Ступінна функція, її властивості та графік Демонстраційний матеріал Урок-лекція Поняття функції. Властивості функції

На минулому занятті ми повторили та узагальнили знання на тему «Поняття про показник ступеня».

Згадаймо, що якщо - пе дільне на ку звичайна дріб, причому ку не дорівнює одиниці і а більше або дорівнює нулю, то під виразом а в ступеня пе делено на ку розуміють корінь ступеня ку з а в степені пе.

Наприклад, число одна ціла три десятих у ступеня три сьомих можна записати як, корінь сьомого ступеня у складі одна ціла три десятих у кубі.

Функції виду, де k-будь-яке дійсне число, прийнято називати статечними функціями.

Сьогодні ми розглянемо випадок, якщо k-раціональний (дрібний) показник.

В курсі алгебри 7-9 класів ви вивчали властивості та графіки статечних функцій з натуральним показником. Функція (k-будь-яке дійсне число), статечна функція.

При k=n (n∈N), -ступенева функція з натуральним показником.

Згадаймо графіки таких функцій.

Графіком функції або у = х (гравець дорівнює ікс у першому ступені або ігр рівний ікс) є пряма.

Графіком функції (гравець дорівнює ікс у квадраті) є парабола.

Графіком функції (гравець дорівнює ікс у кубі) є кубічна парабола.

Графік статечної функції (гравець дорівнює ікс у ступені ка) у разі парного k — схожий на параболу. На малюнку показаний графік статечної функції при рівному шести.

Графік статечної функції (гравець дорівнює ікс у ступені ка) у разі непарного k - схожий на кубічну параболу. На малюнку показаний графік статечної функції при k рівному семи.

У разі якщо в показнику статечної функції ціле від'ємне число, то отримаємо функцію виду: гравець рівне ікс у ступеню мінус ен або ігрок дорівнює один поділений на ікс енною мірою.

Якщо n — парне число, то графік має вигляд, зображений малюнку.

Де показана функція у=х-2, або у=

Якщо n — непарне число, то графік має такий вигляд.

На кресленні зображено функцію у = х-3, або у =

Якщо показник статечної функції дорівнює нулю, то функція набуде вигляду: .Графіком такої функції є пряма, що проходить через ординату один і паралельна осі абсцис.

При k=-n (n∈Z), -ступова функція з цілим негативним показником.

Розглянемо статечну функцію (гравець рівне ікс ступенем k), де k — негативне чи позитивне дробове число.

Як приклад побудуємо графік статечної функції (гравець дорівнює ікс ступеня дві цілих три десятих).

Області її визначення (тобто всі значення, прийняті ікс) є промінь з початком у точці нуль.

У цій галузі визначення побудуємо графіки функцій (ігрок рівний ікс у квадраті) - це гілка параболи, виділена світло зеленим кольором і (ігрок рівне ікс у кубі) - гілка кубічної параболи, виділена темно-зеленим кольором.

Неважко переконатися в тому, що на інтервалі (0;1) кубічна парабола розташована нижче за параболу, а на відкритому промені (1;+) — вище.

Зверніть увагу, що графіки функцій (гравець дорівнює ікс у квадраті), (гравець дорівнює ікс у ступені дві цілих три десятих) і (гравець дорівнює ікс у кубі) проходять через точки (0; 0) і (1; 1).

При інших значеннях аргументу ікс графік функції (гравець дорівнює ікс ступеня дві цілих три десятих) знаходиться між графіками функцій (гравець дорівнює ікс у квадраті) і (гравець дорівнює ікс в кубі).

Аналогічно справи з будь-якою статечною функцією, де — неправильний дріб, тобто чисельник m більше знаменника n. Графіком цієї функції є крива, схожа на гілку параболи.

Чим більший показник функції k, тим «крутіше» спрямована гілка.

На малюнку показаний графік функції ігор дорівнює ікс у ступеня сім других.

Таким чином, можна виділити наступні властивості статечної функції ігор дорівнює ікс у ступеню ем ділено на ен, де чисельник m більше знаменника n.

1. Областю визначення є значення ікс від нуля до плюс нескінченності.

4.Знизу обмежена віссю абсцис, зверху не обмежена.

5.Функція приймає найменше значення нуль; найбільшого значення немає.

8. Випукла вниз.

Побудуємо графік функції, де -правильний дріб (числитель менший за знаменник) і 0< <1.

Розглянуті раніше властивості і графік функції (гравець дорівнює корінь енного ступеня з ікс) або (гравець дорівнює ікс у степені один поділений на ен), застосовні також і до функції, де -правильний дріб і 0< <1.

Згадаймо ці властивості:

1. Областю визначення є значення ікс від нуля до плюс нескінченності.

2. Функція не є ні парною, ні непарною.

3. Функція зростає по всій області визначення.

5. Функція набуває найменшого значення нуль; найбільшого значення немає.

6. Функція безперервна по всій області визначення.

7. Областью значення функції є значення ігор від нуля до плюс нескінченності.

8. Випукла вгору. функція, де -правильний дріб (числитель менший за знаменник) і 0<

2. Ні парна ні непарна.

3. Зростає на.

4. Знизу обмежена віссю абсцис, зверху не обмежена.

5. yнай=0; найбільшого значення немає.

6. Безперервна.

8. Випукла вгору.

Розглянемо наступний вид статечної функції - функцію виду: гравець дорівнює ікс у ступені мінус ем ділено на ен.

Раніше ми побудували графік статечної функції з цілим негативним показником ігор дорівнює ікс у ступені мінус k, де k - натуральне число.

Якщо ікс більше нуля, графік цієї функції схожий на галузь гіперболи.

Аналогічним чином будується графік будь-якої статечної функції з негативним раціональним (дрібним) показником.

Слід мати на увазі, що графік такої функції має дві асимптоти: горизонтальну - гравець дорівнює нулю і вертикальну асимптоту - ікс дорівнює нулю.

Отже, статечна функція ігор дорівнює ікс у ступені мінус ем ділено на ен має наступні властивості (причому ікс більше нуля, так як у разі негативного підстави з негативним показником ступінь вираження не має сенсу):

1) Область визначення - відкритий промінь від нуля до нескінченності.

2) Функція не є ні парною, ні непарною.

3) Функція зменшується по всій області визначення.

4) Знизу обмежена віссю абсцис, зверху не обмежена.

5) Функція не має найменшого та найбільшого значення.

6) Функція безперервна по всій області визначення.

7) Областью значення функції є значення ігор від нуля до плюс нескінченності.

8) Випукла вниз.

Властивості статечної функції (x 0):

2). Ні парна ні непарна.

3). Знижена.

4). Знизу обмежена віссю абсцис, зверху не обмежена.

5). Не має найменшого та найбільшого значення.

6). Безперервна на

8). Випукла вниз.

Ви вже знаєте, що похідна статечної функції виду ігорок дорівнює ікс ступенем ен, де n — натуральне число, що дорівнює n помножене на ікс ступенем n мінус один.

Аналогічно можна обчислити похідну статечної функції з раціональним показником.

Таким чином, вірна така теорема:

Якщо ікс більше за нуль і r — довільне раціональне число, то похідна статечної функції ігор дорівнює ікс у ступені r, і обчислюється за формулою: похідна ікс у ступені r дорівнює r помножене на ікс у ступені r мінус один.

Наприклад, похідна а мінус третього ступеня дорівнює мінус три а в ступені мінус чотири.

Похідна ікс у ступені мінус дві треті дорівнює мінус дві третіх ікс у ступені мінус п'ять третіх.

Тут мінус один представили у вигляді неправильного дробу три треті, потім склали дроби мінус два третіх і мінус три третіх.

Теорема: якщо x>0, r-раціональне число, то

Не важко отримати відповідну формулу для інтегрування статечної функції при r не рівному одному. Отже, невизначений інтеграл від ікс ступенем r дорівнює ікс ступенем r плюс один, поділений на r плюс один і плюс константа це.

Не складно зрозуміти, що функція дорівнює ікс ступенем r плюс один, поділений на r плюс один є первісною для функції ігор дорівнює ікс ступеня r. Формула для інтегрування статечної функції:

Функція є першорядною для функції.

Розглянемо застосування отриманих знань при побудові графіка статечної функції.

Побудувати графік функції ігор дорівнює ікс плюс два в ступені одна друга.

1.Побудуємо графік функції ікс ступеня одна друга. Це функція виду, де -правильний дріб (числитель менший за знаменник) і 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2.Очевидно, що графік функції ігор дорівнює ікс плюс два в ступені одна друга будується за допомогою паралельного перенесення щодо осі ікс на дві одиниці вліво. На малюнку графік виділено зеленим кольором.

Побудувати графік функції

1. -приватний випадок для функції виду, де -правильний дріб (числитель менший за знаменник) і 0< <1.

2. Графік отримано паралельним перенесенням вздовж осі X на 2 одиниці вліво.

План – конспект уроку:

«Степенева функція, її властивості та графік»

ПІБ Стадник Олена Іванівна

Місце роботиСанкт-Петербург, Пушкінський район ГБОУ школа №606 с

поглибленим вивченням англійської.

Посадавчителі математики

ПредметМатематики

Клас 10

Тема та номер у темі«Ступінна функція, її властивості та графіки»

2 урок у темі (всього 2 уроки)

Базовий підручникШ.А.Алімов, Ю.М.Колягін, Ю.В.Сідорів, Н.Є.Федорова та ін.

«Алгебра та початку аналізу 10-11», підручник для освітніх установ Рекомендовано Міністерством освіти Російської Федерації: 9-евидання Москва Просвітництво 2007р.

Мета уроку:Формування навичок застосування знань з цієї теми під час вирішення стандартних і нестандартних алгебраїчних завдань. Формування здатності до інтеграції знань із різних тем курсу математики

Завдання:

Освітні: (формування пізнавальних УУД)

вміти порівнювати числа, вирішувати нерівності за допомогою графіків та (або) властивостей статечної функції

Виховні: (формування комунікативних та особистісних УУД)

виховувати стійкий інтерес до предмета, формувати комунікативну компетенцію учнів, виховувати відповідальність та акуратність

Тип уроку:узагальнення та систематизація знань

Методи:обговорення, спостереження, порівняння, досвід.

Обладнання:дошка, мультимедіа – обладнання, інтерактивна дошка, комп'ютер, дидактичний матеріал, плакат з графіками до №126(2;3)

Хід уроку:

1.Організаційний момент:(2 хв.) на повторення теорії з опорного конспекту.

2.Перевірка домашнього завдання за групами.(10 хв.)

Обов'язковий рівень (1 група)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

№119(2,4,6) з місця вказують D (f ),E (f ) у вигляді числових проміжків та номер малюнка по опорному конспекту .(див додаток 1)

Зразок відповіді:

№119(2): D(f)=(); E (f) = (), рис2

№119(4): D(f)=(),(0; ),

E (f) = (0; ), рис3

№119(6):): D (f) =; ); E(f) = ; ), рис5

№124(2) з місця

Зразок відповіді:

За рис.13 з підручника графік

лежить вище за графік функції

.

№128.На дошці 1 учень записує відповіді питання і будує схематично графіки функций.

Зразки відповідей

2) ; D (f) =; );

E(f) = ; );

4); D (f) = (-1;); E (f) = (0; );

Поглиблений рівень (2 група) Поки вчитель з 1 групою перевіряє Д/З, учні 2 групи виконують картки. А один учень біля дошки№129(2,4) Зразок відповіді:

D () = R; E() = ; );

4). D () = R; E() = ; );

Картка 1 варіант.

Картка 2 варіант.

№1. Зобразіть схематично графіки функцій:

№2. Знайти координати точок перетину графіків функцій:

III . Актуалізація опорних знань:(12 хв.)

1.Вкажіть область визначення та безліч значень функції:

,

2.Якими зростаючими чи спадними є дані функції:

,

3. Дана функція

Записати у зошит висновок

Для всіх функцій

4. №122 (усно). Користуючись властивостями статечної функції,порівняти з одиницею:

Зразок відповіді:

№126(1) - біля дошки (№126(2,3) самостійно за варіантами).

Зразок відповіді:

У одній системі координат побудувати графіки функций.

IV . Виконання вправ. ( 4 хв.)

№125 (1,3,5,7) під диктовку.

Порівняйте значення виразів:

Зразок відповіді: (ще раз звернемося до опорного конспекту)

3); т.к. та функція;

5); т.к. ; і функція – спадна;

7); т.к. і функція – зростаюча.

V . Домашнє завдання:(1 хв.)

1група - №№ 125 (парні), 175 (2,6), 177 (1,3)

2 група - № 184(2,4),177(2,4),182(2,3).

VI . Підсумки уроку:(3хв.) Учні формулюють основні висновки уроку:

Якщо показник ступеня не ціле число, то графік функції знаходиться в I чверті.

Якщо показник ступеня є позитивним не ціле число, функція зростає.

Якщо показник ступеня негативне ціле число, то функція зменшується. (Показ слайдів)

VII . Тест (10 хв.) (Додаток 2)В1 і В2 на "4" і "5", В3 і В4 - обов'язковий рівень (по одному балу за правильну відповідь).

VIII . Додаткові завдання. ( 3 хв.)

Розв'язати рівняння: Вар1.

Відповідь:-1;6. Відповідь:-4;4.

Тема урока: «Ступіньні функції, їх властивості та графіки»

Цілі уроку:

Освітня:

Створити умови для формування знань про властивості та особливості графіків статечних функцій y = x r при різних значеннях r.

Розвиваючі:

Сприяти розвитку інформаційних умінь учнів: уміння працювати з текстом слайду, уміння складати опорний конспект.

Сприяти розвитку творчої та розумової діяльності учнів.

Продовжити формування вмінь чітко та ясно викладати свої думки, аналізувати, робити висновки.

Виховні:

Продовжити розвиток культури математичної мови.

Сприяти формуванню комунікативної компетентності.

Тип уроку:комбінований

Форми організації навчальної діяльності:фронтальна, індивідуальна.

Методи:пояснювально-ілюстративний, частково-пошуковий.

Засоби навчання:

комп'ютер, медіапроектор;

класна дошка;

слайдова презентація (PowerPoint), (додаток 1);

підручник «Алгебра та початку аналізу» під ред. А.Г.Мордковича;

робочий зошит, креслярські інструменти;

опорний конспект теми (документ Word), (додаток 3);

Внаслідок вивчення теми учні повинні

Знати:поняття статечної функції,

властивості статечної функції залежно від показника

Вміти:називати властивості статечної функції залежно від показника,

будувати графіки (ескізи графіків) статечних функцій з раціональним

показником,

виконувати найпростіші перетворення графіків,

вміти складати опорний конспект,

вміти чітко та ясно викладати свої думки, аналізувати, робити висновки.

Хід уроку: Ми продовжуємо роботу над формуванням умінь побудови графіків статечних функцій. Ціла низка таких функцій знайомі нам з курсу алгебри 7-9 класів, це функції з натуральним показником, і статечні функції з негативним цілим показником. На минулому уроці ми записали з вами теорію з важливих функцій з дробовими показниками

у = х р, де р - задане дійсне число

Властивості та графік статечної функції залежать від властивостей ступеня з дійсним показником, і зокрема від того, за яких значеннях х і р має сенс ступінь х р.

2.

Узагальнення властивостей статечної функції. Робота із опорним конспектом.

1.Робота на дошці: побудувати графіки функцій. у = х 4, у = х 7, у = х -2, у = х -5, у = х 2/5, у = х 1,3, у = х -1/3

7 осіб працюють біля дошки, що залишилися на місцях, об'єднані в групи для подальшої перевірки

Перелічуємо властивості за планом.

Область визначення.

Область значень (безліч значень).

парність, непарність функції.

Зростання, спадання.

Після закінчення роботи перевірка учнями, які залишалися на місцях (на екран висвічуються слайди з графіками функцій).

2. "математичне лото" На екрані висвічуються готові графіки функцій, на дошці записані набори формул, необхідно встановити взаємозв'язок.

Взаємоперевірка:

Правильні відповіді: №1 578 643 192

3 Усна робота

1. Використовуючи графіки даних функцій, знайти проміжки, на яких графік функції у = х лежить вище (нижче) графіка функції у = х.

2. Використовуючи графіки даних функцій, знайти проміжки, у яких графік функції у=х sin 45 лежить вище (нижче) графіка функції у = х.

3. Користуючись малюнком, знайти проміжки, у яких графік функції у=х 1- π лежить вище (нижче) графіка функції у = х.

Перетворення графіків

У багатьох випадках графіки функцій можуть бути побудовані шляхом деяких перетворень вже відомих графіків функцій більш простого виду. Згадаймо деякі з них.

Розглянути усно перетворення графіка статечної функції, а потім побудувати два графіки.

Самостійна робота

Задайте самостійно статечну функцію, побудуйте її графік, опишіть властивості

4.3 СТІПОВА ФУНКЦІЯ, ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ ТА ГРАФІКИ

Зміст навчального матеріалу:

1.Степенева функція, визначення, позначення.

2.Основні властивості статечної функції.

3.Графіки статечної функції та їх особливості.

4. Обчислення значень функцій значення аргументу. Визначення положення точки на графіку за її координатами та навпаки.

5.Використання властивостей функцій для порівняння значень ступенів.

Ступіньною називають функцію виду y = x r , дех-основа ступеня,

r- Показник ступеня, Властивості статечної функції визначаються її показником. Розглянемо основні властивості статечних функцій з різними показниками та їх графіки.

а) Властивості функції y = x r , r > 1

D(х) = )