Презентація до уроку "Порівняння логарифмів" матеріал для підготовки до еге (гіа) з алгебри (11 клас) на тему. Основні властивості логарифмів Порівняти логарифми з різними основами приклади

основними властивостями.

1. logax + logay = loga (x · y);
2. logax – logay = loga (x: y).

однакові підстави

Log6 4+log6 9.

Тепер трохи ускладнимо завдання.

Приклади вирішення логарифмів

Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x >

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Перехід до нової основи

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Дивіться також:

Основні властивості логарифму

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого.

Основні властивості логарифмів

Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.

3.

4. де .

Приклад 2. Знайти х, якщо

Приклад 3. Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

1. logax + logay = loga (x · y);
2. logax – logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму. Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником.

Формули логарифмів. Логарифми – приклади рішення.

Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм виявляється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
2. loga 1 = 0 це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Дивіться також:

Логарифмом числа b на підставі a позначають вираз . Обчислити логарифм означає знайти такий ступінь x (), при якому виконується рівність

Основні властивості логарифму

Наведені властивості необхідно знати, оскільки, на їх основі вирішуються практично всі завдання та приклади пов'язані з логарифмами. Інші екзотичні властивості можна вивести шляхом математичних маніпуляцій з даними формулами

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

При обчисленнях формули суми та різниці логарифмів (3,4) зустрічаються досить часто. Інші дещо складні, але у ряді завдань є незамінними для спрощення складних виразів та обчислення їх значень.

Поширені випадки логарифмів

Одними з поширених логарифмів є такі в яких основа рівна десять, експоненті або двійці.
Логарифм на основі десять прийнято називати десятковим логарифмом і спрощено позначати lg(x).

Із запису видно, що основи запису не пишуть. Для прикладу

Натуральний логарифм – це логарифм, у якого за основу експонента (позначають ln(x)).

Експонента дорівнює 2,718281828. Щоб запам'ятати експоненту, можете вивчити правило: експонента дорівнює 2,7 і двічі рік народження Льва Миколайовича Толстого. Знаючи це правило знатимете і точне значення експоненти, і дату народження Льва Толстого.

І ще один важливий логарифм на основі два позначають

Похідна від логарифм функції дорівнює одиниці розділеної на змінну

Інтеграл чи первісна логарифма визначається залежністю

Наведеного матеріалу Вам достатньо, щоб вирішувати широкий клас завдань, пов'язаних з логарифмами та логарифмування. Для засвоєння матеріалу наведу лише кілька поширених прикладів зі шкільної програми та ВНЗ.

Приклади на логарифми

Прологарифмувати вирази

приклад 1.
а). х=10ас^2 (а>0,с>0).

За властивостями 3,5 обчислюємо

2.
За властивістю різниці логарифмів маємо

3.
Використовуючи властивості 3,5 знаходимо

4. де .

На вигляд складне вираження з використанням низки правил спрощується до вигляду

Знаходження значень логарифмів

Приклад 2. Знайти х, якщо

Рішення. Для обчислення застосуємо до останнього доданку 5 і 13 властивості

Підставляємо в запис і сумуємо

Оскільки основи рівні, то прирівнюємо вирази

Логарифми. Початковий рівень.

Нехай задано значення логарифмів

Обчислити log(x), якщо

Рішення: Прологарифмуємо змінну, щоб розписати логарифм через суму доданків

На цьому знайомство з логарифмами та їх властивостями лише починається. Вправляйтеся в обчисленнях, збагачуйте практичні навички - отримані знання скоро знадобляться для вирішення логарифмічних рівнянь. Вивчивши основні методи вирішення таких рівнянь, ми розширимо Ваші знання для іншої не менш важливої ​​теми — логарифмічні нерівності.

Основні властивості логарифмів

Логарифми, як і будь-які числа, можна складати, віднімати та всіляко перетворювати. Але оскільки логарифми — це не зовсім звичайні числа, тут є свої правила, які називаються основними властивостями.

Ці правила обов'язково треба знати - без них не вирішується жодне серйозне логарифмічне завдання. До того ж їх зовсім небагато — все можна вивчити за один день. Отже, почнемо.

Додавання та віднімання логарифмів

Розглянемо два логарифми з однаковими підставами: logax та logay. Тоді їх можна складати і віднімати, причому:

1. logax + logay = loga (x · y);
2. logax – logay = loga (x: y).

Отже, сума логарифмів дорівнює логарифму твору, а різниця - приватного логарифму. Зверніть увагу: ключовий момент тут однакові підстави. Якщо підстави різні, ці правила не працюють!

Ці формули допоможуть обчислити логарифмічний вираз навіть тоді, коли окремі його частини не рахуються (див. урок «Що таке логарифм»). Погляньте на приклади і переконайтеся:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log6 4 + log6 9.

Оскільки підстави у логарифмів однакові, використовуємо формулу суми:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log2 48 − log2 3.

Підстави однакові, використовуємо формулу різниці:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log3 135 − log3 5.

Знову підстави однакові, тому маємо:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Як бачите, вихідні вирази складені з поганих логарифмів, які окремо не вважаються. Але після перетворень виходять цілком нормальні числа. На цьому факті збудовано багато контрольних робіт. Так що контрольні — подібні висловлювання на повному серйозі (іноді практично без змін) пропонуються на ЄДІ.

Винесення показника ступеня з логарифму

Тепер трохи ускладнимо завдання. Що, якщо у підставі чи аргументі логарифма стоїть ступінь? Тоді показник цього ступеня можна винести за знак логарифму за такими правилами:

Неважко помітити, що останнє правило слідує їх перших двох. Але краще його все ж таки пам'ятати — у деяких випадках це значно скоротить обсяг обчислень.

Зрозуміло, всі ці правила мають сенс за дотримання ОДЗ логарифму: a > 0, a ≠ 1, x > 0. І ще: вчитеся застосовувати всі формули як зліва направо, а й навпаки, тобто. можна вносити числа, що стоять перед знаком логарифму, до самого логарифму.

Як вирішувати логарифми

Саме це найчастіше й потрібне.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log7 496.

Позбавимося ступеня в аргументі за першою формулою:
log7 496 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що у знаменнику стоїть логарифм, основа та аргумент якого є точними ступенями: 16 = 24; 49 = 72. Маємо:

Думаю, до останнього прикладу потрібні пояснення. Куди зникли логарифми? До останнього моменту ми працюємо лише зі знаменником. Представили підставу і аргумент логарифму, що там стоїть, у вигляді ступенів і винесли показники — отримали «триповерховий» дріб.

Тепер подивимося на основний дріб. У чисельнику та знаменнику стоїть те саме число: log2 7. Оскільки log2 7 ≠ 0, можемо скоротити дріб — у знаменнику залишиться 2/4. За правилами арифметики, четвірку можна перенести в чисельник, що було зроблено. В результаті вийшла відповідь: 2.

Перехід до нової основи

Говорячи про правила складання та віднімання логарифмів, я спеціально підкреслював, що вони працюють лише за однакових підстав. А що, коли підстави різні? Що, якщо вони не є точними ступенями того самого числа?

На допомогу приходять формули переходу до нової основи. Сформулюємо їх як теореми:

Нехай даний логарифм logax. Тоді для будь-якого числа c такого, що c > 0 і c ≠ 1, правильна рівність:

Зокрема, якщо покласти c = x, отримаємо:

З другої формули випливає, що можна міняти місцями основу та аргумент логарифму, але при цьому весь вислів «перевертається», тобто. логарифм виявляється у знаменнику.

Ці формули рідко зустрічається у звичайних числових виразах. Оцінити, наскільки вони зручні, можна лише при розв'язанні логарифмічних рівнянь та нерівностей.

Втім, існують завдання, які взагалі не вирішуються інакше як переходом до нової основи. Розглянемо пару таких:

Завдання. Знайдіть значення виразу: log5 16 · log2 25.

Зауважимо, що в аргументах обох логарифмів стоять точні ступені. Винесемо показники: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

А тепер «перевернемо» другий логарифм:

Оскільки від перестановки множників твір не змінюється, ми спокійно перемножили четвірку та двійку, а потім розібралися з логарифмами.

Завдання. Знайдіть значення виразу: log9 100 · lg 3.

Підстава та аргумент першого логарифму — точні ступені. Запишемо це і позбудемося показників:

Тепер позбудемося десяткового логарифму, перейшовши до нової основи:

Основне логарифмічне тотожність

Часто в процесі рішення потрібно представити число як логарифм на задану основу. У цьому випадку нам допоможуть формули:

У першому випадку число n стає показником ступеня, що стоїть у аргументі. Число n може бути абсолютно будь-яким, адже це просто значення логарифму.

Друга формула – це фактично перефразоване визначення. Вона і називається: .

Справді, що буде, якщо число b звести на такий ступінь, що число b у цій мірі дає число a? Правильно: вийде це саме число a. Уважно прочитайте цей абзац ще раз — багато хто на ньому «зависає».

Подібно до формул переходу до нової основи, основна логарифмічна тотожність іноді буває єдино можливим рішенням.

Завдання. Знайдіть значення виразу:

Зауважимо, що log25 64 = log5 8 — просто винесли квадрат із підстави та аргументу логарифму. Враховуючи правила множення ступенів з однаковою основою, отримуємо:

Якщо хтось не в курсі, це було справжнє завдання з ЄДІ 🙂

Логарифмічна одиниця та логарифмічний нуль

Насамкінець наведу дві тотожності, які складно назвати властивостями — швидше, це наслідки з визначення логарифму. Вони постійно зустрічаються у завданнях і, що дивно, створюють проблеми навіть для «просунутих» учнів.

1. logaa = 1 – це. Запам'ятайте раз і назавжди: логарифм з будь-якої основи a від самої цієї основи дорівнює одиниці.
2. loga 1 = 0 це. Підстава a може бути будь-якою, але якщо в аргументі стоїть одиниця — логарифм дорівнює нулю! Тому що a0 = 1 — це прямий наслідок визначення.

Ось і всі властивості. Обов'язково потренуйтеся застосовувати їх на практиці! Скачайте шпаргалку на початку уроку, роздрукуйте її і вирішуйте завдання.

Почнемо зі властивості логарифму одиниці. Його формулювання таке: логарифм одиниці дорівнює нулю, тобто, log a 1=0для будь-якого a>0, a≠1. Доказ не викликає складнощів: оскільки a 0 =1 для будь-якого a , що задовольняє зазначеним вище умовам a>0 і a≠1 , то рівність log a 1=0 відразу випливає з визначення логарифму.

Наведемо приклади застосування розглянутої якості: log 3 1=0 , lg1=0 і .

Переходимо до наступної властивості: логарифм числа, рівного підставі, дорівнює одиниці, тобто, log a a=1при a>0, a≠1. Справді, оскільки a 1 =a для будь-якого a , то визначення логарифму log a a=1 .

Прикладами використання цієї властивості логарифмів є рівності log 5 5 = 1, log 5,6 5,6 і lne = 1 .

Наприклад, log 2 2 7 =7 , lg10 -4 =-4 і .

Логарифм твору двох позитивних чисел x і y дорівнює добутку логарифмів цих чисел: log a (x · y) = log a x + log a y, a>0, a≠1. Доведемо властивість логарифму твору. В силу властивостей ступеня a log a x + log a y = log a x · log a y, а так як за основною логарифмічною тотожністю a log a x = x і a log a y = y, то a log a x a log a y = x y. Таким чином, a log a x + log a y = x · y, звідки за визначенням логарифму випливає рівність, що доводиться.

Покажемо приклади використання властивості логарифму добутку: log 5 (2·3)=log 5 2+log 5 3 .

Властивість логарифму твору можна узагальнити добуток кінцевого числа n позитивних чисел x 1 , x 2 , …, x n як log a (x 1 · x 2 · ... · x n) = log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Ця рівність без проблем доводиться.

Наприклад, натуральний логарифм твору можна замінити сумою трьох натуральних логарифмів чисел 4 , e , і .

Логарифм приватного двох позитивних чисел x і y дорівнює різниці логарифмів цих чисел. Властивості приватного логарифму відповідає формула виду , де a>0 , a≠1 , x і y – деякі позитивні числа. Справедливість цієї формули доводиться як і формула логарифму твору: оскільки , то щодо визначення логарифму .

Наведемо приклад використання цієї властивості логарифму: .

Переходимо до властивості логарифму ступеня. Логарифм ступеня дорівнює добутку показника ступеня на логарифм модуля основи цього ступеня. Запишемо цю властивість логарифму ступеня у вигляді формули: log a b p = log a | b |, де a>0 , a≠1 , b та p такі числа, що ступінь b p має сенс і b p >0 .

Спочатку доведемо цю властивість для позитивних b. Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам уявити число b як a log a b тоді b p = (a log a b) p , а отримане вираз в силу властивість ступеня дорівнює a p · log a b . Так ми приходимо до рівності b p = a p · log a b , з якого за визначенням логарифму укладаємо, що log a b p = p · log a b .

Залишилося довести цю властивість для негативних b. Тут зауважуємо, що вираз log a b p при негативних b має сенс лише при парних показниках ступеня p (оскільки значення ступеня b p має бути більшим за нуль, в іншому випадку логарифм не матиме сенсу), а в цьому випадку b p =|b| p. Тоді b p = | b | p = (a log a | b |) p = a p · log a | b |, Звідки log a b p = p log a | b | .

Наприклад, і ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Із попередньої властивості випливає властивість логарифму з кореня: логарифм кореня n-ого ступеня дорівнює добутку дробу 1/n на логарифм підкореного виразу, тобто, , де a>0, a≠1,n - натуральне число, більше одиниці, b>0.

Доказ базується на рівності (дивіться ), яка справедлива для будь-яких позитивних b і властивості логарифму ступеня: .

Ось приклад використання цієї властивості: .

Тепер доведемо формулу переходу до нової основи логарифмувиду . Для цього достатньо довести справедливість рівності log c b = log a b log c a . Основне логарифмічне тотожність дозволяє нам число b уявити як a log a b тоді log c b = log c a log a b . Залишилося скористатися властивістю логарифму ступеня: log ca log ab = log a b log c a. Так доведено рівність log c b = log a b log ca , а значить, доведено і формулу переходу до нової основи логарифму.

Покажемо кілька прикладів застосування цієї властивості логарифмів: і .

Формула переходу до нової основи дозволяє переходити до роботи з логарифмами, що мають «зручну» основу. Наприклад, з її допомогою можна перейти до натуральних або десяткових логарифмів, щоб можна було обчислити значення логарифму таблиці логарифмів. Формула переходу до нової основи логарифму також дозволяє в деяких випадках знаходити значення логарифму, коли відомі значення деяких логарифмів з іншими основами.

Часто використовується окремий випадок формули переходу до нової основи логарифму при c=b виду . Звідси видно, що log ab і log ba – . Наприклад, .

Також часто використовується формула яка зручна при знаходженні значень логарифмів. Для підтвердження своїх слів покажемо, як з її допомогою обчислюється значення логарифму . Маємо . Для доказу формули достатньо скористатися формулою переходу до нової основи логарифму a: .

Залишилося довести властивості порівняння логарифмів.

Доведемо, що для будь-яких позитивних чисел b 1 і b 2 b 1 log a b 2 , а за a>1 – нерівність log a b 1

Нарешті, залишилося довести останню з перерахованих властивостей логарифмів. Обмежимося доказом його першої частини, тобто доведемо, що якщо a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b>log a 2 b . Інші твердження цієї властивості логарифмів доводяться за аналогічним принципом.

Скористаємося методом від неприємного. Припустимо, що за a 1 >1 , a 2 >1 і a 1 1 справедливо log a 1 b≤log a 2 b . За властивостями логарифмів ці нерівності можна переписати як і відповідно, а з них випливає, що log b a 1 ≤ log b a 2 і log b a 1 ≥ log b a 2 відповідно. Тоді за властивостями ступенів з однаковими основами повинні виконуватися рівності b log b a 1 b log b a 2 і b log b a 1 b log b a 2 , тобто, a 1 a 2 . Так ми дійшли суперечності умові a 1

Список літератури.

• Колмогоров А.М., Абрамов А.М., Дудніцин Ю.П. та ін Алгебра та початку аналізу: Підручник для 10 - 11 класів загальноосвітніх установ.
• Гусєв В.А., Мордкович А.Г. Математика (посібник для вступників до технікумів).

Порівняння значень логарифмів чи значення логарифму з деяким числом зустрічається у шкільній практиці вирішення завдань як як самостійне завдання. Порівнювати логарифми доводиться, наприклад, під час вирішення рівнянь і нерівностей. Матеріали статті (завдання та його рішення) розташовуються за принципом “від простого до складного” і може бути використані на підготовку і проведення уроку (уроків) з цієї темі, і навіть на факультативних заняттях. Кількість завдань на уроці залежить від рівня класу, його профільного напряму. У класах із поглибленим вивченням математики цей матеріал може бути використаний для двогодинного уроку-лекції.

1. (Усно.) Які з функцій є зростаючими, а які спадають:

Зауваження.Ця вправа є підготовчою.

2. (Усно.)Порівняйте з нулем:

Зауваження. При вирішенні вправи № 2 можна використовувати властивості логарифмічної функції із залученням графіка логарифмічної функції, так і наступне корисна властивість:

якщо позитивні числа a і b лежать на числовій прямій правіше 1 або лівіше 1 (тобто a>1 і b>1 або 0 0 ;
якщо позитивні числа a і b лежать на числовій прямій по різні боки від 1 (тобто 0 .

Покажемо використання цієї властивості за рішенням № 2(а).

Оскільки функція y = log 7 tзростає на R+, 10 > 7, то log 7 10 > log 7 7, тобто log 7 10 > 1. Таким чином, позитивні числа sin3 і log 7 10 лежать по різні боки від 1. Отже, log sin3 log 7 10< 0.

3. (Усно.) Знайдіть помилку в міркуваннях:

Функція y = lgtзростає на R + тоді ,

Розділимо обидві частини останньої нерівності на . Отримаємо, що 2 > 3.

Рішення.

Позитивні числа та 10 (основа логарифму) лежать по різні боки від 1. Значить,< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Усно.) Порівняйте числа:

Зауваження.При вирішенні вправ № 4(a–c) використовуємо властивість монотонності логарифмічної функції. При рішенні № 4(d) використовуємо властивість:

якщо c > a >1, то при b>1 справедлива нерівність log a b > log c b.

Рішення 4(d).

Оскільки 1< 5 < 7 и 13 >1, log 5 13 > log 7 13.

5. Порівняйте числа log 2 6 та 2.

Рішення.

Перший спосіб (Використання монотонності логарифмічної функції).

Функція y = log 2 tзростає на R+, 6 > 4. Значить, log 2 6 > log 2 4і log 2 5 > 2.

Другий спосіб (складання різниці).

Складемо різницю.

6. Порівняйте числа і -1.

Функція y =зменшується на R+ , 3 < 5. Значит, >і > -1 .

7. Порівняйте числа і 3log 8 26 .

Функція y = log 2 tзростає на R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Перший метод.

Помножимо обидві частини нерівності на 3:

Функція y = log 5 tзростає на R+ , 27 > 25. Значить,

Другий спосіб.

Складемо різницю
. Звідси.

9. Порівняйте числа log 4 26 і log 6 17.

Оцінимо логарифми, враховуючи, що функції y = log 4 t і y = log 6 t зростають на R+:

Враховуючи, що функції спадають на R+, маємо:

Значить,

Зауваження. Запропонований метод порівняння називають методом "вставки"або методом "поділу"(Ми знайшли число 4, що розділяє дані два числа).

11. Порівняйте числа log 2 3 і log 3 5.

Зауважимо, що обидва логарифми більше 1, але менше 2.

Перший метод. Спробуємо застосувати метод "поділу". Порівняємо логарифми з числом.

Другий спосіб ( множення на натуральне число).

Примітка 1. Суть методу “множення на натуральне число” у тому, що ми шукаємо натуральне число k, при множенні на яке порівнюваних чисел aі bодержують такі числа kaі kbщо між ними знаходиться хоча б одне ціле число.

Зауваження 2. Реалізація вищеописаного методу буває дуже трудомістка, якщо порівнювані числа дуже близькі друг до друга.
У цьому випадку можна спробувати порівняння методом “віднімання одиниці”. Покажемо його на прикладі.

12. Порівняйте числа log 7 8 і log 6 7.

Перший спосіб (віднімання одиниці).

Віднімемо з порівнюваних чисел по 1.

У першій нерівності ми скористалися тим, що

якщо c > a > 1, то при b > 1 справедлива нерівність log a b > log c b.

У другій нерівності – монотонність функції y = log a x.

Другий спосіб (Застосування нерівності Коші).

13. Порівняйте числа log 24 72 і log 12 18.

14. Порівняйте числа log 20 80 і log 80 640.

Нехай log 2 5 = x. Зауважимо, що x > 0.

Отримуємо нерівність.

Знайдемо безліч розв'язків нерівності що задовольняють умові x > 0.

Зведемо обидві частини нерівності у квадрат (при x> 0 обидві частини нерівності позитивні). Маємо 9x 2< 9x + 28.

Безліч рішень останньої нерівності є проміжок.

Враховуючи що x> 0, отримуємо: .

Відповідь: нерівність вірна.

Практикум щодо вирішення завдань.

1. Порівняйте числа:

2. Розташуйте у порядку зростання числа:

3. Розв'яжіть нерівність 4 4 – 2·2 4+1 – 3< 0 . Чи є число √2 вирішенням цієї нерівності? (Відповідь:(–∞; log 2 3) ; число √2 є рішенням даної нерівності.)

Висновок.

Методів порівняння логарифмів багато. Мета уроків на цю тему – навчити орієнтуватися у різноманітті методів, вибирати та застосовувати найбільш раціональний спосіб вирішення у кожній конкретній ситуації.

У класах з поглибленим вивченням математики матеріал на цю тему може бути викладений у формі лекції. Така форма навчальної діяльності передбачає, що матеріал лекції має бути ретельно відібраний, опрацьований, збудований у певній логічній послідовності. Записи, які робить вчитель на дошці, мають бути продуманими, математично точними.

Закріплення лекційного матеріалу, відпрацювання навичок щодо вирішення завдань доцільно проводити на уроках-практикумах. Мета практикуму – не лише закріпити та перевірити отримані знання, а й поповнити їх. Тому завдання повинні містити завдання різного рівня, від найпростіших завдань до завдань підвищеної складності. Вчитель таких практикумах виступає у ролі консультанта.

Література

1. Галицький М.Л.та ін. Поглиблене вивчення курсу алгебри та математичного аналізу: Метод. рекомендації та дидактичні матеріали: Посібник для вчителя. - М.: Просвітництво, 1986.
2. Зів Б.Г., Гольдич В.А.Дидактичні матеріали з алгебри та початків аналізу для 10 класу. - СПб.: "ЧеРо-на-Неві", 2003.
3. Литвиненко В.М., Мордкович О. Г.Практикум з елементарної математики. Алгебра. Тригонометрія.: Навчальне видання. - М.: Просвітництво, 1990.
4. Рязановський А.Р.Алгебра і початку аналізу: 500 способів і методів вирішення задач з математики для школярів та вступників до вузів. - М.: Дрофа, 2001.
5. Садівницький Ю.В.Математика. Конкурсні завдання з алгебри із рішеннями. Частина 4. Логарифмічні рівняння, нерівності, системи. Навчальний посібник.-3-тє вид., стер.-М.: Видавничий відділ УНЦДО, 2003.
6. Шаригін І.Ф., Голубєв В.І.Факультативний курс з математики: Розв'язання задач: Навч. посібник для 11 кл. сред.шк.- М.: Просвітництво, 1991.

У розділі на питання як порівняти логарифми, коли...(+)? заданий автором Просіятисьнайкраща відповідь це А можна не зводити до однієї основи, а використовувати властивості логарифмічної функції.
Якщо основа логарифмічної функції більше 1, то функція зростає, причому для х > 1 чим менше основа, тим графік розташований вище,
для 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Якщо основа логарифму більше нуля і менше 1, то функція зменшується,
причому для х > 1 так само чим менше основа, тим графік вищий,
для 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Вийде так:

Відповідь від худорляві[гуру]
Приведіть логарифми до однієї основи (наприклад, до натуральної кількості), а потім порівнюйте.
1. a = Ln (16) / Ln (7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3. a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4. a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Відповідь від Невропатолог[гуру]
Скористайтеся формулою початку нової основи: log(a)b=1/log(b)a.
Потім порівняйте знаменники дробів як логарифми з однаковою основою.
З двох дробів з однаковими чисельниками той дріб більший, у якого знаменник менший.
Наприклад, log(7)16 та log(3)16
1/log(16)7 та 1/log(16)3
Оскільки log(16)7>log(16)3, то 1/log(16)7< 1/log(16)3.