Рух тіла, кинутого під кутом до горизонту! Падіння тіла кинутого під кутом до горизонту.

Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально і що рухається під впливом однієї лише сили тяжкості (опір повітря нехтуємо). Наприклад, уявімо, що кулі, що лежить на столі, повідомляють поштовх, і він докочується до краю столу і починає вільно падати, маючи початкову швидкість, спрямовану горизонтально (рис. 174).

Спроектуємо рух кулі на вертикальну вісь та на горизонтальну вісь. Рух проекції кулі на вісь - це рух без прискорення зі швидкістю; рух проекції кулі на вісь - це вільне падіння з прискоренням більш початкової швидкості під дією сили тяжіння. Закони обох рухів нам відомі. Компонента швидкості залишається постійною та рівною. Компонента зростає пропорційно часу: . Результуючу швидкість легко знайти за правилом паралелограма, як показано на рис. 175. Вона буде нахилена вниз, і її нахил зростатиме з часом.

Мал. 174. Рух кулі, що скотилася зі столу

Мал. 175. Куля, кинута горизонтально зі швидкістю має в момент швидкість

Знайдемо траєкторію тіла, кинутого горизонтально. Координати тіла на момент часу мають значення

Щоб знайти рівняння траєкторії, виразимо з (112.1) час через і підставимо цей вираз (112.2). У результаті отримаємо

Графік цієї функції показано на рис. 176. Ординати точок траєкторії виявляються пропорційними квадратам абсцис. Ми знаємо, що такі криві називаються параболами. Параболою зображувався графік шляху рівноприскореного руху (§ 22). Таким чином, тіло, що вільно падає, початкова швидкість якого горизонтальна, рухається по параболі.

Шлях, який проходить у вертикальному напрямку, не залежить від початкової швидкості. Але шлях, що проходить у горизонтальному напрямку пропорційний початковій швидкості. Тому при великій горизонтальній початковій швидкості парабола, якою падає тіло, більш витягнута в горизонтальному напрямку. Якщо з розташованої горизонтально трубки випускати струмінь води (рис. 177), то окремі частинки води, так само як і кулька, рухатимуться по параболі. Чим більше відкритий кран, через який надходить вода в трубку, тим більша початкова швидкість води і тим далі від крана потрапляє струмінь на дно кювети. Поставивши позаду струменя екран із заздалегідь накресленими на ньому параболами, можна переконатися, що струмінь води дійсно має форму параболи.

Кінематика – це просто!

Після кидка в польоті на тіло діють сила тяжіння Fтта сила опору повітря Fс.
Якщо рух тіла відбувається на малих швидкостях, то при розрахунку силу опору повітря зазвичай не враховують.
Отже, можна вважати, що на тіло діє тільки сила тяжіння, отже рух покинутого тіла є вільним падінням.
Якщо це вільне падіння, то прискорення покинутого тіла дорівнює прискоренню вільного падіння g.
На малих висотах щодо Землі сила тяжкості Fт мало змінюється, тому тіло рухається з постійним прискоренням.

Отже, рух тіла, кинутого під кутом до обрію є варіантом вільного падіння, тобто. рухом з постійним прискоренням та криволінійною траєкторією(т.к. вектори швидкості та прискорення не збігаються у напрямку).

Формули цього руху на векторному вигляді: Для розрахунку руху тіла вибирають прямокутну систему координат XOY, т.к. траєкторією руху тіла є парабола, що лежить у площині, що проходить через вектори Fт і Vo.
За початок координат зазвичай вибирають точку початку руху покинутого тіла.

У будь-який момент часу зміна швидкості руху тіла за напрямком збігається з прискоренням.

Вектор швидкості тіла у будь-якій точці траєкторії можна розкласти на 2 складові: вектор V x і вектор V y .
У будь-який момент часу швидкість тіла визначатиметься як геометрична сума цих векторів:

Згідно з малюнком, проекції вектора швидкості на координатні осі OX та OY виглядають так:

Розрахунок швидкості тіла у будь-який момент часу:

Розрахунок переміщення тіла у будь-який момент часу:

Кожній точці траєкторії руху тіла відповідають координати X та Y:

Розрахункові формули для координат кинутого тіла у будь-який момент часу:

З рівняння руху можна вивести формули для розрахунку максимальної дальності польоту L:

та максимальної висоти польоту Н:

P.S.
1. При рівних за величиною початкових швидкостях Vo дальність польоту:
- зростає, якщо початковий кут кидання збільшувати від 0 o до 45 o
- зменшується, якщо початковий кут кидання збільшувати від 45 o до 90 o .

2. При рівних початкових кутах кидання дальність польоту L зростає із збільшенням початкової швидкості Vo.

3. Окремим випадком руху тіла, кинутого під кутом до горизонту, є рух тіла, кинутого горизонтальноПри цьому початковий кут кидання дорівнює нулю.

Оновлено:

На кількох прикладах (які спочатку вирішував, як завжди, на otvet.mail.ru) розглянемо клас завдань елементарної балістики: політ тіла, запущеного під кутом до горизонту з деякою початковою швидкістю, без урахування опору повітря і кривизни земної поверхні (тобто напрямок вектора прискорення вільного падіння g вважаємо незмінним).

Завдання 1.Дальність польоту тіла дорівнює висоті його польоту над поверхнею Землі. Під яким кутом кинуто тіло? (У деяких джерелах чомусь наведено неправильну відповідь – 63 градуси).

Позначимо час польоту як 2*t (тоді протягом t тіло піднімається нагору, протягом наступного проміжку t - спускається). Нехай горизонтальна складова швидкості V1, вертикальна – V2. Тоді дальність польоту S = V1 * 2 * t. Висота польоту H = g * t * t / 2 = V2 * t / 2. Прирівнюємо
S = H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
Відношення вертикальної та горизонтальної швидкостей є тангенс шуканого кута α, звідки α = arctan(4) = 76 градусів.

Завдання 2.Тіло кинуто з Землі зі швидкістю V0 під кутом α до горизонту. Знайти радіус кривизни траєкторії тіла: а) початку руху; б) у верхній точці траєкторії.

В обох випадках джерело криволінійності руху - це гравітація, тобто прискорення вільного падіння g, спрямоване вертикально вниз. Все що тут потрібно - знайти проекцію g, перпендикулярну до поточної швидкості V, і прирівняти її доцентрового прискорення V^2/R, де R - радіус кривизни.

Як видно з малюнка, для початку руху ми можемо записати
gn = g*cos(a) = V0^2/R
звідки радіус шуканий R = V0^2/(g*cos(a))

Для верхньої точки траєкторії (див. рисунок) маємо
g = (V0*cos(a))^2/R
звідки R = (V0*cos(a))^2/g

Завдання 3. (варіація на тему)Снаряд рухався горизонтально на висоті h і розірвався на два однакові уламки, один з яких упав на землю через час t1 після вибуху. Через який час після падіння першого уламка впаде другий?

Яку б вертикальну швидкість V не придбав перший уламок, другий придбає ту ж по модулю вертикальну швидкість, але спрямовану в протилежний бік (це випливає з однакової маси уламків та збереження імпульсу). Крім того, V спрямована вниз, оскільки інакше другий уламок прилетить на землю ДО першого.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g * t1 ^ 2/2) / t1
Другий полетить вгору, втратить вертикальну швидкість через час V/g, і потім через такий самий час долетить донизу до початкової висоти h, і час t2 його затримки щодо першого осколка (не час польоту від моменту вибуху) складе
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

доповнено 2018-06-03

Цитата:
Камінь кинутий зі швидкістю 10 м/с під кутом 60 ° до горизонту. Визначити тангенціальне та нормальне прискорення тіла через 1,0 с після початку руху, радіус кривизни траєкторії в цей момент часу, тривалість та дальність польоту. Який кут утворює вектор повного прискорення із вектором швидкості при t = 1,0 с

Початкова горизонтальна швидкість Vг = V * cos (60 °) = 10 * 0.5 = 5 м / с, і вона не змінюється протягом усього польоту. Початкова вертикальна швидкість V = V * sin (60 °) = 8.66 м / с. Час польоту до максимально високої точки t1 = Vв/g = 8.66/9.8 = 0.884 сек, отже тривалість польоту 2*t1 = 1.767 з. За цей час тіло пролетить горизонталлю Vг*2*t1 = 8.84 м (дальність польоту).

Через 1 секунду вертикальна швидкість становитиме 8.66 - 9.8*1 = -1.14 м/с (спрямована вниз). Значить кут швидкості до горизонту становитиме arctan(1.14/5) = 12.8° (вниз). Оскільки повне прискорення тут єдине та незмінне (це прискорення вільного падіння g, спрямоване вертикально вниз), то кут між швидкістю тіла і gу цей час складе 90-12.8 = 77.2°.

Тангенціальне прискорення – це проекція gнапрям вектора швидкості, отже становить g*sin(12.8) = 2.2 м/с2. Нормальне прискорення – це перпендикулярна до вектора швидкості проекція g, Вона дорівнює g * cos (12.8) = 9.56 м / с2. І оскільки останнє пов'язане зі швидкістю і радіусом кривизни виразом V^2/R, маємо 9.56 = (5*5 + 1.14*1.14)/R, звідки шуканий радіус R = 2.75 м.

Якщо швидкість \(~\vec \upsilon_0\) спрямована не вертикально, то рух тіла буде криволінійним.

Розглянемо рух тіла, кинутого горизонтально з висоти hзі швидкістю \(~\vec \upsilon_0\) (рис. 1). Опір повітря будемо нехтувати. Для опису руху необхідно вибрати дві осі координат - Oxі Ой. Початок відліку координат сумісний із початковим положенням тіла. З малюнка 1 видно, що υ 0x = υ 0 , υ 0y = 0, g x = 0, g y = g.

Тоді рух тіла опишеться рівняннями:

\(~\upsilon_x = \upsilon_0, \ x = \upsilon_0 t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_y = gt,\ y = \frac(gt^2)(2). \qquad (2) \)

Аналіз цих формул показує, що у горизонтальному напрямі швидкість тіла залишається незмінною, т. е. тіло рухається поступово. У вертикальному напрямку тіло рухається рівноприскорено з прискоренням \(~\vec g\), тобто так само, як тіло, що вільно падає без початкової швидкості. Знайдемо рівняння траєкторії. Для цього з рівняння (1) знайдемо час \(~t = \frac(x)(\upsilon_0)\) і, підставивши його значення у формулу (2), отримаємо\[~y = \frac(g)(2 \ upsilon^2_0) x^2\] .

Це рівняння параболи. Отже, тіло, кинуте горизонтально, рухається параболою. Швидкість тіла в будь-який момент часу спрямована щодо параболи (див. рис. 1). Модуль швидкості можна розрахувати за теоремою Піфагора:

\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 + (gt)^2).\)

Знаючи висоту h, з якою кинуто тіло, можна знайти час t 1, через яке тіло впаде на землю. У цей момент координата yдорівнює висоті: y 1 = h. З рівняння (2) знаходимо\[~h = \frac(gt^2_1)(2)\]. Звідси

\(~t_1 = \sqrt(\frac(2h)(g)). \qquad (3)\)

Формула (3) визначає час польоту тіла. За цей час тіло пройде у горизонтальному напрямку відстань l, яке називають дальністю польоту і яке можна знайти на підставі формули (1), враховуючи, що l 1 = x. Отже, \(~l = \upsilon_0 \sqrt(\frac(2h)(g))\) - дальність польоту тіла. Модуль швидкості тіла у цей момент \(~\upsilon_1 = \sqrt(\upsilon^2_0 + 2gh).\).

Література

Аксенович Л. А. Фізика у середній школі: Теорія. Завдання. Тести: Навч. посібник для установ, які забезпечують отримання заг. середовищ, освіти / Л. А. Аксенович, Н. Н. Ракіна, К. С. Фаріно; За ред. К. С. Фаріно. – Мн.: Адукація i виховання, 2004. – С. 15-16.

Нехай тіло кинуто під кутом α до горизонту зі швидкістю. Як і в попередніх випадках, нехтуватимемо опором повітря. Для опису руху необхідно вибрати дві осі координат - Ох та Оу (рис. 29).

Рис.29

Початок відліку сумісний із початковим положенням тіла. Проекції початкової швидкості осі Оу і Ох: , . Проекції прискорення:

Тоді рух тіла описуватиметься рівняннями:

(8)

(9)

З цих формул випливає, що у горизонтальному напрямі тіло рухається рівномірно, а вертикальному - рівноприскорено.

Траєкторією руху тіла буде парабола. Враховуючи, що у верхній точці параболи можна знайти час підйому тіла до верхньої точки параболи:

Підставивши значення t 1 рівняння (8), знайдемо максимальну висоту підйому тіла:

Максимальна висота підйому тіла.

Час польоту тіла знаходимо з умови, що з t=t 2 координата у 2 =0. Отже, . Звідси - час польоту тіла. Порівнюючи цю формулу з формулою (10), бачимо, що t2 = 2t1.

Час руху тіла з максимальною висоти t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 = t 1 . Отже, скільки часу тіло піднімається на максимальну висоту, стільки часу воно опускається з цієї висоти. Підставляючи в рівняння координати х (6) значення часу t 2 знайдемо:

- Дальність польоту тіла.

Миттєва швидкість у будь-якій точці траєкторії спрямована по дотичній до траєкторії (див. рис. 29), модуль швидкості визначається за формулою

Таким чином, рух тіла, кинутого під кутом до горизонту або горизонтальному напрямку, можна розглядати як результат двох незалежних рухів - горизонтального рівномірного і вертикального рівноприскореного (вільного падіння без початкової швидкості або руху тіла, кинутого вертикально вгору).

Розглянемо, що може бути метою кінематичних завдань.

1. Нас може цікавити зміна кінематичних величин процесі руху, тобто. одержання відомостей про зміну координат, швидкості, прискорення, а також відповідних кутових величин.

2. У ряді завдань, наприклад, у задачі про рух тіла під кутом до горизонту, потрібно дізнатися про значення фізичних величин конкретних станах: дальності польоту, найбільшої величини підйому тощо.

3. У випадках, коли тіло одночасно бере участь у кількох рухах (наприклад, кочення кулі) або розглядається відносний рух кількох тіл, виникає необхідність встановити співвідношення між переміщеннями, швидкостями та прискореннями (лінійними та кутовими), тобто. знайти рівняння кінематичного зв'язку.

Незважаючи на велику різноманітність завдань із кінематики, можна запропонувати наступний алгоритм їх вирішення:

1. Зробити схематичний малюнок, зобразивши початкове становище тіл та його початковий стан, тобто. та .

2. Вибрати систему відліку виходячи з аналізу умови завдання. Для цього потрібно вибрати тіло відліку та зв'язати з ним систему координат, вказавши початок відліку координат, напрямок осей координат, момент початку відліку часу. При виборі позитивних напрямів керуються напрямом руху (швидкості) чи напрямом прискорення.

3. Скласти на підставі законів руху систему рівнянь у векторному вигляді для всіх тіл, а потім у скалярній формі, спроектувавши на координатні осі ці векторні рівняння руху. При записі цих рівнянь слід звернути увагу на знаки "+" і "-" проекцій векторних величин, що входять до них.

4. Відповідь необхідно отримати у вигляді аналітичної формули (загалом), а наприкінці зробити числові розрахунки.

приклад 4.Скільки часу пасажир, що сидить біля вікна поїзда, що йде зі швидкістю 54 км/год, бачитиме зустрічний поїзд, що проходить повз нього, швидкість якого 36 км/год, а довжина 250 м?

Рішення.Нерухому систему відліку зв'яжемо із Землею, рухливу – з поїздом, у якому перебуває пасажир. Відповідно до закону складання швидкостей , де - швидкість зустрічного поїзда щодо першого. У проекціях на вісь Ох:

Оскільки шлях, пройдений зустрічним поїздом щодо першого, дорівнює довжині поїзда, то час

Приклад 5.Пароплав йде від Нижнього Новгорода до Астрахані 5,0 діб, а назад – 7,0 діб. Як довго пливтиме пліт від Нижнього Новгорода до Астрахані? Парковки та затримки у русі виключити.

Дано: t 1 = 5 діб, t 2 = 7 діб.

Рішення.Нерухому систему відліку зв'яжемо з берегом, рухливу – з водою. Вважатимемо, що швидкість води на всьому шляху однакова і швидкість пароплава щодо води постійна і дорівнює модулю миттєвої швидкості пароплава щодо води.

Так як пліт рухається щодо берега зі швидкістю течії річки, той час його руху, де s – відстань між містами. При русі пароплава за течією його швидкість відповідно до закону складання швидкостей або в проекціях на вісь Ох:

де – швидкість пароплава щодо берега, – швидкість пароплава щодо річки.

Знаючи час руху, можна знайти швидкість:

З формул (1) та (2) маємо:

При русі пароплава проти течії , чи проекціях на вісь Ох , де - швидкість пароплава щодо берега.

З іншого боку, . Тоді

Вирішуючи систему рівнянь (3) і (4) щодо , отримаємо:

Знайдемо час руху плоту:

Приклад 6.При рівноприскореному русі тіло проходить за два перших рівних послідовних проміжку часу по 4,0 з кожного шляху s 1 = 24 м і s 2 = 64 м відповідно. Визначте початкову швидкість та прискорення тіла.

Дано: t 1 = t 2 = 4,0 с, s 1 = 24 м, s 2 = 64 м.

Рішення.Запишемо рівняння шляху для s 1 та (s 1 +s 2) відповідно. Оскільки початкова швидкість у разі однакова, то

Оскільки t1=t2, то

Виразивши з (1) і підставивши її (2), отримаємо:

Тоді початкова швидкість

Приклад 7.Автомобіль, рухаючись прямолінійною траєкторією рівноприскорено з початковою швидкістю 5,0 м/с, пройшов за першу секунду шлях, рівний 6,0 м. Знайдіть прискорення автомобіля, миттєву швидкість в кінці другої секунди і переміщення за 2,0 с.

Рішення.Знаючи шлях, пройдений тілом за першу секунду, можна знайти прискорення:

Швидкість наприкінці другої секунди знайдемо за формулою

Приклад 8. х) має вигляд x = A + Bt + Ct 3 де А = 4 м, В = 2м / с, С = -0,5 м / с 3 .

Для часу t 1 =2 c визначити: 1) координату точки х 1 точки; 2) миттєву швидкість v 1; 3) миттєве прискорення а 1.

Дано: x = A + Bt + Ct 3 А = 4 м, В = 2 м / с, С = -0,5 м / с 3 , t 1 = 2 c.

Знайти: х 1; v 1; а 1 .

Рішення. 1.Підставимо в рівняння руху замість t задане значення часу t 1: x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3 . Підставимо в цей вираз значення А, В, С, t 1 і зробимо обчислення: х 1 = 4 м.

2. Миттєва швидкість: Тоді на момент часу t 1 миттєва швидкість v 1 = B + 3Ct 1 2 . Підставимо сюди значення, С, t 1: v 1 = – 4 м/с. Знак мінус свідчить про те, що у момент часу t 1 =2 c точка рухається у негативному напрямі координатної осі.

3. Миттєве прискорення: Миттєве прискорення на момент часу t 1 дорівнює а 1 = 6Сt 1 . Підставимо значення, t 1: а 1 = –6 м/с 2 . Знак мінус вказує на те, що напрям вектора прискорення збігається з негативним напрямом координатної осі, причому в умовах даного завдання це має місце для будь-якого моменту часу.

Приклад 9.Кінематичне рівняння руху матеріальної точки прямою (вісь х) має вигляд х = A + Bt + Ct 2 де А = 5 м, В = 4м / с, С = -1м / с 2 . Визначити середню швидкість v хср за інтервал часу від t1 = 1c до t2 = 6c.

Дано: х = A + Bt + Ct 2, А = 5м, В = 4м / с, С = - 1м / с 2, t1 = 1c, t2 = 6c.

Знайти: v хср -? а ХСР -?

Рішення.Середня швидкість за інтервал часу t 2 -t 1 визначається виразом v ср = (х 2 - х 1) / (t 2 - t 1).

х 1 = A + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 м, х 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 = -7 м.

Підставимо значення х 1 х 2 t 1 t 2 і зробимо обчислення: v хср = -3 м/с.

приклад 10.З вертольота, що на висоті h = 300 м, скинули вантаж. Через який час вантаж досягне землі, якщо: а) вертоліт нерухомий; б) гелікоптер опускається зі швидкістю v 0 =5 м/с; 3) гелікоптер піднімається зі швидкістю v 0 =5 м/с. Описати графічно відповідні рухи вантажу в осях s(t), v(t) та a(t).

Рішення.а) Вантаж, який залишив нерухомий вертоліт, вільно падає, тобто. рухається рівноприскорено із прискоренням вільного падіння g. Час руху знайдемо із співвідношення Звідки Графіки рух об'єкта позначені 1 малюнку.

б) Рух вантажу, що залишив вертоліт, що опускається з постійною швидкістю v 0 =5 м/с, є рівноприскореним рухом з постійним прискоренням g і описується рівнянням

Підстановка чисельних значень дає рівняння 9,8t2+10t-600=0.

Негативний результат немає фізичного сенсу, тому час руху t=7,57 з.

Графіки руху об'єкта позначені 2 малюнку.

3) Рух вантажу, що залишив гелікоптер, який піднімається з постійною швидкістю v 0 =5 м/с, складається з двох етапів. На першому етапі – вантаж рухається рівногайно з постійним прискоренням g, спрямованим протилежно швидкості, та описується рівняннями

У верхній точці траєкторії швидкість дорівнює нулю, тому

Підставляючи друге рівняння системи до першого, отримаємо

З другого краю етапі – вільне падіння з висоти h 0 =h+h 1 =300+1,28=301,28 м.

Оскільки

Графіки руху об'єкта позначені 3 малюнку.

Приклад 11.З повітряної кулі, що опускається вниз із постійною швидкістю 2 м/с, кинули вертикально вгору вантаж зі швидкістю 18 м/c щодо землі. Визначити відстань між кулею та вантажем у момент, коли вантаж досягає найвищої точки свого підйому. Через який час вантаж пролетить повз кулю, падаючи вниз.

Дано: v 01 = 2 м/с, v 02 = 18 м/c

Знайти: s-? τ -?

Рішення.Направимо вісь 0Y вертикально вгору, початок сумісний з точкою 0, в якій знаходилася куля в момент кидання вантажу.

Тоді рівняння руху вантажу та повітряної кулі:

Швидкість руху вантажу змінюється згідно із законом v 2 =v 02 – gt.

У найвищій точці підйому вантажу v 2 =0. Тоді час підйому до цієї точки Координата вантажу у точці В

За цей час повітряна куля опустилася до точки А; його координата

Відстань між точками А та В:

Через проміжок часу τ, коли камінь пролетить повз кулю, координати тіл будуть однакові: 1С = 2С;

приклад 12.З якою швидкістю та за яким курсом повинен летіти літак, щоб за дві години пролетіти на північ 300 км, якщо під час польоту дме північно-західний вітер під кутом 30° до меридіана зі швидкістю 27 км/год?

Дано: t=7,2∙10 3 c; l=3∙10 5 м; α=30° ≈ 0,52 рад; v 2 ≈7,2 м/с.

Знайти: v 2 -? φ -?

Рішення.Розглянемо рух літака у системі відліку, що з землею.

Проведемо вісь ОХ у напрямку Схід, а вісь OY - північ. Тоді швидкість руху літака у вибраній системі відліку

де v = l/t (2)

Рівняння (1) у проекції на осі

ОХ: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα, або v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)

Розділивши ці рівняння почленно, отримаємо tgφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v),

або з урахуванням (2)

tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t);

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t) ≈0,078 рад.

Зводячи в квадрат праві та ліві частини рівнянь (3) і складаючи отримані рівняння, знаходимо

v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

звідки , або з урахуванням (2)

приклад 13.Тіло, кинуте вертикально нагору, повернулося на землю через t=3 с. Знайти висоту підйому тіла та його початкову швидкість.

Рішення.Рух тіла вгору є рівноповільним із прискоренням. gі відбувається протягом часу t 1 , а рух вниз – рівноприскореним із прискоренням g і відбувається протягом часу t 2 . Рівняння, що описують рух на ділянках АВ та ВА, утворюють систему:

Оскільки v B =0, то v0 = gt1. Підставивши v 0 у перше рівняння системи, отримаємо . Якщо порівняти цей вираз із третім рівнянням системи, можна зробити висновок у тому, що час підйому дорівнює часу спуску t 1 =t 2 =t/2=1,5с. Початкова швидкість і швидкість при приземленні дорівнюють один одному і становлять v 0 = v A = gt 1 = 9,8 1,5 = 14,7 м / с.

Висота підйому тіла

приклад 14.Тіло, що вільно падає, в останню секунду руху пройшло половину шляху. Знайти висоту, з якої воно кинуте і час руху.

Рішення.Залежність пройденого шляху від часу для вільно падаючого тіла. Оскільки ділянка ВС, що становлять половину всього шляху, пройдено за час, що дорівнює 1 с, то перша половина шляху АВ пройдено за час (t-1) с. Тоді рух на ділянці ПС може бути описаний як .

Вирішуючи систему

отримаємо t2-4t+2=0. Коріння цього рівняння t 1 = 3,41 і t 2 = 0,59 с. Другий корінь не підходить, т.к. час руху, виходячи з умови завдання, має перевищувати одну секунду. Отже, тіло падало протягом 3,41 с і пройшло цей час шлях

приклад 15.З вежі заввишки 25 м горизонтально кинуто камінь зі швидкістю 15 м/с.

Знайти: 1) скільки часу камінь буде в русі, 2) на якій відстані впаде на землю, 3) з якою швидкістю він впаде на землю, 4) який кут складе траєкторія каменю з горизонтом у точці його падіння на землю. Опір повітря не враховувати.

Дано: Н = 25 м, v o = 15 м / с

Знайти: t-? s x -? v -? φ-?

Рішення.Переміщення кинутого горизонтально каменю можна розкласти на два: горизонтальне s xта вертикальне s y:

де t – час руху.

2) s x = v o t = 33,9 м;

3) v y = gt = 22,1 м / с;

4) sin? = v y / v = 0,827;

Приклад 16З вежі заввишки 25 м горизонтально зі швидкістю v x =10 м/c кинуто тіло.

Знайти: 1) час t падіння тіла; 2) на якій відстані lвід основи вежі воно впаде, 3) швидкість v кінці падіння, 4) кут, який складе траєкторія тіла із землею в точці його приземлення.

Рішення.Рух тіла є складним. Воно бере участь у рівномірному русі по горизонталі і прискореному з прискоренням g по вертикалі. Тому ділянка АВ описується рівняннями:

Для точки А ці рівняння набувають вигляду:

Тоді l=10∙2,26=22,6 м, а v y =9,8∙2,26=22,15 м/с.

Оскільки , то

Кут, який траєкторія складає із землею, дорівнює куту φ у трикутнику швидкостей у т. А, тангенс якого тому φ=68,7°.

Приклад 17Для тіла, кинутого з горизонтальною швидкістю v x =10 м/с, через час t=2 після початку руху знайти: нормальне, тангенціальне і повне прискорення, а також радіус кривизни траєкторії в цій точці.

Рішення.Вертикальна складова швидкості v y = gt = 9,8 ∙ 2 = 19,6 м/с

Швидкість у точці А:

Вектори утворюють трикутник швидкостей, а вектори трикутник прискорень. Як видно з малюнка, ці трикутники подібні, а це означає, що їхні сторони є пропорційними: .

Нормальне прискорення, тому радіус кривизни траєкторії

приклад 18.М'яч кинули зі швидкістю 10 м/с під кутом 40° до горизонту.

Знайти: 1) яку висоту підніметься м'яч; 2) на якій відстані від місця кидання м'яч впаде на землю; 3) скільки часу він буде в русі.

Дано: v o =10 м/с, =40 о.

Знайти: s y -? s x -? t -?

Рішення. 1) Знайдемо найбільшу висоту s y max , на яку піднімається тіло, кинуте зі швидкістю v o під кутом α до горизонту. Маємо (див. рис.):

v y = v o sin - gt; (1)

s y = v o t sinα – gt 2 /2. (2)

У верхній точці v y = 0 та з (1) отримаємо v o ∙sin𝛼 = gt 1 , звідси час підйому м'яча t 1 =v o ∙sinα/g. Підставляючи t 1 (2), отримаємо

s y max = v o 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2,1 м.

2) Знайдемо дальність польоту s x max тіла, кинутого під кутом до горизонту.

Маємо: v x =v o∙cosα , (3)

s x = v x t = v o t · cosα. (4)

Тіло впаде на горизонтальну площину через час t2 = 2t1 = 2v o sinα/g.

Підставляючи t 2 (4), отримаємо s xmax = v про 2 sin2α/ g= 10 м.

3) t 2 = 2t 1 = 2v o sinα/g = 1,3 с.

Приклад 19.Тіло кинуте зі швидкістю v 0 =10 м/с 2 під кутом =30° до горизонту. На яку висоту тіло підніметься. На якій відстані від місця кидання воно впаде на землю? Який час він буде у русі?

Рішення.Горизонтальна та вертикальна складові початкової швидкості

Рух на ділянці ОА можна розкласти на два простих рухи: рівномірний по горизонталі та рівносповільнений по вертикалі:

У точці А

Тоді і

Якщо тіло бере участь одночасно у кількох рухах, то кожному з них воно бере участь незалежно від іншого, отже, час руху дільниці АВ визначається часом руху вниз – t 2 . Час руху вгору дорівнює часу руху вниз, а значить,

При рівномірному русі по горизонталі за рівні проміжки часу тіло проходить рівні ділянки шляху, отже,

Дальність польоту

Висота підйому тіла

Приклад 20Крапка рухається прямолінійно на площині за законом x = 4 (t-2) 2 . Які початкова швидкість v 0 та прискорення точки a? Знайти миттєву швидкість точки vt = 5 на початку п'ятої секунди руху.

Рішення.

1) Т.к. v=x', то v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16

при t = 0 v 0 = -16 м / с.

2) Т.к. a= , a=(8t-16)'=8 м/с.

3) При t=4, т.к. на початок 5 з минуло 4 з.

v t = 5 = 8t-16 = 8 ∙ 4-16 = 32 м / с.

Відповідь:Початкова швидкість точки v 0 = -16 м / с, прискорення a = 8 м / с, швидкість точки на початку п'ятої секунди руху v t = 5 = 32 м / с.

Приклад 21.Рух матеріальної точки описується рівняннями: а) s = t 3 ; б) s = αt 2 +βt. Порівняйте середню швидкість та середньоарифметичну початкової та кінцевої швидкостей vср в інтервалі часу 0 - t. Тут α та β – позитивні постійні.

Рішення.Згадаймо визначення середньої та миттєвої швидкості:

Вирази для миттєвої швидкості утворюються шляхом диференціювання рівняння руху.

Вирази для середньої швидкості перебувають як відношення зміни криволінійної координати до часу:

Отримаємо вирази для середньоарифметичної швидкості:

Відповімо на запитання умови завдання. Видно, що у випадку "а" середня та середньоарифметична швидкості не збігаються, а у випадку "б" - збігаються.

Приклад 22.Матеріальна точка рухається рівномірно по криволінійній траєкторії. У якій точці траєкторії прискорення максимальне?

Рішення.При русі по криволінійній траєкторії прискорення складається з тангенціального та нормального. Тангенційне прискорення характеризує швидкість зміни величини (модуля) швидкості. Якщо величина швидкості не змінюється, тангенціальне прискорення дорівнює нулю. Нормальне прискорення залежить від радіусу кривизни траєкторії a n = v 2/R. Прискорення максимально у точці із найменшим радіусом кривизни, тобто. у точці С.

Приклад 23.Матеріальна точка рухається згідно із законом:

1) Визначити початкову координату, початкову швидкість та прискорення шляхом порівняння із законом руху з постійним прискоренням. Записати рівняння для проекції швидкості.

Рішення.Закон руху з постійним прискоренням має вигляд

Порівнюючи це рівняння з рівнянням умови завдання, отримуємо

x 0 = - 1 м,

v 0 x = 1 м/с,

a x = - 0,25 м/с2.

Виникає питання: який сенс має знак мінус? Коли проекція вектора є негативною? Тільки тоді, коли вектор спрямований проти осі координат.

Зобразимо на малюнку початкову координату, вектори швидкості та прискорення.

Запишемо рівняння для швидкості у вигляді

і підставимо до нього отримані дані (початкові умови)

2) Знайти залежність швидкості та прискорення від часу, застосовуючи визначення цих величин.

Рішення.Застосуємо визначення для миттєвих значень швидкості та прискорення:

Виробляючи диференціювання, отримаємо v x = 1-0,25t, a x = - 0,25 м / с2.

Видно, що прискорення залежить від часу.

3) Побудувати графіки v x (t) та a x (t). Охарактеризувати рух кожному ділянці графіка.

Рішення.Залежність швидкості від часу - лінійна, графік є пряму лінію.

При t = 0 v x = 1 м/с. При t = 4 з v x = 0.

З графіка видно, що у ділянці “а” проекція швидкості позитивна, та її величина зменшується, тобто. точка рухається повільно у напрямку осі х. На ділянці “b” проекція швидкості негативна, та її модуль зростає. Крапка рухається прискорено у напрямку, протилежному осі х. Отже, у точці перетину графіка з віссю абсцис відбувається поворот, зміна напрямку руху.

4) Визначити координату точки повороту та шлях до повороту.

Рішення.Ще раз відзначимо, що у точці повороту швидкість дорівнює нулю. Для цього стану з рівнянь руху отримуємо:

З другого рівняння отримуємо tпов = 4 с. (Видно, щоб отримати це значення не обов'язково будувати та аналізувати графік). Підставимо це значення перше рівняння: x пов =-1+4-4 2 /8 = 1 м. Зобразимо, як рухалася точка.

Шлях до повороту, як видно з малюнка, дорівнює зміні координати: s пов =x пов -x 0 =1-(-1)=2 м.

5) У який час точка проходить через початок координат?

Рішення.У рівнянні руху слід покласти х = 0. Отримуємо квадратне рівняння 0=-1+t-t2/8 або t2-8t+8=0. У цього рівняння два корені: . t 1 = 1,17 с, t 2 = 6,83 с. Справді, точка проходить через початок координат двічі: під час руху “туди” і “назад”.

6) Знайти шлях, пройдений точкою за 5 секунд після початку руху, та переміщення за цей час, а також середню дорожню швидкість на цій ділянці шляху.

Рішення.Насамперед знайдемо координату, в якій опинилася точка після 5 секунд руху та відзначимо її на малюнку.

x (5) = -1 +5-5 2 / 8 = 0,875 м.

Оскільки в даному стані точка знаходиться після повороту, то пройдений шлях вже не дорівнює зміні координати (переміщенню), а складається з двох доданків: шляхи до повороту

s 1 = x пов - x 0 = 1 - (-1) = 2 м

та після повороту

s 2 = x пов - x(5) = 1 - 0,875 = 0,125 м,

s=s1+s2=2,125 м.

Переміщення точки одно

s х = x(5) - x 0 = 0,875 - (-1) = 1,875 м

Середня дорожня швидкість обчислюється за формулою

У розглянутій задачі описаний один із найпростіших видів руху - рух з постійним прискоренням. Проте цей підхід до аналізу характеру руху є універсальним.

Приклад 24.При одномірному русі з постійним прискоренням залежності координати та швидкості частки від часу описуються співвідношеннями:

Встановити зв'язок між координатою частинки та її швидкістю.

Рішення.З цих рівнянь виключаємо час t. Для цього використовуємо метод підстановки. З другого рівняння висловлюємо час і підставляємо на перше рівняння:

Якщо рух починається з початку координат ( х 0 =0) зі стану спокою ( v 0 x =0), то отримана залежність набуває вигляду

добре знайомий із шкільного курсу фізики.

Приклад 25.Рух матеріальної точки описується рівнянням: де і і j - орти осей х і у, α і β - позитивні постійні. У початковий момент часу частка знаходилася в точці х 0 = 0 = 0. Знайти рівняння траєкторії частки у(х).

Рішення.Умова задачі сформульована із застосуванням векторного способу опису руху. Перейдемо до координатного способу. Коефіцієнти при одиничних векторах є проекції вектора швидкості, а саме:

Спочатку отримаємо залежності x(t) та y(t), вирішуючи завдання першого класу.

Приклад 28.З вежі заввишки hкинули камінь зі швидкістю v 0 під кутом до горизонту. Знайти:

1) який час камінь буде у русі;

2) на якій відстані він впаде на землю;

3) з якою швидкістю він впаде на землю;

4) який кут β складе траєкторія каменю з горизонтом у точці його падіння;

5) нормальне та тангенціальне прискорення каменю в цій точці, а також радіус кривизни траєкторії;

6) найбільшу висоту підйому каменю.

Опір повітря знехтувати.

Рішення.На прикладі цього завдання покажемо, як у узагальненому вигляді можна встановити наведений алгоритм розв'язання будь-якого завдання даного класу.

1. У задачі розглядається рух матеріальної точки (каменю) у полі сили тяжіння Землі. Отже, це рух із постійним прискоренням вільного падіння g, спрямованим вертикально донизу.