Određivanje ranga. Rang matrice

Neka je dana neka matrica:

.

Odaberimo u ovoj matrici proizvoljni nizovi i proizvoljni stupci
. Zatim odrednica reda, sastavljen od elemenata matrice
, koji se nalazi na sjecištu odabranih redaka i stupaca, naziva se minor matrica th reda
.

Definicija 1.13. Rang matrice
je najveći red minora koji nije nula ove matrice.

Da bi se izračunao rang matrice, treba uzeti u obzir sve njezine minore najnižeg reda i, ako je barem jedan od njih različit od nule, prijeći na razmatranje minora najvišeg reda. Ovaj pristup određivanju ranga matrice naziva se granična metoda (ili metoda graničnih minora).

Problem 1.4. Metodom obrubljivanja minora odredite rang matrice
.

.

Razmotrite rubove prvog reda, na primjer,
. Zatim prelazimo na razmatranje rubova drugog reda.

Na primjer,
.

Na kraju, analizirajmo obrub trećeg reda.

.

Dakle, najviši red minora koji nije nula je 2, dakle
.

Prilikom rješavanja zadatka 1.4 možete primijetiti da je broj rubnih minora drugog reda različit od nule. U tom smislu vrijedi sljedeći koncept.

Definicija 1.14. Bazni minor matrice je bilo koji minor različit od nule čiji je poredak jednak rangu matrice.

Teorem 1.2.(Manji teorem o bazi). Osnovni redovi (bazni stupci) su linearno neovisni.

Primijetite da su retci (stupci) matrice linearno ovisni ako i samo ako se barem jedan od njih može prikazati kao linearna kombinacija ostalih.

Teorem 1.3. Broj linearno nezavisnih redaka matrice jednak je broju linearno nezavisnih stupaca matrice i jednak je rangu matrice.

Teorem 1.4.(Potreban i dovoljan uvjet da determinanta bude jednaka nuli). Kako bi se odrednica -ti red bio jednak nuli, potrebno je i dovoljno da njegovi redovi (stupci) budu linearno ovisni.

Izračunavanje ranga matrice na temelju njene definicije je previše glomazno. Ovo postaje posebno važno za matrice visokog reda. S tim u vezi, u praksi se rang matrice izračunava na temelju primjene teorema 10.2 - 10.4, kao i korištenjem koncepata ekvivalencije matrice i elementarnih transformacija.

Definicija 1.15. Dvije matrice
I nazivaju se ekvivalentnima ako su im rangovi jednaki, tj.
.

Ako matrice
I su ekvivalentni, onda imajte na umu
 .

Teorem 1.5. Rang matrice se ne mijenja zbog elementarnih transformacija.

Elementarne matrične transformacije ćemo nazvati
bilo koja od sljedećih operacija na matrici:

Zamjena redaka stupcima i stupaca odgovarajućim redovima;

Preuređivanje redaka matrice;

Precrtavanje linije čiji su svi elementi nula;

Množenje niza brojem koji nije nula;

Dodavanje elementima jednog retka odgovarajućih elemenata drugog retka pomnoženih s istim brojem
.

Korolar teorema 1.5. Ako je matrica
dobiven iz matrice korištenjem konačnog broja elementarnih transformacija, zatim matrice
I su ekvivalentni.

Kada se izračunava rang matrice, potrebno ju je svesti na trapezoidni oblik pomoću konačnog broja elementarnih transformacija.

Definicija 1.16. Trapezoidnim ćemo nazvati oblik matričnog prikaza kada u rubnom minoru najvišeg reda različitog od nule svi elementi ispod dijagonalnih nestaju. Na primjer:

.

Ovdje
, elementi matrice
ići na nulu. Tada će oblik prikaza takve matrice biti trapezoidan.

U pravilu se Gaussovim algoritmom matrice svode na trapezoidni oblik. Ideja Gaussovog algoritma je da se množenjem elemenata prvog retka matrice s odgovarajućim faktorima postiže da svi elementi prvog stupca koji se nalaze ispod elementa
, pretvorio bi se u nulu. Zatim, množenjem elemenata drugog stupca s odgovarajućim faktorima, osiguravamo da svi elementi drugog stupca koji se nalaze ispod elementa
, pretvorio bi se u nulu. Zatim nastavite na isti način.

Problem 1.5. Odredite rang matrice reducirajući je na trapezoidni oblik.

.

Kako biste lakše koristili Gaussov algoritam, možete zamijeniti prvi i treći red.








.

Očito je da ovdje
. Međutim, kako biste rezultat doveli u elegantniji oblik, možete nastaviti transformirati stupce.










.

Definicija. Rang matrice je najveći broj linearno neovisnih redaka koji se smatraju vektorima.

Teorem 1 o rangu matrice. Rang matrice naziva se maksimalni red minora matrice različitog od nule.

Već smo govorili o pojmu minora u lekciji o odrednicama, a sada ćemo ga generalizirati. Uzmimo određeni broj redaka i određeni broj stupaca u matrici, i ovo “koliko” bi trebalo biti manje od broja redaka i stupaca matrice, a za retke i stupce ovo “koliko” bi trebalo biti isti broj. Tada će na sjecištu koliko redaka i koliko stupaca biti matrica nižeg reda od naše originalne matrice. Determinanta je matrica i bit će minor k-tog reda ako se spomenuti “neki” (broj redaka i stupaca) označi s k.

Definicija. manji ( r+1) red, unutar kojeg se nalazi odabrani minor r-th red se naziva granični za dani minor.

Dvije najčešće korištene metode su nalaženje ranga matrice. Ovaj način graničenja maloljetnika I metoda elementarnih transformacija(Gaussova metoda).

Kada se koristi metoda graničnih minora, koristi se sljedeći teorem.

Teorem 2 o rangu matrice. Ako se minor može sastaviti od matričnih elemenata r reda, nije jednak nuli, tada je rang matrice jednak r.

Kada se koristi metoda elementarne transformacije, koristi se sljedeće svojstvo:

Ako se elementarnim transformacijama dobije trapezna matrica koja je ekvivalentna izvornoj, tada rang ove matrice je broj redaka u njemu osim redaka koji se u potpunosti sastoje od nula.

Određivanje ranga matrice metodom graničnih minora

Okružujući minor je minor višeg reda u odnosu na dani ako taj minor višeg reda sadrži dati minor.

Na primjer, s obzirom na matricu

Uzmimo maloljetnika

Granični maloljetnici bit će:

Algoritam za pronalaženje ranga matrice Sljedeći.

1. Odredi minore drugog reda koji nisu jednaki nuli. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada će rang matrice biti jednak jedan ( r =1 ).

2. Ako postoji barem jedan minor drugog reda koji nije jednak nuli, tada sastavljamo rubne minore trećeg reda. Ako su svi rubni minori trećeg reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak dva ( r =2 ).

3. Ako barem jedan od rubnih minora trećeg reda nije jednak nuli, tada sastavljamo rubne minore. Ako su svi rubni minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je rang matrice jednak tri ( r =2 ).

4. Nastavite na ovaj način sve dok veličina matrice dopušta.

Primjer 1. Odredite rang matrice

.

Riješenje. Minor drugog reda .

Obrubimo ga. Bit će četiri granična manje osobe:

,

,

Dakle, svi rubni minori trećeg reda jednaki su nuli, stoga je rang ove matrice jednak dva ( r =2 ).

Primjer 2. Odredite rang matrice

Riješenje. Rang ove matrice je jednak 1, budući da su svi minori drugog reda ove matrice jednaki nuli (u ovom, kao iu slučajevima graničnih minora u dva sljedeća primjera, dragi studenti se pozivaju da provjere za sami, možda koristeći pravila za izračunavanje determinanti), a među minorima prvog reda, odnosno među elementima matrice, ima onih različitih od nule.

Primjer 3. Odredite rang matrice

Riješenje. Minor drugog reda ove matrice je, a svi minori trećeg reda ove matrice jednaki su nuli. Prema tome, rang ove matrice je dva.

Primjer 4. Odredite rang matrice

Riješenje. Rang ove matrice je 3, budući da je jedini minor trećeg reda ove matrice 3.

Određivanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija (Gaussova metoda)

Već u primjeru 1 jasno je da zadatak određivanja ranga matrice metodom graničnih minora zahtijeva izračun velikog broja determinanti. Međutim, postoji način da se količina računanja svede na minimum. Ova se metoda temelji na korištenju elementarnih matričnih transformacija i naziva se još i Gaussova metoda.

Sljedeće operacije se shvaćaju kao elementarne matrične transformacije:

1) množenje bilo kojeg retka ili stupca matrice s brojem koji nije nula;

2) dodavanje elementima bilo kojeg retka ili stupca matrice odgovarajućih elemenata drugog retka ili stupca, pomnoženih s istim brojem;

3) zamjena dva retka ili stupca matrice;

4) uklanjanje “nultih” redaka, odnosno onih čiji su svi elementi jednaki nuli;

5) brisanje svih proporcionalnih linija osim jedne.

Teorema. Tijekom elementarne transformacije, rang matrice se ne mijenja. Drugim riječima, ako koristimo elementarne transformacije iz matrice A otišao u matricu B, To .

Za rad s konceptom ranga matrice trebat će nam informacije iz teme "Algebarski dodaci i minori. Vrste minora i algebarski dodaci". Prije svega, to se odnosi na pojam "matrix minor", budući da ćemo rang matrice odrediti upravo kroz minore.

Rang matrice je najveći red njegovih minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli.

Ekvivalentne matrice- matrice čiji su rangovi međusobno jednaki.

Objasnimo detaljnije. Pretpostavimo da među minorima drugog reda postoji barem jedan koji je različit od nule. A svi minori čiji je red veći od dva jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 2. Ili, na primjer, među minorima desetog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli. A svi minori čiji je red veći od 10 jednaki su nuli. Zaključak: rang matrice je 10.

Rang matrice $A$ označava se na sljedeći način: $\rang A$ ili $r(A)$. Pretpostavlja se da je rang nulte matrice $O$ nula, $\rang O=0$. Podsjetit ću vas da za formiranje minora matrice morate prekrižiti retke i stupce, ali nemoguće je prekrižiti više redaka i stupaca nego što sadrži sama matrica. Na primjer, ako matrica $F$ ima veličinu $5\puta 4$ (tj. sadrži 5 redaka i 4 stupca), tada je najveći redoslijed njezinih minora četiri. Više neće biti moguće formirati minore petog reda, jer će za njih biti potrebno 5 stupaca (a mi imamo samo 4). To znači da rang matrice $F$ ne može biti veći od četiri, tj. $\rang F≤4$.

U općenitijem obliku, gore navedeno znači da ako matrica sadrži $m$ redaka i $n$ stupaca, tada njezin rang ne može premašiti najmanji od $m$ i $n$, tj. $\rang A≤\min(m,n)$.

U principu, iz same definicije ranga slijedi metoda za njegovo pronalaženje. Proces pronalaženja ranga matrice, po definiciji, može se shematski prikazati na sljedeći način:

Dopustite mi da detaljnije objasnim ovaj dijagram. Počnimo s rasuđivanjem od samog početka, tj. od minora prvog reda neke matrice $A$.

1. Ako su svi minori prvog reda (tj. elementi matrice $A$) jednaki nuli, tada je $\rang A=0$. Ako među minorima prvog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 1$. Prijeđimo na provjeru maloljetnika drugog reda.
2. Ako su svi minori drugog reda jednaki nuli, tada je $\rang A=1$. Ako među minorima drugog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 2$. Prijeđimo na provjeru maloljetnika trećeg reda.
3. Ako su svi minori trećeg reda jednaki nuli, tada je $\rang A=2$. Ako među minorima trećeg reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 3$. Prijeđimo na provjeru minora četvrtog reda.
4. Ako su svi minori četvrtog reda jednaki nuli, tada je $\rang A=3$. Ako među minorima četvrtog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tada je $\rang A≥ 4$. Prelazimo na provjeru maloljetnika petog reda i tako dalje.

Što nas čeka na kraju ove procedure? Moguće je da će među minorima k-tog reda biti barem jedan koji je različit od nule, a svi minori (k+1) reda bit će jednaki nuli. To znači da je k najveći red minora među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, tj. rang će biti jednak k. Može postojati drugačija situacija: među minorima k-tog reda bit će barem jedan koji nije jednak nuli, ali više neće biti moguće formirati minore (k+1) reda. U ovom slučaju, rang matrice je također jednak k. Ukratko, redoslijed posljednjeg sastavljenog minora različitog od nule bit će jednak rangu matrice.

Prijeđimo na primjere u kojima će proces pronalaženja ranga matrice, po definiciji, biti jasno ilustriran. Dopustite mi da još jednom naglasim da ćemo u primjerima ove teme početi pronalaziti rang matrica koristeći samo definiciju ranga. Ostale metode (izračunavanje ranga matrice metodom graničnih minora, izračunavanje ranga matrice metodom elementarnih transformacija) raspravljaju se u sljedećim temama.

Usput, uopće nije potrebno započeti proceduru za pronalaženje ranga s minorima najmanjeg reda, kao što je učinjeno u primjerima br. 1 i br. 2. Možete odmah prijeći na minore viših redova (vidi primjer br. 3).

Primjer br. 1

Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array)(ccccc) 5 & 0 & -3 & 0 & 2 \\ 7 & 0 & -4 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & -1 & 0 & 1 \end(niz) \desno)$.

Ova matrica ima veličinu $3\puta 5$, tj. sadrži tri retka i pet stupaca. Od brojeva 3 i 5, minimum je 3, stoga rang matrice $A$ nije veći od 3, tj. $\rang A≤ 3$. I ova je nejednakost očita, budući da više nećemo moći formirati minore četvrtog reda - oni zahtijevaju 4 reda, a mi imamo samo 3. Prijeđimo izravno na proces pronalaženja ranga zadane matrice.

Među minorima prvog reda (tj. među elementima matrice $A$) ima i onih različitih od nule. Na primjer, 5, -3, 2, 7. Općenito, ne zanima nas ukupan broj elemenata koji nisu nula. Postoji barem jedan element koji nije nula - i to je dovoljno. Budući da među minorima prvog reda postoji barem jedan različit od nule, zaključujemo da je $\rang A≥ 1$ i prelazimo na provjeru minora drugog reda.

Počnimo istraživati ​​minore drugog reda. Na primjer, na sjecištu redaka br. 1, br. 2 i stupaca br. 1, br. 4 nalaze se elementi sljedećeg minora: $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(niz) \desno|. Za ovu determinantu svi elementi drugog stupca jednaki su nuli, pa je i sama determinanta jednaka nuli, tj. $\left|\begin(array)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(array) \right|=0$ (pogledajte svojstvo br. 3 u temi svojstava determinanti). Ili jednostavno možete izračunati ovu determinantu pomoću formule br. 1 iz odjeljka o izračunavanju determinanti drugog i trećeg reda:

$$ \lijevo|\begin(niz)(cc) 5 & 0 \\ 7 & 0 \end(niz) \right|=5\cdot 0-0\cdot 7=0. $$

Pokazalo se da je prvi minor drugog reda koji smo testirali jednak nuli. Što to znači? O potrebi daljnje provjere maloljetnika drugog reda. Ili će svi ispasti nula (i tada će rang biti jednak 1), ili će među njima biti barem jedan minor koji je različit od nule. Pokušajmo napraviti bolji izbor ispisujući minor drugog reda čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka br. 1, br. 2 i stupaca br. 1 i br. 5: $\left|\begin( niz)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(niz) \right|$. Nađimo vrijednost ovog minora drugog reda:

$$ \lijevo|\begin(niz)(cc) 5 & 2 \\ 7 & 3 \end(niz) \right|=5\cdot 3-2\cdot 7=1. $$

Ovaj minor nije jednak nuli. Zaključak: među minorima drugog reda postoji barem jedan različit od nule. Stoga je $\rang A≥ 2$. Moramo prijeći na proučavanje minora trećeg reda.

Odaberemo li stupac br. 2 ili stupac br. 4 za formiranje minora trećeg reda, tada će takvi minori biti jednaki nuli (jer će sadržavati stupac nula). Ostaje provjeriti samo jedan minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na raskrižju stupaca br. 1, br. 3, br. 5 i redaka br. 1, br. 2, br. 3. Zapišimo ovaj minor i pronađimo njegovu vrijednost:

$$ \lijevo|\begin(niz)(ccc) 5 & -3 & 2 \\ 7 & -4 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end(niz) \desno|=-20-18-14 +16+21+15=0. $$

Dakle, svi minori trećeg reda jednaki su nuli. Posljednji minor različit od nule koji smo kompajlirali bio je drugog reda. Zaključak: najveći red minora među kojima je barem jedan različit od nule je 2. Prema tome, $\rang A=2$.

Odgovor: $\rang A=2$.

Primjer br. 2

Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0 \\ 9 & 7 & 8 & -7 \end(array) \right)$.

Imamo kvadratnu matricu četvrtog reda. Odmah napomenimo da rang ove matrice ne prelazi 4, tj. $\rang A≤ 4$. Počnimo s pronalaženjem ranga matrice.

Među minorima prvog reda (tj. među elementima matrice $A$) postoji barem jedan koji nije jednak nuli, stoga je $\rang A≥ 1$. Prijeđimo na provjeru maloljetnika drugog reda. Na primjer, na sjecištu redaka br. 2, br. 3 i stupaca br. 1 i br. 2 dobivamo sljedeći minor drugog reda: $\left| \begin(niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(niz) \right|$. Izračunajmo to:

$$\lijevo| \begin(niz) (cc) 4 & -2 \\ -5 & 0 \end(niz) \right|=0-10=-10. $$

Među minorima drugog reda postoji barem jedan koji nije jednak nuli, pa je $\rang A≥ 2$.

Prijeđimo na minore trećeg reda. Pronađimo, na primjer, minor čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka br. 1, br. 3, br. 4 i stupaca br. 1, br. 2, br. 4:

$$\lijevo | \begin(niz) (cccc) -1 & 3 & -3\\ -5 & 0 & 0\\ 9 & 7 & -7 \end(niz) \right|=105-105=0. $$

Kako se pokazalo da je ovaj minor trećeg reda jednak nuli, potrebno je istražiti još jedan minor trećeg reda. Ili će svi biti jednaki nuli (tada će rang biti jednak 2), ili će među njima biti barem jedan koji nije jednak nuli (tada ćemo početi proučavati minore četvrtog reda). Razmotrimo minor trećeg reda, čiji se elementi nalaze na sjecištu redaka br. 2, br. 3, br. 4 i stupaca br. 2, br. 3, br. 4:

$$\lijevo| \begin(niz) (ccc) -2 & 5 & 1\\ 0 & -4 & 0\\ 7 & 8 & -7 \end(niz) \right|=-28. $$

Među minorima trećeg reda postoji barem jedan različit od nule, pa je $\rang A≥ 3$. Prijeđimo na provjeru minora četvrtog reda.

Bilo koji minor četvrtog reda nalazi se na sjecištu četiri retka i četiri stupca matrice $A$. Drugim riječima, minor četvrtog reda je determinanta matrice $A$, budući da ova matrica sadrži 4 retka i 4 stupca. Determinanta ove matrice je izračunata u primjeru br. 2 teme “Rastavljanje determinante u nizu (stupcu)”, pa uzmimo samo gotov rezultat:

$$\lijevo| \početak(niz) (cccc) -1 & 3 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ -5 & 0 & -4 & 0\\ 9 & 7 & 8 & -7 \kraj (niz)\desno|=86. $$

Dakle, minor četvrtog reda nije jednak nuli. Više ne možemo formirati minore petog reda. Zaključak: najviši red minora, među kojima je barem jedan različit od nule, je 4. Rezultat: $\rang A=4$.

Odgovor: $\rang A=4$.

Primjer br. 3

Pronađite rang matrice $A=\left(\begin(array) (cccc) -1 & 0 & 2 & -3\\ 4 & -2 & 5 & 1\\ 7 & -4 & 0 & -5 \end( niz) \desno)$.

Odmah primijetimo da ova matrica sadrži 3 retka i 4 stupca, pa je $\rang A≤ 3$. U prethodnim primjerima smo započeli proces pronalaženja ranga razmatranjem minora najmanjeg (prvog) reda. Ovdje ćemo pokušati odmah provjeriti maloljetnike najvišeg mogućeg reda. Za matricu $A$ to su minori trećeg reda. Razmotrimo minor trećeg reda čiji elementi leže na sjecištu redaka br. 1, br. 2, br. 3 i stupaca br. 2, br. 3, br. 4:

$$\lijevo| \begin(niz) (ccc) 0 & 2 & -3\\ -2 & 5 & 1\\ -4 & 0 & -5 \end(niz) \right|=-8-60-20=-88. $$

Dakle, najviši red minora, među kojima postoji barem jedan koji nije jednak nuli, je 3. Dakle, rang matrice je 3, tj. $\rang A=3$.

Odgovor: $\rang A=3$.

Općenito, pronalaženje ranga matrice prema definiciji je, u općem slučaju, prilično radno intenzivan zadatak. Na primjer, relativno mala matrica veličine $5\puta 4$ ima 60 minora drugog reda. Pa čak i ako je 59 od njih jednako nuli, tada 60. minor može ispasti različit od nule. Zatim ćete morati proučavati minore trećeg reda, kojih ova matrica ima 40 komada. Obično se nastoje koristiti manje glomaznim metodama, kao što je metoda graničnih minora ili metoda ekvivalentnih transformacija.

Rang matrice naziva se najveći red njegovih minora različitih od nule. Rang matrice je označen sa ili.

Ako su svi minori reda dane matrice jednaki nuli, tada su svi minori višeg reda dane matrice također jednaki nuli. To proizlazi iz definicije determinante. Ovo implicira algoritam za pronalaženje ranga matrice.

Ako su svi minori prvog reda (elementi matrice) jednaki nuli, tada je . Ako je barem jedan minor prvog reda različit od nule, a svi minori drugog reda jednaki su nuli, tada je . Štoviše, dovoljno je pogledati samo one minore drugog reda koji graniče s minorom prvog reda koji nije nula. Ako postoji minor drugog reda koji nije nula, ispitajte minore trećeg reda koji graniče s minorom drugog reda koji nije nula. To se nastavlja sve dok ne dođu do jednog od dva slučaja: ili su svi minori reda , koji graniče s minorom različit od nule th reda, jednaki nuli, ili takvih minora nema. Zatim .

Primjer 10. Izračunajte rang matrice.

Minor prvog reda (element) je različit od nule. Minor koji ga okružuje također nije jednak nuli.

Svi ti minori jednaki su nuli, što znači .

Dani algoritam za pronalaženje ranga matrice nije uvijek prikladan, jer uključuje izračun velikog broja determinanti. Pri izračunavanju ranga matrice najprikladnije je koristiti elementarne transformacije, uz pomoć kojih se matrica reducira na tako jednostavan oblik da je očito koji je njen rang.

Elementarne matrične transformacije Sljedeće transformacije se nazivaju:

Ø množenje retka (stupca) matrice s brojem koji nije nula;

Ø dodavanje jednom retku (stupcu) drugog retka (stupca), pomnoženog proizvoljnim brojem.

Polužordanov transformacija redaka matrice:

s razlučujućim elementom je sljedeći skup transformacija s redovima matrice:

Ø dodati th u prvi red, pomnoženo s brojem, itd.;

Ø u zadnji redak dodajte yu pomnoženo s brojem .

Polu-Jordanova transformacija stupaca matrice s razlučujućim elementom je sljedeći skup transformacija sa stupcima matrice:

Ø dodati th prvom stupcu, pomnoženo s brojem, itd.;

Ø dodajte th u zadnji stupac, pomnoženo s brojem.

Nakon izvođenja ovih transformacija dobiva se matrica:

Polu-Jordanova transformacija redaka ili stupaca kvadratne matrice ne mijenja njezinu determinantu.

Elementarne transformacije matrice ne mijenjaju njen rang. Pokažimo na primjeru kako izračunati rang matrice pomoću elementarnih transformacija. redovi (stupci) su linearno ovisni.

Bilo koja matrica A narudžba m×n može se smatrati zbirkom m vektori nizova ili n vektori stupaca.

Rang matrice A narudžba m×n je najveći broj linearno nezavisnih vektora stupaca ili vektora reda.

Ako je rang matrice A jednaki r, tada je zapisano:

Određivanje ranga matrice

Neka A matrica proizvoljnog reda m× n. Za pronalaženje ranga matrice A Na njega primjenjujemo Gaussovu metodu eliminacije.

Imajte na umu da ako je u nekoj fazi eliminacije vodeći element jednak nuli, tada taj redak mijenjamo s linijom u kojoj je vodeći element različit od nule. Ako se ispostavi da ne postoji takav redak, prijeđite na sljedeći stupac itd.

Nakon procesa Gaussove eliminacije, dobivamo matricu čiji su elementi ispod glavne dijagonale jednaki nuli. Osim toga, može postojati nula vektora reda.

Broj vektora retka koji nije nula bit će rang matrice A.

Pogledajmo sve ovo na jednostavnim primjerima.

Primjer 1.

Množenjem prvog retka s 4 i dodavanjem drugom retku i množenjem prvog retka s 2 i zbrajanjem trećeg retka imamo:

Pomnožite drugi redak s -1 i dodajte ga trećem redu:

Dobili smo dva retka različita od nule i stoga je rang matrice 2.

Primjer 2.

Nađimo rang sljedeće matrice:

Pomnožite prvi redak s -2 i dodajte ga drugom retku. Slično, poništavamo elemente trećeg i četvrtog retka prvog stupca:

Ponovno postavimo elemente trećeg i četvrtog reda drugog stupca dodavanjem odgovarajućih redaka drugom retku pomnoženo s brojem -1.