Fungsi pangkat, sifat-sifatnya dan grafiknya Materi demonstrasi Kuliah-Konsep fungsi. Properti fungsi

Pada pelajaran terakhir, kita mengulangi dan menggeneralisasi pengetahuan kita pada topik “Konsep eksponen”.

Ingatlah bahwa jika - pe dibagi ku adalah pecahan biasa, dan ku tidak sama dengan satu dan a lebih besar dari atau sama dengan nol, maka dengan ekspresi a pangkat pe dibagi ku yang kita maksud adalah akar dari derajat ku dari a pangkat pe.

Misalnya, bilangan satu koma tiga pangkat tiga per tujuh dapat ditulis sebagai akar ketujuh dari satu koma tiga pangkat tiga.

Fungsi yang bentuknya k adalah sembarang bilangan real biasanya disebut fungsi pangkat.

Hari ini kita akan membahas kasus di mana k adalah eksponen rasional (fraksional).

Pada mata pelajaran aljabar untuk kelas 7-9, Anda mempelajari sifat-sifat dan grafik fungsi pangkat dengan eksponen natural. Fungsi (k-bilangan real apa pun), fungsi pangkat.

Untuk k=n (n∈N), -fungsi pangkat dengan eksponen natural.

Mari kita mengingat kembali grafik fungsi tersebut.

Grafik fungsi atau y=x (y sama dengan x pangkat satu atau y sama dengan x) adalah garis lurus.

Grafik fungsi (E sama dengan x kuadrat) adalah parabola.

Grafik fungsi (E sama dengan X pangkat tiga) adalah parabola kubik.

Grafik fungsi pangkat (y sama dengan x pangkat ka) dalam kasus k genap mirip dengan parabola. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi pangkat dengan k sama dengan enam.

Grafik fungsi pangkat (y sama dengan x pangkat ka) dalam kasus k ganjil mirip dengan parabola kubik. Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi pangkat dengan k sama dengan tujuh.

Jika eksponen fungsi pangkat adalah bilangan bulat negatif, maka kita memperoleh fungsi dengan bentuk: y sama dengan x pangkat dikurangi en atau y sama dengan satu dibagi x pangkat ke-n.

Jika n bilangan genap, maka grafiknya seperti pada gambar.

Di manakah fungsi y=x-2, atau y= ditampilkan?

Jika n bilangan ganjil, maka grafiknya terlihat seperti ini.

Gambar menunjukkan fungsi y=x-3, atau y=

Jika eksponen suatu fungsi pangkat sama dengan nol, maka fungsi tersebut berbentuk: Grafik fungsi tersebut adalah garis lurus yang melalui ordinat satu dan sejajar dengan sumbu absis.

Untuk k=-n (n∈Z), -fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif.

Pertimbangkan fungsi pangkat (E sama dengan x pangkat k), di mana k adalah bilangan pecahan negatif atau positif.

Sebagai contoh, mari kita buat grafik fungsi pangkat (E sama dengan x pangkat dua koma tiga).

Daerah asal definisinya (yaitu, semua nilai yang diterima oleh x) adalah sinar yang berawal di titik nol.

Dalam domain definisi ini, kita akan membuat grafik fungsi (y sama dengan x kuadrat) - ini adalah cabang parabola, disorot dengan warna hijau muda, dan (y sama dengan x pangkat tiga) - cabang parabola kubik, disorot dalam warna hijau tua.

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa pada interval (0;1) parabola kubik terletak di bawah parabola, dan pada sinar terbuka (1;+) - di atas.

Perlu diketahui bahwa grafik fungsi (y sama dengan x kuadrat), (y sama dengan x pangkat dua koma tiga) dan (y sama dengan x pangkat tiga) melewati titik (0;0) dan (1;1).

Untuk nilai argumen x yang lain, grafik fungsi (y sama dengan x pangkat dua koma tiga) berada di antara grafik fungsi (y sama dengan x kuadrat) dan (y sama dengan x potong dadu).

Situasi serupa terjadi pada fungsi pangkat apa pun, di mana merupakan pecahan biasa, yaitu pembilang m lebih besar dari penyebut n. Grafik fungsi ini berupa kurva yang mirip dengan cabang parabola.

Semakin tinggi indeks fungsi k, semakin “curam” arah cabangnya.

Gambar tersebut menunjukkan grafik fungsi y sama dengan x pangkat tujuh detik.

Dengan demikian, kita dapat membedakan sifat-sifat berikut dari fungsi pangkat igr sama dengan x pangkat em dibagi en, dimana pembilang m lebih besar dari penyebut n.

1. Daerah definisinya adalah nilai x dari nol sampai plus tak terhingga.

4.Dibatasi dari bawah oleh sumbu x, tidak dibatasi dari atas.

5.Fungsi tersebut mengambil nilai terkecil nol; tidak menjadi masalah yang paling penting.

8. Cembung ke bawah.

Mari kita buat grafik fungsinya, di mana adalah pecahan biasa (pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya) dan 0< <1.

Sifat-sifat dan grafik fungsi yang telah dibahas sebelumnya (y sama dengan akar ke-n dari x) atau (y sama dengan x pangkat satu dibagi n) juga berlaku untuk fungsi tersebut, di mana merupakan pecahan biasa dan 0< <1.

Mari kita ingat properti ini:

1. Daerah definisinya adalah semua nilai x dari nol sampai plus tak terhingga.

2. Fungsinya tidak genap dan tidak ganjil.

3. Fungsinya bertambah di seluruh domain definisi.

5. Fungsi tersebut mengambil nilai terkecil nol; tidak menjadi masalah yang paling penting.

6. Fungsi tersebut kontinu pada seluruh domain definisi.

7. Rentang fungsinya adalah nilai permainan dari nol sampai plus tak terhingga.

8. Cembung ke atas. fungsi, dimana adalah pecahan biasa (pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya) dan 0<

2. Tidak genap maupun ganjil.

3. Meningkat sebesar.

4. Dibatasi dari bawah oleh sumbu x, tidak dibatasi dari atas.

5. inaim=0; tidak menjadi masalah yang paling penting.

6. Terus menerus.

8. Cembung ke atas.

Mari kita perhatikan jenis fungsi pangkat berikut - fungsi yang bentuknya: y sama dengan x pangkat dikurangi em dibagi en.

Sebelumnya, kita memplot fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif sama dengan x pangkat dikurangi k, di mana k adalah bilangan asli.

Jika x lebih besar dari nol, grafik fungsi ini tampak seperti cabang hiperbola.

Dengan cara yang sama, grafik fungsi pangkat apa pun dengan eksponen rasional (fraksional) negatif dibuat.

Perlu diingat bahwa grafik fungsi tersebut memiliki dua asimtot: asimtot horizontal - y sama dengan nol dan asimtot vertikal - x sama dengan nol.

Jadi, fungsi pangkat igr sama dengan x pangkat dikurangi em dibagi en memiliki sifat-sifat berikut (dan x lebih besar dari nol, karena dalam kasus basis negatif dengan eksponen negatif, pangkat dari ekspresi tidak masuk akal):

1) Daerah definisinya adalah sinar terbuka dari nol sampai tak terhingga.

2) Fungsinya tidak genap dan tidak ganjil.

3) Fungsinya menurun di seluruh domain definisi.

4) Bagian bawah dibatasi oleh sumbu x, bagian atas tidak dibatasi.

5) Fungsi tersebut tidak memiliki nilai minimum atau maksimum.

6) Fungsi tersebut kontinu pada seluruh domain definisi.

7) Rentang fungsinya adalah nilai permainan dari nol sampai plus tak terhingga.

8) Cembung ke bawah.

Sifat-sifat fungsi pangkat (x 0):

2). Tidak genap maupun ganjil.

3). Menurun.

4). Bagian bawah dibatasi oleh sumbu x, bagian atas tidak dibatasi.

5). Tidak mempunyai nilai terkecil maupun terbesar.

6). Berkelanjutan untuk

8). Cembung ke bawah.

Anda sudah mengetahui bahwa turunan fungsi pangkat berbentuk yrek sama dengan x pangkat en, di mana n adalah bilangan asli, sama dengan n kali x pangkat n dikurangi satu.

Demikian pula, Anda dapat menghitung turunan fungsi pangkat dengan eksponen rasional.

Jadi, teorema berikut ini benar:

Jika x lebih besar dari nol dan r adalah bilangan rasional sembarang, maka turunan fungsi pangkat y sama dengan x pangkat r, dan dihitung dengan rumus: turunan x pangkat r sama hingga r kali x pangkat r dikurangi satu.

Misalnya, turunan a pangkat tiga minus sama dengan minus tiga dan pangkat minus empat.

Turunan x pangkat minus dua pertiga sama dengan minus dua pertiga x pangkat minus lima pertiga.

Di sini, minus satu direpresentasikan sebagai pecahan biasa tiga pertiga, kemudian pecahan minus dua pertiga dan minus tiga pertiga dijumlahkan.

Teorema: jika x>0, r-bilangan rasional, maka

Tidak sulit untuk mendapatkan rumus yang sesuai untuk mengintegrasikan fungsi pangkat ketika r tidak sama dengan satu. Jadi, integral tak tentu x pangkat r sama dengan x pangkat r ditambah satu dibagi r ditambah satu ditambah konstanta ce.

Tidak sulit untuk memahami bahwa fungsi tersebut sama dengan x pangkat r ditambah satu, dibagi r ditambah satu adalah antiturunan dari fungsi yang sama dengan x pangkat r. Rumus untuk mengintegrasikan fungsi pangkat:

Suatu fungsi merupakan antiturunan dari suatu fungsi.

Mari kita pertimbangkan penerapan pengetahuan yang diperoleh saat membuat grafik fungsi pangkat.

Buatlah grafik fungsi y sama dengan x ditambah dua pangkat satu setengah.

1. Mari kita buat grafik fungsi x pangkat satu setengah. Ini adalah fungsi dari bentuk dimana adalah pecahan biasa (pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya) dan 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Jelas sekali bahwa grafik fungsi y sama dengan x ditambah dua pangkat satu setengah dibuat dengan menggunakan translasi paralel terhadap sumbu x sebanyak dua satuan ke kiri. Pada gambar, grafik disorot dengan warna hijau.

Buat grafik fungsinya

1. - kasus khusus untuk suatu fungsi berbentuk, di mana - adalah pecahan biasa (pembilangnya lebih kecil dari penyebutnya) dan 0< <1.

2. Grafik diperoleh dengan translasi paralel sepanjang sumbu X 2 satuan ke kiri.

Rencana belajar:

“Fungsi daya, properti dan grafiknya”

Nama lengkap Stadnik Elena Ivanovna

Tempat kerja Petersburg, sekolah GBOU distrik Pushkinsky No.606

studi mendalam tentang bahasa Inggris.

Judul pekerjaan guru matematika

Barang Matematikawan

Kelas 10

Topik dan nomor dalam topik“Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya”

2 pelajaran dalam topik (total 2 pelajaran)

Tutorial dasar Sh.A. Alimov, Yu.M. Kolyagin, Yu.V. Sidorov, N.E. Fedorova dan lainnya.

“Aljabar dan permulaan analisis 10-11”, buku teks untuk lembaga pendidikan Direkomendasikan oleh Kementerian Pendidikan Federasi Rusia: edisi ke-9 Moscow Education 2007.

Tujuan pelajaran: Pembentukan keterampilan dalam menerapkan pengetahuan tentang topik ini ketika memecahkan masalah aljabar standar dan non-standar. Membentuk kemampuan mengintegrasikan pengetahuan dari berbagai topik dalam suatu mata kuliah matematika

Tugas:

Pendidikan: (pembentukan UUD kognitif)

mampu membandingkan bilangan, menyelesaikan pertidaksamaan menggunakan grafik dan (atau) sifat fungsi pangkat

Pendidikan: (pembentukan keterampilan pendidikan komunikatif dan personal)

menumbuhkan minat berkelanjutan terhadap mata pelajaran, membentuk kompetensi komunikatif siswa, menumbuhkan tanggung jawab dan ketelitian

Jenis pelajaran: generalisasi dan sistematisasi pengetahuan

Metode: diskusi, observasi, perbandingan, pengalaman.

Peralatan: papan, perlengkapan multimedia, papan tulis interaktif, komputer, handout pengajaran, poster dengan grafik untuk No. 126(2;3)

Selama kelas:

1.Momen organisasi:(2 menit) mengulangi teori menggunakan catatan pendukung.

2. Mengecek pekerjaan rumah secara berkelompok.(10 menit.)

Level wajib (1 grup)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

Nomor 119 (2,4,6) dari titik menunjukkan D (f), E (f) berupa interval angka dan nomor gambar sesuai dengan garis pendukungnya .(lihat Lampiran 1)

Contoh jawaban:

Nomor 119(2): D (f )=(); E(f) =(),Gbr.2

Nomor 119(4): D (f )=(),(0; ),

E (f) =(0;),Gambar3

No.119(6):): D (f )= ; ); E(f) = ; ), gambar5

No.124(2) dari titik penalti

Contoh jawaban:

Menurut Gambar 13 dari buku teks, grafik

terletak di atas grafik fungsi

.

128. Di papan tulis, siswa 1 menuliskan jawaban pertanyaan dan membuat grafik skema fungsi.

Contoh jawaban

2) ; D(f)= ; );

E(f) = ; );

4) ; D (f )=(-1; ); E(f) =(0;);

Tingkat lanjutan (grup 2) Saat guru kelompok 1 sedang memeriksa D/Z, siswa kelompok 2 sedang menyelesaikan kartu. Dan seorang siswa di papan tulis No.129(2,4) Contoh jawaban:

D ()=R ; E() = ; );

4) . D ()=R ; E() = ; );

Opsi kartu 1.

Opsi kartu 2.

No 1. Gambarkan secara skematis grafik fungsi:

Nomor 2. Temukan koordinat titik potong grafik fungsi:

AKU AKU AKU . Memperbarui pengetahuan dasar:(12 menit)

1.Tunjukkan domain definisi dan himpunan nilai fungsi:

,

2. Fungsi naik atau turun yang manakah fungsi-fungsi ini:

,

3. Fungsi yang diberikan

Tuliskan kesimpulannya di buku catatan Anda

Untuk semua fungsi

4. Nomor 122 (lisan). Dengan menggunakan properti fungsi pangkat, bandingkan dengan kesatuan:

Contoh jawaban:

No.126(1) - di papan (No. 126(2,3) secara mandiri sesuai pilihan).

Contoh jawaban:

Buatlah grafik fungsi dalam satu sistem koordinat.

IV . Berolahraga. ( 4 menit)

No 125(1,3,5,7) di bawah dikte.

Bandingkan arti dari ungkapan:

Contoh jawaban: (mari kita lihat lagi catatan pendukungnya)

3) ; Karena dan fungsi;

5) ; Karena ; dan fungsinya menurun;

7) ; Karena dan fungsinya semakin meningkat.

V . Pekerjaan rumah:(1 menit)

1 grup - No. 125 (genap), 175 (2.6), 177 (1.3)

Grup 2 - No. 184(2.4),177(2.4),182(2.3).

VI . Ringkasan pelajaran:(3 menit) Siswa merumuskan kesimpulan utama pembelajaran:

Jika eksponennya bukan bilangan bulat, maka grafik fungsinya terletak pada kuarter pertama.

Jika eksponennya bukan bilangan bulat positif, maka fungsinya meningkat.

Jika eksponennya bukan bilangan bulat negatif, maka fungsinya menurun. (pertunjukan slide)

VII . Tes (10 menit) (lihat Lampiran 2) B1 dan B2 pada “4” dan “5”, B3 dan B4 – level wajib (satu poin untuk jawaban yang benar).

VIII . Tugas tambahan. ( 3 menit)

Selesaikan persamaan: Var1.

Jawaban: -1;6. Jawaban: -4;4.

Topik pelajaran: “Fungsi pangkat, sifat dan grafiknya”

Tujuan pelajaran:

Pendidikan:

Ciptakan kondisi untuk terbentuknya pengetahuan tentang sifat-sifat dan ciri-ciri grafik fungsi pangkat y = x r untuk berbagai nilai r.

Pendidikan:

Untuk mendorong pengembangan keterampilan informasi siswa: kemampuan bekerja dengan teks slide, kemampuan menulis ringkasan pendukung.

Untuk mempromosikan pengembangan aktivitas kreatif dan mental siswa.

Terus kembangkan keterampilan mengungkapkan pikiran, menganalisis, dan menarik kesimpulan dengan jelas dan jelas.

Pendidikan:

Melanjutkan pengembangan budaya bicara matematika.

Berkontribusi pada pembentukan kompetensi komunikatif.

Jenis pelajaran: digabungkan

Bentuk penyelenggaraan kegiatan pendidikan: depan, individu.

Metode: penjelasan-ilustratif, pencarian sebagian.

Sarana pendidikan:

komputer, proyektor media;

papan tulis;

slide presentasi (PowerPoint), (Lampiran 1);

buku teks “Aljabar dan permulaan analisis”, ed. AG Mordkovich;

buku kerja, alat menggambar;

ringkasan pendukung topik (dokumen Word), (Lampiran 3);

Sebagai hasil dari mempelajari topik tersebut, siswa harus

Tahu: konsep fungsi daya,

sifat-sifat fungsi pangkat yang bergantung pada eksponennya.

Mampu untuk: sebutkan sifat-sifat fungsi pangkat tergantung pada eksponennya,

membangun grafik (sketsa grafik) fungsi pangkat dengan rasional

indikator

melakukan transformasi grafik sederhana,

mampu menulis ringkasan pendukung,

mampu mengungkapkan pemikirannya dengan jelas dan jelas, menganalisis, dan menarik kesimpulan.

Selama kelas: Kami terus berupaya mengembangkan keterampilan membuat grafik fungsi pangkat. Beberapa fungsi yang kita kenal dari mata pelajaran aljabar untuk kelas 7-9, yaitu fungsi dengan eksponen natural, dan fungsi pangkat dengan eksponen bilangan bulat negatif. Dalam pelajaran terakhir kami menulis bersama Anda teori fungsi pangkat dengan eksponen pecahan

y = x p, dimana p adalah bilangan real tertentu

Sifat dan grafik fungsi pangkat bergantung pada sifat pangkat dengan eksponen nyata, dan khususnya pada nilai x dan p yang pangkat x p masuk akal.

2.

Generalisasi sifat-sifat fungsi pangkat. Bekerja dengan kerangka pendukung.

1.Bekerja di papan: membuat grafik fungsi. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

7 orang bekerja di dewan, tetap di tempatnya, bersatu dalam kelompok untuk verifikasi lebih lanjut

Kami membuat daftar properti sesuai dengan rencana.

Domain.

Rentang nilai (set of value).

Fungsi genap dan ganjil.

Meningkat, menurun.

Di akhir pekerjaan, periksa oleh siswa yang tetap di tempatnya (slide dengan grafik fungsi ditampilkan di layar).

2. “lotre matematika” Grafik fungsi yang sudah jadi ditampilkan di layar, kumpulan rumus ditulis di papan tulis, dan hubungan perlu dibangun.

Saling memeriksa:

Jawaban yang benar: No. 1 578 643 192

3 Pekerjaan lisan

1. Dengan menggunakan grafik fungsi-fungsi tersebut, tentukan interval di mana grafik fungsi y = x π terletak di atas (di bawah) grafik fungsi y = x.

2. Dengan menggunakan grafik fungsi-fungsi tersebut, tentukan interval dimana grafik fungsi y = x sin 45 terletak di atas (di bawah) grafik fungsi y = x.

3. Dengan menggunakan gambar, carilah interval dimana grafik fungsi y = x 1- π terletak di atas (di bawah) grafik fungsi y = x.

Mengonversi grafik

Dalam banyak kasus, grafik fungsi dapat dibuat dengan beberapa transformasi grafik fungsi yang sudah diketahui dalam bentuk yang lebih sederhana. Mari kita ingat beberapa di antaranya.

Pertimbangkan untuk mentransformasikan grafik fungsi pangkat secara verbal, lalu buatlah dua grafik.

Pekerjaan mandiri

Definisikan sendiri fungsi pangkat, plot, jelaskan propertinya

4.3 FUNGSI DAYA, SIFAT DAN GRAFISNYA

Isi materi pendidikan:

1. Fungsi pangkat, definisi, notasi.

2. Sifat dasar fungsi pangkat.

3.Grafik fungsi daya dan fitur-fiturnya.

4. Perhitungan nilai fungsi berdasarkan nilai argumen. Menentukan kedudukan suatu titik pada suatu grafik berdasarkan koordinatnya dan sebaliknya.

5.Menggunakan sifat-sifat fungsi untuk membandingkan nilai derajat.

Kekuatan disebut fungsi formulir kamu = X R , Di manax adalah basis derajat,

R– eksponen Sifat-sifat fungsi pangkat ditentukan oleh eksponennya. Mari kita perhatikan sifat dasar fungsi pangkat dengan berbagai eksponen dan grafiknya.

a) Sifat-sifat fungsi kamu = X R , R > 1

D(x) = )