Apresentação para a aula “Comparação de logaritmos” material de preparação para o Exame Estadual Unificado (GIA) de álgebra (11ª série) sobre o tema. Propriedades básicas de logaritmos Compare logaritmos com exemplos de bases diferentes

propriedades principais.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

motivos idênticos

Log6 4 + log6 9.

Agora vamos complicar um pouco a tarefa.

Exemplos de resolução de logaritmos

E se a base ou argumento de um logaritmo for uma potência? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É claro que todas essas regras fazem sentido se a ODZ do logaritmo for observada: a > 0, a ≠ 1, x >

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Transição para uma nova fundação

Seja dado o logaritmo logax. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Veja também:

Propriedades básicas do logaritmo

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O expoente é 2,718281828…. Para lembrar o expoente, você pode estudar a regra: o expoente é igual a 2,7 e duas vezes o ano de nascimento de Leo Nikolaevich Tolstoy.

Propriedades básicas dos logaritmos

Conhecendo esta regra, você saberá o valor exato do expoente e a data de nascimento de Leão Tolstói.

Exemplos para logaritmos

Expressões logarítmicas

Exemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando as propriedades 3.5 calculamos

2.

3.

4. Onde .

Exemplo 2. Encontre x se

Exemplo 3. Seja dado o valor dos logaritmos

Calcule log(x) se

Propriedades básicas dos logaritmos

Os logaritmos, como qualquer número, podem ser somados, subtraídos e transformados de todas as maneiras. Mas como os logaritmos não são exatamente números comuns, existem regras aqui, que são chamadas propriedades principais.

Definitivamente, você precisa conhecer essas regras - sem elas, nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido. Além disso, são poucos - você pode aprender tudo em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com as mesmas bases: logax e logay. Então eles podem ser somados e subtraídos e:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é igual ao logaritmo do quociente. Atenção: o ponto chave aqui é motivos idênticos. Se os motivos forem diferentes, estas regras não funcionam!

Estas fórmulas irão ajudá-lo a calcular uma expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (veja a lição “O que é um logaritmo”). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Como os logaritmos têm as mesmas bases, usamos a fórmula da soma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log2 48 − log2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log3 135 − log3 5.

Novamente as bases são iguais, então temos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos “ruins”, que não são calculados separadamente. Mas após as transformações, são obtidos números completamente normais. Muitos testes são baseados neste fato. Sim, expressões semelhantes a testes são oferecidas com toda a seriedade (às vezes praticamente sem alterações) no Exame de Estado Unificado.

Extraindo o expoente do logaritmo

É fácil perceber que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar disso de qualquer maneira - em alguns casos, isso reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o ODZ do logaritmo for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não só da esquerda para a direita, mas também vice-versa , ou seja Você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo. Isto é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log7 496.

Vamos nos livrar do grau no argumento usando a primeira fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Observe que o denominador contém um logaritmo, cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 24; 49 = 72. Temos:

Acho que o último exemplo requer alguns esclarecimentos. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento trabalhamos apenas com o denominador.

Fórmulas de logaritmo. Soluções de exemplos de logaritmos.

Apresentamos a base e o argumento do logaritmo ali na forma de potências e retiramos os expoentes - obtivemos uma fração de “três andares”.

Agora vamos dar uma olhada na fração principal. O numerador e o denominador contêm o mesmo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, e foi isso que foi feito. O resultado foi a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se os motivos forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

As fórmulas para a transição para uma nova base vêm em socorro. Vamos formulá-los na forma de um teorema:

Seja dado o logaritmo logax. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Em particular, se definirmos c = x, obteremos:

Da segunda fórmula segue-se que a base e o argumento do logaritmo podem ser trocados, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo aparece no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar o quão convenientes eles são apenas na resolução de equações e desigualdades logarítmicas.

No entanto, existem problemas que não podem ser resolvidos, exceto com a mudança para uma nova fundação. Vejamos alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log5 16 log2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos contêm potências exatas. Vamos retirar os indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Agora vamos “inverter” o segundo logaritmo:

Como o produto não muda quando os fatores são reorganizados, multiplicamos calmamente quatro por dois e depois tratamos dos logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar isso e nos livrar dos indicadores:

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal passando para uma nova base:

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes no processo de solução é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Neste caso, as seguintes fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas um valor logarítmico.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É assim que se chama: .

Na verdade, o que acontece se o número b for elevado a tal potência que o número b elevado a esta potência dê o número a? Isso mesmo: o resultado é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas ficam presas nele.

Tal como as fórmulas para passar para uma nova base, a identidade logarítmica básica é por vezes a única solução possível.

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Observe que log25 64 = log5 8 - simplesmente tirou o quadrado da base e do argumento do logaritmo. Levando em consideração as regras de multiplicação de potências com a mesma base, obtemos:

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do Exame Estadual Unificado :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Concluindo, darei duas identidades que dificilmente podem ser chamadas de propriedades - antes, são consequências da definição do logaritmo. Eles aparecem constantemente em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos “avançados”.

1. logaa = 1 é. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base a dessa base é igual a um.
2. loga 1 = 0 é. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento contiver um, o logaritmo será igual a zero! Porque a0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

Veja também:

O logaritmo de b na base a denota a expressão. Calcular o logaritmo significa encontrar uma potência x () na qual a igualdade é satisfeita

Propriedades básicas do logaritmo

É necessário conhecer as propriedades acima, pois quase todos os problemas e exemplos relacionados aos logaritmos são resolvidos com base nelas. O resto das propriedades exóticas podem ser derivadas através de manipulações matemáticas com estas fórmulas

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Ao calcular a fórmula para a soma e diferença dos logaritmos (3.4), você se depara com bastante frequência. Os demais são um tanto complexos, mas em diversas tarefas são indispensáveis ​​para simplificar expressões complexas e calcular seus valores.

Casos comuns de logaritmos

Alguns dos logaritmos comuns são aqueles em que a base é igual a dez, exponencial ou dois.
O logaritmo na base dez é geralmente chamado de logaritmo decimal e é simplesmente denotado por lg(x).

Fica claro na gravação que o básico não está escrito na gravação. Por exemplo

Um logaritmo natural é um logaritmo cuja base é um expoente (denotado por ln(x)).

O expoente é 2,718281828…. Para lembrar o expoente, você pode estudar a regra: o expoente é igual a 2,7 e duas vezes o ano de nascimento de Leo Nikolaevich Tolstoy. Conhecendo esta regra, você saberá o valor exato do expoente e a data de nascimento de Leão Tolstói.

E outro logaritmo importante para a base dois é denotado por

A derivada do logaritmo de uma função é igual a um dividido pela variável

O logaritmo integral ou antiderivado é determinado pela relação

O material fornecido é suficiente para você resolver uma ampla classe de problemas relacionados a logaritmos e logaritmos. Para ajudá-lo a entender o material, darei apenas alguns exemplos comuns do currículo escolar e das universidades.

Exemplos para logaritmos

Expressões logarítmicas

Exemplo 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Usando as propriedades 3.5 calculamos

2.
Pela propriedade da diferença de logaritmos temos

3.
Usando as propriedades 3.5 encontramos

4. Onde .

Uma expressão aparentemente complexa é simplificada usando uma série de regras

Encontrando valores de logaritmo

Exemplo 2. Encontre x se

Solução. Para cálculo, aplicamos ao último termo 5 e 13 propriedades

Nós registramos e lamentamos

Como as bases são iguais, igualamos as expressões

Logaritmos. Primeiro nível.

Deixe o valor dos logaritmos ser dado

Calcule log(x) se

Solução: vamos pegar um logaritmo da variável para escrever o logaritmo através da soma de seus termos

Este é apenas o começo de nosso conhecimento dos logaritmos e suas propriedades. Pratique cálculos, enriqueça suas habilidades práticas - em breve você precisará do conhecimento adquirido para resolver equações logarítmicas. Tendo estudado os métodos básicos para resolver tais equações, expandiremos seu conhecimento para outro tópico igualmente importante - desigualdades logarítmicas...

Propriedades básicas dos logaritmos

Os logaritmos, como qualquer número, podem ser somados, subtraídos e transformados de todas as maneiras. Mas como os logaritmos não são exatamente números comuns, existem regras aqui, que são chamadas propriedades principais.

Definitivamente, você precisa conhecer essas regras - sem elas, nenhum problema logarítmico sério pode ser resolvido. Além disso, são poucos - você pode aprender tudo em um dia. Então vamos começar.

Adição e subtração de logaritmos

Considere dois logaritmos com as mesmas bases: logax e logay. Então eles podem ser somados e subtraídos e:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax - logay = loga (x: y).

Assim, a soma dos logaritmos é igual ao logaritmo do produto, e a diferença é igual ao logaritmo do quociente. Atenção: o ponto chave aqui é motivos idênticos. Se os motivos forem diferentes, estas regras não funcionam!

Estas fórmulas irão ajudá-lo a calcular uma expressão logarítmica mesmo quando suas partes individuais não são consideradas (veja a lição “O que é um logaritmo”). Dê uma olhada nos exemplos e veja:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log6 4 + log6 9.

Como os logaritmos têm as mesmas bases, usamos a fórmula da soma:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log2 48 − log2 3.

As bases são iguais, usamos a fórmula da diferença:
log2 48 - log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log3 135 − log3 5.

Novamente as bases são iguais, então temos:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Como você pode ver, as expressões originais são compostas de logaritmos “ruins”, que não são calculados separadamente. Mas após as transformações, são obtidos números completamente normais. Muitos testes são baseados neste fato. Sim, expressões semelhantes a testes são oferecidas com toda a seriedade (às vezes praticamente sem alterações) no Exame de Estado Unificado.

Extraindo o expoente do logaritmo

Agora vamos complicar um pouco a tarefa. E se a base ou argumento de um logaritmo for uma potência? Então o expoente deste grau pode ser retirado do sinal do logaritmo de acordo com as seguintes regras:

É fácil perceber que a última regra segue as duas primeiras. Mas é melhor lembrar disso de qualquer maneira - em alguns casos, isso reduzirá significativamente a quantidade de cálculos.

Claro, todas essas regras fazem sentido se o ODZ do logaritmo for observado: a > 0, a ≠ 1, x > 0. E mais uma coisa: aprenda a aplicar todas as fórmulas não só da esquerda para a direita, mas também vice-versa , ou seja Você pode inserir os números antes do sinal do logaritmo no próprio logaritmo.

Como resolver logaritmos

Isto é o que é mais frequentemente necessário.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log7 496.

Vamos nos livrar do grau no argumento usando a primeira fórmula:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Observe que o denominador contém um logaritmo, cuja base e argumento são potências exatas: 16 = 24; 49 = 72. Temos:

Acho que o último exemplo requer alguns esclarecimentos. Para onde foram os logaritmos? Até o último momento trabalhamos apenas com o denominador. Apresentamos a base e o argumento do logaritmo ali na forma de potências e retiramos os expoentes - obtivemos uma fração de “três andares”.

Agora vamos dar uma olhada na fração principal. O numerador e o denominador contêm o mesmo número: log2 7. Como log2 7 ≠ 0, podemos reduzir a fração - 2/4 permanecerá no denominador. Pelas regras da aritmética, o quatro pode ser transferido para o numerador, e foi isso que foi feito. O resultado foi a resposta: 2.

Transição para uma nova fundação

Falando sobre as regras de adição e subtração de logaritmos, enfatizei especificamente que elas só funcionam com as mesmas bases. E se os motivos forem diferentes? E se não forem potências exatas do mesmo número?

As fórmulas para a transição para uma nova base vêm em socorro. Vamos formulá-los na forma de um teorema:

Seja dado o logaritmo logax. Então, para qualquer número c tal que c > 0 e c ≠ 1, a igualdade é verdadeira:

Em particular, se definirmos c = x, obteremos:

Da segunda fórmula segue-se que a base e o argumento do logaritmo podem ser trocados, mas neste caso toda a expressão é “invertida”, ou seja, o logaritmo aparece no denominador.

Essas fórmulas raramente são encontradas em expressões numéricas comuns. É possível avaliar o quão convenientes eles são apenas na resolução de equações e desigualdades logarítmicas.

No entanto, existem problemas que não podem ser resolvidos, exceto com a mudança para uma nova fundação. Vejamos alguns deles:

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log5 16 log2 25.

Observe que os argumentos de ambos os logaritmos contêm potências exatas. Vamos retirar os indicadores: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Agora vamos “inverter” o segundo logaritmo:

Como o produto não muda quando os fatores são reorganizados, multiplicamos calmamente quatro por dois e depois tratamos dos logaritmos.

Tarefa. Encontre o valor da expressão: log9 100 lg 3.

A base e o argumento do primeiro logaritmo são potências exatas. Vamos anotar isso e nos livrar dos indicadores:

Agora vamos nos livrar do logaritmo decimal passando para uma nova base:

Identidade logarítmica básica

Muitas vezes no processo de solução é necessário representar um número como um logaritmo para uma determinada base. Neste caso, as seguintes fórmulas nos ajudarão:

No primeiro caso, o número n torna-se o expoente do argumento. O número n pode ser absolutamente qualquer coisa, porque é apenas um valor logarítmico.

A segunda fórmula é na verdade uma definição parafraseada. É assim que se chama: .

Na verdade, o que acontece se o número b for elevado a tal potência que o número b elevado a esta potência dê o número a? Isso mesmo: o resultado é o mesmo número a. Leia este parágrafo com atenção novamente - muitas pessoas ficam presas nele.

Tal como as fórmulas para passar para uma nova base, a identidade logarítmica básica é por vezes a única solução possível.

Tarefa. Encontre o significado da expressão:

Observe que log25 64 = log5 8 - simplesmente tirou o quadrado da base e do argumento do logaritmo. Levando em consideração as regras de multiplicação de potências com a mesma base, obtemos:

Se alguém não sabe, esta foi uma tarefa real do Exame Estadual Unificado :)

Unidade logarítmica e zero logarítmico

Concluindo, darei duas identidades que dificilmente podem ser chamadas de propriedades - antes, são consequências da definição do logaritmo. Eles aparecem constantemente em problemas e, surpreendentemente, criam problemas até mesmo para alunos “avançados”.

1. logaa = 1 é. Lembre-se de uma vez por todas: o logaritmo para qualquer base a dessa base é igual a um.
2. loga 1 = 0 é. A base a pode ser qualquer coisa, mas se o argumento contiver um, o logaritmo será igual a zero! Porque a0 = 1 é uma consequência direta da definição.

Essas são todas as propriedades. Certifique-se de praticar colocá-los em prática! Baixe a folha de dicas no início da lição, imprima-a e resolva os problemas.

Vamos começar com propriedades do logaritmo de um. Sua formulação é a seguinte: o logaritmo da unidade é igual a zero, ou seja, registrar um 1=0 para qualquer a>0, a≠1. A prova não é difícil: como a 0 =1 para qualquer a que satisfaça as condições acima a>0 e a≠1, então o log de igualdade a 1=0 a ser provado segue imediatamente da definição do logaritmo.

Vamos dar exemplos de aplicação da propriedade considerada: log 3 1=0, log1=0 e .

Vamos passar para a próxima propriedade: o logaritmo de um número igual à base é igual a um, aquilo é, registrar uma a = 1 para a>0, a≠1. Na verdade, como a 1 =a para qualquer a, então, por definição do logaritmo, log a a=1.

Exemplos de uso desta propriedade de logaritmos são as igualdades log 5 5=1, log 5,6 5,6 e lne=1.

Por exemplo, log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 e .

Logaritmo do produto de dois números positivos x e y são iguais ao produto dos logaritmos desses números: log a (x y) = log a x + log a y, uma>0 , uma≠1 . Vamos provar a propriedade do logaritmo de um produto. Devido às propriedades do grau a log a x+log a y =a log a x ·a log a y, e como pela identidade logarítmica principal um log a x =x e um log a y =y, então um log a x ·a log a y =x·y. Assim, um log a x+log a y =x·y, do qual, pela definição de logaritmo, segue a igualdade que está sendo provada.

Vamos mostrar exemplos de uso da propriedade do logaritmo de um produto: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 e .

A propriedade do logaritmo de um produto pode ser generalizada para o produto de um número finito n de números positivos x 1 , x 2 , …, x n como log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Esta igualdade pode ser provada sem problemas.

Por exemplo, o logaritmo natural do produto pode ser substituído pela soma de três logaritmos naturais dos números 4, e, e.

Logaritmo do quociente de dois números positivos xey é igual à diferença entre os logaritmos desses números. A propriedade do logaritmo de um quociente corresponde a uma fórmula da forma , onde a>0, a≠1, x e y são alguns números positivos. A validade desta fórmula é comprovada assim como a fórmula do logaritmo de um produto: já que , então por definição do logaritmo.

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade do logaritmo: .

Vamos passar para propriedade do logaritmo da potência. O logaritmo de um grau é igual ao produto do expoente pelo logaritmo do módulo da base deste grau. Vamos escrever esta propriedade do logaritmo de uma potência como uma fórmula: log a b p =p·log a |b|, onde a>0, a≠1, b e p são números tais que o grau b p faz sentido e b p >0.

Primeiro provamos esta propriedade para b positivo. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então b p =(a log a b) p , e a expressão resultante, devido à propriedade de potência, é igual a a p·log a b . Chegamos então à igualdade b p =a p·log a b, da qual, pela definição de logaritmo, concluímos que log a b p =p·log a b.

Resta provar esta propriedade para b negativo. Aqui notamos que a expressão log a b p para b negativo só faz sentido para expoentes pares p (já que o valor do grau b p deve ser maior que zero, caso contrário o logaritmo não fará sentido), e neste caso b p =|b| pág. Então bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, de onde log a b p =p·log a |b| .

Por exemplo, e ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Segue da propriedade anterior propriedade do logaritmo da raiz: o logaritmo da enésima raiz é igual ao produto da fração 1/n pelo logaritmo da expressão radical, ou seja, , onde a>0, a≠1, n é um número natural maior que um, b>0.

A prova é baseada na igualdade (ver), que é válida para qualquer b positivo, e na propriedade do logaritmo da potência: .

Aqui está um exemplo de uso desta propriedade: .

Agora vamos provar fórmula para mudar para uma nova base logarítmica tipo . Para isso, basta provar a validade do log de igualdade c b=log a b·log c a. A identidade logarítmica básica nos permite representar o número b como a log a b , então log c b=log c a log a b . Resta usar a propriedade do logaritmo do grau: log c a log a b =log a b log c a. Isto prova a igualdade log c b=log a b·log c a, o que significa que a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo também foi provada.

Vamos mostrar alguns exemplos de uso desta propriedade dos logaritmos: e .

A fórmula para passar para uma nova base permite que você passe a trabalhar com logaritmos que possuem uma base “conveniente”. Por exemplo, pode ser usado para ir para logaritmos naturais ou decimais para que você possa calcular o valor de um logaritmo a partir de uma tabela de logaritmos. A fórmula de passagem para uma nova base de logaritmo também permite, em alguns casos, encontrar o valor de um determinado logaritmo quando são conhecidos os valores de alguns logaritmos com outras bases.

Um caso especial da fórmula para transição para uma nova base logarítmica para c=b da forma é frequentemente usado . Isso mostra que log a b e log b a – . Por exemplo, .

A fórmula também é frequentemente usada , o que é conveniente para encontrar valores logarítmicos. Para confirmar nossas palavras, mostraremos como ele pode ser usado para calcular o valor de um logaritmo da forma . Nós temos . Para provar a fórmula basta usar a fórmula de transição para uma nova base do logaritmo a: .

Resta provar as propriedades de comparação de logaritmos.

Vamos provar que para quaisquer números positivos b 1 e b 2, b 1 log a b 2 , e para a>1 – a desigualdade log a b 1

Finalmente, resta provar a última das propriedades listadas dos logaritmos. Limitemo-nos à prova da sua primeira parte, ou seja, provaremos que se a 1 >1, a 2 >1 e a 1 1 é verdadeiro log a 1 b>log a 2 b . As demais afirmações desta propriedade dos logaritmos são provadas de acordo com um princípio semelhante.

Vamos usar o método oposto. Suponha que para a 1 >1, a 2 >1 e a 1 1 é verdadeiro log a 1 b≤log a 2 b . Com base nas propriedades dos logaritmos, essas desigualdades podem ser reescritas como E respectivamente, e deles segue que log b a 1 ≤log b a 2 e log b a 1 ≥log b a 2, respectivamente. Então, de acordo com as propriedades das potências com as mesmas bases, as igualdades b log b a 1 ≥b log b a 2 e b log b a 1 ≥b log b a 2 devem ser válidas, ou seja, a 1 ≥a 2 . Então chegamos a uma contradição com a condição a 1

Bibliografia.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. e outros. Álgebra e os primórdios da análise: Livro didático para 10ª a 11ª séries de instituições de ensino geral.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matemática (manual para quem ingressa em escolas técnicas).

Comparar os valores dos logaritmos ou o valor de um logaritmo com um determinado número ocorre na prática de resolução de problemas escolares não apenas como uma tarefa independente. Você tem que comparar logaritmos, por exemplo, ao resolver equações e inequações. Os materiais do artigo (problemas e suas soluções) estão organizados de acordo com o princípio “do simples ao complexo” e podem ser utilizados para preparar e ministrar uma aula (aulas) sobre o tema, bem como em aulas optativas. O número de tarefas consideradas numa aula depende do nível da turma e da sua área de especialização. Nas aulas de matemática avançada, este material pode ser usado para uma aula expositiva de duas horas.

1. (Oralmente.) Quais das funções estão aumentando e quais estão diminuindo:

Comente. Este exercício é um exercício preparatório.

2. (Oralmente.)Compare com zero:

Comente. Ao resolver o exercício nº 2, você pode usar as propriedades da função logarítmica usando o gráfico da função logarítmica e o seguinte propriedade útil:

se os números positivos aeb estão na reta numérica à direita de 1 ou à esquerda de 1 (ou seja, a>1 e b>1 ou 0 0 ;
se os números positivos aeb estão na reta numérica em lados opostos de 1 (ou seja, 0 .

Vamos mostrar o uso desta propriedade na decisão nº 2 (a).

Já que a função y = log 7t aumenta em R+, 10 > 7, então log 7 10 > log 7 7, ou seja, log 7 10 > 1. Assim, os números positivos sin3 e log 7 10 estão em lados opostos de 1. Portanto, log sin3 log 7 10< 0.

3. (Oralmente.) Encontre o erro de raciocínio:

Função y = lgt aumenta em R + , então ,

Vamos dividir ambos os lados da última desigualdade por. Obtemos que 2 > 3.

Solução.

Os números positivos e 10 (a base do logaritmo) estão em lados opostos de 1. Isso significa que< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Oralmente.) Compare os números:

Comente. Ao resolver os exercícios nº 4 (a – c), usamos a propriedade de monotonicidade da função logarítmica. Para a solução nº 4(d), usamos a propriedade:

se c > a >1, então para b>1 a desigualdade log a b > log c b é verdadeira.

Solução 4(d).

Desde 1< 5 < 7 и 13 >1, então registre 5 13 > registre 7 13.

5. Compare números registro 2 6 e 2.

Solução.

Primeira maneira (usando a monotonicidade da função logarítmica).

Função y = log 2 t aumenta em R+, 6 > 4. Então, registro 2 6 > registro 2 4 E registro 2 5 > 2.

O segundo método (compondo a diferença).

Vamos compensar a diferença.

6. Compare números E -1.

Função você = diminui em R+ , 3 < 5. Значит, >E > -1 .

7. Compare números E 3log 8 26 .

Função y = log 2 t aumenta em R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Primeira maneira.

Vamos multiplicar ambos os lados da desigualdade por 3:

Função y = log 5t aumenta em R+ , 27 > 25. Então,

Segunda maneira.

Vamos compensar a diferença
. Daqui.

9. Compare os números log 4 26 E registro 6 17.

Vamos estimar os logaritmos, levando em consideração que as funções y = log 4 t e y = log 6 t aumentando em R+:

Considerando que as funções diminuindo em R+, Nós temos:

Significa,

Comente. O método de comparação proposto é chamado método de “inserção” ou método de “separação”(encontramos o número 4 separando esses dois números).

11. Compare os números log 2 3 E registro 3 5.

Observe que ambos os logaritmos são maiores que 1, mas menores que 2.

Primeira maneira. Vamos tentar usar o método de “separação”. Vamos comparar logaritmos com o número.

Segundo método ( multiplicação por um número natural).

Nota 1. A essência método “multiplicando por um número natural”é que estamos procurando um número natural k, quando multiplicado pelo qual os números comparados a E b pegue esses números ka E KB que existe pelo menos um número inteiro entre eles.

Nota 2. A implementação do método acima pode ser muito trabalhosa se os números comparados forem muito próximos uns dos outros.
Neste caso, você pode tentar comparar método de “subtrair um”" Vamos mostrar isso no exemplo a seguir.

12. Compare os números log 7 8 E registro 6 7.

Primeira maneira (subtraia um).

Subtraia 1 dos números que estão sendo comparados.

Na primeira desigualdade usamos o fato de que

se c > a > 1, então para b > 1 a desigualdade log a b > log c b é verdadeira.

Na segunda desigualdade – a monotonicidade da função y = log a x.

Segunda via (aplicação da desigualdade de Cauchy).

13. Compare os números log 24 72 E registro 12 18.

14. Compare os números log 20 80 E registro 80 640.

Seja log 2 5 = x. notar que x > 0.

Temos desigualdade.

Vamos encontrar muitas soluções para a desigualdade, satisfazendo a condição x > 0.

Vamos construir ambos os lados da desigualdade ao quadrado (em x> 0 ambos os lados da desigualdade são positivos). Temos 9x2< 9x + 28.

O conjunto de soluções para a última desigualdade é o intervalo.

Considerando que x> 0, obtemos: .

Resposta: A desigualdade é verdadeira.

Oficina de resolução de problemas.

1. Compare os números:

2. Organize os números em ordem crescente:

3. Resolva a desigualdade 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . É o número √2 solução para esta desigualdade? (Responder:(–∞; log 2 3) ; número √2 é uma solução para esta desigualdade.)

Conclusão.

Existem muitos métodos para comparar logaritmos. O objetivo das aulas sobre este tema é ensinar a navegar pela variedade de métodos, a escolher e aplicar a solução mais racional em cada situação específica.

Nas aulas com estudo aprofundado de matemática, o material sobre o tema pode ser apresentado em forma de aula expositiva. Esta forma de atividade educativa pressupõe que o material expositivo seja cuidadosamente selecionado, elaborado e organizado em uma determinada sequência lógica. As anotações que o professor faz no quadro devem ser bem pensadas e matematicamente precisas.

É aconselhável consolidar o material teórico e praticar a resolução de problemas nas aulas práticas. O objetivo do workshop não é apenas consolidar e testar os conhecimentos adquiridos, mas também ampliá-los. Portanto, as tarefas devem conter tarefas de diferentes níveis, desde as tarefas mais simples até tarefas de maior complexidade. O professor nessas oficinas atua como consultor.

Literatura.

1. Galitsky M.L. e outros. Estudo aprofundado da disciplina de álgebra e análise matemática: Método. recomendações e materiais didáticos: Um manual para professores – M.: Educação, 1986.
2. Ziv BG, Goldich VA. Materiais didáticos sobre álgebra e análise básica para o 10º ano. – São Petersburgo: “CheRo-on-Neva”, 2003.
3. Litvinenko V.N., Mordkovich A.G. Workshop de matemática elementar. Álgebra. Trigonometria: Publicação educacional. – M.: Educação, 1990.
4. Ryazanovsky A.R.Álgebra e os primórdios da análise: 500 formas e métodos de resolução de problemas de matemática para alunos e ingressantes nas universidades. – M.: Abetarda, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V. Matemática. Problemas de competição em álgebra com soluções. Parte 4. Equações logarítmicas, desigualdades, sistemas. Textbook.-3ª ed., ster.-M.: Departamento de Publicação da UNTsDO, 2003.
6. Sharygin I.F., Golubev V.I. Disciplina optativa de matemática: Resolução de problemas: Proc. subsídio para o 11º ano. escola secundária – M.: Prosveshchenie, 1991.

Na seção sobre a questão de como comparar logaritmos quando....(+)? dado pelo autor Peneirar a melhor resposta é Ou você não pode reduzi-lo a uma base, mas usar as propriedades da função logarítmica.
Se a base de uma função logarítmica for maior que 1, então a função aumenta, e para x > 1, quanto menor a base, mais alto está localizado o gráfico,
para 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Se a base do logaritmo for maior que zero e menor que 1, então a função é decrescente,
Além disso, para x > 1, quanto menor a base, maior o gráfico,
para 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Será assim:

Resposta de magrelo[guru]
Reduza os logaritmos à mesma base (por exemplo, a um número natural) e depois compare.
1. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); uma>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); uma>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Resposta de Neuropatologista[guru]
Use a fórmula para mudar para uma nova base: log(a)b=1/log(b)a.
Em seguida, compare os denominadores das frações como logaritmos com a mesma base.
De duas frações com numeradores iguais, a fração com denominador menor é maior.
Por exemplo, log(7)16 e log(3)16
1/log(16)7 e 1/log(16)3
Desde log(16)7>log(16)3, então 1/log(16)7< 1/log(16)3.