Безперервність та диференційованість функції.

Теорема Дарбу . Інтервали монотонності.

Критичні точки . Екстремум (мінімум, максимум).

План дослідження функції.

Зв'язок між безперервністю та диференційованістю функції. Якщо функція f(x)диференційована в деякій точці, вона безперервна в цій точці. Назад неправильно: безперервна функція може мати похідної.

Слідкість. Якщо функція розривна у певній точці, вона не має похідної в цій точці.

Достатні ознаки монотонності функції.

Якщо f’(x) > 0 у кожній точці інтервалу (a, b), то функція f (x)зростає цьому інтервалі.

Якщо f’(x) < 0 у кожній точці інтервалу (a, b) , то функція f(x)зменшується у цьому інтервалі.

Теорема Дарбу. Точки, у яких похідна функції дорівнює 0або немає, ділять область визначення функції на інтервали, всередині яких похідна зберігає знак.

Використовуючи ці інтервали, можна знайти інтервали монотонностіфункцій, що дуже важливо при їх дослідженні.

Отже, функція зростає на інтервалах (- , 0) та ( 1, + ) і зменшується на інтервалі ( 0, 1). Крапка x= 0 не входить в область визначення функції, але по мірі наближенняxк0 доданок x - 2 необмежено зростає, тому функція також необмежено зростає. У точціx= 1 значення функції дорівнює 3. Відповідно до цього аналізу ми можемо построїти графік функції (рис.4 б ) .

Критичні точки. Внутрішні точки області визначення функції,в яких похідна дорівнюєнулю чи не існує, називаються критичними точкамицієї функції. Ці точки дуже важливі при аналізі функції та побудові її графіка, тому що тільки у цих точках функція може мати екстремум (мінімум або максимум , рис.5 а,б).

У точках x 1 , x 2 (Мал.5 a) та x 3 (Мал.5 b) похідна дорівнює 0; у точках x 1 , x 2 (Мал.5 б) похідна немає. Але вони всі точки екстремуму.

Необхідна умова екстремуму. Якщо x 0 - точка екстремуму функції f(x) і похідна f' існує у цій точці, то f'(x 0)= 0.

Ця теорема - необхіднеумова екстремуму. Якщо похідна функції у певній точці дорівнює 0,то це не означає, що функція має екстремум у цій точці. Наприклад, похідна функціїf (x) = x 3 дорівнює 0 при x= 0, але ця функція не має екстремуму в цій точці (рис.6).

З іншого боку, функціяy = | x| , представлена ​​на рис.3, має мінімум у точціx= 0 , але у цій точці похідної немає.

Достатні умови екстремуму.

Якщо похідна під час переходу через точку x 0 змінює свій знак із плюсу на мінус, то x 0 - точка максимуму.

Якщо похідна під час переходу через точку x 0 змінює свій знак з мінуса на плюс, то x 0 - точка мінімуму.

План дослідження функції. Для побудови графіка функції необхідно:

1) знайти область визначення та область значень функції,

2) встановити, чи є функція парної чи непарної,

3) визначити, чи є функція періодичною чи ні,

4) знайти нулі функції та її значення приx = 0,

5) знайти інтервали знакопостійності,

6) визначити інтервали монотонності,

7) знайти точки екстремуму та значення функції у цих точках,

8) проаналізувати поведінку функції поблизу “особливих” точок

І при великих значеннях модуляx .

П р і м е р. Дослідіть функціюf(x) = x 3 + 2 x 2 - x- 2 та побудуйте графік.

Розв'язання. Досліджуємо функцію за вищенаведеною схемою.

1) область визначенняxR (x- будь-яке дійснечисло);

Область значеньyR , так як f (x) – багаточлен непарної

ступеня;

2) функція f (x) не є ні парною, ні непарною

(Поясніть будь ласка);

3) f (x) – неперіодична функція (доведіть це самі);

4) графік функції перетинається із віссюYу точці (0, - 2),

Так як f (0) = - 2; щоб знайти нулі функції потрібно

Вирішити рівняння:x 3 + 2 x 2 - x - 2 = 0, один з коренів

Якого ( x= 1) очевидний. Інші коріння знаходяться

(якщо вони є! ) з розв'язання квадратного рівняння:

x 2 + 3 x+ 2 = 0, яке отримано поділом багаточлена

x 3 + 2 x 2 - x- 2 на двочлен ( x- 1). Легко перевірити,

Що два інші корені:x 2 = - 2 та x 3 = - 1. Таким чином,

Нулями функції є: - 2, - 1 та 1.

5) Це означає, що числова вісь ділиться цим корінням на

Чотири інтервали знакопостійності, всередині яких

Функція зберігає свій знак:

Цей результат може бути отриманий розкладанням

багаточлена на множники:

x 3 + 2 x 2 - x - 2 = (x + 2) (x + 1 (x – 1)

І оцінкою знака твору .

6) Похідна f’ (x) = 3 x 2 + 4 x- 1 не має точок, в яких

Вона не існує, тому її область визначенняR (Усе

дійсні числа); нуліf’ (x) – це коріння рівняння:

3 x 2 + 4 x- 1 = 0 .

Отримані результати зведено до таблиці:

При цьому нескінченно мала є нескінченно мала нижчого порядку, ніж нескінченно мала.

Визначення 3. Якщо відношення двох нескінченно малих / прагне одиниці, тобто. lim / 1 , то нескінченно малі і називаються екві-

стрічковими нескінченно малимита пишуть.

Приклад 2.24. Нехай = х, = ln (1 + х), де х 0. Нескінченно малі та еквівалентні, оскільки

			ln(1 x )			ln (1 x) lim ln [(1 x) 1 / x].
				x 0 x

Наведемо без висновку кілька еквівалентних нескінченно малих, використання яких сильно спрощує обчислення меж:

x sin x , x tg x , x arcsin x , x arctg x , x e x 1 .

3. ДИФЕРЕНЦІЙНЕ ЗЛІЧЕННЯ ФУНКЦІЇ ОДНІЙ ЗМІННОЇ

3.1. Визначення похідної та її геометричний зміст

Межа відносини збільшення функції y до, що викликав це збільшення, збільшення аргументу x , при x 0 , тобто.

			f (x0	x) f (x0)

називається похідної функції f (x) за незалежною змінною x.

	Позначається					Операцію знаходження похідної нази-
				dx.
		f(x),

ють диференціюванням.

Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної до кривої у = f (x ) в деякій точці, дорівнює значенню похідної функції цієї точки. У цьому полягає геометричний зміст похідної.

Теорема 2. Постійний множник можна виносити за знак вироб-

ної, тобто. якщо y cf (x), де с = const, то
				cf(x) .
Теорема 3. Похідна суми кінцевого числа диференційованих
функцій дорівнює сумі похідних цих функцій,						тобто. якщо y u (x) v (x),
		u(x) v(x) .
Теорема 4. Похідна					твори	двох диференційованих

функцій дорівнює добутку похідної першої функції другу плюс добуток похідної другої функції першу, тобто. якщо y u v , то

y u v v u .

Теорема 5 . Похідна приватного двох функцій, що диференціюються, дорівнює дробу, у якої знаменник дорівнює квадрату знаменника, а чисельник є різниця творів похідної чисельника на знаменник і вироб-

	водяної знаменника на чисельник, тобто. якщо

3.3. Похідна складної функції

Нехай дана складна функція у = f (x), тобто. така, що її можна подати в наступному вигляді: y=F(u), u=φ(x) або y=F(φ(x)). У виразі y=F(u) змінну u називають проміжним аргументом.

	Теорема. Якщо u = φ (x) має в деякій точці x похідну u x (x),
	функція F (u ) має при	відповідному			значенні u	похідну
y u F (u ) , то складна функція y=F (φ (x )) у зазначеній точці x також має
похідну, яка дорівнює					де замість u	повинно бути
		y x Fu		(u) x (x),

підставлено вираз u=φ(x).

3.4. Таблиця основних формул диференціювання

Об'єднаємо в одну таблицю всі основні формули та правила диференціювання.

	y const ,				y " 0 .
	y xn ,				y" nxn 1 .
	y x ,				y " 1 .
	y sin x ,				y "cos x.

Похідна функції - одна із складних тем у шкільній програмі. Не кожен випускник дасть відповідь на запитання, що таке похідна.

У цій статті просто і зрозуміло розказано про те, що таке похідна і для чого вона потрібна. Ми не будемо зараз прагнути математичної суворості викладу. Найголовніше – зрозуміти сенс.

Запам'ятаємо визначення:

Похідна – це швидкість зміни функції.

На малюнку – графіки трьох функцій. Як ви вважаєте, яка з них швидше росте?

Відповідь очевидна – третя. У неї найбільша швидкість зміни, тобто найбільша похідна.

Ось інший приклад.

Костя, Гриша та Матвій одночасно влаштувалися на роботу. Подивимося, як змінювався їхній дохід протягом року:

На графіці відразу все видно, чи не так? Дохід Кості за півроку зріс більш ніж удвічі. І у Гриші дохід теж зріс, але зовсім трохи. А прибуток Матвія зменшився до нуля. Стартові умови однакові, а швидкість зміни функції, тобто похідна, - Різна. Що ж до Матвія - у його доходу похідна взагалі негативна.

Інтуїтивно ми легко оцінюємо швидкість зміни функції. Але як це робимо?

Насправді ми дивимося, наскільки круто йде нагору (або вниз) графік функції. Іншими словами - наскільки швидко змінюється у зі зміною х. Очевидно, що та сама функція в різних точках може мати різне значення похідної - тобто може змінюватися швидше або повільніше.

Похідна функції позначається.

Покажемо як знайти за допомогою графіка.

Намальовано графік деякої функції. Візьмемо на ньому крапку з абсцисою. Проведемо у цій точці дотичну до графіку функції. Ми хочемо оцінити, наскільки круто вгору йде графік функції. Зручна величина для цього - тангенс кута нахилу дотичної.

Похідна функції у точці дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.

Зверніть увагу - як кут нахилу дотичної ми беремо кут між дотичним і позитивним напрямом осі.

Іноді учні запитують, що таке, що стосується графіку функції. Це пряма, що має на даній ділянці єдину загальну точку з графіком, причому так, як показано на малюнку. Схоже на дотичну до кола.

Знайдемо. Ми пам'ятаємо, що тангенс гострого кута прямокутного трикутника дорівнює відношенню протилежного катета до прилеглого. З трикутника:

Ми знайшли похідну за допомогою графіка навіть не знаючи формулу функції. Такі завдання часто зустрічаються в ЄДІ з математики під номером.

Є й інше важливе співвідношення. Згадаймо, що пряма задається рівнянням

Величина у цьому рівнянні називається кутовим коефіцієнтом прямої. Вона дорівнює тангенсу кута нахилу прямої до осі.

.

Ми отримуємо, що

Запам'ятаємо цю формулу. Вона виражає геометричний зміст похідної.

Похідна функції у точці дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної, проведеної графіку функції у цій точці.

Іншими словами, похідна дорівнює тангенсу кута нахилу дотичної.

Ми вже сказали, що в однієї й тієї функції в різних точках може бути різна похідна. Подивимося, як пов'язана похідна з поведінкою функції.

Намалюємо графік деякої функції. Нехай на одних ділянках ця функція зростає, на інших – зменшується, причому з різною швидкістю. І нехай ця функція матиме точки максимуму і мінімуму.

У точці функція зростає. Дотична до графіка, проведена в точці, утворює гострий кут з позитивним напрямом осі. Отже, у точці похідна позитивна.

У точці наша функція зменшується. Стосовна у цій точці утворює тупий кут з позитивним напрямом осі. Оскільки тангенс тупого кута негативний, у точці похідна негативна.

Ось що виходить:

Якщо функція зростає, її похідна є позитивною.

Якщо зменшується, її похідна негативна.

А що ж буде у точках максимуму та мінімуму? Ми бачимо, що у точках (точка максимуму) та (точка мінімуму) дотична горизонтальна. Отже, тангенс кута нахилу дотичної в цих точках дорівнює нулю, і похідна також дорівнює нулю.

Крапка - точка максимуму. У цій точці зростання функції змінюється зменшенням. Отже, знак похідної змінюється у точці з плюсу на мінус.

У точці - точці мінімуму - похідна теж дорівнює нулю, але її знак змінюється з мінусу на плюс.

Висновок: за допомогою похідної можна дізнатися про поведінку функції, що нас цікавить.

Якщо похідна позитивна, то функція зростає.

Якщо похідна негативна, то функція зменшується.

У точці максимуму похідна дорівнює нулю і змінює знак із «плюсу» на «мінус».

У точці мінімуму похідна теж дорівнює нулю і змінює знак з мінусу на плюс.

Запишемо ці висновки у вигляді таблиці:

	зростає	точка максимуму	зменшується	точка мінімуму	зростає
+	0	-	0	+

Зробимо два невеликі уточнення. Одне з них знадобиться вам під час вирішення завдань ЄДІ. Інше - першому курсі, за більш серйозному вивченні функцій і похідних.

Можливий випадок, коли похідна функції у будь-якій точці дорівнює нулю, але ні максимуму, ні мінімуму у функції у цій точці немає. Це так звана :

У точці дотична до графіка горизонтальна і похідна дорівнює нулю. Однак до точки функція зростала – і після точки продовжує зростати. Знак похідної не змінюється – вона як була позитивною, так і залишилася.

Буває й так, що в точці максимуму чи мінімуму похідна не існує. На графіці це відповідає різкому зламу, коли дотичну у цій точці провести неможливо.

Як знайти похідну, якщо функція задана не графіком, а формулою? У цьому випадку застосовується

Завдання B8 (ЄДІ 2013)

На малюнку зображено графік функції y=f(x), визначеної на інтервалі від (-5;9). Знайдіть кількість точок, у яких похідна функції f(x) дорівнює 0.

Рішення

Перше, на що ми звертаємо увагу – на малюнку дано графік функції(а не похідної функції). Далі, відзначаємо, що похідна функції f(x) дорівнює 0 у точках максимуму та мінімуму функції f(x), тобто. нам потрібно знайти кількість екстремумів функції f(x) на заданому інтервалі. На мові графіка це означає, що нам потрібно порахувати кількість "горбків" функції, тобто:

Отримуємо, що всього таких точок 9.

Завдання B8 (ЄДІ 2013)

На малюнку зображено графік y=f(x) та дотична до ньогоу точці з абсцисою. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці .

Рішення

Значення похідної функції f(x) у точці дотику дорівнює кутовому коефіцієнту дотичної. Тому нам треба скласти рівняння даної і графіку і знайти кутовий коефіцієнт. У випадку, рівняння дотичної має вигляд: y = kx+b. У цьому рівнянні k є той самий кутовий коефіцієнт, який ми будемо шукати.

На малюнку жирними точками відзначені точки, якими проходить наша дотична. Координати цих точок: (-4; -2) та (-2; 5). Так як дана пряма проходить через ці точки, то підставимо їх координати рівняння дотичної і знайдемо значення коефіцієнта k.

2 = -4k+b (підставили точку з координатами (-4;-2));

5 = -2k+b (підставили точку з координатами (-2; 5)).

Тепер віднімаємо з першого рівняння друге:

2 - 5 = -4k-(-2k);

Отримуємо шукане значення k=3,5, що те саме, що значення похідної функції f(x) у точці .

Відповідь: 3,5.

Завдання B8 (ЄДІ 2013)

На малюнку зображено графік y = f"(x) похідної функції f(x), визначеної на інтервалі (-2;9). У якій точці відрізка функція f(x) набуває найменшого значення?

Що таке похідна?
Визначення та сенс похідної функції

Багато хто здивується несподіваному розташуванню цієї статті в моєму авторському курсі про похідну функцію однієї змінної та її додатків. Адже як було ще зі школи: стандартний підручник насамперед дає визначення похідної, її геометричний, механічний зміст. Далі учні знаходять похідні функцій за визначенням, і, власне, лише потім відточується техніка диференціювання за допомогою таблиці похідних.

Але на мій погляд, більш прагматичний наступний підхід: перш за все, доцільно ДОБРО ЗРОЗУМІТИ межа функції, і, особливо, нескінченно малі величини. Справа в тому що визначення похідної виходить з понятті межі, яке слабо розглянуте у шкільному курсі Саме тому значна частина молодих споживачів граніту знань погано вникають у суть похідної. Таким чином, якщо ви слабо орієнтуєтеся в диференціальному обчисленні або мудрий мозок за довгі роки успішно позбувся його багажу, будь ласка, почніть з меж функцій. Заодно освоїте/згадайте їхнє рішення.

Той самий практичний сенс підказує, що спочатку вигідно навчитися знаходити похідні, в тому числі похідні складних функцій. Теорія теорією, а диференціювати, як кажуть, хочеться завжди. У зв'язку з цим краще опрацювати перелічені базові уроки, а може й стати майстром диференціюваннянавіть не усвідомлюючи сутності своїх дій.

До матеріалів цієї сторінки рекомендую приступати після ознайомлення із статтею Найпростіші завдання з похідною, де, зокрема, розглянуто завдання про дотичну до графіку функції. Але можна і почекати. Справа в тому, що багато додатків похідної не вимагають її розуміння, і не дивно, що теоретичний урок з'явився досить пізно - коли мені потрібно було пояснювати знаходження інтервалів зростання/зменшення та екстремумівфункції. Більше того, він досить довго перебував у темі « Функції та графіки», Поки я все-таки не вирішив поставити його раніше.

Тому, шановні чайники, не поспішайте поглинати суть похідної як голодні звірі, бо насичення буде несмачним і неповним.

Поняття зростання, зменшення, максимуму, мінімуму функції

Багато навчальних посібників підводять до поняття похідної за допомогою будь-яких практичних завдань, і я теж вигадав цікавий приклад. Уявіть, що ми маємо подорож до міста, до якого можна дістатися різними шляхами. Відразу відкинемо криві петляючі доріжки, і розглядатимемо лише прямі магістралі. Однак прямолінійні напрямки теж бувають різними: до міста можна дістатися рівним автобаном. Або по горбистій шосе - вгору-вниз, вгору-вниз. Інша дорога йде тільки в гору, а ще одна - весь час під ухил. Екстремали виберуть маршрут через ущелину з крутим урвищем та стрімким підйомом.

Але які б не були ваші уподобання, бажано знати місцевість або щонайменше розташовувати її топографічною картою. А якщо такої інформації немає? Адже можна вибрати, наприклад, рівний шлях, та в результаті натрапити на гірськолижний спуск із веселими фінами. Не факт, що навігатор та навіть супутниковий знімок дадуть достовірні дані. Тому непогано було б формалізувати рельєф шляху засобами математики.

Розглянемо деяку дорогу (вид збоку):

Про всяк випадок нагадую елементарний факт: подорож відбувається зліва направо. Для простоти вважаємо, що функція безперервнана ділянці, що розглядається.

Які особливості даного графіка?

На інтервалах функція зростає, тобто кожне наступне її значення більшепопереднього. Грубо кажучи, графік іде знизу вгору(забираємось на гірку). А на інтервалі функція зменшується– кожне наступне значення меншепопереднього, і наш графік йде зверху вниз(Спускаємося по схилу).

Також звернемо увагу на особливі точки. У точці ми досягаємо максимуму, тобто існуєтака ділянка шляху, на якому значення буде найбільшим (високим). У точці ж досягається мінімум, і існуєтака її околиця, у якій значення найменше (низьке).

Суворішу термінологію та визначення розглянемо на уроці про екстремуми функції, а поки що вивчимо ще одну важливу особливість: на проміжках функція зростає, але зростає вона з різною швидкістю. І перше, що впадає у вічі – на інтервалі графік злітає вгору набагато крутішеніж на інтервалі. Чи не можна виміряти крутість дороги за допомогою математичного інструментарію?

Швидкість зміни функції

Ідея полягає в наступному: візьмемо деяке значення (читається "дельта ікс"), яке назвемо збільшенням аргументу, і почнемо його «приміряти» до різних точок нашого шляху:

1) Подивимося на саму ліву точку: минаючи відстань, ми піднімаємося схилом на висоту (зелена лінія). Величина називається збільшенням функції, й у разі це приріст позитивно (різниця значень по осі – більше нуля). Складемо відношення, яке і буде мірилом крутості нашої дороги. Очевидно, що - це цілком конкретне число, і, оскільки обидва збільшення позитивні, то .

Увага! Позначення є ЄДИНИМсимволом, тобто не можна відривати дельту від ікса і розглядати ці літери окремо. Зрозуміло, коментар стосується символу збільшення функції.

Досліджуємо природу отриманого дробу змістовніше. Нехай спочатку ми знаходимося на висоті 20 метрів (у лівій чорній точці). Подолавши відстань метрів (ліва червона лінія), ми опинимося на висоті 60 метрів. Тоді збільшення функції складе метрів (зелена лінія) та: . Таким чином, на кожному метріцієї ділянки дороги висота збільшується в середньомуна 4 метри…не забули альпіністське спорядження? =) Інакше кажучи, побудоване ставлення характеризує СЕРЕДНЮ ШВИДКІСТЬ ЗМІНИ (у разі – зростання) функції.

Примітка : числові значення аналізованого прикладу відповідають пропорціям креслення лише приблизно.

2) Тепер пройдемо ту ж саму відстань від правої чорної точки. Тут підйом більш пологий, тому прирощення (малинова лінія) відносно невелике, і ставлення порівняно з попереднім випадком буде дуже скромним. Умовно кажучи, метрів та швидкість зростання функціїскладає. Тобто тут на кожен метр шляху доводиться в середньомупівметра підйому.

3) Невелика пригода на схилі гори. Подивимося верхню чорну точку, розташовану на осі ординат. Припустимо, що це позначка 50 метрів. Знову долаємо відстань, внаслідок чого опиняємося нижче – на рівні 30 метрів. Оскільки здійснено рух зверху вниз(в «протихід» напрямку осі), то підсумкове збільшення функції (висоти) буде негативним: метрів (коричневий відрізок на кресленні). І в даному випадку мова вже йде про швидкості спаданняфункції: , тобто за кожен метр шляху цієї ділянки висота зменшується в середньомуна 2 метри. Бережіть одяг на п'ятій точці.

Тепер запитаємо себе: яке значення «вимірювального еталона» найкраще використовувати? Цілком зрозуміло, 10 метрів – це дуже грубо. На них запросто вміститься добра дюжина купин. Та що там купини, внизу може бути глибока ущелина, а за кілька метрів – інша його сторона з подальшим стрімким підйомом. Таким чином, при десятиметровому ми не отримаємо зрозумілої характеристики подібних ділянок за допомогою відношення.

З проведеного міркування слідує висновок - чим менше значеннятим точніше ми опишемо рельєф дороги. Більше того, справедливі такі факти:

– Для будь-якоїточки підйомів можна підібрати значення (нехай і дуже мале), що вміщається у межах тієї чи іншої підйому. А це означає, що відповідне збільшення висоти буде гарантовано позитивним, і нерівність коректно вкаже зростання функції в кожній точці цих інтервалів.

– Аналогічно, для будь-якоїточки схилу існує значення, яке повністю вміститься на цьому схилі. Отже, відповідне збільшення висоти однозначно негативно, і нерівність коректно покаже зменшення функції в кожній точці даного інтервалу.

– Особливо цікавий випадок, коли швидкість зміни функції дорівнює нулю: . По-перше, нульове збільшення висоти () – ознака рівного шляху. А по-друге, є інші цікаві ситуації, приклади яких ви бачите на малюнку. Уявіть, що доля завела нас на саму вершину пагорба з орлами, що ширяють, або дно яру з жабами, що квакають. Якщо зробити невеликий крок у будь-який бік, то зміна висоти буде дуже мало, і можна сказати, що швидкість зміни функції фактично нульова. У точках спостерігається саме така картина.

Таким чином, ми підійшли до дивовижної можливості ідеально точно охарактеризувати швидкість зміни функції. Адже математичний аналіз дозволяє спрямувати збільшення аргументу нанівець: , тобто зробити його нескінченно малим.

За підсумком виникає ще одне закономірне питання: чи можна для дороги та її графіка знайти іншу функцію, яка повідомляла б нампро всі рівні ділянки, підйоми, спуски, вершини, низини, а також про швидкість зростання/зменшення в кожній точці шляху?

Що таке похідна? Визначення похідної.
Геометричний зміст похідної та диференціала

Будь ласка, прочитайте вдумливо та не надто швидко – матеріал простий та доступний кожному! Нічого страшного, якщо подекуди щось здасться не дуже зрозумілим, до статті завжди можна повернутися пізніше. Скажу більше, теорію корисно проштудувати кілька разів, щоб якісно усвідомити всі моменти (рада особливо актуальна для студентів-«технарів», у яких вища математика відіграє значну роль у навчальному процесі).

Звичайно, і в самому визначенні похідної в точці замінимо на :

До чого ми дійшли? А дійшли ми до того, що для функції згідно із законом ставиться у відповідність інша функція, яка називається похідною функцією(або просто похідною).

Похідна характеризує швидкість змінифункції. Яким чином? Думка йде червоною ниткою від початку статті. Розглянемо деяку точку області визначенняфункції. Нехай функція диференційована у цій точці. Тоді:

1) Якщо , то функція зростає у точці . І, очевидно, існує інтервал(нехай навіть дуже малий), що містить точку , у якому функція зростає, та її графік йде «знизу нагору».

2) Якщо , то функція зменшується у точці . І є інтервал, що містить точку , у якому функція зменшується (графік йде «згори донизу»).

3) Якщо , то нескінченно близькоПри точці функція зберігає свою швидкість постійної. Так буває, як зазначалося, у функції-константи та у критичних точках функції, зокрема у точках мінімуму та максимуму.

Трохи семантики. Що в широкому розумінні означає дієслово «диференціювати»? Диференціювати – це означає виділити будь-яку ознаку. Диференціюючи функцію , ми «виділяємо» швидкість її у вигляді похідної функції . А що, до речі, розуміється під словом похідна? Функція відбуласявід функції.

Терміни дуже вдало тлумачить механічний зміст похідної. :
Розглянемо закон зміни координати тіла, що залежить від часу, та функцію швидкості руху даного тіла. Функція характеризує швидкість зміни координати тіла, тому першої похідної функції за часом: . Якби в природі не існувало поняття «рух тіла», то не існувало б і похідногопоняття "швидкість тіла".

Прискорення тіла – це швидкість зміни швидкості, тому: . Якби в природі не існувало вихідних понять «рух тіла» та «швидкість руху тіла», то не існувало б і похідногопоняття «прискорення тіла».