Kuvvet fonksiyonu, özellikleri ve grafiği Gösteri materyali Ders-konuşma Fonksiyon kavramı. Fonksiyon özellikleri

Son dersimizde “Üslü sayı kavramı” konusundaki bilgilerimizi tekrarladık ve genelleştirdik.

Hatırlayalım ki - pe'nin ku'ya bölümü sıradan bir kesir ise ve ku bire eşit değilse ve a sıfırdan büyük veya sıfıra eşitse, o zaman a üzeri pe'nin ku'ya bölümü ifadesiyle kökünü kastediyoruz. a'nın ku derecesinin pe'nin kuvveti.

Örneğin, bir virgül üç üssü üç yedinci, bir virgül üç küpün yedinci kökü olarak yazılabilir.

k'nin herhangi bir gerçel sayı olduğu formdaki fonksiyonlara genellikle kuvvet fonksiyonları denir.

Bugün k'nin rasyonel (kesirli) bir üs olduğu durumu ele alacağız.

7-9. sınıflar için cebir dersinde doğal üslü kuvvet fonksiyonlarının özelliklerini ve grafiklerini incelediniz. Fonksiyon (k-herhangi bir gerçek sayı), kuvvet fonksiyonu.

k=n (n∈N) için doğal üslü -kuvvet fonksiyonu.

Bu tür fonksiyonların grafiklerini hatırlayalım.

Fonksiyonun grafiği veya y=x (y eşittir x üzeri birinci kuvvet veya y eşittir x) düz bir çizgidir.

Fonksiyonun grafiği (E eşittir x kare) bir paraboldür.

Fonksiyonun grafiği (E eşittir X küp) kübik bir paraboldür.

Çift k durumunda bir güç fonksiyonunun grafiği (y eşittir x üzeri ka) bir parabole benzer. Şekil k'nin altıya eşit olduğu bir güç fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.

Bir güç fonksiyonunun grafiği (y eşittir x üzeri ka) tek k durumunda kübik parabole benzer. Şekil k'nin yediye eşit olduğu bir güç fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.

Kuvvet fonksiyonunun üssü negatif bir tamsayıya sahipse, şu formda bir fonksiyon elde ederiz: y eşittir x üzeri kuvvet eksi en veya y eşittir bir bölü x üzeri n'inci kuvvet.

Eğer n çift sayı ise grafik şekilde gösterilene benzer.

y=x-2 veya y= fonksiyonu nerede gösteriliyor?

Eğer n tek sayı ise grafik şu şekilde görünür.

Çizimde y=x-3 veya y= fonksiyonu gösterilmektedir

Bir kuvvet fonksiyonunun üssü sıfıra eşitse, o zaman fonksiyon şu formu alacaktır: Böyle bir fonksiyonun grafiği, birinci ordinattan geçen ve apsis eksenine paralel olan düz bir çizgidir.

k=-n (n∈Z) için, negatif tamsayı üssü olan -kuvvet fonksiyonu.

K'nın negatif veya pozitif bir kesirli sayı olduğu bir kuvvet fonksiyonunu düşünün (E, x'in kuvveti k'ye eşittir).

Örnek olarak, bir kuvvet fonksiyonunun grafiğini oluşturalım (E eşittir x üzeri iki virgül üç).

Tanımının alanı (yani x tarafından kabul edilen tüm değerler), sıfır noktasında başlayan bir ışındır.

Bu tanım alanında, fonksiyonların grafiklerini oluşturacağız (y eşittir x kare) - bu açık yeşil renkle vurgulanmış bir parabolün dalıdır ve (y eşittir x küp) - kübik parabolün vurgulanmış bir dalıdır koyu yeşil renkte.

(0;1) aralığında kübik parabolün parabolün altında ve açık ışının (1;+) üstünde bulunduğunu doğrulamak kolaydır.

(y eşittir x kare), (y eşittir x üzeri iki virgül üç) ve (y eşittir x küp) fonksiyonlarının grafiklerinin (0;0) noktalarından geçtiğini lütfen unutmayın. (1;1).

X argümanının diğer değerleri için, fonksiyonun grafiği (y eşittir x üzeri iki virgül üç), fonksiyonların grafikleri (y eşittir x kare) ve (y eşittir eşittir) arasındadır. x küp).

Bu durum herhangi bir güç fonksiyonunda da benzerdir; burada uygunsuz bir kesir vardır, yani m payı, n paydasından büyüktür. Bu fonksiyonun grafiği parabolün dalına benzer bir eğridir.

Fonksiyon indeksi k ne kadar yüksek olursa, dal o kadar "dik" yönlendirilir.

Şekil y eşittir x üzeri yedi saniye fonksiyonunun grafiğini göstermektedir.

Böylece, igr kuvvet fonksiyonunun aşağıdaki özelliklerini ayırt edebiliriz: x üzeri em kuvveti bölü en; burada pay m, payda n'den büyüktür.

1. Tanım alanı, x'in sıfırdan artı sonsuza kadar olan değerleridir.

4. Aşağıdan x ekseni ile sınırlıdır, yukarıdan sınırlı değildir.

5.Fonksiyon en küçük değeri sıfır alır; pek önemli değil.

8. Dışbükey aşağı.

Fonksiyonun bir grafiğini oluşturalım; burada uygun kesir (pay, paydadan küçüktür) ve 0'dır.< <1.

Fonksiyonun daha önce tartışılan özellikleri ve grafiği (y eşittir x'in n'inci kökü) veya (y eşittir x üzeri birin kuvveti n'ye bölünür) fonksiyon için de geçerlidir; burada uygun bir kesir ve 0< <1.

Bu özellikleri hatırlayalım:

1. Tanım alanı, sıfırdan artı sonsuza kadar x'in tüm değerleridir.

2. Fonksiyon ne çift ne de tektir.

3. Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca artar.

5. Fonksiyon en küçük değeri sıfır alır; pek önemli değil.

6. Fonksiyon tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

7. Fonksiyonun aralığı oyunun sıfırdan artı sonsuza kadar olan değerleridir.

8. Yukarı doğru dışbükey. fonksiyon, burada uygun bir kesir (pay, paydadan küçüktür) ve 0'dır<

2. Ne çift ne de tek.

3. Artırır.

4. Yukarıdan sınırlı değil, x ekseni ile alttan sınırlanmıştır.

5. ynaim=0; pek önemli değil.

6.Sürekli.

8. Yukarı doğru dışbükey.

Aşağıdaki türdeki kuvvet fonksiyonlarını ele alalım - şu formda bir fonksiyon: y eşittir x üzeri kuvvet eksi em bölü en.

Daha önce, k'nin bir doğal sayı olduğu, x üzeri kuvvet eksi k'ye eşit negatif tamsayı üssü olan bir kuvvet fonksiyonunun grafiğini çizmiştik.

Eğer x sıfırdan büyükse bu fonksiyonun grafiği bir hiperbolün dalına benzer.

Benzer şekilde, negatif rasyonel (kesirli) üssü olan herhangi bir güç fonksiyonunun grafiği oluşturulur.

Böyle bir fonksiyonun grafiğinin iki asimptotu olduğu unutulmamalıdır: yatay bir - y sıfıra eşittir ve dikey bir asimptot - x sıfıra eşittir.

Yani, igr kuvvet fonksiyonu eşittir x üzeri kuvvet eksi em bölü en aşağıdaki özelliklere sahiptir (ve x sıfırdan büyüktür, çünkü negatif üssü olan negatif bir taban olması durumunda ifadenin kuvveti mantıklı olmak):

1) Tanım alanı sıfırdan sonsuza kadar açık bir ışındır.

2) Fonksiyon ne çift ne de tektir.

3) Fonksiyon, tanımın tüm alanı boyunca azalır.

4) Alt kısım x ekseni ile sınırlıdır, üst kısım sınırlı değildir.

5) Fonksiyonun minimum veya maksimum değeri yoktur.

6) Fonksiyon tüm tanım alanı boyunca süreklidir.

7) Fonksiyonun aralığı oyunun sıfırdan artı sonsuza kadar olan değerleridir.

8) Dışbükey aşağı.

Güç fonksiyonunun özellikleri (x 0):

2). Ne çift ne de tek.

3). Azalan.

4). Alt kısım x ekseni ile sınırlıdır, üst kısım sınırlı değildir.

5). En küçük veya en büyük değere sahip değildir.

6). Sürekli

8). Aşağıya doğru dışbükey.

Yrek formundaki bir kuvvet fonksiyonunun türevinin x üssü en'ye eşit olduğunu zaten biliyorsunuz; burada n bir doğal sayıdır, n çarpı x üzeri n eksi bir'e eşittir.

Benzer şekilde, bir kuvvet fonksiyonunun türevini rasyonel bir üsle hesaplayabilirsiniz.

Dolayısıyla aşağıdaki teorem doğrudur:

Eğer x sıfırdan büyükse ve r keyfi bir rasyonel sayı ise, o zaman y güç fonksiyonunun türevi x üzeri r'ye eşittir ve şu formülle hesaplanır: x'in r kuvvetine göre türevi eşittir r çarpı x üzeri r eksi bir.

Örneğin, a üzeri eksi üçüncü kuvvetin türevi eksi üçe ve eksi dört kuvvetine eşittir.

X üzeri eksi üçte ikinin türevi eşittir eksi üçte iki x üzeri eksi üçte beş.

Burada eksi bir, üçte üçün uygunsuz bir kesri olarak temsil edildi, ardından eksi üçte iki ve eksi üçte üç kesirler eklendi.

Teorem: eğer x>0 ise r-rasyonel sayı, o zaman

R bire eşit olmadığında bir güç fonksiyonunun integralini almak için karşılık gelen formülü elde etmek zor değildir. Yani, x üzeri r'nin belirsiz integrali eşittir x üzeri r artı bir bölü r artı bir artı ce sabiti.

Fonksiyonun x üzeri r artı bir'e bölünmesiyle r artı bir'in x üzeri r'ye eşit fonksiyonun ters türevi olduğunu anlamak zor değil. Bir güç fonksiyonunu entegre etmek için formül:

Bir fonksiyon, bir fonksiyonun terstürevidir.

Bir güç fonksiyonunun grafiğini oluştururken edinilen bilginin uygulanmasını düşünelim.

y eşittir x artı iki üzeri yarım fonksiyonunun grafiğini oluşturun.

1. x fonksiyonunun yarım kuvvetinin bir grafiğini oluşturalım. Bu, uygun bir kesir (pay, paydadan küçüktür) ve 0 olan formun bir fonksiyonudur.< <1.График такой функции мы уже строили, на рисунке график выделен красным цветом.

2. y eşittir x artı iki üssü yarım fonksiyonunun grafiğinin, x eksenine göre sola iki birim paralel öteleme kullanılarak oluşturulduğu açıktır. Şekilde grafik yeşil renkle vurgulanmıştır.

Fonksiyonun grafiğini çizin

1. - formun bir fonksiyonu için özel bir durum; burada - uygun bir kesirdir (pay, paydadan küçüktür) ve 0'dır< <1.

2. Grafik, X ekseni boyunca 2 birim sola paralel ötelemeyle elde edilmiştir.

Ders planı:

“Kuvvet fonksiyonu, özellikleri ve grafiği”

Ad Soyad Stadnik Elena Ivanovna

İş yeri St.Petersburg, Puşkinsky bölgesi GBOU okulu No. 606

İngilizce'nin derinlemesine incelenmesi.

İş unvanı matematik öğretmenleri

Öğe Matematikçiler

Sınıf 10

Konu ve konu içindeki numara“Kuvvet fonksiyonu, özellikleri ve grafikleri”

Konuyla ilgili 2 ders (toplam 2 ders)

Temel eğitim Sh.A.Alimov, Yu.M.Kolyagin, Yu.V.

“Cebir ve analizin başlangıcı 10-11”, eğitim kurumları için ders kitabı Rusya Federasyonu Eğitim Bakanlığı tarafından tavsiye edilmiştir: 9. baskı Moskova Eğitim 2007.

Dersin amacı: Standart ve standart dışı cebirsel problemleri çözerken bu konudaki bilgilerin uygulanmasında becerilerin oluşturulması. Matematik dersinde çeşitli konulardaki bilgileri entegre etme yeteneğinin oluşturulması

Görevler:

Eğitimsel: (bilişsel UUD'nin oluşumu)

sayıları karşılaştırabilir, grafikleri ve/veya kuvvet fonksiyonlarının özelliklerini kullanarak eşitsizlikleri çözebilir

Eğitimsel: (iletişimsel ve kişisel eğitim becerilerinin oluşumu)

Konuya sürdürülebilir bir ilgi geliştirmek, öğrencilerin iletişimsel yeterliliğini oluşturmak, sorumluluk ve doğruluğu geliştirmek

Ders türü: Bilginin genelleştirilmesi ve sistemleştirilmesi

Yöntemler: tartışma, gözlem, karşılaştırma, deneyim.

Teçhizat: tahta, multimedya ekipmanı, interaktif beyaz tahta, bilgisayar, öğretim notları, No. 126(2;3) için grafikli poster

Dersler sırasında:

1. Organizasyonel nokta:(2 dk.) Destekleyici notları kullanarak teoriyi tekrarlamak.

2.Ödevlerin gruplar halinde kontrol edilmesi.(10 dk.)

Zorunlu seviye (1 grup)

№№119(2,4,6);124(2);128(2;4)

No. 119 (2,4,6) noktasından D (f), E (f)'yi sayısal aralıklar şeklinde ve destekleyici taslağa göre şeklin numarasını gösterir. .(bkz. Ek 1)

Örnek Cevap:

119(2): D(f)=(); E(f) =(), Şekil 2

119(4): D (f )=(),(0; ),

E (f) =(0;), Şekil 3

119(6): D(f)=; ); E(f) = ; ), şekil5

No. 124(2) olay yerinden

Örnek Cevap:

Ders kitabındaki Şekil 13'e göre, grafik

fonksiyonun grafiğinin üzerinde yer alır

.

Hayır. 128. Öğrenci 1 tahtaya soruların cevaplarını yazar ve fonksiyonların şematik grafiklerini oluşturur.

Örnek cevaplar

2) ; D(f)= ; );

E(f) = ; );

4) ; D(f)=(-1; ); E(f) =(0;);

İleri seviye (grup 2) 1. gruptaki öğretmen D/Z'yi kontrol ederken, 2. gruptaki öğrenciler kartları tamamlıyor. Ve tahtada bir öğrenci Sayı 129(2,4) Örnek cevap:

D ()=R; E () = ; );

4). D ()=R; E () = ; );

Kart seçeneği 1.

Kart seçeneği 2.

Hayır. 1.Fonksiyonların grafiklerini şematik olarak çizin:

Hayır. 2. Fonksiyon grafiklerinin kesişme noktalarının koordinatlarını bulun:

III . Temel bilgilerin güncellenmesi:(12 dk.)

1.Fonksiyonun tanım alanını ve değer kümesini belirtin:

,

2. Bu işlevler ne kadar artar veya azalır:

,

3.Verilen fonksiyon

Sonucu not defterinize yazın

Tüm işlevler için

4. Sayı 122 (sözlü). Bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini kullanarak birlikle karşılaştırın:

Örnek Cevap:

126(1) - panoda (Seçeneklere göre bağımsız olarak No. 126(2,3)).

Örnek Cevap:

Tek koordinat sisteminde fonksiyonların grafiklerini oluşturun.

IV . Egzersiz yapmak. ( 4 dakika)

125(1,3,5,7) dikte altında.

İfadelerin anlamlarını karşılaştırın:

Örnek cevap: (Destekleyici notlara tekrar bakalım)

3) ; Çünkü ve işlevi;

5) ; Çünkü ; ve fonksiyon azalıyor;

7) ; Çünkü ve fonksiyon artıyor.

V . Ev ödevi:(1 dakika.)

1 grup - No. 125 (çift), 175 (2,6), 177 (1,3)

Grup 2 - Sayılar 184(2.4),177(2.4),182(2.3).

VI . Ders özeti:(3 dk.) Öğrenciler dersin ana sonuçlarını formüle ederler:

Üs tam sayı değilse fonksiyonun grafiği ilk çeyrekte yer alır.

Eğer üs pozitif bir tam sayı değilse, fonksiyon artıyor demektir.

Üs negatif tam sayı değilse, fonksiyon azalıyor demektir. (slayt gösterisi)

VII . Test (10 dk.) (bkz. Ek 2)“4” ve “5”te B1 ve B2, B3 ve B4 – zorunlu seviye (doğru cevap için bir puan).

VIII . Ek görevler. ( 3 dakika.)

Denklemi çözün: Var1.

Cevap: -1;6. Cevap: -4;4.

Ders konusu: “Kuvvet fonksiyonları, özellikleri ve grafikleri”

Dersin Hedefleri:

Eğitici:

Çeşitli r değerleri için y = x r güç fonksiyonlarının grafiklerinin özellikleri ve özellikleri hakkında bilgi oluşumu için koşullar oluşturun.

Eğitici:

Öğrencilerin bilgi becerilerinin gelişimini teşvik etmek: slayt metniyle çalışma yeteneği, destekleyici bir özet yazma yeteneği.

Öğrencilerin yaratıcı ve zihinsel faaliyetlerinin gelişimini teşvik etmek.

Düşüncelerinizi açık ve net bir şekilde ifade etme, analiz etme ve sonuç çıkarma becerilerini geliştirmeye devam edin.

Eğitici:

Matematiksel konuşma kültürünün gelişimine devam edin.

İletişimsel yeterliliğin oluşumuna katkıda bulunun.

Ders türü: kombine

Eğitim faaliyetlerini düzenleme biçimleri:ön, bireysel.

Yöntemler: açıklayıcı-açıklayıcı, kısmen araştırıcı.

Eğitim araçları:

bilgisayar, medya projektörü;

yazı tahtası;

slayt sunumu (PowerPoint), (Ek 1);

ders kitabı “Cebir ve analizin başlangıcı”, ed. A.G. Mordkovich;

çalışma kitabı, çizim araçları;

Konunun destekleyici özeti (Word belgesi), (Ek 3);

Konunun incelenmesi sonucunda öğrencilerin

Bilmek: güç fonksiyonu kavramı,

Üsse bağlı olarak bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri.

Yapabilmek:Üsse bağlı olarak bir kuvvet fonksiyonunun özelliklerini adlandırın,

rasyonel olarak güç fonksiyonlarının grafiklerini (grafik çizimlerini) oluşturun

gösterge

basit grafik dönüşümleri gerçekleştirin,

Destekleyici bir özet yazabilmeli,

Düşüncelerinizi açık ve net bir şekilde ifade edebilmek, analiz edebilmek ve sonuç çıkarabilmek.

Dersler sırasında: Güç fonksiyonlarının grafiklerini oluşturma becerilerini geliştirmek için çalışmaya devam ediyoruz. Bu tür fonksiyonların bir kısmı bize 7-9. Sınıflar için cebir dersinden aşinadır, bunlar doğal üslü fonksiyonlar ve negatif tamsayı üslü kuvvet fonksiyonlarıdır. Son dersimizde kesirli üslü kuvvet fonksiyonları teorisini sizlerle birlikte yazmıştık.

y = x p, burada p belirli bir gerçek sayıdır

Bir güç fonksiyonunun özellikleri ve grafiği, gerçek üslü gücün özelliklerine ve özellikle x p gücünün anlamlı olduğu x ve p değerlerine bağlıdır.

2.

Güç fonksiyonlarının özelliklerinin genelleştirilmesi. Destekleyici bir taslakla çalışmak.

1. Tahtada çalışın: Fonksiyonların grafiklerini oluşturun. y=x 4, y=x 7, y=x -2, y=x -5, y=x 2/5, y=x 1,3, y=x -1/3

Kurulda 7 kişi çalışıyor, yerinde kalanlar daha fazla doğrulama için gruplar halinde birleşiyor

Gayrimenkulleri plana göre sıralıyoruz.

İhtisas.

Değer aralığı (değer kümesi).

Çift, tek fonksiyon.

Artıyor, azalıyor.

Çalışmanın sonunda yerinde kalan öğrenciler tarafından kontrol edilir (ekranda fonksiyon grafiklerinin bulunduğu slaytlar görüntülenir).

2. “matematiksel loto” Hazır fonksiyon grafikleri ekranda görüntülenir, formül setleri tahtaya yazılır ve ilişkilerin kurulması gerekir.

Karşılıklı kontrol:

Doğru cevaplar: No. 1 578 643 192

3 Sözlü çalışma

1. Bu fonksiyonların grafiklerini kullanarak, y = x π fonksiyonunun grafiğinin, y = x fonksiyonunun grafiğinin üstünde (altında) olduğu aralıkları bulun.

2. Bu fonksiyonların grafiklerini kullanarak, y = x sin 45 fonksiyonunun grafiğinin, y = x fonksiyonunun grafiğinin üstünde (altında) olduğu aralıkları bulun.

3. Şekli kullanarak y = x 1- π fonksiyonunun grafiğinin y = x fonksiyonunun grafiğinin üstünde (altında) olduğu aralıkları bulun.

Grafikleri dönüştürme

Çoğu durumda, fonksiyon grafikleri, halihazırda bilinen fonksiyon grafiklerinin daha basit bir biçimde bazı dönüşümleri ile oluşturulabilir. Bunlardan bazılarını hatırlayalım.

Bir kuvvet fonksiyonunun grafiğini sözel olarak dönüştürmeyi düşünün ve ardından iki grafik oluşturun.

Bağımsız iş

Bir kuvvet fonksiyonunu kendiniz tanımlayın, grafiğini çizin, özelliklerini açıklayın

4.3 GÜÇ FONKSİYONU, ÖZELLİKLERİ VE GRAFİKLERİ

Eğitim materyalinin içeriği:

1. Kuvvet fonksiyonu, tanımı, gösterimi.

2. Güç fonksiyonunun temel özellikleri.

3.Güç fonksiyonlarının grafikleri ve özellikleri.

4. Argüman değerine göre fonksiyon değerlerinin hesaplanması. Bir grafikteki bir noktanın konumunu koordinatlarına göre belirlemek veya bunun tersi.

5.Fonksiyonların özelliklerini kullanarak derece değerlerini karşılaştırabilme.

Güç formun bir fonksiyonu denir sen = X R , Neredex derecenin tabanıdır,

R– üs Bir kuvvet fonksiyonunun özellikleri üssü tarafından belirlenir. Çeşitli üslü kuvvet fonksiyonlarının temel özelliklerini ve grafiklerini ele alalım.

a) Fonksiyonun özellikleri sen = X R , R > 1

D(x) = )