A derivada do logaritmo natural de x é igual a um dividido por x:
(1) (ln x)′ =.

A derivada do logaritmo na base a é igual a um dividido pela variável x multiplicado pelo logaritmo natural de a:
(2) (log a x)′ =.

Prova

Seja algum número positivo diferente de um. Considere uma função que depende de uma variável x, que é um logaritmo da base:
.
Esta função é definida em . Vamos encontrar sua derivada em relação à variável x. Por definição, a derivada é o seguinte limite:
(3) .

Vamos transformar esta expressão para reduzi-la a propriedades e regras matemáticas conhecidas. Para fazer isso, precisamos saber os seguintes fatos:
A) Propriedades do logaritmo. Precisaremos das seguintes fórmulas:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuidade do logaritmo e propriedade dos limites para uma função contínua:
(7) .
Aqui está uma função que tem um limite e este limite é positivo.
EM) O significado do segundo limite notável:
(8) .

Vamos aplicar esses fatos ao nosso limite. Primeiro transformamos a expressão algébrica
.
Para fazer isso, aplicamos as propriedades (4) e (5).

.

Vamos usar a propriedade (7) e o segundo limite notável (8):
.

E finalmente, aplicamos a propriedade (6):
.
Logaritmo para base e chamado Logaritmo natural. É designado da seguinte forma:
.
Então ;
.

Assim, obtivemos a fórmula (2) para a derivada do logaritmo.

Derivada do logaritmo natural

Mais uma vez escrevemos a fórmula da derivada do logaritmo na base a:
.
Esta fórmula tem a forma mais simples para o logaritmo natural, para a qual , . Então
(1) .

Devido a esta simplicidade, o logaritmo natural é amplamente utilizado na análise matemática e em outros ramos da matemática relacionados ao cálculo diferencial. Funções logarítmicas com outras bases podem ser expressas em termos do logaritmo natural usando a propriedade (6):
.

A derivada do logaritmo em relação à base pode ser encontrada na fórmula (1), se retirarmos a constante do sinal de diferenciação:
.

Outras maneiras de provar a derivada de um logaritmo

Aqui assumimos que conhecemos a fórmula da derivada da exponencial:
(9) .
Então podemos derivar a fórmula da derivada do logaritmo natural, dado que o logaritmo é a função inversa da exponencial.

Vamos provar a fórmula da derivada do logaritmo natural, aplicando a fórmula para a derivada da função inversa:
.
No nosso caso . A função inversa do logaritmo natural é a exponencial:
.
Sua derivada é determinada pela fórmula (9). As variáveis ​​podem ser designadas por qualquer letra. Na fórmula (9), substitua a variável x por y:
.
Desde então
.
Então
.
A fórmula está comprovada.

Agora provamos a fórmula da derivada do logaritmo natural usando regras para diferenciar funções complexas. Como as funções e são inversas entre si, então
.
Vamos diferenciar esta equação em relação à variável x:
(10) .
A derivada de x é igual a um:
.
Aplicamos a regra de diferenciação de funções complexas:
.
Aqui . Vamos substituir em (10):
.
Daqui
.

Exemplo

Encontre derivadas de Em 2x, Em 3x E lnnx.

Solução

As funções originais têm forma semelhante. Portanto, encontraremos a derivada da função y = lognx. Então substituímos n = 2 e n = 3. E, assim, obtemos fórmulas para as derivadas de Em 2x E Em 3x .

Então, estamos procurando a derivada da função
y = lognx .
Vamos imaginar esta função como uma função complexa que consiste em duas funções:
1) Funções dependendo de uma variável: ;
2) Funções dependentes de uma variável: .
Então a função original é composta pelas funções e:
.

Vamos encontrar a derivada da função em relação à variável x:
.
Vamos encontrar a derivada da função em relação à variável:
.
Aplicamos a fórmula da derivada de uma função complexa.
.
Aqui nós configuramos.

Então encontramos:
(11) .
Vemos que a derivada não depende de n. Este resultado é bastante natural se transformarmos a função original usando a fórmula do logaritmo do produto:
.
- esta é uma constante. Sua derivada é zero. Então, de acordo com a regra de diferenciação da soma, temos:
.

Responder

; ; .

Derivada do logaritmo do módulo x

Vamos encontrar a derivada de outra função muito importante - o logaritmo natural do módulo x:
(12) .

Vamos considerar o caso. Então a função fica assim:
.
Sua derivada é determinada pela fórmula (1):
.

Agora vamos considerar o caso. Então a função fica assim:
,
Onde .
Mas também determinámos a derivada desta função no exemplo acima. Não depende de n e é igual a
.
Então
.

Combinamos esses dois casos em uma fórmula:
.

Assim, para o logaritmo basear a, temos:
.

Derivadas de ordens superiores do logaritmo natural

Considere a função
.
Encontramos sua derivada de primeira ordem:
(13) .

Vamos encontrar a derivada de segunda ordem:
.
Vamos encontrar a derivada de terceira ordem:
.
Vamos encontrar a derivada de quarta ordem:
.

Você pode notar que a derivada de enésima ordem tem a forma:
(14) .
Vamos provar isso por indução matemática.

Prova

Vamos substituir o valor n = 1 na fórmula (14):
.
Desde , então quando n = 1 , a fórmula (14) é válida.

Suponhamos que a fórmula (14) seja satisfeita para n = k. Vamos provar que isso implica que a fórmula é válida para n = k + 1 .

Na verdade, para n = k temos:
.
Diferencie em relação à variável x:

.
Então nós temos:
.
Esta fórmula coincide com a fórmula (14) para n = k + 1 . Assim, partindo do pressuposto de que a fórmula (14) é válida para n = k, segue-se que a fórmula (14) é válida para n = k + 1 .

Portanto, a fórmula (14), para a derivada de enésima ordem, é válida para qualquer n.

Derivadas de ordens superiores do logaritmo para basear um

Para encontrar a derivada de enésima ordem de um logaritmo na base a, você precisa expressá-la em termos do logaritmo natural:
.
Aplicando a fórmula (14), encontramos a enésima derivada:
.

Derivados complexos. Derivada logarítmica.
Derivada de uma função exponencial de potência

Continuamos aprimorando nossa técnica de diferenciação. Nesta lição, consolidaremos o material que abordamos, veremos derivadas mais complexas e também nos familiarizaremos com novas técnicas e truques para encontrar uma derivada, em particular, com a derivada logarítmica.

Os leitores com baixo nível de preparação devem consultar o artigo Como encontrar a derivada? Exemplos de soluções, o que permitirá que você melhore suas habilidades quase do zero. Em seguida, você precisa estudar cuidadosamente a página Derivada de uma função complexa, entender e resolver Todos os exemplos que dei. Esta lição é logicamente a terceira e, depois de dominá-la, você diferenciará com segurança funções bastante complexas. É indesejável assumir a posição de “Onde mais? Já chega!”, já que todos os exemplos e soluções são retirados de testes reais e são frequentemente encontrados na prática.

Vamos começar com a repetição. Na lição Derivada de uma função complexa Vimos vários exemplos com comentários detalhados. Ao estudar cálculo diferencial e outros ramos da análise matemática, você terá que diferenciar com muita frequência, e nem sempre é conveniente (e nem sempre necessário) descrever exemplos detalhadamente. Portanto, praticaremos encontrar derivadas oralmente. Os “candidatos” mais adequados para isso são derivadas das funções mais simples e complexas, por exemplo:

De acordo com a regra de diferenciação de funções complexas :

Ao estudar outros tópicos de matan no futuro, na maioria das vezes não é necessário um registro tão detalhado; presume-se que o aluno saiba como encontrar tais derivadas no piloto automático; Imaginemos que às 3 horas da manhã o telefone tocou e uma voz simpática perguntou: “Qual é a derivada da tangente de dois X?” Isto deve ser seguido por uma resposta quase instantânea e educada: .

O primeiro exemplo será imediatamente destinado a uma solução independente.

Exemplo 1

Encontre as seguintes derivadas oralmente, em uma ação, por exemplo: . Para completar a tarefa você só precisa usar tabela de derivadas de funções elementares(se você ainda não se lembrou). Se você tiver alguma dificuldade, recomendo reler a lição Derivada de uma função complexa.

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Respostas no final da lição

Derivados complexos

Após a preparação preliminar da artilharia, os exemplos com agrupamentos de funções 3-4-5 serão menos assustadores. Os dois exemplos a seguir podem parecer complicados para alguns, mas se você os compreender (alguém sofrerá), quase todo o resto do cálculo diferencial parecerá uma piada de criança.

Exemplo 2

Encontre a derivada de uma função

Como já foi observado, ao encontrar a derivada de uma função complexa, antes de tudo, é necessário Certo ENTENDA seus investimentos. Nos casos em que haja dúvidas, relembro uma técnica útil: pegamos o valor experimental de “x”, por exemplo, e tentamos (mentalmente ou em rascunho) substituir esse valor na “expressão terrível”.

1) Primeiro precisamos calcular a expressão, o que significa que a soma é a incorporação mais profunda.

2) Então você precisa calcular o logaritmo:

4) Em seguida, eleve o cosseno ao cubo:

5) Na quinta etapa a diferença é:

6) E finalmente, a função mais externa é a raiz quadrada:

Fórmula para diferenciar uma função complexa são aplicados na ordem inversa, da função mais externa para a mais interna. Nós decidimos:

Parece que não há erros...

(1) Calcule a derivada da raiz quadrada.

(2) Calculamos a derivada da diferença usando a regra

(3) A derivada de um triplo é zero. No segundo termo tomamos a derivada do grau (cubo).

(4) Calcule a derivada do cosseno.

(5) Pegue a derivada do logaritmo.

(6) E finalmente, tomamos a derivada da incorporação mais profunda.

Pode parecer muito difícil, mas este não é o exemplo mais brutal. Tomemos, por exemplo, a coleção de Kuznetsov e você apreciará toda a beleza e simplicidade da derivada analisada. Percebi que eles gostam de fazer algo parecido em uma prova para verificar se o aluno entende como encontrar a derivada de uma função complexa ou não.

O exemplo a seguir é para você resolver sozinho.

Exemplo 3

Encontre a derivada de uma função

Dica: Primeiro aplicamos as regras de linearidade e a regra de diferenciação de produto

Solução completa e resposta no final da lição.

É hora de passar para algo menor e mais agradável.
Não é incomum que um exemplo mostre o produto não de duas, mas de três funções. Como encontrar a derivada do produto de três fatores?

Exemplo 4

Encontre a derivada de uma função

Primeiro olhamos, é possível transformar o produto de três funções no produto de duas funções? Por exemplo, se tivéssemos dois polinômios no produto, poderíamos abrir os colchetes. Mas no exemplo em consideração, todas as funções são diferentes: grau, expoente e logaritmo.

Nesses casos é necessário sequencialmente aplicar a regra de diferenciação de produto duas vezes

O truque é que por “y” denotamos o produto de duas funções: , e por “ve” denotamos o logaritmo: . Por que isso pode ser feito? É realmente – isso não é produto de dois fatores e a regra não funciona?! Não há nada complicado:

Agora resta aplicar a regra uma segunda vez para colchetes:

Você também pode distorcer e colocar algo fora dos colchetes, mas neste caso é melhor deixar a resposta exatamente desta forma - será mais fácil verificar.

O exemplo considerado pode ser resolvido da segunda maneira:

Ambas as soluções são absolutamente equivalentes.

Exemplo 5

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo de solução independente na amostra que é resolvida usando o primeiro método;

Vejamos exemplos semelhantes com frações.

Exemplo 6

Encontre a derivada de uma função

Existem várias maneiras de acessar aqui:

Ou assim:

Mas a solução será escrita de forma mais compacta se usarmos primeiro a regra de diferenciação do quociente , tomando para todo o numerador:

Em princípio o exemplo está resolvido e se ficar como está não será um erro. Mas se tiver tempo, é sempre aconselhável verificar um rascunho para ver se a resposta pode ser simplificada. Vamos reduzir a expressão do numerador a um denominador comum e vamos nos livrar da fração de três andares:

A desvantagem das simplificações adicionais é que existe o risco de cometer um erro não ao encontrar a derivada, mas durante as transformações escolares banais. Por outro lado, os professores muitas vezes rejeitam a tarefa e pedem para “lembrar” a derivada.

Um exemplo mais simples para resolver sozinho:

Exemplo 7

Encontre a derivada de uma função

Continuamos a dominar os métodos para encontrar a derivada e agora consideraremos um caso típico em que um logaritmo “terrível” é proposto para diferenciação

Exemplo 8

Encontre a derivada de uma função

Aqui você pode percorrer um longo caminho, usando a regra para diferenciar uma função complexa:

Mas o primeiro passo imediatamente o mergulha no desânimo - você tem que tirar a derivada desagradável de uma potência fracionária e depois também de uma fração.

É por isso antes como obter a derivada de um logaritmo “sofisticado”, primeiro é simplificado usando propriedades escolares bem conhecidas:

! Se você tiver um caderno de exercícios em mãos, copie essas fórmulas diretamente para lá. Se você não tiver um caderno, copie-os em um pedaço de papel, pois os demais exemplos da lição girarão em torno dessas fórmulas.

A solução em si pode ser escrita mais ou menos assim:

Vamos transformar a função:

Encontrando a derivada:

A pré-conversão da função em si simplificou bastante a solução. Assim, quando um logaritmo semelhante é proposto para diferenciação, é sempre aconselhável “decompô-lo”.

E agora alguns exemplos simples para você resolver sozinho:

Exemplo 9

Encontre a derivada de uma função

Exemplo 10

Encontre a derivada de uma função

Todas as transformações e respostas estão no final da lição.

Derivada logarítmica

Se a derivada dos logaritmos é uma música tão doce, então surge a pergunta: é possível, em alguns casos, organizar o logaritmo artificialmente? Pode! E até necessário.

Exemplo 11

Encontre a derivada de uma função

Recentemente, vimos exemplos semelhantes. O que fazer? Você pode aplicar sequencialmente a regra de diferenciação do quociente e depois a regra de diferenciação do produto. A desvantagem desse método é que você acaba com uma enorme fração de três andares, com a qual você não quer lidar de jeito nenhum.

Mas na teoria e na prática existe uma coisa tão maravilhosa como a derivada logarítmica. Os logaritmos podem ser organizados artificialmente “pendurando-os” em ambos os lados:

Observação : porque uma função pode assumir valores negativos, então, de modo geral, você precisa usar módulos: , que desaparecerá como resultado da diferenciação. No entanto, o design atual também é aceitável, onde por padrão é levado em conta complexo significados. Mas se com todo o rigor, então em ambos os casos deve ser feita uma reserva de que.

Agora você precisa “desintegrar” o logaritmo do lado direito tanto quanto possível (fórmulas diante de seus olhos?). Descreverei esse processo em detalhes:

Vamos começar com a diferenciação.
Concluímos ambas as partes sob o primo:

A derivada do lado direito é bastante simples; não vou comentar sobre ela, porque se você está lendo este texto, deverá ser capaz de lidar com ela com segurança.

E o lado esquerdo?

No lado esquerdo temos função complexa. Prevejo a pergunta: “Por que existe uma letra “Y” abaixo do logaritmo?”

O facto é que este “jogo de uma letra” - É UMA FUNÇÃO(se não estiver muito claro, consulte o artigo Derivada de uma função especificada implicitamente). Portanto, o logaritmo é uma função externa e o “y” é uma função interna. E usamos a regra para derivar uma função complexa :

No lado esquerdo, como num passe de mágica, temos uma derivada. A seguir, de acordo com a regra da proporção, transferimos o “y” do denominador do lado esquerdo para o topo do lado direito:

E agora vamos lembrar de que tipo de função de “jogador” falamos durante a diferenciação? Vejamos a condição:

Resposta final:

Exemplo 12

Encontre a derivada de uma função

Este é um exemplo para você resolver sozinho. Um exemplo de design deste tipo está no final da lição.

Usando a derivada logarítmica foi possível resolver qualquer um dos exemplos nº 4-7, outra coisa é que as funções ali são mais simples e, talvez, o uso da derivada logarítmica não seja muito justificado.

Derivada de uma função exponencial de potência

Ainda não consideramos esta função. Uma função exponencial de potência é uma função para a qual tanto o grau quanto a base dependem de “x”. Um exemplo clássico que será dado a você em qualquer livro ou palestra:

Como encontrar a derivada de uma função exponencial de potência?

É necessário usar a técnica que acabamos de discutir - a derivada logarítmica. Penduramos logaritmos em ambos os lados:

Via de regra, no lado direito o grau é retirado do logaritmo:

Como resultado, do lado direito temos o produto de duas funções, que serão diferenciadas conforme a fórmula padrão .

Encontramos a derivada; para fazer isso, colocamos ambas as partes sob traços:

Outras ações são simples:

Finalmente:

Se alguma conversão não estiver totalmente clara, releia as explicações do Exemplo No. 11 com atenção.

Em tarefas práticas, a função exponencial de potência será sempre mais complicada do que o exemplo de aula considerado.

Exemplo 13

Encontre a derivada de uma função

Usamos a derivada logarítmica.

No lado direito temos uma constante e o produto de dois fatores - “x” e “logaritmo do logaritmo x” (outro logaritmo está aninhado abaixo do logaritmo). Ao diferenciar, como lembramos, é melhor mover imediatamente a constante para fora do sinal da derivada para que ela não atrapalhe; e, claro, aplicamos a regra familiar :

Ao diferenciar funções de potência exponencial ou expressões fracionárias complicadas, é conveniente usar a derivada logarítmica. Neste artigo veremos exemplos de sua aplicação com soluções detalhadas.

A apresentação posterior pressupõe a capacidade de utilização da tabela de derivadas, regras de diferenciação e conhecimento da fórmula da derivada de uma função complexa.

Derivação da fórmula da derivada logarítmica.

Primeiro, levamos os logaritmos para a base e, simplificamos a forma da função usando as propriedades do logaritmo e, em seguida, encontramos a derivada da função especificada implicitamente:

Por exemplo, vamos encontrar a derivada de uma função de potência exponencial x elevada à potência x.

Tomar logaritmos dá. De acordo com as propriedades do logaritmo. Diferenciar ambos os lados da igualdade leva ao resultado:

Responder: .

O mesmo exemplo pode ser resolvido sem usar a derivada logarítmica. Você pode realizar algumas transformações e passar da diferenciação de uma função de potência exponencial para encontrar a derivada de uma função complexa:

Exemplo.

Encontre a derivada de uma função .

Solução.

Neste exemplo a função é uma fração e sua derivada pode ser encontrada usando as regras de diferenciação. Mas devido à complexidade da expressão, isso exigirá muitas transformações. Nesses casos, é mais razoável usar a fórmula da derivada logarítmica . Por que? Você vai entender agora.

Vamos encontrá-lo primeiro. Nas transformações usaremos as propriedades do logaritmo (o logaritmo de uma fração é igual à diferença dos logaritmos, e o logaritmo de um produto é igual à soma dos logaritmos, e o grau da expressão sob o sinal do logaritmo pode ser retirado como um coeficiente na frente do logaritmo):

Essas transformações nos levaram a uma expressão bastante simples, cuja derivada é fácil de encontrar:

Substituímos o resultado obtido na fórmula da derivada logarítmica e obtemos a resposta:

Para consolidar o material, daremos mais alguns exemplos sem explicações detalhadas.

Exemplo.

Encontre a derivada de uma função de potência exponencial

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Você acha que ainda falta muito tempo para o exame? Isso é um mês? Dois? Ano? A prática mostra que um aluno lida melhor com um exame se começar a se preparar para ele com antecedência. Existem muitas tarefas difíceis no Exame Estadual Unificado que impedem os alunos e futuros candidatos às pontuações mais altas. Você precisa aprender a superar esses obstáculos e, além disso, não é difícil de fazer. Você precisa entender o princípio de trabalhar com diversas tarefas a partir de tickets. Então não haverá problemas com os novos.

Os logaritmos à primeira vista parecem incrivelmente complexos, mas com uma análise detalhada a situação torna-se muito mais simples. Se você deseja passar no Exame Estadual Unificado com a nota máxima, deve entender o conceito em questão, que é o que nos propomos fazer neste artigo.

Primeiro, vamos separar essas definições. O que é um logaritmo (log)? Este é um indicador da potência à qual a base deve ser elevada para obter o número especificado. Se não estiver claro, vejamos um exemplo elementar.

Neste caso, a base inferior deve ser elevada à segunda potência para obter o número 4.

Agora vamos examinar o segundo conceito. A derivada de uma função em qualquer forma é um conceito que caracteriza a mudança de uma função em um determinado ponto. Porém, este é um currículo escolar, e se você tiver problemas com esses conceitos individualmente, vale repetir o tema.

Derivada do logaritmo

Nas tarefas do Exame de Estado Unificado sobre este tópico, você pode citar várias tarefas como exemplo. Para começar, a derivada logarítmica mais simples. É necessário encontrar a derivada da seguinte função.

Precisamos encontrar a próxima derivada

Existe uma fórmula especial.

Neste caso x=u, log3x=v. Substituímos os valores da nossa função na fórmula.

A derivada de x será igual a um. O logaritmo é um pouco mais difícil. Mas você entenderá o princípio se simplesmente substituir os valores. Lembre-se de que a derivada de lg x é a derivada do logaritmo decimal, e a derivada de ln x é a derivada do logaritmo natural (com base em e).

Agora basta inserir os valores resultantes na fórmula. Experimente você mesmo e verificaremos a resposta.

Qual poderia ser o problema aqui para alguns? Introduzimos o conceito de logaritmo natural. Vamos conversar sobre isso e ao mesmo tempo descobrir como resolver problemas com isso. Você não verá nada complicado, principalmente quando entender o princípio de seu funcionamento. Você deve se acostumar com isso, pois é muito usado em matemática (ainda mais em instituições de ensino superior).

Derivada do logaritmo natural

Em sua essência, é a derivada do logaritmo na base e (que é um número irracional de aproximadamente 2,7). Na verdade, ln é muito simples, por isso é frequentemente usado em matemática em geral. Na verdade, resolver o problema também não será um problema. Vale lembrar que a derivada do logaritmo natural na base e será igual a um dividido por x. A solução para o exemplo a seguir será a mais reveladora.

Vamos imaginá-la como uma função complexa composta por duas funções simples.

É o suficiente para converter

Estamos procurando a derivada de u em relação a x