Степенна функция, нейните свойства и графика Демонстрационен материал Урок-лекция Понятие за функция. Функционални свойства

В последния урок повторихме и обобщихме знанията си по темата „Концепцията за показател“.

Нека си припомним, че ако - pe делено на ku е обикновена дроб и ku не е равно на едно и a е по-голямо или равно на нула, тогава с израза a на степен pe делено на ku имаме предвид корена от степента ku на a на степен pe.

Например, числото едно точка три на степен три седми може да бъде записано като корен от седма част от една точка три на куб.

Функциите от формата, където k е всяко реално число, обикновено се наричат ​​степенни функции.

Днес ще разгледаме случая, когато k е рационален (дробен) показател.

В курса по алгебра за 7-9 клас изучавахте свойствата и графиките на степенните функции с естествен показател. Функция (k-всяко реално число), степенна функция.

За k=n (n∈N), -степенна функция с естествен показател.

Нека си припомним графиките на такива функции.

Графиката на функцията или y=x (y е равно на x на първа степен или y е равно на x) е права линия.

Графиката на функцията (E е равно на x на квадрат) е парабола.

Графиката на функцията (E е равно на X в куб) е кубична парабола.

Графиката на степенна функция (y е равно на x на степен ka) в случай на четно k е подобна на парабола. Фигурата показва графика на степенна функция с k равно на шест.

Графиката на степенна функция (y е равно на x на степен ka) в случай на нечетно k е подобна на кубична парабола. Фигурата показва графика на степенна функция с k равно на седем.

Ако показателят на степенната функция има отрицателно цяло число, тогава получаваме функция от вида: y е равно на x на степен минус en или y е равно на единица, делено на x на n-та степен.

Ако n е четно число, тогава графиката изглежда като тази, показана на фигурата.

Къде е показана функцията y=x-2 или y=?

Ако n е нечетно число, тогава графиката изглежда така.

Чертежът показва функцията y=x-3, или y=

Ако показателят на степенна функция е равен на нула, тогава функцията ще приеме формата: Графиката на такава функция е права линия, минаваща през ордината 1 и успоредна на абсцисната ос.

За k=-n (n∈Z), -степенна функция с отрицателно цяло число.

Да разгледаме степенна функция (E е равно на x на степен k), където k е отрицателно или положително дробно число.

Като пример, нека изградим графика на степенна функция (E е равно на x на степен две точка три).

Домейнът на неговата дефиниция (т.е. всички стойности, приети от x) е лъч с начало в точка нула.

В тази област на дефиниране ще изградим графики на функции (y равно на x на квадрат) - това е разклонение на парабола, подчертано в светло зелено, и (y равно на x на квадрат) - разклонение на кубична парабола, подчертано в тъмно зелено.

Лесно се проверява, че на интервала (0;1) кубичната парабола е разположена под параболата, а на отворения лъч (1;+) - отгоре.

Моля, обърнете внимание, че графиките на функциите (y е равно на x на квадрат), (y е равно на x на степен две точка три) и (y е равно на x на куб) минават през точките (0;0) и (1;1).

За други стойности на аргумента x, графиката на функцията (y е равно на x на степен две точка три) е между графиките на функциите (y е равно на x на квадрат) и (y е равно на x на куб).

Подобна е ситуацията с всяка степенна функция, където е неправилна дроб, тоест числителят m е по-голям от знаменателя n. Графиката на тази функция е крива, подобна на разклонение на парабола.

Колкото по-висок е функционалният индекс k, толкова „по-стръмен“ е насочен клонът.

Фигурата показва графиката на функцията y е равна на x на степен седем секунди.

По този начин можем да различим следните свойства на степенната функция igr е равна на x на степен em, разделена на en, където числителят m е по-голям от знаменателя n.

1. Областта на дефиниция е стойностите на x от нула до плюс безкрайност.

4.Ограничено отдолу от оста x, неограничено отгоре.

5. Функцията приема най-малката стойност нула; няма най-голямо значение.

8. Изпъкнал надолу.

Нека построим графика на функцията, където е правилна дроб (числителят е по-малък от знаменателя) и 0< <1.

Обсъдените по-рано свойства и графика на функцията (y е равно на корен n-ти от x) или (y е равно на x на степен едно, делено на n) също се отнасят за функцията, където е правилна дроб и 0< <1.

Нека си припомним тези свойства:

1. Областта на дефиниция е всички стойности на x от нула до плюс безкрайност.

2. Функцията не е нито четна, нито нечетна.

3. Функцията нараства в цялата област на дефиниция.

5. Функцията приема най-малката стойност нула; няма най-голямо значение.

6. Функцията е непрекъсната в цялата дефинирана област.

7. Диапазонът на функцията е стойностите на играта от нула до плюс безкрайност.

8. Изпъкнал нагоре. функция, където е правилна дроб (числителят е по-малък от знаменателя) и 0<

2. Нито четно, нито нечетно.

3. Увеличава се с.

4. Ограничен отдолу от оста x, неограничен отгоре.

5. ynaim=0; няма най-голямо значение.

6.Непрекъснато.

8. Изпъкнал нагоре.

Нека разгледаме следния тип степенна функция - функция от вида: y е равно на x на степен минус em, делено на en.

Преди това начертахме степенна функция с отрицателен показател на цяло число, равен на x на степен минус k, където k е естествено число.

Ако x е по-голямо от нула, графиката на тази функция изглежда като разклонение на хипербола.

По подобен начин се построява графика на всяка степенна функция с отрицателен рационален (дробен) показател.

Трябва да се има предвид, че графиката на такава функция има две асимптоти: хоризонтална - y е равно на нула и вертикална асимптота - x е равно на нула.

И така, степенната функция igr е равна на x на степен минус em делено на en има следните свойства (и x е по-голямо от нула, тъй като в случай на отрицателна основа с отрицателна експонента, степента на израза не има смисъл):

1) Областта на дефиниция е отворен лъч от нула до безкрайност.

2) Функцията не е нито четна, нито нечетна.

3) Функцията намалява по цялата област на дефиниция.

4) Дъното е ограничено от оста x, горната част не е ограничена.

5) Функцията няма минимална или максимална стойност.

6) Функцията е непрекъсната в цялата област на дефиниция.

7) Диапазонът на функцията е стойностите на играта от нула до плюс безкрайност.

8) Изпъкнал надолу.

Свойства на степенната функция (x 0):

2). Нито четно, нито нечетно.

3). Намалява.

4). Дъното е ограничено от оста x, горната част не е ограничена.

5). Няма най-малка или най-голяма стойност.

6). Непрекъснато за

8). Изпъкнал надолу.

Вече знаете, че производната на степенна функция от вида ygr е равна на x на степен en, където n е естествено число, равно на n по x на степен n минус едно.

По подобен начин можете да изчислите производната на степенна функция с рационален показател.

Следователно следната теорема е вярна:

Ако x е по-голямо от нула и r е произволно рационално число, тогава производната на степенната функция y е равна на x на степен r и се изчислява по формулата: производната на x на степен r е равна на r по х на степен r минус едно.

Например, производната на а на минус трета степен е равна на минус три и на степен минус четири.

Производната на х на степен минус две трети е равна на минус две трети от х на степен минус пет трети.

Тук минус едно беше представено като неправилна дроб от три трети, след което бяха добавени дробите минус две трети и минус три трети.

Теорема: ако x>0, r-рационално число, тогава

Не е трудно да се получи съответната формула за интегриране на степенна функция, когато r не е равно на единица. И така, неопределеният интеграл от х на степен r е равен на х на степен r плюс едно делено на r плюс едно плюс константата ce.

Не е трудно да се разбере, че функцията е равна на x на степен r плюс едно, делено на r плюс едно е първоизводната на функцията, равна на x на степен r. Формула за интегриране на степенна функция:

Функцията е антипроизводна на функция.

Нека разгледаме приложението на придобитите знания при построяването на графика на степенна функция.

Постройте графика на функцията y е равно на x плюс две на степен една половина.

1. Нека построим графика на функцията x на степен една половина. Това е функция на формата където е правилна дроб (числителят е по-малък от знаменателя) и 0< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. Очевидно е, че графиката на функцията y е равна на x плюс две на степен половината е конструирана с помощта на паралелно преместване спрямо оста x с две единици наляво. На фигурата графиката е маркирана в зелено.

Графика на функцията

1. - специален случай за функция от формата, където - е правилна дроб (числителят е по-малък от знаменателя) и 0< <1.

2. Графиката е получена чрез паралелна транслация по оста X 2 единици наляво.

План на урока:

„Степенна функция, нейните свойства и графика“

Пълно име Стадник Елена Ивановна

МестоработаСанкт Петербург, Пушкински район GBOU училище № 606

задълбочено изучаване на английски език.

Длъжностучители по математика

Вещматематици

Клас 10

Тема и номер в темата„Степенна функция, нейните свойства и графики“

2 урока по темата (общо 2 урока)

Основен урокШ.А.Алимов, Ю.М.Колягин, Н.Е.

„Алгебра и началото на анализа 10-11“, учебник за образователни институции, препоръчан от Министерството на образованието на Руската федерация: 9-то издание Москва Образование 2007 г.

Целта на урока:Формиране на умения за прилагане на знания по тази тема при решаване на стандартни и нестандартни алгебрични задачи. Формиране на умение за интегриране на знания от различни теми в курса по математика

Задачи:

Образователни: (формиране на когнитивна UUD)

да може да сравнява числа, да решава неравенства с помощта на графики и (или) свойства на степенни функции

Образователни: (формиране на комуникативни и личностни образователни умения)

да култивира устойчив интерес към предмета, да формира комуникативната компетентност на учениците, да култивира отговорност и точност

Тип урок:обобщаване и систематизиране на знанията

Методи:дискусия, наблюдение, сравнение, опит.

Оборудване:дъска, мултимедийна техника, интерактивна дъска, компютър, учебни материали, постер с графики за № 126(2;3)

По време на часовете:

1. Организационен момент:(2 мин.), за да повторите теорията, като използвате помощните бележки.

2.Проверка на домашното по групи.(10 мин.)

Задължително ниво (1 група)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

№ 119 (2,4,6) от мястото посочете D (f), E (f) под формата на цифрови интервали и номера на фигурата според опорния контур .(вижте Приложение 1)

Примерен отговор:

№ 119(2): D (f )=(); E(f) =(),фиг.2

№ 119(4): D (f )=(),(0; ),

E (f) = (0;), Фиг.3

№ 119(6):): D (f )= ; ); E(f) = ; ), фиг.5

No124(2) от място

Примерен отговор:

Според фиг.13 от учебника граф

лежи над графиката на функцията

.

№ 128. На дъската ученик 1 записва отговори на въпроси и конструира схематични графики на функции.

Примерни отговори

2) ; D(f)= ; );

E(f) = ; );

4) ; D (f )=(-1; ); E (f) = (0; );

Ниво за напреднали (група 2) Докато учителят от група 1 проверява Д/З, учениците от група 2 попълват картите. И един ученик на дъската№ 129(2,4) Примерен отговор:

D ()=R; E () = ; );

4) . D ()=R; E () = ; );

Вариант на карта 1.

Вариант карта 2.

№ 1. Начертайте схематично графиките на функциите:

№ 2. Намерете координатите на пресечните точки на функционалните графики:

III . Актуализиране на основни знания:(12 мин.)

1. Посочете домейна на дефиниция и набор от стойности на функцията:

,

2. Колко нарастват или намаляват тези функции:

,

3.Дадена функция

Запишете заключението в тетрадката си

За всички функции

4. № 122 (устно). Използвайки свойствата на степенна функция, сравнете с единица:

Примерен отговор:

№ 126(1) - на дъската (№ 126(2,3) самостоятелно по опции).

Примерен отговор:

Построяване на графики на функции в една координатна система.

IV . Правене на упражнения. ( 4 мин.)

No 125(1,3,5,7) под диктовка.

Сравнете значението на изразите:

Примерен отговор: (нека отново да разгледаме подкрепящите бележки)

3) ; защото и функция;

5) ; защото ; и функцията намалява;

7) ; защото и функцията се увеличава.

V . Домашна работа:(1 минута.)

1 група - № 125 (четно), 175 (2,6), 177 (1,3)

2 група - № 184(2.4),177(2.4),182(2.3).

VI . Обобщение на урока:(3 мин.) Учениците формулират основните изводи от урока:

Ако експонентата не е цяло число, тогава графиката на функцията се намира в първата четвърт.

Ако показателят е положително нецяло число, функцията е нарастваща.

Ако експонентата е отрицателно нецяло число, тогава функцията е намаляваща. (слайдшоу)

VII . Тест (10 мин.) (вижте Приложение 2) B1 и B2 на „4” и „5”, B3 и B4 – задължително ниво (една точка за верен отговор).

VIII . Допълнителни задачи. ( 3 мин.)

Решете уравнението: Var1.

Отговор: -1;6. Отговор: -4;4.

Тема на урока: „Степенни функции, техните свойства и графики“

Цели на урока:

Образователни:

Създайте условия за формиране на знания за свойствата и характеристиките на графиките на мощностните функции y = x r за различни стойности на r.

Образователни:

Да се ​​насърчи развитието на информационните умения на учениците: способност за работа с текст на слайд, способност за писане на поддържащо резюме.

Да насърчава развитието на творческата и умствена дейност на учениците.

Продължете да развивате уменията ясно и ясно да изразявате мислите си, да анализирате и да правите заключения.

Образователни:

Продължаване на развитието на културата на математическата реч.

Допринасят за формирането на комуникативна компетентност.

Тип урок:комбинирани

Форми на организиране на образователни дейности:челен, индивидуален.

Методи:обяснително-илюстративни, частично търсещи.

Средства за обучение:

компютър, медиен проектор;

Черна дъска;

слайд презентация (PowerPoint), (Приложение 1);

учебник "Алгебра и начала на анализа" изд. А. Г. Мордкович;

работна тетрадка, инструменти за рисуване;

помощно резюме на темата (Word документ), (Приложение 3);

В резултат на изучаването на темата студентите трябва

Зная:концепция за степенна функция,

свойства на степенна функция в зависимост от показателя.

Умейте да:наименувайте свойствата на степенна функция в зависимост от показателя,

изграждане на графики (скици на графики) на степенни функции с рационални

индикатор

извършва прости трансформации на графики,

да можете да напишете подкрепящо резюме,

можете ясно и ясно да изразявате мислите си, да анализирате и да правите заключения.

По време на часовете: Продължаваме да работим върху развитието на уменията за конструиране на графики на степенни функции. Редица такива функции са ни познати от курса по алгебра в 7-9 клас, това са функции с естествен показател и степенни функции с отрицателен цяло число. В миналия урок записахме с вас теорията на степенните функции с дробни показатели

y = x p, където p е дадено реално число

Свойствата и графиката на степенна функция зависят от свойствата на степента с реален експонент и по-специално от стойностите на x и p, за които степента x p има смисъл.

2.

Обобщение на свойствата на степенните функции. Работа с опорен контур.

1.Работа на дъската: конструиране на графики на функции. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

На дъската работят 7 души, останалите на място са обединени в групи за допълнителна проверка

Изброяваме имотите по план.

Домейн.

Диапазон от стойности (набор от стойности).

Четна, нечетна функция.

Увеличаване, намаляване.

В края на работата проверете от учениците, които са останали на място (на екрана се показват слайдове с графики на функции).

2. "математическо лото" На екрана се показват готови графики на функции, на дъската са написани набори от формули и трябва да се установят връзки.

Взаимна проверка:

Верни отговори: № 1 578 643 192

3 Устна работа

1. Използвайки графиките на тези функции, намерете интервалите, в които графиката на функцията y = x π лежи над (под) графиката на функцията y = x.

2. Използвайки графиките на тези функции, намерете интервалите, в които графиката на функцията y = x sin 45 лежи над (под) графиката на функцията y = x.

3. Използвайки фигурата, намерете интервалите, в които графиката на функцията y = x 1- π лежи над (под) графиката на функцията y = x.

Преобразуване на графики

В много случаи функционалните графики могат да бъдат конструирани чрез някои трансформации на вече известни функционални графики с по-проста форма. Нека си припомним някои от тях.

Помислете за вербално преобразуване на графиката на степенна функция и след това изградете две графики.

Самостоятелна работа

Дефинирайте сами степенна функция, начертайте я, опишете нейните свойства

4.3 СТЕПЕНОВА ФУНКЦИЯ, НЕЙНИТЕ СВОЙСТВА И ГРАФИКИ

Съдържание на учебния материал:

1. Степенна функция, определение, запис.

2. Основни свойства на степенната функция.

3.Графики на степенни функции и техните характеристики.

4. Изчисляване на стойностите на функцията въз основа на стойността на аргумента. Определяне на позицията на точка върху графика по нейните координати и обратно.

5. Използване на свойствата на функциите за сравняване на стойностите на градусите.

Мощност наречена функция на формата г = х r , Къдетоx е основата на степента,

r– показател на степента. Нека разгледаме основните свойства на степенните функции с различни показатели и техните графики.

а) Свойства на функцията г = х r , r > 1

D(x) = )