وظائف عكسية متبادلة. التطوير المنهجي للدرس "الدوال العكسية المتبادلة" درس حول موضوع الدوال العكسية

I. توصيل موضوع الدرس والغرض منه

ثانيا. تكرار وتوحيد المواد المغطاة

1. إجابات على أسئلة الواجبات المنزلية (تحليل المشكلات التي لم يتم حلها).

2. مراقبة استيعاب المادة (العمل المستقل).

الخيار 1

الخيار 2

بحث الدالة ورسمها بيانيا:

ثالثا. تعلم مواد جديدة

باستخدام الشكل التحليلي للدالة، من السهل العثور على القيمة المقابلة للدالة y لأي قيمة للوسيطة. غالبًا ما تنشأ المشكلة العكسية: قيمة y معروفة ومن الضروري إيجاد قيمة الوسيطةس ، حيث يتحقق.

مثال 1

دعونا نجد قيمة الوسيطة x إذا كانت قيمة الدالةيساوي: أ) 2؛ ب) 7/6؛ في 1.

من الشكل التحليلي للوظيفةعبر عن المتغير x واحصل على: 4س ص - 2ص = 3 س + 1 أو x(4y - 3) = 2y + 1، ومن هنا. الآن أصبح من السهل حل المشكلة:

وظيفة تسمى عكس الدالة. نظرًا لأنه من المعتاد الإشارة إلى وسيطة الدالة بالحرف x، وقيمة الدالة بالحرف y، تتم كتابة الدالة العكسية بالشكل

وسنقدم المفاهيم اللازمة لدراسة الموضوع.

التعريف 1. الدالة y =و(س)، س ∈ يُسمى X بالعكس إذا أخذ أيًا من قيمه فقط عند نقطة واحدة x من المجموعة X (بمعنى آخر، إذا كانت القيم المختلفة للوسيطة تتوافق مع قيم مختلفة للدالة). وبخلاف ذلك، تسمى الوظيفة لا رجعة فيها.

مثال 2

وظيفة تأخذ كل قيمة من قيمها نقطة واحدة فقط x وهي قابلة للعكس (الرسم البياني أ). وظيفةلها قيم y (على سبيل المثال، y = 2) والتي يتم تحقيقها عند نقطتين مختلفتينس ، ولا رجعة فيه (الرسم البياني ب).

النظرية التالية مفيدة عند النظر في الموضوع.

النظرية 1. إذا كانت الدالة y =و (س)، س ∈ X رتيبة في المجموعة X، ومن ثم فهي قابلة للعكس.

مثال 3

دعنا نعود إلى المثال السابق. وظيفةيتناقص (رتيبًا) وهو قابل للعكس على نطاق التعريف بأكمله. وظيفةغير رتيب ولا رجعة فيه. ومع ذلك، تزيد هذه الدالة على الفترات (-∞; -1] و . لذلك، في مثل هذه الفترات تكون الدالة قابلة للعكس. على سبيل المثال، تكون الدالة قابلة للعكس في الفترةس ∈ [-1؛ 1].

التعريف 2. دع ص =و (س)، س ∈ X هي دالة قابلة للعكس وه(و) = ص . دعونا نطابق كل واحدي هي القيمة الوحيدة لـ x التيو(س ) = y (أي الجذر الوحيد للمعادلةو(س ) = y بالنسبة للمتغير x). ثم نحصل على وظيفة محددة في المجموعةي (المجموعة X هي نطاق قيمها). يتم الإشارة إلى هذه الوظيفة بواسطة x –و -1 (ذ)، ذ ∈ ص ويسمى معكوس الدالة y =و (س)، س ∈ X. يوضح الشكل الدالة y = F (خ) والدالة العكسيةس = و -1 (ص).

الوظائف الأمامية والعكسية لها نفس الرتابة.

النظرية 2. إذا كانت الدالة y = F (x) يزيد (ينقص) على المجموعة X، وY هو نطاق قيمها، ثم الدالة العكسيةس = و -1 (ص ) يزيد (ينقص) على المجموعةي.

مثال 4

وظيفة يتناقص على المجموعةولها معاني كثيرةوظيفة عكسيةيتناقص أيضا على المجموعةولها معاني كثيرةومن الواضح أن الرسوم البيانية للوظائفو متطابقة، حيث أن هذه الدوال تؤدي إلى نفس العلاقة بين المتغيرين x و y: 4xy - 3x - 2y - 1 = 0.

من المعتاد بالنسبة لنا أن يُشار إلى وسيطة الدالة بالحرف x، وقيمة الدالة بالحرف y. لذلك سنكتب الدالة العكسية بالصيغة y = f -1 (x) (انظر المثال 1).

النظرية 3. الرسوم البيانية للدالة y = F (x) والدالة العكسية y =و -1 متماثل للخط المستقيم النسبي y = x.

مثال 5

بالنسبة للدالة y = 2x - 4، نجد الدالة العكسية: y + 4 = 2x، حيث x = 1/2y + 2. دعونا نقدم عمليات إعادة التصميم x↔ y واكتب الدالة العكسية في الصورة y = 1/2x + 2. وهكذا بالنسبة للدالة F (x) = 2x – 4 دالة عكسيةو -1(س ) = 1/2x + 2. لنقم ببناء رسوم بيانية لهذه الوظائف. ويمكن ملاحظة أن الرسوم البيانية متناظرة مع الخط المستقيم النسبي y = x.

الدالة f -1 (x ) = 1/2x + 2 معكوس الدالة F (x) = 2x - 4. ولكن أيضًا الدالة F (x) = 2x - 4 هو معكوس الدالةو -1(س ) = 1/2x + 2. لذلك، الوظائفو(خ) و و -1 (x) من الأصح أن تسمى متبادلة. في هذه الحالة يتم تحقيق المساواة التالية: f -1 (f (x)) = x و f (f -1 (x) = x.

رابعا. أسئلة التحكم

1. وظائف قابلة للعكس ولا رجعة فيها.

2. عكس وظيفة رتيبة.

3. تعريف الدالة العكسية.

4. رتابة الوظائف المباشرة والعكسية.

5. الرسوم البيانية للوظائف المباشرة والعكسية.

خامسا: مهمة الدرس

§ 3، رقم 1 (أ، ب)؛ 2 (ج، د)؛ 3 (أ، د)؛ 4 (ج، د)؛ 5 (أ، ج).

السادس. الواجب المنزلي

§ 3، رقم 1 (ج، د)؛ 2 (أ، ب)؛ 3 (ب، ج)؛ 4 (أ، ب)؛ 5 (ب، د).

سابعا. تلخيص الدرس

الدوال العكسية المتبادلة ورسومها البيانية

(التكرار العام للمادة المغطاة)

أي رسم بياني يتوافق مع الرسم البياني للوظيفة ص=س 3 هل فيه العكس؟

ما الرسم البياني الذي يتوافق مع الرسم البياني للدالة وهل له معكوس؟

أي من الرسوم البيانية يطابق الرسم البياني؟

هل لها دالة عكسية؟

ما الرسم البياني الذي يتوافق مع الوظيفة؟

المجموعة 1: الإجابة أ) اشرح السبب

ما هي الوظيفة التي يتوافق معها الرسم البياني؟ 1 . ص = س 3 2. 3. ص = س 4 4 . ص = س -2 5 . 6. ص = س -1

على الرسم البياني الوظيفي

د(ص)=(-:0) يو(0;+)

حدد نطاق هذا التعريف

على الرسم البياني الوظيفي

حدد نطاق القيم لهذا على الرسم البياني الوظيفي

ه (ص)=(- ; 2) يو(2 ;+)

أوجد الدالة العكسية لواحدة معينة في = ز ( س )

إذا كانت الدالة (2) معكوسة للدالة (1)، فإن هذه الدوال تسمى معكوسة بشكل متبادل.

ابحث عن مجال التعريف ومجموعة القيم لهذه الوظائف.

• د (ص)= (- ∞ ;2) ∪ (2;+ ∞)
• E(y)=(- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

• د (ص)= (- ∞ ;0) ∪ (0;+ ∞)

2. E(y)= (-∞;2)∪(2;+∞)

• مجال الدالة العكسية ز (خ) يتزامن مع مجموعة القيم الأصلية المهام F ( س )، ومجموعة قيم الدالة العكسية ز (خ) يتزامن مع مجال تعريف الوظيفة الأصلية و (خ) :

د( ز (خ) ) = ه( و(س ))، ه( ز(س )) = د( و(س )).

• الدالة الرتيبة قابلة للعكس:

• إذا كانت الوظيفة F (خ) يزيد، ثم وظيفتها العكسية ز (خ) كما يزيد؛
• إذا كانت الوظيفة F (خ) يتناقص، ثم وظيفتها العكسية ز (خ) يتناقص أيضا.

نظرا: ص = س 3

إنشاء رسم بياني لدالة معينة، والتعبير عن صيغة الدالة العكسية لدالة معينة وإنشاء الرسم البياني الخاص بها.

3. إذا كانت الدالة لها معكوس، فإن الرسم البياني للدالة العكسية يكون متماثلًا مع الرسم البياني لهذه الدالة بالنسبة إلى الخط المستقيم y = x.

أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة العكسية للدالة المعطاة.

العمل التربوي المستقل

الخيار الثاني

الخيار الأول

• أوجد معكوس الدالة المعطاة:

2. ابحث عن مجال التعريف ومجموعة قيم الدالة المعكوسة للدالة المعطاة:

3. أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة المعكوسة للدالة المعطاة:

الخيار الثاني

الخيار الأول

2. د(ص)=(- ; +)

ه (ص)=(- ؛ +)

2. د(ص)=(- ; +)

ه (ص)=(- ؛ +)

العمل في المنزل:

حل رقم 579، رقم 576(ج،د

اختياري رقم 581(1,2)

• تعلمت خلال الدرس ...............
• أثناء الدرس كنت مهتماً بـ ...............
• كان من الصعب………………………………………….
• يمكنني استخدام المعرفة المكتسبة في الدرس ...........................................

خواطر:

أهداف الدرس:

التعليمية:

• تطوير المعرفة حول موضوع جديد وفقا لمواد البرنامج؛
• دراسة خاصية انعكاس الوظيفة وتعليم كيفية العثور على الوظيفة العكسية لوظيفة معينة؛

التنموية:

• تطوير مهارات ضبط النفس، والكلام الموضوعي؛
• إتقان مفهوم الدالة العكسية وتعلم طرق العثور على الدالة العكسية؛

التعليمية: لتطوير الكفاءة التواصلية.

معدات:كمبيوتر، جهاز عرض، شاشة، سبورة بيضاء تفاعلية، SMART Board، نشرات (عمل مستقل) للعمل الجماعي.

خلال الفصول الدراسية.

1. اللحظة التنظيمية.

هدف – إعداد الطلاب للعمل داخل الفصل:

تعريف الغائبين

تهيئة الطلاب للمزاج المناسب للعمل، وتنظيم الاهتمام؛

اذكر موضوع الدرس والغرض منه.

2. تحديث المعرفة الأساسية لدى الطلاب.مسح أمامي.

هدف - إثبات صحة ووعي المادة النظرية المدروسة، وتكرار المادة المغطاة.<Приложение 1 >

يتم عرض رسم بياني للوظيفة على السبورة التفاعلية للطلاب. يقوم المعلم بصياغة مهمة - النظر في الرسم البياني للدالة وسرد الخصائص المدروسة للوظيفة. يسرد الطلاب خصائص الوظيفة وفقًا لتصميم البحث. يقوم المعلم، على يمين الرسم البياني للدالة، بكتابة الخصائص المسماة بعلامة على السبورة التفاعلية.

خصائص الوظيفة:

في نهاية الدراسة، يذكر المعلم أنهم اليوم في الدرس سوف يتعرفون على خاصية أخرى للوظيفة - الانعكاس. لدراسة المواد الجديدة بشكل هادف، يدعو المعلم الأطفال للتعرف على الأسئلة الرئيسية التي يجب على الطلاب الإجابة عليها في نهاية الدرس. تتم كتابة الأسئلة على لوحة عادية ويحصل عليها كل طالب على شكل نشرات (يتم توزيعها قبل الدرس)

1. ما هي الوظيفة التي تسمى عكسية؟
2. هل أي وظيفة قابلة للعكس؟
3. ما هي الوظيفة التي تسمى معكوس المسند؟
4. كيف يرتبط مجال التعريف ومجموعة قيم الدالة وعكسها؟
5. إذا تم إعطاء دالة تحليليا، فكيف يمكن تحديد الدالة العكسية من خلال صيغة؟
6. إذا تم إعطاء دالة بيانيا، فكيف يمكن رسم دالتها العكسية؟

3. شرح المواد الجديدة.

هدف - توليد المعرفة حول موضوع جديد وفقا لمواد البرنامج؛ دراسة خاصية انعكاس الوظيفة وتعليم كيفية العثور على الوظيفة العكسية لوظيفة معينة؛ تطوير خطاب موضوعي.

يعرض المعلم المادة وفقًا للمادة الواردة في الفقرة. على السبورة التفاعلية، يقارن المعلم الرسوم البيانية لوظيفتين تتشابه مجالات تعريفهما ومجموعات القيم، ولكن إحدى الوظائف رتيبة والأخرى ليست كذلك، وبالتالي تعريف الطلاب بمفهوم الدالة المعكوسة .

يقوم المعلم بعد ذلك بصياغة تعريف الدالة القابلة للعكس وإجراء برهان على نظرية الدالة القابلة للعكس باستخدام الرسم البياني للدالة الرتيبة على السبورة التفاعلية.

التعريف 1: يتم استدعاء الدالة y=f(x), x X تفريغ، إذا أخذت أيًا من قيمها فقط عند نقطة واحدة من المجموعة X.

النظرية: إذا كانت الدالة y=f(x) رتيبة في المجموعة X، فهي قابلة للعكس.

دليل:

1. دع الوظيفة ص = و (س)يزيد بنسبة Xدعها تذهب × 1 ≠ × 2- نقطتان من المجموعة X.
2. على وجه التحديد، اسمحوا × 1< × 2.
   ثم من حقيقة ذلك × 1< × 2يتبع ذلك و (× 1) < و(× 2).
3. وبالتالي، فإن القيم المختلفة للوسيطة تتوافق مع قيم مختلفة للدالة، أي. الدالة قابلة للعكس.

(مع تقدم إثبات النظرية، يستخدم المعلم قلم التحديد لتقديم جميع الشروحات اللازمة على الرسم)

قبل صياغة تعريف الدالة العكسية، يطلب المعلم من الطلاب تحديد أي من الدوال المقترحة قابلة للعكس؟ تعرض السبورة التفاعلية رسومًا بيانية للوظائف وتكتب العديد من الوظائف المحددة تحليليًا:

ب)

ز) ص = 2س + 5

د) ص = -س 2 + 7

يقدم المعلم تعريف الدالة العكسية.

التعريف 2: دع الوظيفة المعكوسة ص = و (س)المحددة على المجموعة Xو ه(و)=ص. دعونا نطابق كل واحد ذمن يهذا هو المعنى الوحيد X، الذي و(س)=ص.ثم نحصل على وظيفة تم تعريفها ي، أ X- نطاق الوظيفة

تم تعيين هذه الوظيفة س = و -1 (ص)ويسمى معكوس الدالة ص = و (س).

يُطلب من الطلاب استخلاص استنتاج حول العلاقة بين مجال التعريف ومجموعة قيم الدوال العكسية.

للنظر في مسألة كيفية العثور على معكوس دالة معينة، قام المعلم بجذب طالبين. في اليوم السابق، تلقى الأطفال مهمة من المعلم لتحليل الأساليب التحليلية والرسومية بشكل مستقل للعثور على الوظيفة العكسية لوظيفة معينة. يقوم المعلم بدور المستشار في إعداد الطلاب للدرس.

رسالة من الطالب الأول .

ملحوظة: رتابة الوظيفة هي كافٍشرط وجود الدالة العكسية لكنه ليسشرط ضروري.

أعطى الطالب أمثلة لمواقف مختلفة عندما تكون الدالة غير رتيبة ولكنها قابلة للعكس، وعندما تكون الدالة غير رتيبة وغير قابلة للعكس، وعندما تكون رتيبة وقابلة للعكس

ثم يعرّف الطالب الطلاب على طريقة لإيجاد الدالة العكسية المعطاة تحليليًا.

العثور على خوارزمية

1. تأكد من أن الوظيفة رتيبة.
2. عبر عن المتغير x بدلالة y .
3. إعادة تسمية المتغيرات. بدلاً من x=f -1 (y) اكتب y=f -1 (x)

ثم يحل مثالين لإيجاد الدالة العكسية لأحد الأمثلة.

مثال 1:وضح أنه بالنسبة للدالة y=5x-3 توجد دالة عكسية وأوجد تعبيرها التحليلي.

حل. يتم تعريف الدالة الخطية y=5x-3 على R، وتزيد على R، ونطاق قيمها هو R. وهذا يعني أن الدالة العكسية موجودة على R. للعثور على تعبيرها التحليلي، قم بحل المعادلة y=5x- 3 ل س؛ نحصل على هذه هي الدالة العكسية المطلوبة. يتم تعريفه وزيادة على R.

مثال 2:بيّن أنه بالنسبة للدالة y=x 2, x≥0 هناك دالة عكسية، وأوجد تعبيرها التحليلي.

الدالة مستمرة ورتيبة في مجال تعريفها، وبالتالي فهي قابلة للعكس. بعد تحليل مجالات التعريف ومجموعات قيم الوظيفة، يتم التوصل إلى استنتاج مماثل حول التعبير التحليلي للدالة العكسية.

يقوم الطالب الثاني بعمل عرض تقديمي عن رسم بيانيطريقة إيجاد الدالة العكسية ويستخدم الطالب خلال شرحه إمكانيات السبورة التفاعلية.

للحصول على رسم بياني للدالة y=f -1 (x)، معكوسًا للدالة y=f(x)، من الضروري تحويل الرسم البياني للدالة y=f(x) بشكل متماثل فيما يتعلق بالخط المستقيم ص=س.

أثناء الشرح على السبورة التفاعلية يتم تنفيذ المهمة التالية:

أنشئ رسمًا بيانيًا للدالة ورسمًا بيانيًا لدالتها العكسية في نفس نظام الإحداثيات. اكتب التعبير التحليلي للدالة العكسية.

4. الدمج الأولي للمواد الجديدة.

هدف - إثبات صحة ووعي فهم المادة المدروسة، وتحديد الثغرات في الفهم الأولي للمادة، وتصحيحها.

يتم تقسيم الطلاب إلى أزواج. يتم إعطاؤهم أوراقًا من المهام، حيث يقومون بالعمل في أزواج. الوقت اللازم لإكمال العمل محدود (5-7 دقائق). يعمل زوج واحد من الطلاب على الكمبيوتر، ويتم إيقاف تشغيل جهاز العرض خلال هذا الوقت ولا يستطيع بقية الأطفال رؤية كيفية عمل الطلاب على الكمبيوتر.

في نهاية الوقت (من المفترض أن غالبية الطلاب قد أكملوا العمل)، يتم عرض عمل الطلاب على اللوحة التفاعلية (يتم تشغيل جهاز العرض مرة أخرى)، حيث يتم تحديد أثناء التحقق مما إذا كانت المهمة أم لا تم إكماله بشكل صحيح في أزواج. إذا لزم الأمر، يقوم المعلم بالعمل التصحيحي والتوضيحي.

العمل المستقل في أزواج<الملحق 2 >

5. ملخص الدرس.بخصوص الأسئلة التي تم طرحها قبل المحاضرة. إعلان درجات الدرس.

الواجب المنزلي §10. رقم 10.6(أ،ج) 10.8-10.9(ب) 10.12(ب)

الجبر وبدايات التحليل. الصف العاشر في جزأين لمؤسسات التعليم العام (المستوى الشخصي) / A. G. Mordkovich، L. O. Denishcheva، T. A. Koreshkova، إلخ؛ حررت بواسطة أ.ج. موردكوفيتش، م: منيموسين، 2007

ملاحظات الدرس حول موضوع "عكس الدالة"

الدرس 1. محاضرة حول هذا الموضوع "وظيفة عكسية"

هدف: تكوين جهاز نظري حول الموضوع. يدخل

مفهوم الدالة العكسية؛

مفهوم الدالة العكسية؛

صياغة وإثبات شرط كاف للرجوع

المهام؛

الخصائص الأساسية للوظائف العكسية المتبادلة.

خطة الدرس المحاضرة

تنظيم الوقت.

تحديث معارف الطلاب اللازمة لاستيعاب موضوع جديد.

تقديم مواد جديدة.

تلخيص الدرس.

التقدم في الدرس والمحاضرة

1. تنظيم الوقت.

2. تحديث المعرفة. ( مسح أمامي حول موضوع الدرس السابق.)

يظهر رسم بياني للوظيفة على السبورة التفاعلية للطلاب (الشكل 1). يقوم المعلم بصياغة مهمة - النظر في الرسم البياني للدالة وسرد الخصائص المدروسة للوظيفة. يسرد الطلاب خصائص الوظيفة وفقًا لتصميم البحث. يقوم المعلم، على يمين الرسم البياني للدالة، بكتابة الخصائص المسماة بعلامة على السبورة التفاعلية.

أرز. 1

خصائص الوظيفة:

3. تحديد الأهداف للطلاب.

في نهاية الدراسة، يذكر المعلم أنهم اليوم في الدرس سوف يتعرفون على خاصية أخرى للوظيفة - الانعكاس. لدراسة المواد الجديدة بشكل هادف، يدعو المعلم الأطفال للتعرف على الأسئلة الرئيسية التي يجب على الطلاب الإجابة عليها في نهاية الدرس. كل طالب لديه أسئلة في شكل نشرات (يتم توزيعها قبل الدرس).

أسئلة:

1. ما هي الوظيفة التي تسمى بالعكس؟

2. ما هي الوظيفة التي تسمى معكوس؟

3. كيف ترتبط مجالات التعريف ومجموعات قيم الدوال المباشرة والعكسية ببعضها البعض؟

4. صياغة شرط كاف لعكس وظيفة.

5. هل معكوس الدالة المتزايدة يتناقص أم يتزايد؟

6. هل معكوس الدالة الفردية زوجي أم فردي؟

7. كيف يتم تحديد الرسوم البيانية للوظائف العكسية المتبادلة؟

4. تقديم مواد جديدة.

1) مفهوم الدالة المعكوسة. شرط كافي للرجوع

على السبورة التفاعلية، يقارن المعلم الرسوم البيانية لوظيفتين تتطابق مجالات تعريفهما ومجموعات القيم، لكن إحدى الوظائف رتيبة والأخرى ليست كذلك (الشكل 2). وبالتالي فإن الدالة لها خاصية ليست من خصائص الدالة: أي رقم من مجموعة قيم الدالةF ( س ) ومهما كان الأمر، فهي قيمة الدالة عند نقطة واحدة فقط، وبالتالي يقود المعلم الطلاب إلى مفهوم الدالة المعكوسة.

أرز. 2

يقوم المعلم بعد ذلك بصياغة تعريف الدالة القابلة للعكس وإجراء برهان على نظرية الدالة القابلة للعكس باستخدام الرسم البياني للدالة الرتيبة على السبورة التفاعلية.

التعريف 1. يتم استدعاء الدالةتفريغ ، إذا أخذت أيًا من قيمها عند نقطة واحدة فقط من المجموعةX .

نظرية. إذا كانت الوظيفة رتيبة على المجموعةX ، فهو قابل للعكس.

دليل:

دع الوظيفة ص = و (س) يزيد على المجموعةXدعها تذهب X 1 ≠x 2 - نقطتان من المجموعةX .

على وجه التحديد، اسمحواX 1 < X 2 . ثم من حقيقة ذلكX 1 < X 2 بسبب زيادة الدالة فإنه يتبع ذلكو(س 1 ) < و(س 2 ) .

وبالتالي، فإن القيم المختلفة للوسيطة تتوافق مع قيم مختلفة للدالة، أي. الدالة قابلة للعكس.

يتم إثبات النظرية بالمثل في حالة الدالة التناقصية.

(مع تقدم إثبات النظرية، يستخدم المعلم قلم التحديد لتقديم جميع الشروحات اللازمة على الرسم)

قبل صياغة تعريف الدالة العكسية، يطلب المعلم من الطلاب تحديد أي من الدوال المقترحة قابلة للعكس؟ تعرض السبورة التفاعلية الرسوم البيانية الوظيفية (الشكل 3، 4) وتكتب العديد من الوظائف المحددة تحليليًا:

أ ) ب )

أرز. 3 الشكل. 4

الخامس ) ص = 2س + 5؛ ز ) ص = - + 7.

تعليق. رتابة الوظيفة هيكافٍ شرط وجود الدالة العكسية لكنهليس شرط ضروري.

يعطي المعلم أمثلة لمواقف مختلفة عندما لا تكون الوظيفة رتيبة ولكن قابلة للعكس، عندما لا تكون الوظيفة رتيبة وغير قابلة للعكس، عندما تكون رتيبة وقابلة للعكس.

2) مفهوم الدالة العكسية. خوارزمية لتأليف دالة عكسية.

التعريف 2. دع الوظيفة المعكوسةص = و (س) المحددة على المجموعةX ونطاق قيمهاه(و)=ص . دعونا نطابق كل واحدذمن ي هذا هو المعنى الوحيدX، الذي و(س)=ص. ثم نحصل على وظيفة تم تعريفهاي، أ X - نطاق قيم الوظائف. تم تعيين هذه الوظيفةس=و -1 (ص)،و اتصل يعكس فيما يتعلق بالوظيفةص = و (س)، .

ثم يعرّف المعلم الطلاب على طريقة لإيجاد دالة عكسية معطاة تحليلياً.

خوارزمية لتكوين دالة عكسية لدالة ذ = F ( س ), .

تأكد من الوظيفةص = و (س) عكسها على الفاصل الزمنيX .

التعبير عن المتغيرXخلال فيمن مكافئ. ص = و (س)، مع الأخذ بعين الاعتبار أن.

في المساواة الناتجة، تبادل الأماكنXو في. بدلاً من س=و -1 (ص)يكتب ص=و -1 (خ).

باستخدام أمثلة محددة، يوضح المعلم كيفية استخدام هذه الخوارزمية.

مثال 1. أظهر ذلك لوظيفةص=2س-5

حل . دالة خطيةص=2س-5مصممة على ر، يزيد بنسبة ر ونطاق قيمها هور. هذا يعني أن الدالة العكسية موجودةر . للعثور على تعبيرها التحليلي، نحل المعادلةص=2س-5نسبياً X ; سوف نحصل عليه. دعونا نعيد تصميم المتغيرات ونحصل على الدالة العكسية المطلوبة. يتم تعريفه وزيادة على R.

مثال 2. أظهر ذلك لوظيفةص=س 2 ، س ≥ 0 هناك دالة عكسية، وإيجاد تعبيرها التحليلي.

حل . الدالة مستمرة ورتيبة في مجال تعريفها، وبالتالي فهي قابلة للعكس. بعد تحليل مجالات التعريف ومجموعات قيم الوظيفة، يتم التوصل إلى استنتاج مماثل حول التعبير التحليلي للدالة العكسية، التي لها النموذج.

3) خصائص الدوال العكسية.

الخاصية 1.لو ز - الدالة عكسية F ، ثم F - الدالة عكسية ز (الوظائف معكوسة بشكل متبادل)، بينماد ( ز )= ه ( F ), ه ( ز )= د ( F ) .

الملكية 2. إذا زادت (تنقص) الدالة على المجموعة X، وكان Y هو نطاق قيم الدالة، فإن الدالة العكسية تزيد (تتناقص) على Y.

الملكية 3. للحصول على رسم بياني لدالة معكوسة لدالة، تحتاج إلى تحويل الرسم البياني للدالة بشكل متماثل بالنسبة للخط المستقيمص=س .

الخاصية 4. إذا كانت الدالة الفردية قابلة للعكس، فإن معكوسها يكون فرديًا أيضًا.

العقار 5.إذا كانت الوظائف F ( س ) و معكوسين، فهو صحيح لأحد، ويصدق على الجميع.

مثال 3. ارسم رسمًا بيانيًا للدالة العكسية، إن أمكن.

حل. في كامل مجال تعريفها، هذه الدالة ليس لها معكوس، لأنها ليست رتيبة. لذلك، دعونا نفكر في الفترة التي تكون فيها الدالة رتيبة: وهذا يعني أن المعكوس موجود. سوف نجدها . للقيام بذلك، نعربس خلالذ : . دعونا نعيد تصميمها لتكون الدالة العكسية. دعونا نرسم الدوال (الشكل 5) ونتأكد من تماثلها بالنسبة للخط المستقيمذ = س .

أرز. 5

مثال 4. أوجد مجموعة قيم كل دالة من الدوال المقلوبة إذا علمت ذلك.

حل. وفقا للخاصية 1 من الدوال العكسية المتبادلة، لدينا.

5 . تلخيص

تنفيذ الأعمال التشخيصية. الغرض من هذا العمل هو تحديد مستوى إتقان المادة التعليمية التي تمت مناقشتها في المحاضرة. يطلب من الطلاب الإجابة على الأسئلة التي تمت صياغتها في بداية المحاضرة.

6 . تحديد الواجبات المنزلية.

1. فهم مادة المحاضرة، وتعلم التعاريف الأساسية وبيانات النظريات.

2. إثبات خصائص الدوال المتبادلة.

الدرس 2. ورشة عمل حول موضوع "تعريف الدالة العكسية. شرط كاف لعكس وظيفة "

هدف: لتطوير القدرة على تطبيق المعرفة النظرية حول الموضوع عند حل المشكلات، والنظر في الأنواع الرئيسية من المشكلات لدراسة دالة الانعكاس، لبناء دالة عكسية.

الخطة الدراسية لورشة العمل:

1. اللحظة التنظيمية.

2. تحديث المعرفة (العمل الأمامي للطلاب).

3. توحيد المادة المدروسة (حل المشكلات).

4. تلخيص الدرس.

5. تحديد الواجبات المنزلية.

خلال الفصول الدراسية.

1. تنظيم الوقت.

تحية المعلم والتحقق من استعداد الطلاب للدرس.

2. تحديث المعرفة. ( العمل الأمامي للطلاب).

يُطلب من الطلاب إكمال المهام التالية شفهيًا:

1. صياغة شرط كاف لعكس وظيفة.

2. من بين الوظائف التي تظهر رسومها البيانية في الشكل، قم بالإشارة إلى تلك التي يمكن عكسها.

3. قم بصياغة خوارزمية لتكوين دالة عكسية لدالة معينة.

4. هل هناك وظائف عكسية للبيانات؟ إذا كانت الإجابة بنعم، ابحث عنهم:

أ) ; ب ) ; ج ) .

5. هل الوظائف التي تظهر رسومها البيانية في الشكل معكوسة بشكل متبادل (الشكل 6)؟ برر جوابك.

أرز. 6

3. توحيد المواد المتعلمة (حل المشكلات).

يتكون توحيد المادة المدروسة من مرحلتين:

العمل الفردي المستقل للطلاب؛

تلخيص نتائج العمل الفردي.

في المرحلة الأولى، يُعرض على الطلاب بطاقات تحتوي على مهام يقومون بإكمالها بشكل مستقل.

التمرين 1.

هل الوظائف قابلة للعكس على نطاقها بالكامل؟ إذا كانت الإجابة بنعم، فابحث عن عكس ذلك.

أ) ; ب) ؛ ج) .

المهمة 2.

هل الدوال معكوسة؟

أ) ؛

ب ) .

المهمة 3.

ضع في اعتبارك الدالة في كل فترة من الفترات المشار إليها؛ إذا كانت الدالة في هذه الفترة قابلة للعكس، فحدد معكوسها تحليليًا، وحدد مجال التعريف ونطاق القيم:

أ ) ر ; ب ) ; د ) [-2;0].

المهمة 4.

أثبت أن الوظيفة لا رجعة فيها. أوجد الدالة العكسية على الفترة وارسم تمثيلها البياني.

المهمة 5.

قم برسم الدالة وحدد ما إذا كانت هناك دالة عكسية لها. إذا كانت الإجابة بنعم، فقم برسم الدالة العكسية في نفس الرسم وحددها تحليليا:

أ ) ; ب ) .

في مرحلة تلخيص نتائج العمل الفردي للطلاب، يتم التحقق من المهام فقط من خلال تسجيل النتائج المتوسطة. يتم النظر في المشكلات التي تسببت في معظم الصعوبات على السبورة، إما بالكشف عن البحث عن الحلول، أو تسجيل الحل بأكمله.

4. تلخيص الدرس (التأمل).

يتم تقديم استبيان صغير للطلاب:

ما الذي أعجبني في الدرس؟________________

ما الذي لم يعجبني في الدرس؟________________

_________________________________________________________________

يرجى الإشارة إلى العبارة الوحيدة التي تناسبك:

1) يمكنني فحص الدالة بشكل مستقل من أجل عكسها، وبناء معكوسها، وأنا واثق من صحة النتيجة.

2) يمكنني فحص دالة من أجل قابلية العكس، وإنشاء معكوسها، لكنني لست متأكدًا دائمًا من صحة النتيجة، فأنا بحاجة إلى مساعدة أصدقائي.

3) لا أستطيع عمليا دراسة وظيفة الانعكاس، وبناء العكس، أحتاج إلى نصيحة إضافية من المعلم.

أين يمكنني تطبيق المعرفة المكتسبة؟____________________________________________

5. تحديد الواجبات المنزلية.

№ 10.3، 10.6(ج، د)، 10.7 (ج، د)، 10.9(ج، د)، 10.13(ج، د)، 10.18.(موردكوفيتش، أ.ج. الجبر وبدايات التحليل الرياضي الصف العاشر. الساعة الثانية ظهرا الجزء الثاني كتاب المشكلات لطلاب مؤسسات التعليم العام (المستوى الشخصي) / أ.ج. موردكوفيتش، ب.ف. سيمينوف. - م: منيموسين، 2014. - 384 ص.)

الموضوع: "الوظائف العكسية المتبادلة."

أهداف الدرس:

التعليمية:

كرر ولخص معارف الطلاب حول موضوع "الوظيفة" الذي تمت دراسته في الصف التاسع. التعرف على الدوال العكسية المتبادلة، ودراسة شروط وجود دالة عكسية وخصائصها، وتعلم كيفية بناء الرسوم البيانية للدوال العكسية.

التعليمية:

لتنمية النشاط الإبداعي والعقلي للطلاب وصفاتهم الفكرية: القدرة على "رؤية" المشكلة.

تطوير القدرة على التعبير عن أفكارك بشكل واضح وواضح والبحث والتحليل والمقارنة واستخلاص النتائج.

تنمية اهتمام الطلاب بالإبداع المستقل.

تنمية الخيال المكاني لدى الطلاب.

التعليمية:

تطوير القدرة على العمل مع المعلومات المتاحة في موقف غير عادي.

زراعة الدقة والضمير.

توفير التعليم الجمالي.

نوع الدرس:مجموع.

معدات:

• جهاز عرض الوسائط المتعددة؛

  ملحق الدرس: (العرض التقديمي) – على الوسائط الإلكترونية؛

وسائل التعليم: حاسبات، برنامجاكسل، جهاز عرض الوسائط، عرض الشرائح.

العروض التوضيحية: الرسوم البيانية للوظائف التي تم إنشاؤها في نظام إحداثي واحد.

أشكال تنظيم الأنشطة التعليمية: فردي، حوار، العمل مع نص الشرائح، عمل بحثي في ​​دفتر ملاحظات.

طُرق: البصرية، اللفظية،الرسم والبحوث.

خلال الفصول الدراسية.

1. كلمة تمهيدية للمعلم. محادثة تمهيدية. المزاج النفسي للطلاب .

خلال الدرس، يجب علينا أنا وأنت تكرار وتعميم المعرفة حول موضوع "الدالة" الذي تمت دراسته في الصف التاسع، والتعرف على الدوال العكسية المتبادلة، ودراسة شروط وجود دالة عكسية وخصائصها، وتعلم كيفية بناء الرسوم البيانية من الوظائف العكسية. دعونا نتمنى لبعضنا البعض النجاح والعمل المثمر.

2. تكرار المادة التي تناولتها في موضوع "الوظائف ورسومها البيانية". عرض تقديمي.

الشرائح 2-10. العمل الأمامي مع الفصل.

3. دراسة مواد جديدة. محادثة تعليمية مع عناصر البحث والتوضيح (الشرائح 11-24)

مثال على التبعية. تتوافق كل قيمة دالة مع قيمة وسيطة واحدة.

بالنسبة لمثل هذه الوظائف، من الممكن التعبير عن الاعتماد العكسي لقيم الوسيطة على قيم الدالة.

يمارس.

ابحث عن مجال التعريف ونطاق قيم الدوال العكسية.

4. توحيد المعرفة.