Posisi relatif dua lingkaran. Posisi relatif dua lingkaran pada suatu bidang

Topik pelajaran: " Posisi relatif dua lingkaran pada sebuah bidang.”

Target :

Pendidikan - menguasai pengetahuan baru tentang kedudukan relatif dua lingkaran, mempersiapkan ujian

Pembangunan - pengembangan keterampilan komputasi, pengembangan pemikiran logis-struktural; mengembangkan keterampilan dalam menemukan solusi rasional dan mencapai hasil akhir; pengembangan aktivitas kognitif dan pemikiran kreatif.

Pendidikan – pembentukan tanggung jawab dan konsistensi di kalangan siswa; pengembangan kualitas kognitif dan estetika; pembentukan budaya informasi siswa.

Pemasyarakatan - mengembangkan pemikiran spasial, memori, keterampilan motorik tangan.

Jenis pelajaran: mempelajari materi pendidikan baru, konsolidasi.

Jenis pelajaran: pelajaran campuran.

Metode mengajar: verbal, visual, praktis.

Bentuk studi: kolektif.

Sarana pendidikan: papan

SELAMA KELAS:

1. Tahap organisasi

- salam;

- memeriksa kesiapan pelajaran;

2. Memperbarui pengetahuan dasar.
Topik apa yang kita bahas dalam pelajaran sebelumnya?

Bentuk umum persamaan lingkaran?

Lakukan secara lisan:

Survei kilat

3. Pengenalan materi baru.

Menurut Anda angka apa yang akan kita pertimbangkan hari ini... Bagaimana jika ada dua??

Bagaimana mereka bisa ditemukan???

Anak-anak menunjukkan dengan tangannya (tetangga) bagaimana lingkaran dapat disusun ( menit pendidikan jasmani)

Nah, menurut Anda apa yang harus kita pertimbangkan hari ini?? Hari ini kita harus mempertimbangkan posisi relatif dua lingkaran. Dan cari tahu berapa jarak antar pusat tergantung lokasinya.

Topik pelajaran:« Posisi relatif dua lingkaran. Penyelesaian masalah.»

1. Lingkaran konsentris

2. Lingkaran yang terputus-putus

3. Sentuhan eksternal

4. Lingkaran berpotongan

5. Sentuhan batin

Jadi mari kita simpulkan

4.Pembentukan keterampilan dan kemampuan

Temukan kesalahan dalam data atau pernyataan dan perbaiki, sesuaikan pendapat Anda:

A) Dua lingkaran bersentuhan. Jari-jarinya sama dengan R = 8 cm dan r = 2 cm, jarak pusatnya d = 6.
B) Dua lingkaran mempunyai paling sedikit dua titik yang sama.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan.

D) R = 8, r = 6, d = 4. Lingkaran yang lebih kecil terletak di dalam lingkaran yang lebih besar.

D) Dua lingkaran tidak dapat diposisikan sedemikian rupa sehingga yang satu berada di dalam lingkaran yang lain.

5. Konsolidasi keterampilan dan kemampuan.

Lingkaran tersebut bersentuhan secara eksternal. Jari-jari lingkaran yang lebih kecil adalah 3 cm. Jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah 5 cm. Berapa jarak pusatnya?

Penyelesaian: 3+5=8(cm)

Lingkaran itu bersentuhan secara internal. Jari-jari lingkaran yang lebih kecil adalah 3 cm. Jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah 5 cm. Berapa jarak pusat lingkaran?

Solusi: 5-3=2(cm)

Lingkaran itu bersentuhan secara internal. Jarak pusat lingkaran adalah 2,5 cm. Berapakah jari-jari lingkaran tersebut?

jawaban: (5,5 cm dan 3 cm), (6,5 cm dan 4 cm), dst.

MEMERIKSA PEMAHAMAN

1) Bagaimana posisi dua lingkaran?

2) Dalam hal apa lingkaran mempunyai satu titik persekutuan?

3) Titik persekutuan dua lingkaran disebut?

4) Sentuhan apa yang kamu ketahui?

5) Kapan lingkaran-lingkaran tersebut berpotongan?

6) Lingkaran apa yang disebut konsentris?

Tugas tambahan pada topik: Vektor. Metode koordinat"(jika ada waktu tersisa)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Temukan:

a) koordinat vektor EF,GH

b) panjang vektor FG

c) koordinat titik O - titik tengah EF

koordinat titik W – titik tengah GH

d) persamaan lingkaran dengan diameter FG

e) persamaan garis lurus FH

6. Pekerjaan rumah

& 96 No.1000. Persamaan berikut yang manakah merupakan persamaan lingkaran. Temukan pusat dan jari-jarinya

7. Menyimpulkan pelajaran(3 menit)

(memberikan penilaian kualitatif terhadap hasil kerja kelas dan individu siswa).

8. Tahap refleksi(2 menit.)

(memulai refleksi siswa tentang keadaan emosi, aktivitas, interaksi dengan guru dan teman sekelas menggunakan gambar)

Misalkan diberikan sebuah lingkaran dan sebuah titik yang tidak berimpit dengan pusatnya C (Gbr. 205). Ada tiga kasus yang mungkin terjadi: suatu titik terletak di dalam lingkaran (Gbr. 205, a), di atas lingkaran (Gbr. 205, b), di luar lingkaran (Gbr. 205, c). Mari kita menggambar garis lurus yang akan memotong lingkaran di titik K dan L (dalam kasus b) titik tersebut akan berimpit dengan salah satu titik tersebut akan paling dekat dengan titik tersebut dibandingkan dengan semua titik lainnya pada lingkaran), dan titik lainnya akan menjadi paling jauh.

Jadi, misalnya, pada Gambar. 205, dan titik K pada lingkaran paling dekat dengan . Faktanya, untuk titik lain pada lingkaran, garis putus-putus lebih panjang dari ruas SAG: tetapi juga oleh karena itu, sebaliknya, untuk titik L kita temukan (sekali lagi, garis putus-putus lebih panjang dari ruas garis lurus). Kami menyerahkan analisis dua kasus sisanya kepada pembaca. Perhatikan bahwa jarak terbesar sama dengan if atau if terkecil.

Mari kita beralih ke analisis kemungkinan kasus susunan dua lingkaran (Gbr. 206).

a) Pusat-pusat lingkaran bertepatan (Gbr. 206, a). Lingkaran seperti ini disebut konsentris. Jika jari-jari lingkaran-lingkaran ini tidak sama, maka salah satu lingkaran tersebut terletak di dalam lingkaran lainnya. Jika jari-jarinya sama, maka keduanya bertepatan.

b) Misalkan sekarang pusat lingkarannya berbeda. Mari kita hubungkan dengan sebuah garis lurus, yang disebut garis pusat sepasang lingkaran tertentu. Posisi relatif lingkaran hanya akan bergantung pada hubungan antara nilai segmen d yang menghubungkan pusatnya dan nilai jari-jari lingkaran R, r. Semua kemungkinan kasus yang berbeda nyata disajikan pada Gambar. 206 (menghitung).

1. Jarak antar pusat lebih kecil dari selisih jari-jarinya:

(Gbr. 206, b), lingkaran kecil terletak di dalam lingkaran besar. Ini juga termasuk kasus a) kebetulan pusat (d = 0).

2. Jarak antar pusat sama dengan selisih jari-jari:

(Gbr. 206, s). Lingkaran kecil terletak di dalam lingkaran besar, tetapi memiliki satu titik yang sama pada garis pusatnya (dikatakan ada garis singgung internal).

3. Jarak antar pusat lebih besar dari selisih jari-jarinya, tetapi lebih kecil dari jumlah keduanya:

(Gbr. 206, d). Setiap lingkaran terletak sebagian di dalam dan sebagian lagi di luar lingkaran lainnya.

Lingkaran mempunyai dua titik potong K dan L yang letaknya simetris terhadap garis pusat. Segmen adalah tali busur persekutuan dari dua lingkaran yang berpotongan. Itu tegak lurus terhadap garis pusat.

4. Jarak antar pusat sama dengan jumlah jari-jarinya:

(Gbr. 206, d). Masing-masing lingkaran terletak di luar lingkaran lainnya, tetapi keduanya mempunyai titik yang sama pada garis pusat (singgung luar).

5. Jarak antar pusat lebih besar dari jumlah jari-jarinya: (Gbr. 206, f). Setiap lingkaran terletak sepenuhnya di luar lingkaran lainnya. Lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan.

Klasifikasi di atas sepenuhnya mengikuti apa yang telah dibahas. di atas soal jarak terjauh dan terjauh suatu titik ke lingkaran. Anda hanya perlu memperhatikan dua titik pada salah satu lingkaran: titik terdekat dan terjauh dari pusat lingkaran kedua. Sebagai contoh, mari kita lihat kasus Berdasarkan kondisi. Namun titik lingkaran kecil yang paling jauh dari O terletak pada jarak dari pusat O. Oleh karena itu, seluruh lingkaran kecil terletak di dalam lingkaran besar. Kasus-kasus lain dipertimbangkan dengan cara yang sama.

Khususnya, jika jari-jari lingkaran sama, maka hanya tiga kasus terakhir yang mungkin: perpotongan, garis singgung luar, lokasi luar.

Topik pelajaran: " Posisi relatif dua lingkaran pada sebuah bidang.”

Target :

Pendidikan - menguasai pengetahuan baru tentang kedudukan relatif dua lingkaran, mempersiapkan ujian

Pembangunan - pengembangan keterampilan komputasi, pengembangan pemikiran logis-struktural; mengembangkan keterampilan dalam menemukan solusi rasional dan mencapai hasil akhir; pengembangan aktivitas kognitif dan pemikiran kreatif .

Pendidikan – pembentukan tanggung jawab dan konsistensi di kalangan siswa; pengembangan kualitas kognitif dan estetika; pembentukan budaya informasi siswa.

Pemasyarakatan - mengembangkan pemikiran spasial, memori, keterampilan motorik tangan.

Jenis pelajaran: mempelajari materi pendidikan baru, konsolidasi.

Jenis pelajaran: pelajaran campuran.

Metode mengajar: verbal, visual, praktis.

Bentuk studi: kolektif.

Sarana pendidikan: papan

SELAMA KELAS:

1. Tahap organisasi

- salam;

- memeriksa kesiapan pelajaran;

2. Memperbarui pengetahuan dasar.
Topik apa yang kita bahas dalam pelajaran sebelumnya?

Bentuk umum persamaan lingkaran?

Lakukan secara lisan:

Survei kilat

3. Pengenalan materi baru.

Menurut Anda angka apa yang akan kita pertimbangkan hari ini... Bagaimana jika ada dua??

Bagaimana mereka bisa ditemukan???

Anak-anak menunjukkan dengan tangannya (tetangga) bagaimana lingkaran dapat disusun (menit pendidikan jasmani)

Nah, menurut Anda apa yang harus kita pertimbangkan hari ini?? Hari ini kita harus mempertimbangkan posisi relatif dua lingkaran. Dan cari tahu berapa jarak antar pusat tergantung lokasinya.

Topik pelajaran: « Posisi relatif dua lingkaran. Penyelesaian masalah. »

1. Lingkaran konsentris

2. Lingkaran yang terputus-putus

3. Sentuhan eksternal

4. Lingkaran berpotongan

5. Sentuhan batin

Jadi mari kita simpulkan

4.Pembentukan keterampilan dan kemampuan

Temukan kesalahan dalam data atau pernyataan dan perbaiki, sesuaikan pendapat Anda:

A) Dua lingkaran bersentuhan. Jari-jarinya sama dengan R = 8 cm dan r = 2 cm, jarak pusatnya d = 6.
B) Dua lingkaran mempunyai paling sedikit dua titik yang sama.

B) R = 4, r = 3, d = 5. Lingkaran tidak mempunyai titik persekutuan.

D) R = 8, r = 6, d = 4. Lingkaran yang lebih kecil terletak di dalam lingkaran yang lebih besar.

D) Dua lingkaran tidak dapat diposisikan sedemikian rupa sehingga yang satu berada di dalam lingkaran yang lain.

5. Konsolidasi keterampilan dan kemampuan.

Lingkaran tersebut bersentuhan secara eksternal. Jari-jari lingkaran yang lebih kecil adalah 3 cm. Jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah 5 cm. Berapa jarak pusatnya?

Penyelesaian: 3+5=8(cm)

Lingkaran itu bersentuhan secara internal. Jari-jari lingkaran yang lebih kecil adalah 3 cm. Jari-jari lingkaran yang lebih besar adalah 5 cm. Berapa jarak pusat lingkaran?

Solusi: 5-3=2(cm)

Lingkaran itu bersentuhan secara internal. Jarak pusat lingkaran adalah 2,5 cm. Berapakah jari-jari lingkaran tersebut?

jawaban: (5,5 cm dan 3 cm), (6,5 cm dan 4 cm), dst.

MEMERIKSA PEMAHAMAN

1) Bagaimana posisi dua lingkaran?

2) Dalam hal apa lingkaran mempunyai satu titik persekutuan?

3) Titik persekutuan dua lingkaran disebut?

4) Sentuhan apa yang kamu ketahui?

5) Kapan lingkaran-lingkaran tersebut berpotongan?

6) Lingkaran apa yang disebut konsentris?

Tugas tambahan pada topik: Vektor. Metode koordinat "(jika ada waktu tersisa)

1)E(4;12),F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) Temukan:

a) koordinat vektorE.F., G.H.

b) panjang vektorFG

c) koordinat titik O – tengahE.F.

koordinat titikW- tengahG.H.

d) persamaan lingkaran dengan diameterFG

e) persamaan garisFH

6. Pekerjaan rumah

& 96 No.1000. Persamaan berikut yang manakah merupakan persamaan lingkaran. Temukan pusat dan jari-jarinya

7. Menyimpulkan pelajaran (3 menit)

(memberikan penilaian kualitatif terhadap hasil kerja kelas dan individu siswa).

8. Tahap refleksi (2 menit.)

(memulai refleksi siswa tentang keadaan emosi, aktivitas, interaksi dengan guru dan teman sekelas menggunakan gambar)

Misalkan lingkaran ditentukan oleh vektor dari titik asal ke pusat dan jari-jari lingkaran tersebut.

Perhatikan lingkaran A dan B dengan jari-jari Ra dan Rb serta vektor jari-jari (vektor ke pusat) a dan b. Apalagi Oa dan Ob adalah pusatnya. Tanpa kehilangan keumumannya, kita asumsikan bahwa Ra > Rb.

Maka kondisi berikut terpenuhi:

Tujuan 1: Rumah bangsawan penting

Titik potong dua lingkaran

Misalkan A dan B berpotongan di dua titik. Mari kita cari titik potong ini.

Untuk melakukan ini, vektor dari a ke titik P, yang terletak pada lingkaran A dan terletak di OaOb. Untuk melakukan ini, Anda perlu mengambil vektor b - a, yang akan menjadi vektor antara dua pusat, menormalkannya (menggantinya dengan vektor satuan searah) dan mengalikannya dengan Ra. Kami menyatakan vektor yang dihasilkan sebagai p. Konfigurasi ini dapat dilihat pada Gambar. 6

Beras. 6. Vektor a, b, p dan tempat tinggalnya.

Mari kita nyatakan i1 dan i2 sebagai vektor dari a ke titik potong I1 dan I2 dua lingkaran. Jelas terlihat bahwa i1 dan i2 diperoleh melalui rotasi dari p. Karena kita mengetahui semua sisi segitiga OaI1Ob dan OaI2Ob (Radius dan jarak antar pusat), kita dapat memperoleh sudut fi, memutar vektor p ke satu arah akan menghasilkan I1, dan di arah lain I2.

Menurut teorema kosinus, sama dengan:

Jika Anda memutar p dengan fi, Anda mendapatkan i1 atau i2, tergantung ke arah mana Anda memutarnya. Selanjutnya vektor i1 atau i2 harus dijumlahkan dengan a untuk mendapatkan titik potong

Cara ini akan berhasil meskipun pusat salah satu lingkaran terletak di dalam lingkaran lainnya. Namun di sana vektor p pasti harus ditentukan dalam arah dari a ke b, itulah yang kami lakukan. Jika Anda membangun p berdasarkan lingkaran lain, maka tidak akan ada hasilnya

Sebagai kesimpulan, satu fakta harus disebutkan: jika lingkaran bersentuhan, maka mudah untuk memverifikasi bahwa P adalah titik kontak (ini berlaku untuk kontak internal dan eksternal).
Di sini Anda dapat melihat visualisasinya (Anda perlu mengklik untuk meluncurkannya).

Masalah 2: Titik persimpangan

Metode ini berhasil, tetapi alih-alih menghitung sudut rotasi, Anda dapat menghitung kosinusnya, dan sinusnya melaluinya, lalu menggunakannya saat memutar vektor. Ini akan menyederhanakan penghitungan secara signifikan dengan menghilangkan kode dari fungsi trigonometri.