Παρουσίαση για το μάθημα "Σύγκριση λογαρίθμων" υλικό για την προετοιμασία για την Ενιαία Κρατική Εξέταση (GIA) στην άλγεβρα (τάξη 11) με θέμα. Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων Συγκρίνετε λογάριθμους με παραδείγματα διαφορετικών βάσεων

κύριες ιδιότητες.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = λογα (x: y).

πανομοιότυπους λόγους

Log6 4 + log6 9.

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο.

Παραδείγματα επίλυσης λογαρίθμων

Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x >

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Μετάβαση σε νέα βάση

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Δείτε επίσης:

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι ίσος με 2,7 και διπλάσιο από το έτος γέννησης του Λέοντος Νικολάεβιτς Τολστόι.

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντος Τολστόι.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Λογαρίθμες εκφράσεις

Παράδειγμα 1.
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 υπολογίζουμε

2.

3.

4. Οπου .

Παράδειγμα 2. Βρείτε το x αν

Παράδειγμα 3. Έστω η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Επειδή όμως οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς, δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = λογα (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα «Τι είναι ο λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Εφόσον οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα , δηλ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο. Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή.

Τύποι λογαρίθμων. Παραδείγματα λογαρίθμων λύσεων.

Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογήσουμε πόσο βολικές είναι μόνο όταν λύνουμε λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει αν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη που ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

1. λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
2. λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Δείτε επίσης:

Ο λογάριθμος του b για τη βάση του a δηλώνει την παράσταση. Για να υπολογίσετε τον λογάριθμο σημαίνει να βρείτε μια ισχύ x () στην οποία η ισότητα ικανοποιείται

Βασικές ιδιότητες του λογάριθμου

Είναι απαραίτητο να γνωρίζουμε τις παραπάνω ιδιότητες, αφού όλα σχεδόν τα προβλήματα και τα παραδείγματα που σχετίζονται με τους λογάριθμους επιλύονται με βάση τους. Οι υπόλοιπες εξωτικές ιδιότητες μπορούν να προκύψουν μέσω μαθηματικών χειρισμών με αυτούς τους τύπους

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Κατά τον υπολογισμό του τύπου για το άθροισμα και τη διαφορά των λογαρίθμων (3.4) συναντάτε αρκετά συχνά. Τα υπόλοιπα είναι κάπως περίπλοκα, αλλά σε μια σειρά εργασιών είναι απαραίτητα για την απλοποίηση σύνθετων εκφράσεων και τον υπολογισμό των τιμών τους.

Συνήθεις περιπτώσεις λογαρίθμων

Μερικοί από τους κοινούς λογάριθμους είναι εκείνοι στους οποίους η βάση είναι ακόμη δέκα, εκθετική ή δύο.
Ο λογάριθμος στη βάση δέκα ονομάζεται συνήθως δεκαδικός λογάριθμος και συμβολίζεται απλώς με lg(x).

Από την ηχογράφηση φαίνεται ξεκάθαρα ότι στην ηχογράφηση δεν γράφονται τα βασικά. Για παράδειγμα

Ένας φυσικός λογάριθμος είναι ένας λογάριθμος του οποίου η βάση είναι ένας εκθέτης (που συμβολίζεται με ln(x)).

Ο εκθέτης είναι 2,718281828…. Για να θυμάστε τον εκθέτη, μπορείτε να μελετήσετε τον κανόνα: ο εκθέτης είναι ίσος με 2,7 και διπλάσιο από το έτος γέννησης του Λέοντος Νικολάεβιτς Τολστόι. Γνωρίζοντας αυτόν τον κανόνα, θα γνωρίζετε τόσο την ακριβή τιμή του εκθέτη όσο και την ημερομηνία γέννησης του Λέοντος Τολστόι.

Και ένας άλλος σημαντικός λογάριθμος για τη βάση δύο συμβολίζεται με

Η παράγωγος του λογάριθμου μιας συνάρτησης είναι ίση με ένα διαιρούμενο με τη μεταβλητή

Ο ολοκληρωτικός ή αντιπαράγωγος λογάριθμος καθορίζεται από τη σχέση

Το δεδομένο υλικό είναι αρκετό για να λύσετε μια ευρεία κατηγορία προβλημάτων που σχετίζονται με λογάριθμους και λογάριθμους. Για να σας βοηθήσω να κατανοήσετε το υλικό, θα δώσω μόνο μερικά κοινά παραδείγματα από το σχολικό πρόγραμμα και τα πανεπιστήμια.

Παραδείγματα λογαρίθμων

Λογαρίθμες εκφράσεις

Παράδειγμα 1.
ΕΝΑ). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 υπολογίζουμε

2.
Με την ιδιότητα διαφοράς λογαρίθμων έχουμε

3.
Χρησιμοποιώντας ιδιότητες 3.5 βρίσκουμε

4. Οπου .

Μια φαινομενικά πολύπλοκη έκφραση απλοποιείται για να σχηματιστεί χρησιμοποιώντας έναν αριθμό κανόνων

Εύρεση λογαριθμικών τιμών

Παράδειγμα 2. Βρείτε το x αν

Λύση. Για τον υπολογισμό, εφαρμόζουμε στον τελευταίο όρο 5 και 13 ιδιότητες

Το βάζουμε σε δίσκο και θρηνούμε

Εφόσον οι βάσεις είναι ίσες, εξισώνουμε τις εκφράσεις

Λογάριθμοι. Πρώτο επίπεδο.

Ας δοθεί η τιμή των λογαρίθμων

Υπολογίστε το log(x) αν

Λύση: Ας πάρουμε έναν λογάριθμο της μεταβλητής για να γράψουμε τον λογάριθμο μέσω του αθροίσματος των όρων της

Αυτή είναι μόνο η αρχή της γνωριμίας μας με τους λογάριθμους και τις ιδιότητές τους. Εξασκηθείτε στους υπολογισμούς, εμπλουτίστε τις πρακτικές σας δεξιότητες - σύντομα θα χρειαστείτε τις γνώσεις που αποκτάτε για να λύσετε λογαριθμικές εξισώσεις. Έχοντας μελετήσει τις βασικές μεθόδους για την επίλυση τέτοιων εξισώσεων, θα επεκτείνουμε τις γνώσεις σας σε ένα άλλο εξίσου σημαντικό θέμα - τις λογαριθμικές ανισότητες...

Βασικές ιδιότητες των λογαρίθμων

Οι λογάριθμοι, όπως κάθε αριθμός, μπορούν να προστεθούν, να αφαιρεθούν και να μετασχηματιστούν με κάθε τρόπο. Επειδή όμως οι λογάριθμοι δεν είναι ακριβώς συνηθισμένοι αριθμοί, υπάρχουν κανόνες εδώ, οι οποίοι καλούνται κύριες ιδιότητες.

Πρέπει οπωσδήποτε να γνωρίζετε αυτούς τους κανόνες - χωρίς αυτούς, δεν μπορεί να λυθεί ούτε ένα σοβαρό λογαριθμικό πρόβλημα. Επιπλέον, υπάρχουν πολύ λίγα από αυτά - μπορείτε να μάθετε τα πάντα σε μια μέρα. Ας ξεκινήσουμε λοιπόν.

Πρόσθεση και αφαίρεση λογαρίθμων

Θεωρήστε δύο λογάριθμους με τις ίδιες βάσεις: λογάξ και λογάριθμο. Στη συνέχεια μπορούν να προστεθούν και να αφαιρεθούν και:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = λογα (x: y).

Άρα, το άθροισμα των λογαρίθμων είναι ίσο με τον λογάριθμο του γινομένου και η διαφορά είναι ίση με τον λογάριθμο του πηλίκου. Παρακαλώ σημειώστε: το βασικό σημείο εδώ είναι πανομοιότυπους λόγους. Εάν οι λόγοι είναι διαφορετικοί, αυτοί οι κανόνες δεν λειτουργούν!

Αυτοί οι τύποι θα σας βοηθήσουν να υπολογίσετε μια λογαριθμική παράσταση ακόμα και όταν δεν λαμβάνονται υπόψη τα επιμέρους μέρη της (δείτε το μάθημα «Τι είναι ο λογάριθμος»). Ρίξτε μια ματιά στα παραδείγματα και δείτε:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log6 4 + log6 9.

Εφόσον οι λογάριθμοι έχουν τις ίδιες βάσεις, χρησιμοποιούμε τον τύπο αθροίσματος:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log2 48 − log2 3.

Οι βάσεις είναι ίδιες, χρησιμοποιούμε τον τύπο διαφοράς:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log3 135 − log3 5.

Και πάλι οι βάσεις είναι ίδιες, οπότε έχουμε:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Όπως μπορείτε να δείτε, οι αρχικές εκφράσεις αποτελούνται από «κακούς» λογάριθμους, οι οποίοι δεν υπολογίζονται χωριστά. Όμως μετά τους μετασχηματισμούς προκύπτουν εντελώς κανονικοί αριθμοί. Πολλά τεστ βασίζονται σε αυτό το γεγονός. Ναι, οι εκφράσεις που μοιάζουν με τεστ προσφέρονται με κάθε σοβαρότητα (μερικές φορές χωρίς σχεδόν καμία αλλαγή) στην Εξέταση Ενιαίου Κράτους.

Εξαγωγή του εκθέτη από τον λογάριθμο

Τώρα ας περιπλέκουμε λίγο το έργο. Τι γίνεται αν η βάση ή το όρισμα ενός λογαρίθμου είναι δύναμη; Τότε ο εκθέτης αυτού του βαθμού μπορεί να αφαιρεθεί από το πρόσημο του λογαρίθμου σύμφωνα με τους ακόλουθους κανόνες:

Είναι εύκολο να δει κανείς ότι ο τελευταίος κανόνας ακολουθεί τους δύο πρώτους. Αλλά είναι καλύτερα να το θυμάστε ούτως ή άλλως - σε ορισμένες περιπτώσεις θα μειώσει σημαντικά τον όγκο των υπολογισμών.

Φυσικά, όλοι αυτοί οι κανόνες έχουν νόημα αν παρατηρηθεί το ODZ του λογαρίθμου: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Και κάτι ακόμα: μάθετε να εφαρμόζετε όλους τους τύπους όχι μόνο από αριστερά προς τα δεξιά, αλλά και αντίστροφα , δηλ. Μπορείτε να εισάγετε τους αριθμούς πριν από το σύμβολο του λογάριθμου στον ίδιο τον λογάριθμο.

Πώς να λύσετε λογάριθμους

Αυτό είναι που απαιτείται συχνότερα.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log7 496.

Ας απαλλαγούμε από το βαθμό στο όρισμα χρησιμοποιώντας τον πρώτο τύπο:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι ο παρονομαστής περιέχει έναν λογάριθμο, η βάση και το όρισμα του οποίου είναι ακριβείς δυνάμεις: 16 = 24; 49 = 72. Έχουμε:

Νομίζω ότι το τελευταίο παράδειγμα απαιτεί κάποια διευκρίνιση. Πού πήγαν οι λογάριθμοι; Μέχρι την τελευταία στιγμή δουλεύουμε μόνο με τον παρονομαστή. Παρουσιάσαμε τη βάση και το όρισμα του λογάριθμου που στέκεται εκεί με τη μορφή δυνάμεων και βγάλαμε τους εκθέτες - πήραμε ένα κλάσμα "τριώροφο".

Τώρα ας δούμε το κύριο κλάσμα. Ο αριθμητής και ο παρονομαστής περιέχουν τον ίδιο αριθμό: log2 7. Επειδή log2 7 ≠ 0, μπορούμε να μειώσουμε το κλάσμα - τα 2/4 θα παραμείνουν στον παρονομαστή. Σύμφωνα με τους κανόνες της αριθμητικής, τα τέσσερα μπορούν να μεταφερθούν στον αριθμητή, πράγμα που έγινε. Το αποτέλεσμα ήταν η απάντηση: 2.

Μετάβαση σε νέα βάση

Μιλώντας για τους κανόνες πρόσθεσης και αφαίρεσης λογαρίθμων, τόνισα συγκεκριμένα ότι λειτουργούν μόνο με τις ίδιες βάσεις. Κι αν οι λόγοι είναι διαφορετικοί; Τι γίνεται αν δεν είναι ακριβείς δυνάμεις του ίδιου αριθμού;

Οι φόρμουλες για τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο έρχονται στη διάσωση. Ας τα διατυπώσουμε με τη μορφή ενός θεωρήματος:

Ας δοθεί ο λογάριθμος λογάριθμος. Τότε για οποιονδήποτε αριθμό c τέτοιο ώστε c > 0 και c ≠ 1, η ισότητα είναι αληθής:

Συγκεκριμένα, αν θέσουμε c = x, παίρνουμε:

Από τον δεύτερο τύπο προκύπτει ότι η βάση και το όρισμα του λογάριθμου μπορούν να αντικατασταθούν, αλλά σε αυτήν την περίπτωση ολόκληρη η έκφραση "αναποδογυρίζεται", δηλ. ο λογάριθμος εμφανίζεται στον παρονομαστή.

Αυτοί οι τύποι βρίσκονται σπάνια σε συνηθισμένες αριθμητικές εκφράσεις. Είναι δυνατό να αξιολογήσουμε πόσο βολικές είναι μόνο όταν λύνουμε λογαριθμικές εξισώσεις και ανισώσεις.

Ωστόσο, υπάρχουν προβλήματα που δεν μπορούν να λυθούν καθόλου παρά μόνο με τη μετάβαση σε ένα νέο θεμέλιο. Ας δούμε μερικά από αυτά:

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log5 16 log2 25.

Σημειώστε ότι τα ορίσματα και των δύο λογαρίθμων περιέχουν ακριβείς δυνάμεις. Ας βγάλουμε τους δείκτες: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Τώρα ας «αντιστρέψουμε» τον δεύτερο λογάριθμο:

Δεδομένου ότι το γινόμενο δεν αλλάζει κατά την αναδιάταξη των παραγόντων, πολλαπλασιάσαμε ήρεμα τέσσερα και δύο και στη συνέχεια ασχοληθήκαμε με τους λογάριθμους.

Εργο. Βρείτε την τιμή της παράστασης: log9 100 lg 3.

Η βάση και το όρισμα του πρώτου λογάριθμου είναι ακριβείς δυνάμεις. Ας το γράψουμε αυτό και ας απαλλαγούμε από τους δείκτες:

Τώρα ας απαλλαγούμε από τον δεκαδικό λογάριθμο μεταβαίνοντας σε μια νέα βάση:

Βασική λογαριθμική ταυτότητα

Συχνά στη διαδικασία επίλυσης είναι απαραίτητο να αναπαραστήσουμε έναν αριθμό ως λογάριθμο σε μια δεδομένη βάση. Σε αυτήν την περίπτωση, οι παρακάτω τύποι θα μας βοηθήσουν:

Στην πρώτη περίπτωση, ο αριθμός n γίνεται ο εκθέτης στο όρισμα. Ο αριθμός n μπορεί να είναι απολύτως οτιδήποτε, γιατί είναι απλώς μια λογαριθμική τιμή.

Ο δεύτερος τύπος είναι στην πραγματικότητα ένας παραφρασμένος ορισμός. Έτσι λέγεται: .

Στην πραγματικότητα, τι συμβαίνει αν ο αριθμός b αυξηθεί σε τέτοια δύναμη που ο αριθμός b σε αυτή τη δύναμη να δώσει τον αριθμό a; Αυτό είναι σωστό: το αποτέλεσμα είναι ο ίδιος αριθμός α. Διαβάστε ξανά προσεκτικά αυτήν την παράγραφο - πολλοί άνθρωποι κολλάνε σε αυτήν.

Όπως οι τύποι για τη μετάβαση σε μια νέα βάση, η βασική λογαριθμική ταυτότητα είναι μερικές φορές η μόνη δυνατή λύση.

Εργο. Βρείτε το νόημα της έκφρασης:

Σημειώστε ότι log25 64 = log5 8 - απλά πήρε το τετράγωνο από τη βάση και το όρισμα του λογαρίθμου. Λαμβάνοντας υπόψη τους κανόνες για τον πολλαπλασιασμό των δυνάμεων με την ίδια βάση, παίρνουμε:

Αν κάποιος δεν ξέρει, αυτή ήταν μια πραγματική εργασία από την Ενιαία Κρατική Εξέταση :)

Λογαριθμική μονάδα και λογαριθμικό μηδέν

Εν κατακλείδι, θα δώσω δύο ταυτότητες που δύσκολα μπορούν να ονομαστούν ιδιότητες - μάλλον είναι συνέπειες του ορισμού του λογαρίθμου. Εμφανίζονται συνεχώς σε προβλήματα και, παραδόξως, δημιουργούν προβλήματα ακόμη και σε «προχωρημένους» μαθητές.

1. λογάα = 1 είναι. Θυμηθείτε μια για πάντα: ο λογάριθμος σε οποιαδήποτε βάση α αυτής της ίδιας της βάσης είναι ίσος με ένα.
2. λογότυπο 1 = 0 είναι. Η βάση a μπορεί να είναι οτιδήποτε, αλλά αν το όρισμα περιέχει ένα, ο λογάριθμος είναι ίσος με μηδέν! Επειδή το a0 = 1 είναι άμεση συνέπεια του ορισμού.

Αυτά είναι όλα τα ακίνητα. Φροντίστε να εξασκηθείτε στην εφαρμογή τους! Κατεβάστε το cheat sheet στην αρχή του μαθήματος, εκτυπώστε το και λύστε τα προβλήματα.

Ας ξεκινήσουμε με ιδιότητες του λογάριθμου του ενός. Η διατύπωσή του έχει ως εξής: ο λογάριθμος της ενότητας είναι ίσος με μηδέν, δηλαδή καταγράψτε ένα 1=0για οποιοδήποτε a>0, a≠1. Η απόδειξη δεν είναι δύσκολη: αφού ένα 0 =1 για οποιοδήποτε a ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες a>0 και a≠1, τότε το log ισότητας a 1=0 που πρέπει να αποδειχθεί προκύπτει αμέσως από τον ορισμό του λογαρίθμου.

Ας δώσουμε παραδείγματα εφαρμογής της εξεταζόμενης ιδιότητας: log 3 1=0, log1=0 και .

Ας προχωρήσουμε στο επόμενο ακίνητο: ο λογάριθμος ενός αριθμού ίσου με τη βάση είναι ίσος με ένα, αυτό είναι, καταγραφή a a=1για a>0, a≠1. Πράγματι, εφόσον a 1 =a για οποιοδήποτε a, τότε εξ ορισμού του λογαρίθμου log a a=1.

Παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων είναι οι ισότητες log 5 5=1, log 5.6 5.6 και lne=1.

Για παράδειγμα, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 και .

Λογάριθμος του γινομένου δύο θετικών αριθμώνΤο x και το y είναι ίσο με το γινόμενο των λογαρίθμων αυτών των αριθμών: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Ας αποδείξουμε την ιδιότητα του λογαρίθμου ενός γινομένου. Λόγω των ιδιοτήτων του πτυχίου a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, και εφόσον από την κύρια λογαριθμική ταυτότητα ένα log a x =x και ένα log a y =y, τότε ένα log a x ·a log a y =x·y. Έτσι, ένα log a x+log a y =x·y, από το οποίο, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, προκύπτει η ισότητα που αποδεικνύεται.

Ας δείξουμε παραδείγματα χρήσης της ιδιότητας του λογάριθμου ενός προϊόντος: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 και .

Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός γινομένου μπορεί να γενικευτεί στο γινόμενο ενός πεπερασμένου αριθμού n θετικών αριθμών x 1 , x 2 , …, x n ως log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Αυτή η ισότητα μπορεί να αποδειχθεί χωρίς προβλήματα.

Για παράδειγμα, ο φυσικός λογάριθμος του γινομένου μπορεί να αντικατασταθεί από το άθροισμα τριών φυσικών λογαρίθμων των αριθμών 4, e και.

Λογάριθμος του πηλίκου δύο θετικών αριθμών x και y ισούται με τη διαφορά μεταξύ των λογαρίθμων αυτών των αριθμών. Η ιδιότητα του λογάριθμου ενός πηλίκου αντιστοιχεί σε έναν τύπο της μορφής , όπου a>0, a≠1, x και y είναι κάποιοι θετικοί αριθμοί. Η εγκυρότητα αυτού του τύπου αποδεικνύεται καθώς και ο τύπος για τον λογάριθμο ενός προϊόντος: αφού , τότε εξ ορισμού του λογάριθμου.

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας του λογάριθμου: .

Ας προχωρήσουμε στο ιδιότητα του λογάριθμου της ισχύος. Ο λογάριθμος μιας μοίρας είναι ίσος με το γινόμενο του εκθέτη και το λογάριθμο του συντελεστή μέτρησης της βάσης αυτού του βαθμού. Ας γράψουμε αυτή την ιδιότητα του λογάριθμου μιας δύναμης ως τύπο: log a b p =p·log a |b|, όπου a>0, a≠1, b και p είναι αριθμοί τέτοιοι ώστε ο βαθμός b p έχει νόημα και b p >0.

Αρχικά αποδεικνύουμε αυτή την ιδιότητα ως θετική β. Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά b p =(a log a b) p , και η παράσταση που προκύπτει, λόγω της ιδιότητας της ισχύος, είναι ίση με a p·log a b . Άρα καταλήγουμε στην ισότητα b p =a p·log a b, από την οποία, με τον ορισμό ενός λογάριθμου, συμπεραίνουμε ότι log a b p =p·log a b.

Μένει να αποδειχθεί αυτή η ιδιότητα για αρνητικό β. Εδώ σημειώνουμε ότι η έκφραση log a b p για αρνητικό b έχει νόημα μόνο για άρτιους εκθέτες p (καθώς η τιμή του βαθμού b p πρέπει να είναι μεγαλύτερη από το μηδέν, διαφορετικά ο λογάριθμος δεν θα έχει νόημα), και σε αυτή την περίπτωση b p =|b| Π. Επειτα b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, από όπου log a b p =p·log a |b| .

Για παράδειγμα, και ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Προκύπτει από το προηγούμενο ακίνητο ιδιότητα του λογάριθμου από τη ρίζα: ο λογάριθμος της νης ρίζας είναι ίσος με το γινόμενο του κλάσματος 1/n με τον λογάριθμο της ριζικής έκφρασης, δηλαδή, , όπου a>0, a≠1, n είναι φυσικός αριθμός μεγαλύτερος του ενός, b>0.

Η απόδειξη βασίζεται στην ισότητα (βλ.), που ισχύει για κάθε θετικό b, και στην ιδιότητα του λογάριθμου της ισχύος: .

Ακολουθεί ένα παράδειγμα χρήσης αυτής της ιδιότητας: .

Τώρα ας αποδείξουμε τύπος για μετάβαση σε νέα βάση λογαρίθμουτύπος . Για να γίνει αυτό, αρκεί να αποδείξουμε την εγκυρότητα του log ισότητας c b=log a b·log c a. Η βασική λογαριθμική ταυτότητα μας επιτρέπει να αναπαραστήσουμε τον αριθμό b ως log a b , μετά το log c b=log c a log a b . Απομένει να χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα του λογάριθμου του βαθμού: log c a log a b =log a b log c α. Αυτό αποδεικνύει την ισότητα log c b=log a b·log c a, που σημαίνει ότι έχει αποδειχθεί και ο τύπος μετάβασης σε νέα βάση του λογάριθμου.

Ας δείξουμε μερικά παραδείγματα χρήσης αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων: και .

Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση σάς επιτρέπει να προχωρήσετε στην εργασία με λογάριθμους που έχουν «βολική» βάση. Για παράδειγμα, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για μετάβαση σε φυσικούς ή δεκαδικούς λογάριθμους, ώστε να μπορείτε να υπολογίσετε την τιμή ενός λογαρίθμου από έναν πίνακα λογαρίθμων. Ο τύπος για τη μετάβαση σε μια νέα βάση λογαρίθμου επιτρέπει επίσης, σε ορισμένες περιπτώσεις, να βρεθεί η τιμή ενός δεδομένου λογαρίθμου όταν είναι γνωστές οι τιμές ορισμένων λογαρίθμων με άλλες βάσεις.

Συχνά χρησιμοποιείται μια ειδική περίπτωση του τύπου για μετάβαση σε νέα βάση λογαρίθμου για c=b της φόρμας . Αυτό δείχνει ότι το log a b και το log b a – . Π.χ, .

Ο τύπος χρησιμοποιείται επίσης συχνά , που είναι βολικό για την εύρεση λογαριθμικών τιμών. Για να επιβεβαιώσουμε τα λόγια μας, θα δείξουμε πώς μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της τιμής ενός λογάριθμου της φόρμας . Εχουμε . Για να αποδείξουμε τον τύπο αρκεί να χρησιμοποιήσετε τον τύπο για μετάβαση σε μια νέα βάση του λογάριθμου α: .

Μένει να αποδείξουμε τις ιδιότητες σύγκρισης των λογαρίθμων.

Ας αποδείξουμε ότι για οποιουσδήποτε θετικούς αριθμούς b 1 και b 2, b 1 log a b 2 , και για a>1 – η ανισότητα log a b 1

Τέλος, μένει να αποδείξουμε την τελευταία από τις αναφερόμενες ιδιότητες των λογαρίθμων. Ας περιοριστούμε στην απόδειξη του πρώτου μέρους του, δηλαδή θα αποδείξουμε ότι αν ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b>log a 2 b . Οι υπόλοιπες δηλώσεις αυτής της ιδιότητας των λογαρίθμων αποδεικνύονται σύμφωνα με παρόμοια αρχή.

Ας χρησιμοποιήσουμε την αντίθετη μέθοδο. Ας υποθέσουμε ότι για ένα 1 >1, ένα 2 >1 και ένα 1 1 είναι αληθές log a 1 b≤log a 2 b . Με βάση τις ιδιότητες των λογαρίθμων, αυτές οι ανισότητες μπορούν να ξαναγραφτούν ως Και αντίστοιχα, και από αυτά προκύπτει ότι το log b a 1 ≤log b a 2 και το log b a 1 ≥log b a 2, αντίστοιχα. Τότε, σύμφωνα με τις ιδιότητες των δυνάμεων με τις ίδιες βάσεις, πρέπει να ισχύουν οι ισότητες b log b a 1 ≥b log b a 2 και b log b a 1 ≥b log b a 2, δηλαδή a 1 ≥a 2 . Έτσι καταλήξαμε σε μια αντίφαση με την συνθήκη a 1

Βιβλιογραφία.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. και άλλα Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: Εγχειρίδιο για τις τάξεις 10 - 11 των ιδρυμάτων γενικής εκπαίδευσης.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Μαθηματικά (εγχειρίδιο για όσους μπαίνουν σε τεχνικές σχολές).

Η σύγκριση των τιμών των λογαρίθμων ή της τιμής ενός λογαρίθμου με έναν ορισμένο αριθμό εμφανίζεται στην πρακτική επίλυσης προβλημάτων του σχολείου όχι μόνο ως ανεξάρτητη εργασία. Πρέπει να συγκρίνετε λογάριθμους, για παράδειγμα, όταν λύνετε εξισώσεις και ανισώσεις. Τα υλικά του άρθρου (προβλήματα και οι λύσεις τους) διατάσσονται σύμφωνα με την αρχή "από απλό σε σύνθετο" και μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την προετοιμασία και τη διεξαγωγή μαθήματος (μαθημάτων) σχετικά με αυτό το θέμα, καθώς και σε μαθήματα επιλογής. Ο αριθμός των εργασιών που εξετάζονται σε ένα μάθημα εξαρτάται από το επίπεδο της τάξης και τον εξειδικευμένο τομέα της. Σε προχωρημένα μαθήματα μαθηματικών, αυτό το υλικό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για ένα δίωρο μάθημα διάλεξης.

1. (Προφορικά.) Ποιες από τις συναρτήσεις αυξάνονται και ποιες φθίνουσες:

Σχόλιο.Αυτή η άσκηση είναι μια προπαρασκευαστική άσκηση.

2. (Προφορικά.)Συγκρίνετε με το μηδέν:

Σχόλιο. Όταν λύνετε την άσκηση Νο. 2, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε τόσο τις ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης χρησιμοποιώντας τη γραφική παράσταση της λογαριθμικής συνάρτησης, όσο και τις ακόλουθες χρήσιμη ιδιότητα:

αν οι θετικοί αριθμοί a και b βρίσκονται στην αριθμητική γραμμή στα δεξιά του 1 ή στα αριστερά του 1 (δηλαδή, a>1 και b>1 ή 0 0 ;
αν οι θετικοί αριθμοί a και b βρίσκονται στην αριθμητική ευθεία στις απέναντι πλευρές του 1 (δηλαδή 0 .

Ας δείξουμε τη χρήση αυτής της ιδιότητας στην απόφαση αριθ. 2(α).

Από τη λειτουργία y = log 7 tαυξάνεται κατά R+, 10 > 7, μετά log 7 10 > log 7 7, δηλαδή log 7 10 > 1. Έτσι, οι θετικοί αριθμοί sin3 και log 7 10 βρίσκονται σε αντίθετες πλευρές του 1. Επομένως, log sin3 log 7 10< 0.

3. (Προφορικά.) Βρείτε το σφάλμα στη συλλογιστική:

Λειτουργία y = lgtαυξάνεται κατά R +, τότε ,

Ας διαιρέσουμε και τις δύο πλευρές της τελευταίας ανισότητας με . Παίρνουμε ότι 2 > 3.

Λύση.

Οι θετικοί αριθμοί και το 10 (η βάση του λογαρίθμου) βρίσκονται στις αντίθετες πλευρές του 1. Αυτό σημαίνει ότι< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Προφορικά.) Συγκρίνετε τους αριθμούς:

Σχόλιο.Όταν λύνουμε τις ασκήσεις Νο 4(α–γ), χρησιμοποιούμε την ιδιότητα της μονοτονίας της λογαριθμικής συνάρτησης. Για τη λύση Νο. 4(δ), χρησιμοποιούμε την ιδιότητα:

αν c > a >1, τότε για b>1 το log ανισότητας a b > log c b είναι αληθές.

Λύση 4(δ).

Από 1< 5 < 7 и 13 >1, μετά log 5 13 > log 7 13.

5. Συγκρίνετε αριθμούςημερολόγιο 2 6 και 2.

Λύση.

Πρώτος τρόπος (χρησιμοποιώντας τη μονοτονία της λογαριθμικής συνάρτησης).

Λειτουργία y = log 2 tαυξάνεται κατά R+, 6 > 4. Άρα, ημερολόγιο 2 6 > ημερολόγιο 2 4Και ημερολόγιο 2 5 > 2.

Η δεύτερη μέθοδος (σύνθεση της διαφοράς).

Ας καλύψουμε τη διαφορά.

6. Συγκρίνετε αριθμούς Και -1.

Λειτουργία y =μειώνεται κατά R+ , 3 < 5. Значит, >Και > -1 .

7. Συγκρίνετε αριθμούς Και 3 ημερολόγιο 8 26 .

Λειτουργία y = log 2 tαυξάνεται κατά R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Πρώτος τρόπος.

Ας πολλαπλασιάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας επί 3:

Λειτουργία y = log 5 tαυξάνεται κατά R+ , 27 > 25. Άρα,

Δεύτερος τρόπος.

Ας καλύψουμε τη διαφορά
. Από εδώ.

9. Συγκρίνετε το ημερολόγιο αριθμών 4 26 Και ημερολόγιο 6 17.

Ας υπολογίσουμε τους λογάριθμους, λαμβάνοντας υπόψη ότι οι συναρτήσεις y = log 4 t και y = log 6 t αυξάνοντας κατά R+:

Λαμβάνοντας υπόψη ότι οι συναρτήσεις μειώνεται κατά R+, έχουμε:

Που σημαίνει,

Σχόλιο. Η προτεινόμενη μέθοδος σύγκρισης ονομάζεται μέθοδος «εισαγωγής».ή μέθοδος «διαχωρισμού».(βρήκαμε τον αριθμό 4 που χωρίζει αυτούς τους δύο αριθμούς).

11. Συγκρίνετε το ημερολόγιο αριθμών 2 3 Και ημερολόγιο 3 5.

Σημειώστε ότι και οι δύο λογάριθμοι είναι μεγαλύτεροι από 1 αλλά μικρότεροι από 2.

Πρώτος τρόπος. Ας προσπαθήσουμε να χρησιμοποιήσουμε τη μέθοδο «διαχωρισμού». Ας συγκρίνουμε τους λογάριθμους με τον αριθμό.

Δεύτερη μέθοδος ( πολλαπλασιασμός με φυσικό αριθμό).

Σημείωση 1. Η ουσία μέθοδος “πολλαπλασιάζοντας με έναν φυσικό αριθμό” είναι ότι αναζητούμε έναν φυσικό αριθμό κ, όταν πολλαπλασιαστεί με το οποίο οι συγκριθέντες αριθμοί έναΚαι σιπάρτε αυτούς τους αριθμούς καΚαι kbότι υπάρχει τουλάχιστον ένας ακέραιος μεταξύ τους.

Σημείωση 2. Η εφαρμογή της παραπάνω μεθόδου μπορεί να είναι πολύ εντατική, εάν οι αριθμοί που συγκρίνονται είναι πολύ κοντά μεταξύ τους.
Σε αυτήν την περίπτωση, μπορείτε να δοκιμάσετε τη σύγκριση μέθοδος «αφαίρεσης ενός»" Ας το δείξουμε στο παρακάτω παράδειγμα.

12. Συγκρίνετε το ημερολόγιο αριθμών 7 8 Και ημερολόγιο 6 7.

Πρώτος τρόπος (αφαιρέστε ένα).

Αφαιρέστε 1 από τους αριθμούς που συγκρίνονται.

Στην πρώτη ανισότητα χρησιμοποιήσαμε το γεγονός ότι

αν c > a > 1, τότε για b > 1 το log ανισότητας a b > log c b είναι αληθές.

Στη δεύτερη ανίσωση – η μονοτονία της συνάρτησης y = log a x.

Δεύτερος τρόπος (εφαρμογή της ανισότητας του Cauchy).

13. Συγκρίνετε το ημερολόγιο αριθμών 24 72 Και ημερολόγιο 12 18.

14. Συγκρίνετε το ημερολόγιο αριθμών 20 80 Και ημερολόγιο 80 640.

Έστω log 2 5 = Χ. σημειώσε ότι Χ > 0.

Παίρνουμε ανισότητα.

Ας βρούμε πολλές λύσεις για την ανισότητα, ικανοποιώντας τη συνθήκη x > 0.

Ας κατασκευάσουμε και τις δύο πλευρές της ανισότητας τετράγωνο (στο Χ> 0 και οι δύο πλευρές της ανισότητας είναι θετικές). Έχουμε 9x2< 9x + 28.

Το σύνολο των λύσεων στην τελευταία ανισότητα είναι το διάστημα.

Λαμβάνοντας υπ 'όψιν ότι Χ> 0, παίρνουμε: .

Απάντηση: Η ανισότητα είναι αληθινή.

Εργαστήριο επίλυσης προβλημάτων.

1. Συγκρίνετε τους αριθμούς:

2. Τακτοποίησε τους αριθμούς σε αύξουσα σειρά:

3. Λύστε την ανισότητα 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Είναι ο αριθμός √2 λύση σε αυτή την ανισότητα; (Απάντηση:(–∞; ημερολόγιο 2 3) ; αριθμός √2 είναι μια λύση σε αυτήν την ανισότητα.)

Συμπέρασμα.

Υπάρχουν πολλές μέθοδοι σύγκρισης λογαρίθμων. Ο σκοπός των μαθημάτων σχετικά με αυτό το θέμα είναι να διδάξουν κάποιον να περιηγείται στην ποικιλία των μεθόδων, να επιλέγει και να εφαρμόζει την πιο ορθολογική λύση σε κάθε συγκεκριμένη κατάσταση.

Σε τάξεις με εις βάθος μελέτη των μαθηματικών, το υλικό για αυτό το θέμα μπορεί να παρουσιαστεί με τη μορφή διάλεξης. Αυτή η μορφή εκπαιδευτικής δραστηριότητας προϋποθέτει ότι το υλικό της διάλεξης πρέπει να επιλεγεί προσεκτικά, να επεξεργαστεί και να τακτοποιηθεί με μια συγκεκριμένη λογική σειρά. Οι σημειώσεις που κάνει ο δάσκαλος στον πίνακα πρέπει να είναι προσεκτικές και μαθηματικά ακριβείς.

Συνιστάται η ενοποίηση του υλικού της διάλεξης και η εξάσκηση των δεξιοτήτων επίλυσης προβλημάτων στα πρακτικά μαθήματα. Σκοπός του εργαστηρίου δεν είναι μόνο η εμπέδωση και δοκιμή της αποκτηθείσας γνώσης, αλλά και η διεύρυνση της. Επομένως, οι εργασίες πρέπει να περιέχουν εργασίες διαφορετικών επιπέδων, από τις πιο απλές εργασίες έως εργασίες αυξημένης πολυπλοκότητας. Ο δάσκαλος σε τέτοια εργαστήρια ενεργεί ως σύμβουλος.

Βιβλιογραφία.

1. Galitsky M.L.και άλλα Σε βάθος μελέτη του μαθήματος της άλγεβρας και της μαθηματικής ανάλυσης: Μέθοδος. συστάσεις και διδακτικό υλικό: Εγχειρίδιο για δασκάλους – Μ.: Εκπαίδευση, 1986.
2. Ziv B.G., Goldich V.A.Διδακτικό υλικό για την άλγεβρα και βασική ανάλυση για τη 10η τάξη. – Αγία Πετρούπολη: «CheRo-on-Neva», 2003.
3. Litvinenko V.N., Mordkovich A.G.Εργαστήριο για τα μαθηματικά της δημοτικής. Αλγεβρα. Τριγωνομετρία: Εκπαιδευτική έκδοση. – Μ.: Εκπαίδευση, 1990.
4. Ryazanovsky A.R.Άλγεβρα και οι απαρχές της ανάλυσης: 500 τρόποι και μέθοδοι επίλυσης προβλημάτων στα μαθηματικά για μαθητές και όσους εισέρχονται σε πανεπιστήμια. – M.: Bustard, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V.Μαθηματικά. Προβλήματα ανταγωνισμού στην άλγεβρα με λύσεις. Μέρος 4. Λογαριθμικές εξισώσεις, ανισώσεις, συστήματα. Σχολικό βιβλίο.-3η έκδ., στερ.-Μ.: Εκδοτικό τμήμα UNTsDO, 2003.
6. Sharygin I.F., Golubev V.I.Προαιρετικό μάθημα στα μαθηματικά: Επίλυση προβλημάτων: Προκ. επίδομα για την 11η τάξη. γυμνάσιο – Μ.: Prosveshchenie, 1991.

Στην ενότητα για την ερώτηση πώς να συγκρίνουμε λογάριθμους όταν....(+); δίνεται από τον συγγραφέα Κοσκινίζωη καλύτερη απάντηση είναι Ή δεν μπορείτε να το μειώσετε σε μία βάση, αλλά να χρησιμοποιήσετε τις ιδιότητες της λογαριθμικής συνάρτησης.
Εάν η βάση μιας λογαριθμικής συνάρτησης είναι μεγαλύτερη από 1, τότε η συνάρτηση αυξάνεται και για x > 1, όσο μικρότερη είναι η βάση, τόσο υψηλότερο είναι το γράφημα,
για 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Αν η βάση του λογάριθμου είναι μεγαλύτερη από το μηδέν και μικρότερη από 1, τότε η συνάρτηση είναι φθίνουσα,
Επιπλέον, για x > 1, όσο μικρότερη είναι η βάση, τόσο υψηλότερο είναι το γράφημα,
για 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Θα βγει ως εξής:

Απάντηση από κοκαλιάρης[γκουρού]
Μειώσε τους λογάριθμους στην ίδια βάση (για παράδειγμα, σε έναν φυσικό αριθμό) και μετά συγκρίνεις.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); β>α.

Απάντηση από Νευροπαθολόγος[γκουρού]
Χρησιμοποιήστε τον τύπο για μετάβαση σε νέα βάση: log(a)b=1/log(b)a.
Στη συνέχεια, συγκρίνετε τους παρονομαστές των κλασμάτων όπως οι λογάριθμοι με την ίδια βάση.
Από δύο κλάσματα με τους ίδιους αριθμητές, το κλάσμα με τον μικρότερο παρονομαστή είναι μεγαλύτερο.
Για παράδειγμα, log(7)16 και log(3)16
1/log(16)7 και 1/log(16)3
Αφού log(16)7>log(16)3, τότε 1/log(16)7< 1/log(16)3.