Konuyla ilgili cebirde Birleşik Devlet Sınavına (GIA) (11. sınıf) hazırlanmak için "Logaritmanın karşılaştırılması" dersi materyalinin sunumu. Logaritmanın temel özellikleri Logaritmaları farklı taban örnekleriyle karşılaştırma

ana özellikler.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax – logay = loga (x: y).

aynı gerekçeler

Log6 4 + log6 9.

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım.

Logaritma çözme örnekleri

Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Elbette tüm bu kurallar, logaritmanın ODZ'sine uyulduğu takdirde anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x >

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Yeni bir temele geçiş

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Ayrıca bakınız:

Logaritmanın temel özellikleri

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'ye eşittir ve Leo Nikolaevich Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır.

Logaritmanın temel özellikleri

Bu kuralı bildiğinizde hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

Logaritma örnekleri

Logaritma ifadeleri

Örnek 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 özelliklerini kullanarak hesaplıyoruz

2.

3.

4. Nerede .

Örnek 2. Eğer x'i bulun

Örnek 3. Logaritmanın değeri verilsin

Log(x)'i hesaplayın, eğer

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.

Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir - onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: logax ve logay. Daha sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax – logay = loga (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulursa tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin. , yani Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz. En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz.

Logaritma formülleri. Logaritma örnek çözümleri.

Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Peki ya bunlar aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanının ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir: .

Aslında b sayısı, b sayısının bu kuvveti a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.

Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

log25 64 = log5 8 - basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli problemlerle karşı karşıya kalırlar ve şaşırtıcı bir şekilde “ileri düzey” öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. logaa = 1'dir. Bir kere şunu unutmayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
2. loga 1 = 0'dır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü a0 = 1 tanımın doğrudan sonucudur.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

Ayrıca bakınız:

b'nin a tabanına göre logaritması ifadeyi belirtir. Logaritmayı hesaplamak, eşitliğin sağlandığı x () kuvvetini bulmak anlamına gelir

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalarla ilgili hemen hemen tüm problemler ve örnekler temel alınarak çözüldüğü için yukarıdaki özellikleri bilmek gerekir. Egzotik özelliklerin geri kalanı bu formüllerle matematiksel manipülasyonlar yoluyla elde edilebilir.

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmaların toplamı ve farkı formülünü (3.4) hesaplarken oldukça sık karşılaşırsınız. Geri kalanı biraz karmaşıktır ancak bazı görevlerde karmaşık ifadeleri basitleştirmek ve değerlerini hesaplamak için vazgeçilmezdirler.

Yaygın logaritma durumları

Yaygın logaritmalardan bazıları, tabanın on, üstel veya iki olduğu logaritmalardır.
On tabanına göre logaritmaya genellikle ondalık logaritma denir ve basitçe lg(x) ile gösterilir.

Kayıtta esasların yazılmadığı kayıttan anlaşılıyor. Örneğin

Doğal logaritma, tabanı bir üs olan (ln(x) ile gösterilir) bir logaritmadır.

Üs 2,718281828…. Üssü hatırlamak için kuralı inceleyebilirsiniz: üs 2,7'ye eşittir ve Leo Nikolaevich Tolstoy'un doğum yılının iki katıdır. Bu kuralı bildiğinizde hem üssün tam değerini hem de Leo Tolstoy'un doğum tarihini bileceksiniz.

Ve iki tabanının bir diğer önemli logaritması şu şekilde gösterilir:

Bir fonksiyonun logaritmasının türevi, birin değişkene bölünmesine eşittir

İntegral veya ters türev logaritması ilişkiyle belirlenir.

Verilen materyal, logaritma ve logaritmalarla ilgili çok çeşitli problemleri çözmeniz için yeterlidir. Materyali anlamanıza yardımcı olmak için okul müfredatından ve üniversitelerden yalnızca birkaç yaygın örnek vereceğim.

Logaritma örnekleri

Logaritma ifadeleri

Örnek 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

3.5 özelliklerini kullanarak hesaplıyoruz

2.
Logaritma farkının özelliği ile elimizdeki

3.
Bulduğumuz özellikler 3.5'i kullanarak

4. Nerede .

Görünüşte karmaşık bir ifade, bir dizi kural kullanılarak basitleştirilerek oluşturulur

Logaritma değerlerini bulma

Örnek 2. Eğer x'i bulun

Çözüm. Hesaplama için son terim 5 ve 13'ün özelliklerine başvuruyoruz.

Bunu kayda geçirdik ve yas tuttuk

Tabanlar eşit olduğundan ifadeleri eşitliyoruz

Logaritmalar. İlk seviye.

Logaritmanın değeri verilsin

Log(x)'i hesaplayın, eğer

Çözüm: Değişkenin logaritmasını alarak terimlerinin toplamı üzerinden logaritmasını yazalım.

Bu, logaritmalar ve özellikleriyle tanışmamızın sadece başlangıcıdır. Hesaplamalar yapın, pratik becerilerinizi zenginleştirin; yakında logaritmik denklemleri çözmek için edindiğiniz bilgilere ihtiyacınız olacak. Bu tür denklemleri çözmenin temel yöntemlerini inceledikten sonra, bilginizi eşit derecede önemli başka bir konuya, logaritmik eşitsizliklere genişleteceğiz...

Logaritmanın temel özellikleri

Logaritmalar da diğer sayılar gibi her şekilde toplanabilir, çıkarılabilir ve dönüştürülebilir. Ancak logaritmalar tam olarak sıradan sayılar olmadığından burada kurallar vardır. ana özellikler.

Bu kuralları kesinlikle bilmeniz gerekir - onlar olmadan tek bir ciddi logaritmik problem çözülemez. Ayrıca bunlardan çok azı var - her şeyi bir günde öğrenebilirsiniz. Öyleyse başlayalım.

Logaritmaların toplanması ve çıkarılması

Aynı tabanlara sahip iki logaritmayı düşünün: logax ve logay. Daha sonra eklenebilir ve çıkarılabilirler ve:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax – logay = loga (x: y).

Yani logaritmaların toplamı çarpımın logaritmasına, fark ise bölümün logaritmasına eşittir. Lütfen dikkat: buradaki kilit nokta aynı gerekçeler. Sebepler farklıysa bu kurallar işe yaramaz!

Bu formüller, tek tek parçaları dikkate alınmasa bile logaritmik bir ifadeyi hesaplamanıza yardımcı olacaktır (“Logaritma nedir” dersine bakın). Örneklere bir göz atın ve şunu görün:

Görev. İfadenin değerini bulun: log6 4 + log6 9.

Logaritmaların tabanları aynı olduğundan toplam formülünü kullanırız:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Görev. İfadenin değerini bulun: log2 48 − log2 3.

Bazlar aynı, fark formülünü kullanıyoruz:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Görev. İfadenin değerini bulun: log3 135 − log3 5.

Tabanlar yine aynı olduğundan elimizde:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Gördüğünüz gibi orijinal ifadeler ayrı olarak hesaplanmayan “kötü” logaritmalardan oluşuyor. Ancak dönüşümlerden sonra tamamen normal sayılar elde edilir. Birçok test bu gerçeğe dayanmaktadır. Evet, Birleşik Devlet Sınavında test benzeri ifadeler tüm ciddiyetiyle (bazen neredeyse hiç değişiklik yapılmadan) sunulmaktadır.

Üslü logaritmadan çıkarma

Şimdi görevi biraz karmaşıklaştıralım. Ya bir logaritmanın tabanı veya argümanı bir kuvvet ise? Daha sonra bu derecenin üssü aşağıdaki kurallara göre logaritmanın işaretinden çıkarılabilir:

Son kuralın ilk ikisini takip ettiğini görmek kolaydır. Ancak yine de hatırlamak daha iyidir - bazı durumlarda hesaplama miktarını önemli ölçüde azaltacaktır.

Elbette, logaritmanın ODZ'sine uyulursa tüm bu kurallar anlamlıdır: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ve bir şey daha: tüm formülleri yalnızca soldan sağa değil, aynı zamanda tam tersi şekilde uygulamayı öğrenin. , yani Logaritma işaretinden önceki sayıları logaritmanın kendisine girebilirsiniz.

Logaritmalar nasıl çözülür?

En sık ihtiyaç duyulan şey budur.

Görev. İfadenin değerini bulun: log7 496.

İlk formülü kullanarak argümandaki dereceden kurtulalım:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Görev. İfadenin anlamını bulun:

Paydanın, tabanı ve argümanının tam kuvvetleri olan bir logaritma içerdiğine dikkat edin: 16 = 24; 49 = 72. Elimizde:

Son örneğin biraz açıklama gerektirdiğini düşünüyorum. Logaritmalar nereye gitti? Son ana kadar sadece paydayla çalışıyoruz. Orada duran logaritmanın temelini ve argümanını kuvvetler şeklinde sunduk ve üsleri çıkardık - “üç katlı” bir kesir elde ettik.

Şimdi ana kesirlere bakalım. Pay ve payda aynı sayıyı içerir: log2 7. log2 7 ≠ 0 olduğundan kesri azaltabiliriz - 2/4 paydada kalacaktır. Aritmetik kurallarına göre dörtlü paya aktarılabilir ki yapılan da budur. Sonuç şuydu: 2.

Yeni bir temele geçiş

Logaritma toplama ve çıkarma kurallarından bahsederken bunların sadece aynı tabanlarla çalıştığını özellikle vurguladım. Peki ya sebepler farklıysa? Peki ya bunlar aynı sayının tam kuvvetleri değilse?

Yeni bir vakfa geçiş formülleri kurtarmaya geliyor. Bunları bir teorem şeklinde formüle edelim:

Logaritmanın logax'ı verilsin. O halde c > 0 ve c ≠ 1 olacak şekilde herhangi bir c sayısı için eşitlik doğrudur:

Özellikle c = x değerini ayarlarsak şunu elde ederiz:

İkinci formülden, logaritmanın tabanının ve argümanının değiştirilebileceği anlaşılmaktadır, ancak bu durumda ifadenin tamamı "tersine çevrilmiştir", yani. logaritma paydada görünür.

Bu formüllere sıradan sayısal ifadelerde nadiren rastlanır. Ne kadar kullanışlı olduklarını ancak logaritmik denklem ve eşitsizlikleri çözerken değerlendirmek mümkündür.

Ancak yeni bir temele taşınmak dışında hiçbir şekilde çözülemeyen sorunlar var. Bunlardan birkaçına bakalım:

Görev. İfadenin değerini bulun: log5 16 log2 25.

Her iki logaritmanın argümanlarının tam güçler içerdiğini unutmayın. Göstergeleri çıkaralım: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Şimdi ikinci logaritmayı “tersine çevirelim”:

Faktörleri yeniden düzenlerken çarpım değişmediğinden, sakince dört ve ikiyi çarptık ve ardından logaritmalarla uğraştık.

Görev. İfadenin değerini bulun: log9 100 lg 3.

Birinci logaritmanın tabanı ve argümanı tam kuvvetlerdir. Bunu bir kenara yazalım ve göstergelerden kurtulalım:

Şimdi yeni bir tabana geçerek ondalık logaritmadan kurtulalım:

Temel logaritmik kimlik

Çoğu zaman çözüm sürecinde bir sayının belirli bir tabana göre logaritması olarak gösterilmesi gerekir. Bu durumda aşağıdaki formüller bize yardımcı olacaktır:

İlk durumda, n sayısı argümandaki üs haline gelir. N sayısı kesinlikle herhangi bir şey olabilir çünkü bu yalnızca bir logaritma değeridir.

İkinci formül aslında başka kelimelerle ifade edilmiş bir tanımdır. Buna şöyle denir: .

Aslında b sayısı, b sayısının bu kuvveti a sayısını verecek şekilde yükseltilirse ne olur? Doğru: sonuç aynı a sayısıdır. Bu paragrafı dikkatlice tekrar okuyun; birçok kişi buna takılıp kalıyor.

Yeni bir tabana geçiş formülleri gibi, temel logaritmik özdeşlik de bazen mümkün olan tek çözümdür.

Görev. İfadenin anlamını bulun:

log25 64 = log5 8 - basitçe tabandan ve logaritmanın argümanından kareyi aldığını unutmayın. Aynı tabanla kuvvetleri çarpma kurallarını hesaba katarsak şunu elde ederiz:

Bilmeyen varsa, bu Birleşik Devlet Sınavından gerçek bir görevdi :)

Logaritmik birim ve logaritmik sıfır

Sonuç olarak, özellik olarak adlandırılması pek mümkün olmayan iki kimlik vereceğim - bunlar daha ziyade logaritmanın tanımının sonuçlarıdır. Sürekli problemlerle karşı karşıya kalırlar ve şaşırtıcı bir şekilde “ileri düzey” öğrenciler için bile problem yaratırlar.

1. logaa = 1'dir. Bir kere şunu unutmayın: o tabanın herhangi bir a tabanının logaritması bire eşittir.
2. loga 1 = 0'dır. A tabanı herhangi bir şey olabilir, ancak argüman bir içeriyorsa logaritma sıfıra eşittir! Çünkü a0 = 1 tanımın doğrudan sonucudur.

Tüm özellikler bu kadar. Bunları uygulamaya koymayı unutmayın! Dersin başındaki kopya kağıdını indirin, yazdırın ve problemleri çözün.

İle başlayalım bir logaritmasının özellikleri. Formülasyonu şu şekildedir: Birliğin logaritması sıfıra eşittir, yani, 1=0'ı günlüğe kaydet herhangi bir a>0 için a≠1. Kanıt zor değildir: Yukarıdaki a>0 ve a≠1 koşullarını karşılayan herhangi bir a için a 0 = 1 olduğundan, kanıtlanacak log a 1=0 eşitliği logaritmanın tanımından hemen çıkar.

Dikkate alınan özelliğin uygulamasına örnekler verelim: log 3 1=0, log1=0 ve .

Bir sonraki özelliğe geçelim: tabanına eşit bir sayının logaritması bire eşittir, yani, log a=1 a>0 için a≠1. Aslında, herhangi bir a için a 1 =a olduğundan, logaritmanın tanımı gereği log a a=1 olur.

Logaritmaların bu özelliğini kullanma örnekleri log 5 5=1, log 5,6 5,6 ve lne=1 eşitlikleridir.

Örneğin, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ve .

İki pozitif sayının çarpımının logaritması x ve y bu sayıların logaritmasının çarpımına eşittir: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Bir çarpımın logaritmasının özelliğini kanıtlayalım. Derecenin özelliklerinden dolayı a log a x+log a y =a log a x ·a log a y ve ana logaritmik özdeşliğe göre a log a x =x ve a log a y =y olduğundan, a log a x ·a log a y =x·y. Böylece, logaritmanın tanımına göre eşitliğin kanıtlandığı log a x+log a y =x·y olur.

Bir çarpımın logaritması özelliğinin kullanımına ilişkin örnekler gösterelim: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ve .

Bir çarpımın logaritmasının özelliği, x 1 , x 2 , …, x n pozitif sayılarından oluşan sonlu bir n sayısının çarpımına şu şekilde genelleştirilebilir: log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Bu eşitlik sorunsuz bir şekilde kanıtlanabilir.

Örneğin, çarpımın doğal logaritması 4, e ve sayılarının üç doğal logaritmasının toplamı ile değiştirilebilir.

İki pozitif sayının bölümünün logaritması x ve y bu sayıların logaritmaları arasındaki farka eşittir. Bir bölümün logaritmasının özelliği, a>0, a≠1, x ve y'nin bazı pozitif sayılar olduğu formdaki bir formüle karşılık gelir. Bu formülün geçerliliği, bir çarpımın logaritması formülünün yanı sıra kanıtlanmıştır: çünkü , daha sonra logaritmanın tanımı gereği.

Logaritmanın bu özelliğini kullanmanın bir örneği: .

Konusuna geçelim kuvvetin logaritmasının özelliği. Bir derecenin logaritması, üssün çarpımına ve bu derecenin tabanının modülünün logaritmasına eşittir. Bir kuvvetin logaritmasının bu özelliğini formül olarak yazalım: log a b p =p·log a |b| burada a>0, a≠1, b ve p, b p derecesi anlamlı ve b p >0 olacak şekilde sayılardır.

Öncelikle bu özelliği pozitif b için kanıtlayalım. Temel logaritmik özdeşlik, b sayısını a log a b, ardından b p =(a log a b) p olarak temsil etmemize olanak tanır ve ortaya çıkan ifade, kuvvet özelliği nedeniyle a p·log a b'ye eşittir. Böylece b p =a p·log a b eşitliğine ulaşıyoruz ve bundan logaritmanın tanımına göre log a b p =p·log a b sonucunu çıkarıyoruz.

Geriye bu özelliği negatif b için kanıtlamak kalıyor. Burada negatif b için log a b p ifadesinin yalnızca çift p üsleri için anlamlı olduğunu görüyoruz (çünkü b p derecesinin değeri sıfırdan büyük olmalıdır, aksi takdirde logaritmanın bir anlamı olmayacaktır) ve bu durumda b p =|b| P. Daha sonra b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, buradan log a b p =p·log a |b| .

Örneğin, ve ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Önceki mülkten kaynaklanmaktadır kökten logaritmanın özelliği: n'inci kökün logaritması, 1/n kesrinin radikal ifadenin logaritması ile çarpımına eşittir, yani, , burada a>0, a≠1, n birden büyük bir doğal sayıdır, b>0.

Kanıt, herhangi bir pozitif b için geçerli olan eşitliğe (bkz.) ve kuvvetin logaritmasının özelliğine dayanmaktadır: .

Bu özelliği kullanmanın bir örneğini burada bulabilirsiniz: .

Şimdi kanıtlayalım yeni bir logaritma tabanına geçme formülü tip . Bunu yapmak için log c b=log a blog·log c a eşitliğinin geçerliliğini kanıtlamak yeterlidir. Temel logaritmik kimlik, b sayısını a log a b olarak temsil etmemize ve ardından log c b=log ca log a b olarak göstermemize olanak tanır. Derecenin logaritmasının özelliğini kullanmaya devam ediyor: log c a log a b =log a b log c a. Bu, log c b=log a b·log c a eşitliğini kanıtlar; bu, logaritmanın yeni tabanına geçiş formülünün de kanıtlanmış olduğu anlamına gelir.

Logaritmanın bu özelliğini kullanmaya ilişkin birkaç örnek gösterelim: ve .

Yeni bir tabana geçme formülü, "uygun" bir tabana sahip logaritmalarla çalışmaya devam etmenize olanak tanır. Örneğin, doğal veya ondalık logaritmalara gitmek için kullanılabilir, böylece bir logaritma tablosundan bir logaritmanın değerini hesaplayabilirsiniz. Yeni bir logaritma tabanına geçme formülü, bazı durumlarda, bazı logaritmaların diğer tabanlarla değerleri bilindiğinde belirli bir logaritmanın değerini bulmayı da sağlar.

Formun c=b'si için yeni bir logaritma tabanına geçiş için formülün özel bir durumu sıklıkla kullanılır. . Bu, log a b ve log b a – olduğunu gösterir. Örneğin, .

Formül de sıklıkla kullanılır Logaritma değerlerini bulmak için uygundur. Sözlerimizi doğrulamak için, formun logaritmasının değerini hesaplamak için nasıl kullanılabileceğini göstereceğiz. Sahibiz . Formülü kanıtlamak için logaritmanın yeni bir tabanına geçiş için formülü kullanmak yeterlidir: .

Logaritmaların karşılaştırılması özelliklerini kanıtlamak için kalır.

Herhangi bir pozitif sayı için b 1 ve b 2, b 1 olduğunu kanıtlayalım. log a b 2 ve a>1 için – eşitsizlik log a b 1

Son olarak, logaritmanın listelenen özelliklerinin sonuncusunu kanıtlamak kalıyor. Kendimizi birinci kısmının ispatıyla sınırlayalım, yani a 1 >1, a 2 >1 ve a 1 ise ispatlayacağız. 1 doğrudur log a 1 b>log a 2 b . Logaritmanın bu özelliğinin geri kalan ifadeleri benzer bir prensibe göre kanıtlanmıştır.

Tam tersi yöntemi kullanalım. 1 >1, 2 >1 ve 1 için olduğunu varsayalım. 1 doğrudur log a 1 b≤log a 2 b . Logaritmanın özelliklerine dayanarak bu eşitsizlikler şu şekilde yeniden yazılabilir: Ve sırasıyla log b a 1 ≤log b a 2 ve log b a 1 ≥log b a 2 olur. O halde aynı tabanlara sahip kuvvetlerin özelliklerine göre b log b a 1 ≥b log b a 2 ve b log b a 1 ≥b log b a 2 eşitlikleri geçerli olmalıdır, yani a 1 ≥a 2 . Böylece a 1 koşuluyla çelişkiye geldik

Kaynakça.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ve diğerleri. Cebir ve analizin başlangıcı: Genel eğitim kurumlarının 10 - 11. sınıfları için ders kitabı.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematik (teknik okullara girenler için bir el kitabı).

Logaritmanın değerlerini veya logaritmanın değerini belirli bir sayıyla karşılaştırmak, okul problem çözme uygulamalarında yalnızca bağımsız bir görev olarak ortaya çıkmaz. Örneğin denklemleri ve eşitsizlikleri çözerken logaritmaları karşılaştırmanız gerekir. Makalenin materyalleri (sorunlar ve çözümleri) “basitten karmaşığa” ilkesine göre düzenlenmiştir ve seçmeli derslerin yanı sıra bu konuyla ilgili bir ders (dersler) hazırlamak ve yürütmek için kullanılabilir. Bir derste dikkate alınan görevlerin sayısı sınıfın düzeyine ve uzmanlık alanına bağlıdır. İleri matematik derslerinde bu materyal iki saatlik bir ders dersi için kullanılabilir.

1. (Sözlü olarak.) Fonksiyonlardan hangileri artıyor, hangileri azalıyor:

Yorum. Bu egzersiz bir hazırlık egzersizidir.

2. (Sözlü olarak.)Sıfırla karşılaştırın:

Yorum. 2 numaralı alıştırmayı çözerken, logaritmik fonksiyonun grafiğini kullanarak hem logaritmik fonksiyonun özelliklerini hem de aşağıdakileri kullanabilirsiniz. faydalı özellik:

a ve b pozitif sayıları sayı doğrusunda 1'in sağında veya 1'in solunda yer alıyorsa (yani a>1 ve b>1 veya 0 ise) 0 ;
a ve b pozitif sayıları sayı doğrusunda 1'in zıt taraflarında yer alıyorsa (yani 0 .

Bu özelliğin kullanımını gösterelim 2(a) sayılı kararda.

Fonksiyondan beri y = log 7 t kadar artar R+, 10 > 7, sonra log 7 10 > log 7 7, yani log 7 10 > 1. Dolayısıyla pozitif sayılar sin3 ve log 7 10, 1'in zıt taraflarında yer alır. Bu nedenle, log sin3 log 7 10< 0.

3. (Sözlü olarak.) Akıl yürütmedeki hatayı bulun:

İşlev y = lgt R+ kadar artarsa, o zaman ,

Son eşitsizliğin her iki tarafını da 'ye bölelim. 2 > 3'ü elde ederiz.

Çözüm.

Pozitif sayılar ve 10 (logaritmanın tabanı) 1'in zıt taraflarında yer alır. Bu şu anlama gelir:< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Sözlü olarak.) Sayıları karşılaştırın:

Yorum. 4(a-c) numaralı alıştırmaları çözerken logaritmik fonksiyonun monotonluk özelliğini kullanıyoruz. 4(d) numaralı çözüm için şu özelliği kullanıyoruz:

c > a >1 ise, b>1 için log a b > log c b eşitsizliği doğrudur.

Çözüm 4(d).

1'den beri< 5 < 7 и 13 >1, ardından log 5 13 > log 7 13.

5. Sayıları karşılaştırın günlük 2 6 ve 2.

Çözüm.

İlk yol (logaritmik fonksiyonun monotonluğunu kullanarak).

İşlev y = log 2 t kadar artar R+, 6 > 4. Yani, günlük 2 6 > günlük 2 4 Ve log 2 5 > 2.

İkinci yöntem (farkın oluşturulması).

Aradaki farkı kapatalım.

6. Sayıları karşılaştırın Ve -1.

İşlev y = kadar azalır R+ , 3 < 5. Значит, >Ve > -1 .

7. Sayıları karşılaştırın Ve 3log 8 26 .

İşlev y = log 2 t kadar artar R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

İlk yol.

Eşitsizliğin her iki tarafını da 3 ile çarpalım:

İşlev y = log 5 t kadar artar R+ , 27 > 25. Yani,

İkinci yol.

Hadi farkı kapatalım
. Buradan.

9. Günlük 4 26 rakamlarını karşılaştırın Ve günlük 6 17.

y = log 4 t ve y = log 6 t fonksiyonlarının şu oranda arttığını dikkate alarak logaritmaları tahmin edelim: R+:

Fonksiyonlar göz önüne alındığında azalarak R+, sahibiz:

Araç,

Yorum. Önerilen karşılaştırma yöntemi denir “ekleme” yöntemi veya "ayırma" yöntemi(Bu iki sayıyı ayıran 4 sayısını bulduk).

11. Günlük 2 3 sayılarını karşılaştırın Ve günlük 3 5.

Her iki logaritmanın da 1'den büyük ancak 2'den küçük olduğuna dikkat edin.

İlk yol. “Ayırma” yöntemini kullanmaya çalışalım. Logaritmaları sayıyla karşılaştıralım.

İkinci yöntem ( bir doğal sayıyla çarpma).

Not 1. Öz yöntem “bir doğal sayıyla çarpma"doğal bir sayı arıyoruz" k, karşılaştırılan sayılar çarpıldığında A Ve B bu numaraları al ka Ve kb aralarında en az bir tam sayının olması.

Not 2. Karşılaştırılan sayılar birbirine çok yakınsa, yukarıdaki yöntemin uygulanması çok emek yoğun olabilir.
Bu durumda karşılaştırmayı deneyebilirsiniz "bir çıkarma" yöntemi" Aşağıdaki örnekte gösterelim.

12. Günlük 7 8 sayılarını karşılaştırın Ve günlük 6 7.

İlk yol (birini çıkarın).

Karşılaştırılan sayılardan 1 çıkarın.

İlk eşitsizlikte şu gerçeği kullandık:

c > a > 1 ise, b > 1 için log a b > log c b eşitsizliği doğrudur.

İkinci eşitsizlikte – y = log a x fonksiyonunun monotonluğu.

İkinci yol (Cauchy eşitsizliğinin uygulanması).

13. Günlük 24 72 rakamlarını karşılaştırın Ve günlük 12 18.

14. Günlük 20 80 sayılarını karşılaştırın Ve günlük 80 640.

Günlük 2 5 = olsun X. dikkat et ki X > 0.

Eşitsizlik elde ediyoruz.

Eşitsizliğe birçok çözüm bulalım, x > koşulunu karşılayan 0.

Eşitsizliğin her iki tarafını da oluşturalım karesi (de X> 0 eşitsizliğin her iki tarafı da pozitiftir). Elimizde 9x2 var< 9x + 28.

Son eşitsizliğin çözüm kümesi aralıktır.

Hesaba katıldığında X> 0 olursa şunu elde ederiz: .

Cevap: Eşitsizlik doğrudur.

Sorun çözme atölyesi.

1. Sayıları karşılaştırın:

2. Sayıları artan sırada düzenleyin:

3. Eşitsizliği çöz 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Numara mı √2 bu eşitsizliğin çözümü? (Cevap:(–∞; log 2 3) ; sayı √2 bu eşitsizliğin çözümüdür.)

Çözüm.

Logaritmaları karşılaştırmanın birçok yöntemi vardır. Bu konudaki derslerin amacı, kişiye çeşitli yöntemler arasında gezinmeyi, her özel durumda en rasyonel çözümü seçmeyi ve uygulamayı öğretmektir.

Matematiğin derinlemesine çalışıldığı sınıflarda bu konuyla ilgili materyal ders şeklinde sunulabilir. Bu eğitim faaliyeti biçimi, ders materyalinin dikkatle seçilmesini, üzerinde çalışılmasını ve belirli bir mantıksal sıraya göre düzenlenmesini gerektirir. Öğretmenin tahtaya yazdığı notlar dikkatli ve matematiksel olarak doğru olmalıdır.

Pratik derslerde ders materyalinin pekiştirilmesi ve problem çözme becerilerinin uygulanması tavsiye edilir. Çalıştayın amacı yalnızca edinilen bilgiyi pekiştirmek ve test etmek değil, aynı zamanda genişletmektir. Bu nedenle görevler, en basit görevlerden karmaşıklığı artan görevlere kadar farklı seviyelerde görevler içermelidir. Bu tür atölyelerde öğretmen danışman olarak görev yapar.

Edebiyat.

1. Galitsky M.L. ve diğerleri. Cebir ve matematiksel analiz dersinin derinlemesine incelenmesi: Yöntem. öneriler ve öğretim materyalleri: Öğretmenler için bir el kitabı – M.: Eğitim, 1986.
2. Ziv B.G., Goldich V.A. 10. sınıf için cebir ve temel analiz üzerine didaktik materyaller. – St. Petersburg: “CheRo-on-Neva”, 2003.
3. Litvinenko V.N., Mordkovich A.G.İlköğretim matematik çalıştayı. Cebir. Trigonometri: Eğitim yayını. – M.: Eğitim, 1990.
4. Ryazanovsky A.R. Cebir ve analizin başlangıcı: Okul çocukları ve üniversitelere girenler için matematik problemlerini çözmenin 500 yolu ve yöntemi. – M.: Bustard, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V. Matematik. Cebirde rekabet problemleri ve çözümleri. Bölüm 4. Logaritmik denklemler, eşitsizlikler, sistemler. Textbook.-3rd ed., ster.-M.: UNTsDO Yayıncılık Departmanı, 2003.
6. Sharygin I.F., Golubev V.I. Matematikte seçmeli ders: Problem çözme: Proc. 11. sınıf için ödenek. ortaokul – M.: Prosveshchenie, 1991.

Logaritmaların ne zaman karşılaştırılacağı sorusuyla ilgili bölümde....(+)? yazar tarafından verilmiştir Ele en iyi cevap Veya bunu tek bir tabana indiremezsiniz, ancak logaritmik fonksiyonun özelliklerini kullanabilirsiniz.
Logaritmik bir fonksiyonun tabanı 1'den büyükse fonksiyon artar ve x > 1 için taban ne kadar küçükse grafik o kadar yüksekte yer alır,
0 için< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Logaritmanın tabanı sıfırdan büyük ve 1'den küçükse fonksiyon azalandır,
Ayrıca x > 1 için taban ne kadar küçükse grafik de o kadar yüksek olur,
0 için< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Bu şekilde ortaya çıkacak:

Yanıtlayan: sıska[guru]
Logaritmaları aynı tabana (örneğin bir doğal sayıya) indirgeyin ve ardından karşılaştırın.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Yanıtlayan: Nöropatolog[guru]
Yeni bir tabana geçmek için şu formülü kullanın: log(a)b=1/log(b)a.
Daha sonra logaritma gibi kesirlerin paydalarını aynı tabanla karşılaştırın.
Payları aynı olan iki kesirden paydası küçük olan kesir daha büyüktür.
Örneğin log(7)16 ve log(3)16
1/log(16)7 ve 1/log(16)3
log(16)7>log(16)3 olduğundan 1/log(16)7 olur< 1/log(16)3.