Таблица със стойности на тригонометрични функции

Забележка. Тази таблица със стойности на тригонометрична функция използва знака √ за представяне на корен квадратен. За да посочите дроб, използвайте символа „/“.

Вижте същополезни материали:

За определяне на стойността на тригонометрична функция, намерете го в пресечната точка на линията, указваща тригонометричната функция. Например синус 30 градуса - търсим колоната със заглавие sin (синус) и намираме пресечната точка на тази колона на таблицата с реда „30 градуса“, ​​в пресечната точка четем резултата - едната половина. По същия начин намираме косинус 60степени, синус 60градуси (отново в пресечната точка на колоната sin и линията на 60 градуса намираме стойността sin 60 = √3/2) и т.н. Стойностите на синусите, косинусите и тангентите на други „популярни“ ъгли се намират по същия начин.

Синус пи, косинус пи, тангенс пи и други ъгли в радиани

Таблицата по-долу с косинуси, синуси и тангенси също е подходяща за намиране на стойността на тригонометрични функции, чийто аргумент е дадени в радиани. За да направите това, използвайте втората колона с ъглови стойности. Благодарение на това можете да конвертирате стойността на популярните ъгли от градуси в радиани. Например, нека намерим ъгъла от 60 градуса в първия ред и да прочетем стойността му в радиани под него. 60 градуса е равно на π/3 радиана.

Числото пи еднозначно изразява зависимостта на обиколката от градусната мярка на ъгъла. Така пи радианите са равни на 180 градуса.

Всяко число, изразено чрез pi (радиани), може лесно да бъде преобразувано в градуси чрез замяна на pi (π) със 180.

Примери:
1. Синус пи.
sin π = sin 180 = 0
по този начин синус от пи е същият като синус от 180 градуса и е равен на нула.

2. Косинус пи.
cos π = cos 180 = -1
следователно косинусът от пи е същият като косинусът от 180 градуса и е равен на минус едно.

3. Тангенс пи
tg π = tg 180 = 0
по този начин тангенс pi е същият като тангенс 180 градуса и е равен на нула.

Таблица със стойности на синус, косинус, тангенс за ъгли 0 - 360 градуса (общи стойности)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани (чрез pi)	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангента)	ctg (котангенс)	сек (секанс)	cosec (косеканс)
0	0	0	1	0	-	1	-
15	π/12			2 - √3	2 + √3
30	π/6	1/2	√3/2	1/√3	√3	2/√3	2
45	π/4	√2/2	√2/2	1	1	√2	√2
60	π/3	√3/2	1/2	√3	1/√3	2	2/√3
75	5π/12			2 + √3	2 - √3
90	π/2	1	0	-	0	-	1
105	7π/12		-	- 2 - √3	√3 - 2
120	2π/3	√3/2	-1/2	-√3	-√3/3
135	3π/4	√2/2	-√2/2	-1	-1	-√2	√2
150	5π/6	1/2	-√3/2	-√3/3	-√3
180	π	0	-1	0	-	-1	-
210	7π/6	-1/2	-√3/2	√3/3	√3
240	4π/3	-√3/2	-1/2	√3	√3/3
270	3π/2	-1	0	-	0	-	-1
360	2π	0	1	0	-	1	-

Ако в таблицата със стойности на тригонометричните функции е посочено тире вместо стойността на функцията (тангенс (tg) 90 градуса, котангенс (ctg) 180 градуса), тогава за дадена стойност на градусната мярка на ъгъла функцията няма конкретна стойност. Ако няма тире, клетката е празна, което означава, че все още не сме въвели необходимата стойност. Интересуваме се за какви заявки потребителите идват при нас и допълваме таблицата с нови стойности, въпреки факта, че текущите данни за стойностите на косинусите, синусите и тангентите на най-често срещаните стойности на ъглите са напълно достатъчни за решаване на повечето проблеми.

Таблица със стойности на тригонометричните функции sin, cos, tg за най-популярните ъгли
0, 15, 30, 45, 60, 90 ... 360 градуса
(числови стойности „според таблиците на Bradis“)

стойност на ъгъл α (градуси)	стойност на ъгъл α в радиани	грях (синус)	cos (косинус)	tg (тангенса)	ctg (котангенс)
0	0
15		0,2588	0,9659	0,2679
30		0,5000		0,5774
45		0,7071
		0,7660
60		0,8660	0,5000	1,7321
	7π/18

Упражнение.
Намерете стойността на x при .

Решение.
Намирането на стойността на аргумента на функцията, при която той е равен на която и да е стойност, означава да се определи при кои аргументи стойността на синуса ще бъде точно както е посочено в условието.
В този случай трябва да разберем при какви стойности синусовата стойност ще бъде равна на 1/2. Това може да стане по няколко начина.
Например използвайте , чрез което да определите при какви стойности на x функцията синус ще бъде равна на 1/2.
Друг начин е да използвате. Нека ви напомня, че стойностите на синусите лежат на оста Oy.
Най-често срещаният начин е да се обърнете към , особено ако говорим за стойности, които са стандартни за тази функция, като 1/2.
Във всички случаи не трябва да забравяме едно от най-важните свойства на синуса - неговия период.
Нека намерим стойността 1/2 за синус в таблицата и да видим какви аргументи й съответстват. Аргументите, които ни интересуват, са Pi / 6 и 5Pi / 6.
Нека запишем всички корени, които удовлетворяват даденото уравнение. За да направите това, записваме неизвестния аргумент x, който ни интересува, и една от стойностите на аргумента, получен от таблицата, т.е. Pi / 6. Записваме за него, като вземем предвид периода на синуса , всички стойности на аргумента:

Нека вземем втората стойност и следваме същите стъпки като в предишния случай:

Пълното решение на първоначалното уравнение ще бъде:
И
рможе да приеме стойността на всяко цяло число.

Там, където се разглеждаха задачи за решаване на правоъгълен триъгълник, обещах да представя техника за запомняне на дефинициите на синус и косинус. Използвайки го, винаги бързо ще запомните коя страна принадлежи на хипотенузата (съседна или противоположна). Реших да не го отлагам дълго време, необходимият материал е по-долу, моля, прочетете го 😉

Факт е, че многократно съм наблюдавал как учениците от 10-11 клас трудно запомнят тези определения. Много добре помнят, че катетът се отнася за хипотенузата, но коя- забравят и объркан. Цената на грешката, както знаете на изпита, е загубена точка.

Информацията, която ще изложа директно няма нищо общо с математиката. Свързва се с образното мислене и с методите на вербално-логическата комуникация. Точно така го помня, веднъж завинагиданни за дефиниция. Ако все пак ги забравите, винаги можете лесно да си ги спомните, като използвате представените техники.

Нека ви напомня дефинициите на синус и косинус в правоъгълен триъгълник:

КосинусОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на съседния катет към хипотенузата:

синуситеОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на противоположната страна към хипотенузата:

И така, какви асоциации имате с думата косинус?

Вероятно всеки има своя собствена 😉Запомнете връзката:

Така изразът веднага ще се появи в паметта ви -

«… съотношение на ПРИЛЕЖАЩИЯ катет към хипотенузата».

Проблемът с определянето на косинус е решен.

Ако трябва да запомните дефиницията на синус в правоъгълен триъгълник, тогава като си спомните дефиницията на косинус, можете лесно да установите, че синусът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на противоположната страна към хипотенузата. В края на краищата има само два катета; ако съседният катет е „зает“ от косинуса, тогава със синуса остава само противоположният катет.

Какво ще кажете за тангенса и котангенса? Объркването е същото. Учениците знаят, че това е отношение на катети, но проблемът е да се запомни кой към кой се отнася - или противоположният на съседния, или обратното.

Дефиниции:

ДопирателнаОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на срещуположната страна към съседната страна:

КотангенсОстрият ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседната страна към противоположната:

Как да запомните? Има два начина. Единият също използва словесно-логическа връзка, другият използва математическа.

МАТЕМАТИЧЕСКИ МЕТОД

Има такова определение - тангенсът на остър ъгъл е съотношението на синуса на ъгъла към неговия косинус:

* След като запомните формулата, винаги можете да определите, че тангенса на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната страна.

По същия начин.Котангенсът на остър ъгъл е отношението на косинуса на ъгъла към неговия синус:

Така! Като запомните тези формули, винаги можете да определите, че:

- тангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е отношението на срещуположната страна към съседната

- котангенсът на остър ъгъл в правоъгълен триъгълник е съотношението на съседния катет към противоположния.

СЛОВОЛОГИЧЕСКИ МЕТОД

Относно допирателната. Запомнете връзката:

Тоест, ако трябва да запомните дефиницията на допирателната, използвайки тази логическа връзка, можете лесно да си спомните какво е

„... съотношението на срещуположната страна към съседната страна“

Ако говорим за котангенс, тогава спомняйки си определението за тангенс, лесно можете да изразите определението за котангенс -

„... съотношението на съседната страна към противоположната страна“

В сайта има интересен трик за запомняне на тангенс и котангенс " Математически тандем " , виж.

УНИВЕРСАЛЕН МЕТОД

Можете просто да го запомните.Но както показва практиката, благодарение на вербално-логическите връзки човек помни информация за дълго време, а не само математическа.

Надявам се материалът да ви е бил полезен.

С най-добри пожелания, Александър Крутицких

P.S: Ще съм благодарен, ако ми разкажете за сайта в социалните мрежи.

Стойностите на синуса се съдържат в интервала [-1; 1], т.е. -1 ≤ sin α ≤ 1. Следователно, ако |a| > 1, тогава уравнението sin x = a няма корени. Например уравнението sin x = 2 няма корени.

Нека да разгледаме някои проблеми.

Решете уравнението sin x = 1/2.

Решение.

Обърнете внимание, че sin x е ординатата на точка от единичната окръжност, която се получава чрез завъртане на точка P (1; 0) на ъгъл x около началото.

В две точки от окръжността M 1 и M 2 има ордината, равна на ½.

Тъй като 1/2 = sin π/6, тогава точка M 1 се получава от точка P (1; 0) чрез завъртане на ъгъл x 1 = π/6, както и на ъгли x = π/6 + 2πk, където k = +/-1, +/-2, …

Точка M 2 се получава от точка P (1; 0) в резултат на завъртане на ъгъл x 2 = 5π/6, както и на ъгли x = 5π/6 + 2πk, където k = +/-1, + /-2, ... , т.е. при ъгли x = π – π/6 + 2πk, където k = +/-1, +/-2, ….

И така, всички корени на уравнението sin x = 1/2 могат да бъдат намерени с помощта на формулите x = π/6 + 2πk, x = π – π/6 + 2πk, където k € Z.

Тези формули могат да бъдат комбинирани в една: x = (-1) n π/6 + πn, където n € Z (1).

Наистина, ако n е четно число, т.е. n = 2k, то от формула (1) получаваме x = π/6 + 2πk, а ако n е нечетно число, т.е. n = 2k + 1, то от формула (1) получаваме x = π – π/6 + 2πk.

Отговор. x = (-1) n π/6 + πn, където n € Z.

Решете уравнението sin x = -1/2.

Решение.

Ординатата -1/2 има две точки от единичната окръжност M 1 и M 2, където x 1 = -π/6, x 2 = -5π/6. Следователно всички корени на уравнението sin x = -1/2 могат да бъдат намерени с помощта на формулите x = -π/6 + 2πk, x = -5π/6 + 2πk, k € Z.

Можем да комбинираме тези формули в една: x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z (2).

Наистина, ако n = 2k, тогава използвайки формула (2) получаваме x = -π/6 + 2πk, а ако n = 2k – 1, тогава използвайки формула (2) намираме x = -5π/6 + 2πk.

Отговор. x = (-1) n (-π/6) + πn, n € Z.

Така всяко от уравненията sin x = 1/2 и sin x = -1/2 има безкраен брой корени.

В сегмента -π/2 ≤ x ≤ π/2 всяко от тези уравнения има само един корен:
x 1 = π/6 е коренът на уравнението sin x = 1/2 и x 1 = -π/6 е коренът на уравнението sin x = -1/2.

Числото π/6 се нарича арксинус на числото 1/2 и се записва: arcsin 1/2 = π/6; числото -π/6 се нарича арксинус на числото -1/2 и се записва: arcsin (-1/2) = -π/6.

Като цяло уравнението sin x = a, където -1 ≤ a ≤ 1, има само един корен в отсечката -π/2 ≤ x ≤ π/2. Ако a ≥ 0, тогава коренът се съдържа в интервала ; ако< 0, то в промежутке [-π/2; 0). Этот корень называют арксинусом числа а и обозначают arcsin а.

Така арксинусът на числото a € [–1; 1] такова число се нарича € [–π/2; π/2], чийто синус е равен на a.

аrcsin а = α, ако sin α = а и -π/2 ≤ x ≤ π/2 (3).

Например аrcsin √2/2 = π/4, тъй като sin π/4 = √2/2 и – π/2 ≤ π/4 ≤ π/2;
аrcsin (-√3/2) = -π/3, тъй като sin (-π/3) = -√3/2 и – π/2 ≤ – π/3 ≤ π/2.

По същия начин, както беше направено при решаването на задачи 1 и 2, може да се покаже, че корените на уравнението sin x = a, където |a| ≤ 1, изразено с формулата

x = (-1) n аrcsin а + πn, n € Z (4).

Можем също да докажем, че за всяко a € [-1; 1] е валидна формулата аrcsin (-а) = -аrcsin а.

От формула (4) следва, че корените на уравнението
sin x = a за a = 0, a = 1, a = -1 може да се намери с помощта на по-прости формули:

sin x = 0 x = πn, n € Z (5)

sin x = 1 x = π/2 + 2πn, n € Z (6)

sin x = -1 x = -π/2 + 2πn, n € Z (7)

уебсайт, при пълно или частично копиране на материал се изисква връзка към източника.

Тази статия съдържа таблици на синуси, косинуси, тангенси и котангенси. Първо, ще предоставим таблица на основните стойности на тригонометрични функции, тоест таблица на синуси, косинуси, тангенси и котангенси на ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ..., 360 градуса ( 0, π/6, π/4, π/3, π/2, …, 2πрадиан). След това ще дадем таблица на синусите и косинусите, както и таблица на тангенсите и котангенсите от В. М. Брадис и ще покажем как да използваме тези таблици при намиране на стойностите на тригонометричните функции.

Навигация в страницата.

Таблица със синуси, косинуси, тангенси и котангенси за ъгли от 0, 30, 45, 60, 90, ... градуса

Библиография.

• Алгебра:Учебник за 9 клас. ср. училище/Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова; Ед. С. А. Теляковски: Образование, 1990. - 272 с. - ISBN 5-09-002727-7
• Башмаков М. И.Алгебра и началото на анализа: Учебник. за 10-11 клас. ср. училище - 3-то изд. - М.: Образование, 1993. - 351 с.: ил. - ISBN 5-09-004617-4.
• Алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клас. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Ед. А. Н. Колмогоров, 14-то изд.: Образование, 2004 г. - ил.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г.Математика (ръководство за постъпващите в технически училища): учеб. надбавка.- М.; По-висок училище, 1984.-351 с., ил.
• Брадис В. М.Четирицифрени таблици по математика: За общообразователна подготовка. учебник заведения. - 2-ро изд. - М.: Дропла, 1999.- 96 с.: ил. ISBN 5-7107-2667-2