Νιώθεις ότι υπάρχει ακόμα πολύς χρόνος μέχρι τις εξετάσεις; Είναι ένας μήνας; Δύο? Ετος? Η πρακτική δείχνει ότι ένας μαθητής τα καταφέρνει καλύτερα με μια εξέταση εάν αρχίσει να προετοιμάζεται για αυτήν εκ των προτέρων. Υπάρχουν πολλά δύσκολα καθήκοντα στις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους που εμποδίζουν τους μαθητές και τους μελλοντικούς υποψηφίους να κατακτήσουν τις υψηλότερες βαθμολογίες. Πρέπει να μάθετε να ξεπερνάτε αυτά τα εμπόδια, και επιπλέον, δεν είναι δύσκολο να το κάνετε. Πρέπει να κατανοήσετε την αρχή της εργασίας με διάφορες εργασίες από εισιτήρια. Τότε δεν θα υπάρχουν προβλήματα με τα νέα.

Οι λογάριθμοι με την πρώτη ματιά φαίνονται απίστευτα περίπλοκοι, αλλά με μια λεπτομερή ανάλυση η κατάσταση γίνεται πολύ πιο απλή. Εάν θέλετε να περάσετε τις εξετάσεις του Ενιαίου Κράτους με την υψηλότερη βαθμολογία, θα πρέπει να κατανοήσετε την εν λόγω έννοια, την οποία προτείνουμε να κάνετε σε αυτό το άρθρο.

Αρχικά, ας διαχωρίσουμε αυτούς τους ορισμούς. Τι είναι ο λογάριθμος (log); Αυτός είναι ένας δείκτης της ισχύος στην οποία πρέπει να ανυψωθεί η βάση για να ληφθεί ο καθορισμένος αριθμός. Αν δεν είναι ξεκάθαρο, ας δούμε ένα βασικό παράδειγμα.

Σε αυτήν την περίπτωση, η βάση στο κάτω μέρος πρέπει να ανυψωθεί στη δεύτερη ισχύ για να πάρει τον αριθμό 4.

Τώρα ας δούμε τη δεύτερη έννοια. Η παράγωγος μιας συνάρτησης σε οποιαδήποτε μορφή είναι μια έννοια που χαρακτηρίζει την αλλαγή μιας συνάρτησης σε ένα δεδομένο σημείο. Ωστόσο, αυτό είναι ένα σχολικό πρόγραμμα σπουδών και αν αντιμετωπίζετε προβλήματα με αυτές τις έννοιες μεμονωμένα, αξίζει να επαναλάβετε το θέμα.

Παράγωγο λογάριθμου

Στις εργασίες του Unified State Exam για αυτό το θέμα, μπορείτε να δώσετε διάφορες εργασίες ως παράδειγμα. Αρχικά, η απλούστερη λογαριθμική παράγωγος. Είναι απαραίτητο να βρεθεί η παράγωγος της παρακάτω συνάρτησης.

Πρέπει να βρούμε την επόμενη παράγωγο

Υπάρχει μια ειδική φόρμουλα.

Σε αυτή την περίπτωση x=u, log3x=v. Αντικαθιστούμε τις τιμές από τη συνάρτησή μας στον τύπο.

Η παράγωγος του x θα είναι ίση με ένα. Ο λογάριθμος είναι λίγο πιο δύσκολος. Αλλά θα καταλάβετε την αρχή αν απλώς αντικαταστήσετε τις τιμές. Θυμηθείτε ότι η παράγωγος του lg x είναι η παράγωγος του δεκαδικού λογάριθμου και η παράγωγος του ln x είναι η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου (με βάση το e).

Τώρα απλώς συνδέστε τις προκύπτουσες τιμές στον τύπο. Δοκιμάστε το μόνοι σας και μετά θα ελέγξουμε την απάντηση.

Ποιο θα μπορούσε να είναι το πρόβλημα εδώ για κάποιους; Εισάγαμε την έννοια του φυσικού λογάριθμου. Ας μιλήσουμε γι 'αυτό και ταυτόχρονα να καταλάβουμε πώς να λύσουμε προβλήματα με αυτό. Δεν θα δείτε τίποτα περίπλοκο, ειδικά όταν κατανοήσετε την αρχή της λειτουργίας του. Θα πρέπει να το συνηθίσετε, καθώς χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά (ακόμη περισσότερο στα ανώτατα εκπαιδευτικά ιδρύματα).

Παράγωγο του φυσικού λογάριθμου

Στον πυρήνα του, είναι η παράγωγος του λογαρίθμου στη βάση e (που είναι ένας άρρητος αριθμός που είναι περίπου 2,7). Στην πραγματικότητα, το ln είναι πολύ απλό, επομένως χρησιμοποιείται συχνά στα μαθηματικά γενικά. Στην πραγματικότητα, η επίλυση του προβλήματος με αυτό δεν θα είναι επίσης πρόβλημα. Αξίζει να θυμηθούμε ότι η παράγωγος του φυσικού λογάριθμου στη βάση e θα είναι ίση με το ένα διαιρούμενο με το x. Η λύση στο παρακάτω παράδειγμα θα είναι η πιο αποκαλυπτική.

Ας τη φανταστούμε ως μια σύνθετη συνάρτηση που αποτελείται από δύο απλές.

Αρκεί η μετατροπή

Αναζητούμε την παράγωγο του u ως προς το x

Η διατήρηση του απορρήτου σας είναι σημαντική για εμάς. Για το λόγο αυτό, έχουμε αναπτύξει μια Πολιτική Απορρήτου που περιγράφει τον τρόπο με τον οποίο χρησιμοποιούμε και αποθηκεύουμε τις πληροφορίες σας. Διαβάστε τις πρακτικές απορρήτου μας και ενημερώστε μας εάν έχετε ερωτήσεις.

Συλλογή και χρήση προσωπικών πληροφοριών

Οι προσωπικές πληροφορίες αναφέρονται σε δεδομένα που μπορούν να χρησιμοποιηθούν για την αναγνώριση ή επικοινωνία με ένα συγκεκριμένο άτομο.

Ενδέχεται να σας ζητηθεί να δώσετε τα προσωπικά σας στοιχεία ανά πάσα στιγμή όταν επικοινωνήσετε μαζί μας.

Ακολουθούν ορισμένα παραδείγματα των τύπων προσωπικών πληροφοριών που ενδέχεται να συλλέγουμε και πώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις πληροφορίες.

Ποιες προσωπικές πληροφορίες συλλέγουμε:

• Όταν υποβάλλετε μια αίτηση στον ιστότοπο, ενδέχεται να συλλέξουμε διάφορες πληροφορίες, όπως το όνομά σας, τον αριθμό τηλεφώνου, τη διεύθυνση email σας κ.λπ.

Πώς χρησιμοποιούμε τα προσωπικά σας στοιχεία:

• Οι προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε μας επιτρέπουν να επικοινωνήσουμε μαζί σας με μοναδικές προσφορές, προσφορές και άλλες εκδηλώσεις και επερχόμενες εκδηλώσεις.
• Από καιρό σε καιρό, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τα προσωπικά σας στοιχεία για να στείλουμε σημαντικές ειδοποιήσεις και επικοινωνίες.
• Ενδέχεται επίσης να χρησιμοποιήσουμε προσωπικές πληροφορίες για εσωτερικούς σκοπούς, όπως διεξαγωγή ελέγχων, ανάλυση δεδομένων και διάφορες έρευνες, προκειμένου να βελτιώσουμε τις υπηρεσίες που παρέχουμε και να σας παρέχουμε συστάσεις σχετικά με τις υπηρεσίες μας.
• Εάν συμμετέχετε σε κλήρωση, διαγωνισμό ή παρόμοια προσφορά, ενδέχεται να χρησιμοποιήσουμε τις πληροφορίες που παρέχετε για τη διαχείριση τέτοιων προγραμμάτων.

Αποκάλυψη πληροφοριών σε τρίτους

Δεν αποκαλύπτουμε τις πληροφορίες που λαμβάνουμε από εσάς σε τρίτους.

Εξαιρέσεις:

• Εάν είναι απαραίτητο - σύμφωνα με το νόμο, τη δικαστική διαδικασία, σε νομικές διαδικασίες ή/και βάσει δημόσιων αιτημάτων ή αιτημάτων από κυβερνητικούς φορείς στη Ρωσική Ομοσπονδία - να αποκαλύψετε τα προσωπικά σας στοιχεία. Ενδέχεται επίσης να αποκαλύψουμε πληροφορίες σχετικά με εσάς εάν κρίνουμε ότι αυτή η αποκάλυψη είναι απαραίτητη ή κατάλληλη για λόγους ασφάλειας, επιβολής του νόμου ή άλλους σκοπούς δημόσιας σημασίας.
• Σε περίπτωση αναδιοργάνωσης, συγχώνευσης ή πώλησης, ενδέχεται να μεταφέρουμε τις προσωπικές πληροφορίες που συλλέγουμε στον αντίστοιχο τρίτο διάδοχο.

Προστασία προσωπικών πληροφοριών

Λαμβάνουμε προφυλάξεις - συμπεριλαμβανομένων διοικητικών, τεχνικών και φυσικών - για την προστασία των προσωπικών σας δεδομένων από απώλεια, κλοπή και κακή χρήση, καθώς και από μη εξουσιοδοτημένη πρόσβαση, αποκάλυψη, τροποποίηση και καταστροφή.

Σεβασμός του απορρήτου σας σε εταιρικό επίπεδο

Για να διασφαλίσουμε ότι τα προσωπικά σας στοιχεία είναι ασφαλή, κοινοποιούμε τα πρότυπα απορρήτου και ασφάλειας στους υπαλλήλους μας και εφαρμόζουμε αυστηρά τις πρακτικές απορρήτου.

Σύνθετα παράγωγα. Λογαριθμική παράγωγος.
Παράγωγος συνάρτησης ισχύος-εκθετικής

Συνεχίζουμε να βελτιώνουμε την τεχνική μας διαφοροποίησης. Σε αυτό το μάθημα, θα ενοποιήσουμε το υλικό που καλύψαμε, θα εξετάσουμε πιο σύνθετες παραγώγους και επίσης θα εξοικειωθούμε με νέες τεχνικές και κόλπα για την εύρεση μιας παραγώγου, ιδίως με τη λογαριθμική παράγωγο.

Όσοι αναγνώστες έχουν χαμηλό επίπεδο προετοιμασίας θα πρέπει να ανατρέξουν στο άρθρο Πώς να βρείτε το παράγωγο; Παραδείγματα λύσεων, που θα σας επιτρέψει να ανεβάσετε τις δεξιότητές σας σχεδόν από την αρχή. Στη συνέχεια, πρέπει να μελετήσετε προσεκτικά τη σελίδα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης, κατανοήστε και λύστε Ολατα παραδείγματα που έδωσα. Αυτό το μάθημα είναι λογικά το τρίτο στη σειρά και αφού το κατακτήσετε θα διαφοροποιήσετε με σιγουριά αρκετά περίπλοκες συναρτήσεις. Δεν είναι επιθυμητό να παίρνουμε τη θέση του «Πού αλλού; Φτάνει!», αφού όλα τα παραδείγματα και οι λύσεις προέρχονται από πραγματικά τεστ και συναντώνται συχνά στην πράξη.

Ας ξεκινήσουμε με την επανάληψη. Στο μάθημα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησηςΕξετάσαμε μια σειρά από παραδείγματα με λεπτομερή σχόλια. Κατά τη μελέτη του διαφορικού λογισμού και άλλων κλάδων της μαθηματικής ανάλυσης, θα πρέπει να διαφοροποιείτε πολύ συχνά και δεν είναι πάντα βολικό (και όχι πάντα απαραίτητο) να περιγράφετε παραδείγματα με μεγάλη λεπτομέρεια. Επομένως, θα εξασκηθούμε στην εύρεση παραγώγων προφορικά. Οι πιο κατάλληλοι "υποψήφιοι" για αυτό είναι παράγωγοι των απλούστερων πολύπλοκων συναρτήσεων, για παράδειγμα:

Σύμφωνα με τον κανόνα της διαφοροποίησης των σύνθετων συναρτήσεων :

Κατά τη μελέτη άλλων θεμάτων matan στο μέλλον, μια τόσο λεπτομερής καταγραφή τις περισσότερες φορές δεν απαιτείται· θεωρείται ότι ο μαθητής ξέρει πώς να βρει τέτοια παράγωγα στον αυτόματο πιλότο. Ας φανταστούμε ότι στις 3 η ώρα το πρωί χτύπησε το τηλέφωνο και μια ευχάριστη φωνή ρώτησε: «Ποια είναι η παράγωγος της εφαπτομένης δύο Χ;» Αυτό θα πρέπει να ακολουθείται από μια σχεδόν στιγμιαία και ευγενική απάντηση: .

Το πρώτο παράδειγμα θα προορίζεται αμέσως για ανεξάρτητη λύση.

Παράδειγμα 1

Βρείτε τα παρακάτω παράγωγα προφορικά, σε μία ενέργεια, για παράδειγμα: . Για να ολοκληρώσετε την εργασία χρειάζεται μόνο να χρησιμοποιήσετε πίνακας παραγώγων στοιχειωδών συναρτήσεων(αν δεν το θυμηθήκατε ακόμα). Εάν αντιμετωπίζετε δυσκολίες, σας συνιστώ να διαβάσετε ξανά το μάθημα Παράγωγος μιγαδικής συνάρτησης.

, , ,
, , ,
, , ,

, , ,

, , ,

, , ,

, ,

Απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος

Σύνθετα παράγωγα

Μετά την προκαταρκτική προετοιμασία του πυροβολικού, τα παραδείγματα με 3-4-5 φωλιές λειτουργιών θα είναι λιγότερο τρομακτικά. Τα ακόλουθα δύο παραδείγματα μπορεί να φαίνονται περίπλοκα σε κάποιους, αλλά αν τα καταλάβετε (κάποιος θα υποφέρει), τότε σχεδόν όλα τα άλλα στον διαφορικό λογισμό θα φαίνονται σαν παιδικό αστείο.

Παράδειγμα 2

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όπως έχει ήδη σημειωθεί, κατά την εύρεση της παραγώγου μιας σύνθετης συνάρτησης, πρώτα απ 'όλα, είναι απαραίτητο σωστάΚΑΤΑΝΟΗΣΤΕ τις επενδύσεις σας. Σε περιπτώσεις που υπάρχουν αμφιβολίες, σας υπενθυμίζω μια χρήσιμη τεχνική: παίρνουμε την πειραματική τιμή του "x", για παράδειγμα, και προσπαθούμε (διανοητικά ή σε προσχέδιο) να αντικαταστήσουμε αυτήν την τιμή με την "τρομερή έκφραση".

1) Πρώτα πρέπει να υπολογίσουμε την έκφραση, που σημαίνει ότι το άθροισμα είναι η βαθύτερη ενσωμάτωση.

2) Στη συνέχεια πρέπει να υπολογίσετε τον λογάριθμο:

4) Έπειτα κύβω το συνημίτονο:

5) Στο πέμπτο βήμα η διαφορά:

6) Και τέλος, η πιο εξωτερική συνάρτηση είναι η τετραγωνική ρίζα:

Τύπος για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης εφαρμόζονται με αντίστροφη σειρά, από την πιο εξωτερική συνάρτηση στην πιο εσωτερική. Εμείς αποφασίζουμε:

Δεν φαίνεται να υπάρχουν λάθη...

(1) Πάρτε την παράγωγο της τετραγωνικής ρίζας.

(2) Παίρνουμε την παράγωγο της διαφοράς χρησιμοποιώντας τον κανόνα

(3) Η παράγωγος ενός τριπλού είναι μηδέν. Στον δεύτερο όρο παίρνουμε την παράγωγο του βαθμού (κύβος).

(4) Πάρτε την παράγωγο του συνημιτόνου.

(5) Πάρτε την παράγωγο του λογάριθμου.

(6) Και τέλος, παίρνουμε το παράγωγο της βαθύτερης ενσωμάτωσης.

Μπορεί να φαίνεται πολύ δύσκολο, αλλά αυτό δεν είναι το πιο βάναυσο παράδειγμα. Πάρτε, για παράδειγμα, τη συλλογή του Kuznetsov και θα εκτιμήσετε όλη την ομορφιά και την απλότητα του αναλυόμενου παραγώγου. Παρατήρησα ότι τους αρέσει να δίνουν κάτι παρόμοιο σε μια εξέταση για να ελέγξουν αν ένας μαθητής καταλαβαίνει πώς να βρει την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ή δεν καταλαβαίνει.

Το παρακάτω παράδειγμα είναι για να το λύσετε μόνοι σας.

Παράδειγμα 3

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπόδειξη: Πρώτα εφαρμόζουμε τους κανόνες γραμμικότητας και τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων

Πλήρης λύση και απάντηση στο τέλος του μαθήματος.

Ήρθε η ώρα να προχωρήσουμε σε κάτι μικρότερο και πιο ωραίο.
Δεν είναι ασυνήθιστο για ένα παράδειγμα να δείχνει το γινόμενο όχι δύο, αλλά τριών συναρτήσεων. Πώς να βρείτε την παράγωγο του γινομένου τριών παραγόντων;

Παράδειγμα 4

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αρχικά εξετάζουμε, είναι δυνατόν να μετατρέψουμε το γινόμενο τριών συναρτήσεων σε γινόμενο δύο συναρτήσεων; Για παράδειγμα, αν είχαμε δύο πολυώνυμα στο γινόμενο, τότε θα μπορούσαμε να ανοίξουμε τις αγκύλες. Αλλά στο υπό εξέταση παράδειγμα, όλες οι συναρτήσεις είναι διαφορετικές: βαθμός, εκθέτης και λογάριθμος.

Σε τέτοιες περιπτώσεις είναι απαραίτητο διαδοχικάεφαρμόστε τον κανόνα διαφοροποίησης προϊόντων εις διπλούν

Το κόλπο είναι ότι με "y" συμβολίζουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων: , και με "ve" συμβολίζουμε τον λογάριθμο: . Γιατί μπορεί να γίνει αυτό; Είναι πραγματικά – αυτό δεν είναι προϊόν δύο παραγόντων και ο κανόνας δεν λειτουργεί;! Δεν υπάρχει τίποτα περίπλοκο:

Τώρα μένει να εφαρμοστεί ο κανόνας για δεύτερη φορά σε παρένθεση:

Μπορείτε επίσης να στρίψετε και να βάλετε κάτι εκτός παρενθέσεων, αλλά σε αυτήν την περίπτωση είναι καλύτερα να αφήσετε την απάντηση ακριβώς σε αυτήν τη μορφή - θα είναι πιο εύκολο να ελέγξετε.

Το εξεταζόμενο παράδειγμα μπορεί να λυθεί με τον δεύτερο τρόπο:

Και οι δύο λύσεις είναι απολύτως ισοδύναμες.

Παράδειγμα 5

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για μια ανεξάρτητη λύση· στο δείγμα επιλύεται χρησιμοποιώντας την πρώτη μέθοδο.

Ας δούμε παρόμοια παραδείγματα με κλάσματα.

Παράδειγμα 6

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι με τους οποίους μπορείτε να πάτε εδώ:

Ή όπως αυτό:

Αλλά η λύση θα γραφτεί πιο συμπαγή αν χρησιμοποιήσουμε πρώτα τον κανόνα της διαφοροποίησης του πηλίκου , λαμβάνοντας για ολόκληρο τον αριθμητή:

Κατ 'αρχήν, το παράδειγμα λύνεται και αν μείνει ως έχει, δεν θα είναι σφάλμα. Αλλά αν έχετε χρόνο, είναι πάντα σκόπιμο να ελέγχετε ένα προσχέδιο για να δείτε εάν η απάντηση μπορεί να απλοποιηθεί; Ας ανάγουμε την έκφραση του αριθμητή σε κοινό παρονομαστή και ας απαλλαγούμε από το τριώροφο κλάσμα:

Το μειονέκτημα των πρόσθετων απλοποιήσεων είναι ότι υπάρχει κίνδυνος να γίνει λάθος όχι κατά την εύρεση του παραγώγου, αλλά κατά τη διάρκεια των συνηθισμένων σχολικών μετασχηματισμών. Από την άλλη πλευρά, οι δάσκαλοι συχνά απορρίπτουν την εργασία και ζητούν να «το φέρουν στο μυαλό» το παράγωγο.

Ένα πιο απλό παράδειγμα για να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 7

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Συνεχίζουμε να κυριαρχούμε στις μεθόδους εύρεσης της παραγώγου και τώρα θα εξετάσουμε μια τυπική περίπτωση όταν ο «τρομερός» λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση

Παράδειγμα 8

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Εδώ μπορείτε να προχωρήσετε πολύ, χρησιμοποιώντας τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης:

Αλλά το πρώτο βήμα σας βυθίζει αμέσως σε απόγνωση - πρέπει να πάρετε τη δυσάρεστη παράγωγο από μια κλασματική δύναμη και στη συνέχεια επίσης από ένα κλάσμα.

Να γιατί πρινπώς να πάρουμε την παράγωγο ενός «σύνθετου» λογάριθμου, αρχικά απλοποιείται χρησιμοποιώντας γνωστές σχολικές ιδιότητες:

! Εάν έχετε ένα σημειωματάριο πρακτικής, αντιγράψτε αυτούς τους τύπους απευθείας εκεί. Εάν δεν έχετε σημειωματάριο, αντιγράψτε τα σε ένα κομμάτι χαρτί, καθώς τα υπόλοιπα παραδείγματα του μαθήματος θα περιστρέφονται γύρω από αυτούς τους τύπους.

Η ίδια η λύση μπορεί να γραφτεί κάπως έτσι:

Ας μετατρέψουμε τη συνάρτηση:

Εύρεση της παραγώγου:

Η προ-μετατροπή της ίδιας της συνάρτησης απλοποίησε σημαντικά τη λύση. Έτσι, όταν ένας παρόμοιος λογάριθμος προτείνεται για διαφοροποίηση, είναι πάντα σκόπιμο να «καταρριφθεί».

Και τώρα μερικά απλά παραδείγματα για να λύσετε μόνοι σας:

Παράδειγμα 9

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Παράδειγμα 10

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Όλες οι μεταμορφώσεις και οι απαντήσεις βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Λογαριθμική παράγωγος

Αν το παράγωγο των λογαρίθμων είναι τόσο γλυκιά μουσική, τότε τίθεται το ερώτημα: είναι δυνατόν σε ορισμένες περιπτώσεις να οργανωθεί τεχνητά ο λογάριθμος; Μπορώ! Και μάλιστα απαραίτητο.

Παράδειγμα 11

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Πρόσφατα εξετάσαμε παρόμοια παραδείγματα. Τι να κάνω? Μπορείτε να εφαρμόσετε διαδοχικά τον κανόνα διαφοροποίησης του πηλίκου και στη συνέχεια τον κανόνα διαφοροποίησης του προϊόντος. Το μειονέκτημα αυτής της μεθόδου είναι ότι καταλήγετε με ένα τεράστιο κλάσμα τριών ορόφων, το οποίο δεν θέλετε να αντιμετωπίσετε καθόλου.

Αλλά στη θεωρία και την πράξη υπάρχει ένα τόσο υπέροχο πράγμα όπως η λογαριθμική παράγωγος. Οι λογάριθμοι μπορούν να οργανωθούν τεχνητά «κρεμώντας» τους και στις δύο πλευρές:

Σημείωση : επειδή μια συνάρτηση μπορεί να πάρει αρνητικές τιμές, τότε, σε γενικές γραμμές, πρέπει να χρησιμοποιήσετε μονάδες: , που θα εξαφανιστεί ως αποτέλεσμα της διαφοροποίησης. Ωστόσο, αποδεκτός είναι και ο σημερινός σχεδιασμός, όπου από προεπιλογή λαμβάνεται υπόψη συγκρότημανοήματα. Αλλά αν με κάθε αυστηρότητα, τότε και στις δύο περιπτώσεις θα πρέπει να γίνει επιφύλαξη.

Τώρα πρέπει να «διασπάσετε» τον λογάριθμο της δεξιάς πλευράς όσο το δυνατόν περισσότερο (τύποι μπροστά στα μάτια σας;). Θα περιγράψω αυτή τη διαδικασία με μεγάλη λεπτομέρεια:

Ας ξεκινήσουμε με τη διαφοροποίηση.
Ολοκληρώνουμε και τα δύο μέρη κάτω από τον πρώτο:

Το παράγωγο της δεξιάς πλευράς είναι αρκετά απλό· δεν θα το σχολιάσω, γιατί αν διαβάζετε αυτό το κείμενο, θα πρέπει να μπορείτε να το χειριστείτε με σιγουριά.

Τι γίνεται με την αριστερή πλευρά;

Στην αριστερή πλευρά έχουμε σύνθετη λειτουργία. Προβλέπω την ερώτηση: "Γιατί, υπάρχει ένα γράμμα "Y" κάτω από τον λογάριθμο;"

Το γεγονός είναι ότι αυτό το "παιχνίδι με ένα γράμμα" - ΕΙΝΑΙ Ο ΙΔΙΟΣ ΜΙΑ ΛΕΙΤΟΥΡΓΙΑ(αν δεν είναι πολύ σαφές, ανατρέξτε στο άρθρο Παράγωγος συνάρτησης που προσδιορίζεται σιωπηρά). Επομένως, ο λογάριθμος είναι μια εξωτερική συνάρτηση και το "y" είναι μια εσωτερική συνάρτηση. Και χρησιμοποιούμε τον κανόνα για τη διαφοροποίηση μιας σύνθετης συνάρτησης :

Στην αριστερή πλευρά, ως δια μαγείας, έχουμε παράγωγο. Στη συνέχεια, σύμφωνα με τον κανόνα της αναλογίας, μεταφέρουμε το "y" από τον παρονομαστή της αριστερής πλευράς στην κορυφή της δεξιάς πλευράς:

Και τώρα ας θυμηθούμε για τι είδους λειτουργία «παίχτη» μιλήσαμε κατά τη διαφοροποίηση; Ας δούμε την συνθήκη:

Τελική απάντηση:

Παράδειγμα 12

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Αυτό είναι ένα παράδειγμα για να το λύσετε μόνοι σας. Ένα δείγμα σχεδίου ενός παραδείγματος αυτού του τύπου βρίσκεται στο τέλος του μαθήματος.

Χρησιμοποιώντας τη λογαριθμική παράγωγο ήταν δυνατό να λυθεί οποιοδήποτε από τα παραδείγματα Νο. 4-7, ένα άλλο πράγμα είναι ότι οι συναρτήσεις εκεί είναι απλούστερες και, ίσως, η χρήση της λογαριθμικής παραγώγου δεν είναι πολύ δικαιολογημένη.

Παράγωγος συνάρτησης ισχύος-εκθετικής

Δεν έχουμε εξετάσει ακόμη αυτή τη λειτουργία. Μια συνάρτηση ισχύος-εκθετικής είναι μια συνάρτηση για την οποία τόσο ο βαθμός όσο και η βάση εξαρτώνται από το "x". Ένα κλασικό παράδειγμα που θα σας δοθεί σε οποιοδήποτε σχολικό βιβλίο ή διάλεξη:

Πώς να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης ισχύος-εκθετικής;

Είναι απαραίτητο να χρησιμοποιήσετε την τεχνική που μόλις συζητήθηκε - τη λογαριθμική παράγωγο. Κρεμάμε λογάριθμους και στις δύο πλευρές:

Κατά κανόνα, στη δεξιά πλευρά ο βαθμός αφαιρείται κάτω από τον λογάριθμο:

Ως αποτέλεσμα, στη δεξιά πλευρά έχουμε το γινόμενο δύο συναρτήσεων, οι οποίες θα διαφοροποιηθούν σύμφωνα με τον τυπικό τύπο .

Βρίσκουμε την παράγωγο· για να γίνει αυτό, περικλείουμε και τα δύο μέρη κάτω από πινελιές:

Οι περαιτέρω ενέργειες είναι απλές:

Τελικά:

Εάν οποιαδήποτε μετατροπή δεν είναι απολύτως σαφής, διαβάστε ξανά προσεκτικά τις επεξηγήσεις του Παραδείγματος Νο. 11.

Σε πρακτικές εργασίες, η συνάρτηση της εκθετικής ισχύος θα είναι πάντα πιο περίπλοκη από το παράδειγμα της διάλεξης που εξετάστηκε.

Παράδειγμα 13

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης

Χρησιμοποιούμε τη λογαριθμική παράγωγο.

Στη δεξιά πλευρά έχουμε μια σταθερά και το γινόμενο δύο παραγόντων - "x" και "λογάριθμος του λογάριθμου x" (ένας άλλος λογάριθμος είναι ένθετος κάτω από τον λογάριθμο). Κατά τη διαφοροποίηση, όπως θυμόμαστε, είναι καλύτερα να μετακινήσετε αμέσως τη σταθερά από το παράγωγο πρόσημο για να μην παρεμποδιστεί. και φυσικά εφαρμόζουμε τον γνωστό κανόνα :

Κατά τη διαφοροποίηση συναρτήσεων εκθετικής ισχύος ή δυσκίνητων κλασματικών εκφράσεων, είναι βολικό να χρησιμοποιείται η λογαριθμική παράγωγος. Σε αυτό το άρθρο θα δούμε παραδείγματα εφαρμογής του με αναλυτικές λύσεις.

Η περαιτέρω παρουσίαση προϋποθέτει τη δυνατότητα χρήσης του πίνακα παραγώγων, των κανόνων διαφοροποίησης και της γνώσης του τύπου για την παράγωγο μιας μιγαδικής συνάρτησης.

Παραγωγή του τύπου για τη λογαριθμική παράγωγο.

Αρχικά, παίρνουμε τους λογάριθμους στη βάση e, απλοποιούμε τη μορφή της συνάρτησης χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του λογαρίθμου και, στη συνέχεια, βρίσκουμε την παράγωγο της σιωπηρώς καθορισμένης συνάρτησης:

Για παράδειγμα, ας βρούμε την παράγωγο μιας συνάρτησης εκθετικής ισχύος x στη δύναμη x.

Η λήψη λογαρίθμων δίνει . Σύμφωνα με τις ιδιότητες του λογαρίθμου. Η διαφοροποίηση και των δύο πλευρών της ισότητας οδηγεί στο αποτέλεσμα:

Απάντηση: .

Το ίδιο παράδειγμα μπορεί να λυθεί χωρίς τη χρήση της λογαριθμικής παραγώγου. Μπορείτε να πραγματοποιήσετε μερικούς μετασχηματισμούς και να μετακινηθείτε από τη διαφοροποίηση μιας συνάρτησης εκθετικής ισχύος στην εύρεση της παραγώγου μιας μιγαδικής συνάρτησης:

Παράδειγμα.

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης .

Λύση.

Σε αυτό το παράδειγμα η συνάρτηση είναι ένα κλάσμα και η παράγωγός του μπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τους κανόνες διαφοροποίησης. Αλλά λόγω της δυσκινησίας της έκφρασης, αυτό θα απαιτήσει πολλούς μετασχηματισμούς. Σε τέτοιες περιπτώσεις, είναι πιο λογικό να χρησιμοποιείται ο τύπος της λογαριθμικής παραγώγου . Γιατί; Θα καταλάβετε τώρα.

Ας το βρούμε πρώτα. Στους μετασχηματισμούς θα χρησιμοποιήσουμε τις ιδιότητες του λογαρίθμου (ο λογάριθμος ενός κλάσματος είναι ίσος με τη διαφορά των λογαρίθμων και ο λογάριθμος ενός γινόμενου είναι ίσος με το άθροισμα των λογαρίθμων και ο βαθμός της έκφρασης κάτω από το πρόσημο του λογαρίθμου μπορεί να είναι βγαίνει ως συντελεστής μπροστά από τον λογάριθμο):

Αυτοί οι μετασχηματισμοί μας οδήγησαν σε μια αρκετά απλή έκφραση, η παράγωγη της οποίας είναι εύκολο να βρεθεί:

Αντικαθιστούμε το αποτέλεσμα που προκύπτει στον τύπο της λογαριθμικής παραγώγου και παίρνουμε την απάντηση:

Για να εμπεδώσουμε το υλικό, θα δώσουμε μερικά ακόμη παραδείγματα χωρίς λεπτομερείς επεξηγήσεις.

Παράδειγμα.

Να βρείτε την παράγωγο μιας συνάρτησης εκθετικής ισχύος