Funkcija snage, njezina svojstva i graf Demonstracijski materijal Sat-predavanje Pojam funkcije. Svojstva funkcije

U prošlom satu smo ponovili i generalizirali svoje znanje o temi “Pojam eksponenta”.

Podsjetimo se da ako je - pe podijeljeno s ku običan razlomak, a ku nije jednako jedan i a je veće ili jednako nuli, tada pod izrazom a na potenciju pe podijeljenog s ku mislimo na korijen iz stupanj ku od a na potenciju pe.

Na primjer, broj jedan zarez tri na potenciju tri sedmine može se napisati kao sedmi korijen iz jedan zarez tri na kub.

Funkcije oblika, gdje je k bilo koji realni broj, obično se nazivaju potencijskim funkcijama.

Danas ćemo razmotriti slučaj kada je k racionalni (razlomački) eksponent.

U predmetu algebre za 7.-9. razred učili ste svojstva i grafove potencijskih funkcija s prirodnim eksponentom. Funkcija (k-bilo koji realni broj), funkcija potencije.

Za k=n (n∈N), funkcija -potencije s prirodnim eksponentom.

Prisjetimo se grafova takvih funkcija.

Graf funkcije ili y=x (y je jednako x na prvu potenciju ili je y jednako x) je ravna linija.

Graf funkcije (E jednako x na kvadrat) je parabola.

Graf funkcije (E jednako X na kub) je kubna parabola.

Graf potencije (y je jednako x na ka potenciju) u slučaju parnog k sličan je paraboli. Slika prikazuje graf funkcije snage s k jednakim šest.

Graf funkcije potencije (y je jednako x na potenciju ka) u slučaju neparnog k sličan je kubnoj paraboli. Slika prikazuje graf funkcije snage s k jednakim sedam.

Ako eksponent funkcije potencije ima negativan cijeli broj, tada dobivamo funkciju oblika: y je jednako x na potenciju minus en ili je y jednako jedan podijeljeno s x na n-tu potenciju.

Ako je n paran broj, tada graf izgleda kao na slici.

Gdje je prikazana funkcija y=x-2 ili y=?

Ako je n neparan broj, onda graf izgleda ovako.

Crtež prikazuje funkciju y=x-3, odnosno y=

Ako je eksponent potencije jednak nuli, tada će funkcija imati oblik: Graf takve funkcije je pravac koji prolazi ordinatom jedan i paralelan je s osi apscisa.

Za k=-n (n∈Z), funkcija -potencije s negativnim cijelim eksponentom.

Razmotrite funkciju potencije (E je jednako x na potenciju k), gdje je k negativan ili pozitivan razlomački broj.

Kao primjer, napravimo graf funkcije snage (E je jednako x na potenciju dva zarez tri).

Domena njegove definicije (to jest, sve vrijednosti koje prihvaća x) je zraka s početkom u točki nula.

U ovoj domeni definicije konstruirat ćemo grafove funkcija (y jednako x na kvadrat) - ovo je grana parabole, označena svijetlozelenom bojom, i (y jednako x kubirano) - grana kubične parabole, istaknuta u tamnozelenoj boji.

Lako je provjeriti da se na intervalu (0;1) kubna parabola nalazi ispod parabole, a na otvorenoj zraci (1;+) - iznad.

Imajte na umu da grafovi funkcija (y je jednako x na kvadrat), (y je jednako x na potenciju dva zarez tri) i (y je jednako x na kub) prolaze kroz točke (0;0) i (1;1).

Za ostale vrijednosti argumenta x, graf funkcije (y je jednako x na potenciju dva zarez tri) nalazi se između grafova funkcija (y je jednako x na kvadrat) i (y je jednako x kockica).

Slična je situacija s bilo kojom potencnom funkcijom, gdje je nepravi razlomak, odnosno brojnik m je veći od nazivnika n. Graf ove funkcije je krivulja slična grani parabole.

Što je veći indeks funkcije k, to je grana usmjerena “strmije”.

Slika prikazuje graf funkcije y jednake x na potenciju sedam sekundi.

Prema tome, možemo razlikovati sljedeća svojstva funkcije potencije igr je jednaka x potenciji em podijeljenoj s en, gdje je brojnik m veći od nazivnika n.

1. Domena definicije su vrijednosti x od nule do plus beskonačnosti.

4. Ograničeno odozdo x-osi, nije ograničeno odozgo.

5. Funkcija uzima najmanju vrijednost nula; nije najbitnije.

8. Konveksno prema dolje.

Izgradimo graf funkcije, gdje je pravi razlomak (brojnik je manji od nazivnika) i 0< <1.

Prethodno razmatrana svojstva i graf funkcije (y je jednako n-tom korijenu iz x) ili (y je jednako x na potenciju jedan podijeljeno s n) također se primjenjuju na funkciju, gdje je pravi razlomak i 0< <1.

Prisjetimo se ovih svojstava:

1. Domena definicije su sve vrijednosti x od nule do plus beskonačno.

2. Funkcija nije ni parna ni neparna.

3. Funkcija raste u cijeloj domeni definicije.

5. Funkcija ima najmanju vrijednost nula; nije najbitnije.

6. Funkcija je kontinuirana u cijeloj domeni definicije.

7. Raspon funkcije je vrijednost igre od nule do plus beskonačnosti.

8. Konveksno prema gore. funkcija, gdje je pravi razlomak (brojnik je manji od nazivnika) i 0<

2. Ni par ni nepar.

3. Povećava se za.

4. Omeđeno odozdo x-osi, nije ograničeno odozgo.

5. ynaim=0; nije najbitnije.

6. Kontinuirano.

8. Konveksno prema gore.

Razmotrimo sljedeću vrstu potencije - funkciju oblika: y je jednako x na potenciju minus em podijeljeno s en.

Prethodno smo nacrtali funkciju potencije s negativnim cijelim eksponentom jednakim x na potenciju minus k, gdje je k prirodan broj.

Ako je x veći od nule, graf ove funkcije izgleda kao grana hiperbole.

Na sličan način se konstruira graf bilo koje potencne funkcije s negativnim racionalnim (frakcijskim) eksponentom.

Treba imati na umu da graf takve funkcije ima dvije asimptote: horizontalnu - y je jednak nuli i vertikalnu asimptotu - x je jednak nuli.

Dakle, funkcija potencije igr jednaka x na potenciju minus em podijeljena s en ima sljedeća svojstva (a x je veći od nule, jer u slučaju negativne baze s negativnim eksponentom, potencija izraza ne ima smisla):

1) Područje definicije je otvorena greda od nule do beskonačnosti.

2) Funkcija nije ni parna ni neparna.

3) Funkcija opada na cijeloj domeni definicije.

4) Dno je ograničeno x-osi, vrh nije ograničen.

5) Funkcija nema minimalnu ili maksimalnu vrijednost.

6) Funkcija je kontinuirana u cijeloj domeni definicije.

7) Raspon funkcije je vrijednost igre od nule do plus beskonačnosti.

8) Konveksno prema dolje.

Svojstva funkcije snage (x 0):

2). Ni par ni nepar.

3). Smanjuje se.

4). Dno je ograničeno x-osi, vrh nije ograničen.

5). Nema najmanju ni najveću vrijednost.

6). Kontinuirano za

8). Konveksno prema dolje.

Već znate da je derivacija funkcije potencije oblika yrek jednaka x na potenciju en, gdje je n prirodan broj, jednak n puta x na potenciju n minus jedan.

Slično, možete izračunati derivaciju funkcije potencije s racionalnim eksponentom.

Dakle, sljedeća teorema je istinita:

Ako je x veći od nule i r je proizvoljan racionalan broj, tada je derivacija funkcije potencije y jednaka x na potenciju r, a izračunava se po formuli: derivacija x na potenciju r jednaka je na r puta x na stepen r minus jedan.

Na primjer, izvod od a na minus treću potenciju jednak je minus tri i na minus četiri.

Derivacija x na minus dvije trećine jednaka je minus dvije trećine x na minus pet trećine.

Ovdje je minus jedan predstavljen kao nepravi razlomak od tri trećine, zatim su zbrojeni razlomci minus dvije trećine i minus tri trećine.

Teorem: ako je x>0, tada je r-racionalni broj

Nije teško dobiti odgovarajuću formulu za integriranje funkcije snage kada r nije jednako jedan. Dakle, neodređeni integral od x na potenciju r jednak je x na potenciju od r plus jedan podijeljeno s r plus jedan plus konstanta ce.

Nije teško razumjeti da je funkcija jednaka x na r plus jedan, podijeljeno s r plus jedan antiderivacija funkcije jednaka x na r. Formula za integriranje funkcije snage:

Funkcija je antiderivacija funkcije.

Razmotrimo primjenu stečenog znanja kod konstruiranja grafa funkcije snage.

Konstruirajte graf funkcije y jednake x plus dva na polovicu.

1. Izgradimo graf funkcije x na jednu potenciju. Ovo je funkcija oblika gdje je pravi razlomak (brojnik je manji od nazivnika) i 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Očito je da je graf funkcije y jednak x plus dva na polovicu konstruiran korištenjem paralelne translacije u odnosu na x-os za dvije jedinice ulijevo. Na slici je grafikon označen zelenom bojom.

Grafički nacrtajte funkciju

1. - poseban slučaj za funkciju oblika, gdje je - pravi razlomak (brojnik je manji od nazivnika) i 0< <1.

2. Graf je dobiven paralelnom translacijom duž X-osi 2 jedinice ulijevo.

Plan učenja:

“Funkcija snage, njezina svojstva i graf”

Puno ime Stadnik Elena Ivanovna

Mjesto rada Sankt Peterburg, Puškinski okrug GBOU škola br. 606

produbljeno proučavanje engleskog jezika.

Naziv radnog mjesta profesori matematike

Artikal matematičari

Klasa 10

Tema i broj u temi“Funkcija snage, njezina svojstva i grafici”

2 lekcije u temi (ukupno 2 lekcije)

Osnovni tutorial Sh.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin, Yu.V.Sidorov, N.E.Fedorova i drugi.

“Algebra i počeci analize 10-11”, udžbenik za obrazovne ustanove Preporučeno od strane Ministarstva obrazovanja Ruske Federacije: 9. izdanje Moskva Obrazovanje 2007.

Svrha lekcije: Formiranje vještina primjene znanja o ovoj temi pri rješavanju standardnih i nestandardnih algebarskih problema. Formiranje sposobnosti integriranja znanja iz različitih tema u matematički kolegij

Zadaci:

Obrazovni: (formiranje kognitivnog UUD-a)

znati uspoređivati ​​brojeve, rješavati nejednadžbe pomoću grafova i (ili) svojstava funkcija snage

Obrazovni: (formiranje komunikacijskih i osobnih obrazovnih vještina)

njegovati održivi interes za predmet, formirati komunikacijsku kompetenciju učenika, njegovati odgovornost i točnost

Vrsta lekcije: generalizacija i sistematizacija znanja

Metode: rasprava, promatranje, usporedba, iskustvo.

Oprema: ploča, multimedijska oprema, interaktivna ploča, računalo, nastavni materijali, plakat s grafikonima za br. 126(2;3)

Tijekom nastave:

1.Organizacijska točka:(2 min.) ponoviti teoriju koristeći pomoćne bilješke.

2.Provjera domaće zadaće u grupama.(10 min.)

Obavezna razina (1 grupa)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

br. 119 (2,4,6) s mjesta označiti D (f), E (f) u obliku brojčanih razmaka i broj figure prema nosivom nacrtu .(vidi Dodatak 1)

Primjer odgovora:

br. 119(2): D (f )=(); E(f) =(), sl.2

br. 119(4): D (f )=(),(0; ),

E (f) = (0;), slika 3

Broj 119(6):): D (f )= ; ); E(f) = ; ), sl.5

br. 124(2) s lica mjesta

Primjer odgovora:

Prema sl. 13 iz udžbenika, graf

nalazi se iznad grafa funkcije

.

Broj 128. Na ploču učenik 1 ispisuje odgovore na pitanja i konstruira shematske grafove funkcija.

Primjeri odgovora

2) ; D(f)= ; );

E(f) = ; );

4) ; D(f)=(-1;); E(f) =(0;);

Napredna razina (grupa 2) Dok učiteljica sa skupinom 1 provjerava D/Z, učenici skupine 2 popunjavaju kartice. I jedan učenik za pločom br. 129(2,4) Primjer odgovora:

D ()=R; E () = ; );

4) . D ()=R; E () = ; );

Kartica 1 opcija.

Opcija kartice 2.

br. 1. Shematski nacrtajte grafove funkcija:

Br. 2. Pronađite koordinate sjecišta grafova funkcija:

III . Obnavljanje osnovnih znanja:(12 min.)

1. Navedite domenu definicije i skup vrijednosti funkcije:

,

2. Koje rastuće ili opadajuće funkcije su ove funkcije:

,

3. Zadana funkcija

Zapiši zaključak u svoju bilježnicu

Za sve funkcije

4. broj 122 (usmeno). Koristeći svojstva funkcije snage, usporedite s jedinicom:

Primjer odgovora:

br. 126(1) - za pločom (br. 126(2,3) samostalno prema opcijama).

Primjer odgovora:

Konstruirati grafove funkcija u jednom koordinatnom sustavu.

IV . Izvođenje vježbi. ( 4 min.)

br. 125(1,3,5,7) pod diktatom.

Usporedi značenje izraza:

Primjer odgovora: (pogledajmo ponovno popratne bilješke)

3) ; jer i funkcija;

5) ; jer ; a funkcija se smanjuje;

7) ; jer a funkcija se povećava.

V . Domaća zadaća:(1 minuta.)

1 grupa - br. 125 (parni), 175 (2,6), 177 (1,3)

2. skupina - br. 184(2.4),177(2.4),182(2.3).

VI . Sažetak lekcije:(3 min.) Učenici formuliraju glavne zaključke lekcije:

Ako eksponent nije cijeli broj, tada se graf funkcije nalazi u prvoj četvrtini.

Ako je eksponent pozitivan necijeli broj, funkcija je rastuća.

Ako je eksponent negativan necijeli broj, tada je funkcija opadajuća. (slide show)

VII . Test (10 min.) (vidi Dodatak 2) B1 i B2 na “4” i “5”, B3 i B4 – obavezna razina (jedan bod za točan odgovor).

VIII . Dodatni zadaci. ( 3 min.)

Riješite jednadžbu: Var1.

Odgovor: -1;6. Odgovor: -4;4.

Tema lekcije: “Funkcije snage, njihova svojstva i grafovi”

Ciljevi lekcije:

Obrazovni:

Stvoriti uvjete za formiranje znanja o svojstvima i značajkama grafova funkcija snage y = x r za različite vrijednosti r.

Obrazovni:

Promicati razvoj informacijskih vještina učenika: sposobnost rada s tekstom slajda, sposobnost pisanja pomoćnog sažetka.

Promicati razvoj kreativne i mentalne aktivnosti učenika.

Nastavite razvijati vještine jasnog i jasnog izražavanja svojih misli, analiziranja i donošenja zaključaka.

Obrazovni:

Nastaviti razvijati kulturu matematičkog govora.

Doprinijeti formiranju komunikacijske kompetencije.

Vrsta lekcije: kombinirani

Oblici organiziranja obrazovnih aktivnosti: frontalni, pojedinačni.

Metode: eksplanatorno-ilustrativna, djelomično pretraživačka.

Sredstva obrazovanja:

računalo, medijski projektor;

ploča;

slajd prezentacija (PowerPoint), (Prilog 1);

udžbenik “Algebra i počeci analize”, ur. A.G. Mordkovich;

radna bilježnica, pribor za crtanje;

popratni sažetak teme (Word dokument), (prilog 3);

Kao rezultat proučavanja teme studenti bi trebali

Znati: koncept funkcije snage,

svojstva funkcije potencije ovisno o eksponentu.

Biti u mogućnosti: imenovati svojstva potencije ovisno o eksponentu,

graditi grafove (skice grafova) funkcija snage s racionalnim

indikator

izvoditi jednostavne transformacije grafikona,

moći napisati popratni sažetak,

moći jasno i jasno izraziti svoje misli, analizirati i donositi zaključke.

Tijekom nastave: Nastavljamo s radom na razvijanju vještina konstruiranja grafova potencijskih funkcija. Brojne takve funkcije poznate su nam iz tečaja algebre za 7-9 razrede, to su funkcije s prirodnim eksponentom i funkcije s negativnim cijelim eksponentom. U prošloj lekciji s vama smo zapisali teoriju potencijskih funkcija s razlomačkim eksponentima

y = x p, gdje je p zadani realni broj

Svojstva i graf funkcije snage ovise o svojstvima potencije s realnim eksponentom, a posebno o vrijednostima x i p za koje potencija x p ima smisla.

2.

Generalizacija svojstava funkcija snage. Rad s potpornim nacrtom.

1.Rad na ploči: konstruirati grafove funkcija. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

7 ljudi radi na ploči, ostaju na mjestu, ujedinjeni u grupe za daljnju provjeru

Popisujemo nekretnine prema planu.

Domena.

Raspon vrijednosti (skup vrijednosti).

Parna, neparna funkcija.

Povećanje, smanjenje.

Na kraju rada provjera učenika koji su ostali na mjestu (na ekranu se prikazuju slajdovi s grafovima funkcija).

2. “matematički loto” Na ekranu se prikazuju gotovi grafikoni funkcija, na ploči su ispisani skupovi formula, a odnose treba uspostaviti.

Međusobna provjera:

Točni odgovori: br. 1 578 643 192

3 Usmeni rad

1. Pomoću grafova ovih funkcija pronađite intervale u kojima graf funkcije y = x π leži iznad (ispod) grafa funkcije y = x.

2. Pomoću grafova ovih funkcija pronađite intervale u kojima graf funkcije y = x sin 45 leži iznad (ispod) grafa funkcije y = x.

3. Pomoću slike pronađite intervale u kojima graf funkcije y = x 1- π leži iznad (ispod) grafa funkcije y = x.

Pretvaranje grafova

Grafikoni funkcija se u mnogim slučajevima mogu konstruirati nekim transformacijama već poznatih grafova funkcija jednostavnijeg oblika. Prisjetimo se nekih od njih.

Razmotrite verbalnu transformaciju grafa funkcije snage, a zatim konstruirajte dva grafa.

Samostalni rad

Sami definirajte funkciju potencije, nacrtajte je, opišite njena svojstva

4.3 FUNKCIJA POTENCIJE, NJEZINA SVOJSTVA I GRAFIKA

Sadržaj edukativnog materijala:

1. Funkcija stepena, definicija, zapis.

2. Osnovna svojstva funkcije snage.

3.Grafovi potencijskih funkcija i njihove značajke.

4. Izračun vrijednosti funkcije na temelju vrijednosti argumenta. Određivanje položaja točke na grafu njezinim koordinatama i obrnuto.

5. Korištenje svojstava funkcija za usporedbu vrijednosti stupnjeva.

Vlast naziva funkcija oblika g = x r , Gdjex je baza stupnja,

r– eksponent.Svojstva funkcije potencije određena su njezinim eksponentom. Razmotrimo osnovna svojstva potencijskih funkcija s raznim eksponentima i njihovim grafovima.

a) Svojstva funkcije g = x r , r > 1

D(x) = )