Visina dijeli osnovicu trokuta. Sažetak lekcije "teorem o sjecištu visina trokuta"

Triangle) ili prelazi izvan trokuta kod tupokutnog trokuta.

Enciklopedijski YouTube

1 / 5

✪ VISINSKA MEDIJANA Simetrala trokuta 7. razred

✪ Simetrala, medijana, visina trokuta. Geometrija 7. razred

✪ 7. razred, lekcija 17, Medijane, simetrale i visine trokuta

✪ Medijan, simetrala, visina trokuta | Geometrija

✪ Kako pronaći simetralu, medijanu i visinu? | Štreber sa mnom #031 | Boris Trušin

titlovi

Svojstva sjecišta triju visina trokuta (ortocentar)

E A → ⋅ B C → + E B → ⋅ C A → + E C → ⋅ A B → = 0 (\displaystyle (\overrightarrow (EA))\cdot (\overdesightarrow (BC))+(\overdesightarrow (EB))\cdot (\ gornja strelica (CA))+(\gornja desna strelica (EC))\cdot (\gornja desna strelica (AB))=0)

(Da biste dokazali identitet, trebali biste koristiti formule

A B → = E B → − E A → , B C → = E C → − E B → , C A → = E A → − E C → (\displaystyle (\overrightarrow (AB))=(\overrightarrow (EB))-(\overrightarrow (EA )),\,(\strelica preko desno (BC))=(\strelica preko desno (EC))-(\strelica preko desno (EB)),\,(\strelica preko desno (CA))=(\strelica preko desno (EA))-(\strelica preko desno (EK)))

Točku E treba uzeti kao sjecište dviju visina trokuta.)

• Ortocentar izogonalno konjugiran sa središtem opisani krug .
• Ortocentar leži na istoj liniji kao težište, središte zaokružiti i središte kružnice od devet točaka (vidi Eulerovu ravnu liniju).
• Ortocentaršiljastokutnog trokuta je središte kružnice upisane u njegov ortotrokut.
• Središte trokuta opisanog ortocentrom s vrhovima u središtima stranica zadanog trokuta. Posljednji trokut zove se komplementarni trokut prvom trokutu.
• Posljednje svojstvo može se formulirati na sljedeći način: Središte kruga opisanog oko trokuta služi ortocentar dodatni trokut.
• Bodovi, simetrični ortocentar trokuta s obzirom na njegove stranice leže na opisanoj kružnici.
• Bodovi, simetrični ortocentar trokuti u odnosu na središta stranica također leže na opisanoj kružnici i podudaraju se s točkama dijametralno suprotnim odgovarajućim vrhovima.
• Ako je O središte opisane kružnice ΔABC, tada O H → = O A → + O B → + O C → (\displaystyle (\overdesnastrelica (OH))=(\overdesnastrelica (OA))+(\overdesnastrelica (OB))+(\overdesnastrelica (OC))) ,
• Udaljenost od vrha trokuta do ortocentra dvostruko je veća od udaljenosti od središta opisane kružnice do suprotne stranice.
• Bilo koji segment izvučen iz ortocentar Prije sjecišta s opisanom kružnicom, uvijek je podijeljena na pola Eulerovom kružnicom. Ortocentar je centar homotetije ovih dvaju krugova.
• Hamiltonov teorem. Tri segmenta ravne linije koji povezuju ortocentar s vrhovima oštrokutnog trokuta dijele ga na tri trokuta koji imaju istu Eulerovu kružnicu (krug od devet točaka) kao izvorni oštrokutni trokut.
• Korolari Hamiltonovog teorema:
  • Tri ravne linije koje povezuju ortocentar s vrhovima oštrog trokuta dijele ga na tri Hamiltonov trokut koji imaju jednake radijuse opisanih kružnica.
  • Polumjeri opisanih kružnica od tri Hamiltonovi trokuti jednak polumjeru kružnice opisane oko izvornog oštrokutnog trokuta.
• U oštrokutnom trokutu, ortocentar leži unutar trokuta; u tupom kutu - izvan trokuta; u pravokutnom - na vrhu pravog kuta.

Svojstva visina jednakokračnog trokuta

• Ako su dvije visine u trokutu jednake, tada je trokut jednakokračan (Steiner-Lemusov teorem), a treća visina je i središnja i simetrala kuta iz kojeg izlazi.
• Vrijedi i obrnuto: u jednakokračnom trokutu dvije su visine jednake, a treća visina je i središnja i simetrala.
• Jednakostraničan trokut ima sve tri visine jednake.

Svojstva osnovica visina trokuta

• Razlozi visine čine takozvani ortotrokut, koji ima svoja svojstva.
• Kružnica opisana oko ortotrokuta je Eulerova kružnica. Ova kružnica također sadrži tri središta stranica trokuta i tri središta tri segmenta koji povezuju ortocentar s vrhovima trokuta.
• Još jedna formulacija posljednjeg svojstva:
  • Eulerov teorem za krug od devet točaka. Razlozi tri visine proizvoljni trokut, središta njegovih triju stranica ( temelje svoje unutarnje medijane) i središta tri segmenta koji povezuju njegove vrhove s ortocentrom, leže na istoj kružnici (na krug s devet točaka).
• Teorema. U bilo kojem trokutu segment koji povezuje osnove dva visine trokut, odsijeca trokut sličan zadanom.
• Teorema. U trokutu segment koji povezuje osnove dva visine trokuta koji leže na dvije strane antiparalelan trećoj osobi s kojom nema dodirnih točaka. Kroz njena dva kraja, kao i kroz dva vrha treće navedene stranice, uvijek se može povući kružnica.

Ostala svojstva visina trokuta

• Ako trokut svestran (scalene), zatim to unutarnje simetrala povučena iz bilo kojeg vrha leži između unutarnje medijana i visina povučene iz istog vrha.
• Visina trokuta je izogonalno konjugirana s promjerom (radijusom) opisani krug, izvučen iz istog vrha.
• U oštrokutnom trokutu postoje dva visine odrezati od njega slične trokute.
• U pravokutnom trokutu visina, izvučen iz vrha pravog kuta, dijeli ga na dva trokuta slična izvornom.

Svojstva minimalne visine trokuta

Minimalna visina trokuta ima mnogo ekstremnih svojstava. Na primjer:

• Najmanja ortogonalna projekcija trokuta na pravce koji leže u ravnini trokuta ima duljinu jednaku najmanjoj njegovoj visini.
• Najmanji ravni rez u ravnini kroz koji se može provući kruta trokutasta ploča mora imati duljinu jednaku najmanjoj visini te ploče.
• S kontinuiranim kretanjem dviju točaka po obodu trokuta jedna prema drugoj, najveća udaljenost između njih tijekom kretanja od prvog susreta do drugog ne može biti manja od duljine najmanje visine trokuta.
• Najmanja visina u trokutu uvijek leži unutar tog trokuta.

Osnovni odnosi

• h a = b ⋅ sin ⁡ γ = c ⋅ sin ⁡ β , (\displaystyle h_(a)=b(\cdot )\sin \gamma =c(\cdot )\sin \beta ,)
• h a = 2 ⋅ S a , (\displaystyle h_(a)=(\frac (2(\cdot )S)(a)),) Gdje S (\displaystyle S)- površina trokuta, a (\displaystyle a)- duljina stranice trokuta za koju je spuštena visina.
• h a = b ⋅ c 2 ⋅ R , (\displaystyle h_(a)=(\frac (b(\cdot )c)(2(\cdot )R)),) Gdje b ⋅ c (\displaystyle b(\cdot )c)- produkt stranica, R − (\displaystyle R-) polumjer opisane kružnice
• h a: h b: h c = 1 a: 1 b: 1 c = (b ⋅ c) : (a ⋅ c) : (a ⋅ b) . (\displaystyle h_(a):h_(b):h_(c)=(\frac (1)(a)):(\frac (1)(b)):(\frac (1)(c)) =(b(\cdot )c):(a(\cdot )c):(a(\cdot )b).)
• 1 h a + 1 h b + 1 h c = 1 r (\displaystyle (\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_ (c)))=(\frac (1)(r))), Gdje r (\displaystyle r)- radijus upisane kružnice.
• S = 1 (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\displaystyle S =(\frac (1)(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c ))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\frac (1)(h_(c))) )(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(b))))(\ cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_(a))))))))), Gdje S (\displaystyle S)- površina trokuta.
• a = 2 h a ⋅ (1 h a + 1 h b + 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h b − 1 h c) ⋅ (1 h a + 1 h c − 1 h b) ⋅ (1 h b + 1 h c − 1 h a) (\ stil prikaza a=(\frac (2)(h_(a)(\cdot )(\sqrt (((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b))) +(\frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(b)))-(\ frac (1)(h_(c))))(\cdot )((\frac (1)(h_(a)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1 )(h_(b))))(\cdot )((\frac (1)(h_(b)))+(\frac (1)(h_(c)))-(\frac (1)(h_ (a))))))))), a (\displaystyle a)- stranica trokuta na koju se spušta visina h a (\displaystyle h_(a)).
• Visina jednakokračnog trokuta spuštena na osnovicu: h c = 1 2 ⋅ 4 a 2 − c 2 , (\displaystyle h_(c)=(\frac (1)(2))(\cdot )(\sqrt (4a^(2)-c^(2)) ),)

Gdje c (\displaystyle c)- baza, a (\displaystyle a)- strana.

Teorem o visini pravokutnog trokuta

Ako je visina u pravokutnom trokutu ABC duljina h (\displaystyle h) povučena iz vrha pravog kuta, dijeli hipotenuzu s duljinom c (\displaystyle c) u segmente m (\displaystyle m) I n (\displaystyle n), što odgovara nogama b (\displaystyle b) I a (\displaystyle a), onda su sljedeće jednakosti točne.

Održavanje vaše privatnosti važno nam je. Iz tog razloga razvili smo Politiku privatnosti koja opisuje kako koristimo i pohranjujemo vaše podatke. Pregledajte naše prakse privatnosti i javite nam ako imate bilo kakvih pitanja.

Prikupljanje i korištenje osobnih podataka

Osobni podaci odnose se na podatke koji se mogu koristiti za identifikaciju ili kontaktiranje određene osobe.

Od vas se može tražiti da date svoje osobne podatke u bilo kojem trenutku kada nas kontaktirate.

U nastavku su navedeni neki primjeri vrsta osobnih podataka koje možemo prikupljati i kako možemo koristiti takve podatke.

Koje osobne podatke prikupljamo:

• Kada podnesete prijavu na stranici, možemo prikupiti razne informacije, uključujući vaše ime, telefonski broj, adresu e-pošte itd.

Kako koristimo vaše osobne podatke:

• Osobni podaci koje prikupljamo omogućuju nam da vas kontaktiramo s jedinstvenim ponudama, promocijama i drugim događajima i nadolazećim događajima.
• S vremena na vrijeme možemo koristiti vaše osobne podatke za slanje važnih obavijesti i komunikacija.
• Osobne podatke također možemo koristiti u interne svrhe, kao što je provođenje revizija, analiza podataka i raznih istraživanja kako bismo poboljšali usluge koje pružamo i dali vam preporuke u vezi s našim uslugama.
• Ako sudjelujete u izvlačenju nagrada, natjecanju ili sličnoj promociji, možemo koristiti podatke koje nam dostavite za upravljanje takvim programima.

Otkrivanje informacija trećim stranama

Podatke koje smo dobili od vas ne otkrivamo trećim stranama.

Iznimke:

• Ako je potrebno - u skladu sa zakonom, sudskim postupkom, u sudskom postupku i/ili na temelju javnih zahtjeva ili zahtjeva državnih tijela na području Ruske Federacije - za otkrivanje Vaših osobnih podataka. Također možemo otkriti podatke o vama ako utvrdimo da je takvo otkrivanje potrebno ili prikladno za sigurnosne svrhe, provedbu zakona ili druge javne svrhe.
• U slučaju reorganizacije, spajanja ili prodaje, možemo prenijeti osobne podatke koje prikupimo primjenjivoj trećoj strani nasljedniku.

Zaštita osobnih podataka

Poduzimamo mjere opreza - uključujući administrativne, tehničke i fizičke - kako bismo zaštitili vaše osobne podatke od gubitka, krađe i zlouporabe, kao i neovlaštenog pristupa, otkrivanja, izmjene i uništenja.

Poštivanje vaše privatnosti na razini tvrtke

Kako bismo osigurali sigurnost vaših osobnih podataka, našim zaposlenicima priopćavamo standarde privatnosti i sigurnosti i strogo provodimo prakse privatnosti.

Svojstva

• Visine trokuta sijeku se u jednoj točki koja se naziva ortocentar. - Ovu tvrdnju je lako dokazati korištenjem vektorskog identiteta koji vrijedi za sve točke A, B, C, E, ne nužno čak ni za one koje leže u istoj ravnini:

(Da biste dokazali identitet, trebali biste koristiti formule

Točku E treba uzeti kao sjecište dviju visina trokuta.)

• U pravokutnom trokutu visina izvučena iz vrha pravog kuta dijeli ga na dva trokuta slična izvornom.
• U oštrokutnom trokutu njegove dvije visine odsijecaju slične trokute od njega.
• Osnovice visina tvore takozvani ortotrokut, koji ima svoja svojstva.

Minimalna visina trokuta ima mnogo ekstremnih svojstava. Na primjer:

• Najmanja ortogonalna projekcija trokuta na pravce koji leže u ravnini trokuta ima duljinu jednaku najmanjoj njegovoj visini.

• Najmanji ravni rez u ravnini kroz koji se može provući kruta trokutasta ploča mora imati duljinu jednaku najmanjoj visini te ploče.

• S kontinuiranim kretanjem dviju točaka po obodu trokuta jedna prema drugoj, najveća udaljenost između njih tijekom kretanja od prvog susreta do drugog ne može biti manja od duljine najmanje visine trokuta.

Najmanja visina u trokutu uvijek leži unutar tog trokuta.

Osnovni odnosi

gdje je površina trokuta, je duljina stranice trokuta za koju je visina spuštena.

gdje je baza.

Teorem o visini pravokutnog trokuta

Ako visina duljine h povučena iz vrha pravog kuta dijeli hipotenuzu duljine c na segmente m i n koji odgovaraju b i a, tada su istinite sljedeće jednakosti:

Mnemotehnička pjesma

Visinom je kao mačka, Koja, izvijajući leđa, I pod pravim kutom Spaja vrh I bok svojim repom.

vidi također

Linkovi

Zaklada Wikimedia. 2010.

Pogledajte što je "visina trokuta" u drugim rječnicima:

VISINA, visine, mn. visine, visine, žene 1. samo jedinice Proširenje odozdo prema gore, vis. Visina kuće. Toranj velike visine. || (mn. samo posebne znanstvene). Udaljenost od Zemljine površine, mjerena duž okomite crte od dna prema vrhu. Avion je letio... Ušakovljev objašnjavajući rječnik

Ovaj pojam ima i druga značenja, pogledajte Visina (značenja). Visina u elementarnoj geometriji je okomiti segment spušten od vrha geometrijske figure (na primjer, trokuta, piramide, stošca) do njegove baze ili do ... ... Wikipedia

visina- y/; pl. visina; i. vidi također visok, visok 1) Veličina, duljina nečega. odozdo prema gore, odozdo prema gore. Visina kuće, drveta, planine. Visina/ valovi. Brana je visoka sto pet stopa... Rječnik mnogih izraza

Y; pl. visine; i. 1. Veličina, duljina nečega. odozdo prema gore, odozdo prema gore. V. kuće, drveće, planine. V. valovi. Brana je visoka sto pedeset metara. Izmjeriti, odrediti visinu čega. 2. Udaljenost od koje l. površina do ... ... enciklopedijski rječnik

visina izvornog trokuta niti- (H) Udaljenost između vrha i baze izvornog trokuta navoja u smjeru okomitom na os navoja. [GOST 11708 82 (ST SEV 2631 80)] Teme standarda zamjenjivosti Opći pojmovi osnovni elementi i parametri navoja EN... ... Vodič za tehničke prevoditelje

Visina je dimenzija ili udaljenost u okomitom smjeru. Ostala značenja: U astronomiji: Visina svjetlećeg tijela je kut između ravnine matematičkog horizonta i smjera prema svjetlećem tijelu. U vojnim poslovima: Visina je uzvišenje reljefa. U... ... Wikipediji

VISINA, u geometriji, okomiti segment spušten od vrha geometrijskog lika (npr. trokuta, piramide, stošca) do njegove baze (ili nastavka baze), kao i duljina tog segmenta. Visina prizme, valjka, sfernog sloja i... ... enciklopedijski rječnik

U geometriji, okomiti segment povučen od vrha geometrijskog lika (npr. trokuta, piramide, stošca) do njegove baze (ili nastavka baze), kao i duljina tog segmenta. Visina prizme, cilindra, sfernog sloja, kao i... ... Veliki enciklopedijski rječnik

VISINA, s, množina. od, od, od, žene. 1. Veličina, duljina nečega. od dna prema vrhu. B. zidanje. V. surfati. V. ciklona. 2. Prostor, udaljenost od tla prema gore. Pogledaj. Avion dobiva visinu. Odleti do... ... Ozhegovov objašnjavajući rječnik

Visina u geometriji, okomit segment koji se spušta od vrha geometrijskog lika (na primjer, trokuta, piramide, stošca) do njegove baze ili nastavka baze, kao i duljina tog segmenta. V. prizma, cilindar, sferni sloj,... ... Velika sovjetska enciklopedija

Pri rješavanju raznih vrsta problema, kako čisto matematičke tako i primijenjene prirode (osobito u građevinarstvu), često je potrebno odrediti vrijednost visine određene geometrijske figure. Kako izračunati tu vrijednost (visinu) u trokutu?

Ako kombiniramo 3 točke u parovima koji se ne nalaze na jednoj liniji, tada će rezultirajuća figura biti trokut. Visina je dio ravne crte iz bilo kojeg vrha figure koji, kada se siječe sa suprotnom stranom, tvori kut od 90°.

Nađite visinu razmjernog trokuta

Odredimo vrijednost visine trokuta u slučaju kada lik ima proizvoljne kutove i stranice.

Heronova formula

h(a)=(2√(p(p-a)*(p-b)*(p-c)))/a, gdje

p – polovica opsega figure, h(a) – isječak stranice a, povučen pod pravim kutom na nju,

p=(a+b+c)/2 – izračun poluperimetra.

Ako postoji površina figure, možete koristiti relaciju h(a)=2S/a da odredite njenu visinu.

Trigonometrijske funkcije

Za određivanje duljine segmenta koji čini pravi kut kada se siječe sa stranicom a, možete koristiti sljedeće relacije: ako su poznata stranica b i kut γ ili stranica c i kut β, tada je h(a)=b*sinγ ili h(a)=c *sinβ.
Gdje:
γ – kut između stranica b i a,
β je kut između stranica c i a.

Odnos s radijusom

Ako je izvorni trokut upisan u krug, možete koristiti polumjer takvog kruga za određivanje visine. Središte mu se nalazi u točki gdje se sijeku sve 3 visine (iz svakog vrha) - ortocentar, a udaljenost od njega do vrha (bilo kojeg) je radijus.

Tada je h(a)=bc/2R, gdje je:
b, c – 2 druge stranice trokuta,
R je polumjer kružnice koja opisuje trokut.

Pronađite visinu u pravokutnom trokutu

U ovoj vrsti geometrijske figure, 2 strane, kada se sijeku, tvore pravi kut - 90°. Stoga, ako želite odrediti vrijednost visine u njemu, tada morate izračunati ili veličinu jedne od nogu ili veličinu segmenta koji čini 90 ° s hipotenuzom. Prilikom označavanja:
a, b – noge,
c – hipotenuza,
h(c) – okomica na hipotenuzu.
Možete napraviti potrebne izračune pomoću sljedećih odnosa:

• Pitagorin poučak:

a=√(c 2 -b 2),
b=√(c 2 -a 2),
h(c)=2S/c, jer S=ab/2, tada je h(c)=ab/c.

• Trigonometrijske funkcije:

a=c*sinβ,
b=c*cosβ,
h(c)=ab/c=s* sinβ* cosβ.

Nađi visinu jednakokračnog trokuta

Ova geometrijska figura razlikuje se po prisutnosti dvije strane jednake veličine i treće - baze. Za određivanje visine povučene na treću, zasebnu stranu, u pomoć dolazi Pitagorin teorem. S notnim zapisom
a – strana,
c – baza,
h(c) je segment na c pod kutom od 90°, tada je h(c)=1/2 √(4a 2 -c 2).

Teorem o visini pravokutnog trokuta

Ako visina u pravokutnom trokutu ABC duljine , izvučena iz vrha pravog kuta, dijeli hipotenuzu duljine i na segmente koji odgovaraju katetama i , tada su sljedeće jednakosti istinite:

·

·

Svojstva osnovica visina trokuta

· Razlozi visine čine takozvani ortotrokut, koji ima svoja svojstva.

· Kružnica opisana ortotrokutu je Eulerova kružnica. Ova kružnica također sadrži tri središta stranica trokuta i tri središta tri segmenta koji povezuju ortocentar s vrhovima trokuta.

Još jedna formulacija posljednjeg svojstva:

· Eulerov teorem za krug s devet točaka.

Razlozi tri visine proizvoljni trokut, središta njegovih triju stranica ( temelje svoje unutarnje medijane) i središta tri segmenta koji povezuju njegove vrhove s ortocentrom, leže na istoj kružnici (na krug s devet točaka).

· Teorema. U bilo kojem trokutu segment koji povezuje osnove dva visine trokut, odsijeca trokut sličan zadanom.

· Teorema. U trokutu segment koji povezuje osnove dva visine trokuta koji leže na dvije strane antiparalelan trećoj osobi s kojom nema dodirnih točaka. Kroz njena dva kraja, kao i kroz dva vrha treće navedene stranice, uvijek se može povući kružnica.

Ostala svojstva visina trokuta

· Ako trokut svestran (scalene), zatim to unutarnje simetrala povučena iz bilo kojeg vrha nalazi se između unutarnje medijana i visina povučene iz istog vrha.

Visina trokuta je izogonalno konjugirana s promjerom (radijusom) zaokružiti, izvučen iz istog vrha.

· U oštrokutnom trokutu postoje dva visine odrezati od njega slične trokute.

· U pravokutnom trokutu visina, izvučen iz vrha pravog kuta, dijeli ga na dva trokuta slična izvornom.

Svojstva minimalne visine trokuta

Minimalna visina trokuta ima mnogo ekstremnih svojstava. Na primjer:

· Najmanja ortogonalna projekcija trokuta na pravce koji leže u ravnini trokuta ima duljinu jednaku najmanjoj njegovoj visini.

· Najmanji ravni rez u ravnini kroz koji se može provući kruta trokutasta ploča mora imati duljinu jednaku najmanjoj visini te ploče.

· Kada se dvije točke neprekidno kreću po obodu trokuta jedna prema drugoj, najveća udaljenost između njih tijekom gibanja od prvog susreta do drugog ne može biti manja od duljine najmanje visine trokuta.

· Najmanja visina u trokutu uvijek leži unutar tog trokuta.

Osnovni odnosi

· gdje je površina trokuta, je duljina stranice trokuta za koju je visina spuštena.

· gdje je umnožak stranica, polumjer opisane kružnice

· ,

gdje je polumjer upisane kružnice.

Gdje je površina trokuta.

gdje je stranica trokuta na koju se spušta visina.

· Visina jednakokračnog trokuta spuštena na bazu:

gdje je baza.

· - visina u jednakostraničnom trokutu.

Medijani i visine u jednakostraničnom trokutu

Medijane trokuta sijeku se u jednoj točki koja svaku od njih dijeli u omjeru 2:1, računajući od vrha. Ova točka se zove centar gravitacije trokut. A u jednakostraničnim trokutima, medijani i visine su ista stvar.

Promotrimo proizvoljni trokut ABC. Označimo slovom O sjecište njegovih središnjica AA1 i BB1 i nacrtajmo središnju liniju trokuta A1B1 koja se siječe u jednoj točki. Odsječak A1B1 je paralelan sa stranicom AB , kao i kutovi 3 i 4 jednaki su kao poprečni kutovi u sjecištu paralelnih pravaca AB i A1B1 sa sekantama AA1 i BB1. Dakle, trokuti AOB i A1OB1 slični su u dva kuta, pa su im stranice razmjerne: AOA1O=BOB1O=ABA1B1. Ali AB=2⋅A1B1, pa je AO=2⋅A1O i BO=2⋅B1O. Dakle, sjecišna točka O središnjica AA1 i BB1 dijeli svaku od njih u omjeru 2:1, računajući od vrha. Slično se dokazuje da sjecište medijana BB1 i CC1 dijeli svaku od njih u omjeru 2:1 računajući od vrha, te se stoga poklapa s točkom O. Dakle, sve tri medijane trokuta ABC sijeku se u točki točku O i dijele se njome u omjeru 2:1, računajući odozgo.

Teorem je dokazan.

Zamislimo da je u vrhovima kuta m₁=1, zatim u točkama A₁,B₁,C₁, m₂=2, budući da su one polovišta stranica. I ovdje možete primijetiti da su segmenti AA₁,BB₁,CC₁, koji se sijeku u jednoj točki, slični polugama sa uporišnom točkom O, gdje je AO-l₁, a OA1-l₂ (ramena). A prema fizičkoj formuli F₁/F₂=l₁/l₂, gdje je F=m*g, gdje je g-const, i reducira se u skladu s tim, ispada m₁/m₂=l₁/l₂, tj. ½=1/2.

Teorem je dokazan.

Ortotrokut

Svojstva:

· Tri visine trokuta sijeku se u jednoj točki, ta se točka naziva ortocentar

· Dvije susjedne stranice ortotrokuta tvore jednake kutove s odgovarajućom stranicom izvornog trokuta

Visine trokuta su simetrale ortotrokuta

· Ortotrokut je trokut s najmanjim opsegom koji se može upisati unutar danog trokuta (Fagnanov problem)

· Opseg ortotrokuta jednak je dvostrukom umnošku visine trokuta i sinusa kuta iz kojeg polazi.

· Ako su točke A 1 , B 1 i C 1 na stranicama BC, AC i AB šiljastokutnog trokuta ABC redom takve da

tada je ortotrokut trokuta ABC.

Ortotrokut odsijeca trokute slične ovome

Teorem o svojstvu simetrala ortotrokuta

∟ B₁C₁C=∟B₁BC=∟CAA₁=∟CC₁A

CC₁-simetrala ∟B₁C₁A

AA₁-simetrala ∟B₁A₁C₁

BB₁-simetrala ∟A₁B₁C₁