Συντελεστής του αθροίσματος των διανυσμάτων πάνω από τις συντεταγμένες. Διανύσματα για ανδρείκελα

Χαρακτηρίζεται από το μέγεθος και την κατεύθυνση. Για παράδειγμα, στη γεωμετρία και στις φυσικές επιστήμες, ένα διάνυσμα είναι ένα κατευθυνόμενο τμήμα μιας ευθείας στον Ευκλείδειο χώρο (ή σε ένα επίπεδο).

Είναι μια από τις θεμελιώδεις έννοιες της γραμμικής άλγεβρας. Όταν χρησιμοποιείται ο πιο γενικός ορισμός, σχεδόν όλα τα αντικείμενα που μελετώνται στη γραμμική άλγεβρα είναι διανύσματα, συμπεριλαμβανομένων πινάκων, τανυστών, ωστόσο, εάν αυτά τα αντικείμενα υπάρχουν στο περιβάλλον περιβάλλον, ένα διάνυσμα νοείται, αντίστοιχα, ως διάνυσμα γραμμής ή διάνυσμα στήλης. ένας τανυστής της πρώτης βαθμίδας. Οι ιδιότητες των πράξεων σε διανύσματα μελετώνται στον διανυσματικό λογισμό.

Ονομασίες [ | ]

Διάνυσμα που αντιπροσωπεύεται από ένα σύνολο n (\displaystyle n)στοιχεία (συστατικό) a 1 , a 2 , … , a n (\displaystyle a_(1),a_(2),\ldots ,a_(n))ορίζεται με τους εξής τρόπους:

⟨ a 1 , a 2 , … , a n ⟩ , (a 1 , a 2 , … , a n) , ( a 1 , a 2 , … , a n ) (\displaystyle \langle a_(1),a_(2), \lddots ,a_(n)\,\rangle ,\ \left(a_(1),a_(2),\lddots ,a_(n)\,\right),\(a_(1),a_(2) ,\ldots ,a_(n)\,\)).

Για να τονίσετε ότι πρόκειται για διάνυσμα (και όχι για βαθμωτό), χρησιμοποιήστε μια υπερμπάρα, ένα βέλος ή μια έντονη ή γοτθική γραμματοσειρά:

a ¯ , a → , a , A , a . (\displaystyle (\bar (a)),\ (\vec (a)),\mathbf (a) ,(\mathfrak (A)),\ (\mathfrak (a)).)

Η προσθήκη διανυσμάτων υποδεικνύεται σχεδόν πάντα με ένα σύμβολο συν:

a → + b → (\displaystyle (\vec (a))+(\vec (b))).

Ο πολλαπλασιασμός με έναν αριθμό γράφεται απλώς δίπλα του, χωρίς ειδικό πρόσημο, για παράδειγμα:

k b → (\displaystyle k(\vec (b))),

Επιπλέον, ο αριθμός αναγράφεται συνήθως στα αριστερά.

Δεν υπάρχουν γενικά αποδεκτά διανυσματικά σύμβολα· χρησιμοποιούνται έντονη γραμματοσειρά, γραμμή ή βέλος πάνω από ένα γράμμα, γοτθικό αλφάβητο κ.λπ.

Στη γεωμετρία [ | ]

Στη γεωμετρία, τα διανύσματα σημαίνουν κατευθυνόμενα τμήματα. Αυτή η ερμηνεία χρησιμοποιείται συχνά στα γραφικά υπολογιστών για την κατασκευή ελαφρών χαρτών χρησιμοποιώντας κανονικές επιφάνειες. Μπορείτε επίσης να χρησιμοποιήσετε διανύσματα για να βρείτε τις περιοχές διαφόρων σχημάτων, όπως τα τρίγωνα και τα παραλληλόγραμμα, καθώς και τους όγκους των σωμάτων: τετράεδρο και παραλληλεπίπεδο.
Μερικές φορές η κατεύθυνση ταυτίζεται με ένα διάνυσμα.

Ένα διάνυσμα στη γεωμετρία συγκρίνεται φυσικά με τη μετάφραση (παράλληλη μετάφραση), η οποία προφανώς διευκρινίζει την προέλευση του ονόματός του (λατ. διάνυσμα, φορέας). Πράγματι, κάθε κατευθυνόμενο τμήμα ορίζει μοναδικά κάποιο είδος παράλληλης μετάφρασης ενός επιπέδου ή ενός χώρου και αντίστροφα, μια παράλληλη μετάφραση ορίζει μοναδικά ένα μόνο κατευθυνόμενο τμήμα (αναμφισβήτητα - αν θεωρήσουμε όλα τα κατευθυνόμενα τμήματα της ίδιας κατεύθυνσης και μήκους ίσα - δηλαδή θεωρήστε τα ως ελεύθερα διανύσματα) .

Η ερμηνεία ενός διανύσματος ως μεταφορά μας επιτρέπει να εισαγάγουμε τη λειτουργία της προσθήκης διανυσμάτων με φυσικό και διαισθητικά προφανή τρόπο - ως σύνθεση (διαδοχική εφαρμογή) δύο (ή πολλών) μεταφορών. το ίδιο ισχύει και για την πράξη του πολλαπλασιασμού ενός διανύσματος με έναν αριθμό.

Στη γραμμική άλγεβρα[ | ]

Γενικός ορισμός[ | ]

Ο πιο γενικός ορισμός ενός διανύσματος δίνεται μέσω της γενικής άλγεβρας:

• Ας υποδηλώσουμε F (\displaystyle (\mathfrak (F)))(Γοτθικό ΣΤ) κάποιο πεδίο με πολλά στοιχεία F (\displaystyle F), λειτουργία πρόσθετου + (\displaystyle +), πολλαπλασιαστική πράξη ∗ (\displaystyle *), και τα αντίστοιχα ουδέτερα στοιχεία: αθροιστική μονάδα και πολλαπλασιαστική μονάδα 1 (\displaystyle 1).
• Ας υποδηλώσουμε V (\displaystyle (\mathfrak (V)))(Γοτθικό V) κάποια Αβελιανή ομάδα με πολλά στοιχεία V (\displaystyle V), λειτουργία πρόσθετου + (\displaystyle +)και, κατά συνέπεια, με τη μονάδα πρόσθετου 0 (\displaystyle \mathbf (0) ).

Με άλλα λόγια, ας F = ⟨ F ; + , ∗ ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (F))=\langle F;+,*\rangle )Και V = ⟨ V ; + ⟩ (\displaystyle (\mathfrak (V))=\langle V;+\rangle ).

Αν γίνει επέμβαση F × V → V (\style display F\ φορές V\ έως V), τέτοια που για κανέναν a , b ∈ F (\displaystyle a,b\in F)και για οποιαδήποτε x , y ∈ V (\displaystyle \mathbf (x) ,\mathbf (y) \σε V)ισχύουν οι ακόλουθες σχέσεις:

Διάνυσμα ως ακολουθία[ | ]

Διάνυσμα- (ακολουθία, πλειάδα) ομοιογενών στοιχείων. Αυτός είναι ο πιο γενικός ορισμός με την έννοια ότι μπορεί να μην προσδιορίζονται καθόλου συμβατικές διανυσματικές πράξεις, μπορεί να υπάρχουν λιγότερες από αυτές ή μπορεί να μην ικανοποιούν τα συνήθη αξιώματα του γραμμικού χώρου. Με αυτή τη μορφή γίνεται κατανοητό ένα διάνυσμα στον προγραμματισμό, όπου, κατά κανόνα, συμβολίζεται με ένα αναγνωριστικό όνομα με αγκύλες (για παράδειγμα, αντικείμενο). Η λίστα των ιδιοτήτων μοντελοποιεί τι είναι αποδεκτό

Επιτέλους, έπιασα στα χέρια μου αυτό το τεράστιο και πολυαναμενόμενο θέμα. αναλυτική γεωμετρία. Πρώτον, λίγα λόγια για αυτό το τμήμα των ανώτερων μαθηματικών... Σίγουρα θυμάστε τώρα ένα μάθημα σχολικής γεωμετρίας με πολλά θεωρήματα, τις αποδείξεις τους, τα σχέδια κ.λπ. Τι να κρύψω, ένα αναγάπητο και συχνά σκοτεινό θέμα για ένα σημαντικό ποσοστό μαθητών. Η αναλυτική γεωμετρία, παραδόξως, μπορεί να φαίνεται πιο ενδιαφέρουσα και προσιτή. Τι σημαίνει το επίθετο «αναλυτικό»; Δύο κλισέ μαθηματικές φράσεις έρχονται αμέσως στο μυαλό: «μέθοδος γραφικής λύσης» και «μέθοδος αναλυτικής λύσης». Γραφική μέθοδος, φυσικά, συνδέεται με την κατασκευή γραφημάτων και σχεδίων. Αναλυτικόςίδιο μέθοδοςπεριλαμβάνει την επίλυση προβλημάτων κυρίωςμέσω αλγεβρικών πράξεων. Από αυτή την άποψη, ο αλγόριθμος για την επίλυση σχεδόν όλων των προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας είναι απλός και διαφανής· συχνά αρκεί να εφαρμόζουμε προσεκτικά τους απαραίτητους τύπους - και η απάντηση είναι έτοιμη! Όχι, φυσικά, δεν θα μπορέσουμε να το κάνουμε αυτό χωρίς σχέδια καθόλου, και επιπλέον, για καλύτερη κατανόηση του υλικού, θα προσπαθήσω να τα αναφέρω πέρα ​​από την ανάγκη.

Το νέο μάθημα των μαθημάτων γεωμετρίας δεν προσποιείται ότι είναι θεωρητικά ολοκληρωμένο· επικεντρώνεται στην επίλυση πρακτικών προβλημάτων. Θα συμπεριλάβω στις διαλέξεις μου μόνο ό,τι, από την άποψή μου, είναι σημαντικό από πρακτική άποψη. Εάν χρειάζεστε πιο ολοκληρωμένη βοήθεια σε οποιαδήποτε υποενότητα, προτείνω την ακόλουθη αρκετά προσιτή βιβλιογραφία:

1) Κάτι που, χωρίς αστείο, γνωρίζουν αρκετές γενιές: Σχολικό εγχειρίδιο γεωμετρίας, συγγραφείς - L.S. Atanasyan and Company. Αυτή η κρεμάστρα σχολικών αποδυτηρίων έχει ήδη περάσει από 20 (!) ανατυπώσεις, που φυσικά δεν είναι το όριο.

2) Γεωμετρία σε 2 τόμους. Συγγραφείς L.S. Atanasyan, Bazylev V.T.. Αυτή είναι λογοτεχνία για το γυμνάσιο, θα χρειαστείτε πρώτος τόμος. Οι εργασίες που συναντώ σπάνια μπορεί να πέσουν από τα μάτια μου και το σεμινάριο θα είναι πολύτιμη βοήθεια.

Και τα δύο βιβλία μπορούν να τα κατεβάσετε δωρεάν στο διαδίκτυο. Επιπλέον, μπορείτε να χρησιμοποιήσετε το αρχείο μου με έτοιμες λύσεις, που μπορείτε να βρείτε στη σελίδα Κατεβάστε παραδείγματα στα ανώτερα μαθηματικά.

Μεταξύ των εργαλείων, προτείνω και πάλι τη δική μου ανάπτυξη - πακέτο λογισμικούστην αναλυτική γεωμετρία, η οποία θα απλοποιήσει πολύ τη ζωή και θα εξοικονομήσει πολύ χρόνο.

Υποτίθεται ότι ο αναγνώστης είναι εξοικειωμένος με βασικές γεωμετρικές έννοιες και σχήματα: σημείο, ευθεία, επίπεδο, τρίγωνο, παραλληλόγραμμο, παραλληλεπίπεδο, κύβος κ.λπ. Συνιστάται να θυμάστε μερικά θεωρήματα, τουλάχιστον το Πυθαγόρειο θεώρημα, γεια στους επαναλήπτες)

Και τώρα θα εξετάσουμε διαδοχικά: την έννοια ενός διανύσματος, ενέργειες με διανύσματα, διανυσματικές συντεταγμένες. Συνιστώ να διαβάσετε περαιτέρω το πιο σημαντικό άρθρο Σημείο γινόμενο διανυσμάτων, και επίσης Διάνυσμα και μικτό γινόμενο διανυσμάτων. Μια τοπική εργασία - Διαίρεση τμήματος από αυτή την άποψη - δεν θα είναι επίσης περιττή. Με βάση τις παραπάνω πληροφορίες, μπορείτε να κυριαρχήσετε εξίσωση μιας ευθείας σε ένα επίπεδοΜε απλούστερα παραδείγματα λύσεων, που θα επιτρέψει μάθουν να λύνουν προβλήματα γεωμετρίας. Τα παρακάτω άρθρα είναι επίσης χρήσιμα: Εξίσωση ενός επιπέδου στο διάστημα, Εξισώσεις μιας ευθείας στο χώρο, Βασικά προβλήματα σε ευθεία γραμμή και επίπεδο, άλλες ενότητες αναλυτικής γεωμετρίας. Φυσικά, στην πορεία θα εξεταστούν τυπικές εργασίες.

Έννοια του φορέα. Δωρεάν διάνυσμα

Αρχικά, ας επαναλάβουμε τον σχολικό ορισμό ενός διανύσματος. Διάνυσμαπου ονομάζεται σκηνοθετημένοςένα τμήμα για το οποίο υποδεικνύονται η αρχή και το τέλος του:

Σε αυτήν την περίπτωση, η αρχή του τμήματος είναι το σημείο, το τέλος του τμήματος είναι το σημείο. Το ίδιο το διάνυσμα συμβολίζεται με . Κατεύθυνσηείναι απαραίτητο, αν μετακινήσετε το βέλος στο άλλο άκρο του τμήματος, θα λάβετε ένα διάνυσμα, και αυτό είναι ήδη εντελώς διαφορετικό διάνυσμα. Είναι βολικό να προσδιορίσετε την έννοια του διανύσματος με την κίνηση ενός φυσικού σώματος: πρέπει να συμφωνήσετε, το να μπαίνεις στις πόρτες ενός ινστιτούτου ή να βγαίνεις από τις πόρτες ενός ινστιτούτου είναι εντελώς διαφορετικά πράγματα.

Είναι βολικό να θεωρούνται μεμονωμένα σημεία ενός επιπέδου ή χώρου ως τα λεγόμενα μηδενικό διάνυσμα. Για ένα τέτοιο διάνυσμα, το τέλος και η αρχή συμπίπτουν.

!!! Σημείωση: Εδώ και περαιτέρω, μπορείτε να υποθέσετε ότι τα διανύσματα βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο ή μπορείτε να υποθέσετε ότι βρίσκονται στο χώρο - η ουσία του υλικού που παρουσιάζεται ισχύει τόσο για το επίπεδο όσο και για το διάστημα.

Ονομασίες:Πολλοί παρατήρησαν αμέσως το ραβδί χωρίς βέλος στην ονομασία και είπαν, υπάρχει επίσης ένα βέλος στην κορυφή! Είναι αλήθεια ότι μπορείτε να το γράψετε με ένα βέλος: , αλλά είναι επίσης δυνατό το λήμμα που θα χρησιμοποιήσω στο μέλλον. Γιατί; Προφανώς, αυτή η συνήθεια αναπτύχθηκε για πρακτικούς λόγους· οι σκοπευτές μου στο σχολείο και στο πανεπιστήμιο αποδείχτηκαν πολύ διαφορετικού μεγέθους και δασύτριχοι. Στην εκπαιδευτική βιβλιογραφία, μερικές φορές δεν ασχολούνται καθόλου με τη σφηνοειδή γραφή, αλλά επισημαίνουν τα γράμματα με έντονη γραφή: , υπονοώντας έτσι ότι πρόκειται για διάνυσμα.

Αυτό ήταν η στυλιστική, και τώρα για τους τρόπους γραφής διανυσμάτων:

1) Τα διανύσματα μπορούν να γραφτούν με δύο κεφαλαία λατινικά γράμματα:
και ούτω καθεξής. Σε αυτή την περίπτωση, το πρώτο γράμμα Αναγκαίωςδηλώνει το σημείο έναρξης του διανύσματος και το δεύτερο γράμμα υποδηλώνει το σημείο λήξης του διανύσματος.

2) Τα διανύσματα γράφονται επίσης με μικρά λατινικά γράμματα:
Συγκεκριμένα, το διάνυσμά μας μπορεί να επανασχεδιαστεί για συντομία με ένα μικρό λατινικό γράμμα.

Μήκοςή μονάδα μέτρησηςμη μηδενικό διάνυσμα ονομάζεται μήκος του τμήματος. Το μήκος του μηδενικού διανύσματος είναι μηδέν. Λογικός.

Το μήκος του διανύσματος υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή: ,

Θα μάθουμε πώς να βρίσκουμε το μήκος ενός διανύσματος (ή θα το επαναλάβουμε, ανάλογα με το ποιος) λίγο αργότερα.

Αυτές ήταν βασικές πληροφορίες για τους φορείς, γνωστές σε όλους τους μαθητές. Στην αναλυτική γεωμετρία, τα λεγόμενα ελεύθερο διάνυσμα.

Να το θέσω απλά - το διάνυσμα μπορεί να σχεδιαστεί από οποιοδήποτε σημείο:

Έχουμε συνηθίσει να αποκαλούμε τέτοια διανύσματα ίσα (ο ορισμός των ίσων διανυσμάτων θα δοθεί παρακάτω), αλλά από καθαρά μαθηματική άποψη, είναι το ΙΔΙΟ ΔΙΑΝΥΣΜΑ ή ελεύθερο διάνυσμα. Γιατί δωρεάν; Επειδή στην πορεία επίλυσης προβλημάτων, μπορείτε να «προσαρτήσετε» αυτό ή εκείνο το διάνυσμα «σχολείου» σε ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ σημείο του επιπέδου ή του χώρου χρειάζεστε. Αυτό είναι ένα πολύ ωραίο χαρακτηριστικό! Φανταστείτε ένα κατευθυνόμενο τμήμα αυθαίρετου μήκους και κατεύθυνσης - μπορεί να «κλωνοποιηθεί» άπειρες φορές και σε οποιοδήποτε σημείο του χώρου, στην πραγματικότητα, υπάρχει ΠΑΝΤΟΥ. Υπάρχει ένα τέτοιο φοιτητικό ρητό: Κάθε λέκτορας δίνει βλασφημία για το διάνυσμα. Σε τελική ανάλυση, δεν είναι απλώς μια πνευματώδης ομοιοκαταληξία, όλα είναι σχεδόν σωστά - ένα σκηνοθετημένο τμήμα μπορεί επίσης να προστεθεί εκεί. Αλλά μην βιαστείτε να χαρείτε, είναι οι ίδιοι οι μαθητές που συχνά υποφέρουν =)

Ετσι, ελεύθερο διάνυσμα- Αυτό ένα μάτσο πανομοιότυπα κατευθυνόμενα τμήματα. Ο σχολικός ορισμός του διανύσματος, που δίνεται στην αρχή της παραγράφου: «Ένα κατευθυνόμενο τμήμα ονομάζεται διάνυσμα...» υπονοεί ειδικόςένα κατευθυνόμενο τμήμα που λαμβάνεται από ένα δεδομένο σύνολο, το οποίο συνδέεται με ένα συγκεκριμένο σημείο του επιπέδου ή του χώρου.

Πρέπει να σημειωθεί ότι από τη σκοπιά της φυσικής, η έννοια του ελεύθερου διανύσματος είναι γενικά εσφαλμένη και το σημείο εφαρμογής έχει σημασία. Πράγματι, ένα άμεσο χτύπημα της ίδιας δύναμης στη μύτη ή στο μέτωπο, αρκετό για να αναπτύξω το ηλίθιο παράδειγμά μου, συνεπάγεται διαφορετικές συνέπειες. Ωστόσο, ανελεύθεροςδιανύσματα βρίσκονται επίσης στην πορεία του vyshmat (μην πάτε εκεί :)).

Δράσεις με διανύσματα. Συγγραμμικότητα διανυσμάτων

Ένα μάθημα σχολικής γεωμετρίας καλύπτει μια σειρά από ενέργειες και κανόνες με διανύσματα: πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου, πρόσθεση σύμφωνα με τον κανόνα του παραλληλογράμμου, κανόνας διανυσματικής διαφοράς, πολλαπλασιασμός ενός διανύσματος με έναν αριθμό, κλιμακωτό γινόμενο διανυσμάτων κ.λπ.Ως σημείο εκκίνησης, ας επαναλάβουμε δύο κανόνες που είναι ιδιαίτερα σημαντικοί για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας.

Ο κανόνας για την προσθήκη διανυσμάτων χρησιμοποιώντας τον κανόνα του τριγώνου

Εξετάστε δύο αυθαίρετα μη μηδενικά διανύσματα και :

Πρέπει να βρείτε το άθροισμα αυτών των διανυσμάτων. Λόγω του γεγονότος ότι όλα τα διανύσματα θεωρούνται ελεύθερα, θα παραμερίσουμε το διάνυσμα από τέλοςδιάνυσμα:

Το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα. Για καλύτερη κατανόηση του κανόνα, είναι σκόπιμο να δώσουμε ένα φυσικό νόημα σε αυτόν: αφήστε κάποιο σώμα να ταξιδέψει κατά μήκος του διανύσματος και μετά κατά μήκος του διανύσματος. Τότε το άθροισμα των διανυσμάτων είναι το διάνυσμα της διαδρομής που προκύπτει με την αρχή στο σημείο αναχώρησης και το τέλος στο σημείο άφιξης. Ένας παρόμοιος κανόνας διατυπώνεται για το άθροισμα οποιουδήποτε αριθμού διανυσμάτων. Όπως λένε, το σώμα μπορεί να πάει πολύ αδύνατο κατά μήκος ενός ζιγκ-ζαγκ, ή ίσως στον αυτόματο πιλότο - κατά μήκος του διανύσματος του αθροίσματος που προκύπτει.

Παρεμπιπτόντως, εάν το διάνυσμα αναβληθεί από ξεκίνησεδιάνυσμα, τότε παίρνουμε το ισοδύναμο κανόνας παραλληλογράμμουπροσθήκη διανυσμάτων.

Πρώτον, σχετικά με τη συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Τα δύο διανύσματα ονομάζονται συγγραμμική, εάν βρίσκονται στην ίδια ευθεία ή σε παράλληλες ευθείες. Σε γενικές γραμμές, μιλάμε για παράλληλα διανύσματα. Αλλά σε σχέση με αυτά, χρησιμοποιείται πάντα το επίθετο "συγγραμμικό".

Φανταστείτε δύο συγγραμμικά διανύσματα. Εάν τα βέλη αυτών των διανυσμάτων κατευθύνονται προς την ίδια κατεύθυνση, τότε ονομάζονται τέτοια διανύσματα συν-σκηνοθεσία. Εάν τα βέλη δείχνουν προς διαφορετικές κατευθύνσεις, τότε τα διανύσματα θα είναι αντίθετες κατευθύνσεις.

Ονομασίες:Η συγγραμμικότητα των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο σύμβολο παραλληλισμού: , ενώ η λεπτομέρεια είναι δυνατή: (τα διανύσματα κατευθύνονται από κοινού) ή (τα διανύσματα κατευθύνονται αντίθετα).

Η δουλειάένα μη μηδενικό διάνυσμα σε έναν αριθμό είναι ένα διάνυσμα του οποίου το μήκος είναι ίσο με , και τα διανύσματα και είναι συν-κατευθυνόμενα και αντίθετα στο .

Ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό είναι πιο κατανοητός με τη βοήθεια μιας εικόνας:

Ας το δούμε αναλυτικότερα:

1) Κατεύθυνση. Αν ο πολλαπλασιαστής είναι αρνητικός, τότε το διάνυσμα αλλάζει κατεύθυνσηπρος το αντίθετο.

2) Μήκος. Εάν ο πολλαπλασιαστής περιέχεται εντός ή , τότε το μήκος του διανύσματος μειώνεται. Άρα, το μήκος του διανύσματος είναι το μισό του μήκους του διανύσματος. Αν ο συντελεστής του πολλαπλασιαστή είναι μεγαλύτερος από ένα, τότε το μήκος του διανύσματος αυξάνειεγκαίρως.

3) Σημειώστε ότι όλα τα διανύσματα είναι συγγραμμικά, ενώ ένα διάνυσμα εκφράζεται μέσω ενός άλλου, για παράδειγμα, . Ισχύει και το αντίστροφο: εάν ένα διάνυσμα μπορεί να εκφραστεί μέσω ενός άλλου, τότε τέτοια διανύσματα είναι απαραίτητα συγγραμμικά. Ετσι: αν πολλαπλασιάσουμε ένα διάνυσμα με έναν αριθμό, παίρνουμε συγγραμμικό(σε σχέση με το πρωτότυπο) διάνυσμα.

4) Τα διανύσματα είναι συν-κατευθυνόμενα. Vectors και είναι επίσης συν-σκηνοθετημένα. Οποιοδήποτε διάνυσμα της πρώτης ομάδας κατευθύνεται αντίθετα σε σχέση με οποιοδήποτε διάνυσμα της δεύτερης ομάδας.

Ποια διανύσματα είναι ίσα;

Δύο διανύσματα είναι ίσα αν είναι στην ίδια κατεύθυνση και έχουν το ίδιο μήκος. Σημειώστε ότι η συνκατεύθυνση συνεπάγεται συγγραμμικότητα των διανυσμάτων. Ο ορισμός θα ήταν ανακριβής (περιττός) αν λέγαμε: «Δύο διανύσματα είναι ίσα εάν είναι συγγραμμικά, συμκατευθυντικά και έχουν το ίδιο μήκος».

Από την άποψη της έννοιας του ελεύθερου διανύσματος, ίσα διανύσματα είναι το ίδιο διάνυσμα, όπως συζητήθηκε στην προηγούμενη παράγραφο.

Διανυσματικές συντεταγμένες στο επίπεδο και στο διάστημα

Το πρώτο σημείο είναι να εξετάσουμε τα διανύσματα στο επίπεδο. Ας απεικονίσουμε ένα καρτεσιανό ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων και ας το σχεδιάσουμε από την αρχή των συντεταγμένων μονόκλινοφορείς και:

Διανύσματα και ορθογώνιο. Ορθογώνιος = Κάθετος. Σας συνιστώ να συνηθίσετε σιγά σιγά τους όρους: αντί για παραλληλισμό και καθετότητα, χρησιμοποιούμε τις λέξεις αντίστοιχα συγγραμμικότηταΚαι ορθογωνικότητα.

Ονομασία:Η ορθογωνία των διανυσμάτων γράφεται με το συνηθισμένο σύμβολο της καθετότητας, για παράδειγμα: .

Τα διανύσματα που εξετάζονται ονομάζονται διανύσματα συντεταγμένωνή όρτες. Αυτά τα διανύσματα σχηματίζονται βάσηστην επιφάνεια. Τι είναι η βάση, νομίζω, είναι διαισθητικά σαφές σε πολλούς· περισσότερες λεπτομερείς πληροφορίες μπορείτε να βρείτε στο άρθρο Γραμμική (μη) εξάρτηση διανυσμάτων. Βάση διανυσμάτωνΜε απλά λόγια, η βάση και η προέλευση των συντεταγμένων καθορίζουν ολόκληρο το σύστημα - αυτό είναι ένα είδος θεμελίου πάνω στο οποίο βράζει μια πλήρης και πλούσια γεωμετρική ζωή.

Μερικές φορές ονομάζεται η κατασκευασμένη βάση ορθοκανονικήβάση του επιπέδου: «ορθό» - επειδή τα διανύσματα συντεταγμένων είναι ορθογώνια, το επίθετο «κανονικοποιημένο» σημαίνει μονάδα, δηλ. τα μήκη των διανυσμάτων βάσης είναι ίσα με ένα.

Ονομασία:η βάση γράφεται συνήθως σε παρένθεση, μέσα στην οποία με αυστηρή σειράπαρατίθενται βασικά διανύσματα, για παράδειγμα: . Διανύσματα συντεταγμένων ειναι ΑΠΑΓΟΡΕΥΜΕΝΟτακτοποιώ.

Οποιοςεπίπεδο διάνυσμα ο μόνος τρόποςεκφράστηκε ώς:
, Οπου - αριθμοίπου ονομάζονται διανυσματικές συντεταγμένεςσε αυτή τη βάση. Και η ίδια η έκφραση που ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσηςκατά βάση .

Δείπνο που σερβίρεται:

Ας ξεκινήσουμε με το πρώτο γράμμα του αλφαβήτου: . Το σχέδιο δείχνει ξεκάθαρα ότι κατά την αποσύνθεση ενός διανύσματος σε βάση, χρησιμοποιούνται αυτά που μόλις συζητήθηκαν:
1) ο κανόνας για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό: και ;
2) πρόσθεση διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου: .

Τώρα σχεδιάστε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι προφανές ότι η φθορά του «θα τον ακολουθεί αμείλικτα». Εδώ είναι, η ελευθερία του διανύσματος - το διάνυσμα "κουβαλά τα πάντα με τον εαυτό του". Αυτή η ιδιότητα, φυσικά, ισχύει για οποιοδήποτε διάνυσμα. Είναι αστείο ότι τα ίδια τα διανύσματα βάσης (δωρεάν) δεν χρειάζεται να σχεδιάζονται από την αρχή· το ένα μπορεί να σχεδιαστεί, για παράδειγμα, κάτω αριστερά και το άλλο πάνω δεξιά, και τίποτα δεν θα αλλάξει! Είναι αλήθεια ότι δεν χρειάζεται να το κάνετε αυτό, καθώς ο δάσκαλος θα δείξει επίσης πρωτοτυπία και θα σας αποσπάσει μια "πίστωση" σε ένα απροσδόκητο μέρος.

Τα διανύσματα απεικονίζουν ακριβώς τον κανόνα για τον πολλαπλασιασμό ενός διανύσματος με έναν αριθμό, το διάνυσμα είναι συμκατευθυντικό με το διάνυσμα βάσης, το διάνυσμα κατευθύνεται αντίθετα από το διάνυσμα βάσης. Για αυτά τα διανύσματα, μία από τις συντεταγμένες είναι ίση με μηδέν· μπορείτε να τη γράψετε σχολαστικά ως εξής:


Και τα διανύσματα βάσης, παρεμπιπτόντως, είναι έτσι: (στην πραγματικότητα, εκφράζονται μέσω του εαυτού τους).

Και τελικά: , . Παρεμπιπτόντως, τι είναι η διανυσματική αφαίρεση και γιατί δεν μίλησα για τον κανόνα της αφαίρεσης; Κάπου στη γραμμική άλγεβρα, δεν θυμάμαι πού, παρατήρησα ότι η αφαίρεση είναι μια ειδική περίπτωση πρόσθεσης. Έτσι, οι επεκτάσεις των διανυσμάτων "de" και "e" γράφονται εύκολα ως άθροισμα: . Ακολουθήστε το σχέδιο για να δείτε πόσο καθαρά λειτουργεί η παλιά καλή προσθήκη διανυσμάτων σύμφωνα με τον κανόνα του τριγώνου σε αυτές τις περιπτώσεις.

Η θεωρούμενη αποσύνθεση της μορφής μερικές φορές ονομάζεται διάνυσμα αποσύνθεσης στο σύστημα ort(δηλαδή σε ένα σύστημα μοναδιαίων διανυσμάτων). Αλλά αυτός δεν είναι ο μόνος τρόπος για να γράψετε ένα διάνυσμα· η ακόλουθη επιλογή είναι κοινή:

Ή με πρόσημο ίσου:

Τα ίδια τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής: και

Δηλαδή, οι συντεταγμένες του διανύσματος υποδεικνύονται σε παρένθεση. Σε πρακτικά προβλήματα, χρησιμοποιούνται και οι τρεις επιλογές σημειογραφίας.

Αμφιβάλλω αν θα μιλήσω, αλλά θα το πω πάντως: Οι διανυσματικές συντεταγμένες δεν μπορούν να αναδιαταχθούν. Αυστηρά στην πρώτη θέσηγράφουμε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα, αυστηρά στη δεύτερη θέσησημειώνουμε τη συντεταγμένη που αντιστοιχεί στο μοναδιαίο διάνυσμα. Πράγματι, και είναι δύο διαφορετικά διανύσματα.

Καταλάβαμε τις συντεταγμένες στο αεροπλάνο. Τώρα ας δούμε τα διανύσματα στον τρισδιάστατο χώρο, σχεδόν όλα είναι ίδια εδώ! Θα προσθέσει απλώς μια ακόμη συντεταγμένη. Είναι δύσκολο να κάνω τρισδιάστατα σχέδια, επομένως θα περιοριστώ σε ένα διάνυσμα, το οποίο για λόγους απλότητας θα παραμερίσω από την αρχή:

Οποιος 3D διάνυσμα χώρου ο μόνος τρόποςεπεκτείνονται σε ορθοκανονική βάση:
, όπου είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος (αριθμός) σε αυτή τη βάση.

Παράδειγμα από την εικόνα: . Ας δούμε πώς λειτουργούν οι διανυσματικοί κανόνες εδώ. Αρχικά, πολλαπλασιάζοντας το διάνυσμα με έναν αριθμό: (κόκκινο βέλος), (πράσινο βέλος) και (βέλος βατόμουρου). Δεύτερον, εδώ είναι ένα παράδειγμα προσθήκης πολλών, σε αυτήν την περίπτωση τριών, διανυσμάτων: . Το διάνυσμα αθροίσματος ξεκινά από το αρχικό σημείο αναχώρησης (αρχή του διανύσματος) και τελειώνει στο τελικό σημείο άφιξης (τέλος του διανύσματος).

Όλα τα διανύσματα του τρισδιάστατου χώρου, φυσικά, είναι επίσης ελεύθερα· προσπαθήστε να παραμερίσετε νοερά το διάνυσμα από οποιοδήποτε άλλο σημείο και θα καταλάβετε ότι η αποσύνθεσή του «θα παραμείνει μαζί του».

Παρόμοια με την επίπεδη περίπτωση, εκτός από τη γραφή εκδόσεις με αγκύλες χρησιμοποιούνται ευρέως: είτε .

Εάν λείπουν ένα (ή δύο) διανύσματα συντεταγμένων στην επέκταση, τότε στη θέση τους μπαίνουν μηδενικά. Παραδείγματα:
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε ;
διάνυσμα (σχολαστικά ) - ας γράψουμε .

Τα διανύσματα βάσης γράφονται ως εξής:

Αυτή, ίσως, είναι όλη η ελάχιστη θεωρητική γνώση που είναι απαραίτητη για την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας. Μπορεί να υπάρχουν πολλοί όροι και ορισμοί, γι' αυτό συνιστώ στις τσαγιέρες να ξαναδιαβάσουν και να κατανοήσουν ξανά αυτές τις πληροφορίες. Και θα είναι χρήσιμο για κάθε αναγνώστη να ανατρέχει κατά καιρούς στο βασικό μάθημα για να αφομοιώσει καλύτερα την ύλη. Συγγραμμικότητα, ορθογωνικότητα, ορθοκανονική βάση, διάνυσμα αποσύνθεσης - αυτές και άλλες έννοιες θα χρησιμοποιούνται συχνά στο μέλλον. Σημειώνω ότι τα υλικά στον ιστότοπο δεν επαρκούν για να περάσετε το θεωρητικό τεστ ή το συνέδριο για τη γεωμετρία, καθώς κρυπτογραφώ προσεκτικά όλα τα θεωρήματα (και χωρίς αποδείξεις) - εις βάρος του επιστημονικού στυλ παρουσίασης, αλλά ένα συν για την κατανόησή σας το θέμα. Για να λάβετε λεπτομερείς θεωρητικές πληροφορίες, παρακαλούμε να υποκλιθείτε στον καθηγητή Atanasyan.

Και περνάμε στο πρακτικό μέρος:

Τα απλούστερα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας.
Ενέργειες με διανύσματα σε συντεταγμένες

Συνιστάται ιδιαίτερα να μάθετε πώς να επιλύετε τις εργασίες που θα εξεταστούν πλήρως αυτόματα και τους τύπους απομνημονεύω, δεν χρειάζεται καν να το θυμάστε επίτηδες, θα το θυμούνται μόνοι τους =) Αυτό είναι πολύ σημαντικό, καθώς άλλα προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας βασίζονται στα πιο απλά στοιχειώδη παραδείγματα και θα είναι ενοχλητικό να αφιερώνετε επιπλέον χρόνο τρώγοντας πιόνια . Δεν χρειάζεται να κουμπώσετε τα πάνω κουμπιά στο πουκάμισό σας, πολλά πράγματα σας είναι γνωστά από το σχολείο.

Η παρουσίαση του υλικού θα ακολουθήσει παράλληλη πορεία -τόσο για το αεροπλάνο όσο και για το διάστημα. Για το λόγο ότι όλες οι φόρμουλες... θα το δείτε μόνοι σας.

Πώς να βρείτε ένα διάνυσμα από δύο σημεία;

Αν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αν δίνονται δύο σημεία στο χώρο, τότε το διάνυσμα έχει τις ακόλουθες συντεταγμένες:

Αυτό είναι, από τις συντεταγμένες του τέλους του διανύσματοςπρέπει να αφαιρέσετε τις αντίστοιχες συντεταγμένες αρχή του διανύσματος.

Ασκηση:Για τα ίδια σημεία, γράψτε τους τύπους για την εύρεση των συντεταγμένων του διανύσματος. Φόρμουλες στο τέλος του μαθήματος.

Παράδειγμα 1

Δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και . Βρείτε διανυσματικές συντεταγμένες

Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Εναλλακτικά, θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί η ακόλουθη καταχώρηση:

Οι αισθητιστές θα αποφασίσουν αυτό:

Προσωπικά, έχω συνηθίσει την πρώτη έκδοση της ηχογράφησης.

Απάντηση:

Σύμφωνα με την προϋπόθεση, δεν ήταν απαραίτητο να κατασκευαστεί ένα σχέδιο (το οποίο είναι χαρακτηριστικό για προβλήματα αναλυτικής γεωμετρίας), αλλά για να διευκρινίσω ορισμένα σημεία για τα ανδρείκελα, δεν θα είμαι τεμπέλης:

Πρέπει οπωσδήποτε να καταλάβετε διαφορά μεταξύ σημειακών και διανυσματικών συντεταγμένων:

Συντεταγμένες σημείων– αυτές είναι συνηθισμένες συντεταγμένες σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων. Νομίζω ότι όλοι γνωρίζουν πώς να σχεδιάζουν σημεία σε ένα επίπεδο συντεταγμένων από την 5η-6η τάξη. Κάθε σημείο έχει μια αυστηρή θέση στο αεροπλάνο και δεν μπορούν να μετακινηθούν πουθενά.

Οι συντεταγμένες του διανύσματος– αυτή είναι η επέκτασή του σύμφωνα με τη βάση, στην προκειμένη περίπτωση. Οποιοδήποτε διάνυσμα είναι ελεύθερο, επομένως, εάν το επιθυμούμε ή είναι απαραίτητο, μπορούμε εύκολα να το απομακρύνουμε από κάποιο άλλο σημείο του επιπέδου. Είναι ενδιαφέρον ότι για τα διανύσματα δεν χρειάζεται να δημιουργήσετε καθόλου άξονες ή ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων· χρειάζεστε μόνο μια βάση, σε αυτήν την περίπτωση μια ορθοκανονική βάση του επιπέδου.

Οι εγγραφές των συντεταγμένων των σημείων και οι συντεταγμένες των διανυσμάτων φαίνεται να είναι παρόμοιες: , και έννοια των συντεταγμένωναπολύτως διαφορετικός, και θα πρέπει να γνωρίζετε καλά αυτή τη διαφορά. Αυτή η διαφορά, φυσικά, ισχύει και για το διάστημα.

Κυρίες και κύριοι, ας γεμίσουμε τα χέρια μας:

Παράδειγμα 2

α) Βαθμοί και δίνονται. Βρείτε διανύσματα και .
β) Δίνονται βαθμοί Και . Βρείτε διανύσματα και .
γ) Βαθμοί και δίνονται. Βρείτε διανύσματα και .
δ) Δίνονται βαθμοί. Βρείτε διανύσματα .

Ίσως είναι αρκετό. Αυτά είναι παραδείγματα για να αποφασίσεις μόνος σου, προσπάθησε να μην τα αμελήσεις, θα αποδώσει ;-). Δεν χρειάζεται να κάνετε σχέδια. Λύσεις και απαντήσεις στο τέλος του μαθήματος.

Τι είναι σημαντικό κατά την επίλυση προβλημάτων αναλυτικής γεωμετρίας;Είναι σημαντικό να είστε ΕΞΑΙΡΕΤΙΚΑ ΠΡΟΣΕΚΤΙΚΟΙ για να αποφύγετε να κάνετε το αριστοτεχνικό λάθος «δύο συν δύο ίσον μηδέν». Ζητώ συγγνώμη αμέσως αν έκανα λάθος κάπου =)

Πώς να βρείτε το μήκος ενός τμήματος;

Το μήκος, όπως ήδη σημειώθηκε, υποδεικνύεται από το σύμβολο συντελεστή.

Εάν δίνονται δύο σημεία του επιπέδου και , τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Εάν δίνονται δύο σημεία στο διάστημα και, τότε το μήκος του τμήματος μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

Σημείωση: Οι τύποι θα παραμείνουν σωστοί εάν αντικατασταθούν οι αντίστοιχες συντεταγμένες: και , αλλά η πρώτη επιλογή είναι πιο τυπική

Παράδειγμα 3

Λύση:σύμφωνα με τον αντίστοιχο τύπο:

Απάντηση:

Για λόγους σαφήνειας, θα κάνω ένα σχέδιο

Ευθύγραμμο τμήμα - αυτό δεν είναι διάνυσμα, και, φυσικά, δεν μπορείτε να το μετακινήσετε πουθενά. Επιπλέον, εάν σχεδιάζετε σε κλίμακα: 1 μονάδα. = 1 cm (δύο κελιά σημειωματάριου), τότε η απάντηση που προκύπτει μπορεί να ελεγχθεί με έναν κανονικό χάρακα μετρώντας απευθείας το μήκος του τμήματος.

Ναι, η λύση είναι σύντομη, αλλά υπάρχουν μερικά ακόμη σημαντικά σημεία σε αυτήν που θα ήθελα να διευκρινίσω:

Πρώτον, στην απάντηση βάζουμε τη διάσταση: «μονάδες». Η κατάσταση δεν λέει ΤΙ είναι, χιλιοστά, εκατοστά, μέτρα ή χιλιόμετρα. Επομένως, μια μαθηματικά σωστή λύση θα ήταν η γενική διατύπωση: "μονάδες" - συντομογραφία ως "μονάδες".

Δεύτερον, ας επαναλάβουμε το σχολικό υλικό, το οποίο είναι χρήσιμο όχι μόνο για την εξεταζόμενη εργασία:

δώσε προσοχή στο σημαντική τεχνική – αφαιρώντας τον πολλαπλασιαστή κάτω από τη ρίζα. Ως αποτέλεσμα των υπολογισμών, έχουμε ένα αποτέλεσμα και το καλό μαθηματικό στυλ περιλαμβάνει την αφαίρεση του παράγοντα κάτω από τη ρίζα (αν είναι δυνατόν). Πιο αναλυτικά η διαδικασία μοιάζει με αυτό: . Φυσικά, το να αφήσετε την απάντηση ως έχει δεν θα ήταν λάθος - αλλά σίγουρα θα ήταν μια αδυναμία και ένα βαρύ επιχείρημα για κουβέντα από την πλευρά του δασκάλου.

Εδώ είναι άλλες κοινές περιπτώσεις:

Συχνά η ρίζα παράγει έναν αρκετά μεγάλο αριθμό, για παράδειγμα . Τι να κάνετε σε τέτοιες περιπτώσεις; Χρησιμοποιώντας την αριθμομηχανή, ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με το 4: . Ναι, χωρίστηκε τελείως, έτσι: . Ή μήπως ο αριθμός μπορεί να διαιρεθεί πάλι με το 4; . Ετσι: . Το τελευταίο ψηφίο του αριθμού είναι περιττό, επομένως η διαίρεση με το 4 για τρίτη φορά προφανώς δεν θα λειτουργήσει. Ας προσπαθήσουμε να διαιρέσουμε με το εννέα: . Σαν άποτέλεσμα:
Ετοιμος.

Συμπέρασμα:αν κάτω από τη ρίζα έχουμε έναν αριθμό που δεν μπορεί να εξαχθεί ως σύνολο, τότε προσπαθούμε να αφαιρέσουμε τον παράγοντα κάτω από τη ρίζα - χρησιμοποιώντας μια αριθμομηχανή ελέγχουμε αν ο αριθμός διαιρείται με: 4, 9, 16, 25, 36, 49, κλπ.

Κατά την επίλυση διαφόρων προβλημάτων, συχνά συναντώνται ρίζες· προσπαθείτε πάντα να εξάγετε παράγοντες κάτω από τη ρίζα για να αποφύγετε χαμηλότερο βαθμό και περιττά προβλήματα με την οριστικοποίηση των λύσεών σας με βάση τα σχόλια του δασκάλου.

Ας επαναλάβουμε επίσης τις ρίζες του τετραγώνου και άλλες δυνάμεις:

Οι κανόνες για τη λειτουργία με τις δυνάμεις σε γενική μορφή μπορούν να βρεθούν σε ένα σχολικό εγχειρίδιο άλγεβρας, αλλά νομίζω ότι από τα παραδείγματα που δίνονται, όλα ή σχεδόν όλα είναι ήδη ξεκάθαρα.

Εργασία για ανεξάρτητη λύση με ένα τμήμα στο διάστημα:

Παράδειγμα 4

Πόντοι και δίνονται. Βρείτε το μήκος του τμήματος.

Η λύση και η απάντηση βρίσκονται στο τέλος του μαθήματος.

Πώς να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος;

Εάν δίνεται ένα επίπεδο διάνυσμα, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο.

Εάν δίνεται ένα διάνυσμα χώρου, τότε το μήκος του υπολογίζεται από τον τύπο .

Το μήκος του διανύσματος a → θα συμβολίζεται με ένα → . Αυτός ο συμβολισμός είναι παρόμοιος με τον συντελεστή ενός αριθμού, επομένως το μήκος ενός διανύσματος ονομάζεται επίσης συντελεστής ενός διανύσματος.

Για να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος σε ένα επίπεδο από τις συντεταγμένες του, είναι απαραίτητο να εξετάσουμε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων O x y. Έστω κάποιο διάνυσμα a → με συντεταγμένες x να καθοριστεί σε αυτό. αι. Ας εισαγάγουμε έναν τύπο για την εύρεση του μήκους (μέτρο) του διανύσματος a → μέσω των συντεταγμένων a x και a y.

Ας σχεδιάσουμε το διάνυσμα O A → = a → από την αρχή. Ας ορίσουμε τις αντίστοιχες προβολές του σημείου Α στους άξονες συντεταγμένων ως A x και A y. Τώρα θεωρήστε ένα ορθογώνιο O A x A A y με διαγώνιο O A .

Από το Πυθαγόρειο θεώρημα ακολουθεί η ισότητα O A 2 = O A x 2 + O A y 2 , από όπου O A = O A x 2 + O A y 2 . Από τον ήδη γνωστό ορισμό των διανυσματικών συντεταγμένων σε ένα ορθογώνιο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων, λαμβάνουμε ότι O A x 2 = a x 2 και O A y 2 = a y 2 , και κατά κατασκευή, το μήκος του O A είναι ίσο με το μήκος του διανύσματος O A → , που σημαίνει O A → = O A x 2 + O A y 2.

Από αυτό προκύπτει ότι τύπος για την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος a → = a x ; a y έχει την αντίστοιχη μορφή: a → = a x 2 + a y 2 .

Εάν το διάνυσμα a → δίνεται με τη μορφή επέκτασης σε διανύσματα συντεταγμένων a → = a x i → + a y j →, τότε το μήκος του μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον ίδιο τύπο a → = a x 2 + a y 2, στην περίπτωση αυτή οι συντελεστές a x και a y είναι οι συντεταγμένες του διανύσματος a → σε ένα δεδομένο σύστημα συντεταγμένων.

Παράδειγμα 1

Υπολογίστε το μήκος του διανύσματος a → = 7 ; e, που καθορίζεται σε ένα ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων.

Λύση

Για να βρούμε το μήκος ενός διανύσματος, θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες a → = a x 2 + a y 2: a → = 7 2 + e 2 = 49 + e

Απάντηση: a → = 49 + e.

Τύπος για την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος a → = a x ; a y ; Το a z από τις συντεταγμένες του στο καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων Oxyz στο διάστημα, προέρχεται παρόμοια με τον τύπο για την περίπτωση σε ένα επίπεδο (βλ. παρακάτω σχήμα)

Σε αυτήν την περίπτωση, O A 2 = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 (καθώς το OA είναι η διαγώνιος ενός ορθογώνιου παραλληλεπιπέδου), επομένως O A = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 . Από τον ορισμό των διανυσματικών συντεταγμένων μπορούμε να γράψουμε τις ακόλουθες ισότητες O A x = a x ; O A y = a y ; O A z = a z ; , και το μήκος OA είναι ίσο με το μήκος του διανύσματος που αναζητούμε, επομένως, O A → = O A x 2 + O A y 2 + O A z 2 .

Από αυτό προκύπτει ότι το μήκος του διανύσματος a → = a x ; a y ; a z ισούται με a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 .

Παράδειγμα 2

Υπολογίστε το μήκος του διανύσματος a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k → , όπου i → , j → , k → είναι τα μοναδιαία διανύσματα του ορθογώνιου συστήματος συντεταγμένων.

Λύση

Δίνεται η αποσύνθεση του διανύσματος a → = 4 · i → - 3 · j → + 5 · k →, οι συντεταγμένες του είναι a → = 4, - 3, 5. Χρησιμοποιώντας τον παραπάνω τύπο παίρνουμε a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 = 4 2 + (- 3) 2 + 5 2 = 5 2.

Απάντηση: a → = 5 2 .

Μήκος ενός διανύσματος μέσω των συντεταγμένων των σημείων έναρξης και τέλους του

Προέκυψαν τύποι παραπάνω που σας επιτρέπουν να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες του. Εξετάσαμε περιπτώσεις σε επίπεδο και σε τρισδιάστατο χώρο. Ας τις χρησιμοποιήσουμε για να βρούμε τις συντεταγμένες ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και τέλους του.

Δίνονται λοιπόν σημεία με δεδομένες συντεταγμένες A (a x ; a y) και B (b x ; b y), επομένως το διάνυσμα A B → έχει συντεταγμένες (b x - a x; b y - a y) που σημαίνει ότι το μήκος του μπορεί να προσδιοριστεί από τον τύπο: A B → = ( ​​b x - a x) 2 + (b y - a y) 2

Και αν σημεία με δεδομένες συντεταγμένες A (a x ; a y ; a z) και B (b x ; b y ; b z) δίνονται σε τρισδιάστατο χώρο, τότε το μήκος του διανύσματος A B → μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2

Παράδειγμα 3

Να βρείτε το μήκος του διανύσματος A B → αν στο ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων A 1, 3, B - 3, 1.

Λύση

Χρησιμοποιώντας τον τύπο για την εύρεση του μήκους ενός διανύσματος από τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και τέλους στο επίπεδο, λαμβάνουμε A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2: A B → = (- 3 - 1 ) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 .

Η δεύτερη λύση περιλαμβάνει την εφαρμογή αυτών των τύπων με τη σειρά: A B → = (- 3 - 1 ; 1 - 3) = (- 4 ; 1 - 3) ; A B → = (- 4) 2 + (1 - 3) 2 = 20 - 2 3 . -

Απάντηση: A B → = 20 - 2 3 .

Παράδειγμα 4

Προσδιορίστε σε ποιες τιμές το μήκος του διανύσματος A B → είναι ίσο με 30 εάν A (0, 1, 2). Β (5 , 2 , λ 2) .

Λύση

Αρχικά, ας γράψουμε το μήκος του διανύσματος A B → χρησιμοποιώντας τον τύπο: A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2 = (5 - 0) 2 + (2 - 1) 2 + (λ 2 - 2) 2 = 26 + (λ 2 - 2) 2

Στη συνέχεια, εξισώνουμε την παράσταση που προκύπτει με 30, από εδώ βρίσκουμε το απαιτούμενο λ:

26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 26 + (λ 2 - 2) 2 = 30 (λ 2 - 2) 2 = 4 λ 2 - 2 = 2 και λ 2 - 2 = - 2 λ 1 = - 2 , λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Απάντηση: λ 1 = - 2, λ 2 = 2, λ 3 = 0.

Εύρεση του μήκους ενός διανύσματος χρησιμοποιώντας το θεώρημα συνημιτόνου

Δυστυχώς, στα προβλήματα οι συντεταγμένες του διανύσματος δεν είναι πάντα γνωστές, επομένως θα εξετάσουμε άλλους τρόπους για να βρούμε το μήκος του διανύσματος.

Αφήστε τα μήκη δύο διανυσμάτων A B → , A C → και τη γωνία μεταξύ τους (ή το συνημίτονο της γωνίας) και πρέπει να βρείτε το μήκος του διανύσματος B C → ή C B → . Σε αυτήν την περίπτωση, θα πρέπει να χρησιμοποιήσετε το θεώρημα συνημιτόνου στο τρίγωνο △ A B C και να υπολογίσετε το μήκος της πλευράς B C, το οποίο είναι ίσο με το επιθυμητό μήκος του διανύσματος.

Ας εξετάσουμε αυτήν την περίπτωση χρησιμοποιώντας το ακόλουθο παράδειγμα.

Παράδειγμα 5

Τα μήκη των διανυσμάτων A B → και A C → είναι 3 και 7, αντίστοιχα, και η μεταξύ τους γωνία είναι π 3. Να υπολογίσετε το μήκος του διανύσματος B C → .

Λύση

Το μήκος του διανύσματος B C → στην περίπτωση αυτή είναι ίσο με το μήκος της πλευράς B C του τριγώνου △ A B C . Τα μήκη των πλευρών Α Β και Α Γ του τριγώνου είναι γνωστά από την συνθήκη (είναι ίσα με τα μήκη των αντίστοιχων διανυσμάτων), η μεταξύ τους γωνία είναι επίσης γνωστή, οπότε μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα συνημιτόνου: B C 2 = A B 2 + A C 2 - 2 A B A C cos ∠ (A B, → A C →) = 3 2 + 7 2 - 2 · 3 · 7 · cos π 3 = 37 ⇒ B C = 37 Έτσι, B C → = 37 .

Απάντηση: B C → = 37 .

Έτσι, για να βρείτε το μήκος ενός διανύσματος από συντεταγμένες, υπάρχουν οι ακόλουθοι τύποι a → = a x 2 + a y 2 ή a → = a x 2 + a y 2 + a z 2 , από τις συντεταγμένες των σημείων έναρξης και τέλους του διανύσματος A B → = (b x - a x) 2 + ( b y - a y) 2 ή A B → = (b x - a x) 2 + (b y - a y) 2 + (b z - a z) 2, σε ορισμένες περιπτώσεις θα πρέπει να χρησιμοποιείται το θεώρημα συνημιτόνου .

Εάν παρατηρήσετε κάποιο σφάλμα στο κείμενο, επισημάνετε το και πατήστε Ctrl+Enter

Διάνυσμα ενότηταμπορούμε να βρούμε αν το γνωρίζουμε προβολές σε άξονες συντεταγμένων.

δίνεται στο αεροπλάνο διάνυσμα ΕΝΑ(Εικ. 15).

Ας ρίξουμε κάθετες από την αρχή και το τέλος του διανύσματος στους άξονες των συντεταγμένων για να βρούμε τις προβολές του. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα

. Από εδώ

.

Πρέπει να γνωρίζετε αυτόν τον τύπο ΑΠΕΞΩ.

Θυμάμαι!

Να βρω διανυσματική ενότηταείναι απαραίτητο να εξαχθεί η τετραγωνική ρίζα του αθροίσματος των τετραγώνων των προβολών του.

Γνωρίζετε ήδη ότι η προβολή ενός διανύσματος σε έναν άξονα μπορεί να βρεθεί εάν αφαιρέσετε τη συντεταγμένη του σημείου έναρξης του από τη συντεταγμένη του σημείου τέλους του διανύσματος. Τότε για το διάνυσμά μας, αν δίνεται στο επίπεδο, και x = x k − x n,
και y = y k − y n. Ως εκ τούτου, διανυσματική ενότηταμπορεί να βρεθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο

.

Δεν είναι δύσκολο να φανταστεί κανείς πώς θα μοιάζει η φόρμουλα εάν διάνυσμαδίνεται στο διάστημα.

Δώστε προσοχή και σε αυτό. Παρά όλα αυτά διανυσματική ενότηταείναι το μήκος του τμήματος που περικλείεται μεταξύ δύο σημείων: το σημείο έναρξης του διανύσματος και το σημείο τέλους. Και αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από την απόσταση μεταξύ αυτών των δύο σημείων. Επομένως, για να βρείτε την απόσταση μεταξύ οποιωνδήποτε δύο σημείων, πρέπει να υπολογίσετε διανυσματική ενότητασυνδέοντας αυτά τα σημεία.

διανυσματική ενότητα- διανυσματικό μέγεθος - [L.G. Sumenko. Αγγλο-ρωσικό λεξικό για την τεχνολογία της πληροφορίας. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Θέματα τεχνολογία πληροφοριών γενικά Συνώνυμα διανυσματική τιμή EN απόλυτη τιμή ενός διανύσματος ...

διανυσματική ενότητα- vektoriaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: αγγλ. απόλυτη τιμή του διανύσματος vok. Vektorbetrag, m rus. διάνυσμα μήκος, f; vector modulus, m pranc. module d'un vecteur, m ... Fizikos terminų žodynas

- (από το λατινικό modulus "small μέτρο"): Το Βικιλεξικό έχει άρθρο "module" Mo ... Wikipedia

Μια ενότητα (από το λατινικό modulus "μικρό μέτρο") είναι ένα αναπόσπαστο μέρος, που μπορεί να διαχωριστεί ή τουλάχιστον διανοητικά διακρίνεται από το γενικό. Modular ονομάζεται συνήθως ένα πράγμα που αποτελείται από σαφώς καθορισμένα μέρη, τα οποία συχνά μπορούν να αφαιρεθούν ή να προστεθούν χωρίς να καταστραφεί το πράγμα... ... Wikipedia

Η απόλυτη τιμή ή συντελεστής ενός πραγματικού ή μιγαδικού αριθμού x είναι η απόσταση από το x στην αρχή. Πιο συγκεκριμένα: Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού x είναι ένας μη αρνητικός αριθμός, που συμβολίζεται με |x| και ορίζεται ως εξής: ... ... Wikipedia

διανυσματική ενότητα κυμάτων- - [L.G. Sumenko. Αγγλο-ρωσικό λεξικό για την τεχνολογία της πληροφορίας. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Θέματα τεχνολογία πληροφοριών γενικά EN μέγεθος του διανύσματος διάδοσης ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

Κωδικός φακέλου διανυσματική μονάδα συνομιλητή- - [L.G. Sumenko. Αγγλο-ρωσικό λεξικό για την τεχνολογία της πληροφορίας. M.: State Enterprise TsNIIS, 2003.] Θέματα της τεχνολογίας πληροφοριών γενικά Ενότητα συνέλιξης κωδικών διανυσμάτων σχήματος EN ... Οδηγός Τεχνικού Μεταφραστή

Το μέτρο συντελεστή ενός μιγαδικού αριθμού είναι το μήκος του διανύσματος που αντιστοιχεί σε αυτόν τον αριθμό: . Το μέτρο ενός μιγαδικού αριθμού z συνήθως συμβολίζεται με | z | ή r. Έστω οι πραγματικοί αριθμοί τέτοιοι ώστε ένας μιγαδικός αριθμός (συνήθης σημειογραφία). Τότε Αριθμοί... Βικιπαίδεια

Ενότητα στα μαθηματικά, 1) M. (ή απόλυτη τιμή) μιγαδικού αριθμού z = x + iy είναι ο αριθμός ═ (η ρίζα λαμβάνεται με πρόσημο συν). Όταν παριστάνουμε έναν μιγαδικό αριθμό z σε τριγωνομετρική μορφή z = r(cos j + i sin j), ο πραγματικός αριθμός r είναι ίσος με... ... Μεγάλη Σοβιετική Εγκυκλοπαίδεια

Ομάδα Abelian με ένα δαχτυλίδι χειριστών. Το M είναι μια γενίκευση ενός (γραμμικού) διανυσματικού χώρου πάνω από το πεδίο K για την περίπτωση που το K αντικαθίσταται από κάποιο δακτύλιο. Ας δοθεί ένα δαχτυλίδι Α. Μια πρόσθετη ομάδα Abelian Mnaz. άφησε μια ενότητα, εάν οριστεί... ... Μαθηματική Εγκυκλοπαίδεια