Sıradan kesirlerin eklenmesi görevi. Kesirleri toplama ve çıkarma

Konuyla ilgili 5. sınıf için Vilenkin, Zhokhov, Chesnokov, Shvartsburd problem kitabından problem çözme:

§ 5. Sıradan kesirler:
26. Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Toplama ve Çıkarma

1005 5/16 kg domates ve 9/16 kg salatalıktan salata yapıldı. Salatanın kütlesi nedir?
ÇÖZÜM

1006 Makinenin kütlesi 73/100 t, ambalajının kütlesi 23/100 t. Makinenin ambalaj dahil kütlesini bulun.
ÇÖZÜM

1007 İlk gün parselin 2/7'sine, ikinci gün ise parselin 3/7'sine patates ekildi. Bu iki gün boyunca arsanın hangi kısmına patates ekildi?
ÇÖZÜM

1008 Bir tugay 7/10 ton, ikinci tugay ise 3/10 ton daha az çivi aldı. İkinci tugay kaç çivi aldı?
ÇÖZÜM

1009 İki gün içinde 10/11 tarlaları ekildi. İlk gün 4/11 tarlaları ekildi. İkinci gün tarlanın hangi kısmı ekildi?
ÇÖZÜM

1010 Deponun 3/5'i benzinle doldurulmuş, deponun 1/5'i varile dökülmüştür. Deponun hangi kısmı benzinle dolu kalıyor?
ÇÖZÜM

1012 İfadenin değerini bulun
ÇÖZÜM

1013 Sebze çiftliğinin 11 serasından 4'ünde domates, 2'sinde salatalık ekiliyor. Seraların hangi kısmı salatalık ve domates tarafından işgal ediliyor? Sorunu iki şekilde çözün.
ÇÖZÜM

1014 300 hektarlık alan orman ekimine ayrıldı. Parselin 3/10'una ladin, 4/10'una ise çam dikilmiştir. Ladin ve çam ağaçları birlikte kaç hektar kaplar?
ÇÖZÜM

1015 Ekip planın üzerinde 175 parça üretmeye karar verdi. İlk gün bu miktarın 9/25'ini, ikinci gün bu miktarın 13/25'ini üretti. Ekip bu iki günde kaç ürün üretti? Yapması gereken kaç eşyası kaldı?
ÇÖZÜM

Sebze çiftliğinin 1016 11/17 tarlasına patates ekildi. Tarlalara havuçtan 1/17 daha fazla salatalık, patatesten ise 8/17 daha az tarla ekilmektedir. Tarlanın hangi kısmına salatalık, hangi kısmına havuç ekilir? Tarlanın hangi kısmı patates, salatalık ve havuçla birlikte kaplanıyor?
ÇÖZÜM

1019 Çadırda 2 kental 70 kg meyve vardı. Elma tüm meyvelerin 5/9'unu, armut ise 1/9'unu oluşturuyordu. Elmanın kütlesi armutun kütlesinden ne kadar büyüktür? Sorunu iki şekilde çözün.
ÇÖZÜM

1020 Turist ilk gün tüm rotanın 5/14'ünü, ikinci gün ise 7/14'ünü yürüdü. Turistin bu iki gün boyunca 36 km yürüdüğü biliniyor. Turist rotasının tamamı kaç kilometre?
ÇÖZÜM

1021 Birinci öykü kitabın 5/13'ünü, ikinci öykü ise 2/13'ünü kapladı. İlk öykünün ikinciye göre 12 sayfa daha fazla yer kapladığı biliniyor. Kitabın tamamı kaç sayfadır?
ÇÖZÜM

1022 4/25 + 12/25= 16/25 eşitliğini kullanarak ifadenin değerlerini bulun ve denklemleri çözün
ÇÖZÜM

1024 260 kişi geziye çıkıyor. Her otobüsün 30'dan fazla yolcu taşımaması gerekiyorsa kaç otobüs sipariş edilmelidir?
ÇÖZÜM

1025 Bir çizgi parçası çizin. Daha sonra uzunluğu eşit olan bir çizgi parçası çizin
ÇÖZÜM

1026 A, B, C, D, E, M, K noktalarının koordinatlarını bulun (Şek. 128) ve bu koordinatları 1 ile karşılaştırın.
ÇÖZÜM

1027 ABC üçgeninin çevresini ve alanını hesaplayın (Şekil 129)
ÇÖZÜM

1030 x/15 kesirinin normal kesir ve 8/x kesirinin uygunsuz kesir olduğu tüm x değerlerini bulun.
ÇÖZÜM

1031 Payı 100'den büyük olan 3 doğru kesri adlandırın. Paydası 200'den büyük olan 3 bileşik kesri adlandırın.
ÇÖZÜM

1033 Uzunluğu 8 m, genişliği 6 m ve yüksekliği 12 m olan dikdörtgen bir paralel yüzün en büyük ve en küçük yüzlerinin alanlarının toplamını bulun.
ÇÖZÜM

1034 750 m viskon kumaş üretmek için 10 kg selüloz gerekmektedir. 1 m3 odundan 200 kg selüloz elde edilebilir. 20 m3 ahşaptan kaç metre viskon kumaş elde edilebilir?
ÇÖZÜM

1035 Şifreli kilidin altı düğmesi vardır. Açmak için düğmelere belirli bir sırayla basmanız ve bir kod girmeniz gerekir. Bu kilit için kaç kod seçeneği var?
ÇÖZÜM

1036 Denklemi çözün: a) (x - 111) · 59 = 11,918; b) 975(x - 615) = 12,675; c) (30,901 - a) : 605 = 51; d) 39.765: (b - 893) = 1205.
ÇÖZÜM

1037 Problemi çözün: 1) Ekilen 30 tohumdan 23'ü çimlendi.Ekilen tohumların hangi kısmı çimlendi? 2) Gölet üzerinde 40 kuğu yüzdü. Bunlardan 30'u beyazdı. Tüm kuğuların ne kadarı beyaz kuğuydu?
ÇÖZÜM

1038 İfadenin değerini bulun: 1) 76 · (3569 + 2795) - (24,078 + 30,785); 2) (43 512-43 006) 805 - (48 987 + 297 305)
ÇÖZÜM

1039 İlk saatte yolun tamamının 5/17'si, ikinci saatte ise tüm yolun 9/17'si kardan temizlendi. Bu iki saat içinde yolun ne kadarı kardan temizlendi? Yolun hangi kısmı ilk saatte ikinci saate göre daha az temizlendi?
ÇÖZÜM

Birinci bebeğin elbisesinde 1040 6/25 m, ikinci bebeğin elbisesinde ise 9/25 m kumaş kullanıldı. Her iki elbise için ne kadar kumaş kullandınız? İkinci bebeğin elbisesinde birinci bebeğin elbisesine göre ne kadar daha fazla kumaş kullanıldı?

Dersin Hedefleri:

1. Kesirleri karşılaştırma becerilerinin gelişimini teşvik etmek,
2. Paydaları farklı kesirlerle toplama ve çıkarma,
3. Sayıların en küçük ortak katını bulma bilgisini pekiştirin.

Bugün dersimizde “Farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma” konusu üzerinde çalışmaya devam ediyoruz.

Bu konuyla ilgili ikinci dersimiz, karşılaşacağınız hedef:

İlk derste paydaları asal veya birbirinin katları olan kesirleri ele aldıysak, bugün işimiz daha karmaşık hale geliyor; bazı durumlarda paydaları aşağıdaki kurala göre asal çarpanlara ayırarak ortak bir payda bulmamız gerekecek. LCM'yi bulma.

Dersin sonunda kuralın farkında olmalısınız:

Farklı paydalara sahip kesirlerin nasıl toplanacağı ve bu kuralı problem çözerken uygulayabilme.

3 dersten sonra konuya ne kadar hakim olduğunuzu kontrol eden görevlerin yer aldığı bir test yapılacaktır. Testte konumuzla ilgili 2 görev olacak: üçüncü görev - farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması ve çıkarılması ve dördüncü görev: kuralın uygulanmasıyla ilgili bir problemin çözülmesi. Bu yüzden bugün standart için görevler üzerinde çalışıyoruz.

1. a) Sözlü çalışalım.

42	48	6
36	54	12
30	24	18

Bu dikdörtgene dikkatlice bakın ve sayıların yerini hatırlamaya çalışın, belki bir tür desen fark edeceksiniz.

Şimdi bu sayıları taslakta geri yüklemeye çalışın.

Kim hangi sayıları hatırladı?

Bu sayıların yerini nasıl iyi hatırlayabildiniz?

(6'nın katı olan sayılar sağ üst dikdörtgenden başlayarak saat yönünde artan şekilde düzenlenmiştir)

Paydaları farklı ve payları eşit olan kesirlerin karşılaştırmasını tekrarlayalım.

Aşağıdaki kesirleri karşılaştırın: ; .

Bunları artan sırada düzenleyin.

b) Aşağıdaki sayı dizisine dikkatlice bakın:

16, 10, 8, , 2007, 1961.

Toplamda kaç sayı var?

Kaç tane çift sayı var? Onlara isim verin.

Üçüncü numarayı adlandırın.

Sondan ikinci sayı.

Üç basamaklı sayı.

5'in katı olan bir sayı.

10'un katı

3'ün katı.

9'un katı. 1961 sayısı neden meşhurdur?

Hangi sayı diğerlerinden farklıdır, yani sayı dizisine uymaz?

Bu kesir doğru mu yoksa yanlış mı?

İndirgenebilir mi, indirgenemez mi?

Bu oranı azaltın.

2. Ödevleri kontrol etmek.

Farklı paydalara sahip iki kesri nasıl karşılaştırırsınız?

Farklı paydalara sahip kesirler nasıl eklenir?

Farklı paydalara sahip kesirleri nasıl çıkarırsınız?

Ev ödevleriyle ilgili sorularınız mı var? Öğretmen tarafından satır satır kontrol edin.

3. Kuralla çalışmak Yanlış öğrenci cevaplarından sonra ders kitabına göre.

Matematikte bazı kurallarda tek bir kelimeyi bile atlayamazsınız. Ortak payda ve en küçük ortak payda her zaman aynı değildir.

Bir belediye başkanının benzetmesini dinleyin.

Henüz elektrik olmadığında, bir şehrin belediye başkanı akşamları şehrin sokaklarında yürümeyi severdi. Bir gün bir kasabalıyla karşılaştı ve alnında bir şişlik belirdi. ertesi gün bir kararname çıkardı: "Karanlıkta bir fenerle sokağa çıkın." Ve akşam aynı kasabalı onunla karşılaştı. Belediye başkanı ondan bir fener istedi.

"İşte" dedi yoldan geçen kişi.

Mum nerede? – belediye başkanına sordu.

"Ama kararname fenerde bir mum olması gerektiğini söylemiyor" diye yanıtladı.

Belediye başkanı ikinci bir kararname çıkardı: "Karanlıkta bir fener ve mumla dışarı çıkın."

Üçüncü günde tarih tekerrür etti.

Belediye başkanı çoktan öfkesini kaybetmiş.

Sizce yoldan geçen kişi belediye başkanına ne cevap verdi?

Emir, fener mumunun yakılması gerektiğini söylemiyor.

Belediye başkanı üçüncü kez kararname çıkarmak zorunda kaldı, ancak bundan sonra yoldan geçenler onu yalnız bıraktı.

Bizim görevimiz kuralı iyi bilmek ve uygulayabilmektir. Bir kez daha tekrar ediyorum, bir standart üzerinde çalışıyoruz.

4. Egzersiz yapmak.

Aşağıdaki örnekleri tahtada dilediğiniz gibi çözün.

Paydaların asal sayılar olduğu ve büyük paydanın küçük olanın katı olduğu örnekleri çözdünüz.

Bu derste farklı paydalara sahip kesirlerde toplama ve çıkarma işlemleriyle ilgili daha karmaşık problemleri çözeceğiz.

Görevi yazın:

Bir öğrenci bunu bizim yaptığımız gibi çözerse, bu onun iki sayının LCM'sini nasıl bulacağını iyi bildiği, tam parçayı uygunsuz bir kesirden nasıl ayıracağını bildiği ve paydaların eş asal sayılar olmadığını bildiği anlamına gelir.

Ve eğer bir öğrenci paydaları çarparak ortak bir payda bulursa, LCM'yi bulma, yani kurallar: farklı paydalara sahip kesirlerin nasıl eklendiği konusunda bilgisiz olduğunu gösterir. Bu nedenle öncelikle paydalar eş asal sayı değilse ve birbirinin katı değilse paydaların LCM'sini bulmamız gerekir.

Derste çözülmesi gereken sayılar tahtaya yazılır: 309 d – i, 328, 340 (tekrar)

D) ; tahtada gerçekleştirilen,

e) ; kesirlerin azaltılması tekrarlanır, bu görev testtedir, standardın asimilasyonunu kontrol eder.

Ve) (tek başına)

H) ; LCM(21.15) = 3*7*5 =105'i buluruz.

6. 327 numaralı problemi kendiniz çözün.

7. Daha önce çalışılan materyalin tekrarı. 340 numara.

Kesirleri azaltın:

Testte kesirlerde de azalma var, bu standart bir görev.

8. Ders özeti.

a) Paydaları farklı olan kesirleri nasıl toplar ve çıkarırsınız?
b) İşaretleme yapmak.
c) Ödevler: 11 inci fıkra,

Kesirli eylemler.

Dikkat!
Ek var
Özel Bölüm 555'teki materyaller.
Çok "pek değil..." olanlar için
Ve “çok…” diyenler için)

Peki kesirlerin ne olduğunu, kesir türlerini, dönüşümleri hatırladık. Gelelim asıl meseleye.

Kesirlerle ne yapabilirsiniz? Evet, her şey sıradan sayılarla aynı. Ekle, çıkar, çarp, böl.

Tüm bu eylemlerle ondalık kesirlerle çalışmanın tam sayılarla çalışmaktan hiçbir farkı yoktur. Aslında onların iyi tarafı da bu, ondalık sayılar. Tek şey virgülü doğru koymanız gerektiğidir.

Karışık sayılar Daha önce de söylediğim gibi çoğu eylem için pek faydası yoktur. Hala sıradan kesirlere dönüştürülmeleri gerekiyor.

Ancak eylemler sıradan kesirler daha kurnaz olacaklar. Ve çok daha önemlisi! Hatırlatmama izin ver: harfler, sinüsler, bilinmeyenler vb. gibi kesirli ifadelere sahip tüm eylemler, sıradan kesirli eylemlerden farklı değildir.! Sıradan kesirlerle yapılan işlemler tüm cebirin temelini oluşturur. İşte bu nedenle burada tüm bu aritmetiği çok detaylı bir şekilde analiz edeceğiz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma.

Herkes aynı paydalara sahip kesirleri toplayabilir (çıkarabilir) (gerçekten umuyorum!). Peki, tamamen unutkan olanlara şunu hatırlatayım: Toplama (çıkarma) işleminde payda değişmez. Sonucun payını vermek için paylar eklenir (çıkarılır). Tip:

Kısaca genel anlamda:

Paydalar farklıysa ne olur? Daha sonra, kesrin temel özelliğini kullanarak (işte yine kullanışlı oluyor!), paydaları aynı hale getiriyoruz! Örneğin:

Burada 2/5 kesirinden 4/10 kesirini yapmamız gerekiyordu. Paydaları aynı yapmak amacıyla. Her ihtimale karşı 2/5 ve 4/10'un eşit olduğunu belirteyim. aynı kesir! Sadece 2/5'i bizim için rahatsız edici, 4/10'u ise gerçekten sorun değil.

Bu arada, herhangi bir matematik problemini çözmenin özü budur. ne zaman biz rahatsız ifadeler yapıyoruz aynı şey, ancak çözmek için daha uygun.

Başka bir örnek:

Durum benzer. Burada 16'dan 48'i çıkarıyoruz. Basitçe 3'le çarpıyoruz. Her şey açık. Ama şöyle bir şeyle karşılaştık:

Nasıl olunur? Yediden dokuzunu çıkarmak çok zor! Ama biz akıllıyız, kuralları biliyoruz! Haydi dönüşelim Her paydaları aynı olacak şekilde kesir. Buna “ortak bir paydaya indirgemek” denir:

Vay! 63'ü nasıl bildim? Çok basit! 63, 7 ve 9'a aynı anda bölünebilen bir sayıdır. Böyle bir sayı her zaman paydaların çarpılmasıyla elde edilebilir. Örneğin bir sayıyı 7 ile çarparsak sonuç kesinlikle 7'ye bölünebilir!

Birkaç kesir eklemeniz (çıkarmanız) gerekiyorsa, bunu çiftler halinde adım adım yapmanıza gerek yoktur. Tüm kesirlerin ortak paydasını bulmanız ve her kesri aynı paydaya indirmeniz yeterlidir. Örneğin:

Peki ortak payda ne olacak? Elbette 2, 4, 8 ve 16'yı çarpabilirsiniz. 1024 elde ederiz. Kabus. 16 sayısının 2, 4 ve 8'e tam olarak bölünebileceğini tahmin etmek daha kolaydır. Dolayısıyla bu sayılardan 16'yı elde etmek kolaydır. Bu sayı ortak payda olacaktır. 1/2'yi 8/16'ya, 3/4'ü 12/16'ya çevirelim, vb.

Bu arada 1024'ü ortak payda olarak alırsanız her şey yoluna girecek, sonunda her şey azalacak. Ama hesaplar yüzünden herkes bu sonuca varamayacak...

Örneği kendiniz tamamlayın. Bir çeşit logaritma değil... 29/16 olmalı.

Yani kesirlerin eklenmesi (çıkarılması) açıktır, umarım? Elbette ek çarpanlarla kısaltılmış bir versiyonda çalışmak daha kolaydır. Ama bu zevk, alt sınıflarda dürüst çalışan ve hiçbir şeyi unutmayanlar için geçerlidir.

Ve şimdi aynı eylemleri yapacağız, ancak kesirlerle değil, kesirli ifadeler. Yeni komisyon burada ortaya çıkacak, evet...

Bu nedenle iki kesirli ifade eklememiz gerekiyor:

Paydaları eşitlememiz gerekiyor. Ve sadece yardımla çarpma işlemi! Bir kesrin ana özelliğinin belirttiği şey budur. Bu nedenle paydanın ilk kesirindeki X'e bir ekleyemiyorum. (iyi olur!). Ama paydaları çarparsanız her şeyin birlikte büyüdüğünü görürsünüz! Yani kesrin doğrusunu yazıyoruz, üstte bir boşluk bırakıyoruz, sonra ekliyoruz ve unutmamak için paydaların çarpımını aşağıya yazıyoruz:

Ve elbette sağ taraftaki hiçbir şeyi çarpmıyoruz, parantezleri açmıyoruz! Şimdi sağ taraftaki ortak paydaya baktığımızda şunu anlıyoruz: İlk kesirdeki x(x+1) paydasını elde etmek için bu kesrin payını ve paydasını (x+1) ile çarpmanız gerekir. . Ve ikinci kesirde - x'e. Bu ne olsun:

Not! İşte parantez! Bu, birçok insanın bastığı tırmıktır. Elbette parantez değil, onların yokluğu. Çarpma işlemi yaptığımız için parantezler görünüyor Tümü pay ve Tümü payda! Ve onların bireysel parçaları değil...

Sağ taraftaki payda payların toplamını yazıyoruz, her şey sayısal kesirlerde olduğu gibi, ardından sağ taraftaki paydaki parantezleri açıyoruz yani. Her şeyi çoğaltıp benzerlerini veriyoruz. Paydalarda parantez açmaya veya herhangi bir şeyi çarpmaya gerek yok! Genel olarak, paydalarda (herhangi biri) ürün her zaman daha hoştur! Şunu elde ederiz:

Böylece cevabı aldık. Süreç uzun ve zor gibi görünse de pratiğe bağlıdır. Örnekleri çözdükten sonra alışın, her şey basitleşecek. Zamanında kesirlerde ustalaşanlar, tüm bu işlemleri otomatik olarak tek sol eliyle yaparlar!

Ve bir not daha. Birçoğu kesirlerle akıllıca uğraşır, ancak örneklere takılıp kalır. tüm sayılar. Şöyle: 2 + 1/2 + 3/4= ? İki parçayı nereye tutturmalı? Herhangi bir yere sabitlemenize gerek yok, ikiden bir kesir yapmanız gerekiyor. Kolay değil ama çok basit! 2=2/1. Bunun gibi. Herhangi bir tam sayı kesir olarak yazılabilir. Pay sayının kendisidir, payda birdir. 7, 7/1'dir, 3, 3/1'dir vb. Harfler için de durum aynı. (a+b) = (a+b)/1, x=x/1, vb. Daha sonra bu kesirlerle tüm kurallara göre çalışıyoruz.

Kesirlerde toplama ve çıkarma bilgileri tazelendi. Kesirlerin bir türden diğerine dönüştürülmesi tekrarlandı. Ayrıca kontrole de gidebilirsiniz. Biraz anlaşalım mı?)

Hesaplamak:

Cevaplar (karışıklık içinde):

71/20; 3/5; 17/12; -5/4; 11/6

Kesirlerde çarpma/bölme - bir sonraki derste. Kesirlerle yapılan tüm işlemler için de görevler vardır.

Bu siteyi beğendiyseniz...

Bu arada, sizin için birkaç ilginç sitem daha var.)

Örnek çözerek pratik yapabilir ve seviyenizi öğrenebilirsiniz. Anında doğrulama ile test etme. Hadi öğrenelim - ilgiyle!)

Fonksiyonlar ve türevler hakkında bilgi sahibi olabilirsiniz.

Ders içeriği

Paydaları benzer olan kesirleri toplama

İki tür kesir toplama işlemi vardır:

1. Paydaları Benzer Kesirlerin Toplanması;
2. Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması.

Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerin toplama işlemini inceleyelim. Burada her şey basit. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplayıp paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.

Örneğin kesirleri toplayalım ve . Payları ekleyin ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Pizzaya pizza eklerseniz pizza elde edersiniz:

Örnek 2. Kesirleri ekleyin ve .

Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Görevin sonu geldiğinde uygunsuz kesirlerden kurtulmak gelenekseldir. Uygunsuz bir kesirden kurtulmak için onun tamamını seçmeniz gerekir. Bizim durumumuzda, parçanın tamamı kolayca izole edilebilir - ikiye bölünen bir olacaktır:

İki parçaya bölünen bir pizzayı hatırlarsak bu örneği daha kolay anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz bir bütün pizza elde edersiniz:

Örnek 3. Kesirleri ekleyin ve .

Yine payları topluyoruz ve paydayı değiştirmeden bırakıyoruz:

Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Pizzaya daha fazla pizza eklerseniz pizza alırsınız:

Örnek 4. Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. Paylar eklenmeli ve payda değişmeden bırakılmalıdır:

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza ekleyip daha fazla pizza eklerseniz 1 tam pizza ve daha fazla pizza elde edersiniz.

Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirleri toplamanın karmaşık bir tarafı yok. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

1. Paydaları aynı olan kesirleri toplamak için paylarını toplamanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;

Farklı paydalara sahip kesirlerin toplanması

Şimdi farklı paydalara sahip kesirleri nasıl toplayacağımızı öğrenelim. Kesirleri eklerken kesirlerin paydalarının aynı olması gerekir. Ancak her zaman aynı değildirler.

Örneğin kesirler aynı paydalara sahip oldukları için toplanabilir.

Ancak kesirlerin paydaları farklı olduğundan kesirler hemen eklenemez. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.

Kesirleri aynı paydaya indirmenin birkaç yolu vardır. Diğer yöntemler yeni başlayanlar için karmaşık görünebileceğinden bugün bunlardan yalnızca birine bakacağız.

Bu yöntemin özü, öncelikle her iki kesirin paydalarının LCM'sinin aranmasıdır. LCM daha sonra ilk ek faktörü elde etmek için ilk kesrin paydasına bölünür. Aynısını ikinci kesir için de yaparlar - LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci bir ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirlerin payları ve paydaları ek faktörlerle çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüşür. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz.

örnek 1. Kesirleri toplayalım ve

Öncelikle her iki kesrin paydalarının en küçük ortak katını buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 2 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 6'dır.

LCM (2 ve 3) = 6

Şimdi kesirlere dönelim ve . İlk olarak, LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün ve ilk ek faktörü elde edin. LCM 6 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 6'yı 3'e bölersek 2 elde ederiz.

Ortaya çıkan 2 sayısı ilk ek çarpandır. Bunu ilk kesire yazıyoruz. Bunu yapmak için kesirin üzerine küçük bir eğik çizgi çizin ve üzerinde bulunan ek çarpanı yazın:

Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz ve ikinci ek faktörü elde ediyoruz. LCM 6 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 2 sayısıdır. 6'yı 2'ye bölersek 3 elde ederiz.

Ortaya çıkan 3 sayısı ikinci ek çarpandır. Bunu ikinci kesire yazıyoruz. Yine ikinci kesrin üzerine küçük bir eğik çizgi çiziyoruz ve onun üzerinde bulunan ek çarpanı yazıyoruz:

Artık eklemeye hazır her şeyimiz var. Kesirlerin paylarını ve paydalarını ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Geldiğimiz noktaya dikkatlice bakın. Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl ekleneceğini zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:

Bu örneği tamamlıyor. Eklemek ortaya çıkıyor.

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Bir pizzaya pizza eklerseniz, bir tam pizza ve altıda bir pizza daha alırsınız:

Kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri ve . Bu iki fraksiyon aynı pizza parçalarıyla temsil edilecek. Tek fark bu sefer eşit paylara bölünecek (aynı paydaya indirgenecek).

İlk çizim bir kesri (altıda dört parça), ikinci çizim ise bir kesri (altıda üç parça) temsil etmektedir. Bu parçaları ekleyerek (altıdan yedi parça) elde ederiz. Bu kısım uygunsuz olduğundan tamamını vurguladık. Sonuç olarak (bir bütün pizza ve başka bir altıncı pizza) elde ettik.

Lütfen bu örneği çok ayrıntılı olarak anlattığımızı unutmayın. Eğitim kurumlarında bu kadar detaylı yazmak alışılmış bir şey değil. Hem paydaların hem de bunlara ek faktörlerin LCM'sini hızlı bir şekilde bulmanız ve ayrıca bulunan ek faktörleri paylarınız ve paydalarınızla hızlı bir şekilde çarpmanız gerekir. Eğer okulda olsaydık bu örneği şu şekilde yazmamız gerekirdi:

Ancak madalyonun bir de diğer yüzü var. Matematik çalışmanın ilk aşamalarında detaylı notlar almazsanız bu tür sorular ortaya çıkmaya başlar. “Bu sayı nereden geliyor?”, “Kesirler neden bir anda bambaşka kesirlere dönüşüyor? «.

Farklı paydalara sahip kesirleri toplamayı kolaylaştırmak için aşağıdaki adım adım talimatları kullanabilirsiniz:

1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun;
2. LCM'yi her fraksiyonun paydasına bölün ve her fraksiyon için ek bir faktör elde edin;
3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın;
4. Paydaları aynı olan kesirleri ekleyin;
5. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, tüm kısmını seçin;

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun .

Yukarıda verilen talimatları kullanalım.

Adım 1. Kesirlerin paydalarının LCM'sini bulun

Her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini bulun. Kesirlerin paydaları 2, 3 ve 4 sayılarıdır

Adım 2. LCM'yi her kesrin paydasına bölün ve her kesir için ek bir faktör elde edin

LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 2 sayısıdır. 12'yi 2'ye bölersek 6 elde ederiz. İlk ek faktör olan 6'yı elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası da 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İkinci ek faktör olan 4'ü elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölüyoruz. LCM 12 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. Üçüncü ek faktör 3'ü elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:

Adım 3. Kesirlerin pay ve paydalarını ek faktörleriyle çarpın

Pay ve paydaları ek faktörleriyle çarpıyoruz:

Adım 4. Paydaları aynı olan kesirleri toplayın

Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Geriye kalan tek şey bu kesirleri eklemek. Üzerine eklemek:

Ekleme tek satıra sığmadığı için kalan ifadeyi bir sonraki satıra taşıdık. Buna matematikte izin verilir. Bir ifade bir satıra sığmadığında bir sonraki satıra taşınır ve ilk satırın sonuna ve yeni satırın başına eşittir işareti (=) konulması gerekir. İkinci satırdaki eşittir işareti, bunun ilk satırdaki ifadenin devamı olduğunu gösterir.

Adım 5. Cevabın hatalı bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, cevabın tamamını seçin

Cevabımızın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıktı. Bir kısmını tam olarak vurgulamamız gerekiyor. Şunları vurguluyoruz:

Bir cevap aldık

Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma

Kesirlerde iki tür çıkarma işlemi vardır:

1. Paydaları Benzer Olan Kesirlerde Çıkarma
2. Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Öncelikle paydaları benzer olan kesirlerde çıkarma işlemi yapmayı öğrenelim. Burada her şey basit. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız, ancak paydayı aynı bırakmanız gerekir.

Örneğin ifadesinin değerini bulalım. Bu örneği çözmek için ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir. Bunu yapalım:

Dört parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği kolaylıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:

Örnek 2.İfadenin değerini bulun.

Yine birinci kesrin payından ikinci kesrin payını çıkarın ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Üç parçaya bölünen pizzayı hatırlarsak bu örneği rahatlıkla anlayabiliriz. Bir pizzadan pizza keserseniz pizza alırsınız:

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun

Bu örnek öncekilerle tamamen aynı şekilde çözüldü. İlk kesirin payından, kalan kesirlerin paylarını çıkarmanız gerekir:

Gördüğünüz gibi paydaları aynı olan kesirlerde çıkarma işleminde karmaşık bir şey yoktur. Aşağıdaki kuralları anlamak yeterlidir:

1. Bir kesirden başka bir kesir çıkarmak için, ikinci kesrin payını birinci kesrin payından çıkarmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir;
2. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, o zaman onun tamamını vurgulamanız gerekir.

Paydaları Farklı Kesirlerde Çıkarma

Örneğin, kesirlerin paydaları aynı olduğundan, bir kesirden bir kesir çıkarabilirsiniz. Ancak bir kesirden kesir çıkaramazsınız çünkü bu kesirlerin paydaları farklıdır. Bu gibi durumlarda kesirlerin aynı (ortak) paydaya indirgenmesi gerekir.

Ortak payda, farklı paydalara sahip kesirleri toplarken kullandığımız prensibin aynısını kullanarak bulunur. Öncelikle her iki kesrin paydalarının LCM'sini bulun. Daha sonra LCM, ilk kesrin paydasına bölünür ve ilk kesrin üzerine yazılan ilk ek faktör elde edilir. Benzer şekilde LCM, ikinci kesrin paydasına bölünür ve ikinci kesrin üzerine yazılan ikinci bir ek faktör elde edilir.

Daha sonra kesirler ek katsayılarıyla çarpılır. Bu işlemler sonucunda paydaları farklı olan kesirler, paydaları aynı olan kesirlere dönüştürülür. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz.

Örnek 1.İfadenin anlamını bulun:

Bu kesirlerin paydaları farklı olduğundan onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.

İlk önce her iki fraksiyonun paydalarının LCM'sini buluyoruz. Birinci kesrin paydası 3, ikinci kesrin paydası ise 4 sayısıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 12'dir.

LCM (3 ve 4) = 12

Şimdi kesirlere dönelim ve

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. Bunu yapmak için LCM'yi ilk kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 3 sayısıdır. 12'yi 3'e bölersek 4 elde ederiz. İlk kesrin üstüne bir dört yazın:

Aynısını ikinci kesirle de yapıyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 12 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 4 sayısıdır. 12'yi 4'e bölersek 3 elde ederiz. İkinci kesrin üzerine bir üç yazın:

Artık çıkarma işlemine hazırız. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin, paydaları aynı olan kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği sonuna kadar götürelim:

Bir cevap aldık

Çözümümüzü bir çizim kullanarak tasvir etmeye çalışalım. Pizzayı pizzadan keserseniz pizza alırsınız

Bu, çözümün ayrıntılı versiyonudur. Okulda olsaydık bu örneği daha kısa çözmek zorunda kalırdık. Böyle bir çözüm şöyle görünecektir:

Kesirlerin ortak bir paydaya indirgenmesi bir resim kullanılarak da gösterilebilir. Bu kesirleri ortak bir paydaya indirgeyerek kesirleri elde ettik. Bu kesirler aynı pizza dilimleri ile temsil edilecek, ancak bu sefer eşit paylara bölünecekler (aynı paydaya indirgenmiş):

İlk resim bir kesiri (on ikiden sekizi) gösterirken, ikinci resim bir kesiri (on ikiden üçü) göstermektedir. Sekiz parçadan üç parça kestiğimizde on iki parçadan beş parça elde ediyoruz. Kesir bu beş parçayı tanımlamaktadır.

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Bu kesirlerin farklı paydaları vardır, bu nedenle önce onları aynı (ortak) paydaya indirgemeniz gerekir.

Bu kesirlerin paydalarının LCM'sini bulalım.

Kesirlerin paydaları 10, 3 ve 5 sayılarıdır. Bu sayıların en küçük ortak katı 30'dur.

LCM(10, 3, 5) = 30

Şimdi her kesir için ek faktörler buluyoruz. Bunu yapmak için LCM'yi her kesrin paydasına bölün.

İlk kesir için ek bir faktör bulalım. LCM 30 sayısıdır ve ilk kesrin paydası 10 sayısıdır. 30'u 10'a bölerek ilk ek çarpan 3'ü elde ederiz. Bunu ilk kesrin üstüne yazıyoruz:

Şimdi ikinci kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi ikinci kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve ikinci kesrin paydası 3 sayısıdır. 30'u 3'e bölerek ikinci ek faktör 10'u elde ederiz. Bunu ikinci kesrin üzerine yazıyoruz:

Şimdi üçüncü kesir için ek bir faktör buluyoruz. LCM'yi üçüncü kesrin paydasına bölün. LCM 30 sayısıdır ve üçüncü kesrin paydası 5 sayısıdır. 30'u 5'e bölerek üçüncü ek faktör 6'yı elde ederiz. Bunu üçüncü kesrin üstüne yazıyoruz:

Artık her şey çıkarma işlemine hazır. Kesirleri ek faktörleriyle çarpmaya devam ediyor:

Paydaları farklı olan kesirlerin aynı (ortak) paydaya sahip kesirlere dönüştüğü sonucuna vardık. Ve bu tür kesirlerin nasıl çıkarılacağını zaten biliyoruz. Bu örneği bitirelim.

Örneğin devamı tek satıra sığmayacağından devamını bir sonraki satıra taşıyoruz. Yeni satırdaki eşittir işaretini (=) unutmayın:

Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı ve her şey bize uygun görünüyor, ancak bu çok hantal ve çirkin. Bunu daha basit hale getirmeliyiz. Ne yapılabilir? Bu kısmı kısaltabilirsiniz.

Bir kesri azaltmak için payını ve paydasını 20 ve 30 sayılarının (GCD) ile bölmeniz gerekir.

Böylece 20 ve 30 sayılarının gcd'sini buluyoruz:

Şimdi örneğimize dönüyoruz ve kesrin payını ve paydasını bulunan gcd'ye yani 10'a bölüyoruz.

Bir cevap aldık

Bir kesri bir sayıyla çarpmak

Bir kesri bir sayıyla çarpmak için kesrin payını o sayıyla çarpmanız ve paydayı değiştirmeden bırakmanız gerekir.

örnek 1. Bir kesri 1 sayısıyla çarpın.

Kesrin payını 1 sayısıyla çarpın

Kayıt yarım 1 kez sürüyormuş gibi anlaşılabilir. Örneğin, bir kez pizza yerseniz pizza alırsınız

Çarpma yasalarından biliyoruz ki, çarpan ve çarpan yer değiştirirse çarpım değişmeyecektir. İfade olarak yazılırsa çarpım yine eşit olacaktır. Bir tam sayı ile bir kesri çarpma kuralı yine işe yarar:

Bu notasyon birin yarısını almak şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 1 tam pizza varsa ve yarısını alırsak pizza elde ederiz:

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Kesrin payını 4 ile çarpın

Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:

İfadeden iki çeyreğin 4 kere alınması şeklinde anlaşılabilir. Örneğin 4 pizza alırsanız 2 tam pizza alırsınız.

Çarpan ile çarpanı yer değiştirirsek, ifadesini elde ederiz. Bu da 2'ye eşit olacaktır. Bu ifadeyi dört tam pizzadan iki pizzanın alınması şeklinde de anlayabiliriz:

Kesirle çarpılan sayı ve kesrin paydası, ortak çarpanları birden büyükse çözümlenir.

Örneğin bir ifade iki şekilde değerlendirilebilir.

İlk yol. 4 sayısını kesrin payı ile çarpın ve kesrin paydasını değiştirmeden bırakın:

İkinci yol. Çarpılan dört ve kesrin paydasındaki dört azaltılabilir. İki dördün en büyük ortak böleni dördün kendisi olduğundan bu dörtler 4'e indirgenebilir:

Aynı sonucu elde ettik 3. Dörtleri indirdikten sonra onların yerine yeni sayılar oluşuyor: iki bir. Ama birini üçle çarpıp bire bölmek hiçbir şeyi değiştirmez. Bu nedenle çözüm kısaca şöyle yazılabilir:

İlk yöntemi kullanmaya karar verdiğimizde bile azaltma yapılabilir, ancak 4 sayısı ile pay 3'ün çarpılması aşamasında indirgemeyi kullanmaya karar verdik:

Ancak örneğin, ifade yalnızca ilk şekilde hesaplanabilir - 7'yi kesrin paydasıyla çarpın ve paydayı değiştirmeden bırakın:

Bunun nedeni, 7 sayısı ile kesrin paydasının birden büyük ortak böleninin olmaması ve dolayısıyla birbirini götürmemesidir.

Bazı öğrenciler çarpılacak sayıyı ve kesrin payını yanlışlıkla kısaltırlar. Bunu yapamazsın. Örneğin aşağıdaki girdi doğru değil:

Bir kesrin azaltılması şu anlama gelir: hem pay hem de payda aynı sayıya bölünecektir. İfade durumunda bölme işlemi sadece payda yapılır, çünkü yazmak yazmakla aynı şeydir. Bölmenin sadece payda yapıldığını, paydada bölme yapılmadığını görüyoruz.

Kesirlerin Çarpılması

Kesirleri çarpmak için pay ve paydalarını çarpmanız gerekir. Cevabın uygunsuz bir kesir olduğu ortaya çıkarsa, onun tamamını vurgulamanız gerekir.

Örnek 1.İfadenin değerini bulun.

Bir cevap aldık. Bu oranın azaltılması tavsiye edilir. Kesir 2 oranında azaltılabilir. Daha sonra nihai çözüm aşağıdaki formu alacaktır:

İfade yarım pizzadan pizza almak şeklinde anlaşılabilir. Diyelim ki yarım pizzamız var:

Bu yarıdan üçte ikisi nasıl alınır? Öncelikle bu yarıyı üç eşit parçaya bölmeniz gerekir:

Ve bu üç parçadan ikisini alın:

Pizza yapacağız. Üç parçaya bölündüğünde pizzanın nasıl göründüğünü unutmayın:

Bu pizzanın bir parçası ile aldığımız iki parça aynı boyutlara sahip olacak:

Yani aynı boy pizzadan bahsediyoruz. Bu nedenle ifadenin değeri

Örnek 2. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:

Cevap uygunsuz bir kesirdi. Tamamını vurgulayalım:

Örnek 3. Bir ifadenin değerini bulun

Birinci kesrin payını ikinci kesrin payıyla ve birinci kesrin paydasını ikinci kesrin paydasıyla çarpın:

Cevabın normal bir kesir olduğu ortaya çıktı, ancak kısaltılması iyi olurdu. Bu kesri azaltmak için, bu kesrin payını ve paydasını 105 ve 450 sayılarının en büyük ortak bölenine (GCD) bölmeniz gerekir.

O halde 105 ve 450 sayılarının gcd'sini bulalım:

Şimdi cevabımızın payını ve paydasını şimdi bulduğumuz gcd'ye, yani 15'e bölüyoruz.

Bir tam sayıyı kesir olarak gösterme

Herhangi bir tam sayı kesir olarak gösterilebilir. Örneğin 5 sayısı şu şekilde gösterilebilir. Bu beşin anlamını değiştirmez çünkü ifade “beş sayısının bire bölümü” anlamına gelir ve bu da bildiğimiz gibi beşe eşittir:

Karşılıklı sayılar

Şimdi matematikte çok ilginç bir konuyla tanışacağız. Buna "ters sayılar" denir.

Tanım. Numaraya geri dönA ile çarpıldığında bir sayıdırA bir tane verir.

Bu tanımda değişken yerine yerine koyalım A 5 numara ve tanımı okumaya çalışın:

Numaraya geri dön 5 ile çarpıldığında bir sayıdır 5 bir tane verir.

5 ile çarpıldığında 1 veren bir sayı bulunabilir mi? Bunun mümkün olduğu ortaya çıktı. Beşi kesir olarak düşünelim:

Daha sonra bu kesri kendisiyle çarpın, sadece pay ve paydayı değiştirin. Yani kesri kendisiyle ancak tersten çarpalım:

Bunun sonucunda ne olacak? Bu örneği çözmeye devam edersek şunu elde ederiz:

Bu, 5 sayısının tersinin sayı olduğu anlamına gelir, çünkü 5'i çarptığınızda bir elde edersiniz.

Bir sayının tersi herhangi bir tam sayı için de bulunabilir.

Ayrıca herhangi bir kesrin tersini de bulabilirsiniz. Bunu yapmak için ters çevirmeniz yeterlidir.

Bir kesri bir sayıya bölmek

Diyelim ki yarım pizzamız var:

İkiye eşit olarak paylaştıralım. Kişi başına ne kadar pizza verilecek?

Pizzanın yarısını böldükten sonra her biri birer pizza oluşturan iki eşit parça elde edildiği görülüyor. Böylece herkes pizza alır.