Znajdowanie okresu funkcji trygonometrycznych. Badanie funkcji okresowości

Argument x, to nazywa się go okresowym, jeśli istnieje liczba T taka, że ​​dla dowolnego x F(x + T) = F(x). Liczba T nazywana jest okresem funkcji.

Może być kilka okresów. Na przykład funkcja F = const przyjmuje tę samą wartość dla dowolnej wartości argumentu, dlatego dowolną liczbę można uznać za jej okres.

Zwykle interesuje Cię najmniejszy niezerowy okres funkcji. W skrócie nazywa się to po prostu okresem.

Klasycznym przykładem funkcji okresowych są funkcje trygonometryczne: sinus, cosinus i tangens. Ich okres jest taki sam i równy 2π, czyli sin(x) = sin(x + 2π) = sin(x + 4π) i tak dalej. Jednak, oczywiście, funkcje trygonometryczne nie są jedynymi funkcjami okresowymi.

W przypadku prostych, podstawowych funkcji jedynym sposobem ustalenia, czy są one okresowe, czy nieokresowe, są obliczenia. Ale w przypadku złożonych funkcji istnieje już kilka prostych zasad.

Jeżeli F(x) ma okres T i jest dla niego zdefiniowana pochodna, to ta pochodna f(x) = F′(x) jest także funkcją okresową z okresem T. Przecież wartość pochodnej w punkcie x jest równe tangensowi kąta stycznego wykresu funkcji pierwotnej w tym punkcie do osi x, a ponieważ funkcja pierwotna powtarza się okresowo, pochodna również musi się powtarzać. Na przykład pochodna funkcji sin(x) jest równa cos(x) i jest okresowa. Biorąc pochodną cos(x) otrzymasz –sin(x). Częstotliwość pozostaje niezmieniona.

Jednak nie zawsze jest odwrotnie. Zatem funkcja f(x) = const jest okresowa, ale jej funkcja pierwotna F(x) = const*x + C nie.

Jeżeli F(x) jest funkcją okresową o okresie T, to G(x) = a*F(kx + b), gdzie a, b i k są stałymi, a k nie jest równe zero - jest także funkcją okresową , a jego okres to T/k. Na przykład sin(2x) jest funkcją okresową, a jej okres wynosi π. Można to wizualnie przedstawić w następujący sposób: mnożąc x przez jakąś liczbę, wydaje się, że kompresujesz wykres funkcji w poziomie dokładnie tyle razy

Jeśli F1(x) i F2(x) są funkcjami okresowymi, a ich okresy są równe odpowiednio T1 i T2, to suma tych funkcji może być również okresowa. Jednak jego okres nie będzie prostą sumą okresów T1 i T2. Jeżeli wynikiem dzielenia T1/T2 jest liczba wymierna, to suma funkcji jest okresowa, a jej okres jest równy najmniejszej wspólnej wielokrotności (LCM) okresów T1 i T2. Na przykład, jeśli okres pierwszej funkcji wynosi 12, a okres drugiej wynosi 15, to okres ich sumy będzie równy LCM (12, 15) = 60.

Można to wizualnie przedstawić w następujący sposób: funkcje mają różne „szerokości kroków”, ale jeśli stosunek ich szerokości jest racjonalny, to prędzej czy później (a raczej właśnie poprzez LCM kroków) znów się wyrównają i ich suma rozpocznie nowy okres.

Jeśli jednak stosunek okresów jest niewymierny, wówczas funkcja całkowita w ogóle nie będzie okresowa. Na przykład niech F1(x) = x mod 2 (reszta z dzielenia x przez 2) i F2(x) = sin(x). T1 tutaj będzie równe 2, a T2 będzie równe 2π. Stosunek okresów jest równy π – liczbie niewymiernej. Dlatego funkcja sin(x) + x mod 2 nie jest okresowa.

W lipcu 2020 roku NASA rozpoczyna wyprawę na Marsa. Sonda dostarczy na Marsa elektroniczny nośnik z nazwiskami wszystkich zarejestrowanych uczestników wyprawy.

Rejestracja uczestników jest otwarta. Zdobądź bilet na Marsa, korzystając z tego linku.

Jeśli ten post rozwiązał Twój problem lub po prostu Ci się spodobał, udostępnij link do niego znajomym w sieciach społecznościowych.

Jedną z tych opcji kodu należy skopiować i wkleić do kodu swojej strony internetowej, najlepiej pomiędzy tagami i/lub bezpośrednio po tagu. Według pierwszej opcji MathJax ładuje się szybciej i mniej spowalnia stronę. Ale druga opcja automatycznie monitoruje i ładuje najnowsze wersje MathJax. Jeśli wstawisz pierwszy kod, będzie on wymagał okresowej aktualizacji. Jeśli wstawisz drugi kod, strony będą ładować się wolniej, ale nie będziesz musiał stale monitorować aktualizacji MathJax.

Najłatwiej połączyć się z MathJax w Bloggerze lub WordPressie: w panelu sterowania witryny dodaj widżet przeznaczony do wstawiania kodu JavaScript innej firmy, skopiuj do niego pierwszą lub drugą wersję kodu pobierania przedstawionego powyżej i umieść widżet bliżej na początek szablonu (nawiasem mówiąc, nie jest to wcale konieczne, ponieważ skrypt MathJax jest ładowany asynchronicznie). To wszystko. Teraz poznaj składnię znaczników MathML, LaTeX i ASCIIMathML i możesz wstawiać formuły matematyczne na stronach internetowych swojej witryny.

Kolejny sylwester... mroźna pogoda i płatki śniegu na szybie... Wszystko to skłoniło mnie do ponownego napisania o... fraktalach i tym, co wie na ten temat Wolfram Alpha. Istnieje ciekawy artykuł na ten temat, który zawiera przykłady dwuwymiarowych struktur fraktalnych. Tutaj przyjrzymy się bardziej złożonym przykładom trójwymiarowych fraktali.

Fraktal można wizualnie przedstawić (opisać) jako figurę geometryczną lub bryłę (co oznacza, że ​​oba są zbiorem, w tym przypadku zbiorem punktów), którego szczegóły mają taki sam kształt jak sama pierwotna figura. Oznacza to, że jest to struktura samopodobna, badając szczegóły, w których powiększeniu zobaczymy ten sam kształt, co bez powiększenia. Natomiast w przypadku zwykłej figury geometrycznej (a nie fraktala) w powiększeniu zobaczymy detale, które mają prostszy kształt niż sama figura pierwotna. Na przykład przy wystarczająco dużym powiększeniu część elipsy wygląda jak odcinek linii prostej. Nie dzieje się tak w przypadku fraktali: przy każdym ich wzroście ponownie zobaczymy ten sam złożony kształt, który będzie się powtarzał przy każdym wzroście.

Benoit Mandelbrot, twórca nauki o fraktalach, napisał w swoim artykule Fractals and Art in the Name of Science: „Fraktale to kształty geometryczne, które są tak samo złożone pod względem szczegółów, jak i ogólnej formy. To znaczy, jeśli stanowią część fraktala zostanie powiększony do rozmiarów całości, pojawi się jako całość, albo dokładnie, albo może z lekkim zniekształceniem.”

>> Okresowość funkcji y = sin x, y = cos x

§ 11. Okresowość funkcji y = sin x, y = cos x

W poprzednich akapitach użyliśmy siedmiu właściwości Funkcje: dziedzina definicji parzysta lub nieparzysta, monotoniczność, granica, największe i najmniejsze wartości, ciągłość, zakres wartości funkcji. Wykorzystaliśmy te właściwości albo do skonstruowania wykresu funkcji (zdarzyło się to na przykład w § 9), albo do odczytania skonstruowanego wykresu (zdarzyło się to na przykład w § 10). Teraz przyszedł czas na wprowadzenie jeszcze jednej (ósmej) właściwości funkcji, co wyraźnie widać w powyższych konstrukcjach. wykresy funkcje y = sin x (patrz rys. 37), y = cos x (patrz rys. 41).

Definicja. Funkcję nazywa się okresową, jeśli istnieje niezerowa liczba T taka, że ​​dla dowolnego x w zbiorze zachodzi warunek double: równość :

Liczbę T spełniającą podany warunek nazywamy okresem funkcji y = f(x).
Wynika z tego, że skoro dla dowolnego x obowiązują równości:

wówczas funkcje y = sin x, y = cos x są okresowe i liczba wynosi 2 P służy jako okres dla obu funkcji.
Okresowość funkcji jest obiecaną ósmą właściwością funkcji.

Spójrzmy teraz na wykres funkcji y = sin x (ryc. 37). Aby zbudować falę sinusoidalną, wystarczy nanieść na odcinek jedną z jej fal, a następnie przesunąć tę falę wzdłuż osi x o. W rezultacie za pomocą jednej fali zbudujemy cały wykres.

Spójrzmy z tego samego punktu widzenia na wykres funkcji y = cos x (ryc. 41). Widzimy, że tutaj, aby wykreślić wykres, wystarczy najpierw wykreślić jedną falę (na przykład na odcinku

A następnie przesuń go wzdłuż osi x o
Podsumowując, wyciągamy następujący wniosek.

Jeżeli funkcja y = f(x) ma okres T, to aby zbudować wykres tej funkcji, należy najpierw zbudować gałąź (falę, część) wykresu na dowolnym przedziale o długości T (najczęściej przyjmuje się przedział o końcach w punktach, a następnie przesuń tę gałąź wzdłuż osi x w prawo i w lewo do T, 2T, ZT itp.
Funkcja okresowa ma nieskończenie wiele okresów: jeśli T jest okresem, to 2T jest okresem, ZT jest okresem, a -T jest okresem; Generalnie okresem jest dowolna liczba w postaci KT, gdzie k = ±1, ±2, ± 3... Zwykle, jeśli to możliwe, starają się wyodrębnić najmniejszy okres dodatni, nazywa się to okresem głównym.
Zatem dowolna liczba postaci 2pk, gdzie k = ±1, ± 2, ± 3, jest okresem funkcji y = sinn x, y = cos x; 2n jest głównym okresem obu funkcji.

Przykład. Znajdź główny okres funkcji:

a) Niech T będzie głównym okresem funkcji y = sin x. Włóżmy

Aby liczba T była okresem funkcji, tożsamość Ale ponieważ mówimy o znalezieniu głównego okresu, otrzymujemy
b) Niech T będzie głównym okresem funkcji y = cos 0,5x. Załóżmy, że f(x)=cos 0,5x. Wtedy f(x + T)=cos 0,5(x + T)=cos (0,5x + 0,5T).

Aby liczba T była okresem funkcji, musi zachodzić tożsamość cos (0,5x + 0,5T) = cos 0,5x.

Oznacza to 0,5t = 2pp. Ale ponieważ mówimy o znalezieniu głównego okresu, otrzymujemy 0,5 T = 2 l, T = 4 l.

Uogólnieniem wyników uzyskanych w przykładzie jest następujące stwierdzenie: główny okres funkcji

A.G. Algebra Mordkowicza 10. klasa

Treść lekcji notatki z lekcji wspierające metody przyspieszania prezentacji lekcji technologie interaktywne Ćwiczyć zadania i ćwiczenia autotest warsztaty, szkolenia, case'y, zadania prace domowe dyskusja pytania retoryczne pytania uczniów Ilustracje nagrania audio, wideo i multimedialne fotografie, obrazy, wykresy, tabele, diagramy, humor, anegdoty, dowcipy, komiksy, przypowieści, powiedzonka, krzyżówki, cytaty Dodatki streszczenia artykuły wskazówki dla ciekawskich łóżeczko podręczniki podstawowy i dodatkowy słownik terminów inne Udoskonalanie podręczników i lekcji poprawianie błędów w podręczniku aktualizacja fragmentu podręcznika elementy innowacji na lekcji zastąpienie przestarzałej wiedzy nową Tylko dla nauczycieli idealny plan kalendarza zajęć na dany rok zalecenia metodyczne programy dyskusji Zintegrowane Lekcje