Взаимно обратные функции. Методическая разработка урока "взаимно-обратные функции" Урок по теме обратные функции

I. Сообщение темы и цели урока

II. Повторение и закрепление пройденного материала

1. Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач).

2. Контроль усвоения материала (самостоятельная работа).

Вариант 1

Вариант 2

Проведите исследование функции и постройте ее график:

III. Изучение нового материала

По аналитическому виду функции для любого значения аргумента легко найти соответствующее значение функции у. Часто возникает обратная задача: известно значение у и необходимо найти значение аргумента x , при котором оно достигается.

Пример 1

Найдем значение аргумента х, если значение функции равно: а) 2; б) 7/6; в) 1.

Из аналитического вида функции выразим переменную х и получим: 4 xy - 2у = 3 x + 1 или х(4у - 3) = 2у + 1, откуда . Теперь легко решить задачу:

Функцию называют обратной по отношению к функции . Так как принято аргумент функции обозначать буквой х, а значение функции - буквой у, то обратную функцию записывают в виде

Дадим необходимые для изучения темы понятия.

Определение 1. Функцию у = f (x ), х ∈ Х называют обратимой, если любое свое значение она принимает только в одной точке х множества X (другими словами, если разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции). В противном случае функцию называют необратимой.

Пример 2

Функция каждое свое значение принимает только в одной точке х и является обратимой (график а). Функция имеет такие значения у (например, у = 2), которые достигаются в двух различных точках x , и является необратимой (график б).

При рассмотрении темы полезна следующая теорема.

Теорема 1. Если функция у = f (х), х ∈ X монотонна на множестве X, то она обратима.

Пример 3

Вернемся к предыдущему примеру. Функция убывает (монотонна) и обратима на всей области определения. Функция немонотонна и необратима. Однако эта функция возрастает на промежутках (-∞; -1] и . Поэтому на таких промежутках функция обратима. Например, функция обратима на отрезке x ∈ [-1; 1].

Определение 2. Пусть у = f (х), х ∈ Х - обратимая функция и E (f ) = Y . Поставим в соответствие каждому Y то единственное значение х, при котором f (x ) = у (т. е. единственный корень уравнения f (x ) = у относительно переменной х). Тогда получим функцию, которая определена на множестве Y (множество X - ее область значений). Эту функцию обозначают х – f -1 (y ), y ∈ Y и называют обратной по отношению к функции у = f (х), х ∈ X. На рисунке показаны функция у = f (х) и обратная функция x = f -1 (y ).

Прямая и обратная функции имеют одинаковую монотонность.

Теорема 2. Если функция у = f (х) возрастает (убывает) на множестве X, а У - ее область значений, то обратная функция x = f -1 (y ) возрастает (убывает) на множестве Y .

Пример 4

Функция убывает на множестве и имеет множество значений Обратная функция также убывает на множестве и имеет множество значений Очевидно, что графики функций и совпадают, так как эти функции приводят к одной и той же зависимости между переменными х и у: 4ху - 3х - 2у - 1 = 0.

Для нас привычно, что аргумент функции обозначают буквой х, значение функции - буквой у. Поэтому обратную функцию будем записывать в виде у = f -1 (x ) (см. пример 1).

Теорема 3. Графики функции у = f (х) и обратной функции у = f -1 симметричны относительной прямой у = х.

Пример 5

Для функции у = 2х - 4 найдем обратную функцию: у + 4 = 2х, откуда х = 1/2у + 2. Введем переобозначения х ↔ у и запишем обратную функцию в виде у = 1/2х + 2. Таким образом, для функции f (х) = 2х – 4 обратная функция f -1 (x ) = 1/2х + 2. Построим графики этих функций. Видно, что графики симметричны относительной прямой у = х.

Функция f -1 (x ) = 1/2х + 2 обратная по отношению к функции f (х) = 2х - 4. Но и функция f (х) = 2х - 4 является обратной по отношению к функции f -1 (x ) = 1/2х + 2. Поэтому функции f (х) и f -1 (х) корректнее называть взаимообратными. При этом выполнены равенства: f -1 (f (х)) = х и f (f -1 (x ) = x .

IV. Контрольные вопросы

1. Обратимые и необратимые функции.

2. Обратимость монотонной функции.

3. Определение обратной функции.

4. Монотонность прямой и обратной функций.

5. Графики прямой и обратной функций.

V. Задание на уроке

§ 3, № 1 (а, б); 2 (в, г); 3 (а, г); 4 (в, г); 5 (а, в).

VI. Задание на дом

§ 3, № 1 (в, г); 2 (а, б); 3 (б, в); 4 (а, б); 5 (б, г).

VII. Подведение итогов урока

Взаимно обратные функции и их графики

(обобщающее повторение по пройденному материалу)

Какой из графиков соответствует графику функции у=х 3 имеет ли он обратную?

Какой из графиков соответствует графику функции имеет ли он обратную?

Какой из графиков соответствует графику

функции имеет ли он обратную

Какой график соответствует функции?

1 группа: ответ а) объясняют почему

Какой функции соответствует график? 1 . у = х 3 2 . 3 . у = х 4 4 . у = х -2 5 . 6 . у = х -1

на графике функции

D(y)=(-:0) U(0;+)

Укажите область определения данной

на графике функции

Укажите область значений данной на графике функции

Е (y)=(- ; 2) U(2 ;+)

Найти функцию, обратную данной у = g ( x )

Если функция (2) обратна к функции (1), то такие функции называют взаимно-обратными.

Найти область определения и множество значений для данных функций.

• D (у)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
• Е(у)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• D (у)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. Е(у)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• Область определения обратной функции g(x) совпадает с множеством значений исходной функции f ( x ), а множество значений обратной функции g(x) совпадает с областью определения исходной функции f(x) :

D( g(x) ) = E( f(x )), E( g(x )) = D( f(x )).

• Монотонная функция является обратимой:

• если функция f (x) возрастает, то обратная к ней функция g (x) также возрастает;
• Если функция f (x) убывает, то обратная к ней функция g (x) также убывает.

Дано: у = х 3

Построить график данной функции, выразите формулу функции обратной данной и постройте её график.

3. Если функция имеет обратную, то график обратной функции симметричен графику данной функции относительно прямой у = х.

Построить график функции, обратной данной.

Обучающая самостоятельная работа

II вариант

I вариант

• Найти функцию, обратную к данной:

2. Найти область определения и множество значений функции, обратной к данной:

3. Построить график функции, обратной к данной:

II вариант

I вариант

2. D(y)=(- ; +)

Е (y)=(- ; +)

2. D(y)=(- ; +)

Е (y)=(- ; +)

Задание на дом:

решить № 579, № 576(в,г

по желанию №581(1,2)

• На уроке я научился(лась)………………………….
• На уроке мне интересно было …………………....
• Трудно было ………………………………………….
• Знания, полученные на уроке, я могу использовать …………………………………………

Р е ф л е к с и я:

Цели урока:

Образовательная:

• формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом;
• изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной;

Развивающая:

• развивать навыки самоконтроля, предметную речь;
• овладеть понятием обратная функция и усвоить методы нахождения обратной функции;

Воспитательная: формировать коммуникативную компетентность.

Оборудование: компьютер, проектор, экран, интерактивная доска SMART Board, раздаточный материал (самостоятельная работа) для работы в группе.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Цель – подготовка учащихся к работе на уроке:

Определение отсутствующих,

Настрой учащихся на работу, организация внимания;

Сообщение темы и цели урока.

2. Актуализация опорных знаний учащихся. Фронтальный опрос.

Цель - установить правильность и осознанность изученного теоретического материала, повторение пройденного материала.<Приложение 1 >

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции. Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Свойства функции:

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы записаны на обыкновенной доске и в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока)

1. Какая функция называется обратимой?
2. Любая ли функция обратима?
3. Какая функция называется обратной данной?
4. Как связаны область определения и множество значений функции и обратной ей функции?
5. Если функция задана аналитически, как задать формулой обратную функцию?
6. Если функция задана графически, как построить график обратной ей функции?

3. Объяснение нового материала.

Цель - формировать знания по новой теме в соответствии с программным материалом; изучить свойство обратимости функции и научить находить функцию, обратную данной; развивать предметную речь.

Учитель проводит изложение материала в соответствии с материалом параграфа. На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет, тем самым подводит учащихся под понятия обратимой функции.

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1: Функцию y=f(x), x X называют обратимой , если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X.

Теорема: Если функция y=f(x) монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

1. Пусть функция y=f(x) возрастает на Х и пусть х 1 ≠х 2 - две точки множества Х .
2. Для определенности пусть х 1 < х 2 .
   Тогда из того, что х 1 < х 2 следует, что f(х 1) < f(х 2) .
3. Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций и записаны несколько аналитически заданных функций:

Б)

Г) y = 2x + 5

Д) y = -x 2 + 7

Учитель вводит определение обратной функции.

Определение 2: Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и Е(f)=Y . Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х , при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y , а Х – область значений функции

Эту функцию обозначают x=f -1 (y) и называют обратной по отношению к функции y=f(x) .

Учащимся предлагается сделать вывод о связи между областью определения и множеством значений обратных функций.

Для рассмотрения вопроса о способах нахождения функции обратной данной, учитель привлек двух учащихся. Ребята накануне получили задание у учителя самостоятельно разобрать аналитический и графический способы нахождения функции обратной данной. Учитель выступил в роли консультанта при подготовке учащихся к уроку.

Сообщение первого ученика.

Замечание: монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учащийся привел примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима

Затем ученик знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм нахождения

1. Убедиться, что функция монотонна.
2. Выразить переменную х через у.
3. Переобозначить переменные. Вместо х=f -1 (y) пишут y=f -1 (x)

Затем решает два примера на нахождение функции обратной данной.

Пример 1: Показать, что для функции y=5x-3 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение. Линейная функция y=5x-3 определена на R, возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R. Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=5x-3 относительно х; получим Это и есть искомая обратная функция. Она определена и возрастает на R.

Пример 2: Показать, что для функции y=x 2 , х≤0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции.

Второй ученик выступает с сообщением о графическом способе нахождения обратной функции. В ходе своего объяснения ученик использует возможности интерактивной доски.

Чтобы получить график функции y=f -1 (x), обратной по отношению к функции y=f(x), надо график функции y=f(x)преобразовать симметрично относительно прямой y=x.

Во время объяснения на интерактивной доске выполняется следующее задание:

Построить в одной системе координат график функции и график обратной ей функции. Запишите аналитическое выражение обратной функции.

4. Первичное закрепление нового материала.

Цель – установить правильность и осознанность понимания изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления материала, провести их коррекцию.

Учащиеся делятся на пары. Им раздаются листы с заданиями, в которых они и выполняют работу в парах. Время на выполнение работы ограничено (5-7 мин). Одна пара учащихся работает на компьютере, проектор на это время выключается и остальным ребятам не видно, как работают учащиеся на компьютере.

По окончании времени (предполагается, что с работой справилось большинство учащихся) на интерактивной доске (вновь включается проектор) показывается работа учащихся, где и выясняется в ходе проверки правильность выполнения задания в паре. При необходимости учителем проводится коррекционная, разъясняющая работа.

Самостоятельная работа в парах <Приложение 2 >

5. Итог урока. По вопросам, которые были заданы перед началом лекции. Объявление оценок за урок.

Домашнее задание §10. №№ 10.6(а,в) 10.8-10.9(б) 10.12 (б)

Алгебра и начала анализа. 10 класс В 2-х частях для общеобразовательных учреждений (профильный уровень) /А.Г.Мордкович, Л.О.Денищева, Т.А.Корешкова и др.; под ред. А.Г.Мордковича, М: Мнемозина, 2007 год

Конспекты уроков по теме «Обратная функции»

Урок 1. Лекция по теме «Обратная функция»

Цель: Сформировать теоретический аппарат по теме. Ввести

Понятие обратимой функции;

Понятие обратной функции;

Сформулировать и доказать достаточное условие обратимости

функции;

Основные свойства взаимно обратных функций.

План урока-лекции

Организационный момент.

Актуализация знаний учащихся, необходимая для восприятия новой темы.

Изложение нового материала.

Подведение итогов урока.

Ход урока-лекции

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний. ( Фронтальный опрос по теме предыдущего урока.)

Для учащихся на интерактивной доске демонстрируется график функции (рис. 1). Учителем формулируется задание – рассмотреть график функции и перечислить изученные свойства функции. Учащиеся перечисляют свойства функции в соответствии со схемой исследования. Учитель справа от графика функции маркером на интерактивной доске записывает названные свойства.

Рис. 1

Свойства функции:

3. Постановка цели перед учащимися.

По окончании исследования учитель сообщает, что сегодня на уроке они познакомятся еще с одним свойством функции – обратимостью. Для осмысленного изучения нового материала учитель предлагает ребятам познакомиться с основными вопросами, на которые учащиеся должны дать ответ по окончании урока. Вопросы в виде раздаточного материала есть у каждого ученика (раздается до урока).

Вопросы:

1. Какая функция называется обратимой?

2. Какая функция называется обратной?

3. Как связаны между собой области определения и множества значений прямой и обратной функций?

4. Сформулируйте достаточное условие обратимости функции.

5. Функция обратная возрастающей является убывающей или возрастающей?

6. Функция обратная нечетной является четной или нечетной?

7. Как расположены графики взаимно обратных функций?

4. Изложение нового материала.

1) Понятие обратимой функции. Достаточное условие обратимости.

На интерактивной доске учитель проводит сравнение графиков двух функций, у которых области определения и множества значений одинаковы, но одна из функций монотонна, а другая нет (рис.2). Таким образом, функция обладает свойством, не характерным для функции: какое бы число из множества значения функции f ( x ) ни взять, оно является значением функции только в одной точке, тем самым учитель подводит учащихся к понятию обратимой функции.

Рис. 2

Затем учитель формулирует определение обратимой функции и проводит доказательство теоремы об обратимой функции, используя график монотонной функции на интерактивной доске.

Определение 1. Функцию называют обратимой , если любое свое значение она принимает только в одной точке множества X .

Теорема. Если функция монотонна на множестве X , то она обратима.

Доказательство:

Пусть функция y=f(x) возрастает на множестве Х и пусть х 1 ≠х 2 – две точки множества Х .

Для определенности пусть х 1 < х 2 . Тогда из того, что х 1 < х 2 в силу возрастания функции следует, что f(х 1 ) < f(х 2 ) .

Таким образом, разным значениям аргумента соответствуют разные значения функции, т.е. функция обратима.

Аналогично доказывается теорема в случае убывающей функции.

(По ходу доказательства теоремы учитель маркером делает все необходимые пояснения на чертеже)

Перед тем как сформулировать определение обратной функции учитель просит учащихся определить, какая из предложенных функций обратима? На интерактивной доске показаны графики функций (рис. 3, 4) и записаны несколько аналитически заданных функций:

а ) б )

Рис. 3 Рис. 4

в ) y = 2x + 5; г ) y = - + 7.

Замечание. Монотонность функции, является достаточным условием существования обратной функции. Но оно не является необходимым условием.

Учитель приводит примеры различных ситуаций, когда функция не монотонна, но обратима, когда функция не монотонна и не обратима, когда монотонна и обратима.

2) Понятие обратной функции. Алгоритм составления обратной функции.

Определение 2. Пусть обратимая функция y=f(x) определена на множестве Х и область ее значений Е(f)=Y . Поставим в соответствие каждому y из Y то единственное значение х , при котором f(x)=y. Тогда получим функцию, которая определена на Y , а Х – область значений функции. Эту функцию обозначают x=f -1 (y), и называют обратной по отношению к функции y=f(x), .

Затем учитель знакомит учащихся со способом нахождения обратной функции, заданной аналитически.

Алгоритм составления обратной функции для функции y = f ( x ), .

Убедиться, что функция y=f(x) обратима на промежутке Х .

Выразить переменную х через у из уравнения y=f(x), учитывая при этом, что.

В полученном равенстве поменять местами х и у . Вместо х=f -1 (y) пишут y=f -1 (x).

На конкретных примерах учитель показывает как использовать данный алгоритм.

Пример 1. Показать, что для функции y=2x-5

Решение . Линейная функция y=2x-5 определена на R , возрастает на R и область ее значений есть R. Значит, обратная функция существует на R . Чтобы найти ее аналитическое выражение, решим уравнение y=2x-5 относительно х ; получим. Переобозначим переменные, получим искомую обратную функцию. Она определена и возрастает на R.

Пример 2. Показать, что для функции y=x 2 , х ≤ 0 существует обратная функция, и найти ее аналитическое выражение.

Решение . Функция непрерывна, монотонна в своей области определения, следовательно, она обратима. Проанализировав области определения и множества значений функции, делается соответствующий вывод об аналитическом выражении для обратной функции, которая имеет вид.

3) Свойства взаимно обратных функций.

Свойство 1. Если g – функция обратная к f , то и f – функция обратная к g (функции взаимно обратные), при этом D ( g )= E ( f ), E ( g )= D ( f ) .

Свойство 2. Если функция возрастает (убывает) на множестве Х, а У – область значений функции, то обратная функция возрастает (убывает) на У.

Свойство 3. Чтобы получить график функции, обратной по отношению к функции, надо график функциипреобразовать симметрично относительно прямой у=х .

Свойство 4. Если нечетная функция обратима, то обратная ей тоже нечетная.

Свойство 5. Если функции f ( x ) и взаимно обратные, то для любого справедливо, а для любого справедливо.

Пример 3. Построить график функции обратной, если это возможно.

Решение. На всей своей области определения данная функция не имеет обратной, поскольку она не монотонна. Поэтому рассмотрим промежуток, на котором функция монотонна: , значит, существует обратная. Найдем ее . Для этого выразим x через y : . Переобозначим - обратная функция. Построим графики функций (рис. 5) и убедимся, что они симметричны относительно прямой y = x .

Рис. 5

Пример 4. Найдите множество значений каждой из взаимно обратных функций, если известно, что.

Решение. Согласно свойству 1 взаимно обратных функций, имеем.

5 . Подведение итогов

Проведение диагностической работы. Целью этой работы является определение уровня усвоения учебного материала, рассмотренного на лекции. Учащимся предлагается ответить на вопросы, сформулированные в начале лекции.

6 . Постановка домашнего задания.

1. Разобраться с материалом лекции, выучить основные определения и формулировки теорем.

2. Доказать свойства взаимно обратных функции.

Урок 2. Практикум по теме «Определение обратной функции. Достаточное условие обратимости функции»

Цель: сформировать умения применять теоретические знания по теме при решении задач, рассмотреть основные типы задач на исследование функции на обратимость, на построение обратной функции.

План урока-практикума:

1. Организационный момент.

2. Актуализация знаний (фронтальная работа учащихся).

3. Закрепление изученного материала (решение задач).

4. Подведение итогов урока.

5. Постановка домашнего задания.

Ход урока.

1. Организационный момент.

Приветствие учителя, проверка готовности обучающихся к уроку.

2. Актуализация знаний. ( фронтальная работа учащихся).

Учащимся предлагается выполнить устно следующие задания:

1. Сформулируйте достаточное условие обратимости функции.

2. Среди функций, графики которых изображены на рисунке укажите те, которые являются обратимыми.

3. Сформулируйте алгоритм составления функции, обратной данной.

4. Существуют ли функции, обратные данным? В случае положительного ответа, найдите их:

а) ; b ) ; c ) .

5. Являются ли функции, графики которых изображены на рисунке, взаимно обратными (рис. 6)? Ответ обоснуйте.

Рис. 6

3. Закрепление изученного материала (решение задач).

Закрепление изученного материала состоит из двух этапов:

Индивидуальная самостоятельная работа учащихся;

Подведение итогов индивидуальной работы.

На первом этапе учащимся предлагаются карточки с заданиями, которые они выполняют самостоятельно.

Задание 1.

Является ли функции обратимыми на всей области определения? Если да, то найдите обратную к ней.

a) ; b) ; c) .

Задание 2.

Являются ли взаимно обратными функции:

а) ;

b ) .

Задание 3.

Рассмотрите функцию на каждом из указанных промежутков, если на этом промежутке функция обратима, то задайте обратную ей аналитически, укажите область определения и область значений:

a ) R ; b ) ; d ) [-2;0].

Задание 4.

Докажите, что функция необратима. Найдите функцию обратную ей на промежутке и постройте ее график.

Задание 5.

Постройте график функции и определите, существует ли для нее обратная функция. Если да, то на том же чертеже постройте график обратной функции и задайте ее аналитически:

a ) ; b ) .

На этапе подведение итогов индивидуальной работы учащихся проверка задач осуществляется только с фиксированием промежуточных результатов. Задачи, вызвавшие больше всего затруднений, рассматриваются на доске либо с раскрытием поиска решений, либо с записью всего решения.

4. Подведение итогов урока (рефлексия).

Учащимся предлагается мини-анкета:

Что мне понравилось на уроке?______________________________

Что мне не понравилось на уроке?_____________________________

_________________________________________________________________

Укажите одно наиболее подходящее вам утверждение:

1) Я могу самостоятельно исследовать функцию на обратимость, строить обратную и уверен в правильности результата.

2) Я могу исследовать функцию на обратимость, строить обратную, но не всегда уверен в правильности результата, нуждаюсь в помощи товарищей.

3) практически не могу исследовать функцию на обратимость, строить обратную, нуждаюсь в дополнительной консультации учителя.

Где я смогу применять полученные знания?____________________ __________________________________________________________________

5. Постановка домашнего задания.

№ 10.3, 10.6(в, г), 10.7 (в, г), 10.9(в, г), 10.13(в, г), 10.18.(Мордкович, А.Г. Алгебра и начала математического анализа.10 класс. В 2 ч. Ч.2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений (профильный уровень) / А.Г. Мордкович, П.В. Семенов. - М.: Мнемозина, 2014. - 384с.)

Тема: «Взаимно обратные функции».

Цели урока:

Образовательные:

Повторить и обобщить знания учащихся по теме «Функция», изученные в 9 классе. Познакомиться со взаимно обратными функциями, изучить условия существования обратной функции и ее свойства, научиться строить графики обратных функций.

Развивающие:

Развивать творческую и мыслительную деятельность учащихся, их интеллектуальные качества: способность к «видению» проблемы.

Формировать умения чётко и ясно излагать свои мысли, исследовать, анализировать, сравнивать, делать выводы.

Развивать интерес учащихся к самостоятельному творчеству.

Развивать пространственное воображение учащихся.

Воспитательные:

Воспитывать умение работать с имеющейся информацией в необычной ситуации.

Воспитывать аккуратность и добросовестность.

Осуществлять эстетическое воспитание.

Тип урока: комбинированный.

Оборудование:

• мультимедийный проектор;

  приложение к уроку: (Презентация.) – на электронном носителе;

Средства обучения: компьютеры, программа Excel , медиапроектор, слайдовая презентация.

Демонстрации: графики функций, построенные в одной системе координат.

Формы организации учебной деятельности: индивидуальная, диалог, работа с текстом слайда, исследовательская работа в тетради.

Методы: наглядный, словесный, графический, исследовательский.

Ход урока.

1. Вступительное слово учителя. Установочная беседа. Психологический настрой учащихся.

На уроке мы с вами должны повторить и обобщить знания по теме «Функция», изученные в 9 классе, познакомиться со взаимно обратными функциями, изучить условия существования обратной функции и ее свойства, научиться строить графики обратных функций. Пожелаем друг другу успехов и плодотворной работы.

2. Повторение пройденного материала по теме «Функции и их графики». Презентация.

Слайды 2-10. Фронтальная работа с классом.

3. Изучение нового материала. Обучающая беседа с элементами исследования и демонстрацией (слайды 11-24)

Пример зависимости. Каждому значению функции соответствует одно значение аргумента.

Для таких функций можно выразить обратную зависимость значений аргумента от значений функции.

Задание.

Найдите область определения и область значений взаимно обратных функций.

4. Закрепление знаний.