Rozwiązać układ równań symetrycznych. Symetryczne układy równań

Wstęp

Symetria... to idea, dzięki której człowiek od wieków stara się pojąć i stworzyć porządek, piękno i doskonałość.

Pojęcie symetrii przewija się przez całą historię ludzkości. Można ją znaleźć już u początków wiedzy ludzkiej. Powstał w związku z badaniem żywego organizmu, a mianowicie człowieka, i był używany przez rzeźbiarzy już w V wieku p.n.e. mi.
Słowo „symetria” pochodzi z języka greckiego. Oznacza „proporcjonalność”, „proporcjonalność”, jednolitość układu części. Jest szeroko stosowany we wszystkich obszarach współczesnej nauki bez wyjątku.
Wiele wspaniałych osób myślało o tym wzorze. Na przykład L.N. Tołstoj powiedział: „Stojąc przed czarną tablicą i rysując na niej kredą różne figury, nagle uderzyła mnie myśl: dlaczego symetria jest wyraźna dla oka? Co to jest symetria? To wrodzone uczucie. Na czym to bazuje?"
Rzeczywiście, symetria jest przyjemna dla oka. Któż nie zachwycał się symetrią stworzeń natury: liści, kwiatów, ptaków, zwierząt; czyli wytwory człowieka: budynki, technologia, - wszystko, co nas otacza od dzieciństwa, wszystko, co dąży do piękna i harmonii.
Symetria (starożytna greka συμμετρία - „proporcjonalność”), w szerokim znaczeniu - niezmienność pod dowolnymi przekształceniami. Na przykład sferyczna symetria ciała oznacza, że ​​wygląd ciała nie ulegnie zmianie, jeśli będzie ono obracane w przestrzeni pod dowolnym kątem (utrzymując jeden punkt na miejscu). Symetria dwustronna oznacza, że ​​prawa i lewa strona płaszczyzny wyglądają tak samo.
Symetrię spotykamy wszędzie – w przyrodzie, technologii, sztuce, nauce. Zwróćmy uwagę na przykład na symetrię charakterystyczną dla motyla i liścia klonu, symetrię samochodu i samolotu, symetrię w strukturze rytmicznej wiersza i frazy muzycznej, symetrię ozdób i krawędzi, symetrię budowy atomowej cząsteczek i kryształów. Pojęcie symetrii przewija się przez całą wielowiekową historię ludzkiej twórczości. Znajduje się już u początków wiedzy ludzkiej; jest szeroko stosowany we wszystkich bez wyjątku dziedzinach współczesnej nauki. Zasady symetrii odgrywają ważną rolę w fizyce i matematyce, chemii i biologii, technologii i architekturze, malarstwie i rzeźbie, poezji i muzyce. Prawa natury rządzące niewyczerpanym obrazem zjawisk w ich różnorodności podlegają z kolei zasadom symetrii.

Cele:

Rozważ rodzaje i typy symetrii;

Przeanalizuj, jak i gdzie stosowana jest symetria;

Zastanów się, w jaki sposób symetria jest wykorzystywana na szkolnym kursie algebry

Symetria.
Słowo „symetria” ma podwójną interpretację. W pewnym sensie symetryczny oznacza coś bardzo proporcjonalnego, zrównoważonego; symetria pokazuje, w jaki sposób wiele części jest skoordynowanych, za pomocą których łączy się je w całość. Drugie znaczenie tego słowa to równowaga. Arystoteles mówił także o symetrii jako stanie charakteryzującym się stosunkiem skrajności. Z tego stwierdzenia wynika, że ​​być może Arystoteles był najbliżej odkrycia jednego z najbardziej podstawowych praw Natury - prawa jej dualności.
Konieczne jest podkreślenie aspektów, bez których symetria nie jest możliwa:
1) przedmiot jest nośnikiem symetrii; rzeczy, procesy, figury geometryczne, wyrażenia matematyczne, organizmy żywe itp. mogą działać jak obiekty symetryczne.

2) pewne cechy - wielkości, właściwości, zależności, procesy, zjawiska - obiektu, które pozostają niezmienione podczas przekształceń symetrii; nazywane są niezmiennikami lub niezmiennikami.

3) zmiany (obiektu), które sprawiają, że obiekt jest identyczny z sobą według niezmiennych cech; takie zmiany nazywane są transformacjami symetrii;

4) właściwość obiektu do przekształcania się, zgodnie z wybranymi cechami, w siebie po odpowiednich zmianach.

Zatem symetria wyraża zachowanie czegoś pomimo pewnych zmian lub zachowanie czegoś pomimo zmiany. Symetria zakłada niezmienność nie tylko samego obiektu, ale także jakichkolwiek jego właściwości w stosunku do przekształceń dokonywanych na obiekcie. Niezmienność niektórych obiektów można zaobserwować w odniesieniu do różnych operacji - obrotów, translacji, wzajemnego zastępowania części, odbić itp. Pod tym względem rozróżnia się różne typy symetrii.

Asymetria

Asymetria to brak lub naruszenie symetrii.
W architekturze symetria i asymetria to dwie przeciwstawne metody regularnej organizacji formy przestrzennej. Asymetryczne kompozycje w procesie rozwoju architektonicznego powstały jako ucieleśnienie złożonych kombinacji procesów życiowych i warunków środowiskowych.

Asymetria

Nazywamy złamaną, częściowo zachwianą symetrią asymetria .
Dysymetria jest zjawiskiem powszechnym w przyrodzie żywej. Jest to także typowe dla ludzi. Osoba jest asymetryczna, mimo że kontury jego ciała mają płaszczyznę symetrii. Dysymetria wpływa
lepsza kontrola jednej ręki, w asymetrycznym ułożeniu serca i wielu innych narządów, w budowie tych narządów.
Dysymetrie ludzkiego ciała przypominają odchylenia od dokładnej symetrii w architekturze. Zwykle są one spowodowane koniecznością praktyczną, faktem, że różnorodność funkcji nie mieści się w granicach sztywnych praw symetrii. Czasami takie odchylenia stanowią podstawę ostrego efektu emocjonalnego.

^ Rodzaje symetrii występujących w matematyce i naukach ścisłych:

Dwustronna symetria- symetria odbicia lustrzanego, w której obiekt ma jedną płaszczyznę symetrii, względem której jego dwie połówki są lustrzanie symetryczne. U zwierząt dwustronna symetria objawia się podobieństwem lub prawie całkowitą identycznością lewej i prawej połowy ciała. W tym przypadku zawsze występują przypadkowe odchylenia od symetrii (na przykład różnice w liniach brodawkowatych, rozgałęzienia naczyń krwionośnych. Często występują małe, ale naturalne różnice w strukturze zewnętrznej oraz bardziej znaczące różnice między prawą i lewą połową ciała w układ narządów wewnętrznych.Na przykład serce u ssaków jest zwykle zlokalizowane asymetrycznie, z przesunięciem w lewo.

U zwierząt pojawienie się dwustronnej symetrii w ewolucji wiąże się z pełzaniem po podłożu (wzdłuż dna zbiornika), dzięki czemu pojawia się grzbietowa i brzuszna, a także prawa i lewa połowa ciała. Ogólnie rzecz biorąc, wśród zwierząt dwustronna symetria jest bardziej wyraźna w formach aktywnie mobilnych niż w formach osiadłych.U roślin zwykle nie cały organizm ma dwustronną symetrię, ale jego poszczególne części - liście lub kwiaty. Botanicy nazywają dwustronnie symetryczne kwiaty zygomorficznymi.

^ Symetria N-tego rzędu- symetria względem obrotów o kąt 360°/n wokół dowolnej osi. Opisany przez grupę Zn.

Symetria osiowa(symetria promieniowa, symetria wiązki) - forma symetrii, w której ciało (lub figura) pokrywa się ze sobą, gdy obiekt obraca się wokół określonego punktu lub linii. Często punkt ten pokrywa się ze środkiem symetrii obiektu, czyli punktem, w którym
przecina się nieskończona liczba osi dwustronnej symetrii. Obiekty geometryczne, takie jak okrąg, kula, walec czy stożek, mają symetrię promieniową. Opisane przez grupę SO(2).

^ Symetria sferyczna- symetria względem obrotów w przestrzeni trójwymiarowej pod dowolnymi kątami. Opisane przez grupę SO(3). Lokalna symetria sferyczna przestrzeni lub ośrodka nazywana jest również izotropią.

^ Symetria obrotowa- termin oznaczający symetrię obiektu względem wszystkich lub niektórych obrotów właściwych m-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

^ Symetria u zwierząt i ludzi.

Symetria jest istotną cechą odzwierciedlającą cechy budowy, stylu życia i zachowania zwierzęcia. Aby ryby mogły pływać, niezbędny jest symetryczny kształt; ptak do latania. Zatem symetria w przyrodzie istnieje nie bez powodu: jest również użyteczna, czyli innymi słowy celowa. W biologii środkiem symetrii są: kwiaty, meduzy, rozgwiazdy itp. Obecność form symetrii można już prześledzić w najprostszych - jednokomórkowych (orzęski, ameby).Ciało ludzkie zbudowane jest na zasadzie dwustronnej symetria. Mózg dzieli się na dwie połowy. Zgodnie z ogólną symetrią ludzkiego ciała, każda półkula jest niemal dokładnym lustrzanym odbiciem drugiej. Sterowanie podstawowymi ruchami ludzkiego ciała i jego funkcjami sensorycznymi jest równomiernie rozłożone pomiędzy obie półkule mózgu. Lewa półkula kontroluje prawą półkulę mózgu, a prawa półkula kontroluje lewą stronę. Badania wykazały, że twarz symetryczna jest bardziej atrakcyjna. Naukowcy twierdzą również, że twarz o idealnych proporcjach jest oznaką, że organizm jej właścicielki jest dobrze przygotowany do walki z infekcjami. W przypadku przeziębienia, astmy i grypy prawdopodobieństwo poprawy jest większe u osób, których lewa strona jest dokładnie taka sama jak prawa. A w ubiorze osoba z reguły stara się zachować wrażenie symetrii: prawy rękaw odpowiada lewemu, prawa nogawka odpowiada lewej. Guziki w marynarce i koszuli znajdują się dokładnie pośrodku, a jeśli się od niego oddalają, to w symetrycznych odległościach. Jednocześnie czasami ktoś próbuje podkreślić i wzmocnić różnicę między lewą a prawą stroną. W średniowieczu mężczyźni nosili kiedyś spodnie z nogawkami w różnych kolorach (na przykład jeden czerwony, a drugi czarny lub biały). Ale
taka moda jest zawsze krótkotrwała. Na długo pozostają jedynie taktowne, umiarkowane odstępstwa od symetrii.

Symetria w sztuce

Symetria w sztuce w ogóle, a zwłaszcza w sztuce pięknej, ma swoje korzenie w rzeczywistości, pełnej symetrycznie ułożonych form.
Symetryczna organizacja kompozycji charakteryzuje się równowagą jej części pod względem masy, tonu, koloru, a nawet kształtu. W takich przypadkach jedna część jest niemal lustrzanym odbiciem drugiej. Kompozycje symetryczne najczęściej mają wyraźny środek. Z reguły pokrywa się z geometrycznym środkiem płaszczyzny obrazu. Jeśli punkt zbiegu zostanie przesunięty od środka, jedna z części będzie bardziej obciążona masami lub obraz zostanie zbudowany ukośnie, wszystko to dodaje kompozycji dynamiki i w pewnym stopniu zaburza idealną równowagę.
Zasadę symetrii stosowali także rzeźbiarze starożytnej Grecji. Przykładem jest kompozycja zachodniego frontonu Świątyni Zeusa i Olimpii. Opiera się na walce Lapitów (Greków) z centaurami w obecności boga Apolla. Ruch stopniowo nasila się od krawędzi do środka. Największą wyrazistość osiąga na obrazie dwóch młodych mężczyzn, którzy zamachnęli się na centaury. Narastający ruch zdaje się natychmiast zatrzymywać na podejściu do postaci Apolla, stojącego spokojnie i majestatycznie pośrodku frontonu.
Pomysł na zaginione dzieła znanych malarzy z V wieku p.n.e. mi. można skompilować ze starożytnych malowideł wazowych i fresków Pompejusza, inspirowanych, jak uważają badacze, dziełami greckich mistrzów epoki klasycznej...
Symetryczne kompozycje zaobserwowano także wśród greckich mistrzów IV-III wieku p.n.e. mi. Można to ocenić na podstawie kopii fresków. Na freskach Pompejusza główne postacie znajdują się w centrum piramidalnej kompozycji, charakteryzującej się symetrią.
Artyści często odwoływali się do zasad symetrii, przedstawiając uroczyste, zatłoczone zgromadzenia, parady, spotkania w dużych salach itp.
Artyści wczesnego renesansu przywiązywali dużą wagę do zasady symetrii, czego dowodem jest malarstwo monumentalne (np. freski Giotta). W okresie wysokiego renesansu kompozycja włoska osiągnęła dojrzałość. Na przykład na obrazie „Św. Anna z Maryją i Dzieciątkiem Chrystus” Leonardo da Vinci układa trzy postacie w trójkąt skierowany ku górze. W prawym dolnym rogu podaje figurkę baranka trzymanego przez małego Chrystusa. Wszystko jest ułożone w taki sposób, że ten trójkąt można odgadnąć jedynie pod grupą figur wolumetryczno-przestrzennych.
Ostatnią wieczerzę Leonarda da Vinci można nazwać także kompozycją symetryczną. Ten fresk pokazuje dramatyczny moment, kiedy
Chrystus powiedział swoim uczniom: „Jeden z was mnie zdradzi”. Psychologiczna reakcja apostołów na te prorocze słowa łączy bohaterów z centrum kompozycyjnym, w którym umiejscowiona jest postać Chrystusa. Wrażenie integralności tej dośrodkowej kompozycji potęguje dodatkowo fakt, że artysta pokazał refektarz w perspektywie z znikającym punktem równoległych linii pośrodku okna, na tle którego wyraźnie rysuje się głowa Chrystusa. Tym samym wzrok widza mimowolnie skierowany jest na centralną postać obrazu.
Wśród dzieł ukazujących możliwości symetrii można wymienić także „Zaręczyny Maryi” Rafaela, w których najpełniejszy wyraz znalazły charakterystyczne dla renesansu techniki kompozytorskie.
Obraz V. M. Wasnetsowa „Bogatyrs” również zbudowany jest w oparciu o zasadę symetrii. Centrum kompozycji stanowi postać Ilyi Muromets. Po lewej i prawej stronie, jak w odbiciu lustrzanym, stoją Alyosha Popovich i Dobrynya Nikiticch. Postacie rozmieszczone są wzdłuż płaszczyzny obrazu, spokojnie siedząc na koniach. Symetryczna konstrukcja kompozycji wprowadza w stan względnego spokoju. Postacie lewicy i prawicy nie mają tej samej masy, co wynika z zamysłu ideowego autora. Ale oba są słabsze w porównaniu z postacią Murometsa i, ogólnie rzecz biorąc, zapewniają pełną równowagę kompozycji.
Stabilność kompozycji daje widzowi poczucie pewności w niezwyciężoność bohaterów, obrońców ziemi rosyjskiej. Co więcej, w „Bogatyrach” oddany jest stan pełnego napięcia spokoju na granicy przejścia w akcję. Oznacza to, że symetria niesie w sobie także zalążek dynamicznego ruchu w czasie i przestrzeni.

Symetria w algebrze.

Najprostsze symetryczne wyrażenia pierwiastków równania kwadratowego można znaleźć w twierdzeniu Viety. Dzięki temu można je wykorzystać do rozwiązywania niektórych problemów związanych z równaniami kwadratowymi. Spójrzmy na kilka przykładów.

Przykład 1:

Równanie kwadratowe ma korzenie i . Bez rozwiązywania tego równania wyrażamy poprzez i sumy , . Wyrażenie jest symetryczne względem i . Wyraźmy je za pomocą + i , a następnie zastosujmy twierdzenie Viety.

Więc dla ciebie otrzymujemy równanie Przypomnijmy twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianów (§ 2.1.5). Wymiernych pierwiastków naszego równania należy szukać wśród dzielników liczby –4. Przeglądając wszystkie dzielniki, jesteśmy przekonani, że równanie nie ma pierwiastków wymiernych. Twierdzenie to nie było jednak twierdzeniem o istnieniu pierwiastków. Twierdzenie to stwierdzało jedynie, co następuje: jeśli wielomian o współczynnikach całkowitych ma pierwiastki wymierne (ale nadal jest możliwe, że ich NIE ma), to pierwiastki te będą miały jakąś specjalną postać. Twierdzenie to nie opisuje przypadku, gdy nie ma pierwiastków wymiernych.

Spróbujmy znaleźć pierwiastki równania układu pierwotnego wśród liczb niewymiernych. Będzie to jednak wymagało odrobiny kreatywności: standardowy zamiennik systemów symetrycznych oczywiście tutaj nie działa.

Podnosząc drugie równanie do sześcianu otrzymujemy: Zatem, zgodnie z twierdzeniem Viety, i są pierwiastkami równania kwadratowego Stąd i Stąd,

1. Równania nazywane są równania symetryczne III stopnia, jeśli mają postać
topór 3 + bx 2 + bx + a = 0.

Aby skutecznie rozwiązywać równania tego typu, przydatna jest znajomość i umiejętność wykorzystania następujących prostych własności równań odwrotności:

A) Każde równanie odwrotne stopnia nieparzystego ma zawsze pierwiastek równy -1.

Rzeczywiście, jeśli zgrupujemy wyrazy po lewej stronie w następujący sposób: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, to możliwe jest usunięcie wspólnego czynnika, tj. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0, zatem
x + 1 = 0 lub ax 2 + (b – a)x + a = 0, pierwsze równanie potwierdza interesujące nas stwierdzenie.

B) Równanie odwrotności nie ma pierwiastków równych zero.

V) Dzieląc wielomian stopnia nieparzystego przez (x + 1), iloraz jest ponownie wielomianem powtarzalnym, co udowadnia się przez indukcję.

Przykład.

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.

Rozwiązanie.

Pierwotne równanie koniecznie ma pierwiastek x = -1, więc dzielimy x 3 + 2x 2 + 2x + 1 przez (x + 1) zgodnie ze schematem Hornera:

.	1	2	2	1
-1	1	2 – 1 = 1	2 – 1 = 1	1 – 1 = 0

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.

Równanie kwadratowe x 2 + x + 1 = 0 nie ma pierwiastków.

Odpowiedź 1.

2. Równania nazywane są równania symetryczne IV stopnia, jeśli mają postać
topór 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Algorytm rozwiązania podobne równania to:

A) Podziel obie strony pierwotnego równania przez x 2. To działanie nie doprowadzi do utraty pierwiastka, ponieważ x = 0 nie jest rozwiązaniem danego równania.

B) Korzystając z grupowania, sprowadź równanie do postaci:

a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.

V) Wprowadź nową niewiadomą: t = (x + 1/x).

Dokonajmy transformacji: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Jeśli teraz wyrazimy x 2 + 1/x 2, to t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2.

G) Rozwiąż powstałe równanie kwadratowe w nowych zmiennych:

w 2 + bt + c – 2a = 0.

D) Wykonaj odwrotne podstawienie.

Przykład.

6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.

Rozwiązanie.

6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.

6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.

Wpisz t: podstawienie (x + 1/x) = t. Podstawienie: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, mamy:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 lub t = 10/3.

Wróćmy do zmiennej x. Po odwrotnym podstawieniu rozwiązujemy dwa powstałe równania:

1) x + 1/x = -5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = -2 lub x = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 – 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 lub x = 1/3.

Odpowiedź: -2; -1/2; 1/3; 3.

Metody rozwiązywania niektórych typów równań wyższych stopni

1. Równania mające postać (x + a) n + (x + b) n = do, rozwiązuje się przez podstawienie t = x + (a + b)/2. Ta metoda nazywa się metoda symetryzacji.

Przykładem takiego równania może być równanie postaci (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.

Przykład.

(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.

Rozwiązanie.

Dokonujemy podstawienia o którym mowa powyżej:

t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, po uproszczeniu: x = t – 2.

(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.

(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.

Usuwając nawiasy za pomocą wzorów, otrzymujemy:

t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.

2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.

t 4 + 6t 2 – 135 = 0.

t 2 = 9 lub t 2 = -15.

Drugie równanie nie daje pierwiastków, ale z pierwszego mamy t = ±3.

Po odwrotnym podstawieniu otrzymujemy, że x = -5 lub x = 1.

Odpowiedź: -5; 1.

Aby rozwiązać takie równania, często skuteczne jest rozwiązanie metoda rozkładu na czynniki lewej strony równania.

2. Równania postaci (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, gdzie a + d = do + b.

Technika rozwiązywania takich równań polega na częściowym otwarciu nawiasów i wprowadzeniu nowej zmiennej.

Przykład.

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Rozwiązanie.

Obliczamy: 1 + 4 = 2 + 3. Połącz nawiasy w pary:

((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.

Dokonując podstawienia x 2 + 5x + 4 = t, otrzymujemy równanie

t(t + 2) = 24, to jest kwadrat:

t 2 + 2 t – 24 = 0.

t = -6 lub t = 4.

Po wykonaniu odwrotnego podstawienia łatwo znajdujemy pierwiastki pierwotnego równania.

Odpowiedź: -5; 0.

3. Równania postaci (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ax 2, gdzie ad = cb.

Metoda rozwiązania polega na częściowym otwarciu nawiasów, podzieleniu obu stron przez x 2 i rozwiązaniu układu równań kwadratowych.

Przykład.

(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.

Rozwiązanie.

Mnożąc dwa pierwsze i dwa ostatnie nawiasy po lewej stronie, otrzymujemy:

(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Podziel przez x 2 ≠ 0.

(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Podstawiając (x + 24/x) = t dochodzimy do równania kwadratowego:

(t + 14)(t + 11) = 4;

t 2 + 25x + 150 = 0.

t = 10 lub t = 15.

Dokonując odwrotnego podstawienia x + 24/x = 10 lub x + 24/x = 15, znajdujemy pierwiastki.

Odpowiedź: (-15 ± √129)/2; -4; -6.

4. Rozwiąż równanie (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.

Rozwiązanie.

Trudno od razu sklasyfikować to równanie i wybrać metodę rozwiązania. Dlatego najpierw przekształcamy wykorzystując różnicę kwadratów i różnicę sześcianów:

((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. Następnie po usunięciu wspólnego czynnika otrzymujemy proste równanie:

(x + 5)(x 2 + 18x + 48) = 0.

Odpowiedź: -5; -9 ± √33.

Zadanie.

Skonstruuj wielomian trzeciego stopnia, w którym jeden pierwiastek równy 4 ma wielokrotność 2 i pierwiastek równy -2.

Rozwiązanie.

f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) lub f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).

Mnożąc pierwsze dwa nawiasy i sprowadzając podobne wyrazy, otrzymujemy: f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x).

x 3 – 6x 2 + 32 jest wielomianem trzeciego stopnia, zatem q(x) jest pewną liczbą z R(tj. prawdziwy). Niech q(x) będzie jednością, wtedy f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.

Odpowiedź: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania?
Aby uzyskać pomoc korepetytora zarejestruj się.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

stronie internetowej, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do źródła.

1. Równania nazywane są równania symetryczne III stopnia, jeśli mają postać
topór 3 + bx 2 + bx + a = 0.

Aby skutecznie rozwiązywać równania tego typu, przydatna jest znajomość i umiejętność wykorzystania następujących prostych własności równań odwrotności:

A) Każde równanie odwrotne stopnia nieparzystego ma zawsze pierwiastek równy -1.

Rzeczywiście, jeśli zgrupujemy wyrazy po lewej stronie w następujący sposób: a(x 3 + 1) + bx(x + 1) = 0, to możliwe jest usunięcie wspólnego czynnika, tj. (x + 1)(ax 2 + (b – a)x + a) = 0, zatem
x + 1 = 0 lub ax 2 + (b – a)x + a = 0, pierwsze równanie potwierdza interesujące nas stwierdzenie.

B) Równanie odwrotności nie ma pierwiastków równych zero.

V) Dzieląc wielomian stopnia nieparzystego przez (x + 1), iloraz jest ponownie wielomianem powtarzalnym, co udowadnia się przez indukcję.

Przykład.

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = 0.

Rozwiązanie.

Pierwotne równanie koniecznie ma pierwiastek x = -1, więc dzielimy x 3 + 2x 2 + 2x + 1 przez (x + 1) zgodnie ze schematem Hornera:

.	1	2	2	1
-1	1	2 – 1 = 1	2 – 1 = 1	1 – 1 = 0

x 3 + 2x 2 + 2x + 1 = (x + 1)(x 2 + x + 1) = 0.

Równanie kwadratowe x 2 + x + 1 = 0 nie ma pierwiastków.

Odpowiedź 1.

2. Równania nazywane są równania symetryczne IV stopnia, jeśli mają postać
topór 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0.

Algorytm rozwiązania podobne równania to:

A) Podziel obie strony pierwotnego równania przez x 2. To działanie nie doprowadzi do utraty pierwiastka, ponieważ x = 0 nie jest rozwiązaniem danego równania.

B) Korzystając z grupowania, sprowadź równanie do postaci:

a(x 2 + 1/x 2) + b(x + 1/x) + c = 0.

V) Wprowadź nową niewiadomą: t = (x + 1/x).

Dokonajmy transformacji: t 2 = x 2 +2 + 1/x 2 . Jeśli teraz wyrazimy x 2 + 1/x 2, to t 2 – 2 = x 2 + 1/x 2.

G) Rozwiąż powstałe równanie kwadratowe w nowych zmiennych:

w 2 + bt + c – 2a = 0.

D) Wykonaj odwrotne podstawienie.

Przykład.

6x 4 – 5x 3 – 38x 2 – 5x + 6 = 0.

Rozwiązanie.

6x 2 – 5x – 38 – 5/x + 6/x 2 = 0.

6(x 2 + 1/x 2) – 5(x + 1/x) – 38 = 0.

Wpisz t: podstawienie (x + 1/x) = t. Podstawienie: (x 2 + 1/x 2) = t 2 – 2, mamy:

6t 2 – 5t – 50 = 0.

t = -5/2 lub t = 10/3.

Wróćmy do zmiennej x. Po odwrotnym podstawieniu rozwiązujemy dwa powstałe równania:

1) x + 1/x = -5/2;

x 2 + 5/2 x +1 = 0;

x = -2 lub x = -1/2.

2) x + 1/x = 10/3;

x 2 – 10/3 x + 1 = 0;

x = 3 lub x = 1/3.

Odpowiedź: -2; -1/2; 1/3; 3.

Metody rozwiązywania niektórych typów równań wyższych stopni

1. Równania mające postać (x + a) n + (x + b) n = do, rozwiązuje się przez podstawienie t = x + (a + b)/2. Ta metoda nazywa się metoda symetryzacji.

Przykładem takiego równania może być równanie postaci (x + a) 4 + (x + b) 4 = c.

Przykład.

(x + 3) 4 + (x + 1) 4 = 272.

Rozwiązanie.

Dokonujemy podstawienia o którym mowa powyżej:

t = x + (3 + 1)/2 = x + 2, po uproszczeniu: x = t – 2.

(t – 2 + 3) 4 + (t – 2 + 1) 4 = 272.

(t + 1) 4 + (t – 1) 4 = 272.

Usuwając nawiasy za pomocą wzorów, otrzymujemy:

t 4 + 4t 3 + 6t 2 + 4t + 1 + t 4 – 4t 3 + 6t 2 – 4t + 1 = 272.

2t 4 + 12t 2 – 270 = 0.

t 4 + 6t 2 – 135 = 0.

t 2 = 9 lub t 2 = -15.

Drugie równanie nie daje pierwiastków, ale z pierwszego mamy t = ±3.

Po odwrotnym podstawieniu otrzymujemy, że x = -5 lub x = 1.

Odpowiedź: -5; 1.

Aby rozwiązać takie równania, często skuteczne jest rozwiązanie metoda rozkładu na czynniki lewej strony równania.

2. Równania postaci (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = A, gdzie a + d = do + b.

Technika rozwiązywania takich równań polega na częściowym otwarciu nawiasów i wprowadzeniu nowej zmiennej.

Przykład.

(x + 1)(x + 2)(x + 3)(x + 4) = 24.

Rozwiązanie.

Obliczamy: 1 + 4 = 2 + 3. Połącz nawiasy w pary:

((x + 1)(x + 4))((x + 2)(x + 3)) = 24,

(x 2 + 5x + 4) (x 2 + 5x + 6) = 24.

Dokonując podstawienia x 2 + 5x + 4 = t, otrzymujemy równanie

t(t + 2) = 24, to jest kwadrat:

t 2 + 2 t – 24 = 0.

t = -6 lub t = 4.

Po wykonaniu odwrotnego podstawienia łatwo znajdujemy pierwiastki pierwotnego równania.

Odpowiedź: -5; 0.

3. Równania postaci (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = Ax 2, gdzie ad = cb.

Metoda rozwiązania polega na częściowym otwarciu nawiasów, podzieleniu obu stron przez x 2 i rozwiązaniu układu równań kwadratowych.

Przykład.

(x + 12)(x + 2)(x + 3)(x + 8) = 4x 2.

Rozwiązanie.

Mnożąc dwa pierwsze i dwa ostatnie nawiasy po lewej stronie, otrzymujemy:

(x 2 + 14x + 24) (x 2 + 11x + 24) = 4x 2. Podziel przez x 2 ≠ 0.

(x + 14 + 24/x)(x + 11 + 24/x) = 4. Podstawiając (x + 24/x) = t dochodzimy do równania kwadratowego:

(t + 14)(t + 11) = 4;

t 2 + 25x + 150 = 0.

t = 10 lub t = 15.

Dokonując odwrotnego podstawienia x + 24/x = 10 lub x + 24/x = 15, znajdujemy pierwiastki.

Odpowiedź: (-15 ± √129)/2; -4; -6.

4. Rozwiąż równanie (3x + 5) 4 + (x + 6) 3 = 4x 2 + 1.

Rozwiązanie.

Trudno od razu sklasyfikować to równanie i wybrać metodę rozwiązania. Dlatego najpierw przekształcamy wykorzystując różnicę kwadratów i różnicę sześcianów:

((3x + 5) 2 – 4x 2) + ((x + 6) 3 – 1) = 0. Następnie po usunięciu wspólnego czynnika otrzymujemy proste równanie:

(x + 5)(x 2 + 18x + 48) = 0.

Odpowiedź: -5; -9 ± √33.

Zadanie.

Skonstruuj wielomian trzeciego stopnia, w którym jeden pierwiastek równy 4 ma wielokrotność 2 i pierwiastek równy -2.

Rozwiązanie.

f(x)/((x – 4) 2 (x + 2)) = q(x) lub f(x) = (x – 4) 2 (x + 2)q(x).

Mnożąc pierwsze dwa nawiasy i sprowadzając podobne wyrazy, otrzymujemy: f(x) = (x 3 – 6x 2 + 32)q(x).

x 3 – 6x 2 + 32 jest wielomianem trzeciego stopnia, zatem q(x) jest pewną liczbą z R(tj. prawdziwy). Niech q(x) będzie jednością, wtedy f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.

Odpowiedź: f(x) = x 3 – 6x 2 + 32.

Nadal masz pytania? Nie wiesz jak rozwiązywać równania?
Aby uzyskać pomoc od nauczyciela -.
Pierwsza lekcja jest bezpłatna!

blog.site, przy kopiowaniu materiału w całości lub w części wymagany jest link do oryginalnego źródła.

Studiując dodatkową literaturę na temat rozwiązywania układów równań, natknąłem się na nowy typ układu - symetryczny. I postawiłem sobie cel:

Podsumuj informacje naukowe na temat „Układy równań”.

Zrozumieć i nauczyć się rozwiązywać poprzez wprowadzenie nowych zmiennych;

3) Rozważ podstawowe teorie związane z symetrycznymi układami równań

4) Nauczyć się rozwiązywać symetryczne układy równań.

Historia rozwiązywania układów równań.

Eliminacja niewiadomych z równań liniowych jest stosowana od dawna. W XVII-XVIII w. V. techniki wykluczania opracowali Fermat, Newton, Leibniz, Euler, Bezout, Lagrange.

We współczesnym zapisie układ dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi ma postać: a1x + b1y = c1, a2x + b2x = c2 x = c1b1 – c2b; y = a1c2 – a2c1 Rozwiązania tego układu wyraża się wzorami.

a1b2 – a2b1 a1b2 – a2b1

Dzięki metodzie współrzędnych stworzonej w XVII wieku. Fermata i Kartezjusza stało się możliwe graficzne rozwiązywanie układów równań.

W starożytnych tekstach babilońskich napisanych w III-II tysiącleciu p.n.e. mi. , zawiera wiele problemów, które można rozwiązać budując układy równań, do których wprowadza się także równania drugiego stopnia.

Przykład 1:

Dodałem pola moich dwóch kwadratów: 25. Bok drugiego kwadratu jest równy bokowi pierwszego i kolejnych 5. Odpowiedni układ równań w odpowiednim zapisie wygląda następująco: x2 + y2 = 25, y = x = 5

Diofantos, który nie miał zapisów wielu niewiadomych, zadał sobie wiele trudu, aby wybrać niewiadomą w taki sposób, aby sprowadzić rozwiązanie układu do rozwiązania pojedynczego równania.

Przykład nr 2:

„Znajdź dwie liczby naturalne, wiedząc, że ich suma wynosi 20, a suma ich kwadratów wynosi 208”.

Problem został również rozwiązany poprzez sporządzenie układu równań x + y = 20, ale rozwiązany x2 + y2 = 208

Diofantosa, wybierając połowę różnicy wymaganych liczb jako niewiadomą, tj.

(x – y) = z, + (x + y) = 10

2z2 + 200 = 208 z = + 2z = -2- nie spełnia warunków zadania, zatem jeśli z = 2x = 12 i y = 8

Pojęcia układu równań algebraicznych.

W wielu zadaniach konieczne jest znalezienie kilku niewiadomych, wiedząc, że inne wielkości utworzone za ich pomocą (funkcje niewiadomych) są sobie równe lub pewnym danym wielkościom. Spójrzmy na prosty przykład.

Prostokątna działka o powierzchni 2400 m2 jest ogrodzona płotem o długości 200 m. znajdź długość i szerokość działki. W rzeczywistości „model algebraiczny” tego problemu jest układem dwóch równań i jednej nierówności.

Należy zawsze pamiętać o ewentualnych nierównościach. Kiedy rozwiązujesz problemy polegające na układaniu układów równań. Ale najważniejsze jest rozwiązanie samych równań. Opowiem o stosowanych metodach.

Zacznijmy od definicji.

Układ równań to zbiór kilku (więcej niż jednego) równań połączonych nawiasem klamrowym.

Nawias klamrowy oznacza, że ​​wszystkie równania układu muszą być wykonane jednocześnie i pokazuje, że należy znaleźć parę liczb (x; y), która zamieni każde równanie w prawdziwą równość.

Rozwiązaniem układu jest para liczb x i y, które po podstawieniu do tego układu przekształcają każde z jego równań na poprawną równość liczbową.

Rozwiązanie układu równań oznacza znalezienie wszystkich jego rozwiązań lub stwierdzenie, że ich nie ma.

Metoda substytucyjna.

Metoda podstawienia polega na tym, że w jednym z równań jedna zmienna jest wyrażona w kategoriach drugiej. Powstałe wyrażenie jest podstawione przez inne równanie, które następnie staje się równaniem z jedną zmienną i następnie rozwiązywane. Otrzymane wartości tej zmiennej podstawiamy do dowolnego równania układu pierwotnego i znajdujemy drugą zmienną.

Algorytm.

1. Wyraź y w postaci x z jednego równania układu.

2. Zastąp powstałe wyrażenie zamiast y do innego równania układu.

3. Rozwiąż powstałe równanie dla x.

4. Podstaw kolejno każdy z pierwiastków równania znalezionego w kroku trzecim zamiast x do wyrażeń od y do x uzyskanych w kroku pierwszym.

5) Zapisz odpowiedź w postaci par wartości (x; y).

Przykład nr 1 y = x – 1,

Podstawmy y = x - 1 do drugiego równania, otrzymamy 5x + 2 (x - 1) = 16, skąd x = 2. Podstawmy otrzymane wyrażenie do pierwszego równania: y = 2 - 1 = 1.

Odpowiedź: (2; 1).

Przykład nr 2:

8 lat – x = 4, 1) 2 (8 lat – 4) – 21 lat = 2

2х – 21у = 2 16у - 8 - 21у = 2

5y = 10 x = 8y – 4, y = -2

2х – 21у = 2

2) x = 8 * (-2) – 4 x = 8y – 4, x = -20

2 (8y – 4) – 21y = 2 x = 8y – 4, y = -2 x = -20, y = -2

Odpowiedź: (-20; -2).

Przykład nr 3: x2 + y +8 = xy, 1) x2 + 2x + 8 = x * 2x y – 2x = 0 x2 + 2x + 8 = 2x2

X2 + 2x + 8 = 0 x2 + y + 8 = xy, x2 – 2x – 8 = 0 – równanie kwadratowe y = 2x x1 = -2 x2 = 4 x2 + 2x + 8 = x * 2x 2) y1 = 2 * (-2) y = 2x y1 = -4 y2 = 2 * 4 x1= -2 y2 = 8 x2 = 4 y = 2x x1 = -2, x2 = 4 y1= -4, y2 = 8

Dlatego (-2; -4); (4; 8) – rozwiązania tego układu.

Metoda dodawania.

Metoda dodawania polega na tym, że jeśli dany układ składa się z równań, które po zsumowaniu tworzą równanie z jedną zmienną, to rozwiązując to równanie otrzymamy wartości jednej ze zmiennych. Wartość drugiej zmiennej znajdujemy analogicznie jak w metodzie podstawieniowej.

Algorytm rozwiązywania układów metodą dodawania.

1. Wyrównaj moduły współczynników dla jednej z niewiadomych.

2. Dodając lub odejmując powstałe równania, znajdź jedno nieznane.

3. Podstawiając znalezioną wartość do jednego z równań układu pierwotnego, znajdź drugą niewiadomą.

Przykład nr 1. Rozwiąż układ równań metodą dodawania: x + y = 20, x – y = 10

Odejmując drugie od pierwszego równania, otrzymujemy

Wyraźmy z drugiego wyrażenia x = 20 - y

Zastąp y = 5 w tym wyrażeniu: x = 20 – 5 x = 15.

Odpowiedź: (15; 5).

Przykład nr 2:

Przedstawmy równania proponowanego układu w postaci otrzymanej różnicy

7y = 21, skąd y = 3

Podstawmy tę wartość przez x = wyrażone z drugiego równania układu, otrzymamy x = 4.

Odpowiedź: (4; 3).

Przykład nr 3:

2x + 11 lat = 15,

10x – 11 lat = 9

Dodając te równania mamy:

2x + 10x = 15 + 9

12x = 24 x = 2, podstawiając tę ​​wartość do drugiego równania, otrzymujemy:

10 * 2 – 11y = 9, skąd y = 1.

Rozwiązaniem tego układu jest para: (2; 1).

Graficzna metoda rozwiązywania układów równań.

Algorytm.

1. Konstruuj wykresy każdego z równań układu.

2. Znajdź współrzędne punktu przecięcia skonstruowanych linii.

Przypadek wzajemnego ułożenia linii na płaszczyźnie.

1. Jeżeli proste przecinają się, czyli mają jeden punkt wspólny, to układ równań ma jedno rozwiązanie.

2. Jeżeli proste są równoległe, to znaczy nie mają punktów wspólnych, to układ równań nie ma rozwiązań.

3. Jeżeli proste się pokrywają, czyli mają wiele punktów, to układ równań ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Przykład 1:

Rozwiązać graficznie układ równań x – y = -1,

Wyraźmy y z pierwszego i drugiego równania: y = 1 + x, y = 4 – 2x x

Zbudujmy wykresy każdego z równań układu:

1) y = 1 + x – wykres funkcji jest linią prostą x 0 1 (1; 2) y 1 2

2) y = 4 – 2x – wykresem funkcji jest linia prosta x 0 1 y 4 2

Odpowiedź: (1; 2).

Przykład nr 2: y x ​​+ 2y = 6,

4y = 8 – 2x x y = , y = y = - wykres funkcji jest linią prostą x 0 2 y 3 2 y = - wykres funkcji jest linią prostą x 0 2 y 2 1

Odpowiedź: nie ma rozwiązań.

Przykład nr 3: y x ​​– 2y = 2,

3x – 6y = 6 x – 2y = 2, x – 2y = 2 x y = - wykresem funkcji jest linia prosta x 0 2 y -1 0

Odpowiedź: układ ma nieskończoną liczbę rozwiązań.

Metoda wprowadzania nowych zmiennych.

Metoda wprowadzania nowych zmiennych polega na tym, że nową zmienną wprowadza się tylko do jednego równania lub dwóch nowych zmiennych dla obu równań na raz, następnie równanie lub równania rozwiązuje się ze względu na nowe zmienne, po czym pozostaje rozwiązać prostszy układ równań, z których znajdujemy pożądane rozwiązanie.

Przykład 1:

X + y = 5

Oznaczmy = z, a następnie =.

Pierwsze równanie przyjmie postać z + = , jest równoważne 6z – 13 + 6 = 0. Po rozwiązaniu otrzymanego równania mamy z = ; z =. Następnie = lub = , innymi słowy, pierwsze równanie dzieli się na dwa równania, zatem mamy dwa układy:

X + y = 5 x + y = 5

Rozwiązania tych układów są rozwiązaniami danego układu.

Rozwiązaniem pierwszego układu jest para: (2; 3), a drugiego jest para (3; 2).

Dlatego rozwiązania układu + = , x + y = 5

Pary to (2; 3); (3; 2)

Przykład nr 2:

Niech = X, a = Y.

X = , 5 * - 2U = 1

5Х – 2У = 1 2,5 (8 – 3У) – 2У = 1

20 – 7,5U – 2U = 1

X = , -9,5U = -19

5 * - 2U = 1 U = 2

Dokonamy odwrotnej wymiany.

2 x = 1, y = 0,5

Odpowiedź: (1; 0,5).

Symetryczne układy równań.

Układ z n niewiadomymi nazywa się symetrycznym, jeśli nie zmienia się pod wpływem zmiany układu niewiadomych.

Symetryczny układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi x i y rozwiązuje się poprzez podstawienie u = x + y, v = xy. Należy zauważyć, że wyrażenia spotykane w układach symetrycznych są wyrażane w kategoriach u i v. Podajmy kilka takich przykładów, które są niewątpliwie interesujące przy rozwiązywaniu wielu układów symetrycznych: x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy = u2 - 2v, x3 + y3 = (x + y)(x2 - xy + y2) = u ( u2 - 2v – v) = u3 - 3uv, x4 + y4 = (x2 + y2)2 - 2x2y2 = (u2 - 2v)2 - 2v2 = u4 - 4u2v + 2v2, x2 + xy + y2 = u2 - 2v + v = u2 - v itd.

Symetryczny układ trzech równań z niewiadomymi x y, z rozwiązuje się przez podstawienie x + y + z = u, xy + yz + xz = w. Jeżeli zostaną znalezione u, v, w, to układane jest równanie sześcienne t2 – ut2 + vt – w = 0, którego pierwiastki t1, t2, t3 w różnych permutacjach są rozwiązaniami układu pierwotnego. Najpopularniejsze wyrażenia w takich układach wyrażane są w postaci u, v, w w następujący sposób: x2 + y2 + z2 = u2 - 2v x3 + y3 + z3 = u3 - 3uv + 3w

Przykład nr 1: x2 + xy + y2 = 13, x + y = 4

Niech x + y = u, xy = v.

u2 – v = 13, u = 4

16 – v = 13, u = 4 v = 3, u = 4

Dokonamy odwrotnej wymiany.

Odpowiedź: (1; 3); (3; 1).

Przykład nr 2: x3 + y3 = 28, x + y = 4

Niech x + y = u, xy = v.

u3 – 3uv = 28, u = 4

64 – 12 v = 28, u = 4

12v = -36 u = 4 v = 3, u = 4

Dokonamy odwrotnej wymiany.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Odpowiedź: (1; 3); (3; 1).

Przykład nr 3: x + y + xy = 7, x2 + y2 + xy = 13

Niech x = y = u, xy = v.

u + v = 7, u2 – v = 13 u2 – v = 13 u2 – 7 + u =13 u2 + u = 20 v = 7 – u, u (u + 1) =20 u2 – v =13 u = 4 v = 7 – u, u = 4 v = 3, u = 4

Dokonamy odwrotnej wymiany.

x + y = 4, xy = 3 x = 4 – y xy = 3 x = 4 – y,

(4 – y) y = 3 x = 4 – y, y1 = 3; y2 = 1 x1 = 1, x2 = 3, y1 = 3, y2 = 1

Odpowiedź: (1; 3); (3; 1).

Przykład nr 4: x + y = 5, x3 + y3 = 65

Niech x + y = u, xy = v.

u = 5, u3 – 3uv = 65 u3 – 3uv = 65 125 – 15v = 65

15v = -60 u = 5, v = 4 v = 4

Dokonamy odwrotnej wymiany.

x + y = 5, xy = 4 x = 5 – y, xy = 4 x = 5 – y, y (5 – y) = 4 x = 5 – y y1 = 1, y2 = 4 x1 = 4, x2 = 1, y1 = 1, y2 = 4

Odpowiedź: (4; 1); (14).

Przykład nr 5: x2 + xy + y2 = 49, x + y + xy = 23

Dokonajmy zamiany niewiadomych, układ przyjmie postać u2 + v = 49, u + v = 23

Dodając te równania, otrzymujemy u2 + u – 72 = 0 z pierwiastkami u1 = 8, u2 = -9. Odpowiednio v1 = 15, v2 = 32. Pozostaje rozwiązać zbiór układów x + y = 8, x + y = -9, xy = 15 xy = 32

Układ x + y = 8, ma rozwiązania x1 = 3, y1 = 5; x2=5, y2=3.

Układ x + y = -9 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Odpowiedź: (3; 5), (5; 3).

Przykład nr 6. Rozwiązać układ równań.

2x2 – 3xy + 2y2 = 16, x + xy + y + 3 = 0

Korzystając z głównych wielomianów symetrycznych u = y + x i v = xy, otrzymujemy następujący układ równań

2u2 – 7v = 16, u + v = -3

Podstawiając wyrażenie v = -3 – u z drugiego równania układu do pierwszego równania, otrzymujemy równanie 2u2 + 7u + 5 = 0, którego pierwiastki wynoszą u1 = -1 i u2 = -2,5; i odpowiednio wartości v1 = -2 i v2 = -0,5 uzyskuje się z v = -3 – u.

Pozostaje teraz rozwiązać następujący zbiór układów x + y = -1, oraz x + y = -2,5, xy = -2 xy = -0,5

Rozwiązania tego zbioru układów, a co za tym idzie układu pierwotnego (ze względu na ich równoważność), są następujące: (1; -2), (-2; 1), (;).

Przykład nr 7:

3x2y – 2xy + 3xy2 = 78,

2x – 3xy + 2y + 8 = 0

Korzystając z podstawowych wielomianów symetrycznych, układ można zapisać w następującej postaci

3uv – 2v=78,

Wyrażając u = z drugiego równania i podstawiając je do pierwszego równania, otrzymujemy 9v2 – 28v – 156 = 0. Pierwiastki tego równania v1 = 6 i v2 = - pozwalają nam znaleźć odpowiednie wartości u1 = 5, u2 = - z wyrażenia u =.

Rozwiążmy teraz następujący zbiór układów x + y = 5, oraz x + y = -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y, oraz y = -x -, xy = 6 xy = -.

x = 5 – y i y = -x -, y (5 – y) = 6 x (-x -) = -.

x = 5 – y, i y = -x - , y1= 3, y2 =2 x1 = , x2 = - x1 = 2, x2 = 3 i x1 = , x2 = - y1= 3, y2 =2 y1 = -, y2 =

Odpowiedź: (2; 3), (3; 2), (; -), (-;).

Wniosek.

W trakcie pisania artykułu zapoznałem się z różnymi typami układów równań algebraicznych. Podsumowanie informacji naukowych na temat „Układy równań”.

Rozpracowałem to i nauczyłem się rozwiązywać, wprowadzając nowe zmienne;

Dokonano przeglądu podstawowych teorii związanych z symetrycznymi układami równań

Nauczył się rozwiązywać symetryczne układy równań.