Tunni "Logaritmide võrdlus" materjal algebra ühtseks riigieksamiks (GIA) ettevalmistamiseks (11. klass) teemal. Logaritmide põhiomadused Võrrelge logaritme erinevate aluste näidetega

peamised omadused.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identsed põhjused

Log6 4 + log6 9.

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks.

Logaritmide lahendamise näited

Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

Loomulikult on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x >

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Üleminek uuele vundamendile

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdsus tõene mis tahes arvu c korral, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Vaata ka:

Logaritmi põhiomadused

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga.

Logaritmide põhiomadused

Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kasutades omadusi 3.5 arvutame

2.

3.

4. Kus .

Näide 2. Leia x, kui

Näide 3. Olgu antud logaritmide väärtus

Arvuta log(x), kui

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt on siin identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt ilma muudatusteta).

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi , st. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse. See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil ​​on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga.

Logaritmi valemid. Logaritmide lahendused.

Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdsus tõene mis tahes arvu c korral, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes numbriavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhilogaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt omadusteks nimetada saab – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

1. logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
2. loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Vaata ka:

B-st lähtuv logaritm a-aluseks tähistab avaldist. Logaritmi arvutamine tähendab astme x () leidmist, mille juures võrdsus on täidetud

Logaritmi põhiomadused

Ülaltoodud omadusi on vaja teada, kuna peaaegu kõik logaritmidega seotud ülesanded ja näited lahendatakse nende põhjal. Ülejäänud eksootilised omadused saab tuletada nende valemitega matemaatiliste manipulatsioonide abil

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Logaritmide summa ja erinevuse valemit (3.4) arvutades kohtate üsna sageli. Ülejäänud on mõnevõrra keerulised, kuid paljude ülesannete puhul on need asendamatud keerukate avaldiste lihtsustamiseks ja nende väärtuste arvutamiseks.

Levinud logaritmide juhtumid

Mõned levinumad logaritmid on need, mille alus on isegi kümme, eksponentsiaalne või kaks.
Logaritmi kümne baasini nimetatakse tavaliselt kümnendlogaritmiks ja seda tähistatakse lihtsalt lg(x)-ga.

Salvestusest selgub, et põhitõed pole salvestusel kirjas. Näiteks

Naturaalne logaritm on logaritm, mille aluseks on astendaja (tähistatakse ln(x)-ga).

Eksponent on 2,718281828…. Eksponenti meeldejätmiseks võite uurida reeglit: eksponent on võrdne 2,7 ja kaks korda Leo Nikolajevitš Tolstoi sünniaastaga. Seda reeglit teades saate teada nii eksponendi täpset väärtust kui ka Lev Tolstoi sünnikuupäeva.

Ja veel üks oluline logaritm kahe aluse jaoks on tähistatud

Funktsiooni logaritmi tuletis võrdub ühega, mis on jagatud muutujaga

Integraal- ehk antiderivatiivne logaritm määratakse seosega

Antud materjalist piisab paljude logaritmide ja logaritmidega seotud ülesannete lahendamiseks. Materjali mõistmise hõlbustamiseks toon vaid mõned levinud näited kooli õppekavast ja ülikoolidest.

Logaritmide näited

Logaritmi avaldised

Näide 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Kasutades omadusi 3.5 arvutame

2.
Logaritmide erinevuse omaduse järgi saame

3.
Kasutades omadusi 3.5 leiame

4. Kus .

Näiliselt keerukat väljendit lihtsustatakse mitme reegli abil

Logaritmi väärtuste leidmine

Näide 2. Leia x, kui

Lahendus. Arvutamiseks rakendame viimase liikme 5 ja 13 omadusi

Paneme selle protokolli ja leinama

Kuna alused on võrdsed, võrdsustame avaldised

Logaritmid. Esimene tase.

Olgu logaritmide väärtus antud

Arvuta log(x), kui

Lahendus: võtame muutuja logaritmi, et kirjutada logaritm läbi selle liikmete summa

See on alles meie tutvumise algus logaritmide ja nende omadustega. Harjutage arvutusi, rikastage oma praktilisi oskusi – varsti vajate saadud teadmisi logaritmiliste võrrandite lahendamiseks. Olles tutvunud selliste võrrandite lahendamise põhimeetoditega, laiendame teie teadmisi teisele sama olulisele teemale - logaritmilised võrratused...

Logaritmide põhiomadused

Logaritme, nagu kõiki numbreid, saab igati liita, lahutada ja teisendada. Aga kuna logaritmid pole päris tavalised arvud, siis siin kehtivad reeglid, mida kutsutakse peamised omadused.

Neid reegleid pead kindlasti teadma – ilma nendeta ei saa lahendada ühtegi tõsist logaritmiülesannet. Lisaks on neid väga vähe – ühe päevaga saab kõik selgeks. Nii et alustame.

Logaritmide liitmine ja lahutamine

Vaatleme kahte samade alustega logaritmi: logaksi ja logaritmi. Seejärel saab neid liita ja lahutada ning:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Seega on logaritmide summa võrdne korrutise logaritmiga ja erinevus on võrdne jagatise logaritmiga. Pange tähele: võtmepunkt on siin identsed põhjused. Kui põhjused on erinevad, siis need reeglid ei tööta!

Need valemid aitavad teil arvutada logaritmilise avaldise isegi siis, kui selle üksikuid osi ei arvestata (vt õppetundi "Mis on logaritm"). Vaadake näiteid ja vaadake:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log6 4 + log6 9.

Kuna logaritmidel on samad alused, kasutame summa valemit:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log2 48 − log2 3.

Alused on samad, kasutame erinevuse valemit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log3 135 − log3 5.

Jällegi on alused samad, seega on meil:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nagu näete, koosnevad algsed avaldised "halbadest" logaritmidest, mida eraldi ei arvutata. Kuid pärast teisendusi saadakse täiesti normaalsed arvud. Paljud testid põhinevad sellel faktil. Jah, ühtsel riigieksamil pakutakse testilaadseid väljendeid täie tõsidusega (mõnikord praktiliselt ilma muudatusteta).

Eksponenti väljavõtmine logaritmist

Teeme nüüd ülesande pisut keerulisemaks. Mis siis, kui logaritmi alus või argument on aste? Seejärel saab selle astme eksponendi logaritmi märgist välja võtta järgmiste reeglite järgi:

On lihtne näha, et viimane reegel järgib kahte esimest. Kuid parem on seda ikkagi meeles pidada - mõnel juhul vähendab see arvutuste mahtu märkimisväärselt.

Muidugi on kõik need reeglid mõttekad, kui järgitakse logaritmi ODZ-d: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Ja veel üks asi: õppige rakendama kõiki valemeid mitte ainult vasakult paremale, vaid ka vastupidi , st. Saate sisestada enne logaritmi märki olevad arvud logaritmi endasse.

Kuidas lahendada logaritme

See on see, mida kõige sagedamini nõutakse.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log7 496.

Vabaneme argumendi astmest, kasutades esimest valemit:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et nimetaja sisaldab logaritmi, mille alus ja argument on täpsed astmed: 16 = 24; 49 = 72. Meil ​​on:

Ma arvan, et viimane näide nõuab veidi selgitust. Kuhu kadusid logaritmid? Kuni viimase hetkeni töötame ainult nimetajaga. Esitasime seal seisva logaritmi aluse ja argumendi astmetena ning võtsime välja astendajad - saime “kolmekorruselise” murru.

Vaatame nüüd põhifraktsiooni. Lugeja ja nimetaja sisaldavad sama arvu: log2 7. Kuna log2 7 ≠ 0, saame murdosa vähendada - 2/4 jääb nimetajasse. Aritmeetika reeglite järgi saab nelja üle kanda lugejasse, mida ka tehti. Tulemuseks oli vastus: 2.

Üleminek uuele vundamendile

Rääkides logaritmide liitmise ja lahutamise reeglitest, rõhutasin konkreetselt, et need töötavad ainult samade alustega. Mis siis, kui põhjused on erinevad? Mis siis, kui need ei ole sama arvu täpsed astmed?

Appi tulevad uuele sihtasutusele ülemineku valemid. Sõnastame need teoreemi kujul:

Olgu antud logaritmi logaks. Siis on võrdsus tõene mis tahes arvu c korral, mille puhul c > 0 ja c ≠ 1:

Täpsemalt, kui seame c = x, saame:

Teisest valemist järeldub, et logaritmi alust ja argumenti saab vahetada, kuid sel juhul “pööratakse ümber” kogu avaldis, s.t. logaritm ilmub nimetajas.

Neid valemeid leidub tavalistes numbriavaldistes harva. Seda, kui mugavad need on, saab hinnata ainult logaritmiliste võrrandite ja võrratuste lahendamisel.

Siiski on probleeme, mida ei saa üldse lahendada peale uude sihtasutusse kolimise. Vaatame paari neist:

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log5 16 log2 25.

Pange tähele, et mõlema logaritmi argumendid sisaldavad täpseid võimsusi. Võtame välja näitajad: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Nüüd pöörame teist logaritmi ümber:

Kuna tegurite ümberkorraldamisel korrutis ei muutu, korrutasime rahulikult nelja ja kahega ning seejärel tegelesime logaritmidega.

Ülesanne. Leidke avaldise väärtus: log9 100 lg 3.

Esimese logaritmi alus ja argument on täpsed võimsused. Paneme selle kirja ja vabaneme indikaatoritest:

Nüüd vabaneme kümnendlogaritmist, liikudes uuele alusele:

Põhilogaritmiline identiteet

Sageli on lahendusprotsessis vaja esitada arv logaritmina antud baasile. Sel juhul aitavad meid järgmised valemid:

Esimesel juhul saab arvust n argumendi eksponendiks. Arv n võib olla absoluutselt ükskõik milline, sest see on lihtsalt logaritmi väärtus.

Teine valem on tegelikult parafraseeritud määratlus. Seda nimetatakse nii: .

Tegelikult, mis juhtub, kui arv b tõstetakse sellise astmeni, et sellele astmele vastav arv b annab arvu a? Täpselt nii: tulemuseks on sama arv a. Lugege see lõik uuesti hoolikalt läbi – paljud inimesed jäävad selle peale kinni.

Nagu uude baasi liikumise valemid, on ka põhilogaritmiline identiteet mõnikord ainus võimalik lahendus.

Ülesanne. Leidke väljendi tähendus:

Pange tähele, et log25 64 = log5 8 - lihtsalt võttis ruudu logaritmi baasist ja argumendist. Võttes arvesse sama baasiga võimsuste korrutamise reegleid, saame:

Kui keegi ei tea, siis see oli ühtse riigieksami tõeline ülesanne :)

Logaritmiline ühik ja logaritmiline null

Kokkuvõtteks annan kaks identiteeti, mida vaevalt omadusteks nimetada saab – pigem on need logaritmi definitsiooni tagajärjed. Need esinevad pidevalt probleemides ja tekitavad üllataval kombel probleeme isegi "edasijõudnud" õpilastele.

1. logaa = 1 on. Pidage üks kord meeles: selle aluse mis tahes aluse a logaritm on võrdne ühega.
2. loga 1 = 0 on. Alus a võib olla ükskõik milline, kuid kui argument sisaldab ühte, on logaritm võrdne nulliga! Sest a0 = 1 on definitsiooni otsene tagajärg.

See on kõik omadused. Harjutage kindlasti nende rakendamist! Laadige õppetunni alguses petuleht alla, printige see välja ja lahendage probleemid.

Alustame sellest ühe logaritmi omadused. Selle sõnastus on järgmine: ühtsuse logaritm on võrdne nulliga, see tähendab, logi a 1=0 mis tahes a>0 korral a≠1. Tõestus pole keeruline: kuna a 0 =1 mis tahes a korral, mis vastab ülaltoodud tingimustele a>0 ja a≠1, siis tuleneb logaritmi definitsioonist kohe ka tõestatav võrduslog a 1=0.

Toome näiteid vaadeldava omaduse rakendamisest: log 3 1=0, log1=0 ja .

Liigume edasi järgmise kinnisvara juurde: alusega võrdse arvu logaritm on võrdne ühega, see on, logi a a=1 kui a>0, a≠1. Tõepoolest, kuna a 1 =a iga a korral, siis logaritmi definitsiooni järgi log a a = 1.

Logaritmide selle omaduse kasutamise näideteks on võrrandid log 5 5=1, log 5.6 5.6 ja lne=1.

Näiteks log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 ja .

Kahe positiivse arvu korrutise logaritm x ja y on võrdne nende arvude logaritmide korrutisega: log a (x y)=log a x+log a y, a>0, a≠1. Tõestame korrutise logaritmi omadust. Kraadi omaduste tõttu a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, ja kuna põhilogaritmilise identiteedi järgi log a x =x ja log a y =y, siis log a x ·a log a y =x·y. Seega log a x+log a y =x·y, millest logaritmi definitsiooni järgi tuleneb tõestatav võrdsus.

Toome näiteid korrutise logaritmi omaduse kasutamisest: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 ja .

Korrutise logaritmi omadust saab üldistada positiivsete arvude x 1 , x 2 , …, x n lõpliku arvu n korrutisega kui log a (x 1 × 2 ·… × n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Seda võrdsust saab probleemideta tõestada.

Näiteks saab korrutise naturaallogaritmi asendada arvude 4, e ja kolme naturaallogaritmi summaga.

Kahe positiivse arvu jagatise logaritm x ja y on võrdne nende arvude logaritmide vahega. Jagatise logaritmi omadus vastab valemile kujul , kus a>0, a≠1, x ja y on mõned positiivsed arvud. Selle valemi kehtivus on tõestatud nagu ka korrutise logaritmi valem: kuna , siis logaritmi definitsiooni järgi.

Siin on näide selle logaritmi omaduse kasutamisest: .

Liigume edasi astme logaritmi omadus. Astme logaritm võrdub astendaja ja selle astme aluse mooduli logaritmi korrutisega. Kirjutame selle astme logaritmi omaduse valemina: log a b p =p·log a |b|, kus a>0, a≠1, b ja p on sellised arvud, et aste b p on mõistlik ja b p >0.

Kõigepealt tõestame selle omaduse positiivse b jaoks. Põhilogaritmiline identsus võimaldab esitada arvu b kui log a b, siis b p =(a log a b) p ja saadud avaldis on võimsuse omaduse tõttu võrdne p·log a b . Seega jõuame võrrandini b p =a p·log a b, millest logaritmi definitsiooni järgi järeldame, et log a b p =p·log a b.

Jääb üle tõestada see omadus negatiivne b. Siinkohal märgime, et negatiivse b avaldis log a b p on mõttekas ainult paarisaste p (kuna astme b p väärtus peab olema suurem kui null, muidu pole logaritmil mõtet) ja sel juhul b p =|b| lk. Siis b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, kust log a b p =p·log a |b| .

Näiteks, ja ln(-3)4 =4·ln|-3|=4·ln3.

See tuleneb eelmisest kinnistust logaritmi omadus juurest: n-nda juure logaritm võrdub murdosa 1/n korrutisega radikaalavaldise logaritmiga, see tähendab, , kus a>0, a≠1, n on ühest suurem naturaalarv, b>0.

Tõestus põhineb võrdusel (vt), mis kehtib iga positiivse b kohta, ja astme logaritmi omadusel: .

Siin on näide selle atribuudi kasutamisest: .

Nüüd tõestame valem uuele logaritmialusele liikumiseks lahke . Selleks piisab võrdsuse log c b=log a b·log c a kehtivuse tõestamisest. Põhilogaritmiline identiteet võimaldab meil esitada arvu b kui log a b, siis log c b=log c a log a b . Jääb üle kasutada astme logaritmi omadust: log c a log a b =log a b log c a. See tõestab võrdsust log c b=log a b·log c a, mis tähendab, et on tõestatud ka logaritmi uuele alusele ülemineku valem.

Toome paar näidet selle logaritmide omaduse kasutamisest: ja .

Uuele baasile liikumise valem võimaldab teil liikuda edasi logaritmidega, millel on "mugav" alus. Näiteks saab seda kasutada naturaal- või kümnendlogaritmidele liikumiseks, et saaksite logaritmi tabelist logaritmi väärtuse arvutada. Uuele logaritmialusele liikumise valem võimaldab mõnel juhul leida ka antud logaritmi väärtuse, kui on teada mõne logaritmi väärtused teiste alustega.

Sageli kasutatakse vormi c=b uuele logaritmialusele ülemineku valemi erijuhtu . See näitab, et log a b ja log b a – . Nt, .

Sageli kasutatakse ka valemit , mis on mugav logaritmi väärtuste leidmiseks. Oma sõnade kinnitamiseks näitame, kuidas seda saab kasutada vormi logaritmi väärtuse arvutamiseks. Meil on . Valemi tõestamiseks piisab, kui kasutada logaritmi a uuele alusele ülemineku valemit: .

Jääb üle tõestada logaritmide võrdlemise omadused.

Tõestame, et iga positiivse arvu b 1 ja b 2 korral on b 1 log a b 2 ja a>1 korral – ebavõrdsus log a b 1

Lõpuks jääb üle tõestada logaritmide loetletud omadustest viimane. Piirdugem selle esimese osa tõestusega, st tõestame, et kui a 1 >1, a 2 >1 ja a 1 1 on tõene log a 1 b>log a 2 b . Ülejäänud väited selle logaritmide omaduse kohta tõestatakse sarnase põhimõtte kohaselt.

Kasutame vastupidist meetodit. Oletame, et 1 >1, 2 >1 ja 1 puhul 1 on tõene log a 1 b≤log a 2 b . Logaritmide omaduste põhjal saab need võrratused ümber kirjutada kujul Ja vastavalt ja neist järeldub, et vastavalt log b a 1 ≤log b a 2 ja log b a 1 ≥log b a 2. Seejärel peavad samade alustega astmete omaduste järgi kehtima võrrandid b log b a 1 ≥b log b a 2 ja b log b a 1 ≥b log b a 2 ehk a 1 ≥a 2 . Nii jõudsime tingimusega a 1 vastuoluni

Bibliograafia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. ja teised Algebra ja analüüsi algus: Õpik üldharidusasutuste 10. - 11. klassile.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemaatika (käsiraamat tehnikumidesse astujatele).

Logaritmide väärtuste või logaritmi väärtuse võrdlemine teatud arvuga toimub kooli probleemide lahendamise praktikas mitte ainult iseseisva ülesandena. Logaritme tuleb võrrelda näiteks võrrandite ja võrratuste lahendamisel. Artikli materjalid (probleemid ja nende lahendused) on järjestatud põhimõttel „lihtsast keeruliseks“ ning neid saab kasutada nii selleteemalise õppetunni (tundide) ettevalmistamiseks ja läbiviimiseks, kui ka valikainete tundides. Tunnis käsitletavate ülesannete arv sõltub klassi tasemest ja selle erialast. Matemaatika edasijõudnute tundides saab seda materjali kasutada kahetunnises loengutunnis.

1. (Suuliselt.) Millised funktsioonid suurenevad ja millised vähenevad:

Kommenteeri. See harjutus on ettevalmistav harjutus.

2. (Suuliselt.)Võrdle nulliga:

Kommenteeri. Ülesande nr 2 lahendamisel saab kasutada nii logaritmilise funktsiooni omadusi kasutades logaritmilise funktsiooni graafikut kui ka järgmist kasulik omadus:

kui positiivsed arvud a ja b asuvad arvureal 1-st paremal või 1-st vasakul (st a>1 ja b>1 või 0 0 ;
kui positiivsed arvud a ja b asuvad arvu 1 (st 0) vastaskülgedel .

Näitame selle vara kasutust otsuses nr 2(a).

Alates funktsioonist y = log 7 t võrra suureneb R+, 10 > 7, siis log 7 10 > log 7 7, st log 7 10 > 1. Seega on positiivsed arvud sin3 ja log 7 10 arvu 1 vastaskülgedel. Seega log sin3 log 7 10< 0.

3. (Suuliselt.) Leidke arutlusviga:

Funktsioon y = lgt suureneb R + võrra, siis ,

Jagame viimase ebavõrdsuse mõlemad pooled . Saame, et 2 > 3.

Lahendus.

Positiivsed arvud ja 10 (logaritmi alus) asuvad 1 vastaskülgedel. See tähendab, et< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Suuliselt.) Võrrelge numbreid:

Kommenteeri.Ülesannete nr 4(a–c) lahendamisel kasutame logaritmifunktsiooni monotoonsuse omadust. Lahenduse nr 4(d) puhul kasutame omadust:

kui c > a >1, siis b>1 korral on ebavõrdsus log a b > log c b tõene.

Lahendus 4(d).

Alates 1< 5 < 7 и 13 >1, siis log 5 13 > log 7 13.

5. Võrdle numbreid logi 2 6 ja 2.

Lahendus.

Esimene viis (kasutades logaritmilise funktsiooni monotoonsust).

Funktsioon y = log 2 t võrra suureneb R+, 6 > 4. Niisiis, log 2 6 > log 2 4 Ja logi 2 5 > 2.

Teine meetod (erinevuse koostamine).

Teeme vahe tasa.

6. Võrdle numbreid Ja -1.

Funktsioon y= võrra väheneb R+ , 3 < 5. Значит, >Ja > -1 .

7. Võrdle numbreid Ja 3logi 8 26 .

Funktsioon y = log 2 t võrra suureneb R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Esimene viis.

Korrutame ebavõrdsuse mõlemad pooled 3-ga:

Funktsioon y = log 5 t võrra suureneb R+ , 27 > 25. Niisiis,

Teine viis.

Teeme vahe tasa
. Siit.

9. Võrrelge arve logi 4 26 Ja logi 6 17.

Hindame logaritme, võttes arvesse, et funktsioonid y = log 4 t ja y = log 6 t suurenedes R+:

Arvestades, et funktsioonid võrra vähenedes R+, meil on:

Tähendab,

Kommenteeri. Pakutud võrdlusmeetodit nimetatakse "sisestamise" meetod või "eraldamise" meetod(leiame neid kahte numbrit eraldava numbri 4).

11. Võrrelge arve logi 2 3 Ja logi 3 5.

Pange tähele, et mõlemad logaritmid on suuremad kui 1, kuid väiksemad kui 2.

Esimene viis. Proovime kasutada “eraldamise” meetodit. Võrdleme logaritme arvuga.

Teine meetod ( korrutamine naturaalarvuga).

Märkus 1. Sisu meetod “korrutades naturaalarvuga” on see, et me otsime naturaalarvu k, kui korrutada millega võrreldavad numbrid a Ja b saada need numbrid ka Ja kb et nende vahel on vähemalt üks täisarv.

Märkus 2. Ülaltoodud meetodi rakendamine võib olla väga töömahukas, kui võrreldavad numbrid on üksteisele väga lähedased.
Sel juhul võite proovida võrrelda "ühe lahutamise" meetod" Näitame seda järgmises näites.

12. Võrrelge arve logi 7 8 Ja logi 6 7.

Esimene viis (lahutage üks).

Võrreldavatest arvudest lahutage 1.

Esimeses ebavõrdsuses kasutasime tõsiasja, et

kui c > a > 1, siis b > 1 korral on ebavõrdsus log a b > log c b tõene.

Teises võrratuses – funktsiooni y = log a x monotoonsus.

Teine viis (Cauchy ebavõrdsuse rakendamine).

13. Võrrelge arve log 24 72 Ja logi 12 18.

14. Võrrelge arve log 20 80 Ja log 80 640.

Olgu log 2 5 = x. Märka seda x > 0.

Saame ebavõrdsuse.

Leiame ebavõrdsusele palju lahendusi, mis rahuldab tingimust x > 0.

Konstrueerime ebavõrdsuse mõlemad pooled ruudus (at x> 0 ebavõrdsuse mõlemad pooled on positiivsed). Meil on 9x2< 9x + 28.

Viimase võrratuse lahendite hulk on intervall.

Võttes arvesse, et x> 0, saame: .

Vastus: Ebavõrdsus on tõsi.

Probleemide lahendamise töötuba.

1. Võrrelge numbreid:

2. Järjesta numbrid kasvavas järjekorras:

3. Lahendage ebavõrdsus 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Kas number √2 lahendus sellele ebavõrdsusele? (Vastus:(–∞; log 2 3) ; number √2 on selle ebavõrdsuse lahendus.)

Järeldus.

Logaritmide võrdlemiseks on palju meetodeid. Selleteemaliste tundide eesmärk on õpetada navigeerima erinevates meetodites, valima ja rakendama igas konkreetses olukorras kõige ratsionaalsemat lahendust.

Matemaatika süvaõppega tundides saab selleteemalist materjali esitada loengu vormis. Selline õppetegevuse vorm eeldab, et loengumaterjal peab olema hoolikalt valitud, läbi töötatud ja seatud kindlasse loogilisse järjekorda. Märkmed, mida õpetaja tahvlile teeb, peavad olema läbimõeldud ja matemaatiliselt täpsed.

Praktilistes tundides on soovitav kinnistada loengumaterjali ja harjutada probleemide lahendamise oskusi. Töötoa eesmärk ei ole ainult omandatud teadmiste kinnistamine ja testimine, vaid ka laiendamine. Seetõttu peaksid ülesanded sisaldama erineva tasemega ülesandeid, alates kõige lihtsamatest kuni keerukamate ülesanneteni. Õpetaja tegutseb sellistel töötubadel konsultandina.

Kirjandus.

1. Galitsky M.L. ja teised algebra ja matemaatilise analüüsi kursuse süvendatud uurimine: meetod. soovitused ja õppematerjalid: Käsiraamat õpetajatele – M.: Haridus, 1986.
2. Ziv B.G., Goldich V.A. Didaktilised materjalid algebrast ja põhianalüüsist 10. klassile. – Peterburi: “CheRo-on-Neva”, 2003.
3. Litvinenko V.N., Mordkovitš A.G. Algmatemaatika töötuba. Algebra. Trigonomeetria: õppeväljaanne. – M.: Haridus, 1990.
4. Rjazanovski A.R. Algebra ja analüüsi algus: 500 matemaatikaülesannete lahendamise viisi ja meetodit koolilastele ja ülikoolidesse astujatele. – M.: Bustard, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V. Matemaatika. Võistlusülesanded algebras koos lahendustega. Osa 4. Logaritmvõrrandid, võrratused, süsteemid. Õpik.-3. väljaanne, ster.-M.: UNTsDO kirjastusosakond, 2003.
6. Sharygin I.F., Golubev V.I. Matemaatika valikkursus: Ülesannete lahendamine: Prok. toetus 11. klassile. keskkool – M.: Prosveštšenia, 1991.

Jaotises küsimuses, kuidas võrrelda logaritme millal....(+)? antud autori poolt Sõelu parim vastus on Või ei saa te seda ühele alusele taandada, vaid kasutage logaritmilise funktsiooni omadusi.
Kui logaritmilise funktsiooni alus on suurem kui 1, siis funktsioon suureneb ja x > 1 korral, mida väiksem on alus, seda kõrgemal graafik asub,
0 eest< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Kui logaritmi alus on suurem kui null ja väiksem kui 1, siis funktsioon väheneb,
Pealegi, kui x > 1, mida väiksem on alus, seda kõrgem on graafik,
0 eest< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
See selgub järgmiselt:

Vastus alates kõhn[guru]
Vähendage logaritmid samale alusele (näiteks naturaalarvuni) ja seejärel võrrelge.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b = Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b = -Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b = -Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b = Ln(16)/Ln(3); b>a.

Vastus alates Neuropatoloog[guru]
Kasutage uude baasi liikumiseks valemit: log(a)b=1/log(b)a.
Seejärel võrrelge sama alusega murdude, näiteks logaritmide nimetajaid.
Kahest samade lugejatega murdest on väiksema nimetajaga murd suurem.
Näiteks log(7)16 ja log(3)16
1/log(16)7 ja 1/log(16)3
Kuna log(16)7>log(16)3, siis 1/log(16)7< 1/log(16)3.