სიმაღლე ყოფს სამკუთხედის ფუძეს. გაკვეთილის შეჯამება "თეორემა სამკუთხედის სიმაღლეების გადაკვეთაზე"

სამკუთხედი) ან გაიარეთ სამკუთხედის გარეთ ბლაგვ სამკუთხედთან.

ენციკლოპედიური YouTube

1 / 5

✪ სამკუთხედის სიმაღლის შუალედური ბისექტრია 7 კლასი

✪ ბისექტორი, მედიანა, სამკუთხედის სიმაღლე. გეომეტრია მე-7 კლასი

✪ კლასი 7, გაკვეთილი 17, მედიანები, ბისექტრები და სამკუთხედის სიმაღლეები

✪ მედიანა, ბისექტორი, სამკუთხედის სიმაღლე | გეომეტრია

✪ როგორ მოვძებნოთ ბისექტრის სიგრძე, მედიანა და სიმაღლე? | ჩემთან ჭკუა #031 | ბორის ტრუშინი

სუბტიტრები

სამკუთხედის სამი სიმაღლის გადაკვეთის წერტილის თვისებები (ორთოცენტრი)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overrightarrow (BC))+(\overrightarrow (EB))\cdot (\ ზემოთ ისარი (CA)+(\overrightarrow (EC))\cdot (\overrightarrow (AB))=0)

(იდენტურობის დასადასტურებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულები

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\overrightarrow (BC))=(\overrightarrow (EC))-(\overrightarrow (EB)),\,(\overrightarrow (CA))=(\overrightarrow (EA))-(\overrightarrow (EB)), (EC)))

წერტილი E უნდა იქნას მიღებული, როგორც სამკუთხედის ორი სიმაღლის კვეთა.)

• ორთოცენტრიიზოგონურად კონიუგირებულია ცენტრთან შემოხაზული წრე .
• ორთოცენტრიდევს იმავე ხაზზე, როგორც ცენტრი, ცენტრი წრეწირიდა ცხრა წერტილიანი წრის ცენტრი (იხ. ეილერის სწორი ხაზი).
• ორთოცენტრიმწვავე სამკუთხედის არის წრის ცენტრი, რომელიც ჩაწერილია მის ორთოკუთხედში.
• სამკუთხედის ცენტრი, რომელიც აღწერილია ორთოცენტრით, წვეროებით მოცემული სამკუთხედის გვერდების შუა წერტილებში. ბოლო სამკუთხედს ეწოდება პირველი სამკუთხედის დამატებითი სამკუთხედი.
• ბოლო თვისება შეიძლება ჩამოყალიბდეს შემდეგნაირად: სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის ცენტრი ემსახურება ორთოცენტრიდამატებითი სამკუთხედი.
• წერტილები, სიმეტრიული ორთოცენტრისამკუთხედი მისი გვერდების მიმართ დევს წრეზე.
• წერტილები, სიმეტრიული ორთოცენტრიგვერდების შუა წერტილებთან შედარებით სამკუთხედები ასევე დევს შემოხაზულ წრეზე და ემთხვევა შესაბამისი წვეროების დიამეტრალურად საპირისპირო წერტილებს.
• თუ O არის წრეწირის ΔABC ცენტრი, მაშინ O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overrightarrow (OH))=(\overrightarrow (OA))+(\overrightarrow (OB))+(\overrightarrow (OC))) ,
• მანძილი სამკუთხედის წვეროდან ორთოცენტრამდე ორჯერ მეტია, ვიდრე მანძილი წრეწირის ცენტრიდან მოპირდაპირე მხარეს.
• ნებისმიერი სეგმენტი, რომელიც შედგენილია ორთოცენტრიწრეწირთან გადაკვეთამდე ის ყოველთვის იყოფა ნახევრად ეილერის წრით. ორთოცენტრიარის ამ ორი წრის ჰომოთეტური ცენტრი.
• ჰამილტონის თეორემა. სამი სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორთოცენტრს მწვავე სამკუთხედის წვეროებთან, ყოფს მას სამ სამკუთხედად, რომლებსაც აქვთ იგივე ეილერის წრე (ცხრა წერტილის წრე), როგორც თავდაპირველი მახვილი სამკუთხედი.
• ჰამილტონის თეორემის დასკვნა:
  • სამი სწორი ხაზის სეგმენტი, რომელიც აკავშირებს ორთოცენტრს მწვავე სამკუთხედის წვეროებთან, ყოფს მას სამად ჰამილტონის სამკუთხედიშემოხაზული წრეების თანაბარი რადიუსის მქონე.
  • შემოხაზული წრეების რადიუსი სამი ჰამილტონის სამკუთხედებითავდაპირველი მახვილი სამკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრის რადიუსის ტოლი.
• მწვავე სამკუთხედში ორთოცენტრი დევს სამკუთხედის შიგნით; ბლაგვი კუთხით - სამკუთხედის გარეთ; მართკუთხაში - მართი კუთხის წვეროზე.

ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლეების თვისებები

• თუ სამკუთხედში ორი სიმაღლე ტოლია, მაშინ სამკუთხედი არის ტოლფერდა (შტაინერ-ლემუსის თეორემა), ხოლო მესამე სიმაღლე არის როგორც შუამავალი, ასევე ბისექტრი იმ კუთხიდან, საიდანაც ის გამოდის.
• პირიქითაც მართალია: ტოლფერდა სამკუთხედში ორი სიმაღლე ტოლია, ხოლო მესამე სიმაღლე არის შუამავალიც და ბისექტორიც.
• ტოლგვერდა სამკუთხედს სამივე სიმაღლე ტოლია.

სამკუთხედის სიმაღლეების ფუძეების თვისებები

• მიზეზებისიმაღლეები ქმნის ეგრეთ წოდებულ ორთოკუთხედს, რომელსაც აქვს თავისი თვისებები.
• ორთოკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე არის ეილერის წრე. ეს წრე ასევე შეიცავს სამკუთხედის გვერდების სამ შუა წერტილს და სამი სეგმენტის სამ შუა წერტილს, რომლებიც აკავშირებს ორთოცენტრს სამკუთხედის წვეროებთან.
• ბოლო ქონების კიდევ ერთი ფორმულირება:
  • ეილერის თეორემა ცხრა წერტილიანი წრისთვის. მიზეზებისამი სიმაღლეებსთვითნებური სამკუთხედი, მისი სამი გვერდის შუა წერტილები ( მისი შინაგანი საფუძვლებიმედიანები) და სამი სეგმენტის შუა წერტილები, რომლებიც აკავშირებს მის წვეროებს ორთოცენტრთან, ყველა დევს ერთ წრეზე ( ცხრა წერტილიანი წრე).
• თეორემა. ნებისმიერ სამკუთხედში, სეგმენტის დამაკავშირებელი საფუძველიორი სიმაღლეებსსამკუთხედი, წყვეტს მოცემულის მსგავს სამკუთხედს.
• თეორემა. სამკუთხედში შემაერთებელი სეგმენტი საფუძველიორი სიმაღლეებსორ მხარეს დევს სამკუთხედები ანტიპარალელურიმესამე პირს, რომელთანაც არ აქვს საერთო ენა. წრე ყოველთვის შეიძლება გაივლოს როგორც მისი ორი ბოლოდან, ასევე მესამე ხსენებული მხარის ორი წვერით.

სამკუთხედის სიმაღლეების სხვა თვისებები

• თუ სამკუთხედი მრავალმხრივი (სკალენი), შემდეგ ის შიდანებისმიერი წვეროდან გამოყვანილი ბისექტორი დევს შორის შიდაერთი და იგივე წვეროდან გამოყვანილი მედიანა და სიმაღლე.
• სამკუთხედის სიმაღლე იზოგონალურად შერწყმულია დიამეტრთან (რადიუსი) შემოხაზული წრე, გამოყვანილია იმავე წვეროდან.
• მწვავე სამკუთხედში არის ორი სიმაღლეებსამოჭერით მისგან მსგავსი სამკუთხედები.
• მართკუთხა სამკუთხედში სიმაღლემართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი, ყოფს მას თავდაპირველის მსგავს ორ სამკუთხედად.

სამკუთხედის მინიმალური სიმაღლის თვისებები

სამკუთხედის მინიმალურ სიმაღლეს აქვს მრავალი ექსტრემალური თვისება. Მაგალითად:

• სამკუთხედის მინიმალური ორთოგონალური პროექცია სამკუთხედის სიბრტყეში მდებარე ხაზებზე აქვს სიგრძე მისი უმცირესი სიმაღლეების ტოლი.
• მინიმალური სწორი ჭრილი სიბრტყეში, რომლის მეშვეობითაც შესაძლებელია ხისტი სამკუთხა ფირფიტის გაყვანა, უნდა ჰქონდეს სიგრძე ამ ფირფიტის ყველაზე პატარა სიმაღლეების ტოლი.
• სამკუთხედის პერიმეტრის გასწვრივ ორი ​​წერტილის უწყვეტი მოძრაობით ერთმანეთისკენ, მათ შორის მაქსიმალური მანძილი პირველი შეხვედრიდან მეორემდე მოძრაობისას არ შეიძლება იყოს სამკუთხედის უმცირესი სიმაღლის სიგრძეზე ნაკლები.
• მინიმალური სიმაღლე სამკუთხედში ყოველთვის დევს ამ სამკუთხედში.

ძირითადი ურთიერთობები

• h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot)\sin \გამა =c(\cdot)\sin \beta,)
• h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot)S)(a)),)სად S (\displaystyle S)- სამკუთხედის ფართობი, a (\displaystyle a)- სამკუთხედის გვერდის სიგრძე, რომლითაც სიმაღლე იკლებს.
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot)c)(2(\cdot )R)),)სად b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- მხარეების პროდუქტი, R − (\displaystyle R-)შემოხაზული წრის რადიუსი
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot)c):(a(\cdot)c):(a(\cdot)b).)
• 1 სთ a + 1 სთ b + 1 სთ c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), სად r (\displaystyle r)- ჩაწერილი წრის რადიუსი.
• S = 1 (1 სთ + 1 სთ ბ + 1 სთ გ) ⋅ (1 სთ + 1 სთ ბ − 1 სთ გ) ⋅ (1 სთ a + 1 სთ გ − 1 სთ ბ) ⋅ (1 სთ ბ + 1 სთ გ − 1 სთ a) (\ჩვენების სტილი S =(\frac (1)(\sqrt ((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a)))))))), სად S (\displaystyle S)- სამკუთხედის ფართობი.
• a = 2 სთ a ⋅ (1 სთ ა + 1 სთ ბ + 1 სთ გ) ⋅ (1 სთ a + 1 სთ ბ − 1 სთ გ) ⋅ (1 სთ + 1 სთ ც − 1 სთ ბ) ⋅ (1 სთ ბ + 1 სთ გ − 1 სთ) ჩვენების სტილი a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt ((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ ფრაკი (1)(h_(გ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1) )(h_(ბ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (ა)))))))))), a (\displaystyle a)- სამკუთხედის მხარე, რომელზეც სიმაღლე ეშვება h a (\displaystyle h_(a)).
• ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე დაშვებული ფუძემდე: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ))

სად c (\displaystyle c)- ბაზა, a (\displaystyle a)- მხარე.

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის თეორემა

თუ ABC მართკუთხა სამკუთხედში სიმაღლე სიგრძისაა h (\displaystyle h)მართი კუთხის წვეროდან დახატული, ჰიპოტენუზას ყოფს სიგრძეზე c (\displaystyle c)სეგმენტებად m (\displaystyle m)და n (\displaystyle n), ფეხების შესაბამისი b (\displaystyle b)და a (\displaystyle a), მაშინ შემდეგი ტოლობები მართალია.

თქვენი კონფიდენციალურობის შენარჩუნება ჩვენთვის მნიშვნელოვანია. ამ მიზეზით, ჩვენ შევიმუშავეთ კონფიდენციალურობის პოლიტიკა, რომელიც აღწერს, თუ როგორ ვიყენებთ და ვინახავთ თქვენს ინფორმაციას. გთხოვთ, გადახედოთ ჩვენს კონფიდენციალურობის პრაქტიკას და შეგვატყობინოთ, თუ თქვენ გაქვთ რაიმე შეკითხვები.

პირადი ინფორმაციის შეგროვება და გამოყენება

პერსონალური ინფორმაცია ეხება მონაცემებს, რომლებიც შეიძლება გამოყენებულ იქნას კონკრეტული პირის იდენტიფიცირებისთვის ან დასაკავშირებლად.

თქვენ შეიძლება მოგეთხოვოთ თქვენი პირადი ინფორმაციის მიწოდება ნებისმიერ დროს, როცა დაგვიკავშირდებით.

ქვემოთ მოცემულია პერსონალური ინფორმაციის ტიპების მაგალითები, რომლებიც შეიძლება შევაგროვოთ და როგორ გამოვიყენოთ ასეთი ინფორმაცია.

რა პერსონალურ ინფორმაციას ვაგროვებთ:

• საიტზე განაცხადის გაგზავნისას, ჩვენ შეიძლება შევაგროვოთ სხვადასხვა ინფორმაცია, მათ შორის თქვენი სახელი, ტელეფონის ნომერი, ელექტრონული ფოსტის მისამართი და ა.შ.

როგორ ვიყენებთ თქვენს პირად ინფორმაციას:

• ჩვენ მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია საშუალებას გვაძლევს დაგიკავშირდეთ უნიკალური შეთავაზებებით, აქციებით და სხვა ღონისძიებებით და მომავალი ღონისძიებებით.
• დროდადრო, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენი პირადი ინფორმაცია მნიშვნელოვანი შეტყობინებებისა და კომუნიკაციების გასაგზავნად.
• ჩვენ ასევე შეიძლება გამოვიყენოთ პერსონალური ინფორმაცია შიდა მიზნებისთვის, როგორიცაა აუდიტის ჩატარება, მონაცემთა ანალიზი და სხვადასხვა კვლევა, რათა გავაუმჯობესოთ ჩვენს მიერ მოწოდებული სერვისები და მოგაწოდოთ რეკომენდაციები ჩვენს სერვისებთან დაკავშირებით.
• თუ თქვენ მონაწილეობთ საპრიზო გათამაშებაში, კონკურსში ან მსგავს აქციაში, ჩვენ შეიძლება გამოვიყენოთ თქვენ მიერ მოწოდებული ინფორმაცია ასეთი პროგრამების ადმინისტრირებისთვის.

ინფორმაციის გამჟღავნება მესამე პირებისთვის

ჩვენ არ ვამხელთ თქვენგან მიღებულ ინფორმაციას მესამე პირებს.

გამონაკლისები:

• აუცილებლობის შემთხვევაში - კანონის, სასამართლო პროცედურების შესაბამისად, სასამართლო პროცესებში და/ან საჯარო მოთხოვნის ან რუსეთის ფედერაციის სამთავრობო ორგანოების მოთხოვნის საფუძველზე - თქვენი პირადი ინფორმაციის გამჟღავნება. ჩვენ ასევე შეიძლება გავამჟღავნოთ ინფორმაცია თქვენს შესახებ, თუ გადავწყვეტთ, რომ ასეთი გამჟღავნება აუცილებელია ან მიზანშეწონილია უსაფრთხოების, კანონის აღსრულების ან სხვა საზოგადოებრივი მნიშვნელობის მიზნებისთვის.
• რეორგანიზაციის, შერწყმის ან გაყიდვის შემთხვევაში, ჩვენ შეიძლება გადავიტანოთ ჩვენს მიერ შეგროვებული პერსონალური ინფორმაცია შესაბამის მემკვიდრე მესამე მხარეს.

პირადი ინფორმაციის დაცვა

ჩვენ ვიღებთ სიფრთხილის ზომებს - მათ შორის ადმინისტრაციულ, ტექნიკურ და ფიზიკურ - თქვენი პერსონალური ინფორმაციის დაკარგვის, ქურდობისა და ბოროტად გამოყენებისგან დასაცავად, ასევე არაავტორიზებული წვდომისგან, გამჟღავნების, ცვლილებისა და განადგურებისგან.

თქვენი კონფიდენციალურობის პატივისცემა კომპანიის დონეზე

თქვენი პერსონალური ინფორმაციის უსაფრთხოების უზრუნველსაყოფად, ჩვენ ვუწოდებთ კონფიდენციალურობისა და უსაფრთხოების სტანდარტებს ჩვენს თანამშრომლებს და მკაცრად ვიცავთ კონფიდენციალურობის პრაქტიკას.

Თვისებები

• სამკუთხედის სიმაღლეები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელსაც ეწოდება ორთოცენტრი. - ამ განცხადების დამტკიცება ადვილია ვექტორული იდენტობის გამოყენებით, რომელიც მოქმედებს ნებისმიერი A, B, C, E წერტილებისთვის, და არა აუცილებლად იმავე სიბრტყეში მდებარე წერტილებისთვის:

(იდენტურობის დასადასტურებლად, თქვენ უნდა გამოიყენოთ ფორმულები

წერტილი E უნდა იქნას მიღებული, როგორც სამკუთხედის ორი სიმაღლის კვეთა.)

• მართკუთხა სამკუთხედში, მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი სიმაღლე ყოფს მას თავდაპირველის მსგავს ორ სამკუთხედად.
• მწვავე სამკუთხედში, მისი ორი სიმაღლე წყვეტს მას მსგავს სამკუთხედებს.
• სიმაღლეების ფუძეები ქმნის ეგრეთ წოდებულ ორთოკუთხედს, რომელსაც აქვს თავისი თვისებები.

სამკუთხედის მინიმალურ სიმაღლეს აქვს მრავალი ექსტრემალური თვისება. Მაგალითად:

• სამკუთხედის მინიმალური ორთოგონალური პროექცია სამკუთხედის სიბრტყეში მდებარე ხაზებზე აქვს სიგრძე მისი უმცირესი სიმაღლეების ტოლი.

• მინიმალური სწორი ჭრილი სიბრტყეში, რომლის მეშვეობითაც შესაძლებელია ხისტი სამკუთხა ფირფიტის გაყვანა, უნდა ჰქონდეს სიგრძე ამ ფირფიტის ყველაზე პატარა სიმაღლეების ტოლი.

• სამკუთხედის პერიმეტრის გასწვრივ ორი ​​წერტილის უწყვეტი მოძრაობით ერთმანეთისკენ, მათ შორის მაქსიმალური მანძილი პირველი შეხვედრიდან მეორემდე მოძრაობისას არ შეიძლება იყოს სამკუთხედის უმცირესი სიმაღლის სიგრძეზე ნაკლები.

მინიმალური სიმაღლე სამკუთხედში ყოველთვის დევს ამ სამკუთხედში.

ძირითადი ურთიერთობები

სად არის სამკუთხედის ფართობი, არის სამკუთხედის გვერდის სიგრძე, რომლითაც სიმაღლე იკლებს.

სად არის ბაზა.

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის თეორემა

თუ მართი კუთხის წვეროდან გამოყვანილი h სიგრძის სიმაღლე c სიგრძის ჰიპოტენუზას ყოფს m და n სეგმენტებად, რომლებიც შეესაბამება b და a-ს, მაშინ შემდეგი ტოლობები მართალია:

მნემონური ლექსი

სიმაღლე კატასავითაა, რომელიც ზურგს ახვევს და მართი კუთხით აკავშირებს ზედა და გვერდი კუდს.

იხილეთ ასევე

ბმულები

ფონდი ვიკიმედია. 2010 წელი.

ნახეთ, რა არის „სამკუთხედის სიმაღლე“ სხვა ლექსიკონებში:

HEIGHT, სიმაღლეები, მრავლობითი. სიმაღლეები, სიმაღლეები, ქალები 1. მხოლოდ ერთეული გაფართოება ქვემოდან ზევით, სიმაღლე. სახლის სიმაღლე. დიდი სიმაღლის კოშკი. || (pl. only special Scientific). მანძილი დედამიწის ზედაპირიდან, გაზომილი ვერტიკალური ხაზის გასწვრივ ქვემოდან ზემოდან. თვითმფრინავი დაფრინავდა... უშაკოვის განმარტებითი ლექსიკონი

ამ ტერმინს სხვა მნიშვნელობა აქვს, იხილეთ სიმაღლე (მნიშვნელობები). სიმაღლე ელემენტარულ გეომეტრიაში არის პერპენდიკულური სეგმენტი, რომელიც დაშვებულია გეომეტრიული ფიგურის ზემოდან (მაგალითად, სამკუთხედი, პირამიდა, კონუსი) მის ფუძემდე ან ... ... ვიკიპედია.

სიმაღლე- ы/; pl. სიმაღლე/შენ; და. იხილეთ ასევე მაღლა, მაღლა 1) რისამე ზომა, სიგრძე. ქვემოდან ზევით, ქვემოდან ზევით. სიმაღლე/ სახლის, ხის, მთის. სიმაღლე/ტალღები. კაშხალი ას ხუთასი ფუტის სიმაღლეა... მრავალი გამოთქმის ლექსიკონი

Y; pl. სიმაღლეები; და. 1. რისამე ზომა, სიგრძე. ქვემოდან ზევით, ქვემოდან ზევით. V. სახლები, ხეები, მთები. V. ტალღები. კაშხლის სიმაღლე ას ორმოცდაათი მეტრია. გაზომეთ, განსაზღვრეთ რაღაცის სიმაღლე. 2. მანძილი საიდანაც ლ. ზედაპირზე ... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

ორიგინალური ძაფის სამკუთხედის სიმაღლე- (H) მანძილი საწყისი ძაფის სამკუთხედის მწვერვალსა და ფუძეს შორის ძაფის ღერძის პერპენდიკულარული მიმართულებით. [GOST 11708 82 (ST SEV 2631 80)] ურთიერთშემცვლელობის სტანდარტის თემები ზოგადი ტერმინები ძირითადი ელემენტები და ძაფის პარამეტრები EN ... ... ტექნიკური მთარგმნელის გზამკვლევი

სიმაღლე არის განზომილება ან მანძილი ვერტიკალური მიმართულებით. სხვა მნიშვნელობები: ასტრონომიაში: მნათობის სიმაღლე არის კუთხე მათემატიკური ჰორიზონტის სიბრტყესა და მნათობის მიმართულებას შორის. სამხედრო საქმეებში: სიმაღლე არის რელიეფის ამაღლება. ... ... ვიკიპედიაში

HEIGHT, გეომეტრიაში, პერპენდიკულური სეგმენტი, რომელიც ეშვება გეომეტრიული ფიგურის ზემოდან (მაგ., სამკუთხედი, პირამიდა, კონუსი) მის ფუძემდე (ან ფუძის გაგრძელებამდე), ასევე ამ სეგმენტის სიგრძემდე. პრიზმის, ცილინდრის, სფერული ფენის სიმაღლე და... ... ენციკლოპედიური ლექსიკონი

გეომეტრიაში, გეომეტრიული ფიგურის ზემოდან (მაგ., სამკუთხედი, პირამიდა, კონუსი) დახატული პერპენდიკულარული სეგმენტი მის ფუძემდე (ან ფუძის გაგრძელებამდე), ასევე ამ სეგმენტის სიგრძემდე. პრიზმის სიმაღლე, ცილინდრი, სფერული ფენა, ასევე... ... დიდი ენციკლოპედიური ლექსიკონი

HEIGHT, s, მრავლობითი. ცოლებისგან, ცოლებისგან. 1. რისამე ზომა, სიგრძე. ქვედა წერტილიდან ზევით. ბ. აგურის აგება. V. surf. V. ციკლონი. 2. სივრცე, მანძილი მიწიდან. Მოძებნა, აიხედე ზემოთ. თვითმფრინავი სიმაღლეს იძენს. იფრინეთ....... ოჟეგოვის განმარტებითი ლექსიკონი

სიმაღლე გეომეტრიაში, პერპენდიკულური სეგმენტი, რომელიც ეშვება გეომეტრიული ფიგურის ზემოდან (მაგალითად, სამკუთხედი, პირამიდა, კონუსი) მის ფუძემდე ან ფუძის გაგრძელებამდე, ისევე როგორც ამ სეგმენტის სიგრძე. B. პრიზმა, ცილინდრი, სფერული ფენა,... ... დიდი საბჭოთა ენციკლოპედია

სხვადასხვა სახის ამოცანების გადაჭრისას, როგორც წმინდა მათემატიკური, ასევე გამოყენებითი ხასიათის (განსაკუთრებით მშენებლობაში), ხშირად საჭიროა გარკვეული გეომეტრიული ფიგურის სიმაღლის მნიშვნელობის დადგენა. როგორ გამოვთვალოთ ეს მნიშვნელობა (სიმაღლე) სამკუთხედში?

თუ 3 წერტილს გავაერთიანებთ წყვილებში, რომლებიც არ არის განლაგებული ერთ ხაზზე, მაშინ მიღებული ფიგურა იქნება სამკუთხედი. სიმაღლე არის სწორი ხაზის ნაწილი ფიგურის ნებისმიერი წვეროდან, რომელიც მოპირდაპირე მხარეს გადაკვეთისას ქმნის 90° კუთხეს.

იპოვეთ სკალენური სამკუთხედის სიმაღლე

მოდით განვსაზღვროთ სამკუთხედის სიმაღლის მნიშვნელობა იმ შემთხვევაში, როდესაც ფიგურას აქვს თვითნებური კუთხეები და გვერდები.

ჰერონის ფორმულა

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, სადაც

p – ფიგურის პერიმეტრის ნახევარი, h(a) – სეგმენტი a მხარისკენ, დახატული მასზე სწორი კუთხით,

p=(a+b+c)/2 – ნახევრადპერიმეტრის გამოთვლა.

თუ არსებობს ფიგურის ფართობი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ მიმართება h(a)=2S/a მისი სიმაღლის დასადგენად.

ტრიგონომეტრიული ფუნქციები

სეგმენტის სიგრძის დასადგენად, რომელიც ქმნის მართ კუთხეს a გვერდთან გადაკვეთისას, შეგიძლიათ გამოიყენოთ შემდეგი მიმართებები: თუ ცნობილია გვერდი b და კუთხე γ ან გვერდი c და კუთხე β, მაშინ h(a)=b*sinγ ან h(a)=c *sinβ.
სად:
γ – კუთხე b და a მხარეს შორის,
β არის კუთხე c და a მხარეს შორის.

რადიუსთან ურთიერთობა

თუ თავდაპირველი სამკუთხედი წრეშია ჩაწერილი, შეგიძლიათ გამოიყენოთ ასეთი წრის რადიუსი სიმაღლის დასადგენად. მისი ცენტრი მდებარეობს იმ წერტილში, სადაც იკვეთება სამივე სიმაღლე (თითოეული წვეროდან) - ორთოცენტრი, ხოლო მანძილი მისგან წვერომდე (ნებისმიერი) არის რადიუსი.

შემდეგ h(a)=bc/2R, სადაც:
b, c – სამკუთხედის 2 სხვა გვერდი,
R არის სამკუთხედის შემოხაზული წრის რადიუსი.

იპოვეთ სიმაღლე მართკუთხა სამკუთხედში

ამ ტიპის გეომეტრიულ ფიგურაში 2 გვერდი გადაკვეთისას ქმნის მართ კუთხეს - 90°. ამიტომ, თუ გსურთ მასში სიმაღლის მნიშვნელობის დადგენა, მაშინ უნდა გამოთვალოთ ან რომელიმე ფეხის ზომა, ან ჰიპოტენუზასთან 90°-იანი სეგმენტის ზომა. დანიშვნისას:
a, b - ფეხები,
გ – ჰიპოტენუზა,
h(c) – ჰიპოტენუზაზე პერპენდიკულარული.
თქვენ შეგიძლიათ გააკეთოთ საჭირო გამოთვლები შემდეგი ურთიერთობების გამოყენებით:

• Პითაგორას თეორემა:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, რადგან S=ab/2, შემდეგ h(c)=ab/c.

• ტრიგონომეტრიული ფუნქციები:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=с* sinβ* cosβ.

იპოვეთ ტოლფერდა სამკუთხედის სიმაღლე

ეს გეომეტრიული ფიგურა გამოირჩევა თანაბარი ზომის ორი მხარის და მესამე - ფუძის არსებობით. მესამე, მკაფიო მხარეს დახატული სიმაღლის დასადგენად, პითაგორას თეორემა შველის. აღნიშვნებით
ა - მხარე,
გ – ბაზა,
h(c) არის სეგმენტი c-მდე 90° კუთხით, შემდეგ h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

მართკუთხა სამკუთხედის სიმაღლის თეორემა

თუ სიმაღლე ABC სიგრძის მართკუთხა სამკუთხედში, რომელიც გამოყვანილია მართი კუთხის წვეროდან, ყოფს სიგრძის ჰიპოტენუზას და სეგმენტებად და შეესაბამება ფეხებს და , მაშინ შემდეგი ტოლობები ჭეშმარიტია:

·

·

სამკუთხედის სიმაღლეების ფუძეების თვისებები

· მიზეზებისიმაღლეები ქმნის ეგრეთ წოდებულ ორთოკუთხედს, რომელსაც აქვს თავისი თვისებები.

· ორთოკუთხედის გარშემო შემოხაზული წრე არის ეილერის წრე. ეს წრე ასევე შეიცავს სამკუთხედის გვერდების სამ შუა წერტილს და სამი სეგმენტის სამ შუა წერტილს, რომლებიც აკავშირებს ორთოცენტრს სამკუთხედის წვეროებთან.

ბოლო ქონების კიდევ ერთი ფორმულირება:

· ეილერის თეორემა ცხრაპუნქტიანი წრისთვის.

მიზეზებისამი სიმაღლეებსთვითნებური სამკუთხედი, მისი სამი გვერდის შუა წერტილები ( მისი შინაგანი საფუძვლებიმედიანები) და სამი სეგმენტის შუა წერტილები, რომლებიც აკავშირებს მის წვეროებს ორთოცენტრთან, ყველა დევს ერთ წრეზე ( ცხრა წერტილიანი წრე).

· თეორემა. ნებისმიერ სამკუთხედში, სეგმენტის დამაკავშირებელი საფუძველიორი სიმაღლეებსსამკუთხედი, წყვეტს მოცემულის მსგავს სამკუთხედს.

· თეორემა. სამკუთხედში შემაერთებელი სეგმენტი საფუძველიორი სიმაღლეებსორ მხარეს დევს სამკუთხედები ანტიპარალელურიმესამე პირს, რომელთანაც არ აქვს საერთო ენა. წრე ყოველთვის შეიძლება გაივლოს როგორც მისი ორი ბოლოდან, ასევე მესამე ხსენებული მხარის ორი წვერით.

სამკუთხედის სიმაღლეების სხვა თვისებები

· თუ სამკუთხედი მრავალმხრივი (სკალენი), შემდეგ ის შიდანებისმიერი წვეროდან გამოყვანილი ბისექტორი დევს შორის შიდაერთი და იგივე წვეროდან გამოყვანილი მედიანა და სიმაღლე.

სამკუთხედის სიმაღლე იზოგონალურად შერწყმულია დიამეტრთან (რადიუსი) წრეწირი, გამოყვანილია იმავე წვეროდან.

· მწვავე სამკუთხედში არის ორი სიმაღლეებსამოჭერით მისგან მსგავსი სამკუთხედები.

· მართკუთხა სამკუთხედში სიმაღლედახატული მართი კუთხის წვეროდან, ყოფს მას ორიგინალის მსგავს ორ სამკუთხედად.

სამკუთხედის მინიმალური სიმაღლის თვისებები

სამკუთხედის მინიმალურ სიმაღლეს აქვს მრავალი ექსტრემალური თვისება. Მაგალითად:

· სამკუთხედის მინიმალურ ორთოგონალურ პროექციას სამკუთხედის სიბრტყეში მდებარე ხაზებზე აქვს სიგრძე მისი უმცირესი სიმაღლეების ტოლი.

· მინიმალური სწორი ჭრილი იმ სიბრტყეში, რომლითაც შესაძლებელია ხისტი სამკუთხა ფირფიტის გაყვანა, უნდა ჰქონდეს სიგრძე ამ ფირფიტის სიმაღლის უმცირესის ტოლი.

· როდესაც ორი წერტილი განუწყვეტლივ მოძრაობს სამკუთხედის პერიმეტრის გასწვრივ ერთმანეთისკენ, მათ შორის მაქსიმალური მანძილი პირველი შეხვედრიდან მეორემდე მოძრაობისას არ შეიძლება იყოს სამკუთხედის უმცირესი სიმაღლის სიგრძეზე ნაკლები.

· მინიმალური სიმაღლე სამკუთხედში ყოველთვის დევს ამ სამკუთხედის შიგნით.

ძირითადი ურთიერთობები

· სად არის სამკუთხედის ფართობი, არის სამკუთხედის გვერდის სიგრძე, რომლითაც სიმაღლე იკლებს.

· სად არის გვერდების ნამრავლი, შემოხაზული წრის რადიუსი

· ,

სად არის შემოხაზული წრის რადიუსი.

სად არის სამკუთხედის ფართობი.

სად არის სამკუთხედის გვერდი, რომელზეც სიმაღლე ეშვება.

· ტოლფერდა სამკუთხედის ძირამდე დაშვებული სიმაღლე:

სად არის ბაზა.

· - სიმაღლე ტოლგვერდა სამკუთხედში.

მედიანები და სიმაღლეები ტოლგვერდა სამკუთხედში

სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში, რომელიც ყოფს თითოეულ მათგანს 2:1 თანაფარდობით, წვეროდან დათვლა. ამ პუნქტს ე.წ გრავიტაციის ცენტრისამკუთხედი. ხოლო ტოლგვერდა სამკუთხედებში შუამავლები და სიმაღლეები ერთი და იგივეა.

განვიხილოთ თვითნებური სამკუთხედი ABC. O ასოთი ავღნიშნოთ მისი შუალედების AA1 და BB1 გადაკვეთის წერტილი და დავხატოთ ამ სამკუთხედის შუა ხაზი A1B1.სამკუთხედის შუალედები იკვეთება ერთ წერტილში.A1B1 სეგმენტი AB გვერდის პარალელურია, შესაბამისად კუთხეები 1 და 2. , ისევე როგორც კუთხეები 3 და 4 ტოლია ჯვარედინი კუთხეების AB და A1B1 პარალელური წრფეების გადაკვეთაზე AA1 და BB1 სეკანტებით. მაშასადამე, სამკუთხედები AOB და A1OB1 მსგავსია ორ კუთხით და ამიტომ მათი გვერდები პროპორციულია: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. მაგრამ AB=2⋅A1B1, ამიტომ AO=2⋅A1O და BO=2⋅B1O. ამრიგად, AA1 და BB1 მედიანების გადაკვეთის წერტილი O ყოფს თითოეულ მათგანს თანაფარდობით 2:1, წვეროდან დათვლა. ანალოგიურად, დადასტურდა, რომ შუამავლების BB1 და CC1 გადაკვეთის წერტილი თითოეულ მათგანს ყოფს 2:1 თანაფარდობით წვეროდან და, შესაბამისად, ემთხვევა O წერტილს. ამრიგად, ABC სამკუთხედის სამივე მედიანა იკვეთება წერტილი O და იყოფა მასზე 2:1 თანაფარდობით, ზემოდან დათვლა.

თეორემა დადასტურდა.

წარმოვიდგინოთ, რომ კუთხის წვეროებზე m1=1, შემდეგ წერტილებში A1,B1,C1, m2=2, რადგან ისინი გვერდების შუა წერტილებია. და აქ შეგიძლიათ შეამჩნიოთ, რომ სეგმენტები AA1, BB1, CC1, რომლებიც იკვეთება ერთ წერტილში, მსგავსია ბერკეტების საყრდენი წერტილით O, სადაც AO-l1 და OA1-l2 (მხრები). ხოლო ფიზიკური ფორმულის მიხედვით F1/F2=l1/l2, სადაც F=m*g, სადაც g-const და შესაბამისად მცირდება, გამოდის m1/m2=l1/l2 ე.ი. ½=1/2.

თეორემა დადასტურდა.

ორთოკუთხედი

Თვისებები:

· სამკუთხედის სამი სიმაღლე იკვეთება ერთ წერტილში, ამ წერტილს ორთოცენტრი ეწოდება

· ორთოკუთხედის ორი მიმდებარე გვერდი ტოლ კუთხეებს ქმნის თავდაპირველი სამკუთხედის შესაბამის გვერდთან

სამკუთხედის სიმაღლეები არის ორთოკუთხედის ბისექტრები

ორთოკუთხედი არის სამკუთხედი უმცირესი პერიმეტრით, რომელიც შეიძლება ჩაიწეროს მოცემულ სამკუთხედში (ფაგნანოს პრობლემა)

· ორთოკუთხედის პერიმეტრი ტოლია სამკუთხედის სიმაღლისა და კუთხის სინუსის ნამრავლის ორჯერ, საიდანაც იგი სათავეს იღებს.

· თუ A 1 , B 1 და C 1 წერტილები ABC მახვილი სამკუთხედის BC გვერდებზე, შესაბამისად, AC და AB ისეთია, რომ

მაშინ არის ABC სამკუთხედის ორთოკუთხედი.

ორთოტრიკუთხედი წყვეტს ამ სამკუთხედის მსგავს სამკუთხედებს

თეორემა ორთოკუთხედის ბისექტრების თვისების შესახებ

∟ B1C1C=∟B1BC=∟CAA1=∟CC1A

CC1-ბისექტორი ∟B1C1A

AA1-ბისექტორი ∟B1A1C1

BB1-ბისექტორი ∟A1B1C1