विषयावरील बीजगणित (ग्रेड 11) मध्ये युनिफाइड स्टेट परीक्षा (GIA) ची तयारी करण्यासाठी "लोगॅरिथमची तुलना" या धड्याचे सादरीकरण. लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म भिन्न पाया उदाहरणांसह लॉगरिदमची तुलना करा

मुख्य गुणधर्म.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

समान कारणे

Log6 4 + log6 9.

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया.

लॉगरिदम सोडवण्याची उदाहरणे

लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

अर्थात, लॉगरिदमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण आहेत: a > 0, a ≠ 1, x >

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

हे देखील पहा:

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, तुम्ही नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 च्या बरोबरीचा आहे आणि लिओ निकोलाविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे.

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

लॉगरिदमची उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण १.
अ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुणधर्म 3.5 वापरून आम्ही गणना करतो

2.

3.

4. कुठे .

उदाहरण 2. जर x शोधा

उदाहरण 3. लॉगरिदमचे मूल्य दिले जाऊ द्या

जर लॉग(x) ची गणना करा

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम ही अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मुख्य गुणधर्म.

आपल्याला हे नियम निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय, एकही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - आपण एका दिवसात सर्वकाही शिकू शकता. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

समान पाया असलेले दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तर, लॉगॅरिथमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीची आहे, आणि फरक भागाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे समान कारणे. कारणे वेगळी असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे तुम्हाला लॉगॅरिथमिक अभिव्यक्तीची गणना करण्यात मदत करतील, जरी त्याच्या वैयक्तिक भागांचा विचार केला जात नसला तरीही (“लोगॅरिथम काय आहे” हा धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

तुम्ही बघू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिदमपासून बनलेली आहेत, ज्यांची स्वतंत्रपणे गणना केली जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर, पूर्णपणे सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनवर सर्व गांभीर्याने (कधीकधी अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) चाचणी सारखी अभिव्यक्ती दिली जाते.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, लॉगॅरिथमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडेच नव्हे तर त्याउलट लागू करायला शिका. , म्हणजे लॉगरिथम चिन्हाच्या आधी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता. हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लॉगरिदम आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो.

लॉगरिदम सूत्रे. लॉगरिदम उदाहरणे उपाय.

आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांमध्ये समान संख्या असते: लॉग2 7. लॉग2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले गेले. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. चला त्यांना प्रमेयाच्या रूपात तयार करूया:

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x सेट केले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसून येते की लॉगॅरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद स्वॅप केला जाऊ शकतो, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, म्हणजे. लॉगरिथम भाजकामध्ये दिसते.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यांकन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशा समस्या आहेत ज्या नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. चला यापैकी काही पाहू:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक शक्ती आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम "उलट" करूया:

घटकांची पुनर्रचना करताना उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदम हाताळले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला हे लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

सोल्युशन प्रक्रियेत अनेकदा दिलेल्या बेसला लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, खालील सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या वितर्कातील घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिथम मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: .

किंबहुना, b संख्या एवढ्या बळावर वाढवली तर काय होईल की या घाताची संख्या b ही संख्या a देते? ते बरोबर आहे: परिणाम समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर अडकतात.

नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

नोंद घ्या की log25 64 = log5 8 - लॉगरिदमच्या बेस आणि आर्ग्युमेंटमधून फक्त स्क्वेअर घेतला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकतात - उलट, ते लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये दिसतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: त्या बेसच्या कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक समान आहे.
2. loga 1 = 0 आहे. बेस a काहीही असू शकतो, पण जर वितर्कात एक असेल, तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

हे देखील पहा:

a ला बेस करण्यासाठी b चा लॉगरिदम ही अभिव्यक्ती दर्शवते. लॉगरिदमची गणना करणे म्हणजे x () पॉवर शोधणे ज्यावर समानता समाधानी आहे

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

वरील गुणधर्म जाणून घेणे आवश्यक आहे, कारण लॉगरिदमशी संबंधित जवळजवळ सर्व समस्या आणि उदाहरणे त्यांच्या आधारावर सोडविली जातात. उर्वरित विदेशी गुणधर्म या सूत्रांसह गणितीय हाताळणीद्वारे मिळवता येतात

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

लॉगरिदम (3.4) च्या बेरीज आणि फरकासाठी सूत्राची गणना करताना आपण बऱ्याचदा भेटता. उर्वरित काहीसे जटिल आहेत, परंतु अनेक कार्यांमध्ये ते जटिल अभिव्यक्ती सुलभ करण्यासाठी आणि त्यांची मूल्ये मोजण्यासाठी अपरिहार्य आहेत.

लॉगरिदमची सामान्य प्रकरणे

काही सामान्य लॉगरिदम असे आहेत ज्यात बेस अगदी दहा, घातांक किंवा दोन आहे.
लॉगरिथम ते बेस टेनला सामान्यतः दशांश लॉगरिदम म्हणतात आणि फक्त lg(x) द्वारे दर्शविले जाते.

रेकॉर्डिंगमध्ये मूलभूत गोष्टी लिहिल्या जात नसल्याचे रेकॉर्डिंगवरून स्पष्ट होते. उदाहरणार्थ

नैसर्गिक लॉगरिथम हा लॉगरिथम आहे ज्याचा आधार घातांक असतो (ln(x) द्वारे दर्शविला जातो).

घातांक 2.718281828 आहे…. घातांक लक्षात ठेवण्यासाठी, तुम्ही नियमाचा अभ्यास करू शकता: घातांक 2.7 च्या बरोबरीचा आहे आणि लिओ निकोलाविच टॉल्स्टॉयच्या जन्माच्या वर्षाच्या दुप्पट आहे. हा नियम जाणून घेतल्यास, तुम्हाला घातांकाचे अचूक मूल्य आणि लिओ टॉल्स्टॉयची जन्मतारीख दोन्ही कळेल.

आणि बेस दोनचे दुसरे महत्त्वाचे लॉगरिदम द्वारे दर्शविले जाते

फंक्शनच्या लॉगरिदमचे व्युत्पन्न व्हेरिएबलने भागलेल्या एका समान असते

इंटिग्रल किंवा अँटीडेरिव्हेटिव्ह लॉगरिथम संबंधांद्वारे निर्धारित केले जाते

लॉगरिदम आणि लॉगरिदमशी संबंधित समस्यांच्या विस्तृत वर्गाचे निराकरण करण्यासाठी दिलेली सामग्री तुमच्यासाठी पुरेशी आहे. तुम्हाला सामग्री समजून घेण्यात मदत करण्यासाठी, मी शालेय अभ्यासक्रम आणि विद्यापीठांमधून फक्त काही सामान्य उदाहरणे देईन.

लॉगरिदमची उदाहरणे

लॉगरिदम अभिव्यक्ती

उदाहरण १.
अ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

गुणधर्म 3.5 वापरून आम्ही गणना करतो

2.
लॉगरिदमच्या फरकाच्या गुणधर्मानुसार आपल्याकडे आहे

3.
गुणधर्म 3.5 वापरून आपण शोधतो

4. कुठे .

अनेक नियम वापरून तयार करण्यासाठी एक उशिर जटिल अभिव्यक्ती सरलीकृत केली जाते

लॉगरिदम मूल्ये शोधत आहे

उदाहरण 2. जर x शोधा

उपाय. गणनासाठी, आम्ही शेवटच्या टर्म 5 आणि 13 गुणधर्मांना लागू करतो

आम्ही ते रेकॉर्डवर ठेवतो आणि शोक करतो

बेस समान असल्याने, आम्ही अभिव्यक्ती समान करतो

लॉगरिदम. पहिला स्तर.

लॉगरिदमचे मूल्य दिले जाऊ द्या

जर लॉग(x) ची गणना करा

ऊत्तराची: चला लॉगरिदम लिहिण्यासाठी व्हेरिएबलचा लॉगरिदम घेऊ.

लॉगरिदम आणि त्यांच्या गुणधर्मांबद्दलच्या आमच्या परिचयाची ही फक्त सुरुवात आहे. गणनेचा सराव करा, तुमची व्यावहारिक कौशल्ये समृद्ध करा - लॉगरिदमिक समीकरणे सोडवण्यासाठी तुम्हाला लवकरच मिळणारे ज्ञान आवश्यक असेल. अशी समीकरणे सोडवण्याच्या मूलभूत पद्धतींचा अभ्यास केल्यावर, आम्ही तुमचे ज्ञान दुसऱ्या तितक्याच महत्त्वाच्या विषयावर वाढवू - लॉगरिदमिक असमानता...

लॉगरिदमचे मूलभूत गुणधर्म

लॉगरिदम, कोणत्याही संख्येप्रमाणे, प्रत्येक प्रकारे जोडले, वजा केले आणि बदलले जाऊ शकतात. परंतु लॉगरिदम ही अगदी सामान्य संख्या नसल्यामुळे, येथे नियम आहेत, ज्यांना म्हणतात मुख्य गुणधर्म.

आपल्याला हे नियम निश्चितपणे माहित असणे आवश्यक आहे - त्यांच्याशिवाय, एकही गंभीर लॉगरिदमिक समस्या सोडविली जाऊ शकत नाही. याव्यतिरिक्त, त्यापैकी खूप कमी आहेत - आपण एका दिवसात सर्वकाही शिकू शकता. चला तर मग सुरुवात करूया.

लॉगरिदम जोडणे आणि वजा करणे

समान पाया असलेले दोन लॉगरिदम विचारात घ्या: लॉगॅक्स आणि लॉगे. मग ते जोडले आणि वजा केले जाऊ शकतात आणि:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

तर, लॉगॅरिथमची बेरीज उत्पादनाच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीची आहे, आणि फरक भागाच्या लॉगरिथमच्या समान आहे. कृपया लक्षात ठेवा: येथे मुख्य मुद्दा आहे समान कारणे. कारणे वेगळी असतील तर हे नियम चालत नाहीत!

ही सूत्रे तुम्हाला लॉगॅरिथमिक अभिव्यक्तीची गणना करण्यात मदत करतील, जरी त्याच्या वैयक्तिक भागांचा विचार केला जात नसला तरीही (“लोगॅरिथम काय आहे” हा धडा पहा). उदाहरणे पहा आणि पहा:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log6 4 + log6 9.

लॉगरिदमचे आधार समान असल्याने, आम्ही बेरीज सूत्र वापरतो:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log2 48 − log2 3.

बेस समान आहेत, आम्ही फरक सूत्र वापरतो:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log3 135 − log3 5.

पुन्हा बेस समान आहेत, म्हणून आमच्याकडे आहे:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

तुम्ही बघू शकता, मूळ अभिव्यक्ती "खराब" लॉगरिदमपासून बनलेली आहेत, ज्यांची स्वतंत्रपणे गणना केली जात नाही. परंतु परिवर्तनानंतर, पूर्णपणे सामान्य संख्या प्राप्त होतात. अनेक चाचण्या या वस्तुस्थितीवर आधारित आहेत. होय, युनिफाइड स्टेट एक्झामिनेशनवर सर्व गांभीर्याने (कधीकधी अक्षरशः कोणतेही बदल न करता) चाचणी सारखी अभिव्यक्ती दिली जाते.

लॉगरिदममधून घातांक काढत आहे

आता कार्य थोडे क्लिष्ट करूया. लॉगरिदमचा आधार किंवा युक्तिवाद ही शक्ती असेल तर? नंतर खालील नियमांनुसार या पदवीचा घातांक लॉगरिदमच्या चिन्हातून काढला जाऊ शकतो:

हे पाहणे सोपे आहे की शेवटचा नियम पहिल्या दोनचे अनुसरण करतो. परंतु तरीही ते लक्षात ठेवणे चांगले आहे - काही प्रकरणांमध्ये ते गणनाचे प्रमाण लक्षणीयरीत्या कमी करेल.

अर्थात, लॉगॅरिथमचे ODZ पाहिल्यास हे सर्व नियम अर्थपूर्ण ठरतात: a > 0, a ≠ 1, x > 0. आणि आणखी एक गोष्ट: सर्व सूत्रे केवळ डावीकडून उजवीकडेच नव्हे तर त्याउलट लागू करायला शिका. , म्हणजे लॉगरिथम चिन्हाच्या आधी तुम्ही लॉगरिदममध्येच संख्या प्रविष्ट करू शकता.

लॉगरिदम कसे सोडवायचे

हे बहुतेक वेळा आवश्यक असते.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log7 496.

प्रथम सूत्र वापरून युक्तिवादातील पदवीपासून मुक्त होऊ या:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

लक्षात घ्या की भाजकामध्ये लॉगरिदम आहे, ज्याचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत: 16 = 24; 49 = 72. आमच्याकडे आहे:

माझ्या मते शेवटच्या उदाहरणासाठी काही स्पष्टीकरण आवश्यक आहे. लॉगरिदम कुठे गेले? अगदी शेवटच्या क्षणापर्यंत आम्ही फक्त भाजकासह काम करतो. आम्ही तेथे उभे असलेल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद शक्तीच्या रूपात सादर केला आणि घातांक काढले - आम्हाला "तीन-मजली" अपूर्णांक मिळाला.

आता मुख्य अपूर्णांक पाहू. अंश आणि भाजकांमध्ये समान संख्या असते: लॉग2 7. लॉग2 7 ≠ 0 असल्याने, आपण अपूर्णांक कमी करू शकतो - 2/4 भाजकात राहील. अंकगणिताच्या नियमांनुसार, चार अंकात हस्तांतरित केले जाऊ शकतात, जे केले गेले. परिणाम उत्तर होते: 2.

नवीन पायावर संक्रमण

लॉगरिदम जोडण्यासाठी आणि वजा करण्याच्या नियमांबद्दल बोलताना, मी विशेषतः जोर दिला की ते फक्त समान बेससह कार्य करतात. कारणे वेगळी असतील तर? जर ते समान संख्येच्या अचूक शक्ती नसतील तर?

नवीन पायावर संक्रमणाची सूत्रे बचावासाठी येतात. चला त्यांना प्रमेयाच्या रूपात तयार करूया:

लॉगॅरिथम लॉगॅक्स द्या. मग c > 0 आणि c ≠ 1 अशा कोणत्याही संख्येसाठी, समानता सत्य आहे:

विशेषतः, जर आपण c = x सेट केले तर आपल्याला मिळेल:

दुसऱ्या सूत्रावरून असे दिसून येते की लॉगॅरिथमचा आधार आणि युक्तिवाद स्वॅप केला जाऊ शकतो, परंतु या प्रकरणात संपूर्ण अभिव्यक्ती "उलटली" आहे, म्हणजे. लॉगरिथम भाजकामध्ये दिसते.

ही सूत्रे क्वचितच सामान्य संख्यात्मक अभिव्यक्तींमध्ये आढळतात. लॉगरिदमिक समीकरणे आणि असमानता सोडवतानाच ते किती सोयीस्कर आहेत याचे मूल्यांकन करणे शक्य आहे.

तथापि, अशा समस्या आहेत ज्या नवीन पायावर जाण्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. चला यापैकी काही पाहू:

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log5 16 log2 25.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदमच्या वितर्कांमध्ये अचूक शक्ती आहेत. चला निर्देशक काढूया: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

आता दुसरा लॉगरिथम "उलट" करूया:

घटकांची पुनर्रचना करताना उत्पादन बदलत नसल्यामुळे, आम्ही शांतपणे चार आणि दोन गुणाकार केले आणि नंतर लॉगरिदम हाताळले.

कार्य. अभिव्यक्तीचे मूल्य शोधा: log9 100 lg 3.

पहिल्या लॉगरिदमचा आधार आणि युक्तिवाद अचूक शक्ती आहेत. चला हे लिहू आणि निर्देशकांपासून मुक्त होऊ:

आता नवीन बेसवर जाऊन दशांश लॉगरिथमपासून मुक्त होऊ या:

मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख

सोल्युशन प्रक्रियेत अनेकदा दिलेल्या बेसला लॉगरिदम म्हणून संख्या दर्शवणे आवश्यक असते. या प्रकरणात, खालील सूत्रे आम्हाला मदत करतील:

पहिल्या प्रकरणात, n ही संख्या वितर्कातील घातांक बनते. n ही संख्या पूर्णपणे काहीही असू शकते, कारण ती फक्त लॉगरिथम मूल्य आहे.

दुसरे सूत्र प्रत्यक्षात एक परिभाषित व्याख्या आहे. यालाच म्हणतात: .

किंबहुना, b संख्या एवढ्या बळावर वाढवली तर काय होईल की या घाताची संख्या b ही संख्या a देते? ते बरोबर आहे: परिणाम समान संख्या आहे a. हा परिच्छेद पुन्हा काळजीपूर्वक वाचा - बरेच लोक त्यावर अडकतात.

नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्रांप्रमाणे, मूलभूत लॉगरिदमिक ओळख हा काही वेळा एकमेव संभाव्य उपाय असतो.

कार्य. अभिव्यक्तीचा अर्थ शोधा:

नोंद घ्या की log25 64 = log5 8 - लॉगरिदमच्या बेस आणि आर्ग्युमेंटमधून फक्त स्क्वेअर घेतला. समान बेससह शक्तींचा गुणाकार करण्याचे नियम विचारात घेतल्यास, आम्हाला मिळते:

जर कोणाला माहित नसेल तर, युनिफाइड स्टेट परीक्षेचे हे खरे कार्य होते :)

लॉगरिदमिक एकक आणि लॉगरिदमिक शून्य

शेवटी, मी दोन ओळख देईन ज्यांना क्वचितच गुणधर्म म्हटले जाऊ शकतात - उलट, ते लॉगरिथमच्या व्याख्येचे परिणाम आहेत. ते सतत समस्यांमध्ये दिसतात आणि आश्चर्याची गोष्ट म्हणजे "प्रगत" विद्यार्थ्यांसाठी देखील समस्या निर्माण करतात.

1. logaa = 1 आहे. एकदा आणि सर्वांसाठी लक्षात ठेवा: त्या बेसच्या कोणत्याही बेस a चे लॉगरिदम स्वतः एक समान आहे.
2. loga 1 = 0 आहे. बेस a काहीही असू शकतो, पण जर वितर्कात एक असेल, तर लॉगरिथम शून्य असेल! कारण a0 = 1 हा व्याख्येचा थेट परिणाम आहे.

एवढेच गुणधर्म. त्यांना प्रत्यक्ष व्यवहारात आणण्याचा सराव नक्की करा! धड्याच्या सुरुवातीला फसवणूक पत्रक डाउनलोड करा, त्याची प्रिंट काढा आणि समस्या सोडवा.

चला सुरुवात करूया एकाच्या लॉगरिदमचे गुणधर्म. त्याचे सूत्रीकरण खालीलप्रमाणे आहे: एकतेचा लॉगरिथम शून्याच्या समान आहे, म्हणजे, लॉग a 1=0कोणत्याही a>0, a≠1 साठी. पुरावा कठीण नाही: वरील अटी a>0 आणि a≠1 चे समाधान करणाऱ्या कोणत्याही साठी 0 =1, नंतर सिद्ध करण्यासाठी समानता लॉग a 1=0 लॉगरिदमच्या व्याख्येवरून लगेचच पुढे येतो.

विचारात घेतलेल्या गुणधर्माच्या अर्जाची उदाहरणे देऊ: लॉग 3 1=0, log1=0 आणि .

चला पुढील मालमत्तेकडे जाऊया: बेसच्या समान संख्येचा लॉगरिदम एक असतो, ते आहे, लॉग a a = 1 a>0, a≠1 साठी. खरंच, कोणत्याही a साठी 1 =a असल्याने, लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार a = 1.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याची उदाहरणे म्हणजे समानता लॉग 5 5=1, लॉग 5.6 5.6 आणि lne=1.

उदाहरणार्थ, लॉग 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 आणि .

दोन धन संख्यांच्या गुणाकाराचा लॉगरिदम x आणि y या संख्यांच्या लॉगरिदमच्या गुणाकाराच्या समान आहेत: log a (x y) = log a x+log a y, a>0 , a≠1 . उत्पादनाच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म सिद्ध करूया. पदवीच्या गुणधर्मांमुळे लॉग a x+log a y =a लॉग a x ·a लॉग a y, आणि मुख्य लॉगरिदमिक आयडेंटिटीनुसार लॉग a x =x आणि लॉग a y =y, नंतर लॉग a x ·a लॉग a y =x·y. अशा प्रकारे, लॉग a x+log a y =x·y, ज्यावरून, लॉगरिदमच्या व्याख्येनुसार, समानता सिद्ध केली जाते.

उत्पादनाच्या लॉगरिदमची गुणधर्म वापरण्याची उदाहरणे दाखवू: लॉग 5 (2 3) = लॉग 5 2+लॉग 5 3 आणि .

उत्पादनाच्या लॉगॅरिथमचा गुणधर्म x 1 , x 2 , …, x n या सकारात्मक संख्यांच्या मर्यादित संख्येच्या गुणाकारात सामान्यीकृत केला जाऊ शकतो. लॉग a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . ही समानता समस्यांशिवाय सिद्ध केली जाऊ शकते.

उदाहरणार्थ, उत्पादनाचा नैसर्गिक लॉगरिदम 4, e, आणि संख्यांच्या तीन नैसर्गिक लॉगरिदमच्या बेरजेने बदलला जाऊ शकतो.

दोन सकारात्मक संख्यांच्या भागफलाचा लॉगरिदम x आणि y या संख्यांच्या लॉगरिदममधील फरकाच्या समान आहेत. भागफलाच्या लॉगरिथमचा गुणधर्म फॉर्मच्या सूत्राशी संबंधित आहे, जेथे a>0, a≠1, x आणि y काही सकारात्मक संख्या आहेत. या सूत्राची वैधता तसेच उत्पादनाच्या लॉगरिथमचे सूत्र सिद्ध होते: पासून , नंतर लॉगरिथमच्या व्याख्येनुसार.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याचे येथे एक उदाहरण आहे: .

चला पुढे जाऊया पॉवरच्या लॉगरिदमचा गुणधर्म. पदवीचा लॉगरिथम घातांकाच्या गुणाकाराच्या आणि या अंशाच्या पायाच्या मॉड्यूलसच्या लॉगरिथमच्या बरोबरीचा असतो. घाताच्या लॉगरिदमचा हा गुणधर्म सूत्र म्हणून लिहू: log a b p = p·log a |b|, जेथे a>0, a≠1, b आणि p अशा संख्या आहेत ज्यात b p पदवी आणि b p >0 अर्थ प्राप्त होतो.

प्रथम आपण ही मालमत्ता सकारात्मक b साठी सिद्ध करतो. मूलभूत लॉगॅरिदमिक ओळख आपल्याला b ही संख्या लॉग a b म्हणून दर्शवू देते, नंतर b p =(a log a b) p , आणि परिणामी अभिव्यक्ती, पॉवरच्या गुणधर्मामुळे, p·log a b सारखी असते. म्हणून आपण समानता b p =a p·log a b वर येतो, ज्यावरून, लॉगॅरिथमच्या व्याख्येनुसार, आपण असा निष्कर्ष काढतो की log a b p =p·log a b.

नकारात्मक b साठी ही मालमत्ता सिद्ध करणे बाकी आहे. येथे आपण नोंद घेतो की ऋण b साठी a b p ही अभिव्यक्ती केवळ सम घातांक p साठी अर्थपूर्ण आहे (कारण b p पदवीचे मूल्य शून्यापेक्षा मोठे असणे आवश्यक आहे, अन्यथा लॉगरिथमला अर्थ नाही) आणि या प्रकरणात b p =|b| p मग b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, जिथून लॉग a b p =p·log a |b| .

उदाहरणार्थ, आणि ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

हे मागील मालमत्तेचे अनुसरण करते मूळ पासून लॉगरिदमचा गुणधर्म: nव्या मूळचा लॉगरिथम मूलगामी अभिव्यक्तीच्या लॉगरिथमने 1/n अपूर्णांकाच्या गुणाकाराच्या समान आहे, म्हणजे, , जेथे a>0, a≠1, n ही एक नैसर्गिक संख्या आहे, b>0.

पुरावा समानतेवर आधारित आहे (पहा), जो कोणत्याही सकारात्मक b साठी वैध आहे आणि पॉवरच्या लॉगरिथमच्या गुणधर्मावर आहे: .

ही मालमत्ता वापरण्याचे येथे एक उदाहरण आहे: .

आता सिद्ध करूया नवीन लॉगरिदम बेसवर जाण्यासाठी सूत्रप्रकार . हे करण्यासाठी, समानता log c b=log a b·log c a ची वैधता सिद्ध करणे पुरेसे आहे. मूलभूत लॉगॅरिथमिक ओळख आपल्याला b ला लॉग a b म्हणून दर्शवू देते, नंतर log c b=log c a log a b. पदवीच्या लॉगरिथमची मालमत्ता वापरणे बाकी आहे: log c a log a b = log a b log c a. हे समानता log c b=log a b·log c a सिद्ध करते, याचा अर्थ लॉगॅरिथमच्या नवीन पायावर संक्रमण करण्याचे सूत्र देखील सिद्ध झाले आहे.

लॉगरिदमचा हा गुणधर्म वापरण्याची काही उदाहरणे दाखवूया: आणि .

नवीन बेसवर जाण्याचे सूत्र तुम्हाला "सोयीस्कर" बेस असलेल्या लॉगरिदमसह कार्य करण्यास पुढे जाण्यास अनुमती देते. उदाहरणार्थ, याचा वापर नैसर्गिक किंवा दशांश लॉगरिदमवर जाण्यासाठी केला जाऊ शकतो जेणेकरून तुम्ही लॉगरिदमच्या सारणीवरून लॉगरिदमचे मूल्य काढू शकता. नवीन लॉगरिदम बेसवर जाण्याचे सूत्र काही प्रकरणांमध्ये, दिलेल्या लॉगरिथमचे मूल्य शोधण्याची परवानगी देते जेव्हा इतर बेससह काही लॉगरिदमची मूल्ये ज्ञात असतात.

फॉर्मच्या c=b साठी नवीन लॉगरिदम बेसमध्ये संक्रमणासाठी सूत्राचा एक विशेष केस अनेकदा वापरला जातो. . हे दर्शविते की लॉग a b आणि log b a – . उदा. .

सूत्र देखील अनेकदा वापरले जाते , जी लॉगरिदम मूल्ये शोधण्यासाठी सोयीस्कर आहे. आमच्या शब्दांची पुष्टी करण्यासाठी, आम्ही फॉर्मच्या लॉगरिथमच्या मूल्याची गणना करण्यासाठी ते कसे वापरले जाऊ शकते ते दर्शवू. आमच्याकडे आहे . सूत्र सिद्ध करण्यासाठी लॉगरिथमच्या नवीन बेसवर संक्रमण करण्यासाठी सूत्र वापरणे पुरेसे आहे a: .

लॉगरिदमच्या तुलनाचे गुणधर्म सिद्ध करणे बाकी आहे.

b 1 आणि b 2, b 1 या कोणत्याही धन संख्यांसाठी सिद्ध करूया लॉग a b 2 , आणि a>1 साठी - असमानता लॉग a b 1

शेवटी, लॉगरिदमच्या सूचीबद्ध गुणधर्मांपैकी शेवटचे सिद्ध करणे बाकी आहे. आपण स्वतःला त्याच्या पहिल्या भागाच्या पुराव्यापुरते मर्यादित करूया, म्हणजेच आपण हे सिद्ध करू की जर 1 > 1, 2 > 1 आणि 1 असेल तर 1 हा खरा log a 1 b>log a 2 b आहे. लॉगरिदमच्या या गुणधर्माची उर्वरित विधाने समान तत्त्वानुसार सिद्ध केली जातात.

चला उलट पद्धत वापरू. समजा 1 > 1, 2 > 1 आणि 1 साठी 1 हा खरा लॉग a 1 b≤log a 2 b आहे. लॉगरिदमच्या गुणधर्मांवर आधारित, या असमानता पुन्हा लिहिल्या जाऊ शकतात आणि अनुक्रमे, आणि त्यांच्याकडून ते अनुक्रमे log b a 1 ≤log b a 2 आणि log b a 1 ≥log b a 2 चे अनुसरण करते. नंतर, समान पाया असलेल्या शक्तींच्या गुणधर्मांनुसार, समानता b log b a 1 ≥b log b a 2 आणि b log b a 1 ≥b log b a 2 धारण करणे आवश्यक आहे, म्हणजे, a 1 ≥a 2. म्हणून आम्ही अट अ 1 च्या विरोधाभासावर आलो

संदर्भग्रंथ.

• कोल्मोगोरोव ए.एन., अब्रामोव्ह ए.एम., दुडनित्सिन यु.पी. आणि इतर बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात: सामान्य शिक्षण संस्थांच्या ग्रेड 10 - 11 साठी पाठ्यपुस्तक.
• गुसेव व्ही.ए., मोर्डकोविच ए.जी. गणित (तांत्रिक शाळांमध्ये प्रवेश करणाऱ्यांसाठी एक पुस्तिका).

लॉगॅरिथमच्या मूल्यांची किंवा लॉगॅरिथमच्या मूल्याची विशिष्ट संख्येसह तुलना करणे केवळ स्वतंत्र कार्य म्हणूनच नव्हे तर शाळेतील समस्या सोडवण्याच्या सरावात होते. तुम्हाला लॉगरिदमची तुलना करावी लागेल, उदाहरणार्थ, समीकरणे आणि असमानता सोडवताना. लेखाची सामग्री (समस्या आणि त्यांचे निराकरण) "साध्या ते जटिल" या तत्त्वानुसार व्यवस्था केली गेली आहे आणि या विषयावरील धडे (धडे) तयार करण्यासाठी आणि आयोजित करण्यासाठी तसेच वैकल्पिक वर्गांमध्ये वापरली जाऊ शकते. धड्यात विचारात घेतलेल्या कार्यांची संख्या वर्गाच्या स्तरावर आणि त्याच्या विशिष्ट क्षेत्रावर अवलंबून असते. प्रगत गणिताच्या वर्गांमध्ये, ही सामग्री दोन तासांच्या व्याख्यान धड्यासाठी वापरली जाऊ शकते.

1. (तोंडी.) कोणती कार्ये वाढत आहेत आणि कोणती कमी होत आहेत:

टिप्पणी.हा व्यायाम एक पूर्वतयारी व्यायाम आहे.

2. (तोंडी.)शून्याशी तुलना करा:

टिप्पणी. व्यायाम क्रमांक 2 सोडवताना, तुम्ही लॉगरिदमिक फंक्शनचा आलेख वापरून लॉगरिदमिक फंक्शनचे दोन्ही गुणधर्म वापरू शकता आणि खालील उपयुक्त गुणधर्म:

जर सकारात्मक संख्या a आणि b 1 च्या उजवीकडे किंवा 1 च्या डावीकडे संख्या रेषेवर असतील (म्हणजे, a>1 आणि b>1 किंवा 0 0 ;
जर सकारात्मक संख्या a आणि b 1 च्या विरुद्ध बाजूंच्या संख्या रेषेवर असतील (म्हणजे 0 .

या गुणधर्माचा वापर दाखवू निर्णय क्रमांक २(अ) मध्ये.

फंक्शन पासून y = लॉग 7 tने वाढते R+, 10 > 7, नंतर log 7 10 > log 7 7, म्हणजेच log 7 10 > 1. अशाप्रकारे, sin3 आणि log 7 10 या धन संख्या 1 च्या विरुद्ध बाजूंना असतात. म्हणून, log sin3 log 7 10< 0.

3. (तोंडी.) तर्कामध्ये त्रुटी शोधा:

कार्य y = lgt R + ने वाढते, नंतर ,

शेवटच्या असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना द्वारे विभाजित करू. आम्हाला ते 2 > 3 मिळते.

उपाय.

सकारात्मक संख्या आणि 10 (लोगॅरिथमचा आधार) 1 च्या विरुद्ध बाजूंना असतात. याचा अर्थ असा की< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (तोंडी.) संख्यांची तुलना करा:

टिप्पणी.व्यायाम क्रमांक 4(a–c) सोडवताना, आम्ही लॉगरिदमिक फंक्शनच्या मोनोटोनिसिटीचा गुणधर्म वापरतो. समाधान क्रमांक 4(d) साठी, आम्ही गुणधर्म वापरतो:

जर c > a > 1 असेल, तर b> 1 साठी असमानता लॉग a b > log c b सत्य आहे.

उपाय 4(d).

1 पासून< 5 < 7 и 13 >1, नंतर लॉग 5 13 > लॉग 7 13.

5. संख्यांची तुलना करालॉग 2 6 आणि 2.

उपाय.

पहिला मार्ग (लोगॅरिथमिक फंक्शनची मोनोटोनिसिटी वापरून).

कार्य y = लॉग 2 tने वाढते R+, 6 > 4. तर, लॉग 2 6 > लॉग 2 4आणि लॉग 2 5 > 2.

दुसरी पद्धत (फरक तयार करणे).

चला फरक करूया.

6. संख्यांची तुलना करा आणि -1.

कार्य y =ने कमी होते R+ , 3 < 5. Значит, >आणि > -1 .

7. संख्यांची तुलना करा आणि 3लॉग 8 26 .

कार्य y = लॉग 2 tने वाढते R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

पहिला मार्ग.

असमानतेच्या दोन्ही बाजूंना ३ ने गुणाकार करू.

कार्य y = लॉग 5 tने वाढते R+ , 27 > 25. तर,

दुसरा मार्ग.

चला फरक करूया
. येथून.

9. संख्या लॉग 4 26 ची तुलना करा आणि लॉग 6 17.

फंक्शन्स y = log 4 t आणि y = log 6 t ने वाढत आहेत हे लक्षात घेऊन लॉगरिदमचा अंदाज लावू. R+:

कार्ये लक्षात घेऊन ने कमी होत आहे R+, आमच्याकडे आहे:

म्हणजे,

टिप्पणी. प्रस्तावित तुलना पद्धत म्हणतात "इन्सर्टेशन" पद्धतकिंवा "पृथक्करण" पद्धत(आम्हाला या दोन संख्यांना वेगळे करणारा क्रमांक 4 सापडला).

11. संख्या लॉग 2 3 ची तुलना करा आणि लॉग 3 5.

लक्षात घ्या की दोन्ही लॉगरिदम 1 पेक्षा मोठे आहेत परंतु 2 पेक्षा कमी आहेत.

पहिला मार्ग. चला "पृथक्करण" पद्धत वापरण्याचा प्रयत्न करूया. चला लॉगरिदमची संख्येशी तुलना करू.

दुसरी पद्धत ( नैसर्गिक संख्येने गुणाकार).

टीप 1. सार पद्धत “नैसर्गिक संख्येने गुणाकार” म्हणजे आपण नैसर्गिक संख्या शोधत आहोत k, ज्याने गुणाकार केल्यास तुलनात्मक संख्या aआणि bहे क्रमांक मिळवा kaआणि kbकी त्यांच्यामध्ये किमान एक पूर्णांक आहे.

टीप 2. उपरोक्त पद्धतीची अंमलबजावणी खूप श्रम-केंद्रित असू शकते जर तुलना केली जात असलेली संख्या एकमेकांच्या अगदी जवळ असेल.
या प्रकरणात, आपण तुलना करण्याचा प्रयत्न करू शकता "एक वजा" करण्याची पद्धत" ते पुढील उदाहरणात दाखवू.

12. संख्या लॉग 7 8 ची तुलना करा आणि लॉग 6 7.

पहिला मार्ग (एक वजा करा).

तुलना केल्या जात असलेल्या संख्यांमधून 1 वजा करा.

पहिल्या असमानतेमध्ये आम्ही वस्तुस्थिती वापरली

जर c > a > 1 असेल, तर b > 1 साठी असमानता लॉग a b > log c b सत्य आहे.

दुस-या असमानतेमध्ये - फंक्शन y = log a x ची monotonicity.

दुसरा मार्ग (कॉचीच्या असमानतेचा अर्ज).

13. संख्या लॉग 24 72 ची तुलना करा आणि लॉग 12 18.

14. संख्या लॉग 20 80 ची तुलना करा आणि लॉग 80 640.

चला लॉग 2 5 = x. त्याची नोंद घ्या x > 0.

आम्हाला विषमता मिळते.

असमानतेवर अनेक उपाय शोधूया, अट समाधानकारक x > 0.

आपण असमानतेच्या दोन्ही बाजू तयार करू या चौरस (वर x> 0 असमानतेच्या दोन्ही बाजू सकारात्मक आहेत). आमच्याकडे 9x 2 आहे< 9x + 28.

शेवटच्या असमानतेच्या उपायांचा संच म्हणजे मध्यांतर.

त्याचा विचार करता x> 0, आम्हाला मिळते: .

उत्तर: असमानता सत्य आहे.

समस्या निवारण कार्यशाळा.

1. संख्यांची तुलना करा:

2. संख्या चढत्या क्रमाने लावा:

3. विषमता सोडवा४ ४ – २ २ ४+१ – ३< 0 . संख्या आहे √2 या विषमतेवर उपाय? (उत्तर:(–∞; लॉग 2 3); संख्या √2 या असमानतेवर उपाय आहे.)

निष्कर्ष.

लॉगरिदमची तुलना करण्याच्या अनेक पद्धती आहेत. या विषयावरील धड्यांचा उद्देश एखाद्याला विविध पद्धतींमध्ये नेव्हिगेट करणे, प्रत्येक विशिष्ट परिस्थितीत सर्वात तर्कसंगत उपाय निवडणे आणि लागू करणे शिकवणे हा आहे.

गणिताचा सखोल अभ्यास असलेल्या वर्गांमध्ये, या विषयावरील साहित्य व्याख्यानाच्या स्वरूपात सादर केले जाऊ शकते. शैक्षणिक क्रियाकलापांचे हे स्वरूप असे गृहीत धरते की व्याख्यान सामग्री काळजीपूर्वक निवडली पाहिजे, कार्य केले पाहिजे आणि विशिष्ट तार्किक क्रमाने व्यवस्था केली पाहिजे. शिक्षक फलकावर बनवलेल्या नोट्स विचारपूर्वक आणि गणिताच्या दृष्टीने अचूक असाव्यात.

व्याख्यान सामग्री एकत्रित करणे आणि व्यावहारिक धड्यांमध्ये समस्या सोडवण्याच्या कौशल्यांचा सराव करणे उचित आहे. कार्यशाळेचा उद्देश केवळ प्राप्त केलेल्या ज्ञानाचे एकत्रीकरण आणि चाचणी करणे नाही तर त्याचा विस्तार करणे देखील आहे. म्हणून, कार्यांमध्ये विविध स्तरांची कार्ये असली पाहिजेत, सर्वात सोप्या कार्यांपासून ते वाढीव जटिलतेच्या कार्यांपर्यंत. अशा कार्यशाळेतील शिक्षक सल्लागार म्हणून काम करतात.

साहित्य.

1. गॅलित्स्की एम.एल.आणि इतर बीजगणित आणि गणितीय विश्लेषणाच्या अभ्यासक्रमाचा सखोल अभ्यास: पद्धत. शिफारसी आणि अध्यापन साहित्य: शिक्षकांसाठी एक पुस्तिका – एम.: शिक्षण, 1986.
2. झिव बी.जी., गोल्डिच व्ही.ए.बीजगणितावरील डिडॅक्टिक साहित्य आणि ग्रेड 10 साठी मूलभूत विश्लेषण. - सेंट पीटर्सबर्ग: "चेरो-ऑन-नेवा", 2003.
3. लिटविनेन्को व्ही.एन., मोर्डकोविच ए.जी.प्राथमिक गणितावर कार्यशाळा. बीजगणित. त्रिकोणमिती: शैक्षणिक प्रकाशन. - एम.: शिक्षण, 1990.
4. रियाझानोव्स्की ए.आर.बीजगणित आणि विश्लेषणाची सुरुवात: शाळकरी मुलांसाठी आणि विद्यापीठांमध्ये प्रवेश करणाऱ्यांसाठी गणितातील समस्या सोडवण्याचे ५०० मार्ग आणि पद्धती. - एम.: बस्टर्ड, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V.गणित. उपायांसह बीजगणितातील स्पर्धा समस्या. भाग 4. लॉगरिदमिक समीकरणे, असमानता, प्रणाली. पाठ्यपुस्तक.-3री आवृत्ती., ster.-M.: UNTsDO चे प्रकाशन विभाग, 2003.
6. शारीगिन आयएफ, गोलुबेव्ह व्ही.आय.गणिताचा पर्यायी अभ्यासक्रम: समस्या सोडवणे: Proc. 11 व्या वर्गासाठी भत्ता. माध्यमिक शाळा - एम.: प्रोस्वेश्चेनी, 1991.

लॉगरिदमची तुलना कशी करायची या प्रश्नावरील विभागात....(+) कधी? लेखकाने दिलेला चाळणेसर्वोत्तम उत्तर आहे किंवा तुम्ही ते एका बेसवर कमी करू शकत नाही, परंतु लॉगरिदमिक फंक्शनचे गुणधर्म वापरू शकता.
जर लॉगरिदमिक फंक्शनचा बेस 1 पेक्षा जास्त असेल, तर फंक्शन वाढते आणि x > 1 साठी, बेस जितका लहान असेल तितका आलेख जास्त असेल,
0 साठी< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
जर लॉगरिदमचा पाया शून्यापेक्षा मोठा आणि 1 पेक्षा कमी असेल, तर फंक्शन कमी होत आहे,
शिवाय, x > 1 साठी, बेस जितका लहान असेल तितका आलेख जास्त असेल,
0 साठी< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
हे असे होईल:

पासून उत्तर हाडकुळा[गुरू]
लॉगरिदम समान बेसवर कमी करा (उदाहरणार्थ, नैसर्गिक संख्येपर्यंत), आणि नंतर तुलना करा.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

पासून उत्तर न्यूरोपॅथॉलॉजिस्ट[गुरू]
नवीन बेसवर जाण्यासाठी सूत्र वापरा: log(a)b=1/log(b)a.
नंतर लॉगरिदम सारख्या अपूर्णांकांच्या भाजकांची समान पायाशी तुलना करा.
समान अंश असलेल्या दोन अपूर्णांकांपैकी, लहान भाजक असलेला अपूर्णांक मोठा असतो.
उदाहरणार्थ, log(7)16 आणि log(3)16
१/लॉग(१६)७ आणि १/लॉग(१६)३
log(16)7>log(16)3 पासून, नंतर 1/log(16)7< 1/log(16)3.