Сэдвийн дагуу алгебрийн улсын нэгдсэн шалгалт (ТЕГ) (11-р анги) -д бэлтгэх "Логарифмын харьцуулалт" хичээлийн танилцуулга. Логарифмын үндсэн шинж чанарууд Логарифмыг янз бүрийн суурийн жишээнүүдтэй харьцуул

үндсэн шинж чанарууд.

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

ижил үндэслэлүүд

Log6 4 + log6 9.

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье.

Логарифмыг шийдвэрлэх жишээ

Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x >

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Мөн үзнэ үү:

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-тэй тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.

3.

4. Хаана .

Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол

Жишээ 3. Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно. Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг.

Логарифмын томъёо. Логарифмын шийдлийн жишээ.

Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр гаргаж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудал бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоцгооё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

Мөн үзнэ үү:

a суурийн b-ийн логарифм нь илэрхийллийг илэрхийлнэ. Логарифмыг тооцоолох гэдэг нь тэгш байдал хангагдах x () хүчийг олох гэсэн үг юм

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмтай холбоотой бараг бүх асуудал, жишээг тэдгээрийн үндсэн дээр шийддэг тул дээрх шинж чанаруудыг мэдэх шаардлагатай. Үлдсэн чамин шинж чанаруудыг эдгээр томъёогоор математикийн аргаар гаргаж авах боломжтой

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Логарифмын нийлбэр ба зөрүүний томъёог (3.4) тооцоолохдоо та маш олон удаа тааралддаг. Үлдсэн хэсэг нь зарим талаараа төвөгтэй боловч хэд хэдэн даалгаварт нарийн төвөгтэй илэрхийллийг хялбарчлах, тэдгээрийн утгыг тооцоолоход зайлшгүй шаардлагатай байдаг.

Логарифмын нийтлэг тохиолдлууд

Зарим нийтлэг логарифмууд нь суурь нь бүр арав, экспоненциал эсвэл хоёр байдаг.
Аравтын суурийн логарифмыг ихэвчлэн аравтын логарифм гэж нэрлэдэг бөгөөд энгийнээр lg(x) гэж тэмдэглэдэг.

Бичлэгт үндсэн зүйл бичээгүй нь бичлэгээс тодорхой харагдаж байна. Жишээлбэл

Натурал логарифм нь суурь нь илтгэгч (ln(x)-ээр тэмдэглэгдсэн) логарифм юм.

Экспонент нь 2.718281828…. Экспонентийг санахын тулд та дүрмийг судалж болно: экспонент нь 2.7-тэй тэнцүү бөгөөд Лео Николаевич Толстойн төрсөн жилээс хоёр дахин их байна. Энэ дүрмийг мэдсэнээр та экспонентийн яг тодорхой утга, Лев Толстойн төрсөн он сар өдрийг хоёуланг нь мэдэх болно.

Хоёр дахь суурийг тавих өөр нэг чухал логарифмыг дараах байдлаар тэмдэглэв

Функцийн логарифмын дериватив нь хувьсагчид хуваагдсантай тэнцүү байна

Интеграл эсвэл эсрэг дериватив логарифм нь хамаарлаар тодорхойлогддог

Өгөгдсөн материал нь логарифм, логарифмтай холбоотой өргөн ангиллын асуудлыг шийдвэрлэхэд хангалттай юм. Материалыг ойлгоход тань туслахын тулд би сургуулийн сургалтын хөтөлбөр болон их дээд сургуулиудаас цөөн хэдэн нийтлэг жишээ хэлье.

Логарифмын жишээ

Логарифмын илэрхийллүүд

Жишээ 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 шинж чанарыг ашиглан бид тооцоолно

2.
Логарифмын ялгаварын шинж чанараар бид байна

3.
3.5 шинж чанарыг ашиглан бид олдог

4. Хаана .

Нарийн төвөгтэй мэт санагдах илэрхийлэлийг хэд хэдэн дүрмийг ашиглан хялбаршуулж хэлбэржүүлдэг

Логарифмын утгыг олох

Жишээ 2. Хэрэв x-ийг ол

Шийдэл. Тооцооллын хувьд бид сүүлийн үеийн 5 ба 13 шинж чанаруудыг хэрэглэнэ

Бид үүнийг бичлэгт оруулж, эмгэнэл илэрхийлдэг

Суурь нь тэнцүү тул бид илэрхийллүүдийг тэгшитгэдэг

Логарифм. Эхний түвшин.

Логарифмын утгыг өгье

Хэрэв log(x)-ыг тооцоол

Шийдэл: Хувьсагчийн логарифмыг авч, түүний нөхцлийн нийлбэрээр логарифмыг бичье.

Энэ бол бидний логарифм ба тэдгээрийн шинж чанаруудтай танилцах эхлэл юм. Тооцоолол хийж, практик ур чадвараа баяжуулаарай - логарифм тэгшитгэлийг шийдэхийн тулд олж авсан мэдлэг тань удахгүй хэрэг болно. Ийм тэгшитгэлийг шийдвэрлэх үндсэн аргуудыг судалсны дараа бид таны мэдлэгийг өөр нэг чухал сэдэв болох логарифмын тэгш бус байдлын талаар өргөжүүлэх болно.

Логарифмын үндсэн шинж чанарууд

Логарифмыг ямар ч тоонуудын нэгэн адил нэмэх, хасах, өөрчлөх боломжтой. Гэхдээ логарифмууд нь яг энгийн тоо биш тул энд дүрэм гэж байдаг үндсэн шинж чанарууд.

Та эдгээр дүрмийг мэдэх нь гарцаагүй - тэдгээргүйгээр логарифмын ноцтой асуудлыг шийдэж чадахгүй. Нэмж дурдахад тэд маш цөөхөн байдаг - та нэг өдрийн дотор бүгдийг сурч чадна. Ингээд эхэлцгээе.

Логарифм нэмэх, хасах

Ижил суурьтай хоёр логарифмыг авч үзье: логакс ба лога. Дараа нь тэдгээрийг нэмж, хасах боломжтой бөгөөд:

1. логакс + логай = лога(х у);
2. логакс − логай = лога (x: y).

Тэгэхээр логарифмын нийлбэр нь үржвэрийн логарифмтай тэнцүү, зөрүү нь хуваалтын логарифмтай тэнцүү байна. Анхаарна уу: гол зүйл бол энд байна ижил үндэслэлүүд. Хэрэв шалтгаан нь өөр бол эдгээр дүрэм ажиллахгүй!

Эдгээр томьёо нь логарифм илэрхийлэлийг түүний бие даасан хэсгүүдийг тооцохгүй байсан ч тооцоолоход тусална ("Логарифм гэж юу вэ" хичээлийг үзнэ үү). Жишээнүүдийг хараад:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log6 4 + log6 9.

Логарифм нь ижил суурьтай тул бид нийлбэрийн томъёог ашигладаг.
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log2 48 − log2 3.

Суурь нь адилхан, бид ялгааны томъёог ашигладаг:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log3 135 − log3 5.

Дахин хэлэхэд суурь нь адилхан тул бидэнд:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Таны харж байгаагаар анхны илэрхийллүүд нь "муу" логарифмуудаас бүрддэг бөгөөд тэдгээрийг тусад нь тооцдоггүй. Гэхдээ хувиргасны дараа бүрэн хэвийн тоонууд гарч ирдэг. Энэ баримт дээр үндэслэн олон туршилт хийдэг. Тийм ээ, шалгалттай төстэй илэрхийлэлүүдийг улсын нэгдсэн шалгалтанд бүх ноцтойгоор (заримдаа бараг өөрчлөлтгүй) санал болгодог.

Логарифмаас илтгэгчийг гаргаж байна

Одоо даалгавраа бага зэрэг хүндрүүлье. Логарифмын суурь буюу аргумент нь хүч бол яах вэ? Дараах дүрмийн дагуу энэ зэргийн илтгэгчийг логарифмын тэмдгээс гаргаж болно.

Сүүлийн дүрэм нь эхний хоёрыг дагаж мөрддөгийг харахад хялбар байдаг. Гэхдээ үүнийг санаж байх нь дээр - зарим тохиолдолд энэ нь тооцооллын хэмжээг эрс багасгах болно.

Мэдээжийн хэрэг, логарифмын ODZ ажиглагдвал эдгээр бүх дүрмүүд утга учиртай болно: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Бас нэг зүйл: бүх томъёог зөвхөн зүүнээс баруун тийш төдийгүй эсрэгээр нь хэрэглэж сур. , өөрөөр хэлбэл Та логарифмын тэмдгийн өмнөх тоонуудыг логарифм руу оруулж болно.

Логарифмыг хэрхэн шийдэх вэ

Энэ нь ихэвчлэн шаардлагатай байдаг.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log7 496.

Эхний томъёог ашиглан аргумент дахь зэрэглэлээс салцгаая.
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

Хуваагч нь логарифм агуулж байгааг анхаарна уу, түүний суурь ба аргумент нь яг хүчирхэг байх болно: 16 = 24; 49 = 72. Бидэнд:

Сүүлийн жишээнд тодорхой тайлбар хэрэгтэй гэж бодож байна. Логарифмууд хаашаа явсан бэ? Эцсийн мөч хүртэл бид зөвхөн хуваагчтай ажилладаг. Бид тэнд зогсож буй логарифмын суурь ба аргументыг хүч чадлын хэлбэрээр гаргаж, илтгэгчийг гаргаж авсан - бид "гурван давхар" бутархай авсан.

Одоо үндсэн бутархайг харцгаая. Тоолуур ба хуваагч нь ижил тоог агуулна: log2 7. log2 7 ≠ 0 тул бид бутархайг багасгаж болно - 2/4 нь хуваарьт үлдэх болно. Арифметикийн дүрмийн дагуу дөрвийг тоологч руу шилжүүлж болох бөгөөд энэ нь хийгдсэн зүйл юм. Үүний хариу нь: 2.

Шинэ суурь руу шилжих

Логарифмыг нэмэх, хасах дүрмийн талаар ярихдаа тэдгээр нь зөвхөн ижил суурьтай ажилладаг гэдгийг би онцлон тэмдэглэв. Шалтгаан нь өөр байвал яах вэ? Хэрэв тэдгээр нь яг ижил тооны хүчин чадал биш бол яах вэ?

Шинэ суурь руу шилжих томъёонууд аврах ажилд ирдэг. Тэдгээрийг теорем хэлбэрээр томъёолъё.

Логарифмын логаксыг өгье. Дараа нь c > 0 ба c ≠ 1 гэсэн дурын c тооны хувьд тэгш байдал үнэн болно:

Ялангуяа, хэрэв бид c = x гэж тохируулбал бид дараахь зүйлийг авна.

Хоёрдахь томъёоноос харахад логарифмын суурь ба аргументыг сольж болох боловч энэ тохиолдолд илэрхийлэл бүхэлдээ "эргэв", өөрөөр хэлбэл. логарифм нь хуваагч дээр гарч ирнэ.

Эдгээр томьёо нь энгийн тоон илэрхийлэлд ховор байдаг. Логарифмын тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэх үед л тэдгээр нь хэр тохиромжтой болохыг үнэлэх боломжтой.

Гэхдээ шинэ суурь руу шилжсэнээс өөрөөр шийдэх боломжгүй асуудал бий. Эдгээрээс хэд хэдэн зүйлийг харцгаая:

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log5 16 log2 25.

Хоёр логарифмын аргументууд нь тодорхой хүчийг агуулдаг болохыг анхаарна уу. Шалгуур үзүүлэлтүүдийг гаргацгаая: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Одоо хоёр дахь логарифмыг "урвуу" болгоцгооё:

Хүчин зүйлийг дахин тохируулах үед бүтээгдэхүүн өөрчлөгддөггүй тул бид дөрөв ба хоёрыг тайван үржүүлж, дараа нь логарифмуудыг авч үзсэн.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол: log9 100 lg 3.

Эхний логарифмын суурь ба аргумент нь яг хүч юм. Үүнийг бичиж, үзүүлэлтүүдээс салцгаая.

Одоо шинэ суурь руу шилжиж аравтын бутархай логарифмаас салцгаая.

Үндсэн логарифмын таних тэмдэг

Ихэнхдээ шийдлийн процесст тоог өгөгдсөн суурь руу логарифм хэлбэрээр илэрхийлэх шаардлагатай байдаг. Энэ тохиолдолд дараах томъёолол бидэнд туслах болно.

Эхний тохиолдолд n тоо нь аргумент дахь илтгэгч болдог. n тоо нь юу ч байж болно, учир нь энэ нь зүгээр л логарифмын утга юм.

Хоёрдахь томьёо нь үнэндээ өөрчилсөн тодорхойлолт юм. Үүнийг ингэж нэрлэдэг: .

Үнэн хэрэгтээ, b тоог ийм зэрэгт аваачвал энэ түвшний b тоо нь а тоог өгдөг бол юу болох вэ? Энэ нь зөв: үр дүн нь ижил тоо юм. Энэ догол мөрийг дахин анхааралтай уншина уу - олон хүн үүнд гацдаг.

Шинэ суурь руу шилжих томьёоны нэгэн адил үндсэн логарифмын ижилсэл нь заримдаа цорын ганц боломжит шийдэл юм.

Даалгавар. Илэрхийллийн утгыг ол:

log25 64 = log5 8 - зүгээр л логарифмын суурь ба аргументаас квадратыг авсан гэдгийг анхаарна уу. Ижил суурьтай хүчийг үржүүлэх дүрмийг харгалзан бид дараахь зүйлийг авна.

Хэрэв хэн нэгэн мэдэхгүй бол энэ нь Улсын нэгдсэн шалгалтын жинхэнэ даалгавар байсан :)

Логарифмын нэгж ба логарифмын тэг

Эцэст нь хэлэхэд, би шинж чанар гэж нэрлэгдэх боломжгүй хоёр ижил төстэй байдлыг өгөх болно - харин эдгээр нь логарифмын тодорхойлолтын үр дагавар юм. Тэд байнга асуудалд гарч ирдэг бөгөөд гайхмаар нь "дэвшилтэт" оюутнуудад хүртэл асуудал үүсгэдэг.

1. logaa = 1 байна. Нэг удаа, бүрмөсөн санаарай: энэ суурийн аль ч а суурийн логарифм нь өөрөө нэгтэй тэнцүү байна.
2. лога 1 = 0 байна. a суурь нь юу ч байж болно, гэхдээ аргумент нэгийг агуулж байвал логарифм нь тэгтэй тэнцүү байна! Учир нь a0 = 1 нь тодорхойлолтын шууд үр дагавар юм.

Энэ бол бүх өмч юм. Тэдгээрийг амьдралд хэрэгжүүлэх дадлага хийхээ мартуузай! Хичээлийн эхэнд хууран мэхлэх хуудсыг татаж аваад хэвлээд асуудлыг шийдээрэй.

-ээс эхэлье нэгийн логарифмын шинж чанарууд. Түүний томъёолол нь дараах байдалтай байна: нэгдлийн логарифм нь тэгтэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, log a 1=0ямар ч a>0, a≠1. Баталгаажуулах нь тийм ч хэцүү биш: дээрх a>0 ба a≠1 нөхцөлийг хангасан аль ч a 0 =1 тул логарифмын тодорхойлолтоос нэн даруй нотлогдох a 1=0 тэнцэл дагалддаг.

Харгалзан авч буй үл хөдлөх хөрөнгийн хэрэглээний жишээг өгье: log 3 1=0, log1=0 ба .

Дараагийн үл хөдлөх хөрөнгө рүү шилжье: суурьтай тэнцүү тооны логарифм нь нэгтэй тэнцүү байна, тэр бол, log a a=1 a>0, a≠1 хувьд. Үнэн хэрэгтээ дурын а-д a 1 =a тул логарифмын тодорхойлолтоор a a=1 болно.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ нь log 5 5=1, log 5.6 5.6 ба lne=1 тэнцүү байна.

Жишээлбэл, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ба .

Хоёр эерэг тооны үржвэрийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1 . Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг баталъя. Зэрэглэлийн шинж чанараас шалтгаалан a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, мөн үндсэн логарифмын адилтгалаар лог a x =x ба log a y =y байх тул a log a x ·a log a y =x·y болно. Ийнхүү лог a x+log a y =x·y байх бөгөөд үүнээс логарифмын тодорхойлолтоор нотлогдож буй тэгш байдал гарч ирнэ.

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг ашиглах жишээг үзүүлье: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ба .

Бүтээгдэхүүний логарифмын шинж чанарыг x 1 , x 2 , …, x n эерэг тоонуудын төгсгөлтэй n тооны үржвэрт ерөнхийлж болно. log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Энэ тэгш байдлыг асуудалгүйгээр баталж болно.

Жишээлбэл, бүтээгдэхүүний натурал логарифмыг 4, e, ба тоонуудын гурван натурал логарифмын нийлбэрээр сольж болно.

Хоёр эерэг тооны хэсгийн логарифм x ба y нь эдгээр тоонуудын логарифмын зөрүүтэй тэнцүү байна. Хэсгийн логарифмын шинж чанар нь a>0, a≠1, x ба y нь эерэг тоонууд байх хэлбэрийн томьёотой тохирч байна. Бүтээгдэхүүний логарифмын томъёоны адилаар энэ томьёоны хүчинтэй байдал нотлогдсон: оноос хойш , дараа нь логарифмын тодорхойлолтоор.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах жишээ энд байна. .

Дараа нь үргэлжлүүлье чадлын логарифмын шинж чанар. Зэрэглэлийн логарифм нь энэ зэргийн суурийн индекс ба модулийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү байна. Хүчний логарифмын энэ шинж чанарыг томъёогоор бичье. log a b p =p·log a |b|, энд a>0, a≠1, b ба p нь b p зэрэг нь утга учиртай, b p >0 байх тоо юм.

Эхлээд бид энэ шинж чанарыг эерэгээр баталж байна b. Үндсэн логарифмын ижилсэл нь b тоог a log a b , дараа нь b p =(a log a b) p хэлбэрээр илэрхийлэх боломжийг олгодог ба үр дүнгийн илэрхийлэл нь чадлын шинж чанараас шалтгаалан p·log a b -тэй тэнцүү байна. Тиймээс бид b p =a p·log a b тэгшитгэлд хүрч, логарифмын тодорхойлолтоор бид log a b p =p·log a b гэж дүгнэж байна.

Энэ өмчийг сөрөг талаас нь батлах хэвээр байна b. Сөрөг b-ийн хувьд log a b p илэрхийлэл нь зөвхөн p тэгш илтгэгчийн хувьд утга учиртай болохыг энд тэмдэглэж байна (учир нь b p зэрэглэлийн утга тэгээс их байх ёстой, эс тэгвээс логарифм утгагүй болно), энэ тохиолдолд b p =|b| х. Дараа нь b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, хаанаас log a b p =p·log a |b| .

Жишээлбэл, ба ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Энэ нь өмнөх өмчөөс үүдэлтэй язгуураас авсан логарифмын шинж чанар: n-р язгуурын логарифм нь 1/n бутархайг радикал илэрхийллийн логарифмын үржвэртэй тэнцүү, өөрөөр хэлбэл, , энд a>0, a≠1, n нь нэгээс их натурал тоо, b>0.

Нотолгоо нь аливаа эерэг b-ийн хувьд хүчинтэй тэгш байдал (харна уу) ба чадлын логарифмын шинж чанар дээр суурилдаг. .

Энэ өмчийг ашиглах жишээ энд байна: .

Одоо баталъя шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёотөрөл . Үүнийг хийхийн тулд тэгш байдлын log c b=log a b·log c a-ийн үнэн зөвийг батлахад хангалттай. Үндсэн логарифмын таних тэмдэг нь b тоог a log a b, дараа нь log c b=log c a log a b гэж илэрхийлэх боломжийг олгодог. Зэрэглэлийн логарифмын шинж чанарыг ашиглахад хэвээр байна: log c a log a b =log a b log c a. Энэ нь log c b=log a b·log c a тэнцүү болохыг баталж байгаа нь логарифмын шинэ суурьт шилжих томьёо мөн батлагдсан гэсэн үг.

Логарифмын энэ шинж чанарыг ашиглах хэд хэдэн жишээг үзүүлье: ба .

Шинэ суурь руу шилжих томъёо нь "тохиромжтой" суурьтай логарифмуудтай ажиллахад шилжих боломжийг олгодог. Жишээлбэл, логарифмын хүснэгтээс логарифмын утгыг тооцоолохын тулд натурал буюу аравтын логарифм руу шилжихэд ашиглаж болно. Шинэ логарифмын суурь руу шилжих томъёо нь зарим тохиолдолд бусад суурьтай зарим логарифмын утгууд мэдэгдэж байгаа тохиолдолд өгөгдсөн логарифмын утгыг олох боломжийг олгодог.

Маягтын c=b-ийн шинэ логарифмын суурь руу шилжих томьёоны онцгой тохиолдлыг ихэвчлэн ашигладаг . Энэ нь log a b ба log b a – болохыг харуулж байна. Жишээ нь, .

Томъёог бас ихэвчлэн ашигладаг , энэ нь логарифмын утгыг олоход тохиромжтой. Бидний үгсийг батлахын тулд бид үүнийг маягтын логарифмын утгыг тооцоолоход хэрхэн ашиглаж болохыг харуулах болно. Бидэнд байгаа . Томьёог батлахын тулд a логарифмын шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглахад хангалттай. .

Логарифмын харьцуулалтын шинж чанарыг батлахад л үлддэг.

Аливаа эерэг тоонуудын хувьд b 1 ба b 2, b 1 гэдгийг баталцгаая log a b 2, a>1-ийн хувьд – тэгш бус байдлын log a b 1

Эцэст нь логарифмын хамгийн сүүлийн жагсаасан шинж чанарыг батлахад л үлдлээ. Түүний эхний хэсгийн нотолгоогоор хязгаарлъя, өөрөөр хэлбэл, хэрэв 1 >1, a 2 >1, a 1 гэдгийг батлах болно. 1 нь үнэн log a 1 b>log a 2 b . Логарифмын энэ өмчийн үлдсэн мэдэгдлүүдийг ижил төстэй зарчмын дагуу нотолж байна.

Эсрэг аргыг хэрэглэцгээе. 1 >1, 2 >1 ба 1 гэж бодъё 1 нь үнэн log a 1 b≤log a 2 b . Логарифмын шинж чанарууд дээр үндэслэн эдгээр тэгш бус байдлыг дахин бичиж болно Тэгээд тус тус ба тэдгээрээс log b a 1 ≤log b a 2 ба log b a 1 ≥log b a 2 байна. Дараа нь ижил суурьтай зэрэглэлийн шинж чанарын дагуу b log b a 1 ≥b log b a 2 ба b log b a 1 ≥b log b a 2 тэнцүү байх ёстой, өөрөөр хэлбэл a 1 ≥a 2 байна. Тиймээс бид 1 гэсэн нөхцөлтэй зөрчилдсөн

Ном зүй.

• Колмогоров А.Н., Абрамов А.М., Дудницын Ю.П. болон бусад алгебр ба шинжилгээний эхлэл: Ерөнхий боловсролын байгууллагын 10-11-р ангийн сурах бичиг.
• Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математик (техникийн сургуульд элсэгчдэд зориулсан гарын авлага).

Логарифмын утгыг эсвэл логарифмын утгыг тодорхой тоотой харьцуулах нь сургуулийн асуудал шийдвэрлэх практикт зөвхөн бие даасан ажил биш юм. Жишээлбэл, тэгшитгэл ба тэгш бус байдлыг шийдвэрлэхдээ логарифмуудыг харьцуулах хэрэгтэй. Өгүүллийн материалыг (асуудал, тэдгээрийн шийдэл) "энгийнээс нарийн төвөгтэй" зарчмын дагуу байрлуулсан бөгөөд энэ сэдвээр хичээл (хичээл) бэлтгэх, явуулахад ашиглах боломжтой. Хичээлд авч үзэх даалгаврын тоо нь тухайн ангийн түвшин, төрөлжсөн чиглэлээс хамаарна. Математикийн ахисан түвшний ангиудад энэ материалыг хоёр цагийн лекцийн хичээлд ашиглаж болно.

1. (Амаар.) Функцүүдийн аль нь нэмэгдэж, аль нь буурч байна:

Сэтгэгдэл.Энэ дасгал нь бэлтгэлийн дасгал юм.

2. (Амаар.)Тэгтэй харьцуулах:

Сэтгэгдэл. 2-р дасгалыг шийдвэрлэхдээ логарифм функцийн графикийг ашиглан логарифмын функцийн шинж чанарыг хоёуланг нь ашиглаж болно. ашигтай эд хөрөнгө:

хэрэв эерэг тоо a ба b нь тооны шулуун дээр 1-ийн баруун талд эсвэл 1-ийн зүүн талд байвал (өөрөөр хэлбэл a>1 ба b>1 эсвэл 0) 0 ;
Хэрэв эерэг тоо a ба b нь тооны шулуун дээр 1-ийн эсрэг талд байвал (өөрөөр хэлбэл 0) .

Энэ үл хөдлөх хөрөнгийн ашиглалтыг харуулъя 2(а) дугаар шийдвэрт.

Функцээс хойш y = log 7 t-ээр нэмэгддэг R+, 10 > 7, дараа нь log 7 10 > log 7 7, өөрөөр хэлбэл log 7 10 > 1. Иймд sin3 ба log 7 10 эерэг тоонууд 1-ийн эсрэг талд байрладаг. Тиймээс log sin3 log 7 10 байна.< 0.

3. (Амаар.) Үндэслэл дэх алдааг ол:

Чиг үүрэг y = lgtдараа нь R + -ээр нэмэгдэнэ ,

Сүүлийн тэгш бус байдлын хоёр талыг хуваая. Бид 2>3-ыг авна.

Шийдэл.

Эерэг тоо ба 10 (логарифмын суурь) нь 1-ийн эсрэг талд байрладаг. Энэ нь< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Амаар.) Тоонуудыг харьцуулна уу:

Сэтгэгдэл. No4(a–c) дасгалуудыг шийдвэрлэхдээ бид логарифмын функцийн монотон шинж чанарыг ашигладаг. №4(d) шийдлийн хувьд бид өмчийг ашигладаг:

хэрэв c > a >1 бол b>1 хувьд log a b > log c b тэгш бус байдал үнэн болно.

Шийдэл 4(d).

1 оноос хойш< 5 < 7 и 13 >1, дараа нь лог 5 13 > log 7 13.

5. Тоонуудыг харьцуулбүртгэл 2 6 ба 2.

Шийдэл.

Эхний арга (логарифмын функцийн монотон байдлыг ашиглан).

Чиг үүрэг y = log 2 t-ээр нэмэгддэг R+, 6 > 4. Тэгэхээр, бүртгэл 2 6 > бүртгэл 2 4Тэгээд бүртгэл 2 5 > 2.

Хоёрдахь арга (ялгааг бүрдүүлэх).

Ялгаагаа нөхцгөөе.

6. Тоонуудыг харьцуул Тэгээд -1.

Чиг үүрэг у =-аар буурдаг R+ , 3 < 5. Значит, >Тэгээд > -1 .

7. Тоонуудыг харьцуул Тэгээд 3log 8 26 .

Чиг үүрэг y = log 2 t-ээр нэмэгддэг R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Эхний арга.

Тэгш бус байдлын хоёр талыг 3-аар үржүүлье.

Чиг үүрэг y = log 5 t-ээр нэмэгддэг R+ , 27 > 25. Тэгэхээр,

Хоёрдахь арга.

Ялгаагаа нөхцгөөе
. Эндээс.

9. Лог 4 26 тоонуудыг харьцуул Тэгээд бүртгэл 6 17.

y = log 4 t ба y = log 6 t функцууд нь -ээр нэмэгдэхийг харгалзан логарифмуудыг тооцоолъё. R+:

Функцуудыг харгалзан үзвэл -аар буурч байна R+, бидэнд байгаа:

гэсэн үг,

Сэтгэгдэл. Санал болгож буй харьцуулах аргыг нэрлэнэ "оруулах" аргаэсвэл "салгах" арга(бид энэ хоёр тоог тусгаарлах 4-ийн тоог олсон).

11. Лог 2 3 тоонуудыг харьцуул Тэгээд бүртгэл 3 5.

Логарифм хоёулаа 1-ээс их боловч 2-оос бага гэдгийг анхаарна уу.

Эхний арга. "Салах" аргыг ашиглахыг хичээцгээе. Логарифмыг тоотой харьцуулж үзье.

Хоёрдахь арга ( натурал тоогоор үржүүлэх).

Тайлбар 1. Мөн чанар арга “натурал тоогоор үржүүлэх” гэдэг нь бид натурал тоог хайж байгаа явдал юм к, харьцуулсан тоонуудыг үржүүлэхэд аТэгээд бэдгээр тоонуудыг аваарай каТэгээд кбтэдгээрийн хооронд дор хаяж нэг бүхэл тоо байна.

Тайлбар 2. Хэрэв харьцуулж буй тоонууд хоорондоо маш ойрхон байвал дээрх аргыг хэрэгжүүлэх нь маш их хөдөлмөр зарцуулдаг.
Энэ тохиолдолд та харьцуулахыг оролдож болно "нэгийг хасах" арга" Үүнийг дараах жишээнд үзүүлье.

12. Лог 7 8 тоонуудыг харьцуул Тэгээд бүртгэл 6 7.

Эхний арга (нэгийг хасах).

Харьцуулж буй тооноос 1-ийг хас.

Эхний тэгш бус байдалд бид үүнийг ашигласан

хэрэв c > a > 1 бол b > 1-ийн хувьд a b > log c b тэгш бус байдал үнэн болно.

Хоёр дахь тэгш бус байдалд – y = log a x функцийн монотон байдал.

Хоёрдахь арга (Кошигийн тэгш бус байдлын хэрэглээ).

13. Лог 24 72 тоонуудыг харьцуул Тэгээд бүртгэл 12 18.

14. Лог 20 80 тоонуудыг харьцуул Тэгээд бүртгэл 80 640.

Лог 2 5 = гэж үзье x. анзаараарай, тэр x > 0.

Бид тэгш бус байдлыг олж авдаг.

Тэгш бус байдлын олон шийдлийг олцгооё. x > нөхцөлийг хангаж байна 0.

Тэгш бус байдлын хоёр талыг байгуулъя квадрат (д x> 0 тэгш бус байдлын хоёр тал эерэг). Бидэнд 9х2 байна< 9x + 28.

Сүүлийн тэгш бус байдлын шийдлүүдийн багц нь интервал юм.

Үүнийг харгалзан үзвэл x> 0, бид авна: .

Хариулт: Тэгш бус байдал үнэн.

Асуудлыг шийдвэрлэх семинар.

1. Тоонуудыг харьцуулна уу:

2. Тоонуудыг өсөх дарааллаар байрлуул:

3. Тэгш бус байдлыг шийд 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Тоо юм √2 Энэ тэгш бус байдлын шийдэл? (Хариулт:(–∞; log 2 3) ; тоо √2 Энэ тэгш бус байдлын шийдэл юм.)

Дүгнэлт.

Логарифмыг харьцуулах олон арга байдаг. Энэ сэдвийн хичээлүүдийн зорилго нь олон янзын аргуудыг удирдах, тодорхой нөхцөл байдал бүрт хамгийн оновчтой шийдлийг сонгох, хэрэгжүүлэхэд сургах явдал юм.

Математикийн гүнзгийрүүлсэн сургалттай ангиудад энэ сэдвээр материалыг лекц хэлбэрээр танилцуулж болно. Боловсролын үйл ажиллагааны энэ хэлбэр нь лекцийн материалыг сайтар сонгож, боловсруулж, тодорхой логик дарааллаар байрлуулах ёстой гэж үздэг. Багшийн самбар дээр бичсэн тэмдэглэл нь бодолтой, математикийн хувьд үнэн зөв байх ёстой.

Практик хичээл дээр лекцийн материалыг нэгтгэх, асуудал шийдвэрлэх чадварыг дадлагажуулах нь зүйтэй. Сургалтын зорилго нь олж авсан мэдлэгээ бататгах, шалгах төдийгүй түүнийгээ өргөжүүлэх явдал юм. Тиймээс даалгаврууд нь хамгийн энгийн даалгавраас эхлээд нарийн төвөгтэй ажил хүртэл янз бүрийн түвшний даалгавруудыг агуулсан байх ёстой. Ийм семинарын багш зөвлөхийн үүрэг гүйцэтгэдэг.

Уран зохиол.

1. Галицки М.Л.болон бусад алгебр, математикийн шинжилгээний хичээлийг гүнзгийрүүлэн судлах: Арга. Зөвлөмж, сургалтын хэрэглэгдэхүүн: Багш нарт зориулсан гарын авлага - М.: Боловсрол, 1986.
2. Зив Б.Г., Голдич В.А. 10-р ангийн алгебр, үндсэн шинжилгээний дидактик материал. – Санкт-Петербург: “ЧеРо-он-Нева”, 2003 он.
3. Литвиненко В.Н., Мордкович А.Г.Анхан шатны математикийн семинар. Алгебр. Тригонометр: Боловсролын хэвлэл. - М.: Боловсрол, 1990 он.
4. Рязановский А.Р.Алгебр ба анализын эхлэл: Сургуулийн сурагчид болон их дээд сургуульд элсэгчдэд зориулсан математикийн асуудлыг шийдвэрлэх 500 арга, арга. - М .: Тодог, 2001.
5. Садовничий Ю.В.Математик. Шийдэл бүхий алгебрийн өрсөлдөөний бодлого. 4-р хэсэг. Логарифм тэгшитгэл, тэгш бус байдал, систем. Сурах бичиг.-3-р хэвлэл, стер.-М.: UNTsDO-ийн хэвлэлийн алба, 2003.
6. Шарыгин И.Ф., Голубев В.И.Математикийн нэмэлт хичээл: Бодлого шийдвэрлэх: Proc. 11-р ангийн тэтгэмж. дунд сургууль - М.: Просвещение, 1991.

Асуултын хэсэгт логарифмыг ....(+) үед хэрхэн харьцуулах вэ? зохиогчийн өгсөн Шигшиххамгийн сайн хариулт бол Эсвэл та үүнийг нэг суурь болгон бууруулж болохгүй, харин логарифмын функцийн шинж чанарыг ашиглана уу.
Хэрэв логарифм функцийн суурь нь 1-ээс их байвал функц нь өсөх ба x >1 бол суурь нь бага байх тусам график өндөр байрлана.
0-ийн хувьд< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Хэрэв логарифмын суурь нь тэгээс их, 1-ээс бага бол функц буурч байна.
Түүнчлэн, x > 1-ийн хувьд суурь нь бага байх тусам график өндөр болно.
0-ийн хувьд< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Энэ нь дараах байдлаар гарах болно.

-аас хариу туранхай[гуру]
Логарифмуудыг ижил суурь (жишээ нь, натурал тоо) болгон бууруулж, дараа нь харьцуул.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

-аас хариу Нейропатологич[гуру]
Шинэ суурь руу шилжих томъёог ашиглана уу: log(a)b=1/log(b)a.
Дараа нь ижил суурьтай логарифм гэх мэт бутархайн хуваагчдыг харьцуул.
Ижил тоотой хоёр бутархайгаас бага хуваагчтай бутархай нь том байна.
Жишээ нь log(7)16 ба log(3)16
1/лог(16)7 ба 1/лог(16)3
log(16)7>log(16)3 тул 1/log(16)7< 1/log(16)3.