Модуль суми векторів за координатами. Вектори для чайників

Характеризується величиною та напрямком. Наприклад, у геометрії та в природничих науках вектор є спрямований відрізок прямий у евклідовому просторі (або на площині).

Є одним з основних понять лінійної алгебри. При використанні найбільш загального визначення векторами виявляються практично всі об'єкти, що вивчаються в лінійній алгебрі, в тому числі матриці , тензори , проте, за наявності в навколишньому контексті цих об'єктів, під вектором розуміються відповідно вектор-рядок або вектор-стовпець , тензор першого рангу. Властивості операцій над векторами вивчаються у векторному обчисленні.

Позначення [ | ]

Векторний набір n (\displaystyle n)елементів (компонент) a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n))позначають такими способами:

⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ , (a 1 , a 2 , … , a n) , ( a 1 , a 2 , … , a n ) (\displaystyle \langle a_(1),a_(2), \ldots ,a_(n)\,\rangle ,\ \left(a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n)\,\right),\(a_(1),a_(2) ,\ldots ,a_(n)\,\)).

Для того, щоб підкреслити, що це вектор (а не скаляр), використовують рису зверху, зверху стрілочку, жирний або готичний шрифт:

a , a → , a , A , a . (\displaystyle (\bar (a)), \ (\vec (a)), \mathbf (a) ,(\mathfrak (A)),\ (\mathfrak (a)).)

Додавання векторів майже завжди позначається знаком плюс:

a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))).

Множення на число - просто написанням поряд, без спеціального знака, наприклад:

k b → (\displaystyle k(\vec (b))),

причому число у своїй зазвичай пишуть зліва.

Загальноприйнятих позначень вектора немає, використовуються жирний шрифт, риса чи стрілка над літерою, готичний алфавіт та інших.

У геометрії [ | ]

У геометрії під векторами розуміють спрямовані відрізки. Цю інтерпретацію часто використовують у комп'ютерній графіці, будуючи карти освітлення, за допомогою нормалей до поверхонь. Також за допомогою векторів можна знаходити площі різних фігур, наприклад трикутників і паралелограмів, а також об'єми тіл: тетраедра та паралелепіпеда.
Іноді з вектором ототожнюють напрямок.

Вектор у геометрії природно зіставляється переносу (паралельному переносу), що, очевидно, прояснює походження його назви (лат. vector, несучий). Дійсно, будь-який спрямований відрізок однозначно визначає собою якесь паралельне перенесення площини або простору, і навпаки, паралельне перенесення однозначно визначає собою єдиний спрямований відрізок (однозначно - якщо вважати рівними всі спрямовані відрізки однакового напрямку та довжини - тобто розглядати їх як вільні вектори) .

Інтерпретація вектора як переносу дозволяє природним та інтуїтивно очевидним способом ввести операцію складання векторів - як композиції (послідовного застосування) двох (або кількох) переносів; те саме стосується й операції множення вектора на число.

У лінійній алгебрі[ | ]

Загальне визначення[ | ]

Найбільш загальне визначення вектора дається засобами загальної алгебри:

• Позначимо F (\displaystyle (\mathfrak (F)))(готична F) деяке поле з безліччю елементів F (\displaystyle F), адитивною операцією + (\displaystyle +), мультиплікативною операцією ∗ (\displaystyle *), та відповідними нейтральними елементами : адитивною одиницею та мультиплікативною одиницею 1 (\displaystyle 1).
• Позначимо V (\displaystyle (\mathfrak (V)))(готична V) деяку абелеву групу з безліччю елементів V (\displaystyle V), адитивною операцією + (\displaystyle +)і, відповідно, з адитивною одиницею 0 (\displaystyle \mathbf (0) ).

Інакше кажучи, нехай F = ⟨ F; + , ∗ ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (F))=\langle F;+,*\rangle )і V = ⟨ V; + ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (V))=\langle V;+\rangle ).

Якщо існує операція F × V → V (\displaystyle F\times V\to V), Така що для будь-яких a , b ∈ F (\displaystyle a,b\in F)і для будь-яких x , y ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \in V)виконуються співвідношення:

Вектор як послідовність[ | ]

Вектор- (Послідовність, кортеж) однорідних елементів. Це найбільш загальне визначення тому, що може бути не задано звичайних векторних операцій взагалі, їх може бути менше, або вони можуть не задовольняти звичайним аксіомам лінійного простору . Саме в такому вигляді вектор розуміється у програмуванні , де, як правило, позначається ім'ям-ідентифікатором із квадратними дужками (наприклад, object). Перелік властивостей моделює прийняте в

Нарешті у мене дісталися руки до великої та довгоочікуваної теми. аналітичної геометрії. Спочатку трохи про цей розділ вищої математики. Напевно, вам зараз згадався курс шкільної геометрії з численними теоремами, їх доказами, кресленнями тощо. Що приховувати, зненавиджений і часто малозрозумілий предмет для значної частки учнів. Аналітична геометрія, як не дивно, може здатися більш цікавою та доступною. Що означає прикметник «аналітична»? На думку відразу приходять два штамповані математичні обороти: «графічний метод рішення» та «аналітичний метод рішення». Графічний метод, Зрозуміло, пов'язані з побудовою графіків, креслень. Аналітичнийж методпередбачає вирішення завдань переважноза допомогою алгебраїчних процесів. У зв'язку з цим алгоритм розв'язання практично всіх завдань аналітичної геометрії простий і прозорий, часто досить акуратно застосувати потрібні формули – і відповідь готова! Ні, звичайно, зовсім без креслень тут не обійдеться, до того ж для кращого розуміння матеріалу я намагатимусь наводити їх понад необхідність.

Відкривається курс уроків з геометрії не претендує на теоретичну повноту, він орієнтований рішення практичних завдань. Я включу у свої лекції тільки те, що, на мій погляд, є важливим у практичному плані. Якщо вам потрібна повна довідка по якомусь підрозділу, рекомендую наступну цілком доступну літературу:

1) Річ, з якою, без жартів, знайомо кілька поколінь: Шкільний підручник з геометрії, автори – Л.С. Атанасян та Компанія. Ця вішалка шкільної роздягальні вже витримала 20 (!) перевидань, що, звичайно, не є межею.

2) Геометрія у 2 томах. Автори Л.С. Атанасян, Базильов В.Т. Це література для вищої школи, вам знадобиться перший том. З мого поля зору можуть випадати завдання, що рідко зустрічаються, і навчальний посібник надасть неоціненну допомогу.

Обидві книги можна завантажити безкоштовно в Інтернеті. Крім того, можете використовувати мій архів із готовими рішеннями, який можна знайти на сторінці Завантажити приклади з вищої математики.

З інструментальних засобів пропоную знову ж таки власну розробку – програмний комплексз аналітичної геометрії, який значно спростить життя та заощадить масу часу.

Передбачається, що читач знайомий з базовими геометричними поняттями та фігурами: точка, пряма, площина, трикутник, паралелограм, паралелепіпед, куб і т.д. Бажано пам'ятати деякі теореми, хоча б теорему Піфагора, привіт другорічникам)

Нині ж ми послідовно розглянемо: поняття вектора, дії з векторами, координати вектора. Далі рекомендую прочитати найважливішу статтю Скалярний добуток векторів, а також і Векторний та змішаний твір векторів. Не зайвою буде і локальне завдання - Розподіл відрізка в цьому відношенні. На основі вищезгаданої інформації можна освоїти рівняння прямої на площиніз найпростішими прикладами рішеньщо дозволить навчитися вирішувати завдання з геометрії. Також корисні такі статті: Рівняння площини у просторі, Рівняння прямої у просторі, Основні завдання на пряму та площину, інші розділи аналітичної геометрії. Природно, принагідно розглядатимуть типові завдання.

Концепція вектор. Вільний вектор

Спочатку повторимо шкільне визначення вектора. Векторназивається спрямованийвідрізок, для якого вказано його початок та кінець:

У разі початком відрізка є точка , кінцем відрізка – точка . Сам вектор позначений через . Напряммає важливе значення, якщо переставити стрілку в інший кінець відрізка, то вийде вектор , і це вже зовсім інший вектор. Поняття вектора зручно ототожнювати з рухом фізичного тіла: погодьтеся, зайти у двері інституту або вийти з дверей інституту – це різні речі.

Окремі точки площини, простору зручно вважати так званим нульовим вектором. У такого вектора кінець і початок збігаються.

!!! Примітка: Тут і далі можете вважати, що вектори лежать в одній площині або вважати, що вони розташовані в просторі - суть матеріалу, що викладається, справедлива і для площини і для простору.

Позначення:Багато хто відразу звернув увагу на паличку без стрілочки в позначенні і сказав, там же зверху ще стрілку ставлять! Правильно, можна записати зі стрілкою: , але допустима і запис , який я використовуватиму надалі. Чому? Мабуть, така звичка склалася з практичних міркувань, надто різнокаліберними та волохатими виходили мої стрілки у школі та ВНЗ. У навчальній літературі іноді взагалі не морочаться клинописом, а виділяють букви жирним шрифтом: , маючи на увазі тим самим, що це вектор.

То була стилістика, а зараз про способи запису векторів:

1) Вектори можна записати двома великими латинськими літерами:
і так далі. При цьому перша літера обов'язковопозначає точку-початок вектора, а друга літера - точку-кінець вектора.

2) Вектори також записують маленькими латинськими літерами:
Зокрема, наш вектор можна для стислості перепозначити маленькою латинською літерою.

Довжиноюабо модулемненульового вектора називається довжина відрізка. Довжина нульового вектора дорівнює нулю. Логічно.

Довжина вектора позначається знаком модуля: ,

Як знаходити довжину вектора ми дізнаємося (або повторимо, для кого як) трохи згодом.

Це були елементарні відомості про вектор, знайомі всім школярам. В аналітичній геометрії розглядається так званий вільний вектор.

Якщо дуже просто – вектор можна відкласти від будь-якої точки:

Такі вектори ми звикли називати рівними (визначення рівних векторів буде дано нижче), але чисто з математичної точки зору це ОДИН І ТОЙ Ж ВЕКТОР або вільний вектор. Чому вільний? Тому що в ході вирішення завдань ви можете «прилаштувати» той чи інший «шкільний» вектор у БУДЬ-ЯКУ, потрібну вам точку площини чи простору. Це дуже крута властивість! Уявіть спрямований відрізок довільної довжини та напрямки – його можна «клонувати» нескінченну кількість разів і в будь-якій точці простору, по суті, він існує СКРІЗЬ. Є така студентська приказка: Кожному лектору в ж**у по вектору. Адже не просто дотепна рима, все майже коректно – спрямований відрізок можна влаштувати і туди. Але не поспішайте радіти, частіше страждають самі студенти.

Отже, вільний вектор– це безліч однакових спрямованих відрізків. Шкільне визначення вектора, дане на початку параграфа: «Вектором називається спрямований відрізок…», має на увазі конкретнийспрямований відрізок, взятий з цієї множини, який прив'язаний до певної точки площини або простору.

Слід зазначити, що з погляду фізики поняття вільного вектора у випадку некоректно, і точка застосування має значення. Дійсно, прямий удар однакової сили по носі чи по лобі вистачить розвивати мій безглуздий приклад спричиняє різні наслідки. Втім, невільнівектори зустрічаються і в курсі вышмата (не ходіть туди:)).

Дії з векторами. Колінеарність векторів

У шкільному курсі геометрії розглядається ряд дій та правил із векторами: додавання за правилом трикутника, додавання за правилом паралелограма, правило різниці векторів, множення вектора на число, скалярний добуток векторів та ін.Для затравки повторимо два правила, які особливо актуальні на вирішення завдань аналітичної геометрії.

Правило складання векторів за правилом трикутників

Розглянемо два довільні ненульові вектори і :

Потрібно знайти суму даних векторів. Через те, що всі вектори вважаються вільними, відкладемо вектор від кінцявектор :

Сумою векторів і є вектор. Для кращого розуміння правила в нього доцільно вкласти фізичний зміст: нехай деяке тіло зробило шлях вектором, а потім вектором. Тоді сума векторів є вектором результуючого шляху з початком у точці відправлення і кінцем у точці прибуття. Аналогічне правило формулюється для будь-якої кількості векторів. Як кажуть, тіло може пройти свій шлях сильно підданим по зигзагу, а може і на автопілоті - по результуючого вектора суми.

До речі, якщо вектор відкласти початкувектора , то вийде еквівалентне правило паралелограмадодавання векторів.

Спочатку про колінеарність векторів. Два вектори називаються колінеарнимиякщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих. Грубо кажучи, йдеться про паралельні вектори. Але стосовно них завжди використовують прикметник «колінеарні».

Уявіть два колінеарні вектори. Якщо стрілки даних векторів спрямовані в однаковому напрямку, такі вектори називаються співспрямованими. Якщо стрілки дивляться в різні боки, вектори будуть протилежно спрямовані.

Позначення:колінеарність векторів записують звичним значком паралельності: при цьому можлива деталізація: (вектори сонаправлены) або (вектори спрямовані протилежно).

Творомненульового вектора на число є такий вектор, довжина якого дорівнює, причому вектори і сонаправлены і протилежно спрямовані при .

Правило множення вектора на число легко зрозуміти за допомогою малюнка:

Розбираємось детальніше:

1) Напрямок. Якщо множник негативний, то вектор змінює напрямокна протилежне.

2) Довжина. Якщо множник укладено в межах або , то довжина вектора зменшується. Так, довжина вектора вдвічі менша за довжину вектора . Якщо множник за модулем більше одиниці, то довжина вектора збільшуєтьсяв раз.

3) Зверніть увагу, що всі вектори колінеарніпри цьому один вектор виражений через інший, наприклад, . Назад теж справедливоЯкщо один вектор можна виразити через інший, то такі вектори обов'язково колінеарні. Таким чином: якщо ми множимо вектор на число, то вийде колінеарний(По відношенню до вихідного) вектор.

4) Вектори спрямовані. Вектори також співспрямовані. Будь-який вектор першої групи протилежно спрямований стосовно будь-якого вектора другої групи.

Які вектори є рівними?

Два вектори рівні, якщо вони спрямовані і мають однакову довжину. Зауважте, що сонаправленность передбачає колінеарність векторів. Визначення буде неточним (надлишковим), якщо сказати: «Два вектори рівні, якщо вони колінеарні, співспрямовані та мають однакову довжину».

З погляду поняття вільного вектора, рівні вектори – це той самий вектор, що вже йшлося у попередньому параграфі.

Координати вектора на площині та у просторі

Першим пунктом розглянемо вектори на площині. Зобразимо декартову прямокутну систему координат і від початку координат відкладемо одиничнівектори та :

Вектори та ортогональні. Ортогональні = Перпендикулярні. Рекомендую потихеньку звикати до термінів: замість паралельності та перпендикулярності використовуємо відповідно слова колінеарністьі ортогональність.

Позначення:ортогональність векторів записують звичною позначкою перпендикулярності, наприклад: .

Вектори, що розглядаються, називають координатними векторамиабо ортами. Дані вектори утворюють базисна площині. Що таке базис, думаю, інтуїтивно багатьом зрозуміло, більш детальну інформацію можна знайти у статті Лінійна (не) залежність векторів. Базис векторів.Простими словами, базис і початок координат задають всю систему - це своєрідний фундамент, на якому вирує повне і насичене геометричне життя.

Іноді побудований базис називають ортонормованимбазисом площини: «орто» – оскільки координатні вектори ортогональні, прикметник «нормований» означає одиничний, тобто. Довжина векторів базису дорівнює одиниці.

Позначення:базис зазвичай записують у круглих дужках, усередині яких у суворій послідовностіперераховуються базисні вектори, наприклад: . Координатні вектори не можнапереставляти місцями.

Будь-якийвектор площині єдиним чиномвиражається у вигляді:
, де - числаякі називаються координатами векторау цьому базисі. А сам вираз називається розкладання векторапо базису .

Вечеря подана:

Почнемо з першої літери алфавіту: . По кресленню добре видно, що з розкладанні вектора по базису використовуються щойно розглянуті:
1) правило множення вектора на число: і;
2) складання векторів за правилом трикутника: .

А тепер подумки відкладіть вектор від будь-якої іншої точки площини. Цілком очевидно, що його розкладання «невідступно слідуватиме за ним». Ось вона, свобода вектора - вектор "все носить при собі". Ця властивість, зрозуміло, слушна для будь-якого вектора. Смішно, що самі базисні (вільні) вектори не обов'язково відкладати від початку координат, один можна намалювати, наприклад, ліворуч унизу, а інший – праворуч вгорі, і від цього нічого не зміниться! Щоправда, робити так не потрібно, оскільки викладач теж виявить оригінальність і намалює вам зараховане в несподіваному місці.

Вектори , ілюструють в точності правило множення вектора на число, вектор направлений з базисним вектором , вектор направлений протилежно до базисного вектора . У даних векторів одна з координат дорівнює нулю, прискіпливо можна записати так:


А базисні вектори, до речі, так: (по суті вони виражаються самі через себе).

І наостанок: , . До речі, що таке віднімання векторів, і чому я не розповів про правило віднімання? Десь у лінійній алгебрі, вже не пам'ятаю де, я зазначав, що віднімання – це окремий випадок складання. Так, розкладання векторів «де» і «е» спокійнісінько записуються як суми: , . Прослідкуйте за кресленням, як чітко у цих ситуаціях працює старе добре складання векторів за правилом трикутника.

Розглянуте розкладання виду іноді називають розкладанням вектора у системі орт(Тобто в системі одиничних векторів). Але це не єдиний спосіб запису вектора, поширений наступний варіант:

Або зі знаком рівності:

Самі базисні вектори записуються так: і

Тобто, у круглих дужках зазначаються координати вектора. У практичних завданнях використовуються усі три варіанти запису.

сумнівався, чи говорити, але все-таки скажу: координати векторів переставляти не можна. Суворо на першому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору , суворо на другому місцізаписуємо координату, яка відповідає одиничному вектору. Справді, і – це два різних вектори.

З координатами на площині розібралися. Тепер розглянемо вектори в тривимірному просторі, тут практично так само! Тільки додасться ще одна координата. Тривимірні креслення виконувати важко, тому обмежуся одним вектором, який для простоти відкладу від початку координат:

Будь-якийвектор тривимірного простору можна єдиним способомрозкласти по ортонормованому базису:
, де - Координати вектора (числа) в даному базисі.

Приклад з картинки: . Давайте подивимося, як тут працюють правила дій із векторами. По-перше, множення вектора на число: (червона стрілка), (зелена стрілка) та (малінова стрілка). По-друге, перед вами приклад додавання кількох, у разі трьох, векторов: . Вектор суми починається у вихідній точці відправлення (початок вектора) і втикається у підсумкову точку прибуття (кінець вектора).

Всі вектори тривимірного простору, природно, теж вільні, спробуйте подумки відкласти вектор від будь-якої іншої точки, і ви зрозумієте, що його розкладання залишиться при ньому.

Аналогічно плоскому випадку, крім запису широко використовуються версії з дужками: або .

Якщо у розкладанні відсутня один (або два) координатні вектори, то замість них ставляться нулі. Приклади:
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) - Запишемо;
вектор (прискіпливо ) – запишемо.

Базисні вектори записуються так:

Ось, мабуть, і всі мінімальні теоретичні знання, необхідні вирішення завдань аналітичної геометрії. Можливо забагато термінів та визначень, тому чайникам рекомендую перечитати та осмислити цю інформацію ще раз. Та й будь-якому читачеві буде корисно іноді звертатися до базового уроку для кращого засвоєння матеріалу. Колінеарність, ортогональність, ортонормований базис, розкладання вектора – ці та інші поняття часто використовуватимуться надалі. Зазначу, що матеріалів сайту недостатньо для складання теоретичного заліку, колоквіуму з геометрії, тому що всі теореми (до того ж без доказів) я акуратно шифрую – на шкоду науковому стилю викладу, але плюсом до вашого розуміння предмета. Для отримання докладної теоретичної довідки прошу слідувати на уклін до професора Атанасяна.

А ми переходимо до практичної частини:

Найпростіші завдання аналітичної геометрії.
Дії з векторами в координатах

Завдання, які будуть розглянуті, дуже бажано навчитися вирішувати на повному автоматі, а формули запам'ятати напам'ять, навіть спеціально не запам'ятовувати, самі запам'ятаються =) Це дуже важливо, оскільки на найпростіших елементарних прикладах базуються інші завдання аналітичної геометрії, і буде прикро витрачати додатковий час на поїдання пішаків. Не потрібно застібати верхні гудзики на сорочці, багато речей знайомі вам зі школи.

Виклад матеріалу піде паралельним курсом – і площині, і простору. З тієї причини, що всі формули самі побачите.

Як знайти вектор по двох точках?

Якщо дані дві точки площини і , то вектор має такі координати:

Якщо дані дві точки простору і , то вектор має такі координати:

Тобто, з координат кінця векторапотрібно відняти відповідні координати початку вектора.

Завдання:Для тих самих точок запишіть формули знаходження координат вектора. Формули наприкінці уроку.

Приклад 1

Дано дві точки площини і . Знайти координати вектора

Рішення:за відповідною формулою:

Як варіант, можна було використати наступний запис:

Естети вирішать і так:

Особисто я звик до першої версії запису.

Відповідь:

За умовою не потрібно будувати креслення (що характерно для завдань аналітичної геометрії), але з метою пояснення деяких моментів чайникам, не полінуюся:

Обов'язково потрібно розуміти відмінність між координатами точок та координатами векторів:

Координати точок- Це звичайні координати у прямокутній системі координат. Відкладати крапки на координатній площині, гадаю, всі вміють ще з 5-6 класу. Кожна точка має суворе місце на площині, і переміщати їх кудись не можна.

Координати ж вектора- Це його розкладання по базису, в даному випадку. Будь-який вектор є вільним, тому за бажання чи необхідності ми легко можемо відкласти його від будь-якої іншої точки площини. Цікаво, що векторів можна взагалі будувати осі, прямокутну систему координат, потрібен лише базис, у разі ортонормований базис площини .

Записи координат точок і координат векторів начебто схожі: , а сенс координатабсолютно різний, і вам слід добре розуміти цю різницю. Ця відмінність, зрозуміло, справедлива і для простору.

Пані та панове, набиваємо руку:

Приклад 2

а) Дані точки та . Знайти вектори та .
б) Дані точки та . Знайти вектори та .
в) Дані точки та . Знайти вектори та .
г) Дані точки. Знайти вектори .

Мабуть, достатньо. Це приклади для самостійного рішення, постарайтеся ними не ігнорувати, окупиться;-). Креслення робити не потрібно. Рішення та відповіді наприкінці уроку.

Що важливо під час вирішення завдань аналітичної геометрії?Важливо бути гранично уважним, щоб не припуститися майстерної помилки «два плюс два і нулю». Відразу перепрошую, якщо де помилився =)

Як знайти довжину відрізка?

Довжина, як зазначалося, позначається знаком модуля.

Якщо дані дві точки площини і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Якщо дані дві точки простору і , то довжину відрізка можна обчислити за формулою

Примітка: Формули залишаться коректними, якщо переставити місцями відповідні координати: і , але стандартніший перший варіант

Приклад 3

Рішення:за відповідною формулою:

Відповідь:

Для наочності виконаю креслення

Відрізок – це не вектор, і переміщати його кудись, звичайно, не можна. Крім того, якщо ви виконаєте креслення в масштабі: 1 од. = 1 см (дві зошити), то отриману відповідь можна перевірити звичайною лінійкою, безпосередньо вимірявши довжину відрізка.

Так, рішення коротке, але в ньому є ще кілька важливих моментів, які хотілося б пояснити:

По-перше, у відповіді ставимо розмірність: «одиниці». В умові не сказано, ЩО це, міліметри, сантиметри, метри чи кілометри. Тому математично грамотним рішенням буде загальне формулювання: «одиниці» – скорочено «од.».

По-друге, повторимо шкільний матеріал, який корисний не тільки для розглянутого завдання:

Зверніть увагу на важливий технічний прийом – винесення множника з-під кореня. В результаті обчислень у нас вийшов результат і хороший математичний стиль передбачає винесення множника з-під кореня (якщо це можливо). Докладніше процес виглядає так: . Звичайно, залишити відповідь у вигляді не буде помилкою - але недоліком точно і вагомим аргументом для причіпки з боку викладача.

Ось інші поширені випадки:

Нерідко під коренем виходить досить велика кількість, наприклад. Як бути у таких випадках? На калькуляторі перевіряємо, чи число ділиться на 4: . Так, розділилося націло, таким чином: . А може, число ще раз вдасться поділити на 4? . Таким чином: . У числа остання цифра непарна, тому розділити втретє на 4 явно не вдасться. Пробуємо поділити дев'ять: . В результаті:
Готово.

Висновок:якщо під коренем виходить невитягне націло число, то намагаємося винести множник з-під кореня - на калькуляторі перевіряємо, чи число на: 4, 9, 16, 25, 36, 49 і т.д.

У ході вирішення різних завдань коріння зустрічаються нерідко, завжди намагайтеся витягувати множники з-під кореня, щоб уникнути нижчої оцінки і непотрібних проблем з доопрацюванням ваших рішень за зауваженням викладача.

Давайте заразом повторимо зведення коренів у квадрат та інші ступені:

Правила дій зі ступенями у загальному вигляді можна знайти у шкільному підручнику з алгебри, але, гадаю, з наведених прикладів все чи майже все вже ясно.

Завдання для самостійного вирішення з відрізком у просторі:

Приклад 4

Дано крапки і . Знайти довжину відрізка.

Рішення та відповідь наприкінці уроку.

Як знайти довжину вектора?

Якщо дано вектор площини, його довжина обчислюється за такою формулою.

Якщо дано вектор простору, то його довжина обчислюється за формулою .

Довжину вектора a → позначатимемо a → . Це позначення аналогічне модулю числа, тому довжину вектора також називають модулем вектора.

Для знаходження довжини вектора на площині за його координатами потрібно розглянути прямокутну декартову систему координат O x y . Нехай у ній заданий деякий вектор a → з координатами a x; a y. Введемо формулу для знаходження довжини (модуля) вектора a через координати a x і a y .

Від початку координат відкладемо вектор O A → = a →. Визначимо відповідні проекції точки A на координатні осі як A x і A y. Тепер розглянемо прямокутник O A x A A y з діагоналлю O A .

З теореми Піфагора випливає рівність O A 2 = O A x 2 + O A y 2, звідки O A = O A x 2 + O A y 2 . З уже відомого визначення координат вектора в прямокутній декартовій системі координат одержуємо, що O A x 2 = a x 2 і O A y 2 = a y 2 , а за побудовою довжина O A дорівнює довжині вектора O A → , отже, O A → = O A x 2 + O A y 2 .

Звідси виходить, що формула для знаходження довжини вектора a → = a x; a y має відповідний вигляд: a = a x 2 + a y 2 .

Якщо вектор a → дано у вигляді розкладання по координатним векторам a → = a x · i → + a y · j → , то обчислити його довжину можна за тією самою формулою a → = a x 2 + a y 2 , у цьому випадку коефіцієнти a x та a y виступають у ролі координат вектора a → у заданій системі координат.

Приклад 1

Обчислити довжину вектора a → = 7; e заданого в прямокутній системі координат.

Рішення

Щоб знайти довжину вектора, будемо використовувати формулу знаходження довжини вектора за координатами a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Відповідь: a → = 49 + e.

Формула для знаходження довжини вектора a → = a x; a y; a z за його координатами в декартовій системі координат Oxyz у просторі, виводиться аналогічно формулі для випадку на площині (див. малюнок нижче)

У цьому випадку O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (оскільки ОА – діагональ прямокутного паралелепіпеда), звідси O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . З визначення координат вектора можемо записати такі рівності O A x = a x; O A y = a y; O A z = a z; , а довжина ОА дорівнює довжині вектора, яку шукаємо, отже, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Звідси випливає, що довжина вектора a = a x ; a y; a z дорівнює a = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Приклад 2

Обчислити довжину вектора a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , де i → j → k → - орти прямокутної системи координат.

Рішення

Дано розкладання вектора a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → його координати рівні a → = 4, - 3, 5 . Використовуючи вищевиведену формулу, отримаємо a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2 .

Відповідь: a → = 5 2 .

Довжина вектора через координати точок його початку та кінця

Вище було виведено формули, що дозволяють знаходити довжини вектора за його координатами. Ми розглянули випадки на площині та у тривимірному просторі. Скористаємося ними для знаходження координат вектора за координатами точок його початку та кінця.

Отже, дані точки з заданими координатами A (a x ; a y) і B (b x ; b y) , звідси вектор A B → має координати (b x - a x ; b y - a y) значить, його довжина може бути визначена за формулою: A B → = ( b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

А якщо дані точки із заданими координатами A (a x ; a y ; a z) і B (b x ; b y ; b z) у тривимірному просторі, то довжину вектора A B → можна обчислити за формулою

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Приклад 3

Знайти довжину вектора A B → якщо в прямокутній системі координат A 1 , 3 , B - 3 , 1 .

Рішення

Використовуючи формулу знаходження довжини вектора за координатами точок початку і кінця на площині, отримаємо A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Другий варіант рішення має на увазі під собою застосування даних формул по черзі: A B → = (- 3 - 1; 1 - 3) = (- 4; 1 - 3); A B → = (-4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Відповідь: AB → = 20 - 2 3 .

Приклад 4

Визначити, при яких значеннях довжина вектора A B → дорівнює 30 якщо A (0 , 1 , 2) ; B (5 , 2 , λ 2).

Рішення

Для початку розпишемо довжину вектора A B → за формулою: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Потім отриманий вираз прирівняємо до 30 звідси знайдемо шукані λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 і л і λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2 , λ 3 = 0 .

Відповідь: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Знаходження довжини вектора за теоремою косінусів

На жаль, але завдання не завжди бувають відомі координати вектора, тому розглянемо інші способи знаходження довжини вектора.

Нехай задані довжини двох векторів A B → , A C → та кут між ними (або косинус кута), а потрібно знайти довжину вектора B C → або C B → . У такому випадку, слід скористатися теоремою косінусів у трикутнику Δ A B C , обчислити довжину сторони B C , яка дорівнює довжині вектора, що шукається.

Розглянемо такий випадок на прикладі.

Приклад 5

Довжини векторів A B → і A C → дорівнюють 3 і 7 відповідно, а кут між ними дорівнює π 3 . Обчислити довжину вектора BC → .

Рішення

Довжина вектора BC → в даному випадку дорівнює довжині сторони BC трикутника △ A B C . Довжини сторін A B і A C трикутника відомі з умови (вони рівні довжинам відповідних векторів), також відомий кут між ними, тому ми можемо скористатися теоремою косінусів: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 · A B · A C · cos ∠ (A B → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Таким чином, B C → = 37 .

Відповідь: BC → = 37 .

Отже, для знаходження довжини вектора за координатами існують наступні формули a → = a x 2 + a y 2 або a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 за координатами точок початку і кінця вектора A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 або A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 , у деяких випадках слід використовувати теорему косінусів.

Якщо ви помітили помилку в тексті, будь ласка, виділіть її та натисніть Ctrl+Enter

Модуль векторможна знайти, якщо ми знаємо його проекції на координатні осі.

на площині заданий вектор а(Рис. 15).

Опустимо з початку та кінця вектора перпендикуляри на координатні осі для знаходження його проекцій. Відповідно до теореми Піфагора

. Звідси

.

Цю формулу треба знати Напам'ять.

Запам'ятайте!

Щоб знайти модуль векторатреба витягти корінь квадратний із суми квадратів його проекцій.

Ви вже знаєте, що проекцію вектора на вісь можна знайти, якщо від координати точки кінця вектора відняти координату точки його початку. Тоді для нашого вектора якщо він заданий на площині, а x = х до − х н,
а y = y до - y н. Отже, модуль вектораможна знайти за формулою

.

Неважко збагнути, як виглядатиме формула, якщо векторзаданий у просторі.

Зверніть ще увагу на що. Адже модуль вектора- це довжина відрізка, укладеного між двома точками: точкою початку вектора та точкою його кінця. А це ні що інше, як відстань між цими двома точками. Тому, щоб знайти відстань між будь-якими двома точками, потрібно обчислити модуль вектора, що з'єднує ці точки.

модуль вектора- Величина вектора - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНИИС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом Синоніми величина вектора EN absolute value of a vector …

модуль вектора- Vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. absolute value of vector vok. Vektorbetrag, m rus. довжина вектора f; модуль вектор, m pranc. module d’un vecteur, m … Fizikos terminų žodynas

- (Від лат. modulus «маленька міра»): У Вікісловарі є стаття «модуль» Мо … Вікіпедія

Модуль (від латів. modulus «маленька міра») складова частина, відокремлена або хоча б подумки виділяється із загального. Модульною зазвичай називають річ, що складається з чітко виражених частин, які нерідко можна прибирати або додавати, не руйнуючи річ.

Абсолютна величина або модуль речового чи комплексного числа x є відстань від x до початку координат. Більш точно: Абсолютна величина речовинного числа x є невід'ємним числом, що позначається | x | і визначається таким чином: … … Вікіпедія

модуль хвильового вектора- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN magnitude of propagation vector … Довідник технічного перекладача

модуль конвольвера кодового вектора огинаючої- - [Л.Г.Суменко. Англо-російський словник з інформаційних технологій. М.: ДП ЦНДІС, 2003.] Тематики інформаційні технології загалом EN shape codevector convolution module … Довідник технічного перекладача

Модулем комплексного числа називається довжина вектора, що відповідає цій кількості: . Модуль комплексного числа z зазвичай позначається | z | або r. Нехай і речові числа такі, що комплексне число (звичайні позначення). Тоді Числа ... Вікіпедія

Модуль у математиці, 1) М. (або абсолютна величина) комплексного числа z = х + iy є число ═(корінь береться зі знаком плюс). При поданні комплексного числа z у тригонометричній формі z = r(cos j + i sin j) дійсне число r дорівнює… Велика Радянська Енциклопедія

Абелева група з кільцем операторів. М. є узагальненням (лінійного) векторного простору над полем К для випадку, коли Кзаміняється деяким кільцем. Нехай задано кільце А. Адитивна абелева група Мназ. лівим А модулем, якщо визначено… Математична енциклопедія