Prezentacija za lekciju "Usporedba logaritama" materijal za pripremu za Jedinstveni državni ispit (GIA) iz algebre (11. razred) na tu temu. Osnovna svojstva logaritama Usporedite logaritme s različitim bazama primjeri

glavna svojstva.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

identične osnove

Log6 4 + log6 9.

Sada malo zakomplicirajmo zadatak.

Primjeri rješavanja logaritama

Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x >

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Prijelaz na novi temelj

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Vidi također:

Osnovna svojstva logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dvostrukoj godini rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja.

Osnovna svojstva logaritama

Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

2.

3.

4. Gdje .

Primjer 2. Nađi x ako

Primjer 3. Neka je zadana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, ima ih vrlo malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam. To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom.

Logaritamske formule. Logaritmi primjeri rješenja.

Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log2 7. Budući da je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga je formula zapravo parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Zapravo, što se događa ako se broj b podigne na takvu potenciju da broj b na tu potenciju daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednijim” učenicima.

1. logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
2. loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Vidi također:

Logaritam od b na bazi a označava izraz. Izračunati logaritam znači pronaći potenciju x () pri kojoj je jednakost zadovoljena

Osnovna svojstva logaritma

Navedena svojstva potrebno je poznavati jer se gotovo svi zadaci i primjeri vezani uz logaritme rješavaju na temelju njih. Ostatak egzotičnih svojstava može se izvesti matematičkim manipulacijama s ovim formulama

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Kod izračunavanja formule za zbroj i razliku logaritama (3.4) često se susrećete. Ostali su donekle složeni, ali su u nizu zadataka nezamjenjivi za pojednostavljenje složenih izraza i izračunavanje njihovih vrijednosti.

Uobičajeni slučajevi logaritma

Neki od uobičajenih logaritama su oni kod kojih je baza čak deset, eksponencijalna ili dva.
Logaritam na bazi deset obično se naziva decimalni logaritam i jednostavno se označava s lg(x).

Na snimci se jasno vidi da u snimci nisu zapisane osnovne stvari. Na primjer

Prirodni logaritam je logaritam čija je baza eksponent (označen s ln(x)).

Eksponent je 2,718281828…. Da biste zapamtili eksponent, možete proučiti pravilo: eksponent je jednak 2,7 i dvostrukoj godini rođenja Lava Nikolajeviča Tolstoja. Poznavajući ovo pravilo, znat ćete i točnu vrijednost eksponenta i datum rođenja Lava Tolstoja.

I još jedan važan logaritam za bazu dva je označen sa

Derivacija logaritma funkcije jednaka je jedinici podijeljenoj s varijablom

Integralni ili antiderivacijski logaritam određen je odnosom

Zadani materijal dovoljan vam je za rješavanje široke klase zadataka vezanih uz logaritme i logaritme. Kako bih vam pomogao razumjeti gradivo, navest ću samo nekoliko uobičajenih primjera iz školskog programa i sa sveučilišta.

Primjeri za logaritme

Logaritamski izrazi

Primjer 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Koristeći svojstva 3.5 izračunavamo

2.
Po svojstvu razlike logaritama imamo

3.
Koristeći svojstva 3.5 nalazimo

4. Gdje .

Naizgled složeni izraz pojednostavljuje se u obliku pomoću niza pravila

Određivanje vrijednosti logaritma

Primjer 2. Nađi x ako

Riješenje. Za izračun primjenjujemo na posljednji izraz 5 i 13 svojstava

Stavili smo to u zapisnik i tugujemo

Budući da su baze jednake, izjednačavamo izraze

Logaritmi. Prva razina.

Neka je dana vrijednost logaritama

Izračunajte log(x) ako

Rješenje: Uzmimo logaritam varijable da zapišemo logaritam kroz zbroj njenih članova

Ovo je tek početak našeg upoznavanja s logaritmima i njihovim svojstvima. Vježbajte izračune, obogatite svoje praktične vještine - stečeno znanje uskoro će vam trebati za rješavanje logaritamskih jednadžbi. Nakon što smo proučili osnovne metode rješavanja takvih jednadžbi, proširit ćemo vaše znanje na još jednu jednako važnu temu - logaritamske nejednadžbe...

Osnovna svojstva logaritama

Logaritmi se, kao i svi brojevi, mogu zbrajati, oduzimati i transformirati na sve načine. Ali budući da logaritmi nisu baš obični brojevi, postoje ovdje pravila, koja se zovu glavna svojstva.

Ova pravila svakako morate znati - bez njih se ne može riješiti niti jedan ozbiljan logaritamski problem. Osim toga, ima ih vrlo malo - sve možete naučiti u jednom danu. Pa počnimo.

Zbrajanje i oduzimanje logaritama

Razmotrimo dva logaritma s istim bazama: logax i logay. Zatim se mogu zbrajati i oduzimati, i:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Dakle, zbroj logaritama jednak je logaritmu umnoška, ​​a razlika je jednaka logaritmu kvocijenta. Imajte na umu: ključna točka ovdje je identične osnove. Ako su razlozi drugačiji, ova pravila ne rade!

Ove formule će vam pomoći izračunati logaritamski izraz čak i kada se ne uzimaju u obzir njegovi pojedinačni dijelovi (pogledajte lekciju "Što je logaritam"). Pogledajte primjere i pogledajte:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log6 4 + log6 9.

Budući da logaritmi imaju iste baze, koristimo formulu zbroja:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log2 48 − log2 3.

Osnove su iste, koristimo formulu razlike:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Zadatak. Odredi vrijednost izraza: log3 135 − log3 5.

Opet su baze iste, tako da imamo:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Kao što vidite, izvorni izrazi sastoje se od "loših" logaritama, koji se ne izračunavaju zasebno. No nakon transformacija dobivaju se posve normalni brojevi. Mnogi testovi temelje se na ovoj činjenici. Da, izrazi slični testovima nude se ozbiljno (ponekad bez ikakvih promjena) na Jedinstvenom državnom ispitu.

Izdvajanje eksponenta iz logaritma

Sada malo zakomplicirajmo zadatak. Što ako je baza ili argument logaritma potencija? Tada se eksponent ovog stupnja može izvaditi iz znaka logaritma prema sljedećim pravilima:

Lako je vidjeti da posljednje pravilo slijedi prva dva. Ali bolje ga je ipak zapamtiti - u nekim će slučajevima to značajno smanjiti količinu izračuna.

Naravno, sva ova pravila imaju smisla ako se promatra ODZ logaritma: a > 0, a ≠ 1, x > 0. I još nešto: naučite primijeniti sve formule ne samo slijeva na desno, već i obrnuto , tj. Brojeve ispred znaka logaritma možete unijeti u sam logaritam.

Kako riješiti logaritme

To je ono što se najčešće traži.

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log7 496.

Riješimo se stupnja u argumentu pomoću prve formule:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da nazivnik sadrži logaritam čija su baza i argument točne potencije: 16 = 24; 49 = 72. Imamo:

Mislim da posljednji primjer zahtijeva pojašnjenje. Gdje su nestali logaritmi? Do zadnjeg trenutka radimo samo s nazivnikom. Predstavili smo bazu i argument logaritma koji tamo stoji u obliku potencija i izvadili eksponente - dobili smo "trokatni" razlomak.

Sada pogledajmo glavnu frakciju. Brojnik i nazivnik sadrže isti broj: log2 7. Budući da je log2 7 ≠ 0, možemo smanjiti razlomak - 2/4 će ostati u nazivniku. Prema aritmetičkim pravilima, četvorka se može prenijeti u brojnik, što je i učinjeno. Rezultat je bio odgovor: 2.

Prijelaz na novi temelj

Govoreći o pravilima zbrajanja i oduzimanja logaritama, posebno sam naglasio da ona rade samo s istim bazama. Što ako su razlozi drugačiji? Što ako nisu točne potencije istog broja?

Formule za prijelaz na novi temelj dolaze u pomoć. Formulirajmo ih u obliku teorema:

Neka je dan logaritam logax. Tada za bilo koji broj c takav da je c > 0 i c ≠ 1 vrijedi jednakost:

Konkretno, ako postavimo c = x, dobivamo:

Iz druge formule proizlazi da se baza i argument logaritma mogu zamijeniti, ali se u ovom slučaju cijeli izraz “okreće”, tj. logaritam se pojavljuje u nazivniku.

Ove se formule rijetko nalaze u običnim numeričkim izrazima. Koliko su zgodni moguće je procijeniti samo pri rješavanju logaritamskih jednadžbi i nejednadžbi.

Međutim, postoje problemi koji se uopće ne mogu riješiti osim prelaskom na novi temelj. Pogledajmo nekoliko od njih:

Zadatak. Pronađite vrijednost izraza: log5 16 log2 25.

Imajte na umu da argumenti oba logaritma sadrže točne potencije. Izvadimo indikatore: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sada "obrnimo" drugi logaritam:

Budući da se umnožak ne mijenja preslagivanjem faktora, mirno smo pomnožili četiri i dva, a zatim se pozabavili logaritmima.

Zadatak. Odredite vrijednost izraza: log9 100 lg 3.

Baza i argument prvog logaritma su egzaktne potencije. Zapišimo ovo i riješimo se indikatora:

Sada se riješimo decimalnog logaritma prelaskom na novu bazu:

Osnovni logaritamski identitet

Često je u procesu rješavanja potrebno predstaviti broj kao logaritam zadane baze. U ovom slučaju pomoći će nam sljedeće formule:

U prvom slučaju broj n postaje eksponent u argumentu. Broj n može biti apsolutno bilo što, jer je samo logaritamska vrijednost.

Druga je formula zapravo parafrazirana definicija. Tako se zove: .

Zapravo, što se događa ako se broj b podigne na takvu potenciju da broj b na tu potenciju daje broj a? Tako je: rezultat je isti broj a. Ponovno pažljivo pročitajte ovaj odlomak - mnogi ljudi zapnu na njemu.

Poput formula za prelazak na novu bazu, osnovni logaritamski identitet ponekad je jedino moguće rješenje.

Zadatak. Pronađite značenje izraza:

Imajte na umu da je log25 64 = log5 8 - jednostavno uzeo kvadrat iz baze i argumenta logaritma. Uzimajući u obzir pravila množenja potencije s istom bazom, dobivamo:

Ako netko ne zna, ovo je bio pravi zadatak s Jedinstvenog državnog ispita :)

Logaritamska jedinica i logaritamska nula

U zaključku ću dati dva identiteta koja se teško mogu nazvati svojstvima - prije su posljedice definicije logaritma. Stalno se pojavljuju u problemima i, začudo, stvaraju probleme čak i “naprednijim” učenicima.

1. logaa = 1 je. Zapamtite jednom zauvijek: logaritam bilo koje baze a same te baze jednak je jedan.
2. loga 1 = 0 je. Baza a može biti bilo što, ali ako argument sadrži jedinicu, logaritam je jednak nuli! Budući da je a0 = 1 izravna posljedica definicije.

To su sva svojstva. Svakako ih vježbajte u praksi! Preuzmite varalicu na početku lekcije, isprintajte je i riješite zadatke.

Počnimo s svojstva logaritma od jedan. Njegova formulacija je sljedeća: logaritam jedinice jednak je nuli, tj. log a 1=0 za bilo koji a>0, a≠1. Dokaz nije težak: budući da je a 0 =1 za bilo koje a koje zadovoljava gornje uvjete a>0 i a≠1, tada jednakost log a 1=0 koju treba dokazati slijedi neposredno iz definicije logaritma.

Navedimo primjere primjene razmatranog svojstva: log 3 1=0, log1=0 i .

Prijeđimo na sljedeće svojstvo: logaritam broja jednakog osnovici jednak je jedan, to je, log a a=1 za a>0, a≠1. Doista, budući da je a 1 =a za bilo koje a, tada prema definiciji logaritma log a a=1.

Primjeri korištenja ovog svojstva logaritama su jednakosti log 5 5=1, log 5,6 5,6 i lne=1.

Na primjer, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 i .

Logaritam umnoška dvaju pozitivnih brojeva x i y jednaki su umnošku logaritama ovih brojeva: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Dokažimo svojstvo logaritma umnoška. Zbog svojstava stupnja a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, a kako je po glavnom logaritamskom identitetu log a x =x i log a y =y, onda je log a x ·a log a y =x·y. Dakle, log a x+log a y =x·y, iz čega, po definiciji logaritma, slijedi jednakost koja se dokazuje.

Pokažimo primjere korištenja svojstva logaritma umnoška: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 i .

Svojstvo logaritma umnoška može se generalizirati na umnožak konačnog broja n pozitivnih brojeva x 1 , x 2 , …, x n kao log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ova se jednakost može bez problema dokazati.

Na primjer, prirodni logaritam umnoška može se zamijeniti zbrojem tri prirodna logaritma brojeva 4, e i.

Logaritam kvocijenta dvaju pozitivnih brojeva x i y jednak je razlici logaritama tih brojeva. Svojstvo logaritma kvocijenta odgovara formuli oblika , gdje su a>0, a≠1, x i y neki pozitivni brojevi. Dokazana je valjanost ove formule kao i formule za logaritam umnoška: budući da , zatim po definiciji logaritma.

Evo primjera korištenja ovog svojstva logaritma: .

Prijeđimo na svojstvo logaritma potencije. Logaritam stupnja jednak je umnošku eksponenta i logaritma modula baze tog stupnja. Zapišimo ovo svojstvo logaritma potencije kao formulu: log a b p =p·log a |b|, gdje su a>0, a≠1, b i p brojevi takvi da stupanj b p ima smisla, a b p >0.

Prvo dokazujemo ovo svojstvo za pozitivno b. Osnovni logaritamski identitet omogućuje nam da broj b predstavimo kao log a b , tada je b p =(a log a b) p , a rezultirajući izraz, zbog svojstva potencije, jednak je a p·log a b . Tako dolazimo do jednakosti b p =a p·log a b iz koje po definiciji logaritma zaključujemo da je log a b p =p·log a b.

Ostaje dokazati ovo svojstvo za negativ b. Ovdje napominjemo da izraz log a b p za negativno b ima smisla samo za parne eksponente p (budući da vrijednost stupnja b p mora biti veća od nule, inače logaritam neće imati smisla), au ovom slučaju b p =|b| str. Zatim b p =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, odakle je log a b p =p·log a |b| .

Na primjer, i ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Iz prethodnog svojstva proizlazi svojstvo logaritma iz korijena: logaritam n-tog korijena jednak je umnošku razlomka 1/n s logaritmom radikalnog izraza, tj. , gdje je a>0, a≠1, n prirodni broj veći od jedan, b>0.

Dokaz se temelji na jednakosti (vidi), koja vrijedi za svaki pozitivan b, i svojstvu logaritma potencije: .

Evo primjera korištenja ovog svojstva: .

Sada dokažimo formula za pomicanje na novu bazu logaritma tip . Za to je dovoljno dokazati valjanost jednakosti log c b=log a b·log c a. Osnovni logaritamski identitet omogućuje nam da broj b predstavimo kao log a b , tada log c b=log c a log a b . Ostaje koristiti svojstvo logaritma stupnja: log c a log a b =log a b log c a. Time je dokazana jednakost log c b=log a b·log c a, što znači da je dokazana i formula za prijelaz na novu bazu logaritma.

Pokažimo nekoliko primjera korištenja ovog svojstva logaritama: i .

Formula za prelazak na novu bazu omogućuje vam prelazak na rad s logaritmima koji imaju "prikladnu" bazu. Na primjer, može se koristiti za odlazak na prirodne ili decimalne logaritme tako da možete izračunati vrijednost logaritma iz tablice logaritama. Formula za prelazak na novu bazu logaritma također omogućuje, u nekim slučajevima, pronalaženje vrijednosti zadanog logaritma kada su poznate vrijednosti nekih logaritama s drugim bazama.

Često se koristi poseban slučaj formule za prijelaz na novu bazu logaritma za c=b oblika . Ovo pokazuje da su log a b i log b a – . npr. .

Često se koristi i formula , što je zgodno za pronalaženje vrijednosti logaritma. Da bismo potvrdili naše riječi, pokazat ćemo kako se može koristiti za izračunavanje vrijednosti logaritma oblika . Imamo . Da bismo dokazali formulu dovoljno je upotrijebiti formulu za prijelaz na novu bazu logaritma a: .

Ostaje dokazati svojstva usporedbe logaritama.

Dokažimo da za bilo koje pozitivne brojeve b 1 i b 2, b 1 log a b 2 , a za a>1 – nejednakost log a b 1

Na kraju preostaje dokazati posljednje od navedenih svojstava logaritama. Ograničimo se na dokaz njegovog prvog dijela, odnosno dokazat ćemo da ako je a 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 je istina log a 1 b>log a 2 b . Preostale tvrdnje ovog svojstva logaritama dokazuju se prema sličnom principu.

Upotrijebimo suprotnu metodu. Pretpostavimo da je za a 1 >1, a 2 >1 i a 1 1 je istina log a 1 b≤log a 2 b . Na temelju svojstava logaritama, ove se nejednakosti mogu prepisati kao I respektivno, a iz njih slijedi da je log b a 1 ≤log b a 2 odnosno log b a 1 ≥log b a 2. Tada prema svojstvima potencija s istim bazama moraju vrijediti jednakosti b log b a 1 ≥b log b a 2 i b log b a 1 ≥b log b a 2 , odnosno a 1 ≥a 2 . Tako smo došli do kontradikcije uvjeta a 1

Bibliografija.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. i dr. Algebra i počeci analize: Udžbenik za 10. - 11. razrede općeobrazovnih ustanova.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (priručnik za polaznike tehničkih škola).

Usporedba vrijednosti logaritma ili vrijednosti logaritma s određenim brojem javlja se u praksi rješavanja školskih problema ne samo kao samostalan zadatak. Morate usporediti logaritme, na primjer, kada rješavate jednadžbe i nejednadžbe. Materijali članka (problemi i njihova rješenja) raspoređeni su po principu "od jednostavnog prema složenom" i mogu se koristiti za pripremu i izvođenje lekcije (lekcija) na ovu temu, kao iu izbornoj nastavi. Broj zadataka koji se razmatraju u lekciji ovisi o razini razreda i njegovom specijaliziranom području. U naprednoj nastavi matematike ovaj se materijal može koristiti za dvosatnu nastavu.

1. (Oralno.) Koje su funkcije rastuće, a koje opadajuće:

Komentar. Ova vježba je pripremna vježba.

2. (Oralno.)Usporedi s nulom:

Komentar. Prilikom rješavanja vježbe br. 2 možete koristiti kako svojstva logaritamske funkcije pomoću grafa logaritamske funkcije, tako i sljedeće korisno svojstvo:

ako pozitivni brojevi a i b leže na brojevnoj liniji desno od 1 ili lijevo od 1 (to jest, a>1 i b>1 ili 0 0 ;
ako pozitivni brojevi a i b leže na brojevnoj crti sa suprotnih strana od 1 (odnosno 0 .

Pokažimo korištenje ovog svojstva u odluci br. 2(a).

Budući da funkcija y = log 7 t povećava se za R+, 10 > 7, tada je log 7 10 > log 7 7, odnosno log 7 10 > 1. Dakle, pozitivni brojevi sin3 i log 7 10 leže na suprotnim stranama od 1. Dakle, log sin3 log 7 10< 0.

3. (Oralno.) Pronađite pogrešku u zaključivanju:

Funkcija y = lgt povećava se za R + , tada ,

Podijelimo obje strane posljednje nejednakosti s . Dobili smo da je 2 > 3.

Riješenje.

Pozitivni brojevi i 10 (osnova logaritma) leže na suprotnim stranama od 1. To znači da< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Oralno.) Usporedite brojke:

Komentar. Pri rješavanju zadataka br. 4(a–c) koristimo svojstvo monotonosti logaritamske funkcije. Za rješenje br. 4(d) koristimo svojstvo:

ako je c > a >1, tada za b>1 vrijedi nejednakost log a b > log c b.

Rješenje 4(d).

Od 1< 5 < 7 и 13 >1, zatim log 5 13 > log 7 13.

5. Usporedite brojeve dnevnik 2 6 i 2.

Riješenje.

Prvi način (koristeći monotonost logaritamske funkcije).

Funkcija y = log 2 t povećava se za R+, 6 > 4. Dakle, log 2 6 > log 2 4 I dnevnik 2 5 > 2.

Drugi način (sastavljanje razlike).

Nadoknadimo razliku.

6. Usporedite brojeve I -1.

Funkcija y = smanjuje se za R+ , 3 < 5. Значит, >I > -1 .

7. Usporedite brojeve I 3log 8 26 .

Funkcija y = log 2 t povećava se za R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Prvi način.

Pomnožimo obje strane nejednakosti s 3:

Funkcija y = log 5 t povećava se za R+ , 27 > 25. Dakle,

Drugi način.

Nadoknadimo razliku
. Odavde.

9. Usporedi zapisnik brojeva 4 26 I zapisnik 6 17.

Procijenimo logaritme, uzimajući u obzir da funkcije y = log 4 t i y = log 6 t rastu za R+:

S obzirom na to da funkcije smanjujući se za R+, imamo:

Sredstva,

Komentar. Predložena metoda usporedbe naziva se metoda “umetanja”. ili metoda “odvajanja”.(našli smo broj 4 koji razdvaja ova dva broja).

11. Usporedi brojeve log 2 3 I zapisnik 3 5.

Imajte na umu da su oba logaritma veća od 1, ali manja od 2.

Prvi način. Pokušajmo upotrijebiti metodu "odvajanja". Usporedimo logaritme s brojem.

Druga metoda ( množenje prirodnim brojem).

Napomena 1. Suština metoda “množenje prirodnim brojem” je da tražimo prirodan broj k, kada se pomnoži s kojim uspoređenim brojevima a I b dobiti ove brojeve ka I kb da između njih postoji barem jedan cijeli broj.

Napomena 2. Implementacija gornje metode može biti vrlo naporna ako su brojevi koji se uspoređuju vrlo blizu jedan drugom.
U ovom slučaju možete pokušati s usporedbom metoda “oduzimanja jedan”" Pokažimo to na sljedećem primjeru.

12. Usporedi zapisnik brojeva 7 8 I zapisnik 6 7.

Prvi način (oduzmi jedan).

Oduzmite 1 od brojeva koji se uspoređuju.

U prvoj nejednakosti koristili smo činjenicu da

ako je c > a > 1, tada za b > 1 vrijedi nejednakost log a b > log c b.

U drugoj nejednadžbi – monotonost funkcije y = log a x.

Drugi način (primjena Cauchyjeve nejednakosti).

13. Usporedi brojeve log 24 72 I dnevnik 12 18.

14. Usporedi brojeve log 20 80 I zapisnik 80 640.

Neka je log 2 5 = x. primijeti da x > 0.

Dobivamo nejednakost.

Nađimo mnoga rješenja nejednakosti, koji zadovoljava uvjet x > 0.

Konstruirajmo obje strane nejednakosti na kvadrat (na x> 0 obje strane nejednakosti su pozitivne). Imamo 9x 2< 9x + 28.

Skup rješenja posljednje nejednadžbe je interval.

S obzirom na to x> 0, dobivamo: .

Odgovor: Nejednakost je istinita.

Radionica rješavanja problema.

1. Usporedite brojeve:

2. Poredajte brojeve uzlaznim redoslijedom:

3. Riješite nejednadžbu 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Je li broj √2 rješenje ove nejednakosti? (Odgovor:(–∞; log 2 3) ; broj √2 je rješenje ove nejednakosti.)

Zaključak.

Postoje mnoge metode za usporedbu logaritama. Svrha lekcija na ovu temu je naučiti se snalaziti u različitim metodama, odabrati i primijeniti najracionalnije rješenje u svakoj konkretnoj situaciji.

U razredima s produbljenim proučavanjem matematike gradivo o ovoj temi može se prezentirati u obliku predavanja. Ovaj oblik obrazovne djelatnosti podrazumijeva da se nastavni materijal pažljivo bira, razrađuje i slaže u određeni logički slijed. Bilješke koje učitelj pravi na ploči moraju biti promišljene i matematički točne.

Preporučljivo je učvrstiti gradivo s predavanja i uvježbati vještine rješavanja problema na praktičnoj nastavi. Svrha radionice nije samo učvrstiti i provjeriti stečeno znanje, već ga i proširiti. Stoga zadaci trebaju sadržavati zadatke različitih razina, od najjednostavnijih zadataka do zadataka povećane složenosti. Učitelj na ovakvim radionicama ima ulogu savjetnika.

Književnost.

1. Galitsky M.L. i dr. Produbljeno proučavanje tečaja algebre i matematičke analize: Metoda. preporuke i nastavni materijali: Priručnik za nastavnike – M.: Obrazovanje, 1986.
2. Ziv B.G., Goldich V.A. Didaktički materijali iz algebre i osnove analize za 10. razred. – Sankt Peterburg: “CheRo-on-Neva”, 2003.
3. Litvinenko V.N., Mordkovich A.G. Radionica elementarne matematike. Algebra. Trigonometrija: Edukativna publikacija. – M.: Obrazovanje, 1990.
4. Rjazanovski A.R. Algebra i počeci analize: 500 načina i metoda rješavanja matematičkih problema za školsku djecu i one koji upisuju fakultete. – M.: Bustard, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V. Matematika. Natjecateljski zadaci iz algebre s rješenjima. Dio 4. Logaritamske jednadžbe, nejednadžbe, sustavi. Udžbenik.-3. izdanje, ster.-M.: Izdavački odjel UNTsDO-a, 2003.
6. Sharygin I.F., Golubev V.I. Izborni kolegij iz matematike: Rješavanje zadataka: Proc. dodatak za 11. razred. srednja škola – M.: Prosveščenie, 1991.

U odjeljku o pitanju kako usporediti logaritme kada....(+)? dao autor Prosijati najbolji odgovor je Ili ga ne možete svesti na jednu bazu, već koristiti svojstva logaritamske funkcije.
Ako je baza logaritamske funkcije veća od 1, tada funkcija raste, a za x > 1, što je baza manja, to se graf nalazi više,
za 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Ako je baza logaritma veća od nule i manja od 1, tada je funkcija opadajuća,
Štoviše, za x > 1, što je manja baza, to je graf viši,
za 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Ispast će ovako:

Odgovor od mršav[guru]
Svedite logaritme na istu bazu (na primjer, na prirodni broj), a zatim usporedite.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Odgovor od Neuropatolog[guru]
Za prelazak na novu bazu upotrijebite formulu: log(a)b=1/log(b)a.
Zatim usporedite nazivnike razlomaka poput logaritama s istom bazom.
Od dvaju razlomaka s istim brojnicima veći je razlomak s manjim nazivnikom.
Na primjer, log(7)16 i log(3)16
1/log(16)7 i 1/log(16)3
Budući da je log(16)7>log(16)3, tada je 1/log(16)7< 1/log(16)3.