ساختن ابزار، تراش سنگ و ساختن خانه، مجسمه سازی سفال و ریسمان کمان واداشت. مردم کمان های خود را می کشیدند، اشیاء مختلفی با لبه های مستقیم می ساختند و به تدریج به مفهوم انتزاعی خط مستقیم می رسیدند.

فعالیت عملی انسان به عنوان مبنایی برای فرآیند طولانی توسعه مفاهیم انتزاعی و کشف ساده‌ترین وابستگی‌ها و روابط هندسی بود.

با گذشت زمان، هنگامی که تعداد زیادی از حقایق هندسی انباشته شد، مردم شروع به تعمیم، درک وابستگی برخی از عناصر به برخی دیگر، ایجاد پیوندها و اثبات های منطقی کردند. هندسه تبدیل شده استعلم تنها پس از ظهور قضایا و براهین در آن است.

از جمله حقایق هندسی اساسی، قضیه نیمساز زاویه یک مثلث است.

قضیه نیمساز مثلث اغلب در حل مسائل هندسی استفاده می شود. قضیه جالب است زیرا روش های زیادی برای اثبات آن وجود دارد (روش تشابه، روش مساحت ها، روش حرکت و غیره). این مقاله تنها 4 راه برای اثبات این قضیه قابل توجه ارائه می دهد.

هدف و اهداف مطالعه:

اثبات قضیه نیمساز زاویه مثلث را مطالعه کنید.

یاد بگیرید که با نقاشی کار کنید.

حل مسائل با استفاده از قضیه.

مسائل عملی را بنویسید و حل کنید.

بخش اصلی.

2.1. بیان قضیه در نیمساز زاویه یک مثلث.

قضیه: نیمساز یک زاویه داخلی مثلث تقسیم می شود

طرف مقابل را به قطعات متناسب با

اضلاع مجاور مثلث

اگرBD– نیمساز ∆ABC، سپس برابری.

2.2. روش های مختلف برای اثبات قضیه نیمساز

زاویه یک مثلث

2.21. روش تشابه

یه دایرکت بزنیممتربه موازات نیمسازBD.

ABD =  DBC(زیراBD- نیمساز).

DBC = BCD₁ (زیرامترǁ BDوقبل از میلاد مسیح.- مقطع).

BD₁ سی = ABD(زیرامترǁ BDوBD₁ - مقطع).

BCD₁ = BD₁ سی.

پس ∆BCD₁ - متساوی الساقین=> قبل از میلاد مسیح.= BD₁ .

∆ABD ∆ آگهی₁ سی(در دو گوشه).

از این رو:

Q.E.D.

2.22. روش مساحت.

∆ را در نظر بگیریدABDو ∆CBD.

اس ∆ ABD : اس ∆ CBD = آگهی : دیج (از زمانی کهساعت- ارتفاع کل).

BD– نیمساز ∆ABC. هر نقطه از نیمسازBDفاصله مساوی از

مهمانی ∆ ABC. به معنایD.H. = DM- ارتفاعات ∆ ABDو ∆CBD.

اس ∆ ABD : اس ∆ CBD = AB : قبل از میلاد مسیح..

بنابراین: AB: BC = AD: Dبا=> AB: AD = قبل از میلاد: Dبا.

Q.E.D.

2.23. دایره محدود.

بیایید اطراف Δ را توصیف کنیمABCدایره. بیا ادامه بدهیمBDبه تقاطع با

دایره در نقطه E

∆B.A.E.∆ BDC(در دو گوشه). به معنای: (1).

∆B.C.E.∆ بد(در دو گوشه). به معنای: (2).

از آنجایی که ∆ACE- متساوی الساقین، پسA.E. = C.E.. سپسAB ∙ DC = قبل از میلاد ∙ AD=>

Q.E.D.

2.24. با توجه به قضیه سینوس ها.

در یک مثلثABCABD =  DBC = β (زیراBD– نیمساز ∆ABC).

∆ را در نظر بگیریدABD. طبق قانون سینوس ها: (1).

∆ را در نظر بگیریدBCD. طبق قانون سینوس ها:

(2).

از این رو:.

Q.E.D.

2.25.روش برداری.

برای هر نقطه D از بخش AC بردار ,

جایی کهک = و 1-ک = .

واقعا،

در مورد ما، بردار به موازات بردار ∙ + ∙ ,

و بنابراین = : ، سپس = ، جایی که = .

Q.E.D.

2.26. تقارن محوری.

بیایید تقارن محوری را انجام دهیماسمثلثABCبه طور نسبیBD,

ما گرفتیماس BD (الف) = الف 1 , اس BD (C) = C 1 واس BD (ب) = ب.

سپس ∆CDC 1 ∆ ADA 1 (در دو گوشه) و ∆ СС 1 ب ∆ A.A. 1 ب(در دو گوشه).

AB = آ 1 ب(از آنجا که ∆ABA 1 - متساوی الساقین).

سپس و . از این رو، .

Q.E.D.

2.3 حل مشکلات برنامه

2.31. تکلیف از کتاب درسی.

میانه و ارتفاع مثلث را به سه قسمت مساوی تقسیم می کند. زوایای مثلث را پیدا کنید.

∆ ACH=∆ MCHدر امتداد ساق و زاویه حاد.

بنابراین ∆A.C.M - متساوی الساقین، AN=HM. اجازه دهید AN = NM = a، MV = 2a.

با توجه به ویژگی نیمساز SM ∆اچخورشید داریم: . سپس CB=2CH،

RSVN=30⁰ ، РВСН = 60⁰ , β =30 ⁰ ، РС=90⁰

پاسخ: 30⁰ , 60 ⁰ , 90 ⁰ .

2.32. وظیفه المپیاد.

در مثلث ABC اضلاع AB و BC به ترتیب با نقاط M و N با BM = BN مشخص شده اند. خطی عمود بر BC از نقطه M و خطی عمود بر AB از نقطه N رسم می شود. این خطوط در نقطه O قطع می شوند. امتداد قطعه BO ضلع AC را در نقطه P قطع می کند و آن را به قطعات AP = 5 و PC = 4 تقسیم می کند.

داده شده:

ВС=6cm، ВК=4cm، ВК- نیمساز ∆ АВС.

KS = 3 سانتی متر،آر ∆ BKC= 1 سانتی متراس ∆ ABC=60 سانتی متر مربع

پیدا کنید: AB.

راه حل:

1. 3. مساحت مثلث هایی که دارای ارتفاع مساوی هستند با هم مرتبط هستند

در این کار، با استناد به روش‌های مختلف این اثبات، نشان دادم که قضیه چقدر جهانی است.

درک آن آسان است، اما در عین حال به من در حل مسائل بسیار پیچیده و گیج کننده کمک می کند.

با مطالعه این قضیه، چیزهای جدید زیادی برای خودم کشف کردم، دانش خود را گسترش دادم و فکر می کنم که راه را برای مطالعه بیشتر هندسه هموار کردم..

4. ادبیات مورد استفاده.

ضمیمه مجله KVANT شماره 1/1995.

مقالات: L.N. Smolyakov. 13 اثبات دیگر قضیه در مورد

نیمساز.//کوانت، شماره 2، 1985.

S.R. Sefibekov. چهار برهان قضیه درباره

نیمساز.//کوانت، شماره 8، 1362.

L. S. Atanasyan، V. F. Butuzov، S. B. Kadomtsev، E. G. Poznyak، I. I.

یودینا. کتاب درسی موسسات آموزش عمومی.

روشنگری، 2003.

آی اف شاریگین. هندسه پایه های 7-9. مسکو، انتشارات

"Bustard"، 1997.

مجموعه یکپارچه TsOR.

گ.ک.پاک. "نصف ساز". سریال: آماده شدن برای ریاضی

المپیک ولادی وستوک، 2003.

دوباره سلام! اولین چیزی که می خواهم در این ویدیو به شما نشان دهم این است که قضیه نیمساز چیست، دومین چیز این است که اثبات آن را به شما ارائه دهم. بنابراین، ما یک مثلث دلخواه داریم، مثلث ABC. و من نیمساز این گوشه بالا را می کشم. این را می توان برای هر یک از سه زاویه انجام داد، اما من یکی از زاویه های بالا را انتخاب کردم (این کار اثبات قضیه را کمی آسان تر می کند). بنابراین، نیمساز این زاویه، ABC را رسم می کنیم. و حالا این گوشه سمت چپ برابر با این گوشه سمت راست است. بیایید نقطه تقاطع نیمساز را با ضلع AC D بنامیم. قضیه نیمساز بیان می کند که نسبت اضلاع جدا شده توسط این نیمساز... خوب، می بینید: من نیمساز را رسم کردم - و از مثلث بزرگ ABC دو مثلث کوچکتر بدست آمدند. بنابراین، طبق قضیه نیمساز، نسبت های بین دو ضلع دیگر این مثلث های کوچکتر (یعنی بدون احتساب ضلع نیمساز) برابر خواهد بود. آن ها این قضیه بیان می کند که نسبت AB/AD برابر با نسبت BC/CD خواهد بود. من این را با رنگ های مختلف علامت گذاری می کنم. نسبت AB (این طرف) به AD (این طرف) برابر با نسبت BC (این طرف) به CD (این طرف) خواهد بود. جالب هست! نگرش این طرف به این برابر است با نگرش این طرف به این... یک نتیجه عالی، اما بعید است که حرف من را قبول کنید و قطعاً می خواهید که ما آن را برای خودمان ثابت کنیم. و شاید حدس زده باشید که از آنجایی که ما اکنون برخی نسبت های ثابت داریم، با استفاده از شباهت مثلث ها قضیه را اثبات خواهیم کرد. متأسفانه برای ما، این دو مثلث لزوما شبیه هم نیستند. می دانیم که این دو زاویه مساوی هستند، اما نمی دانیم که مثلاً این زاویه (BAD) با این زاویه (BCD) برابر است یا خیر. ما نمی دانیم و نمی توانیم چنین فرضیاتی داشته باشیم. برای ایجاد این برابری، ممکن است نیاز به ساختن مثلث دیگری داشته باشیم که شبیه یکی از مثلث های این شکل خواهد بود. و یک راه برای انجام این کار کشیدن یک خط دیگر است. صادقانه بگویم، زمانی که برای اولین بار این موضوع را مطالعه کردم، این مدرک برای من واضح نبود، بنابراین اگر اکنون برای شما روشن نیست، اشکالی ندارد. اگر این نیمساز این زاویه را در اینجا گسترش دهیم چه؟ تمدیدش کنیم... فرض کنیم برای همیشه ادامه دارد. شاید بتوانیم مثلثی شبیه به این مثلث در اینجا بسازیم، BDA، اگر در اینجا خطی موازی با AB رسم کنیم؟ بیایید سعی کنیم این کار را انجام دهیم. با توجه به ویژگی خطوط موازی، اگر نقطه C متعلق به قطعه AB نباشد، از طریق نقطه C همیشه می توان خطی موازی با قطعه AB رسم کرد. سپس بیایید بخش دیگری را در اینجا در نظر بگیریم. بیایید این نقطه را F بنامیم. و فرض کنید که این قطعه FC موازی با قطعه AB باشد. بخش FC موازی با قطعه AB است... بگذارید این را بنویسم: FC موازی با AB است. و حالا در اینجا نکات جالبی داریم. با رسم پاره موازی با قطعه AB، مثلثی شبیه مثلث BDA ساخته ایم. ببینیم چطور شد. قبل از اینکه در مورد شباهت صحبت کنیم، اجازه دهید ابتدا به آنچه در مورد برخی از زوایای شکل گرفته در اینجا می دانیم فکر کنیم. می دانیم که در اینجا زوایای متقاطع داخلی وجود دارد. اگر همین خطوط موازی را بگیریم... خوب، می توان تصور کرد که AB به طور نامحدود ادامه می یابد و FC به طور نامحدود ادامه می یابد. و قطعه BF در این مورد یک سکانت است. سپس، این زاویه هر چه باشد، ABD، این زاویه، CFD، برابر با آن خواهد بود (با خاصیت زوایای متقاطع داخلی). زمانی که از زوایایی که هنگام تقاطع خطوط موازی با خطوط عرضی به وجود می‌آیند، بارها با چنین زوایایی برخورد کرده‌ایم. پس این دو زاویه برابر خواهند بود. اما این زاویه، DBC، و این یکی، CFD، نیز برابر خواهند بود، زیرا زوایای ABD و DBC برابر هستند. از این گذشته، BD یک نیمساز است، به این معنی که زاویه ABD برابر با زاویه DBC است. بنابراین، این دو زاویه هر چه که باشند، زاویه CFD با آنها برابر خواهد بود. و این منجر به یک نتیجه جالب می شود. زیرا معلوم می شود که در این مثلث بزرگتر BFC زوایای قاعده برابر است. این به نوبه خود به این معنی است که مثلث BFC متساوی الساقین است. سپس ضلع BC باید برابر با ضلع FC باشد. BC باید برابر با FC باشد. عالی! ما از ویژگی زوایای متقاطع داخلی تشکیل شده توسط یک عرضی استفاده کرده ایم تا نشان دهیم که مثلث BFC متساوی الساقین است و بنابراین اضلاع BC و FC برابر هستند. و این ممکن است برای ما مفید باشد، زیرا ... ما می دانیم که ... خوب، اگر نمی دانیم، حداقل احساس می کنیم که این دو مثلث شبیه هم خواهند شد. ما هنوز آن را ثابت نکرده ایم. اما آنچه که به تازگی ثابت کردیم چگونه می تواند به ما کمک کند تا در مورد سمت قبل از میلاد چیزی بیاموزیم؟ خوب، ما فقط ثابت کردیم که طرف BC با طرف FC برابر است. اگر بتوانیم ثابت کنیم که نسبت AB/AD برابر با نسبت FC/CD است، آن را انجام شده در نظر بگیرید، زیرا ما فقط ثابت کردیم که BC = FC. اما اجازه دهید به قضیه رجوع نکنیم - بیایید در نتیجه اثبات به آن برسیم. بنابراین، این واقعیت که قطعه FC با AB موازی است به ما کمک کرد تا دریابیم که مثلث BFC متساوی الساقین است و اضلاع جانبی BC و FC برابر هستند. حالا بیایید به زوایای دیگر در اینجا نگاه کنیم. اگر به مثلث ABD (این یکی) و مثلث FDC نگاه کنیم، قبلاً متوجه شده ایم که آنها یک جفت زاویه مساوی دارند. اما همچنین این زاویه از مثلث ABD نسبت به این زاویه مثلث FDC عمودی است - این بدان معنی است که این زاویه ها برابر هستند. و می دانیم که اگر دو زاویه از یک مثلث به ترتیب برابر با دو زاویه از یک مثلث دیگر باشد (خب، زاویه سوم متناظر نیز برابر خواهد بود) پس بر اساس شباهت مثلث ها در دو زاویه می توان نتیجه گرفت که این دو مثلث ها مشابه هستند من این را می نویسم. و باید مطمئن شوید که هنگام ضبط، رئوس با یکدیگر مطابقت دارند. بنابراین، بر اساس شباهت بین دو گوشه، می دانیم ... و من از گوشه ای که با رنگ سبز مشخص شده است شروع می کنم. ما آن مثلث B را می دانیم ... سپس به گوشه ای که با رنگ آبی مشخص شده است حرکت کنید ... مثلث BDA شبیه یک مثلث است ... و دوباره با گوشه ای که با رنگ سبز مشخص شده است شروع می کنیم: F (سپس به گوشه ای که با رنگ آبی مشخص شده است حرکت کنید. )... شبیه مثلث FDC. حال به قضیه نیمساز برگردیم. ما به نسبت تصویر AB/AD علاقه مندیم. نسبت AB به AD ... همانطور که قبلاً می دانیم نسبت اضلاع متناظر مثلث های مشابه برابر است. یا می توان نسبت دو ضلع یک مثلث مشابه را پیدا کرد و با نسبت اضلاع متناظر یک مثلث مشابه دیگر مقایسه کرد. آنها نیز باید برابر باشند. بنابراین، از آنجایی که مثلث‌های BDA و FDC شبیه هم هستند، پس نسبت AB... خوب، اتفاقاً، مثلث‌ها از دو زاویه مشابه هستند، بنابراین من آن را اینجا می‌نویسم. زیرا مثلث ها مشابه هستند، پس می دانیم که نسبت AB/AD برابر خواهد بود... و می توانیم در اینجا به عبارت تشابه نگاه کنیم تا اضلاع مربوطه را پیدا کنیم. طرف مربوط به AB سمت CF است. آن ها AB/AD برابر است با CF تقسیم بر... سمت AD مربوط به سمت CD است. بنابراین CF/CD. بنابراین، نسبت زیر را به دست آوردیم: AB/AD=CF/CD. اما قبلاً ثابت کرده ایم که (از آنجایی که مثلث BFC متساوی الساقین است) CF برابر با BC است. این بدان معنی است که در اینجا CF را می توان با BC جایگزین کرد. این چیزی است که باید ثابت می شد. ما ثابت کرده ایم که AB/AD=BC/CD. بنابراین، برای اثبات این قضیه، ابتدا باید مثلث دیگری بسازید، این یکی. و با فرض اینکه بخش های AB و CF موازی باشند، می توانیم دو زاویه مساوی مربوط به دو مثلث را به دست آوریم - این به نوبه خود شباهت مثلث ها را نشان می دهد. پس از ساختن مثلث دیگر، علاوه بر وجود دو مثلث مشابه، می توانیم ثابت کنیم که این مثلث بزرگتر متساوی الساقین است. و سپس می توان گفت: نسبت بین این و این ضلع یک مثلث مشابه برابر است با نسبت اضلاع متناظر (این و این) یک مثلث مشابه دیگر. و این بدان معنی است که ما ثابت کرده ایم که نسبت بین این ضلع و این ضلع برابر با نسبت BC/CD است. Q.E.D.

قضیه. نیمساز یک زاویه داخلی مثلث، ضلع مقابل را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کند.

اثبات مثلث ABC (شکل 259) و نیمساز زاویه B را در نظر بگیرید. از راس C یک خط مستقیم CM موازی با نیمساز BC بکشید تا جایی که در نقطه M با ادامه ضلع AB قطع شود. از آنجایی که BK نیمساز زاویه ABC است، پس . علاوه بر این، به عنوان زوایای متناظر برای خطوط موازی، و به عنوان زوایای متقاطع برای خطوط موازی. از این رو و بنابراین - متساوی الساقین، از آنجا . با قضیه خطوط موازی که اضلاع یک زاویه را قطع می کنند، داریم و در نظر می گیریم، چیزی که باید ثابت کنیم.

نیمساز زاویه خارجی B مثلث ABC (شکل 260) دارای خاصیت مشابهی است: قطعات AL و CL از رئوس A و C تا نقطه L از تقاطع نیمساز با ادامه ضلع AC متناسب هستند. اضلاع مثلث:

این خاصیت به همان روش قبلی ثابت شده است: در شکل 1. 260 یک خط مستقیم کمکی SM به موازات نیمساز BL رسم شده است. خود خواننده از برابری زوایای VMS و VSM و بنابراین اضلاع VM و BC مثلث VMS متقاعد می شود که پس از آن بلافاصله نسبت مورد نیاز به دست می آید.

می توان گفت که نیمساز یک زاویه خارجی، ضلع مقابل را به قطعاتی متناسب با اضلاع مجاور تقسیم می کند. شما فقط باید موافقت کنید که "تقسیم خارجی" بخش را مجاز کنید.

نقطه L که خارج از قطعه AC (در ادامه آن) قرار دارد، آن را به صورت خارجی در رابطه اگر تقسیم می کند بنابراین نیمسازهای زاویه یک مثلث (داخلی و خارجی) ضلع مقابل (داخلی و خارجی) را به قطعاتی متناسب با طرف های مجاور

مسئله 1. اضلاع ذوزنقه برابر با 12 و 15، قاعده ها برابر با 24 و 16 هستند. اضلاع مثلثی را که از قاعده بزرگ ذوزنقه و اضلاع کشیده آن تشکیل شده است، بیابید.

راه حل. در نماد شکل. 261 برای قسمتی که به عنوان ادامه ضلع جانبی عمل می کند، به راحتی ضلع جانبی دوم مثلث را مشخص می کنیم: .

مسئله 2. قاعده ذوزنقه 6 و 15 است. طول پاره موازی قاعده ها و تقسیم اضلاع به نسبت 1:2 از رئوس قاعده کوچک چقدر است؟

راه حل. بیایید به شکل نگاه کنیم. 262 که ذوزنقه ای را به تصویر می کشد. از طریق راس C پایه کوچک، خطی موازی با ضلع AB رسم می کنیم و متوازی الاضلاع را از ذوزنقه جدا می کنیم. از آنجا که ، پس از آن از اینجا ما پیدا کنید. بنابراین کل قطعه مجهول KL برابر است توجه داشته باشید که برای حل این مشکل نیازی به دانستن اضلاع جانبی ذوزنقه نیست.

مسئله 3. نیمساز زاویه داخلی B مثلث ABC ضلع AC را به قطعاتی در چه فاصله ای از رئوس A و C برش می دهد، نیمساز زاویه خارجی B امتداد AC را قطع می کند؟

راه حل. هر یک از نیمسازهای زاویه B AC را به یک نسبت تقسیم می کند، اما یکی از داخل و دیگری خارج. نقطه تلاقی ادامه AC و نیمساز زاویه خارجی B را با L نشان می دهیم. از آنجایی که AK فاصله مجهول AL را تا آن زمان نشان می دهیم و نسبتی خواهیم داشت که جواب آن فاصله لازم را به ما می دهد.

خودتان نقاشی را کامل کنید.

تمرینات

1. ذوزنقه ای با پایه های 8 و 18 توسط خطوط مستقیم موازی با پایه ها به شش نوار با عرض مساوی تقسیم می شود. طول قسمت های مستقیم را که ذوزنقه را به نوارها تقسیم می کنند، پیدا کنید.

2. محیط مثلث 32 است. نیمساز زاویه A ضلع BC را به قطعاتی برابر با 5 و 3 تقسیم می کند. طول اضلاع مثلث را بیابید.

3. قاعده مثلث متساوی الساقین a است، ضلع آن b است. طول قطعه ای را که نقاط تقاطع نیمسازهای گوشه های پایه را با اضلاع متصل می کند، پیدا کنید.