Função de potência, suas propriedades e gráfico Material de demonstração Aula-aula Conceito de função. Propriedades da função

Na última lição, repetimos e generalizamos nossos conhecimentos sobre o tema “O conceito de expoente”.

Lembremos que se - pe dividido por ku é uma fração ordinária, e ku não é igual a um e a é maior ou igual a zero, então pela expressão a elevado à potência de pe dividido por ku queremos dizer a raiz de o grau ku de a elevado à potência de pe.

Por exemplo, o número um vírgula três elevado a três sétimos pode ser escrito como a raiz sétima de um vírgula três ao cubo.

Funções da forma, onde k é qualquer número real, são geralmente chamadas de funções de potência.

Hoje consideraremos o caso em que k é um expoente racional (fracionário).

No curso de álgebra do 7º ao 9º ano, você estudou as propriedades e gráficos de funções de potência com um expoente natural. Função (k-qualquer número real), função de potência.

Para k=n (n∈N), função -potência com expoente natural.

Vamos relembrar os gráficos de tais funções.

O gráfico da função ou y=x (y é igual a x elevado à primeira potência ou y é igual a x) é uma linha reta.

O gráfico da função (E é igual a x ao quadrado) é uma parábola.

O gráfico da função (E é igual a X ao cubo) é uma parábola cúbica.

O gráfico de uma função de potência (y é igual a x elevado à potência de ka) no caso de k par é semelhante a uma parábola. A figura mostra um gráfico de uma função de potência com k igual a seis.

O gráfico de uma função de potência (y é igual a x elevado à potência de ka) no caso de k ímpar é semelhante a uma parábola cúbica. A figura mostra um gráfico de uma função de potência com k igual a sete.

Se o expoente da função de potência tiver um número inteiro negativo, obteremos uma função da forma: y é igual a x elevado à potência menos en ou y é igual a um dividido por x elevado à enésima potência.

Se n for um número par, então o gráfico será semelhante ao mostrado na figura.

Onde é mostrada a função y=x-2 ou y=?

Se n for um número ímpar, o gráfico terá a seguinte aparência.

O desenho mostra a função y=x-3, ou y=

Se o expoente de uma função de potência for igual a zero, então a função terá a forma: O gráfico de tal função é uma linha reta que passa pela ordenada um e paralela ao eixo das abcissas.

Para k=-n (n∈Z), função -power com expoente inteiro negativo.

Considere uma função de potência (E é igual a x elevado à potência k), onde k é um número fracionário negativo ou positivo.

Como exemplo, vamos construir um gráfico de uma função de potência (E é igual a x elevado a dois vírgula três).

O domínio de sua definição (ou seja, todos os valores aceitos por x) é um raio com início no ponto zero.

Neste domínio de definição, construiremos gráficos de funções (y igual a x ao quadrado) - este é um ramo de uma parábola, destacado em verde claro, e (y igual a x ao cubo) - um ramo de uma parábola cúbica, destacado em verde escuro.

É fácil verificar que no intervalo (0;1) a parábola cúbica está localizada abaixo da parábola, e no raio aberto (1;+) - acima.

Observe que os gráficos das funções (y é igual a x ao quadrado), (y é igual a x elevado a dois vírgula três) e (y é igual a x ao cubo) passam pelos pontos (0;0) e (1;1).

Para outros valores do argumento x, o gráfico da função (y é igual a x elevado a dois vírgula três) está entre os gráficos das funções (y é igual a x ao quadrado) e (y é igual a x ao cubo).

A situação é semelhante com qualquer função de potência, onde é uma fração imprópria, ou seja, o numerador m é maior que o denominador n. O gráfico desta função é uma curva semelhante ao ramo de uma parábola.

Quanto maior o índice da função k, mais “íngreme” o ramo é direcionado.

A figura mostra o gráfico da função y igual a x elevado a sete segundos.

Assim, podemos distinguir as seguintes propriedades da função de potência igr é igual a x elevado à potência em dividido por en, onde o numerador m é maior que o denominador n.

1. O domínio de definição são os valores de x de zero a mais infinito.

4.Limitado por baixo pelo eixo x, não limitado por cima.

5.A função assume o menor valor zero; não importa mais.

8. Convexo para baixo.

Vamos construir um gráfico da função, onde é uma fração própria (o numerador é menor que o denominador) e 0< <1.

As propriedades discutidas anteriormente e o gráfico da função (y é igual à enésima raiz de x) ou (y é igual a x elevado a um dividido por n) também se aplicam à função, onde é uma fração própria e 0< <1.

Vamos lembrar estas propriedades:

1. O domínio de definição são todos os valores de x de zero a mais infinito.

2. A função não é par nem ímpar.

3. A função aumenta em todo o domínio de definição.

5. A função assume o menor valor zero; não importa mais.

6. A função é contínua em todo o domínio de definição.

7. O intervalo da função são os valores do jogo de zero a mais infinito.

8. Convexo para cima. função, onde é uma fração própria (o numerador é menor que o denominador) e 0<

2. Nem par nem ímpar.

3. Aumenta em.

4. Delimitado por baixo pelo eixo x, não limitado por cima.

5. ynaim=0; não importa mais.

6.Contínuo.

8. Convexo para cima.

Vamos considerar o seguinte tipo de função de potência - uma função da forma: y é igual a x elevado a potência menos em dividido por en.

Anteriormente, traçamos uma função de potência com um expoente inteiro negativo igual a x elevado a menos k, onde k é um número natural.

Se x for maior que zero, o gráfico desta função parece um ramo de uma hipérbole.

De maneira semelhante, é construído um gráfico de qualquer função de potência com um expoente racional negativo (fracionário).

Deve-se ter em mente que o gráfico de tal função possui duas assíntotas: uma horizontal - y é igual a zero e uma assíntota vertical - x é igual a zero.

Assim, a função de potência igr é igual a x elevado a potência menos em dividido por en tem as seguintes propriedades (e x é maior que zero, pois no caso de uma base negativa com expoente negativo, a potência da expressão não faz sentido):

1) O domínio de definição é um feixe aberto de zero ao infinito.

2) A função não é par nem ímpar.

3) A função diminui em todo o domínio de definição.

4) A parte inferior é limitada pelo eixo x, a parte superior não é limitada.

5) A função não possui valor mínimo ou máximo.

6) A função é contínua em todo o domínio de definição.

7) O contradomínio da função são os valores do jogo de zero a mais infinito.

8) Convexo para baixo.

Propriedades da função de potência (x 0):

2). Nem par nem ímpar.

3). Diminuindo.

4). A parte inferior é limitada pelo eixo x, a parte superior não é limitada.

5). Não tem o menor ou maior valor.

6). Contínuo para

8). Convexo para baixo.

Você já sabe que a derivada de uma função potência da forma yrek é igual a x elevado à potência de en, onde n é um número natural, igual a n vezes x elevado à potência de n menos um.

Da mesma forma, você pode calcular a derivada de uma função potência com um expoente racional.

Assim, o seguinte teorema é verdadeiro:

Se x for maior que zero e r for um número racional arbitrário, então a derivada da função de potência y é igual a x elevado à potência de r e é calculada pela fórmula: a derivada de x elevado à potência de r é igual para r vezes x elevado a r menos um.

Por exemplo, a derivada de a elevado a menos terceira potência é igual a menos três e elevado a menos quatro.

A derivada de x elevado a menos dois terços é igual a menos dois terços de x elevado a menos cinco terços.

Aqui menos um foi representado como uma fração imprópria de três terços, depois foram somadas as frações menos dois terços e menos três terços.

Teorema: se x>0, r-número racional, então

Não é difícil obter a fórmula correspondente para integrar uma função potência quando r não é igual a um. Portanto, a integral indefinida de x elevado à potência de r é igual a x elevado à potência de r mais um dividido por r mais um mais a constante ce.

Não é difícil entender que a função é igual a x elevado à potência de r mais um, dividido por r mais um é a antiderivada da função igual a x elevado à potência de r. Fórmula para integrar uma função de potência:

Uma função é antiderivada de uma função.

Consideremos a aplicação dos conhecimentos adquiridos na construção de um gráfico de uma função de potência.

Construa um gráfico da função y igual a x mais dois elevado a um meio.

1. Vamos construir um gráfico da função x elevado a um meio. Esta é uma função da forma onde é uma fração própria (o numerador é menor que o denominador) e 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. É óbvio que o gráfico da função y igual a x mais dois elevado a um meio é construído usando uma translação paralela em relação ao eixo x por duas unidades para a esquerda. Na figura, o gráfico está destacado em verde.

Faça um gráfico da função

1. - um caso especial para uma função da forma, onde - é uma fração própria (o numerador é menor que o denominador) e 0< <1.

2. O gráfico foi obtido por translação paralela ao longo do eixo X 2 unidades para a esquerda.

Plano de aula:

“Função potência, suas propriedades e gráfico”

Nome completo Stadnik Elena Ivanovna

Local de trabalho São Petersburgo, escola GBOU do distrito de Pushkinsky nº 606

estudo aprofundado de inglês.

Cargo professores de matemática

Item Matemáticos

Aula 10

Tópico e número no tópico“Função potência, suas propriedades e gráficos”

2 aulas sobre o tema (2 aulas no total)

Tutorial básico Sh.A. Alimov, Yu.M.

“Álgebra e início da análise 10-11”, livro didático para instituições educacionais Recomendado pelo Ministério da Educação da Federação Russa: 9ª edição Moscow Education 2007.

O objetivo da lição: Formação de competências na aplicação de conhecimentos sobre este tema na resolução de problemas algébricos padronizados e não padronizados. Formar a capacidade de integrar conhecimentos de vários tópicos em um curso de matemática

Tarefas:

Educacional: (formação de UUD cognitivo)

ser capaz de comparar números, resolver desigualdades usando gráficos e (ou) propriedades de funções de potência

Educacional: (formação de habilidades comunicativas e educacionais pessoais)

cultivar um interesse sustentável no assunto, formar a competência comunicativa dos alunos, cultivar responsabilidade e precisão

Tipo de aula: generalização e sistematização do conhecimento

Métodos: discussão, observação, comparação, experiência.

Equipamento: quadro, equipamento multimídia, lousa interativa, computador, apostilas didáticas, cartaz com gráficos do nº 126(2;3)

Durante as aulas:

1. Ponto organizacional:(2 min.) para repetir a teoria usando as notas de apoio.

2.Verificação dos trabalhos de casa em grupos.(10 minutos)

Nível obrigatório (1 grupo)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

Nº 119 (2,4,6) do local indicar D (f), E (f) na forma de intervalos numéricos e o número da figura de acordo com o contorno de apoio .(ver Apêndice 1)

Exemplo de resposta:

Nº 119(2): D(f )=(); E(f) =(),Fig.2

Nº 119 (4): D (f )=(),(0; ),

E (f) =(0;),Fig3

Nº 119(6):): D(f )= ; ); E(f) = ; ), fig5

Nº 124(2) do local

Exemplo de resposta:

De acordo com a Fig. 13 do livro didático, o gráfico

está acima do gráfico da função

.

Nº 128. No quadro, o aluno 1 anota as respostas às questões e constrói gráficos esquemáticos de funções.

Exemplos de respostas

2) ; D(f)= ; );

E(f) = ; );

4); D(f )=(-1; ); E (f) =(0; );

Nível avançado (grupo 2) Enquanto o professor do grupo 1 verifica o D/Z, os alunos do grupo 2 completam os cartões. E um aluno no quadro negro Nº 129(2,4) Exemplo de resposta:

D()=R ; E() = ; );

4) . D()=R ; E() = ; );

Opção de cartão 1.

Opção de cartão 2.

Número 1. Desenhe esquematicamente os gráficos das funções:

Número 2. Encontre as coordenadas dos pontos de intersecção dos gráficos de funções:

III . Atualizando conhecimentos básicos:(12 minutos)

1.Indique o domínio de definição e conjunto de valores da função:

,

2. Quão crescentes ou decrescentes são estas funções:

,

3. Função dada

Anote a conclusão em seu caderno

Para todas as funções

4. Nº 122 (oral). Usando as propriedades de uma função de potência, compare com a unidade:

Exemplo de resposta:

Nº 126(1) - no conselho (Nº 126(2,3) de forma independente conforme opções).

Exemplo de resposta:

Construa gráficos de funções em um sistema de coordenadas.

4 . Fazendo exercicios. ( 4 minutos)

Nº 125(1,3,5,7) sob ditado.

Compare o significado das expressões:

Exemplo de resposta: (vamos examinar as notas de apoio novamente)

3); porque e função;

5); porque ; e a função está diminuindo;

7); porque e a função está aumentando.

V . Trabalho de casa:(1 minuto.)

1 grupo - Nº 125 (par), 175 (2,6), 177 (1,3)

Grupo 2 - Nºs 184(2,4),177(2,4),182(2,3).

VI . Resumo da lição:(3 min.) Os alunos formulam as principais conclusões da aula:

Se o expoente não for um número inteiro, então o gráfico da função está localizado no primeiro trimestre.

Se o expoente for um número não inteiro positivo, a função é crescente.

Se o expoente for um número não inteiro negativo, a função será decrescente. (apresentação de slides)

VII . Teste (10 min.) (ver Apêndice 2) B1 e B2 em “4” e “5”, B3 e B4 – nível obrigatório (um ponto pela resposta correta).

VIII . Tarefas adicionais. ( 3 minutos.)

Resolva a equação: Var1.

Resposta: -1;6. Resposta: -4;4.

Tópico da lição: “Funções de potência, suas propriedades e gráficos”

Lições objetivas:

Educacional:

Criar condições para a formação de conhecimento sobre as propriedades e características dos gráficos de funções de potência y = x r para diversos valores de r.

Educacional:

Promover o desenvolvimento das competências de informação dos alunos: capacidade de trabalhar com texto de slides, capacidade de escrever um resumo de apoio.

Promover o desenvolvimento da atividade criativa e mental dos alunos.

Continue a desenvolver as habilidades para expressar de forma clara e clara seus pensamentos, analisar e tirar conclusões.

Educacional:

Continuar o desenvolvimento de uma cultura do discurso matemático.

Contribuir para a formação da competência comunicativa.

Tipo de aula: combinado

Formas de organização de atividades educativas: frontal, individual.

Métodos: explicativo-ilustrativo, parcialmente pesquisado.

Meios de educação:

computador, projetor de mídia;

quadro-negro;

apresentação de slides (PowerPoint), (Anexo 1);

livro didático “Álgebra e os primórdios da análise”, ed. AG Mordkovich;

pasta de trabalho, ferramentas de desenho;

resumo de apoio do tema (documento Word), (Anexo 3);

Como resultado do estudo do tema, os alunos devem

Saber: conceito de função de poder,

propriedades de uma função de potência dependendo do expoente.

Ser capaz de: nomear as propriedades de uma função de potência dependendo do expoente;

construir gráficos (esboços de gráficos) de funções de potência com racionais

indicador

realizar transformações gráficas simples;

ser capaz de escrever um resumo de apoio,

ser capaz de expressar de forma clara e clara seus pensamentos, analisar e tirar conclusões.

Durante as aulas: Continuamos trabalhando no desenvolvimento das habilidades de construção de gráficos de funções de potência. Várias dessas funções nos são familiares do curso de álgebra do 7º ao 9º ano, são funções com um expoente natural e funções de potência com um expoente inteiro negativo. Na última lição escrevemos com você a teoria das funções de potência com expoentes fracionários

y = x p, onde p é um determinado número real

As propriedades e o gráfico de uma função de potência dependem das propriedades da potência com um expoente real e, em particular, dos valores de x e p para os quais a potência x p faz sentido.

2.

Generalização de propriedades de funções de potência. Trabalhando com um esboço de apoio.

1.Trabalhe no quadro: construir gráficos de funções. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

7 pessoas trabalham no conselho, as que permanecem no local são unidas em grupos para posterior verificação

Listamos os imóveis de acordo com o plano.

Domínio.

Faixa de valores (conjunto de valores).

Função par e ímpar.

Aumentando, diminuindo.

Ao final do trabalho, verificação pelos alunos que permaneceram no local (slides com gráficos de funções são exibidos na tela).

2. “loteria matemática” Gráficos de funções prontos são exibidos na tela, conjuntos de fórmulas são escritos no quadro e relacionamentos precisam ser estabelecidos.

Verificação mútua:

Respostas corretas: Nº 1 578 643 192

3 Trabalho oral

1. Usando os gráficos dessas funções, encontre os intervalos em que o gráfico da função y = x π fica acima (abaixo) do gráfico da função y = x.

2. Usando os gráficos dessas funções, encontre os intervalos em que o gráfico da função y = x sen 45 fica acima (abaixo) do gráfico da função y = x.

3. Usando a figura, encontre os intervalos em que o gráfico da função y = x 1- π fica acima (abaixo) do gráfico da função y = x.

Convertendo gráficos

Em muitos casos, os gráficos de funções podem ser construídos por algumas transformações de gráficos de funções já conhecidos de uma forma mais simples. Vamos lembrar alguns deles.

Considere transformar verbalmente o gráfico de uma função de potência e, a seguir, construa dois gráficos.

Trabalho independente

Defina você mesmo uma função de potência, trace seu gráfico, descreva suas propriedades

4.3 FUNÇÃO DE POTÊNCIA, SUAS PROPRIEDADES E GRÁFICOS

Conteúdo do material educativo:

1. Função de potência, definição, notação.

2. Propriedades básicas da função potência.

3.Gráficos de funções de potência e suas características.

4. Cálculo dos valores da função com base no valor do argumento. Determinar a posição de um ponto em um gráfico por suas coordenadas e vice-versa.

5.Usando as propriedades das funções para comparar os valores dos graus.

Poder chamada de função da forma sim = x R , Ondex é a base do grau,

R– expoente As propriedades de uma função de potência são determinadas pelo seu expoente. Consideremos as propriedades básicas das funções de potência com vários expoentes e seus gráficos.

a) Propriedades da função sim = x R , R > 1

D(x) = )