Теорема Вієта: приклади її використання під час роботи з квадратними рівняннями. Теорема Вієта

У цій лекції ми познайомимося з цікавими співвідношеннями між корінням квадратного рівняння та його коефіцієнтами. Ці співвідношення вперше виявив французький математик Франсуа Вієт (1540-1603).

Наприклад, для рівняння Зx 2 - 8x - 6 = 0, не знаходячи його коріння, можна, скориставшись теоремою Вієта, відразу сказати, що сума коренів дорівнює , а добуток коренів дорівнює
т. е. - 2. А рівняння х 2 - 6х + 8 = 0 укладаємо: сума коренів дорівнює 6, добуток коренів дорівнює 8; між іншим, тут неважко здогадатися, чому дорівнює коріння: 4 і 2.
Доказ теореми Вієта. Коріння х 1 і х 2 квадратного рівняння ах 2 + bх + с = 0 перебувають за формулами

Де D = b 2 - 4ас - дискримінант рівняння. Склавши це коріння,
отримаємо

Тепер обчислимо твір коренів х 1 та х 2 Маємо

Друге співвідношення доведено:
Зауваження. Теорема Вієта справедлива і в тому випадку, коли квадратне рівняння має один корінь (тобто коли D = 0), просто в цьому випадку вважають, що рівняння має два однакові корені, до яких і застосовують зазначені вище співвідношення.
Особливо простий вид набувають доведених співвідношення для наведеного квадратного рівняння х 2 + рх + q = 0. У цьому випадку отримуємо:

x 1 = x 2 = -p, x 1 x 2 =q
тобто. сума коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює другому коефіцієнту, взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює вільному члену.
За допомогою теореми Вієта можна отримати й інші співвідношення між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Нехай, наприклад, х 1 і х 2 — коріння квадратного рівняння х 2 + рх + q = 0. Тоді

Однак основне призначення теореми Вієта не в тому, що вона виражає деякі співвідношення між корінням та коефіцієнтами квадратного рівняння. Набагато важливішим є те, що за допомогою теореми Вієта виводиться формула розкладання квадратного тричлена на множники, без якої ми надалі не обійдемося.

Доведення. Маємо

Приклад 1. Розкласти на множники квадратний тричлен Зх 2 – 10x + 3.
Рішення. Розв'язавши рівняння Зх 2 – 10x + 3 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена Зх 2 – 10x + 3: х 1 = 3, х2 = .
Скориставшись теоремою 2, отримаємо

Є сенс замість написати Зx – 1. Тоді остаточно отримаємо Зх 2 – 10x + 3 = (х – 3) (3х – 1).
Зауважимо, що заданий квадратний тричлен можна розкласти на множники і без застосування теореми 2, використовуючи спосіб угруповання:

Зх 2 - 10x + 3 = Зх 2 - 9х - х + 3 =
= Зх (х – 3) – (х – 3) = (х – 3) (Зx – 1).

Але, як бачите, при цьому способі успіх залежить від того, чи зуміємо знайти вдале угруповання чи ні, тоді як при першому способі успіх гарантований.
Приклад 1. Скоротити дріб

Рішення. З рівняння 2х 2 + 5х + 2 = 0 знаходимо х 1 = - 2,

З рівняння х2 - 4х - 12 = 0 знаходимо х 1 = 6, х 2 = -2. Тому
х 2 - 4х - 12 = (х - 6) (х - (- 2)) = (х - 6) (х + 2).
А тепер скоротимо заданий дріб:

Приклад 3. Розкласти на множники вирази:
а) x4 + 5x 2 +6; б) 2x+-3
Розв'язання. а) Введемо нову змінну у = х 2 . Це дозволить переписати заданий вираз у вигляді квадратного тричлена щодо змінної у, а саме у вигляді у 2 + b + 6.
Розв'язавши рівняння у 2 + bу + 6 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена у 2 + 5у + 6: у 1 = - 2, у 2 = -3. Тепер скористаємося теоремою 2; отримаємо

у 2 + 5у + 6 = (у + 2) (у + 3).
Залишилося згадати, що у = x 2 тобто повернення до заданого виразу. Отже,
x 4 + 5х 2 + 6 = (х 2 + 2) (х 2 + 3).
б) Введемо нову змінну у = . Це дозволить переписати заданий вираз у вигляді квадратного тричлена щодо змінної у, а саме у вигляді 2у 2 + у - 3. Розв'язавши рівняння
2у 2 + у - 3 = 0, знайдемо коріння квадратного тричлена 2у 2 + у - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Далі, використовуючи теорему 2, отримаємо:

Залишилося згадати, що у = , тобто повернутися до заданого виразу. Отже,

На закінчення параграфа — деякі міркування, знову ж таки пов'язані з теоремою Вієта, а точніше, із зворотним твердженням:
якщо числа х 1 , х 2 такі, що х 1 + х 2 = - р, x 1 x 2 = q, то ці числа корені рівняння
За допомогою цього твердження можна вирішувати багато квадратних рівнянь усно, не користуючись громіздкими формулами коренів, а також складати квадратні рівняння із заданим корінням. Наведемо приклади.

1) х 2 - 11х + 24 = 0. Тут х 1 + х 2 = 11, х 1 х 2 = 24. Неважко здогадатися, що х 1 = 8, х 2 = 3.

2) х 2 + 11х + 30 = 0. Тут х 1 + х 2 = -11, х 1 х 2 = 30. Неважко здогадатися, що х 1 = -5, х 2 = -6.
Зверніть увагу: якщо вільний член рівняння - позитивне число, то обидва корені або позитивні, або негативні; це важливо враховувати при доборі коріння.

3) х 2 + х - 12 = 0. Тут х 1 + х 2 = -1, х 1 х 2 = -12. Легко здогадатися, що х 1 = 3, х2 = -4.
Зверніть увагу: якщо вільний член рівняння - від'ємне число, то коріння різне за знаком; це важливо враховувати при доборі коріння.

4) 5х 2 + 17x - 22 = 0. Неважко помітити, що х = 1 задовольняє рівняння, тобто. х 1 = 1 - корінь рівняння. Оскільки х 1 х 2 = -, а х 1 = 1, отримуємо, що х 2 = - .

5) х 2 - 293x + 2830 = 0. Тут х 1 + х 2 = 293, х 1 х 2 = 2830. Якщо звернути увагу, що 2830 = 283 . 10, а 293 = 283 + 10, стає ясно, що х 1 = 283, х 2 = 10 (а тепер уявіть, які обчислення довелося б виконати для вирішення цього квадратного рівняння за допомогою стандартних формул).

6) Складемо квадратне рівняння так, щоб його корінням служили числа х 1 = 8, х 2 = - 4. Зазвичай у таких випадках становлять наведене квадратне рівняння х 2 + рх + q = 0.
Маємо х 1 + х 2 = -р, тож 8 - 4 = -р, тобто р = -4. Далі, x 1 x 2 = q, тобто. 8«(-4) = q, звідки отримуємо q = -32. Отже, р = -4, q = -32, отже, квадратне рівняння, що шукається, має вигляд х 2 -4х-32 = 0.

При вивченні способів розв'язання рівнянь другого порядку в шкільному алгебри курсі, розглядають властивості отриманих коренів. Вони зараз відомі під назвою теореми Вієта. Приклади використання її наводяться у цій статті.

Квадратне рівняння

Рівняння другого порядку являє собою рівність, яка показана на фото нижче.

Тут символи a, b, c є деякими числами, що мають назву коефіцієнтів рівняння, що розглядається. Щоб розв'язати рівність, необхідно знайти такі значення x, які роблять його істинним.

Зауважимо, що оскільки максимальне значення ступеня, в яку зводиться ікс, дорівнює двом, тоді кількість коренів у загальному випадку також дорівнює двом.

Для розв'язання цього рівнянь існує кілька способів. У цій статті розглянемо один із них, який передбачає використання так званої теореми Вієта.

Формулювання теореми Вієта

Наприкінці XVI відомий математик Франсуа Вієт (француз) помітив, аналізуючи властивості коренів різних квадратних рівнянь, що певні комбінації їх задовольняють конкретним співвідношенням. Зокрема, цими комбінаціями є їхній твір та сума.

Теорема Вієта встановлює наступне: коріння квадратного рівняння при їх сумі дають відношення коефіцієнтів лінійного до квадратичного взяте зі зворотним знаком, а при їх добутку призводять до відношення вільного члена до квадратичного коефіцієнта.

Якщо загальний вигляд рівняння записано так, як це представлено на фото у попередньому розділі статті, тоді математично цю теорему можна записати у вигляді двох рівностей:

• r 2 + r 1 = -b/a;
• r 1 х r 2 = c/a.

Де r 1 , r 2 - це значення коренів рівняння, що розглядається.

Наведені дві рівності можна використовувати для вирішення низки різних математичних завдань. Використання теореми Вієта у прикладах із рішенням наведено у наступних розділах статті.

Теорема Вієта (точніше, теорема, обернена до теореми Вієта) дозволяє скоротити час на розв'язання квадратних рівнянь. Тільки треба вміти нею користуватися. Як навчитися вирішувати квадратні рівняння з теореми Вієта? Це нескладно, якщо трохи поміркувати.

Зараз ми говоритимемо лише про рішення за теоремою Вієта наведеного квадратного рівняння. Наведене квадратне рівняння — це рівняння, в якому a, тобто коефіцієнт перед x², дорівнює одиниці. Не наведені квадратні рівняння вирішити за теоремою Вієта теж можна, але там уже, як мінімум, одне з коренів — не ціле число. Їх вгадувати складніше.

Теорема, обернена теоремі Вієта, говорить: якщо числа x1 і x2 такі, що

то x1 і x2 - коріння квадратного рівняння

При розв'язанні квадратного рівняння за теоремою Вієта можливі лише 4 варіанти. Якщо запам'ятати хід міркувань, знаходити ціле коріння можна навчитися дуже швидко.

I. Якщо q - позитивне число,

це означає, що коріння x1 та x2 — числа однакового знака (оскільки лише при множенні чисел з однаковими знаками виходить позитивне число).

І.а. Якщо -p - позитивне число, (відповідно, p<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Якщо -p - Негативне число, (відповідно, p>0), то обидва корені - негативні числа (складали числа одного знака, отримали негативне число).

ІІ. Якщо q - від'ємне число,

це означає, що коріння x1 і x2 мають різні знаки (при множенні чисел від'ємне число виходить лише у випадку, коли знаки у множників різні). У цьому випадку x1+x2 є вже не сумою, а різницею (адже при додаванні чисел з різними знаками ми віднімаємо з більшого за модулем менше). Тому x1+x2 показує, на скільки одне відрізняється коріння x1 і x2, тобто, на скільки один корінь більше за інший (за модулем).

II.a. Якщо -p - позитивне число, (тобто p<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Якщо -p - Негативне число, (p>0), то більший (за модулем) корінь - від'ємне число.

Розглянемо розв'язання квадратних рівнянь за теоремою Вієта на прикладах.

Розв'язати наведене квадратне рівняння за теоремою Вієта:

Тут q=12>0, тому коріння x1 і x2 числа одного знака. Їхня сума дорівнює -p=7>0, тому обидва корені — позитивні числа. Підбираємо цілі числа, добуток яких дорівнює 12. Це 1 і 12, 2 і 6, 3 і 4. Сума дорівнює 7 у пари 3 і 4. Отже, 3 і 4 — коріння рівняння.

У цьому прикладі q=16>0, отже, коріння x1 і x2 — числа одного знака. Їхня сума -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Тут q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, то більша кількість позитивна. Отже, коріння 5 та -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

У квадратних рівняннях існує низка співвідношень. Основними є відносини між корінням та коефіцієнтами. Також у квадратних рівняннях працює ряд співвідношень, які задаються теоремою Вієта.

У цій темі ми наведемо саму теорему Вієта та її доказ для квадратного рівняння, теорему, обернену до теореми Вієта, розберемо ряд прикладів розв'язання задач. Особливу увагу в матеріалі ми приділимо розгляду формул Вієта, які задають зв'язок між дійсним корінням рівняння алгебри ступеня nта його коефіцієнтами.

Формулювання та доказ теореми Вієта

Формула коренів квадратного рівняння a · x 2 + b · x + c = 0виду x 1 = - b + D 2 · a , x 2 = - b - D 2 · a де D = b 2 − 4 · a · c, встановлює співвідношення x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a. Це підтверджує і теорема Вієта.

Теорема 1

У квадратному рівнянні a · x 2 + b · x + c = 0, де x 1і x 2– коріння, сума коренів дорівнюватиме співвідношення коефіцієнтів bі a, яке було взято з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнюватиме відношенню коефіцієнтів cі a, тобто. x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a.

Доказ 1

Пропонуємо вам наступну схему проведення доказу: візьмемо формулу коренів, складемо суму і добуток коренів квадратного рівняння і потім перетворимо отримані вирази для того, щоб переконатися, що вони рівні - b aі c aвідповідно.

Складемо суму коренів x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Приведемо дроби до спільного знаменника - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a. Розкриємо дужки в чисельнику отриманого дробу і наведемо подібні доданки: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Скоротимо дріб на: 2 - ba = - ba .

Так ми довели перше співвідношення теореми Вієта, яке відноситься до суми коренів квадратного рівняння.

Тепер давайте перейдемо до другого співвідношення.

Для цього нам необхідно скласти добуток коренів квадратного рівняння: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a .

Згадаймо правило множення дробів і запишемо останній твір наступним чином: - b + D · - b - D 4 · a 2 .

Проведемо в чисельнику дробу множення дужки на дужку або скористаємося формулою різниці квадратів для того, щоб перетворити цей твір швидше: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Скористаємося визначенням квадратного кореня для того, щоб здійснити наступний перехід: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 . Формула D = b 2 − 4 · a · cвідповідає дискримінанту квадратного рівняння, отже, в дріб замість Dможна підставити b 2 − 4 · a · c:

b 2 - D 4 · a 2 = b 2 - (b 2 - 4 · a · c) 4 · a 2

Розкриємо дужки, наведемо подібні доданки та отримаємо: 4 · a · c 4 · a 2 . Якщо скоротити її на 4 · a, то залишається c a . Так ми довели друге співвідношення теореми Вієта для коріння.

Запис доказу теореми Вієта може мати дуже короткий вигляд, якщо опустити пояснення:

x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a , x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

При дискримінанті квадратного рівняння рівному нулю рівняння матиме лише один корінь. Щоб мати можливість застосувати до такого рівняння теорему Вієта, ми можемо припустити, що рівняння при дискримінанті, що дорівнює нулю, має два однакові корені. Справді, за D = 0корінь квадратного рівняння дорівнює: - b 2 · a , тоді x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a і x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , а так як D = 0 , тобто b 2 - 4 · a · c = 0 , звідки b 2 = 4 · a · c , то b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Найчастіше на практиці теорема Вієта застосовується по відношенню до наведеного квадратного рівняння виду x 2 + p · x + q = 0де старший коефіцієнт a дорівнює 1 . У зв'язку з цим формулюють теорему Вієта саме для рівнянь такого виду. Це не обмежує спільності через те, що будь-яке квадратне рівняння може бути замінене рівносильним рівнянням. Для цього необхідно поділити обидві його частини на число a, відмінне від нуля.

Наведемо ще одне формулювання теореми Вієта.

Теорема 2

Сума коренів у наведеному квадратному рівнянні x 2 + p · x + q = 0дорівнюватиме коефіцієнту при x , який узятий з протилежним знаком, твір коренів дорівнюватиме вільному члену, тобто. x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q.

Теорема, зворотна теоремі Вієта

Якщо уважно подивитися на друге формулювання теореми Вієта, то можна побачити, що для коріння x 1і x 2наведеного квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0будуть справедливі співвідношення x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. З цих співвідношень x 1 + x 2 = − p , x 1 · x 2 = q випливає, що x 1і x 2– це коріння квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0. Так ми приходимо до твердження, яке є оберненим теоремі Вієта.

Пропонуємо тепер оформити це твердження як теорему та провести її доказ.

Теорема 3

Якщо числа x 1і x 2такі, що x 1 + x 2 = − pі x 1 · x 2 = q, то x 1і x 2є корінням наведеного квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0.

Доказ 2

Заміна коефіцієнтів pі qна їх вираз через x 1і x 2дозволяє перетворити рівняння x 2 + p · x + q = 0у рівносильне йому .

Якщо в отримане рівняння підставити число x 1замість x, то ми отримаємо рівність x 1 2 − (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 = 0. Ця рівність за будь-яких x 1і x 2перетворюється на вірну числову рівність 0 = 0 , так як x 1 2 − (x 1 + x 2) · x 1 + x 1 · x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 · x 1 + x 1 · x 2 = 0. Це означає що x 1- корінь рівняння x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0, і що x 1також є коренем рівносильного йому рівняння x 2 + p · x + q = 0.

Підстановка рівняння x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0числа x 2замість x дозволяє здобути рівність x 2 2 − (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 = 0. Цю рівність можна вважати вірною, оскільки x 2 2 − (x 1 + x 2) · x 2 + x 1 · x 2 = x 2 2 − x 1 · x 2 − x 2 2 + x 1 · x 2 = 0. Виходить що x 2є коренем рівняння x 2 − (x 1 + x 2) · x + x 1 · x 2 = 0, а значить, і рівняння x 2 + p · x + q = 0.

Теорема, обернена до теореми Вієта, доведена.

Приклади використання теореми Вієта

Давайте тепер приступимо до аналізу найбільш типових прикладів по темі. Почнемо з аналізу завдань, які вимагають застосування теореми, зворотної теоремі Вієта. Її можна застосовувати для перевірки чисел, отриманих під час обчислень, щодо того, чи є вони корінням заданого квадратного рівняння. Для цього необхідно обчислити їх суму та різницю, а потім перевірити справедливість співвідношень x 1 + x 2 = - b a , x 1 · x 2 = a c .

Виконання обох співвідношень свідчить, що числа, отримані під час обчислень, є корінням рівняння. Якщо ж ми бачимо, що хоча б одна з умов не виконується, то ці цифри не можуть бути корінням квадратного рівняння, даного за умови завдання.

Приклад 1

Яка з пар чисел 1) x 1 = − 5 , x 2 = 3 , або 2) x 1 = 1 - 3 , x 2 = 3 + 3, або 3) x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2 є парою коренів квадратного рівняння 4 · x 2 − 16 · x + 9 = 0?

Рішення

Знайдемо коефіцієнти квадратного рівняння 4 · x 2 - 16 · x + 9 = 0 .Це a = 4, b = − 16, c = 9. Відповідно до теореми Вієта сума коренів квадратного рівняння повинна дорівнювати - b a, тобто, 16 4 = 4 , а добуток коренів має бути рівним c a, тобто, 9 4 .

Перевіримо отримані числа, обчисливши суму та добуток чисел із трьох заданих пар та порівнявши їх з отриманими значеннями.

В першому випадку x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Це значення відмінно від 4, отже, перевірку можна продовжувати. Відповідно до теореми, зворотної теоремі Вієта, можна одразу зробити висновок про те, що перша пара чисел не є корінням даного квадратного рівняння.

У другий випадок x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4 . Ми бачимо, що перша умова виконується. А ось друга умова немає: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3 . Значення, яке ми отримали, відмінне від 9 4 . Це означає, що друга пара чисел не є корінням квадратного рівняння.

Перейдемо до розгляду третьої пари. Тут x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 і x 1 · x 2 = 2 + 7 2 · 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4 . Виконуються обидві умови, а це означає, що x 1і x 2є корінням заданого квадратного рівняння.

Відповідь: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

Ми також можемо використовувати теорему, обернену до теореми Вієта, для підбору коренів квадратного рівняння. Найбільш простий спосіб - це підбір цілих коренів наведених квадратних рівнянь із цілими коефіцієнтами. Можна й інші варіанти. Але це може суттєво ускладнити проведення обчислень.

Для підбору коренів ми використовуємо те що, що й сума двох чисел дорівнює другому коефіцієнту квадратного рівняння, взятому зі знаком мінус, а добуток цих чисел дорівнює вільному члену, ці цифри є корінням даного квадратного рівняння.

Приклад 2

Як приклад використовуємо квадратне рівняння x 2 − 5 · x + 6 = 0. Числа x 1і x 2можуть бути корінням цього рівняння у тому випадку, якщо виконуються дві рівності x 1 + x 2 = 5і x 1 · x 2 = 6. Підберемо такі числа. Це числа 2 і 3, оскільки 2 + 3 = 5 і 2 · 3 = 6. Виходить, що 2 та 3 – коріння даного квадратного рівняння.

Теорему, обернену до теореми Вієта, можна використовувати для знаходження другого кореня, коли перший відомий або очевидний. Для цього ми можемо використовувати співвідношення x 1 + x 2 = - a, x 1 · x 2 = a.

Приклад 3

Розглянемо квадратне рівняння 512 · x 2 − 509 · x − 3 = 0. Необхідно знайти коріння цього рівняння.

Рішення

Першим коренем рівняння є 1, оскільки сума коефіцієнтів цього квадратного рівняння дорівнює нулю. Виходить що x 1 = 1.

Тепер знайдемо друге коріння. Для цього можна використати співвідношення x 1 · x 2 = c a. Виходить що 1 · x 2 = − 3 512, звідки x 2 = - 3512.

Відповідь:коріння заданого за умови завдання квадратного рівняння 1 і - 3 512 .

Підбирати коріння, використовуючи теорему, обернену до теореми Вієта, можна лише у простих випадках. В інших випадках краще проводити пошук із використанням формули коренів квадратного рівняння через дискримінант.

Завдяки теоремі, зворотній теоремі Вієта, ми також можемо складати квадратні рівняння за наявним корінням x 1і x 2. Для цього нам необхідно обчислити суму коренів, яка дає коефіцієнт при xз протилежним знаком наведеного квадратного рівняння, та добуток коріння, яке дає вільний член.

Приклад 4

Напишіть квадратне рівняння, корінням якого є числа − 11 і 23 .

Рішення

Приймемо, що x 1 = − 11і x 2 = 23. Сума та добуток цих чисел дорівнюватимуть: x 1 + x 2 = 12і x 1 · x 2 = − 253. Це означає, що другий коефіцієнт - 12 , вільний член − 253.

Складаємо рівняння: x 2 − 12 · x − 253 = 0.

Відповідь: x 2 − 12 · x − 253 = 0 .

Ми можемо використовувати теорему Вієта для вирішення завдань, пов'язаних із знаками коренів квадратних рівнянь. Зв'язок між теоремою Вієта пов'язаний зі знаками коренів наведеного квадратного рівняння x 2 + p · x + q = 0наступним чином:

• якщо квадратне рівняння має дійсне коріння і якщо вільний член qє позитивним числом, то це коріння матиме однаковий знак «+» або «-»;
• якщо квадратне рівняння має коріння і якщо вільний член qє негативним числом, один корінь буде « + » , а другий « - » .

Обидва ці твердження є наслідком формули x 1 · x 2 = qта правила множення позитивних та негативних чисел, а також чисел із різними знаками.

Приклад 5

Чи є коріння квадратного рівняння x 2 − 64 · x − 21 = 0позитивними?

Рішення

По теоремі Вієта коріння даного рівняння не може бути обидва позитивними, тому що для них має виконуватися рівність x 1 · x 2 = − 21. Це неможливо за позитивних x 1і x 2.

Відповідь:Ні

Приклад 6

При яких значеннях параметра rквадратне рівняння x 2 + (r + 2) · x + r − 1 = 0матиме два дійсні корені з різними знаками.

Рішення

Почнемо з того, що знайдемо значення яких r, при яких у рівнянні буде два корені. Знайдемо дискримінант і подивимося, за яких умов rвін прийматиме позитивні значення. D = (r + 2) 2 − 4 · 1 · (r − 1) = r 2 + 4 · r + 4 − 4 · r + 4 = r 2 + 8. Значення виразу r 2 + 8позитивно за будь-яких дійсних r, отже, дискримінант буде більше нуля за будь-яких дійсних r. Це означає, що вихідне квадратне рівняння матиме два корені за будь-яких дійсних значень параметра r.

Тепер подивимося, коли коріння матиме різні знаки. Це можливо, якщо їх твір буде негативним. Відповідно до теореми Виета добуток коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює вільному члену. Значить, правильним рішенням будуть ті значення r, При яких вільний член r − 1 негативний. Розв'яжемо лінійну нерівність r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Відповідь:при r< 1 .

Формули Вієта

Існує ряд формул, які застосовні для здійснення дій з корінням та коефіцієнтами не тільки квадратних, але також кубічних та інших видів рівнянь. Їх називають формулами Вієта.

Для рівняння алгебри ступеня nвиду a 0 · x n + a 1 · x n - 1 +. . . + a n - 1 · x + a n = 0 вважається, що рівняння має nдійсних коренів x 1 , x 2 , … , x n, Серед яких можуть бути збігаються:
x 1 + x 2 + x 3 +. . . + x n = - a 1 a 0, x 1 · x 2 + x 1 · x 3 +. . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0, x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 +. . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Визначення 1

Отримати формули Вієта нам допомагають:

• теорема про розкладання многочлена на лінійні множники;
• визначення рівних многочленів через рівність їх відповідних коефіцієнтів.

Так, многочлен a 0 x n + a 1 x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n та його розкладання на лінійні множники виду a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (X - x n) рівні.

Якщо ми розкриваємо дужки в останньому творі та прирівнюємо відповідні коефіцієнти, то одержуємо формули Вієта. Прийнявши n = 2 ми можемо отримати формулу Вієта для квадратного рівняння: x 1 + x 2 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 = a 2 a 0 .

Визначення 2

Формула Вієта для кубічного рівняння:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + x 2 · x 3 = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 = - a 3 a 0

Ліва частина запису формул Вієта містить так звані елементарні симетричні багаточлени.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Між корінням і коефіцієнтами квадратного рівняння, крім формул коренів, існують інші корисні співвідношення, які задаються теорема Вієта. У цій статті ми дамо формулювання та доказ теореми Вієта для квадратного рівняння. Далі розглянемо теорему, обернену до теореми Вієта. Після цього розберемо рішення найхарактерніших прикладів. Нарешті, запишемо формули Вієта, що задають зв'язок між дійсним корінням алгебраїчного рівнянняступеня n та його коефіцієнтами.

Навігація на сторінці.

Теорема Вієта, формулювання, доказ

З формул коренів квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 виду , де D = b 2 -4 a c, витікають співвідношення x 1 +x 2 = b / a x 1 x 2 = c/a. Ці результати затверджуються теорема Вієта:

Теорема.

Якщо x 1 і x 2 – коріння квадратного рівняння a x 2 + b x + c = 0 то сума коренів дорівнює відношенню коефіцієнтів b і a взятому з протилежним знаком, а добуток коренів дорівнює відношенню коефіцієнтів c і a тобто, .

Доведення.

Доказ теореми Вієта проведемо за наступною схемою: складемо суму і добуток коренів квадратного рівняння, використовуючи відомі формули коренів, після цього перетворимо отримані вирази, і переконаємося, що вони рівні −b/a та c/a відповідно.

Почнемо із суми коріння, складаємо її . Тепер наводимо дроби до спільного знаменника, маємо . У чисельнику отриманого дробу, після чого: . Нарешті, після 2 , отримуємо . Цим доведено перше співвідношення теореми Вієта для суми коренів квадратного рівняння. Переходимо до другого.

Складаємо добуток коренів квадратного рівняння: . Згідно з правилом множення дробів, останній твір можна записати як . Тепер виконуємо множення дужки на дужку в чисельнику, але швидше згорнути цей твір формулі різниці квадратів, так. Далі, згадавши, виконуємо наступний перехід. Оскільки дискримінанту квадратного рівняння відповідає формула D=b 2 −4·a·c , то останній дріб замість D можна підставити b 2 −4·a·c , отримуємо . Після розкриття дужок та приведення подібних доданків приходимо до дробу, а його скорочення на 4·a дає . Цим доведено друге співвідношення теореми Вієта для коріння.

Якщо опустити пояснення, то доказ теореми Вієта набуде лаконічного вигляду:
,
.

Залишається лише помітити, що з рівному нулю дискримінанту квадратне рівняння має один корінь. Однак, якщо вважати, що рівняння в цьому випадку має два однакові корені, то рівності з теореми Вієта також мають місце. Дійсно, при D=0 корінь квадратного рівняння дорівнює , тоді і , а так як D=0 , тобто b 2 −4·a·c=0 , звідки b 2 =4·a·c , то .

На практиці найчастіше теорема Вієта використовується стосовно наведеного квадратного рівняння (зі старшим коефіцієнтом a, рівним 1) виду x 2 + p · x + q = 0. Іноді її і формулюють для квадратних рівнянь саме такого виду, що не обмежує спільності, тому що будь-яке квадратне рівняння можна замінити рівносильним рівнянням, виконавши розподіл його обох частин на відмінне від нуля число a. Наведемо відповідне формулювання теореми Вієта:

Теорема.

Сума коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 дорівнює коефіцієнту при x , взятому з протилежним знаком, а добуток коренів – вільному члену, тобто x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 = q.

Теорема, зворотна теоремі Вієта

Друге формулювання теореми Вієта, наведене у попередньому пункті, вказує, що якщо x 1 і x 2 коріння наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 , то справедливі співвідношення x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 = q. З іншого боку, із записаних співвідношень x 1 +x 2 =−p , x 1 ·x 2 =q слід, що x 1 і x 2 є корінням квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 . Інакше кажучи, справедливе твердження, протилежне теоремі Вієта. Сформулюємо його як теореми, і доведемо її.

Теорема.

Якщо числа x 1 і x 2 такі, що x 1 + x 2 = -p і x 1 · x 2 = q, то x 1 і x 2 є корінням наведеного квадратного рівняння x 2 + p x + q = 0 .

Доведення.

Після заміни в рівнянні x 2 +p x + q = 0 коефіцієнтів p і q їх вираження через x 1 і x 2 воно перетворюється в рівносильне рівняння .

Підставимо в отримане рівняння замість x число x 1 маємо рівність x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 =0, яке за будь-яких x 1 і x 2 являє собою вірну числову рівність 0=0 , так як x 1 2 −(x 1 +x 2)·x 1 +x 1 ·x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 ·x 1 +x 1 ·x 2 =0. Отже, x 1 – корінь рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0, Отже, x 1 – корінь і рівносильного йому рівняння x 2 +p·x+q=0 .

Якщо ж до рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0підставити замість x число x 2 то отримаємо рівність x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 =0. Це вірна рівність, оскільки x 2 2 −(x 1 +x 2)·x 2 +x 1 ·x 2 = x 2 2 −x 1 ·x 2 −x 2 2 +x 1 ·x 2 =0. Отже, x 2 теж є коренем рівняння x 2 −(x 1 +x 2)·x+x 1 ·x 2 =0, Отже, і рівняння x 2 +p·x+q=0 .

У цьому завершено доказ теореми, зворотної теореме Вієта.

Приклади використання теореми Вієта

Настав час поговорити про практичне застосування теореми Вієта та оберненої їй теореми. У цьому вся пункті ми розберемо рішення кількох найбільш характерних прикладів.

Почнемо із застосування теореми, зворотної теореми Вієта. Її зручно застосовувати для перевірки, чи є дані два числа корінням заданого квадратного рівняння. При цьому обчислюється їх сума та різницю, після чого перевіряється справедливість співвідношень . Якщо виконуються обидва ці співвідношення, то з теореми, зворотної теореме Виета, робиться висновок, що ці числа є корінням рівняння. Якщо ж хоча б одне із співвідношень не виконується, то дані числа не є корінням квадратного рівняння. Такий підхід можна використовувати при вирішенні квадратних рівнянь для перевірки знайденого коріння.

приклад.

Яка з пар чисел 1) x 1 =−5 , x 2 =3 , чи 2) , чи 3) є парою коренів квадратного рівняння 4·x 2 −16·x+9=0 ?

Рішення.

Коефіцієнтами заданого квадратного рівняння 4·x 2 −16·x+9=0 є a=4 , b=−16 , c=9 . Відповідно до теореми Вієта сума коренів квадратного рівняння повинна дорівнювати −b/a , тобто, 16/4=4 , а добуток коренів має дорівнювати c/a , тобто, 9/4 .

Тепер обчислимо суму і добуток чисел у кожній із трьох заданих пар, і порівняємо їх із щойно отриманими значеннями.

У першому випадку маємо x1+x2=−5+3=−2. Отримане значення відмінно від 4 тому подальшу перевірку можна не здійснювати, а по теоремі, зворотній теоремі Вієта, відразу зробити висновок, що перша пара чисел не є парою коренів заданого квадратного рівняння.

Переходимо на другий випадок. Тут, тобто, перша умова виконана. Перевіряємо друге умова: , отримане значення від 9/4 . Отже, і друга пара чисел не є парою коренів квадратного рівняння.

Залишився останній випадок. Тут і . Обидві умови виконані, тому ці числа х 1 і х 2 є корінням заданого квадратного рівняння.

Відповідь:

Теорему, зворотну теоремі Вієта, практично можна використовуватиме підбору коренів квадратного рівняння. Зазвичай підбирають цілі коріння наведених квадратних рівнянь із цілими коефіцієнтами, оскільки в інших випадках це зробити досить складно. У цьому користуються тим фактом, що й сума двох чисел дорівнює другому коефіцієнту квадратного рівняння, взятому зі знаком мінус, а добуток цих чисел дорівнює вільному члену, ці цифри є корінням даного квадратного рівняння. Розберемося з цим на прикладі.

Візьмемо квадратне рівняння x 2 −5·x+6=0. Щоб числа x 1 і x 2 були корінням цього рівняння, повинні виконуватися дві рівності x 1 + x 2 = 5 і x 1 x 2 = 6 . Залишається підібрати такі цифри. В даному випадку це зробити досить просто: такими числами є 2 і 3, тому що 2+3=5 та 2·3=6. Таким чином, 2 та 3 – коріння даного квадратного рівняння.

Теорему, обернену до теореми Вієта, особливо зручно застосовувати для знаходження другого кореня наведеного квадратного рівняння, коли вже відомий або очевидний один з коренів. У цьому випадку другий корінь знаходиться з будь-якого із співвідношень.

Для прикладу візьмемо квадратне рівняння 512 x 2 −509 x 3=0 . Тут легко помітити, що одиниця є коренем рівняння, оскільки сума коефіцієнтів цього квадратного рівняння дорівнює нулю. Отже, х 1 =1. Другий корінь x 2 можна знайти, наприклад, із співвідношення x 1 x 2 = c/a . Маємо 1 · x 2 = -3/512, звідки x 2 = -3/512. Так ми визначили обидва корені квадратного рівняння: 1 та −3/512 .

Зрозуміло, що добір коренів доцільний лише найпростіших випадках. В інших випадках для пошуку коренів можна застосувати формули коренів квадратного рівняння через дискримінант.

Ще одне практичне застосування теореми, зворотної теоремі Вієта, полягає у складанні квадратних рівнянь за заданим корінням x 1 і x 2 . Для цього достатньо обчислити суму коренів, яка дає коефіцієнт при x з протилежним знаком наведеного квадратного рівняння, та добуток коренів, що дає вільний член.

приклад.

Напишіть квадратне рівняння, корінням якого є числа −11 та 23 .

Рішення.

Позначимо x 1 =−11 та x 2 =23 . Обчислюємо суму і добуток даних чисел: x 1 + x 2 = 12 і x 1 · x 2 = -253. Отже, зазначені числа є корінням наведеного квадратного рівняння з другим коефіцієнтом -12 і вільним членом -253. Тобто, x 2 −12·x−253=0 – шукане рівняння.

Відповідь:

x 2 −12·x−253=0 .

Теорема Вієта дуже часто використовується при вирішенні завдань, пов'язаних із знаками коренів квадратних рівнянь. Як пов'язана теорема Вієта зі знаками коренів наведеного квадратного рівняння x 2 +p·x+q=0 ? Наведемо два відповідні твердження:

• Якщо вільний член q – позитивне число і якщо квадратне рівняння має дійсне коріння, або вони обидва позитивні, або обидва негативні.
• Якщо ж вільний член q – негативне число і якщо квадратне рівняння має дійсне коріння, їх знаки різні, інакше кажучи, один корінь позитивний, а інший - негативний.

Ці твердження випливають із формули x 1 ·x 2 =q , і навіть правил множення позитивних, негативних чисел і з різними знаками. Розглянемо приклади їх застосування.

приклад.

R він позитивний. За формулою дискримінанта знаходимо D=(r+2) 2 −4·1·(r−1)= r 2 +4·r+4−4·r+4=r 2 +8 значення виразу r 2 +8 позитивно при будь-яких дійсних r , таким чином, D>0 при будь-яких дійсних r . Отже, вихідне квадратне рівняння має два корені за будь-яких дійсних значень параметра r .

Тепер з'ясуємо, коли коріння має різні знаки. Якщо знаки коренів різні, їх добуток негативно, а, по теореме Виета добуток коренів наведеного квадратного рівняння дорівнює вільному члену. Отже, нас цікавлять ті значення r , у яких вільний член r−1 негативний. Таким чином, щоб знайти значення r , що цікавлять нас, треба розв'язати лінійну нерівність r−1<0 , откуда находим r<1 .

Відповідь:

при r<1 .

Формули Вієта

Вище ми говорили про теорему Вієта для квадратного рівняння і розбирали затверджувані їй співвідношення. Але існують формули, що пов'язують дійсне коріння та коефіцієнти не тільки квадратних рівнянь, а й кубічних рівнянь, рівнянь четверного ступеня, і взагалі, алгебраїчних рівняньступеня n. Їх називають формулами Вієта.

Запишемо формули Вієта для рівняння алгебри ступеня n виду , при цьому вважатимемо, що воно має n дійсних коренів x 1 , x 2 , ..., x n (серед них можуть бути збігаються):

Отримати формули Вієта дозволяє теорема про розкладання багаточлена на лінійні множники, і навіть визначення рівних многочленів через рівність їх відповідних коефіцієнтів. Так многочлен та її розкладання на лінійні множники виду рівні. Розкривши дужки в останньому творі та прирівнявши відповідні коефіцієнти, отримаємо формули Вієта.

Зокрема, при n=2 маємо вже знайомі нам формули Вієта для квадратного рівняння .

Для кубічного рівняння формули Вієта мають вигляд

Залишається лише помітити, що у лівій частині формул Вієта знаходяться так звані елементарні симетричні багаточлени.

Список літератури.

• Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордковіч А. Г.Алгебра. 8 клас. У 2 ч. ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх установ / А. Г. Мордкович. - 11-те вид., стер. – К.: Мнемозіна, 2009. – 215 с.: іл. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Алгебрата початку математичного аналізу. 10 клас: навч. для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/[Ю. М. Колягін, М. В. Ткачова, Н. Є. Федорова, М. І. Шабунін]; за ред. А. Б. Жижченко. - 3-тє вид. – К.: Просвітництво, 2010. – 368 с. : іл. - ISBN 978-5-09-022771-1.