Prezentacja do lekcji „Porównanie logarytmów” materiał do przygotowania do egzaminu Unified State Exam (GIA) z algebry (klasa 11) na ten temat. Podstawowe właściwości logarytmów Porównaj logarytmy z różnymi przykładami podstaw

główne właściwości.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identyczne podstawy

Log6 4 + log6 9.

Teraz skomplikujmy trochę zadanie.

Przykłady rozwiązywania logarytmów

A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Oczywiście wszystkie te reguły mają sens, jeśli przestrzega się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Przejście na nowy fundament

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zobacz też:

Podstawowe własności logarytmu

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik jest równy 2,7 ​​i dwukrotności roku urodzenia Lwa Nikołajewicza Tołstoja.

Podstawowe własności logarytmów

Znając tę ​​zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

Przykłady logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne

Przykład 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Korzystając z właściwości 3.5, obliczamy

2.

3.

4. Gdzie .

Przykład 2. Znajdź x jeśli

Przykład 3. Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu. To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem.

Wzory logarytmiczne. Logarytmy – przykłady rozwiązań.

Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie zostaje „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wzięto kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. logaa = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
2. loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Zobacz też:

Logarytm b oparty na a oznacza wyrażenie. Obliczenie logarytmu oznacza znalezienie potęgi x (), przy której spełniona jest równość

Podstawowe własności logarytmu

Znajomość powyższych właściwości jest konieczna, ponieważ na ich podstawie rozwiązuje się prawie wszystkie problemy i przykłady związane z logarytmami. Pozostałe egzotyczne właściwości można wyprowadzić poprzez manipulacje matematyczne tymi wzorami

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Obliczając wzór na sumę i różnicę logarytmów (3.4), można spotkać się dość często. Pozostałe są nieco skomplikowane, ale w wielu zadaniach są niezbędne do uproszczenia złożonych wyrażeń i obliczenia ich wartości.

Typowe przypadki logarytmów

Niektóre z typowych logarytmów to te, których podstawa wynosi dziesięć, wykładnicza lub dwie.
Logarytm o podstawie dziesiątej jest zwykle nazywany logarytmem dziesiętnym i jest po prostu oznaczany przez lg(x).

Z nagrania jasno wynika, że ​​w nagraniu nie są zapisane podstawy. Na przykład

Logarytm naturalny to logarytm, którego podstawa jest wykładnikiem (oznaczonym przez ln(x)).

Wykładnik wynosi 2,718281828…. Aby zapamiętać wykładnik, możesz przestudiować regułę: wykładnik jest równy 2,7 ​​i dwukrotności roku urodzenia Lwa Nikołajewicza Tołstoja. Znając tę ​​zasadę, poznasz zarówno dokładną wartość wykładnika, jak i datę urodzenia Lwa Tołstoja.

I inny ważny logarytm o podstawie dwa jest oznaczony przez

Pochodna logarytmu funkcji jest równa jedności podzielonej przez zmienną

Logarytm całkowy lub pierwotny jest określony przez relację

Podany materiał wystarczy do rozwiązania szerokiej klasy problemów związanych z logarytmami i logarytmami. Aby ułatwić zrozumienie materiału, podam tylko kilka typowych przykładów z programu nauczania w szkołach i na uniwersytetach.

Przykłady logarytmów

Wyrażenia logarytmiczne

Przykład 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Korzystając z właściwości 3.5, obliczamy

2.
Z własności różnicy logarytmów mamy

3.
Korzystając z właściwości 3.5 znajdujemy

4. Gdzie .

Pozornie złożone wyrażenie można uprościć, stosując szereg reguł

Znajdowanie wartości logarytmicznych

Przykład 2. Znajdź x jeśli

Rozwiązanie. Do obliczeń stosujemy się do właściwości ostatniego członu 5 i 13

Nagrywamy to i opłakujemy

Ponieważ podstawy są równe, przyrównujemy wyrażenia

Logarytmy. Pierwszy poziom.

Niech zostanie podana wartość logarytmów

Oblicz log(x), jeśli

Rozwiązanie: Weźmy logarytm zmiennej i zapiszmy logarytm poprzez sumę jej wyrazów

To dopiero początek naszej znajomości logarytmów i ich własności. Ćwicz obliczenia, wzbogacaj swoje umiejętności praktyczne - zdobyta wiedza wkrótce będzie Ci potrzebna do rozwiązywania równań logarytmicznych. Po przestudiowaniu podstawowych metod rozwiązywania takich równań poszerzymy Twoją wiedzę o inny, równie ważny temat - nierówności logarytmiczne...

Podstawowe własności logarytmów

Logarytmy, jak każdą liczbę, można dodawać, odejmować i przekształcać na różne sposoby. Ale ponieważ logarytmy nie są dokładnie zwykłymi liczbami, istnieją tutaj zasady, które są nazywane główne właściwości.

Zdecydowanie musisz znać te zasady - bez nich nie można rozwiązać ani jednego poważnego problemu logarytmicznego. W dodatku jest ich bardzo mało – wszystkiego można się nauczyć w jeden dzień. Więc zacznijmy.

Dodawanie i odejmowanie logarytmów

Rozważmy dwa logarytmy o tych samych podstawach: logax i logay. Następnie można je dodawać i odejmować oraz:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Zatem suma logarytmów jest równa logarytmowi iloczynu, a różnica jest równa logarytmowi ilorazu. Uwaga: kluczową kwestią jest tutaj identyczne podstawy. Jeśli przyczyny są inne, zasady te nie działają!

Formuły te pomogą Ci obliczyć wyrażenie logarytmiczne, nawet jeśli nie zostaną uwzględnione jego poszczególne części (patrz lekcja „Co to jest logarytm”). Spójrz na przykłady i zobacz:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log6 4 + log6 9.

Ponieważ logarytmy mają tę samą podstawę, stosujemy wzór na sumę:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log2 48 − log2 3.

Podstawy są takie same, używamy wzoru na różnicę:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log3 135 − log3 5.

Ponownie podstawy są takie same, więc mamy:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Jak widać, oryginalne wyrażenia składają się ze „złych” logarytmów, których nie oblicza się osobno. Ale po przekształceniach otrzymuje się liczby całkowicie normalne. Wiele testów opiera się na tym fakcie. Tak, wyrażenia przypominające test są oferowane z całą powagą (czasami praktycznie bez zmian) w ramach ujednoliconego egzaminu państwowego.

Wyodrębnianie wykładnika z logarytmu

Teraz skomplikujmy trochę zadanie. A co jeśli podstawą lub argumentem logarytmu jest potęga? Następnie wykładnik tego stopnia można odjąć od znaku logarytmu według następujących zasad:

Łatwo zauważyć, że ostatnia reguła wynika z dwóch pierwszych. Ale i tak lepiej o tym pamiętać - w niektórych przypadkach znacznie zmniejszy to ilość obliczeń.

Oczywiście wszystkie te zasady mają sens, jeśli zachowa się ODZ logarytmu: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I jeszcze jedno: naucz się stosować wszystkie wzory nie tylko od lewej do prawej, ale także odwrotnie , tj. Liczby przed znakiem logarytmu można wprowadzić do samego logarytmu.

Jak rozwiązywać logarytmy

To jest to, czego najczęściej potrzeba.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log7 496.

Pozbądźmy się stopnia w argumencie, korzystając z pierwszej formuły:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że w mianowniku znajduje się logarytm, którego podstawą i argumentem są dokładne potęgi: 16 = 24; 49 = 72. Mamy:

Myślę, że ostatni przykład wymaga pewnego wyjaśnienia. Gdzie się podziały logarytmy? Do ostatniej chwili pracujemy tylko z mianownikiem. Przedstawiliśmy podstawę i argument stojącego tam logarytmu w postaci potęg i wyciągnęliśmy wykładniki - otrzymaliśmy ułamek „trzypiętrowy”.

Teraz spójrzmy na ułamek główny. Licznik i mianownik zawierają tę samą liczbę: log2 7. Ponieważ log2 7 ≠ 0, możemy skrócić ułamek - w mianowniku pozostanie 2/4. Zgodnie z zasadami arytmetyki czwórkę można przenieść do licznika, co też uczyniono. W rezultacie otrzymaliśmy odpowiedź: 2.

Przejście na nowy fundament

Mówiąc o zasadach dodawania i odejmowania logarytmów, szczególnie podkreśliłem, że działają one tylko na tych samych podstawach. A co jeśli przyczyny są inne? A co jeśli nie są to dokładne potęgi tej samej liczby?

Na ratunek przychodzą formuły przejścia na nowy fundament. Sformułujmy je w formie twierdzenia:

Niech zostanie podany logarytm logax. Wtedy dla dowolnej liczby c takiej, że c > 0 i c ≠ 1, prawdziwa jest równość:

W szczególności, jeśli ustawimy c = x, otrzymamy:

Z drugiego wzoru wynika, że ​​podstawę i argument logarytmu można zamienić, ale w tym przypadku całe wyrażenie zostaje „odwrócone”, tj. logarytm pojawia się w mianowniku.

Formuły te rzadko występują w zwykłych wyrażeniach liczbowych. Można ocenić, jak wygodne są one tylko przy rozwiązywaniu równań logarytmicznych i nierówności.

Istnieją jednak problemy, których w ogóle nie da się rozwiązać, chyba że przeprowadzka na nowy fundament. Przyjrzyjmy się kilku z nich:

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log5 16 log2 25.

Należy zauważyć, że argumenty obu logarytmów zawierają dokładne potęgi. Wyjmijmy wskaźniki: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Teraz „odwróćmy” drugi logarytm:

Ponieważ iloczyn nie zmienia się przy przestawianiu czynników, spokojnie pomnożyliśmy cztery przez dwa, a potem zajęliśmy się logarytmami.

Zadanie. Znajdź wartość wyrażenia: log9 100 lg 3.

Podstawą i argumentem pierwszego logarytmu są potęgi dokładne. Zapiszmy to i pozbądźmy się wskaźników:

Teraz pozbądźmy się logarytmu dziesiętnego, przechodząc do nowej podstawy:

Podstawowa tożsamość logarytmiczna

Często w procesie rozwiązywania konieczne jest przedstawienie liczby jako logarytm o danej podstawie. W takim przypadku pomocne będą nam następujące formuły:

W pierwszym przypadku liczba n staje się wykładnikiem argumentu. Liczba n może być absolutnie dowolna, ponieważ jest to tylko wartość logarytmiczna.

Druga formuła jest właściwie sparafrazowaną definicją. Tak to się nazywa: .

W rzeczywistości, co się stanie, jeśli liczbę b podniesie się do takiej potęgi, że liczba b do tej potęgi da liczbę a? Zgadza się: wynikiem jest ta sama liczba a. Przeczytaj uważnie ten akapit jeszcze raz – wiele osób utknie na nim.

Podobnie jak wzory na przejście do nowej bazy, podstawowa tożsamość logarytmiczna jest czasami jedynym możliwym rozwiązaniem.

Zadanie. Znajdź znaczenie wyrażenia:

Zauważ, że log25 64 = log5 8 - po prostu wzięto kwadrat z podstawy i argumentu logarytmu. Uwzględniając zasady mnożenia potęg o tej samej podstawie otrzymujemy:

Jeśli ktoś nie wie, to było to prawdziwe zadanie z Unified State Exam :)

Jednostka logarytmiczna i zero logarytmiczne

Podsumowując, podam dwie tożsamości, które trudno nazwać właściwościami - są one raczej konsekwencjami definicji logarytmu. Ciągle pojawiają się w problemach i, co zaskakujące, stwarzają problemy nawet dla „zaawansowanych” uczniów.

1. logaa = 1 jest. Zapamiętaj raz na zawsze: logarytm dowolnej podstawy a tej podstawy jest równy jeden.
2. loga 1 = 0 jest. Podstawą a może być dowolna, ale jeśli argument zawiera jedynkę, logarytm jest równy zeru! Ponieważ a0 = 1 jest bezpośrednią konsekwencją definicji.

To wszystkie właściwości. Pamiętaj, aby przećwiczyć ich wdrażanie! Pobierz ściągawkę znajdującą się na początku lekcji, wydrukuj ją i rozwiąż zadania.

Zacznijmy właściwości logarytmu jedności. Jego sformułowanie jest następujące: logarytm jedności jest równy zeru, to znaczy zapisz 1=0 dla dowolnego a>0, a≠1. Dowód nie jest trudny: skoro a 0 =1 dla dowolnego a spełniającego powyższe warunki a>0 i a≠1, to logarytm równości a 1=0 do udowodnienia wynika bezpośrednio z definicji logarytmu.

Podajmy przykłady zastosowania rozważanej właściwości: log 3 1=0, log1=0 i .

Przejdźmy do kolejnej właściwości: logarytm liczby równej podstawie jest równy jeden, to jest, log a=1 dla a>0, a≠1. Rzeczywiście, ponieważ a 1 = a dla dowolnego a, to z definicji logarytmu logarytmicznego a a = 1.

Przykładami wykorzystania tej właściwości logarytmów są log równości 5 5=1, log 5,6 5,6 i lne=1.

Na przykład log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 i .

Logarytm iloczynu dwóch liczb dodatnich x i y są równe iloczynowi logarytmów tych liczb: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Udowodnijmy własność logarytmu iloczynu. Ze względu na właściwości stopnia a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, a ponieważ według głównej tożsamości logarytmicznej log a x =x i log a y =y, to log a x·a log a y =x·y. Zatem log a x+log a y =x·y, z którego, zgodnie z definicją logarytmu, wynika dowód równości.

Pokażmy przykłady wykorzystania własności logarytmu iloczynu: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i .

Właściwość logarytmu iloczynu można uogólnić na iloczyn skończonej liczby n liczb dodatnich x 1 , x 2 , …, x n jako log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Równość tę można udowodnić bez problemów.

Na przykład logarytm naturalny iloczynu można zastąpić sumą trzech logarytmów naturalnych liczb 4, e i.

Logarytm ilorazu dwóch liczb dodatnich x i y są równe różnicy między logarytmami tych liczb. Własność logarytmu ilorazu odpowiada wzorowi w postaci , gdzie a>0, a≠1, x i y są pewnymi liczbami dodatnimi. Udowodniono ważność tego wzoru, a także wzoru na logarytm iloczynu: ponieważ , to z definicji logarytmu.

Oto przykład wykorzystania tej właściwości logarytmu: .

Przejdźmy dalej własność logarytmu potęgi. Logarytm stopnia jest równy iloczynowi wykładnika i logarytmu modułu podstawy tego stopnia. Zapiszmy tę właściwość logarytmu potęgi jako wzór: log a b p =p·log a |b|, gdzie a>0, a≠1, b i p są liczbami takimi, że stopień b p ma sens, a b p > 0.

Najpierw udowodnimy tę właściwość dla dodatniego b. Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala przedstawić liczbę b jako log a b , następnie b p =(a log a b) p , a wynikowe wyrażenie, ze względu na własność potęgi, jest równe a p·log a b . Dochodzimy więc do równości b p =a p·log a b, z której z definicji logarytmu wnioskujemy, że log a b p =p·log a b.

Pozostaje udowodnić tę własność dla ujemnego b. Zauważmy tutaj, że wyrażenie log a b p dla ujemnego b ma sens tylko dla parzystych wykładników p (ponieważ wartość stopnia b p musi być większa od zera, w przeciwnym razie logarytm nie będzie miał sensu), i w tym przypadku b p =|b| P. Następnie bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, skąd log a b p =p·log a |b| .

Na przykład, i ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Wynika to z poprzedniej właściwości właściwość logarytmu z pierwiastka: logarytm n-tego pierwiastka jest równy iloczynowi ułamka 1/n przez logarytm wyrażenia rodnikowego, czyli , gdzie a>0, a≠1, n jest liczbą naturalną większą niż jeden, b>0.

Dowód opiera się na równości (patrz), która obowiązuje dla dowolnego dodatniego b, oraz na własności logarytmu potęgi: .

Oto przykład użycia tej właściwości: .

Teraz udowodnijmy wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu Uprzejmy . Aby to zrobić, wystarczy udowodnić ważność logu równości c b=log a b·log c a. Podstawowa tożsamość logarytmiczna pozwala nam przedstawić liczbę b jako log a b , a następnie log c b=log c a log a b . Pozostaje skorzystać z własności logarytmu stopnia: log c a log a b = log a b log c a. Dowodzi to równości log c b=log a b·log c a, co oznacza, że ​​udowodniono także wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu.

Pokażmy kilka przykładów wykorzystania tej właściwości logarytmów: i .

Wzór na przejście do nowej podstawy pozwala przejść do pracy z logarytmami, które mają „wygodną” podstawę. Można go na przykład użyć do przejścia do logarytmów naturalnych lub dziesiętnych, aby móc obliczyć wartość logarytmu z tabeli logarytmów. Wzór na przejście do nowej podstawy logarytmu pozwala również w niektórych przypadkach znaleźć wartość danego logarytmu, gdy znane są wartości niektórych logarytmów o innych podstawach.

Często używany jest szczególny przypadek wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu dla c=b postaci . To pokazuje, że log a b i log b a – . Np, .

Formuła jest również często używana , co jest wygodne do znajdowania wartości logarytmów. Na potwierdzenie naszych słów pokażemy, jak można je wykorzystać do obliczenia wartości logarytmu postaci . Mamy . Aby udowodnić formułę wystarczy skorzystać ze wzoru na przejście do nowej podstawy logarytmu a: .

Pozostaje udowodnić właściwości porównywania logarytmów.

Udowodnijmy, że dla dowolnych liczb dodatnich b 1 i b 2, b 1 log a b 2 , a dla a>1 – nierówność log a b 1

Na koniec pozostaje udowodnić ostatnią z wymienionych właściwości logarytmów. Ograniczmy się do dowodu jego pierwszej części, czyli udowodnimy, że jeśli a 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 jest prawdziwe log a 1 b>log a 2 b . Pozostałe stwierdzenia tej właściwości logarytmów dowodzi się według podobnej zasady.

Zastosujmy metodę odwrotną. Załóżmy, że dla 1 >1, 2 >1 i 1 1 jest prawdziwe log a 1 b≤log a 2 b . W oparciu o właściwości logarytmów nierówności te można przepisać jako I odpowiednio i z nich wynika, że ​​odpowiednio log b a 1 ≤ log b a 2 i log b a 1 ≥log b a 2. Wtedy, zgodnie z własnościami potęg o tych samych podstawach, muszą spełniać równości b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2, czyli a 1 ≥a 2 . Doszliśmy więc do sprzeczności z warunkiem a 1

Bibliografia.

• Kołmogorow A.N., Abramow A.M., Dudnitsyn Yu.P. i inne Algebra i początki analizy: Podręcznik dla klas 10 - 11 szkół ogólnokształcących.
• Gusiew V.A., Mordkovich A.G. Matematyka (podręcznik dla rozpoczynających naukę w technikach).

Porównywanie wartości logarytmów lub wartości logarytmu z określoną liczbą występuje w szkolnej praktyce rozwiązywania problemów nie tylko jako samodzielne zadanie. Logarytmy trzeba porównywać na przykład przy rozwiązywaniu równań i nierówności. Materiały artykułu (problemy i ich rozwiązania) ułożone są według zasady „od prostych do złożonych” i można je wykorzystać do przygotowania i przeprowadzenia lekcji (lekcji) na ten temat, a także zajęć fakultatywnych. Liczba zadań rozpatrywanych na lekcji zależy od poziomu zajęć i ich specjalizacji. Na zaawansowanych zajęciach z matematyki materiał ten można wykorzystać w ramach dwugodzinnego wykładu.

1. (Doustnie.) Które funkcje są rosnące, a które malejące:

Komentarz. To ćwiczenie jest ćwiczeniem przygotowawczym.

2. (Doustnie.)Porównaj z zerem:

Komentarz. Rozwiązując ćwiczenie nr 2, można skorzystać zarówno z właściwości funkcji logarytmicznej korzystając z wykresu funkcji logarytmicznej, jak i z poniższych przydatna właściwość:

jeśli liczby dodatnie a i b leżą na osi liczbowej na prawo od 1 lub na lewo od 1 (to znaczy a>1 i b>1 lub 0 0 ;
jeśli liczby dodatnie a i b leżą na osi liczbowej po przeciwnych stronach 1 (to znaczy 0 .

Pokażmy zastosowanie tej własności w decyzji nr 2 lit. a).

Ponieważ funkcja y = log 7 t wzrasta o R+, 10 > 7, następnie log 7 10 > log 7 7, czyli log 7 10 > 1. Zatem liczby dodatnie sin3 i log 7 10 leżą po przeciwnych stronach 1. Zatem log sin3 log 7 10< 0.

3. (Doustnie.) Znajdź błąd w rozumowaniu:

Funkcjonować y = LGBT wzrasta wówczas o R + ,

Podzielmy obie strony ostatniej nierówności przez . Otrzymujemy, że 2 > 3.

Rozwiązanie.

Liczby dodatnie i 10 (podstawa logarytmu) leżą po przeciwnych stronach 1. Oznacza to, że< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Doustnie.) Porównaj liczby:

Komentarz. Rozwiązując ćwiczenia nr 4(a–c), korzystamy z własności monotoniczności funkcji logarytmicznej. Dla rozwiązania nr 4(d) korzystamy z własności:

jeśli c > a >1, to dla b>1 nierówność log a b > log c b jest prawdziwa.

Rozwiązanie 4(d).

Od 1< 5 < 7 и 13 >1, następnie log 5 13 > log 7 13.

5. Porównaj liczby log 2 6 i 2.

Rozwiązanie.

Pierwszy sposób (wykorzystując monotoniczność funkcji logarytmicznej).

Funkcjonować y = log 2 t wzrasta o R+, 6 > 4. Zatem log 2 6 > log 2 4 I log 2 5 > 2.

Druga metoda (komponowanie różnicy).

Nadrobićmy różnicę.

6. Porównaj liczby I -1.

Funkcjonować y = maleje o R+ , 3 < 5. Значит, >I > -1 .

7. Porównaj liczby I 3log 8 26 .

Funkcjonować y = log 2 t wzrasta o R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Pierwszy sposób.

Pomnóżmy obie strony nierówności przez 3:

Funkcjonować y = log 5 t wzrasta o R+ , 27 > 25. Zatem

Drugi sposób.

Nadrobićmy różnicę
. Stąd.

9. Porównaj log liczb 4 26 I log 6 17.

Oszacujmy logarytmy, biorąc pod uwagę, że funkcje y = log 4 t i y = log 6 t rosną o R+:

Biorąc pod uwagę, że funkcje malejące o R+, mamy:

Oznacza,

Komentarz. Proponowana metoda porównawcza nazywa się metoda „wstawiania”. Lub metoda „separacyjna”.(znaleźliśmy liczbę 4 oddzielającą te dwie liczby).

11. Porównaj liczby log 2 3 I dziennik 3 5.

Zauważ, że oba logarytmy są większe niż 1, ale mniejsze niż 2.

Pierwszy sposób. Spróbujmy zastosować metodę „separacji”. Porównajmy logarytmy z liczbą.

Druga metoda ( mnożenie przez liczbę naturalną).

Uwaga 1. Istota metoda “mnożenie przez liczbę naturalną” polega na tym, że szukamy liczby naturalnej k, pomnożone przez które porównywane liczby A I B zdobądź te liczby ka I kbże istnieje między nimi co najmniej jedna liczba całkowita.

Uwaga 2. Implementacja powyższej metody może być bardzo pracochłonna, jeśli porównywane liczby są bardzo blisko siebie.
W takim przypadku możesz spróbować porównania metoda „odejmowania jedynki”" Zademonstrujmy to na następującym przykładzie.

12. Porównaj log liczb 7 8 I log 6 7.

Pierwszy sposób (odejmij jeden).

Odejmij 1 od porównywanych liczb.

W pierwszej nierówności wykorzystaliśmy fakt, że

jeśli c > a > 1, to dla b > 1 nierówność log a b > log c b jest prawdziwa.

W drugiej nierówności – monotoniczność funkcji y = log a x.

Drugi sposób (zastosowanie nierówności Cauchy'ego).

13. Porównaj log liczb 24 72 I log 12 18.

14. Porównaj log liczb 20 80 I log 80 640.

Niech log 2 5 = X. Zauważ, że X > 0.

Otrzymujemy nierówność.

Znajdźmy wiele rozwiązań nierówności, spełniający warunek x > 0.

Skonstruujmy obie strony nierówności do kwadratu (at X> 0 obie strony nierówności są dodatnie). Mamy 9x2< 9x + 28.

Zbiór rozwiązań ostatniej nierówności to przedział.

Biorąc pod uwagę, że X> 0, otrzymujemy: .

Odpowiedź: Nierówność jest prawdziwa.

Warsztaty rozwiązywania problemów.

1. Porównaj liczby:

2. Ułóż liczby w kolejności rosnącej:

3. Rozwiąż nierówność 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Czy numer √2 rozwiązanie tej nierówności? (Odpowiedź:(–∞; log 2 3) ; numer √2 jest rozwiązaniem tej nierówności.)

Wniosek.

Istnieje wiele metod porównywania logarytmów. Celem zajęć na ten temat jest nauczenie poruszania się po różnorodnych metodach, wybierania i stosowania najbardziej racjonalnego sposobu rozwiązania w każdej konkretnej sytuacji.

Na zajęciach z pogłębioną nauką matematyki materiał na ten temat można przedstawić w formie wykładu. Ta forma działalności edukacyjnej zakłada, że ​​materiał wykładowy musi być starannie dobrany, opracowany i ułożony w określonej logicznej kolejności. Notatki, które nauczyciel robi na tablicy, muszą być przemyślane i matematycznie dokładne.

Wskazane jest utrwalenie materiału wykładowego i ćwiczenie umiejętności rozwiązywania problemów na lekcjach praktycznych. Celem warsztatów jest nie tylko utrwalenie i sprawdzenie zdobytej wiedzy, ale także jej poszerzenie. Dlatego zadania powinny zawierać zadania o różnym poziomie, od zadań najprostszych po zadania o zwiększonej złożoności. Nauczyciel na takich warsztatach pełni rolę konsultanta.

Literatura.

1. Galitsky M.L. i inne.Pogłębione studium przebiegu algebry i analizy matematycznej: Metoda. zalecenia i materiały dydaktyczne: Poradnik dla nauczycieli – M.: Edukacja, 1986.
2. Ziv B.G., Goldich V.A. Materiały dydaktyczne z algebry i analizy podstawowej dla klasy 10. – Petersburg: „CheRo-on-Neva”, 2003.
3. Litwinienko V.N., Mordkovich A.G. Warsztaty z matematyki elementarnej. Algebra. Trygonometria: publikacja edukacyjna. – M.: Edukacja, 1990.
4. Ryazanovsky A.R. Algebra i początki analizy: 500 sposobów i metod rozwiązywania problemów matematycznych dla uczniów i studentów rozpoczynających naukę na uniwersytetach. – M.: Drop, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V. Matematyka. Zadania konkursowe w algebrze z rozwiązaniami. Część 4. Równania logarytmiczne, nierówności, układy. Podręcznik.-wyd.3, ster.-M.: Dział wydawniczy UNTsDO, 2003.
6. Sharygin I.F., Gołubiew V.I. Przedmiot fakultatywny z matematyki: Rozwiązywanie problemów: Proc. dodatek dla klasy 11. szkoła średnia – M.: Prosveshchenie, 1991.

W części dotyczącej pytania, jak porównywać logarytmy, gdy...(+)? podane przez autora Przesiać najlepsza odpowiedź brzmi Lub nie możesz go zredukować do jednej podstawy, ale użyj właściwości funkcji logarytmicznej.
Jeżeli podstawa funkcji logarytmicznej jest większa od 1, to funkcja rośnie, a dla x > 1 im mniejsza podstawa, tym wyżej położony jest wykres,
dla 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Jeżeli podstawa logarytmu jest większa od zera i mniejsza od 1, to funkcja jest malejąca,
Co więcej, dla x > 1 im mniejsza podstawa, tym wyższy wykres,
dla 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
To się okaże tak:

Odpowiedź od chudy[guru]
Zmniejsz logarytmy do tej samej podstawy (na przykład do liczby naturalnej), a następnie porównaj.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Odpowiedź od Neuropatolog[guru]
Skorzystaj ze wzoru na przejście do nowej podstawy: log(a)b=1/log(b)a.
Następnie porównaj mianowniki ułamków zwykłych, takich jak logarytmy, o tej samej podstawie.
Z dwóch ułamków o tych samych licznikach większy jest ułamek o mniejszym mianowniku.
Na przykład log(7)16 i log(3)16
1/log(16)7 i 1/log(16)3
Ponieważ log(16)7>log(16)3, to 1/log(16)7< 1/log(16)3.