Равновесие тела при наличии трения скольжения. Равновесие тел при наличии трения Равновесие при наличии трения скольжения

Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наиболь­шего значения . При аналитическом решении задач реакцию шероховатой связи в этом случае изображают двумя составляющимиN и , где. Затем составляют обычные условия равновесия статики, подставляют в них вместо величинуи, решая полу­ченные уравнения, определяют искомые величины.

Пример 1.

Рассмотрим тело, имеющее вертикальную плоскость симметрии (рис.28). Сечение тела этой плоскости имеет форму прямоугольника. Ширина тела равна 2a .

К телу в точке С , лежащей на оси симметрии, приложена вертикальная сила и в точкеА , лежащей на расстоянии от основания, горизонтальная сила. Реакция плоскости основания (реакция связи) приводится к нормальной реакциии силе трения. Линия действия силынеизвестна. Расстояние от точкиС до линии действия силы обозначимx ().

Рис.28

Составим три уравнения равновесия:

Согласно закону Кулона , т.е.. (1)

Так как , то(2)

Проанализируем полученные результаты:

Будем увеличивать силу .

Если , то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет своей предельной величины, условие (1) превратится в равенство. Дальнейшее увеличение силы приведет к скольжению тела по поверхности.

Если , то равновесие будет иметь место до тех пор, пока сила трения не достигнет величины, условие (2) превратится в равенство. Величинаx будет равна h . Дальнейшее увеличение силы приведет к тому, что тело станет опрокидываться вокруг точки B (скольжения не будет).

Пример 2.

На какое максимальное рас­стояние а может подняться человек по лестнице, приставленной к стене (рис.29)? Если вес чело­века – Р , коэффициент трения скольжения между лестницей и стеной – , между лестни­цей и полом –.

Рис.29

Рассматриваем равновесие лестницы с че­ловеком. Показываем силу , нормальные реак­цииии добавляем силы трения:и. Полагаем, что чело­век находится на расстоянии, при большем значении которого начнётся движение лестницы. Состав­ляем уравнения равновесия.

Подставив значения сил трения и решив систему уравнений, получим

Теперь можно определить и угол под которым надо поставить лестницу, чтоб добраться до стены. Полагая , получим, после преобразований,и

Рис.30

Заметим, что если равнодействующая всех активных сил (всех кроме реакций) направлена под углом(рис.30), то нормальная реакция, а сила трения. Для того, чтобы началось скольжение должно выполнятся условие. или. И так как, то . Значит угол должен быть больше угла. Следовательно, если силадействует внутри угла или конуса трения (), то как бы не была ве­лика эта сила, скольжение тела не произойдёт. Такое условие называется усло­вием заклинивания, самоторможения.

Мы рассмотрели скольжение твёрдых тел по поверхности. Но нередко встречается скольжение гибких тел по неплоской по­верхности. Например, нежелательное проскальзывание в ременной передаче ремня по шкиву, или троса, каната, на­мотанного на неподвижный цилиндр.

Пример 3.

Пусть имеется нить, перекинутая че­рез неподвижную цилиндрическую поверх­ность (рис.31). За счёт сил трения натяже­ние левого и правого концов этой нити бу­дут различными.

Рис.31 Рис.32

Предположим, что нормальная реак­ция и сила трения распределяются равно­мерно по дуге контакта нити на цилиндре. Рассмотрим равновесие участка нити дли­ной . (рис.32). На левом конце этого участка натяжение, на пра­вом. Составляем уравнения равновесия, проектируя силы на оси:

Так как угол - малая величина, то полагаемС учётом этого из уравнений находими, так как, имеемилиИнтегрируя, получим. Или

Этот результат называется формулой Эйлера.

Например, если нить перекинута через неподвижный шкив и , а ко­эффициент трения, то отношение натяжений. А, обернув цилиндр один раз (),то есть можно удержать груз на другом конце нити силой почти в три раза меньшей веса тела.

Если два тела I и II (рис. 6.1) взаимодействуют друг с другом, соприкасаясь в точке А, то всегда реакцию R A , действующую, например, со стороны тела II и приложенную к телу I, можно раз­ложить на две составляющие: N A , направленную по общей нормали к поверхности соприкасающихся тел в точке А, и Т А, лежащую в касательной плоскости. Составляющая N A называется нормальной реакцией, сила Т А называется силой трения скольжения - она препятствует скольжению тела I по телу II. В соответствии с аксио­мой 4 (третьим законом Ньютона) на тело II со стороны тела I дей­ствует равная по модулю и противоположно направленная сила реакции. Ее составляющая, перпендикулярная касательной пло­скости, называется силой нормального давления. Сила трения Т А = 0, если соприкасающиеся поверхности идеально гладкие. В реальных условиях поверхности шероховаты и во многих случаях пренебречь силой трения нельзя. Максимальная сила трения приближенно пропорциональна нормальному давлению, т. е. T max =fN. (6.3)– закон Амонтона-Кулона. Коэффициент f называется коэффициентом трения скольжения. Его значение не зависит от площади соприкасающихся поверхностей, но зависит от материала и степени шероховатости соприкасающихся поверх­ностей. Силу трения можно вычислить по ф-ле T=fN только если имеет место критический случай. В других случаях силу трения следует определять из ур-ий равнов. На рисунке показана реакция R (здесь активные силы стремятся сдвинуть тело вправо). Угол j между предельной реакцией R и нормалью к поверхности называется углом трения. tgj=T max /N=f.

Геометрическое место всех возможных направлений предельной реакции R образует коническую поверхность - конус трения (рис. 6.6, б). Если коэффициент тре­ния f во всех направлениях одинаков, то конус трения будет круговым. В тех случаях, когда коэффициент трения f зависит от направления возможного движения тела, конус трения не будет круговым. Если равнодействующая активных сил. нахо­дится внутри конуса трения, то увеличением ее модуля нельзя нарушить равновесие тела; для того чтобы тело начало движение, необходимо (и достаточно), чтобы равнодействующая активных сил F находилась вне конуса трения. Рассмотрим трение гибких тел (рис.6.8). Формула Эйлера помогает найти наименьшую силу P, способную уравновесить силу Q. P=Qe -fj* . Можно так же найти такую силу P, способную преодолеть сопротивление трения вместе с силой Q. В этом случае в формуле Эйлера поменяется только знак f: P=Qe f j* .

Изучение равновесия тел с учетом трения скольжения можно свести к рассмотрению предельного равновесия, которое имеет место, когда сила трения равна

При аналитическом решении реакцию шероховатой связи изображают двумя ее составляющими N и

Затем составляют обычные уравнения равновесия и присоединяют к ним равенство Из полученной таким путем системы уравнений и определяют искомые величины.

Если в задаче требуется определить условия равновесия при всех значениях, которые может иметь сила трения, т. е. при , то ее тоже можно решить, рассмотрев предельное равновесие и уменьшая затем в полученном результате коэффициент трения до нуля

Отметим еще, что если в задаче надо определить значение силы трения F, когда равновесие не является предельным и то, как уже отмечалось в § 23, эту силу F следует считать неизвестной величиной и находить из соответствующих уравнений (см. вторую часть задачи 29, а также задачи 151, 152, § 130).

При геометрическом решении реакцию шероховатой связи удобнее изображать одной силой R, которая в предельном положении равновесия отклонена от нормали к поверхности на угол

Задача 29. Груз весом лежит на горизонтальной плоскости (рис. 77). Определить, какую силу Q, направленную под углом к этой плоскости, надо приложить к грузу, чтобы сдвинуть его с места, если статический коэффициент трения груза о плоскость

Решение. Рассмотрим предельное равновесие груза. Тогда на него действуют силы Составляя условия равновесия в проекциях на оси , получим:

Из последнего уравнения . Тогда

Подставляя это значение в первое уравнение и решая его, найдем окончательно

Если к грузу приложить меньшую силу, например силу Н, то тогда сдвигающее усилие будет ; максимальная же сила трения, которая может в этом случае развиться, будет . Следовательно, груз останется в покое. При этом удерживающая его в равновесии сила трения F определится из уравнения равновесия в проекции на ось и будет равна сдвигающей силе , а не силе

Обращаем внимание на то, что при всех расчетах следует определять по формуле находя N из условий равновесия. Ошибка, которую часто допускают в задачах, аналогичных решенной, состоит в том, что при подсчетах считают в то время как сила давления на плоскость здесь не равна весу Груза Р.

Задача 30. Определить, при каких значениях угла наклона а груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, если его коэффициент трения о плоскость равен

Решение. Найдем сначала предельное положение равновесия, при котором угол а равен . В этом положении (рис. 78) на груз действуют сила тяжести V, нормальная реакция N и предельная сила трения Строя из перечисленных сил замкнутый треугольник, находим из него, что Но сдругой стороны, Следовательно,

Если в полученном равенстве уменьшать то значение будет тоже уменьшаться. Отсюда заключаем, что равновесие возможно и при Окончательно все значения угла а, при которых груз будет в равновесии, определятся неравенством

Полученный в задаче результат, выражаемый равенством (а), можно использовать для экспериментального определения коэффициента трення, находя угол из опыта.

Заметим еще, что так как где угол трения, то, следовательно, т. е. наибольший угол а, при котором груз, лежащий на наклонной плоскости, остается в равновесии, равен углу трения.

Задача 31. Изогнутый под прямым углом брус опирается своей вертикальной частью о выступы А и В, расстояние между которыми (по вертикали) h (рис. 79, а). Пренебрегая весом бруса, найти, при какой ширине d брус с лежащим на его горизонтальной части грузом будет находиться в равновесии при любом положении груза. Коэффициент трення бруса о направляющие равен

Решение. Обозначим вес груза через Р, а его расстояние от вертикальной части бруса через I. Рассмотрим предельное равновесие бруса, при котором его ширина Тогда на брус действуют силы Р, N, F, N, F, где - предельные силы трения. Составляя условия равновесия (29) и беря моменты относительно центра А, получаем:

где Из двух первых уравнений находим:

Подставляя эти значения в третье уравнение и сокращая на N, получим

Если в этом равенстве уменьшать нуля, то его правая часть будет расти до бесконечности. Следовательно, равновесие возможно при любом значении . В свою очередь имеет наибольшее значение, когда Значит брус будет в равновесии при любом положении груза (при 10), если будет выполняться неравенство Чем меньше трение, тем d должно быть больше. При отсутствии трения равновесие невозможно, так как в этом случае получается

Приведем еще геометрическое решение задачи.

При таком решении вместо нормальных реакций и сил трения изображаем в точках А и В полные реакции которые в предельном положении отклонены от нормалей на угол трения (рис. 79, б). Тогда на брус будут действовать три силы RA, RB, Р. При равновесии линии действия этих сил должны пересекаться в одной точке, т. е. в точке К, где пересекаются силы RA и RB. Отсюда получаем очевидное (см. рис. 79, б) равенство или так как . В результате находим для то же значение, что и при аналитическом решении.

Задача дает пример самотормозящегося устройства, нередко применяемого на практике.

Задача 32. Пренебрегая весом лестницы АВ (рис. 80), найти, при каких значениях угла а, человек может подняться по лестнице до ее конца В, если угол трения лестницы о пол и о стену равен

Решение. Рассмотрим предельное положение равновесия лестницы и применим для решения геометрический метод. В предельном положении на лестницу действуют реакции пола и степы, отклоненные от нормалей к этим плоскостям на угол трепия Линии действия реакций пересекаются в точке К. Следовательно, при равновесии третья действующая на лестницу сила Р (числеь-но равная весу человека) также должна пройти через точку К? Поэтому в положении, показанном на чертеже, выше точки D человек подняться не может. Чтобы человек мог подняться до точки В, линии действия сил RA и RB должны пересечься где-нибудь на прямой ВО, что возможно лишь тогда, когда сила RA будет направлена вдоль АВ, т. е. когда угол

Следовательно, человек может подняться по лестнице до ее конца тогда, она образует со стеной угол, не превышающий угла трения лестницы о пол. Трение о стену при этом роли не играет, т. е. стена может быть гладкой.

При стремлении двигать одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила сопротивления их относительному движению, называемая силой трения скольжения (причины: шероховатость поверхности, наличие сцепления у прижатых друг к другу тел).

Законы трения скольжения.

1) При стремлении сдвинуть одно тело по поверхности другого в плоскости соприкосновения тел возникает сила трения (или сила сцепления), величина которой может принимать любые значения от нуля до значения F пред (F пр) , называемого предельной силой трения.

Сила трения направлена в сторону, противоположную той, куда действующая сила стремятся сдвинуть тело.

2) Величина предельной силы трения равна произведению статического коэффициента трения на нормальное давление или нормальную реакцию.

Число отвлеченное, определяется опытным путем и зависит от материала поверхностей и состояния их.

3) Величина предельной силы трения в довольно широких пределах не зависит от размеров соприкасающихся при трении поверхностей.

Объединяя вместе 1 и 2 законы трения, получим, что при равновесии сила трения покоя

Экспериментальное определение коэффициента трения.

Равновесие под действием

Увеличивая Q (добавляя груз) найдем ту нагрузку, при которой брусок сдвинется с места Q * .

Очевидно, что .

Все изложенное выше относится к трению скольжению при покое.

При движении сила трения направлена в сторону, противоположную движению, и равна произведению динамического коэффициента трения на нормальное давление

( зависит как и , а также и от скорости движения)

Реакции шероховатых связей. Угол трения.

F тр меняется от 0 до F пр .

R меняется от N до R пр .

Угол растет от 0 до φ 0 .

Наибольший угол, который полная реакция шероховатой связи образует с нормалью и поверхностью, называется углом трения .

Из чертежа , т.к. , то получим: .

При равновесии полная реакция в зависимости от сдвигающих сил будет находиться где угодно внутри угла трения.

Тело сдвинется только тогда, когда сдвигающее усилие будет больше (считаем, что , весом тела пренебрегаем).

Следовательно, никакой силой, образующей с нормалью угол , меньший угла трения , тело вдоль данной поверхности сдвинуть нельзя.

Конус трения – конус с вершиной в точке касания тел, образующая которого составляет с нормалью угол трения. Поверхность конуса трения представляет собой геометрическое место предельных реакций .

Равновесие при наличии трения.

Изучение равновесия тел с учетом трения сводится обычно к рассмотрению предельного положения равновесия, когда сила трения достигает своего наибольшего значения .

Реакция и .

Составляют обычные уравнения равновесия и решают их.

Расчет ферм.

Фермой называется геометрически неизменяемая шарнирно-стержневая конструкция.

Если оси всех стержней лежат в одной плоскости, то такую ферму называют плоской .

А,В-узлы фермы

С,D-опорные узлы

Все шарниры, соединяющие стержни фермы предполагаются идеальными, т.е. без трения, а все внешние силы – приложенными в узлах фермы, т.е. все стержни испытывают лишь растяжение или сжатие (вес стержней не учитывают).

1 способ расчета ферм – (определение опорных реакций и усилий - способ вырезания узлов в стержнях).

Этот способ сводится к последовательному рассмотрению условий равновесия сил, сходящихся в каждом из узлов фермы. Мысленно вырезают узлы фермы, прикладывают к ним соответствующие внешние реакции и реакции стержней и составляют уравнения равновесия сил, приложенных к каждому узлу. Условно предполагают, что все стержни растянуты (реакции стержней направлены от узлов).

Если в вычислениях получается знак «–», то соответствующий стержень сжат.

Найденные реакции стержней равны по модулям внутренним усилиям в стержнях.

Последовательность рассмотрения узлов определяется обычно условием, что число неизвестных сил, приложенных к узлу не должно превышать число уравнений равновесия.

Пример:

Определим реакции опор:

Если рассматриваемое тело имеет форму катка и под действием приложенных активных сил может катиться по поверхности другого тела, то из-за деформации поверхностей этих тел в месте соприкосновения могут возникнуть силы реакции, препятствующие не только скольжению, но и качению. Примерами таких катков являются различные колеса, как, например, у электровозов, вагонов, автомашин, шарики и ролики в шариковых и роликовых подшипниках и т.п.

Пусть цилиндрический каток находится на горизонтальной плоскости под действием активных сил. Соприкосновение катка с плоскостью из-за деформации фактически происходит не вдоль одной образующей, как в случае абсолютно твердых тел, а по некоторой площадке. Если активные силы приложены симметрично относительно среднего сечения катка, то есть вызывают одинаковые деформации вдоль всей его образующей, то можно изучать только одно среднее сечение катка. Этот случай рассмотрен ниже.

Между катк­ом и плоскостью, на которой он покоится, возникают силы трения, если приложить к оси катка силу (рис. 7.5), стремящуюся его двигать по плоскости.

Рассмотрим случай, когда сила параллельна горизонтальной плоскости. Из опыта известно, что при изменении модуля силы от нуля до неко­торого предельного значения каток остается в покое, т.е. силы, дейст­вующие на каток, уравновешиваются. Кроме активных сил (веса и си­лы ), к катку, равновесие которого рассматривается, приложена реакция плоскости. Из условия равновесия трех непараллельных сил следует, что реакция плоскости должна проходить через центр катка О , так как две другие силы приложены к этой точке.

Следовательно, точка приложения реакции С должна быть смещена на некоторое расстояние от вертикали, проходящей через центр коле­са, иначе реакция не будет иметь горизонтальной составляющей, необхо­димой для удовлетворения условий равновесия. Разложим реакцию плос­кости на две составляющие: нормальную составляющую и касатель­ную реакцию , являющуюся силой трения (рис. 7.6).

В предельном положении равновесия катка к нему будут приложены две взаимно уравновешивающиеся пары: одна пара сил (, ) с момен­том (где r – радиус катка) и вторая пара сил ( , ), удерживаю­щая каток в равновесии.

Момент пары, называемой моментом трения качения , определяется формулой:

,

из которой следует, что для того, чтобы имело место чистое качение (без скольжения), необходимо, чтобы сила трения качения была меньше максимальной силы трения скольжения:

,

где f – коэффициент трения скольжения.

Таким образом, чистое качение (без скольжения) будет, если .

Трение качения возникает из-за деформации катка и плоскости, вследствие чего соприкосновение между катком и плоскостью происходит по некоторой поверхности, смещенной от нижней точки катка в сторону возможного движения.

Если сила не направлена по горизонтали, то ее следует разложить на две составляющие, направленные по горизонтали и вертикали. Верти­кальную составляющую следует сложить с силой , и мы снова приходим к схеме действия сил, изображенных на рис. 7.6.

Установлены следующие приближенные законы для наибольшего момента пары сил, препятствующей качению:

1. Наибольший момент пары сил, препятствующий качению, в довольно широких пределах не зависит от радиуса катка.

2. Предельное значение момента пропорционально нормальному давлению и равной ему нормальной реакции : .

Коэффициент пропорциональности d называют коэффициентом трения качения при покое или коэффициентом трения второго рода . Коэффициент d имеет размерность длины.

3. Коэффициент трения качения d зависит от материала катка, плоскости и физического состояния их поверхностей. Коэффициент трения при качении в первом приближении можно считать не зависящим от угловой скорости качения катка и его скорости скольжения по плоскости. Для случая качения вагонного колеса по стальному рельсу коэффициент трения качения .

Законы трения качения, как и законы трения скольжения, справедливы для не очень больших нормальных давлений и не слишком легко деформирующихся материалов катка и плоскости.

Эти законы позволяют не рассматривать деформации катка и плоскости, считая их абсолютно твердыми телами, касающимися в одной точке. В этой точке соприкосновения кроме нормальной реакции и силы трения надо приложить еще и пару сил, препятствующую качению.

Для того, чтобы каток не скользил, необходимо выполнение условия

.

Для того чтобы каток не катился, должно выполняться условие

Решение : Составим уравнения равновесия в проекциях на оси координат:

; ;

Т.к. , выразим из второго уравнения нормальную реакцию поверхности: , тогда . Подставим полученное выражение в первое уравнение:

Подставив известные численные значения, получим:

Т.е. величина проекции силы тяжести превышает величину проекции предельной силы трения, следовательно, тело не находится в равновесии и скользит.

Для нахождения величины силы трения (рис. 7.8) подставим численные значения в ранее полученное выражение для этой силы:

кН.

Ответ: тело скользит; кН.

Самостоятельно решите следующие тестовые задания:

Тело весом G = 10 (Н) удерживается в равновесии на шероховатой наклонной плоскости (рис. 7.13) с углом наклона α=30° (коэффициент трения скольжения f =0,2) силой (Н).

Минимальное значение силы S , удерживающее тело от перемещения вниз по наклонной плоскости, равно …

Рис. 7.13

Варианты ответов: 1) 6,7 2) 3,3 3) 7,6 4) 9,6

Тело весом G = 10 (Н) удерживается в равновесии на шероховатой наклонной плоскости (рис. 7.14) с углом наклона α=45° (коэффициент трения скольжения f =0,2) силой (Н).