Що таке f х. Що таке функція та її властивості

Паралельне перенесення.

ПЕРЕНОС ВДОЛІ ОСІ ОРДИНАТ

f(x) => f(x) - b
Нехай потрібно збудувати графік функції у = f(х) - b. Неважко помітити, що ординати цього графіка всім значень x на |b| одиниць менше відповідних ординат графіка функцій у = f(х) при b>0 і |b| одиниць більше - при b 0 або нагору при b Для побудови графіка функції y + b = f(x) слід побудувати графік функції y = f(x) і перенести вісь абсцис на | b | одиниць вгору при b>0 чи |b| одиниць вниз у b

ПЕРЕНОС ВДОЛІ ОСІ АБСЦІСС

f(x) => f(x + a)
Нехай потрібно збудувати графік функції у = f(x + a). Розглянемо функцію y = f(x), яка у певній точці x = x1 набуває значення у1 = f(x1). Вочевидь, функція у = f(x + a) прийме таке значення в точці x2, координата якої визначається рівності x2 + a = x1, тобто. x2 = x1 - a, причому розглянута рівність справедливо для сукупності всіх значень з області визначення функції. Отже, графік функції у = f(x + a) може бути отриманий паралельним переміщенням графіка функції y = f(x) вздовж осі абсцис вліво |a| одиниць при a > 0 чи праворуч |a| одиниць при a Для побудови графіка функції y = f(x + a) слід побудувати графік функції y = f(x) і перенести вісь ординат на | одиниць вправо при a>0 чи |a| одиниць ліворуч у a

Приклади:

1.y=f(x+a)

2.y=f(x)+b

Відображення.

ПОБУДУВАННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ВИДУ Y = F(-X)

f(x) => f(-x)
Очевидно, що функції y = f(-x) та y = f(x) приймають рівні значення в точках, абсциси яких рівні за абсолютною величиною, але протилежні за знаком. Інакше висловлюючись, ординати графіка функції y = f(-x) у сфері позитивних (негативних) значень х дорівнюватимуть ординатам графіка функції y = f(x) при відповідних за абсолютною величиною негативних (позитивних) значеннях х. Отже, отримуємо таке правило.
Для побудови графіка функції y = f(-x) слід побудувати графік функції y = f(x) та відобразити його щодо осі ординат. Отриманий графік є графіком функції y = f(-x)

ПОБУДУВАННЯ ГРАФІКА ФУНКЦІЇ ВИДУ Y = - F(X)

f(x) => - f(x)
Ординати графіка функції y = - f(x) при всіх значеннях аргументу дорівнюють абсолютної величини, але протилежні за знаком ординатам графіка функції y = f(x) при тих же значеннях аргументу. Отже, отримуємо таке правило.
Для побудови графіка функції y = f (x) слід побудувати графік функції y = f (x) і відобразити його щодо осі абсцис.

Приклади:

1.y=-f(x)

2.y=f(-x)

3.y=-f(-x)

Деформація.

ДЕФОРМАЦІЯ ГРАФІКА ВДОЛІ ОСІ ОРДИНАТ

f(x) => k f(x)
Розглянемо функцію виду y = k f(x), де k > 0. Неважко помітити, що при рівних значеннях аргументу ординати графіка цієї функції будуть у k разів більшими за ординат графіка функції у = f(x) при k > 1 або 1/k разів менше ординат графіка функції y = f(x) при k Для побудови графіка функції y = k f(x) слід побудувати графік функції y = f(x) і збільшити його ординати в k разів при k > 1(виконати розтягнення графіка вздовж осі ординат ) або зменшити його ординати в 1/k разів при k
k > 1- Розтяг від осі Ох
0 - стиск до осі OX

ДЕФОРМАЦІЯ ГРАФІКА ВДОЛІ ОСІ АБСЦІСС

f(x) => f(k x)
Нехай потрібно побудувати графік функції y = f(kx), де k>0. Розглянемо функцію y = f(x), яка у довільній точці x = x1 набуває значення y1 = f(x1). Очевидно, що функція y = f(kx) приймає таке ж значення в точці x = x2, координата якої визначається рівністю x1 = kx2, причому ця рівність справедлива для сукупності всіх значень х з області визначення функції. Отже, графік функції y = f(kx) виявляється стислим (при k 1) вздовж осі абсцис щодо графіка функції y = f(x). Отже, отримуємо правило.
Для побудови графіка функції y = f(kx) слід побудувати графік функції y = f(x) і зменшити його абсциси в k раз при k>1 (виконати стиснення графіка вздовж осі абсцис) або збільшити його абсциси в 1/k раз при k
k > 1- Стиснення до осі Оу
0 - розтяг від осі OY

Роботу виконали Чичканов Олександр, Леонов Дмитро під керівництвом Ткач Т.В, В'язова С.М, Островерховий І.В.
©2014

Функція y=f(x) — це така залежність змінної y від змінної x коли кожному припустимому значенню змінної x відповідає єдине значення змінної y .

Областю визначення функції D(f) називають безліч всіх допустимих значень змінної x.

Область значень функції E(f) - безліч всіх допустимих значень змінної y.

Графік функції y=f(x) — множина точок площини, координати яких задовольняють даної функціональної залежності, тобто точок, виду M(x; f(x)) . Графік функції є деякою лінією на площині.

Якщо b=0 , то функція набуде вигляду y=kx і буде називатися прямою пропорційністю.

D(f) : x \in R;\enspace E(f) : y \in R

Графік лінійної функції – пряма.

Кутовий коефіцієнт k прямий y=kx+b обчислюється за такою формулою:

k = tg \alpha , де \alpha - Кут нахилу прямий до позитивного напрямку осі Ox .

1) Функція монотонно зростає при k>0.

Наприклад: y=x+1

2) Функція монотонно зменшується при k< 0 .

Наприклад: y=-x+1

3) Якщо k = 0, то надаючи b довільні значення, отримаємо сімейство прямих паралельних осі Ox.

Наприклад: y=-1

Зворотня пропорційність

Зворотною пропорційністюназивається функція виду y=\frac(k)(x), де k - відмінне від нуля, дійсне число

D(f) : x \in \left \( R/x \neq 0 \right \); \: E(f) : y \in \left \(R/y \neq 0 \right \).

Графіком функції y=\frac(k)(x)є гіпербола.

1) Якщо k > 0 , то графік функції розташовуватиметься у першій та третій чверті координатної площини.

Наприклад: y=\frac(1)(x)

2) Якщо k< 0 , то график функции будет располагаться во второй и четвертой координатной плоскости.

Наприклад: y=-\frac(1)(x)

Ступінна функція

Ступінна функція— це функція виду y=x^n , де n — відмінне від нуля, дійсне число

1) Якщо n=2, то y=x^2. D(f) : x \ in R; \: E(f) : y \in; основний період функції T = 2 \ pi

Функція $f(x)=|x|$

$|x|$ - модуль. Він визначається так: Якщо дійсне число буде невід'ємним, то значення модуля збігається з самим числом. Якщо негативно, то значення модуля збігається з абсолютним значенням даного числа.

Математично це можна записати так:

Приклад 1

Функція $f(x)=[x]$

Функція $ f \ left (x \ right) = [x] $ - функція цілої частини числа. Вона знаходиться заокругленням числа (якщо вона сама не ціла) «у меншу сторону».

Приклад: $ = 2. $

Приклад 2

Досліджуємо та побудуємо її графік.

1. $ D \ left (f \ right) = R $.
2. Очевидно, що ця функція набирає тільки цілі значення, тобто $ \ E \ left (f \ right) = Z $
3. $f\left(-x\right)=[-x]$. Отже, ця функція матиме загальний вигляд.
4. $ (0,0) $ - єдина точка перетину з осями координат.
5. $f"\left(x\right)=0$
6. Функція має точки розриву (стрибка функції) за всіх $x\in Z$.

Малюнок 2.

Функція $f\left(x\right)=\(x\)$

Функція $f \ left (x \ right) = \ (x \) $ - функція дробової частини числа. Вона є «відкиданням» цілої частини цього числа.

Приклад 3

Досліджуємо та побудуємо графік функції

Функція $f(x)=sign(x)$

Функція $f \ left (x \ right) = sign (x) $ - сигнум-функція. Ця функція показує, який знак дійсне число. Якщо число негативне, функція має значення $-1$. Якщо число позитивне, то функція дорівнює одиниці. При нульовому значенні числа значення функції також прийматиме нульове значення.

На уроці закріплення знань з алгебри у 7 класі на тему"ЩО ОЗНАЧАЄ В МАТЕМАТИЦІ ЗАПИС y = f(x)" необхіднороз'яснити зміст записуy = f(x), понять:

Завантажити:

Підписи до слайдів:

Функція У = F (Х) і графіки. Лінійна функція. Квадратична функція.
Вивчення функцій.
Траєкторія польоту – парабола
Траєкторія руху комет у міжпланетному просторі – парабола.
Парабола в архітектурі
Які функції знаєте?
а)
б)
в)
Графіком квадратичної функції є парабола
Прочитай та згадай, які функції ти знаєш
Назви властивості цих функцій
Графіки яких функцій становлять потрібний графік?
Властивості функції
1.Область визначення: значення Х2.Найбільше і найменше значення функції: У наиб.У найм.3.У = 0 при Х4.У> 0 при Х5.
Властивості
а) f(-1) = (-1)2 = 1; f(2) = 4; f(1) = 4 ч 1 = 4; f(1,5) = 4; f(–2) = (–2)2 = 4.б) в) 1. Область визначення функції [–2; 3];2. унаїм. = 0 (досягається при х = 0); yнаиб. = 4 (досягається при х = - 2 і в будь-якій точці напівінтервалу, зростає на відрізку і постійна в напівінтервалі;

2. у найм. = 0 (досягається прих = 0);

y наиб. = 4 (досягається прих = - 2 і в будь-якій точці напівінтервалу , зростає на відрізку і постійна в напівінтервалі можна обчислити значення функції f(x). Говорять так: [-4, 4] - область визначення функції.

Чому за рішенням прикладу 4 ми сказали, що знайти f(5) не можна? Тому, що значення х = 5 не належить області визначення функції.

2. y най = -2 (цього значення функція досягає при х = -4); У нанб. = 2 (це значення функція досягає в будь-якій точці напівінтервалу (0, 4).

3. у = 0, якщо 1 = -2 і якщо х = 0; у цих точках графік функції y = f(x) перетинає вісь х.

4. у > 0, якщо х є (-2, 0) або якщо x є (0, 4], на цих проміжках графік функції y = f(x) розташований вище за осі х.

5. у< 0, если же [- 4, - 2); на этом промежутке график функции у = f(x) расположен ниже оси х.

6. Функція зростає на відрізку [-4, -1], зменшується на відрізку [-1, 0] і постійна (ні збільшується, ні зменшується) на напівінтервалі (0,4].

У міру того як ми з вами вивчатимемо нові властивості функцій, процес читання графіка ставатиме більш насиченим, змістовним та цікавим.

Обговоримо одну з таких нових властивостей. Графік функції, розглянутої у прикладі 4, складається із трьох гілок (з трьох «шматочків»). Перша і друга гілки (відрізок прямої у = х + 2 і частина параболи) «стиковані» вдало: відрізок закінчується до точки (-1; 1), а ділянка параболи починається в тій же точці. А ось друга та третя гілки менш вдало «стиковані»: третя гілка («шматочок» горизонтальної прямої) починається не в точці (0; 0), а в точці (0; 4). Математики кажуть так: «функція у = f(x) зазнає розриву при х = 0 (або в точці х = 0)». Якщо ж функція не має точок розриву, її називають безперервною. Так, усі функції, з якими ми познайомилися у попередніх параграфах (у = b, y = kx, y = kx + m, y = x2) – безперервні.

Приклад 5. Дана функція. Потрібно побудувати та прочитати її графік.

Рішення. Як бачите, тут функція задана досить складним виразом. Але математика - єдина і цілісна наука, її розділи тісно пов'язані один з одним. Скористаємося тим, що ми вивчали у розділі 5, і скоротимо алгебраїчний дріб

справедливо лише за обмеження Отже, ми можемо переформулювати завдання так: замість функції у = х 2
будемо розглядати функцію у = х 2 де Побудуємо на координатній площині хОу параболу у = х 2 .
Пряма х = 2 перетинає її у точці (2; 4). Але за умовою , отже, точку (2; 4) параболи ми маємо виключити з розгляду, навіщо на кресленні відзначимо цю точку світлим кружком.

Отже, графік функції побудований - це парабола у = х 2 з «виколотою» точкою (2; 4) (рис. 69).

Перейдемо до опису властивостей функції у = f (x), тобто читання її графіка:

1. Незалежна змінна х набуває будь-яких значень, крім х = 2. Значить, область визначення функції складається з двох відкритих променів (- 0 про, 2) і

2. у най = 0 (досягається при х = 0), у наиб _ немає.

3. Функція не є безперервною, вона зазнає розриву при х = 2 (у точці х = 2).

4. у = 0, якщо х = 0.

5. у > 0, якщо х є (-оо, 0), якщо х є (0, 2) та якщо х є (B,+оо).
6. Функція зменшується на промені (- со, 0], зростає напівінтервалі .

Календарно-тематичне планування з математики, відеоз математики онлайн , Математика в школі

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Зміст уроку конспект урокуопорний каркас презентація уроку акселеративні методи інтерактивні технології Практика завдання та вправи самоперевірка практикуми, тренінги, кейси, квести домашні завдання риторичні питання від учнів Ілюстрації аудіо-, відеокліпи та мультимедіафотографії, картинки графіки, таблиці, схеми гумор, анекдоти, приколи, комікси притчі, приказки, кросворди, цитати Додатки рефератистатті фішки для допитливих шпаргалки підручники основні та додаткові словник термінів інші Удосконалення підручників та уроківвиправлення помилок у підручникуоновлення фрагмента у підручнику елементи новаторства на уроці заміна застарілих знань новими Тільки для вчителів ідеальні урокикалендарний план на рік методичні рекомендації програми обговорення Інтегровані уроки