პრეზენტაცია გაკვეთილისთვის "ლოგარითმების შედარება" მასალა ალგებრაში ერთიანი სახელმწიფო გამოცდისთვის (GIA) მოსამზადებლად (მე-11 კლასი) თემაზე. ლოგარითმების ძირითადი თვისებები შეადარეთ ლოგარითმები სხვადასხვა ფუძის მაგალითებს

ძირითადი თვისებები.

ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

იდენტური საფუძველი

Log6 4 + log6 9.

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება.

ლოგარითმების ამოხსნის მაგალითები

რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x >

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ახალ საძირკველზე გადასვლა

მოდით იყოს მოცემული ლოგარითმის ლოგაქსი. მაშინ ნებისმიერი c რიცხვისთვის ისეთი, რომ c > 0 და c ≠ 1, ტოლობა მართალია:

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

Იხილეთ ასევე:

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებლის ტოლია ლეო ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის დაბადების წელი 2,7 და ორჯერ.

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ამ წესის ცოდნა, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

ლოგარითმების მაგალითები

ლოგარითმის გამონათქვამები

მაგალითი 1.
ა). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 თვისებების გამოყენებით ვიანგარიშებთ

4. სად .

მაგალითი 2. იპოვეთ x თუ

მაგალითი 3. მოცემულია ლოგარითმების მნიშვნელობა

გამოთვალეთ log(x) თუ

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმები, ისევე როგორც ნებისმიერი რიცხვი, შეიძლება ყველანაირად დაემატოს, გამოკლდეს და გარდაიქმნას. მაგრამ რადგან ლოგარითმები არ არის ზუსტად ჩვეულებრივი რიცხვები, აქ არის წესები, რომლებსაც უწოდებენ ძირითადი თვისებები.

თქვენ აუცილებლად უნდა იცოდეთ ეს წესები - მათ გარეშე არც ერთი სერიოზული ლოგარითმული პრობლემის გადაჭრა შეუძლებელია. გარდა ამისა, ისინი ძალიან ცოტაა - ყველაფრის სწავლა ერთ დღეში შეგიძლიათ. მოდით დავიწყოთ.

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

განვიხილოთ ორი ლოგარითმი ერთი და იგივე ფუძეებით: ლოგაქსი და ლოგაი. შემდეგ მათი დამატება და გამოკლება შესაძლებელია და:

ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

მაშასადამე, ლოგარითმების ჯამი ტოლია ნამრავლის ლოგარითმისა, ხოლო სხვაობა უდრის კოეფიციენტის ლოგარითმს. გთხოვთ გაითვალისწინოთ: მთავარი აქ არის იდენტური საფუძველი. თუ მიზეზები განსხვავებულია, ეს წესები არ მუშაობს!

ეს ფორმულები დაგეხმარებათ გამოთვალოთ ლოგარითმული გამოხატულება მაშინაც კი, როცა მისი ცალკეული ნაწილები არ არის გათვალისწინებული (იხილეთ გაკვეთილი „რა არის ლოგარითმი“). გადახედეთ მაგალითებს და ნახეთ:

ვინაიდან ლოგარითმებს აქვთ იგივე ფუძეები, ვიყენებთ ჯამის ფორმულას:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

საფუძვლები იგივეა, ჩვენ ვიყენებთ განსხვავების ფორმულას:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

როგორც ხედავთ, ორიგინალური გამონათქვამები შედგება "ცუდი" ლოგარითმებისგან, რომლებიც ცალკე არ არის გამოთვლილი. მაგრამ გარდაქმნების შემდეგ მიიღება სრულიად ნორმალური რიცხვები. ბევრი ტესტი ეფუძნება ამ ფაქტს. დიახ, ტესტის მსგავსი გამონათქვამები წარმოდგენილია მთელი სერიოზულობით (ზოგჯერ პრაქტიკულად ცვლილებების გარეშე) ერთიან სახელმწიფო გამოცდაზე.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ადვილი მისახვედრია, რომ ბოლო წესი პირველ ორს მიჰყვება. მაგრამ უმჯობესია დაიმახსოვროთ ის მაინც - ზოგიერთ შემთხვევაში ეს მნიშვნელოვნად შეამცირებს გამოთვლების რაოდენობას.

რა თქმა უნდა, ყველა ამ წესს აქვს აზრი, თუ ლოგარითმის ODZ დაფიქსირდა: a > 0, a ≠ 1, x > 0. და კიდევ ერთი რამ: ისწავლეთ ყველა ფორმულის გამოყენება არა მხოლოდ მარცხნიდან მარჯვნივ, არამედ პირიქით. , ე.ი. თქვენ შეგიძლიათ შეიყვანოთ რიცხვები ლოგარითმის ნიშანიმდე ლოგარითმში. ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

მოდით, თავი დავაღწიოთ არგუმენტის ხარისხს პირველი ფორმულის გამოყენებით:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ მნიშვნელი შეიცავს ლოგარითმს, რომლის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი ხარისხებია: 16 = 24; 49 = 72. გვაქვს:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით.

ლოგარითმის ფორმულები. ლოგარითმები ამონახსნების მაგალითები.

იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახლა გადავხედოთ ძირითად წილადს. მრიცხველი და მნიშვნელი შეიცავს ერთსა და იმავე რიცხვს: log2 7. ვინაიდან log2 7 ≠ 0 შეგვიძლია შევამციროთ წილადი - 2/4 დარჩება მნიშვნელში. არითმეტიკის წესების მიხედვით, ოთხი შეიძლება გადავიდეს მრიცხველზე, რაც გაკეთდა. შედეგი იყო პასუხი: 2.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

ლოგარითმების შეკრების და გამოკლების წესებზე საუბრისას, მე კონკრეტულად ხაზგასმით აღვნიშნე, რომ ისინი მუშაობენ მხოლოდ ერთი და იგივე ფუძეებით. რა მოხდება, თუ მიზეზები განსხვავებულია? რა მოხდება, თუ ისინი არ არიან იგივე რიცხვის ზუსტი სიმძლავრეები?

ახალ საძირკველზე გადასვლის ფორმულები სამაშველოში მოდის. მოდით ჩამოვაყალიბოთ ისინი თეორემის სახით:

კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:

მეორე ფორმულიდან გამომდინარეობს, რომ ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი შეიძლება შეიცვალოს, მაგრამ ამ შემთხვევაში მთელი გამოთქმა არის „გადაბრუნებული“, ე.ი. ლოგარითმი გამოჩნდება მნიშვნელში.

ეს ფორმულები იშვიათად გვხვდება ჩვეულებრივ ციფრულ გამონათქვამებში. მათი მოხერხებულობის შეფასება შესაძლებელია მხოლოდ ლოგარითმული განტოლებებისა და უტოლობების ამოხსნისას.

თუმცა არის პრობლემები, რომელთა მოგვარებაც საერთოდ შეუძლებელია, გარდა ახალ ფონდში გადასვლისა. მოდით შევხედოთ რამდენიმე მათგანს:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმის არგუმენტები შეიცავს ზუსტ ძალას. ამოვიღოთ ინდიკატორები: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

ვინაიდან პროდუქტი არ იცვლება ფაქტორების გადაწყობისას, ჩვენ მშვიდად გავამრავლეთ ოთხი და ორი, შემდეგ კი ლოგარითმებს მივმართეთ.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

პირველი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი ზუსტი სიმძლავრეებია. მოდით დავწეროთ ეს და მოვიშოროთ ინდიკატორები:

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

ხშირად ამოხსნის პროცესში აუცილებელია რიცხვის ლოგარითმის სახით წარმოდგენა მოცემულ ბაზაზე. ამ შემთხვევაში შემდეგი ფორმულები დაგვეხმარება:

პირველ შემთხვევაში, რიცხვი n ხდება არგუმენტის მაჩვენებელი. რიცხვი n შეიძლება იყოს აბსოლუტურად ნებისმიერი, რადგან ის მხოლოდ ლოგარითმის მნიშვნელობაა.

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: .

ფაქტობრივად, რა მოხდება, თუ რიცხვი b ამაღლებულია ისეთ ხარისხამდე, რომ რიცხვი b ამ ხარისხზე იძლევა რიცხვს a? მართალია: შედეგი არის იგივე რიცხვი a. კიდევ ერთხელ ყურადღებით წაიკითხეთ ეს აბზაცი - ბევრი ადამიანი მასზე ჩერდება.

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულების მსგავსად, ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა ზოგჯერ ერთადერთი შესაძლო გამოსავალია.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

გაითვალისწინეთ, რომ log25 64 = log5 8 - უბრალოდ აიღო კვადრატი ლოგარითმის ფუძიდან და არგუმენტიდან. იმავე ფუძით ძალაუფლების გამრავლების წესების გათვალისწინებით, მივიღებთ:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

დასასრულს, მე მივცემ ორ იდენტობას, რომლებსაც ძნელად შეიძლება ვუწოდოთ თვისებები - უფრო მეტიც, ისინი ლოგარითმის განსაზღვრის შედეგებია. ისინი გამუდმებით ჩნდებიან პრობლემებში და, რა გასაკვირია, პრობლემებს უქმნიან თუნდაც „მოწინავე“ მოსწავლეებს.

ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

ეს არის ყველა თვისება. დარწმუნდით, რომ ივარჯიშეთ მათ პრაქტიკაში! ჩამოტვირთეთ მოტყუების ფურცელი გაკვეთილის დასაწყისში, ამობეჭდეთ და მოაგვარეთ პრობლემები.

Იხილეთ ასევე:

b-ის ლოგარითმი a-ს ბაზაზე აღნიშნავს გამონათქვამს. ლოგარითმის გამოთვლა ნიშნავს x () სიმძლავრის პოვნას, რომლის დროსაც ტოლობა დაკმაყოფილებულია

ლოგარითმის ძირითადი თვისებები

აუცილებელია ზემოაღნიშნული თვისებების ცოდნა, ვინაიდან ლოგარითმებთან დაკავშირებული თითქმის ყველა პრობლემა და მაგალითი წყდება მათ საფუძველზე. დანარჩენი ეგზოტიკური თვისებების მიღება შესაძლებელია ამ ფორმულებით მათემატიკური მანიპულაციებით

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

ლოგარითმების ჯამისა და სხვაობის ფორმულის გამოთვლისას (3.4) საკმაოდ ხშირად გვხვდება. დანარჩენი გარკვეულწილად რთულია, მაგრამ რიგ ამოცანებში ისინი შეუცვლელია რთული გამონათქვამების გასამარტივებლად და მათი მნიშვნელობების გამოსათვლელად.

ლოგარითმების გავრცელებული შემთხვევები

ზოგიერთი საერთო ლოგარითმებია ისეთები, რომლებშიც ფუძე არის ათიც კი, ექსპონენციალური ან ორი.
ლოგარითმს ათი საფუძვლამდე ჩვეულებრივ უწოდებენ ათობითი ლოგარითმს და უბრალოდ აღინიშნება lg(x-ით).

ჩანაწერიდან ირკვევა, რომ ჩანაწერში საფუძვლები არ წერია. Მაგალითად

ბუნებრივი ლოგარითმი არის ლოგარითმი, რომლის ფუძე არის ექსპონენტი (აღნიშნულია ln(x)-ით).

მაჩვენებელი არის 2.718281828…. მაჩვენებლის დასამახსოვრებლად შეგიძლიათ შეისწავლოთ წესი: მაჩვენებლის ტოლია ლეო ნიკოლაევიჩ ტოლსტოის დაბადების წელი 2,7 და ორჯერ. ამ წესის ცოდნა, თქვენ გეცოდინებათ როგორც მაჩვენებლის ზუსტი მნიშვნელობა, ასევე ლეო ტოლსტოის დაბადების თარიღი.

და კიდევ ერთი მნიშვნელოვანი ლოგარითმი ორი საფუძვლისთვის აღინიშნება

ფუნქციის ლოგარითმის წარმოებული ტოლია ერთის გაყოფილი ცვლადზე

ინტეგრალური ან ანტიდერივატიული ლოგარითმი განისაზღვრება ურთიერთობით

მოცემული მასალა საკმარისია თქვენთვის ლოგარითმებთან და ლოგარითმებთან დაკავშირებული ამოცანების ფართო კლასის გადასაჭრელად. მასალის გაგებაში რომ დაგეხმაროთ, მხოლოდ რამდენიმე გავრცელებულ მაგალითს მოვიყვან სკოლის სასწავლო გეგმიდან და უნივერსიტეტებიდან.

ლოგარითმების მაგალითები

ლოგარითმის გამონათქვამები

მაგალითი 1.
ა). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 თვისებების გამოყენებით ვიანგარიშებთ

2.
ლოგარითმების განსხვავების თვისებით გვაქვს

3.
თვისებები 3.5-ის გამოყენებით ვპოულობთ

4. სად .

ერთი შეხედვით რთული გამონათქვამი გამარტივებულია და ჩამოყალიბებულია რიგი წესების გამოყენებით

ლოგარითმის მნიშვნელობების პოვნა

მაგალითი 2. იპოვეთ x თუ

გამოსავალი. გამოსათვლელად ვიყენებთ ბოლო ტერმინს 5 და 13 თვისებებს

ჩავწერეთ ჩანაწერში და ვგლოვობთ

ვინაიდან ფუძეები ტოლია, გამონათქვამებს ვაიგივებთ

ლოგარითმები. პირველი დონე.

დაე, ლოგარითმების მნიშვნელობა იყოს მოცემული

გამოთვალეთ log(x) თუ

ამოხსნა: ავიღოთ ცვლადის ლოგარითმი, რომ დავწეროთ ლოგარითმი მისი წევრთა ჯამის მეშვეობით

ეს მხოლოდ დასაწყისია ჩვენი გაცნობისა ლოგარითმებთან და მათ თვისებებთან. ივარჯიშეთ გამოთვლებით, გაამდიდრეთ თქვენი პრაქტიკული უნარები - მალე დაგჭირდებათ მიღებული ცოდნა ლოგარითმული განტოლებების ამოსახსნელად. ასეთი განტოლებების ამოხსნის ძირითადი მეთოდების შესწავლის შემდეგ, ჩვენ გავაფართოვებთ თქვენს ცოდნას სხვა თანაბრად მნიშვნელოვან თემაზე - ლოგარითმული უტოლობები...

ლოგარითმების ძირითადი თვისებები

ლოგარითმების შეკრება და გამოკლება

ლოგაქსი + ლოგაი = ლოგა (x y);
ლოგაქსი − ლოგაი = ლოგა (x: y).

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log6 4 + log6 9.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log2 48 − log2 3.

დავალება. იპოვეთ გამოთქმის მნიშვნელობა: log3 135 − log3 5.

ისევ ბაზები იგივეა, ამიტომ გვაქვს:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

მაჩვენებლის ამოღება ლოგარითმიდან

ახლა ცოტა გავართულოთ დავალება. რა მოხდება, თუ ლოგარითმის საფუძველი ან არგუმენტი არის ძალა? მაშინ ამ ხარისხის მაჩვენებლის ამოღება შესაძლებელია ლოგარითმის ნიშნიდან შემდეგი წესების მიხედვით:

როგორ ამოხსნათ ლოგარითმები

ეს არის ის, რაც ყველაზე ხშირად საჭიროა.

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log7 496.

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

ვფიქრობ, ბოლო მაგალითი მოითხოვს გარკვეულ განმარტებას. სად წავიდა ლოგარითმები? ბოლო მომენტამდე ჩვენ ვმუშაობთ მხოლოდ მნიშვნელით. იქ მდგომი ლოგარითმის საფუძველი და არგუმენტი წარვადგინეთ სიმძლავრეების სახით და ამოვიღეთ მაჩვენებლები - მივიღეთ „სამსართულიანი“ წილადი.

ახალ საძირკველზე გადასვლა

კერძოდ, თუ დავაყენებთ c = x, მივიღებთ:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log5 16 log2 25.

ახლა მოდით "შევუბრუნდეთ" მეორე ლოგარითმს:

დავალება. იპოვეთ გამოხატვის მნიშვნელობა: log9 100 lg 3.

ახლა მოდით დავაღწიოთ ათობითი ლოგარითმი ახალ ბაზაზე გადასვლით:

ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა

მეორე ფორმულა რეალურად არის პერიფრაზირებული განმარტება. ასე ჰქვია: .

დავალება. იპოვნეთ გამოთქმის მნიშვნელობა:

თუ ვინმემ არ იცის, ეს იყო რეალური დავალება ერთიანი სახელმწიფო გამოცდიდან :)

ლოგარითმული ერთეული და ლოგარითმული ნული

ლოგა = 1 არის. ერთხელ და სამუდამოდ დაიმახსოვრეთ: ლოგარითმი ამ ფუძის ნებისმიერი a ფუძის ტოლია ერთის.
ლოგა 1 = 0 არის. ფუძე a შეიძლება იყოს ნებისმიერი, მაგრამ თუ არგუმენტი შეიცავს ერთს, ლოგარითმი ნულის ტოლია! რადგან a0 = 1 არის განმარტების პირდაპირი შედეგი.

დავიწყოთ იმით ერთის ლოგარითმის თვისებები. მისი ფორმულირება ასეთია: ერთიანობის ლოგარითმი ნულის ტოლია, ანუ შესვლა a 1=0ნებისმიერი a>0, a≠1. მტკიცებულება არ არის რთული: ვინაიდან 0 =1 ნებისმიერი a-სთვის, რომელიც აკმაყოფილებს ზემოთ მოცემულ პირობებს a>0 და a≠1, მაშინ დასამტკიცებელი ტოლობის ჟურნალი a 1=0 დაუყოვნებლივ გამომდინარეობს ლოგარითმის განმარტებიდან.

მოვიყვანოთ განხილული თვისების გამოყენების მაგალითები: log 3 1=0, log1=0 და .

მოდით გადავიდეთ შემდეგ ქონებაზე: ფუძის ტოლი რიცხვის ლოგარითმი ერთის ტოლია, ანუ შესვლა a=1 a>0, a≠1. მართლაც, ვინაიდან a 1 =a ნებისმიერი a-სთვის, მაშინ ლოგარითმის განმარტებით log a=1.

ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების მაგალითებია ტოლობები log 5 5=1, log 5.6 5.6 და lne=1.

მაგალითად, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 და .

ორი დადებითი რიცხვის ნამრავლის ლოგარითმი x და y ტოლია ამ რიცხვების ლოგარითმების ნამრავლის: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . მოდით დავამტკიცოთ პროდუქტის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის თვისებებიდან გამომდინარე a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, და რადგან მთავარი ლოგარითმული იდენტობით log a x =x და log a y =y, მაშინ log a x ·a log a y =x·y. ამრიგად, log a x+log a y =x·y, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, დადასტურებული ტოლობა გამომდინარეობს.

ვაჩვენოთ ნამრავლის ლოგარითმის თვისების გამოყენების მაგალითები: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 და .

ნამრავლის ლოგარითმის თვისება შეიძლება განზოგადდეს დადებითი რიცხვების n სასრული რიცხვის ნამრავლზე x 1 , x 2 , …, x n როგორც log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . ეს თანასწორობა შეიძლება დადასტურდეს უპრობლემოდ.

მაგალითად, პროდუქტის ბუნებრივი ლოგარითმი შეიძლება შეიცვალოს 4, e და რიცხვების სამი ბუნებრივი ლოგარითმის ჯამით.

ორი დადებითი რიცხვის კოეფიციენტის ლოგარითმი x და y უდრის სხვაობას ამ რიცხვების ლოგარითმებს შორის. კოეფიციენტის ლოგარითმის თვისება შეესაბამება ფორმის ფორმულას, სადაც a>0, a≠1, x და y არის რამდენიმე დადებითი რიცხვი. დადასტურებულია ამ ფორმულის მართებულობა, ისევე როგორც პროდუქტის ლოგარითმის ფორმულა: ვინაიდან , შემდეგ ლოგარითმის განმარტებით.

აქ მოცემულია ლოგარითმის ამ თვისების გამოყენების მაგალითი: .

მოდით გადავიდეთ სიმძლავრის ლოგარითმის თვისება. ხარისხის ლოგარითმი ტოლია ამ ხარისხის მაჩვენებლისა და ამ ხარისხის ფუძის მოდულის ნამრავლის. მოდით დავწეროთ სიმძლავრის ლოგარითმის ეს თვისება ფორმულის სახით: log a b p =p·log a |b|, სადაც a>0, a≠1, b და p ისეთი რიცხვებია, რომ b p ხარისხი აქვს აზრი და b p >0.

ჯერ ვამტკიცებთ ამ თვისებას დადებითად b. ძირითადი ლოგარითმული იდენტურობა გვაძლევს საშუალებას გამოვსახოთ რიცხვი b, როგორც log a b , შემდეგ b p =(a log a b) p , და მიღებული გამოხატულება, სიმძლავრის თვისების გამო, უდრის p·log a b. ასე რომ, მივდივართ ტოლობამდე b p =a p·log a b, საიდანაც, ლოგარითმის განმარტებით, ვასკვნით, რომ log a b p =p·log a b.

რჩება ამ თვისების დამტკიცება უარყოფითი ბ. აქვე აღვნიშნავთ, რომ გამოთქმა log a b p უარყოფითი b-ისთვის აზრი აქვს მხოლოდ ლუწი მაჩვენებლებს p (რადგან b ხარისხის b p მნიშვნელობა უნდა იყოს ნულზე მეტი, წინააღმდეგ შემთხვევაში ლოგარითმი აზრი არ ექნება) და ამ შემთხვევაში b p =|b| გვ. მერე b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, საიდანაც log a b p =p·log a |b| .

Მაგალითად, და ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3.

ეს გამომდინარეობს წინა საკუთრებიდან ლოგარითმის თვისება ფესვიდან: n-ე ფესვის ლოგარითმი უდრის 1/n წილადის ნამრავლს რადიკალური გამოხატვის ლოგარითმით, ანუ, , სადაც a>0, a≠1, n არის ერთზე მეტი ნატურალური რიცხვი, b>0.

მტკიცებულება ემყარება ტოლობას (იხ.), რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი დადებითი b-ისთვის და სიმძლავრის ლოგარითმის თვისებაზე: .

აქ მოცემულია ამ ქონების გამოყენების მაგალითი: .

ახლა დავამტკიცოთ ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულატიპი . ამისათვის საკმარისია დავამტკიცოთ ტოლობის log c b=log a b·log c a. ძირითადი ლოგარითმული იდენტობა საშუალებას გვაძლევს წარმოვადგინოთ რიცხვი b როგორც log a b , შემდეგ log c b=log c a log a b . რჩება ხარისხის ლოგარითმის თვისების გამოყენება: log c a log a b =log a b log c a. ეს ადასტურებს ტოლობის log c b=log a b·log c a, რაც ნიშნავს, რომ ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე დადასტურებულია.

მოდით ვაჩვენოთ ლოგარითმების ამ თვისების გამოყენების რამდენიმე მაგალითი: და .

ახალ ბაზაზე გადასვლის ფორმულა საშუალებას გაძლევთ გადახვიდეთ ლოგარითმებთან მუშაობაზე, რომლებსაც აქვთ "მოხერხებული" ბაზა. მაგალითად, ის შეიძლება გამოყენებულ იქნას ბუნებრივ ან ათობითი ლოგარითმებზე გადასასვლელად, რათა გამოთვალოთ ლოგარითმის მნიშვნელობა ლოგარითმების ცხრილიდან. ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულა ასევე საშუალებას იძლევა, ზოგიერთ შემთხვევაში, იპოვოთ მოცემული ლოგარითმის მნიშვნელობა, როდესაც ცნობილია ზოგიერთი ლოგარითმის მნიშვნელობები სხვა ბაზებთან.

ხშირად გამოიყენება ფორმის c=b-სთვის ახალ ლოგარითმის ბაზაზე გადასვლის ფორმულის სპეციალური შემთხვევა . ეს აჩვენებს, რომ log a b და log b a – . Მაგალითად, .

ფორმულა ასევე ხშირად გამოიყენება , რაც მოსახერხებელია ლოგარითმის მნიშვნელობების მოსაძებნად. ჩვენი სიტყვების დასადასტურებლად, ჩვენ ვაჩვენებთ, თუ როგორ შეიძლება მისი გამოყენება ფორმის ლოგარითმის მნიშვნელობის გამოსათვლელად. Ჩვენ გვაქვს . ფორმულის დასამტკიცებლად საკმარისია გამოიყენოთ ფორმულა ლოგარითმის ახალ ბაზაზე გადასვლისთვის: .

რჩება ლოგარითმების შედარების თვისებების დამტკიცება.

დავამტკიცოთ, რომ ნებისმიერი დადებითი რიცხვისთვის b 1 და b 2, b 1 log a b 2 და a>1 - უტოლობა log a b 1

დაბოლოს, რჩება ლოგარითმების ჩამოთვლილი თვისებებიდან ბოლო დასამტკიცებლად. შემოვიფარგლოთ მისი პირველი ნაწილის დამტკიცებით, ანუ დავამტკიცოთ, რომ თუ a 1 >1, a 2 >1 და a 1 1 მართალია log a 1 b>log a 2 b . ლოგარითმების ამ თვისების დარჩენილი დებულებები დასტურდება მსგავსი პრინციპით.

გამოვიყენოთ საპირისპირო მეთოდი. დავუშვათ, რომ 1 >1, 2 >1 და 1-ისთვის 1 არის ჭეშმარიტი log a 1 b≤log a 2 b . ლოგარითმების თვისებებზე დაყრდნობით, ეს უტოლობები შეიძლება გადაიწეროს როგორც და შესაბამისად, და მათგან გამომდინარეობს, რომ log b a 1 ≤log b a 2 და log b a 1 ≥log b a 2, შესაბამისად. შემდეგ, იგივე ფუძეების მქონე ხარისხების თვისებების მიხედვით, უნდა იყოს ტოლობები b log b a 1 ≥b log b a 2 და b log b a 1 ≥b log b a 2, ანუ a 1 ≥a 2 . ასე რომ, ჩვენ მივედით წინააღმდეგობაში a 1-თან

ბიბლიოგრაფია.

კოლმოგოროვი A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. და სხვა ალგებრა და ანალიზის საწყისები: ზოგადსაგანმანათლებლო დაწესებულებების მე-10 - მე-11 კლასების სახელმძღვანელო.

გუსევი V.A., Mordkovich A.G. მათემატიკა (სახელმძღვანელო ტექნიკურ სასწავლებლებში მოსულთათვის).

ლოგარითმების მნიშვნელობების ან ლოგარითმის მნიშვნელობის შედარება გარკვეულ რიცხვთან ხდება სკოლის პრობლემის გადაჭრის პრაქტიკაში არა მხოლოდ როგორც დამოუკიდებელი დავალება. თქვენ უნდა შეადაროთ ლოგარითმები, მაგალითად, განტოლებების და უტოლობების ამოხსნისას. სტატიის მასალები (პრობლემები და მათი გადაწყვეტილებები) დალაგებულია „მარტივიდან რთულამდე“ პრინციპით და შეიძლება გამოყენებულ იქნას ამ თემაზე გაკვეთილის (გაკვეთილების) მომზადებისა და ჩატარებისთვის, ასევე არჩევით კლასებში. გაკვეთილზე განხილული დავალებების რაოდენობა დამოკიდებულია კლასის დონეზე და მის სპეციალიზებულ სფეროზე. მათემატიკის გაფართოებულ გაკვეთილებზე ამ მასალის გამოყენება შესაძლებელია ორსაათიანი სალექციო გაკვეთილისთვის.

1. (ზეპირად.) რომელი ფუნქცია იზრდება და რომელი მცირდება:

კომენტარი.ეს სავარჯიშო არის მოსამზადებელი სავარჯიშო.

2. (ზეპირად.)შეადარეთ ნულთან:

კომენტარი. No2 სავარჯიშოს ამოხსნისას შეგიძლიათ გამოიყენოთ როგორც ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები ლოგარითმული ფუნქციის გრაფიკის გამოყენებით, ასევე შემდეგი. სასარგებლო თვისება:

თუ დადებითი რიცხვები a და b დევს რიცხვით წრფეზე 1-ის მარჯვნივ ან 1-ის მარცხნივ (ანუ a>1 და b>1 ან 0 0 ;
თუ დადებითი რიცხვები a და b დევს რიცხვით წრფეზე 1-ის მოპირდაპირე მხარეს (ანუ 0 .

მოდით ვაჩვენოთ ამ ქონების გამოყენება No2 (ა) გადაწყვეტილებაში.

ფუნქციიდან გამომდინარე y = ჟურნალი 7 ტიზრდება R+, 10 > 7, შემდეგ log 7 10 > log 7 7, ანუ log 7 10 > 1. ამრიგად, დადებითი რიცხვები sin3 და log 7 10 დევს 1-ის საპირისპირო მხარეს. ამიტომ, log sin3 log 7 10< 0.

3. (ზეპირად.) იპოვნეთ შეცდომა მსჯელობაში:

ფუნქცია y = lgtიზრდება R +-ით, შემდეგ ,

მოდით გავყოთ ბოლო უტოლობის ორივე მხარე. ვიღებთ, რომ 2 > 3.

გამოსავალი.

დადებითი რიცხვები და 10 (ლოგარითმის საფუძველი) დევს 1-ის საპირისპირო მხარეს. ეს ნიშნავს, რომ< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (ზეპირად.) შეადარეთ რიცხვები:

კომენტარი. No4(a–c) სავარჯიშოების ამოხსნისას ვიყენებთ ლოგარითმული ფუნქციის ერთფეროვნების თვისებას. გადაწყვეტისთვის No. 4(d) ვიყენებთ თვისებას:

თუ c > a >1, მაშინ b>1-სთვის უტოლობა log a b > log c b მართალია.

ამოხსნა 4(დ).

1 წლიდან< 5 < 7 и 13 >1, შემდეგ log 5 13 > log 7 13.

5. შეადარეთ რიცხვებიჟურნალი 2 6 და 2.

გამოსავალი.

პირველი გზა (ლოგარითმული ფუნქციის ერთფეროვნების გამოყენებით).

ფუნქცია y = ჟურნალი 2 ტიზრდება R+, 6 > 4. ასე რომ, ჟურნალი 2 6 > ჟურნალი 2 4და ჟურნალი 2 5 > 2.

მეორე მეთოდი (განსხვავების შედგენა).

მოდით შევადგინოთ განსხვავება.

6. შეადარეთ რიცხვები და -1.

ფუნქცია y =მცირდება R+ , 3 < 5. Значит, >და > -1 .

7. შეადარეთ რიცხვები და 3ლოგი 8 26 .

ფუნქცია y = ჟურნალი 2 ტიზრდება R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

პირველი გზა.

მოდით გავამრავლოთ უტოლობის ორივე მხარე 3-ზე:

ფუნქცია y = ჟურნალი 5 ტიზრდება R+ , 27 > 25. ასე რომ,

მეორე გზა.

მოდით შევადგინოთ განსხვავება
. აქედან.

9. შეადარეთ რიცხვების ჟურნალი 4 26 და ჟურნალი 6 17.

მოდით შევაფასოთ ლოგარითმები, იმის გათვალისწინებით, რომ ფუნქციები y = log 4 t და y = log 6 t იზრდება R+:

იმის გათვალისწინებით, რომ ფუნქციები მცირდება R+, ჩვენ გვაქვს:

ნიშნავს,

კომენტარი. შემოთავაზებული შედარების მეთოდი ე.წ "ჩასმის" მეთოდიან "გამოყოფის" მეთოდი(ჩვენ ვიპოვეთ რიცხვი 4, რომელიც აშორებს ამ ორ რიცხვს).

11. შეადარეთ რიცხვების ჟურნალი 2 3 და ჟურნალი 3 5.

გაითვალისწინეთ, რომ ორივე ლოგარითმი 1-ზე მეტია, მაგრამ 2-ზე ნაკლები.

პირველი გზა. შევეცადოთ გამოვიყენოთ „გამოყოფის“ მეთოდი. მოდით შევადაროთ ლოგარითმები რიცხვს.

მეორე მეთოდი ( ნატურალურ რიცხვზე გამრავლება).

შენიშვნა 1. არსი მეთოდი “ნატურალურ რიცხვზე გამრავლება” არის ის, რომ ჩვენ ვეძებთ ნატურალურ რიცხვს კ, როდესაც მრავლდება რომელზედაც შედარებული რიცხვები ადა ბმიიღეთ ეს ნომრები კადა კბრომ მათ შორის არის ერთი მთელი რიცხვი მაინც.

შენიშვნა 2. ზემოაღნიშნული მეთოდის განხორციელება შეიძლება იყოს ძალიან შრომატევადი, თუ შედარებული რიცხვები ძალიან ახლოსაა ერთმანეთთან.
ამ შემთხვევაში, შეგიძლიათ სცადოთ შედარება "ერთის გამოკლების" მეთოდი" მოდით ვაჩვენოთ ეს შემდეგ მაგალითში.

12. შეადარეთ რიცხვების ჟურნალი 7 8 და ჟურნალი 6 7.

პირველი გზა (გამოვაკლოთ ერთი).

შედარებულ რიცხვებს გამოვაკლოთ 1.

პირველ უტოლობაში გამოვიყენეთ ის ფაქტი, რომ

თუ c > a > 1, მაშინ b > 1-ისთვის უტოლობა log a b > log c b არის ჭეშმარიტი.

მეორე უტოლობაში – y = log a x ფუნქციის ერთფეროვნება.

მეორე გზა (კოშის უტოლობის გამოყენება).

13. შეადარეთ რიცხვების ჟურნალი 24 72 და ჟურნალი 12 18.

14. შეადარეთ რიცხვების ჟურნალი 20 80 და ჟურნალი 80 640.

მოდით ჟურნალი 2 5 = x. შეამჩნია, რომ x > 0.

ვიღებთ უთანასწორობას.

მოდით ვიპოვოთ მრავალი გამოსავალი უთანასწორობისთვის, აკმაყოფილებს x > პირობას 0.

მოდით ავაშენოთ უტოლობის ორივე მხარე კვადრატში (ზე x> 0 უტოლობის ორივე მხარე დადებითია). ჩვენ გვაქვს 9x2< 9x + 28.

ბოლო უტოლობის ამონახსნების სიმრავლე არის ინტერვალი.

Იმის გათვალისწინებით x> 0, მივიღებთ: .

პასუხი: უთანასწორობა მართალია.

პრობლემის გადაჭრის სემინარი.

1. შეადარეთ რიცხვები:

2. დაალაგე რიცხვები ზრდის მიხედვით:

3. ამოხსენით უტოლობა 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . არის ნომერი √2 ამ უთანასწორობის გამოსავალი? (პასუხი:(–∞; ჟურნალი 2 3) ; ნომერი √2 არის ამ უთანასწორობის გამოსავალი.)

დასკვნა.

ლოგარითმების შედარების მრავალი მეთოდი არსებობს. ამ თემაზე გაკვეთილების მიზანია ასწავლოს ადამიანს ნავიგაცია სხვადასხვა მეთოდებში, აირჩიოს და გამოიყენოს ყველაზე რაციონალური გადაწყვეტა თითოეულ კონკრეტულ სიტუაციაში.

მათემატიკის სიღრმისეული შესწავლის კლასებში ამ თემაზე მასალა შეიძლება წარმოდგენილი იყოს ლექციის სახით. საგანმანათლებლო საქმიანობის ეს ფორმა გულისხმობს სალექციო მასალის საგულდაგულოდ შერჩევას, დამუშავებას და გარკვეული ლოგიკური თანმიმდევრობით დალაგებას. ჩანაწერები, რომელსაც მასწავლებელი აკეთებს დაფაზე, უნდა იყოს გააზრებული და მათემატიკურად ზუსტი.

მიზანშეწონილია სალექციო მასალის კონსოლიდაცია და პრაქტიკულ გაკვეთილებზე პრობლემის გადაჭრის უნარ-ჩვევების პრაქტიკა. სემინარის მიზანია არა მხოლოდ მიღებული ცოდნის კონსოლიდაცია და ტესტირება, არამედ მისი გაფართოება. მაშასადამე, ამოცანები უნდა შეიცავდეს სხვადასხვა დონის დავალებებს, უმარტივესი ამოცანებიდან გაზრდილი სირთულის ამოცანებამდე. ასეთ სემინარებზე მასწავლებელი მოქმედებს როგორც კონსულტანტი.

ლიტერატურა.

გალიცკი მ.ლ.და სხვა ალგებრის კურსის სიღრმისეული შესწავლა და მათემატიკური ანალიზი: მეთოდი. რეკომენდაციები და სასწავლო მასალები: სახელმძღვანელო მასწავლებლებისთვის – მ.: განათლება, 1986 წ.

Ziv B.G., Goldich V.A.დიდაქტიკური მასალები ალგებრაზე და ძირითადი ანალიზი მე-10 კლასისთვის. – სანკტ-პეტერბურგი: “CheRo-on-Neva”, 2003 წ.

ლიტვინენკო V.N., Mordkovich A.G.სემინარი ელემენტარული მათემატიკაში. Ალგებრა. ტრიგონომეტრია: საგანმანათლებლო გამოცემა. – მ.: განათლება, 1990 წ.

რიაზანოვსკი ა.რ.ალგებრა და ანალიზის დასაწყისი: მათემატიკაში ამოცანების გადაჭრის 500 გზა და მეთოდი სკოლის მოსწავლეებისა და უნივერსიტეტებში ჩასვლისთვის. – M.: Bustard, 2001 წ.

სადოვნიჩი იუ.ვ.მათემატიკა. საკონკურსო ამოცანები ალგებრაში ამონახსნებით. ნაწილი 4. ლოგარითმული განტოლებები, უტოლობა, სისტემები. სახელმძღვანელო.-მე-3 გამოცემა, სტერ.-მ.: UNTsDO-ს გამომცემლობა, 2003 წ.

შარიგინი I.F., Golubev V.I.არჩევითი კურსი მათემატიკაში: ამოცანების ამოხსნა: პროკ. შემწეობა მე-11 კლასისთვის. საშუალო სკოლა – მ.: პროსვეშჩენიე, 1991 წ.

განყოფილებაში კითხვაზე როგორ შევადაროთ ლოგარითმები როცა....(+)? ავტორის მიერ მოცემული Siftსაუკეთესო პასუხია ან თქვენ არ შეგიძლიათ მისი შემცირება ერთ ბაზამდე, მაგრამ გამოიყენეთ ლოგარითმული ფუნქციის თვისებები.
თუ ლოგარითმული ფუნქციის საფუძველი 1-ზე მეტია, მაშინ ფუნქცია იზრდება, ხოლო x > 1-ისთვის, რაც უფრო პატარაა ფუძე, მით უფრო მაღალია გრაფიკი.
0-ისთვის< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
თუ ლოგარითმის საფუძველი არის ნულზე მეტი და 1-ზე ნაკლები, მაშინ ფუნქცია მცირდება,
უფრო მეტიც, x > 1-ისთვის, რაც უფრო პატარაა ბაზა, მით უფრო მაღალია გრაფიკი,
0-ისთვის< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
გამოვა ასე:
პასუხი ეხლა გამხდარი[გურუ]
შეამცირეთ ლოგარითმები იმავე ფუძემდე (მაგალითად, ნატურალურ რიცხვამდე) და შემდეგ შეადარეთ.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); ბ>ა;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); ბ>ა.

პასუხი ეხლა ნევროპათოლოგი[გურუ]
გამოიყენეთ ფორმულა ახალ ბაზაზე გადასასვლელად: log(a)b=1/log(b)a.
შემდეგ შეადარეთ იგივე ფუძის მქონე ლოგარითმების მსგავსი წილადების მნიშვნელები.
ერთი და იგივე მრიცხველის მქონე ორი წილადიდან უფრო დიდია წილადი, რომელსაც აქვს პატარა მნიშვნელი.
მაგალითად, log(7)16 და log(3)16
1/log(16)7 და 1/log(16)3
ვინაიდან log(16)7>log(16)3, შემდეგ 1/log(16)7< 1/log(16)3.

მსგავსი სტატიები

ლუდმილა ნარუსოვა: ბიოგრაფია, საქმიანობა, ეროვნება და საინტერესო ფაქტები ლუდმილა ბორისოვნა ნარუსოვას პირადი ცხოვრება

ლუდმილა ბორისოვნა ნარუსოვა არის ნათელი ქალი, სანქტ-პეტერბურგის კულტურისა და ხელოვნების უნივერსიტეტის დოქტორანტი, საზოგადო მოღვაწე, პარლამენტარი, რომელიც ცნობილია ხელისუფლების მიმართ კრიტიკული განცხადებებით. და ისიც პეტერბურგის პირველი მერის ქვრივია...

დაწყებითი სკოლის ბავშვების მეტყველების განვითარება

გაბასოვა რასიმა რასიმოვნა - გაფართოებული დღის ჯგუფის მასწავლებელი, MBOU "ქალაქ კუკმორის მე-3 საშუალო სკოლა" თხრობის როლი უმცროსი სკოლის მოსწავლეების მეტყველების აქტივობის ფორმირებაში ლიტერატურული კითხვის გაკვეთილებზე. ცნობილი მეთოდოლოგი მ.რ.ლვოვი ხაზს უსვამს...

უმცროსი სკოლის მოსწავლეების ლიტერატურული შემოქმედება და მეტყველების განვითარება კითხვის გაკვეთილებზე

თქვენი კარგი სამუშაოს გაგზავნა ცოდნის ბაზაში მარტივია. გამოიყენეთ ქვემოთ მოცემული ფორმა სტუდენტები, კურსდამთავრებულები, ახალგაზრდა მეცნიერები, რომლებიც იყენებენ ცოდნის ბაზას სწავლასა და მუშაობაში, ძალიან მადლობელი იქნებიან თქვენი. Გამოქვეყნდა...

იაპონიის პირველი პრემიერ მინისტრი

ტოკიო, 3 აგვისტო - რია ნოვოსტი, ეკატერინა პლიასუნკოვა. იაპონიის პრემიერ-მინისტრმა შინზო აბემ ახალი კაბინეტი შექმნა, რომელიც საგარეო საქმეთა და თავდაცვის სამინისტროს ხელმძღვანელებს შეცვლის. შესაბამისი განცხადება მთავრობის გენერალურმა მდივანმა იოშიჰიდემ...

მოსწავლეთა კომუნიკაბელურობა და ორგანიზაციული უნარები

შესავალი ფსიქოლოგია (ძველი ბერძნულიდან ψυχή "სული"; λόγος "ცოდნა") არის მეცნიერება, რომელიც სწავლობს გარე დაკვირვებისთვის მიუწვდომელ სტრუქტურებსა და პროცესებს, რათა ახსნას ადამიანებისა და ცხოველების ქცევა, ასევე ინდივიდუალური ქცევითი მახასიათებლები...

ჰიდროდინამიკური ავარიები და მათი შედეგები

ჰიდროდინამიკური ავარიების შედეგებია: ჰიდრავლიკური კონსტრუქციებისა და ჰიდრავლიკური ნაგებობების დაზიანება და განადგურება და მათი ფუნქციების მოკლევადიანი ან გრძელვადიანი შეწყვეტა; ხალხის დამარცხება და სტრუქტურების განადგურება გარღვევის ტალღით; წყალდიდობა...