Presentasi pelajaran "Perbandingan logaritma" materi persiapan Unified State Exam (GIA) aljabar (kelas 11) dengan topik. Sifat dasar logaritma Bandingkan logaritma dengan contoh basis yang berbeda

properti utama.

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

alasan yang identik

Log6 4 + log6 9.

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit.

Contoh penyelesaian logaritma

Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x >

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Transisi ke yayasan baru

Biarkan logaritma logax diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Lihat juga:

Sifat dasar logaritma

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen sama dengan 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy.

Sifat dasar logaritma

Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai pasti eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy.

Contoh logaritma

Ekspresi logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan properti 3.5 kami menghitung

2.

3.

4. Di mana .

Contoh 2. Temukan x jika

Contoh 3. Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tetapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log2 48 − log2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri. Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log7 496.

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kita mempunyai:

Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya.

Rumus logaritma. Contoh solusi logaritma.

Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log2 7. Karena log2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logax diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma terhadap basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .

Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)

Satuan logaritma dan logaritma nol

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.

1. logaa = 1 adalah. Ingatlah sekali untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena a0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

Lihat juga:

Logaritma dari b ke basis a menunjukkan ekspresi. Menghitung logaritma berarti mencari pangkat x () yang memenuhi persamaan

Sifat dasar logaritma

Sifat-sifat di atas perlu diketahui, karena hampir semua masalah dan contoh yang berkaitan dengan logaritma diselesaikan berdasarkan sifat-sifat tersebut. Sifat eksotik lainnya dapat diperoleh melalui manipulasi matematis dengan rumus ini

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Saat menghitung rumus jumlah dan selisih logaritma (3.4) cukup sering Anda jumpai. Sisanya agak rumit, namun dalam sejumlah tugas mereka sangat diperlukan untuk menyederhanakan ekspresi kompleks dan menghitung nilainya.

Kasus umum logaritma

Beberapa logaritma yang umum adalah logaritma yang basisnya genap sepuluh, eksponensial atau dua.
Logaritma ke basis sepuluh biasanya disebut logaritma desimal dan dilambangkan dengan lg(x).

Dari rekaman terlihat jelas bahwa dasar-dasarnya tidak tertulis dalam rekaman. Misalnya

Logaritma natural adalah logaritma yang basisnya berupa eksponen (dilambangkan dengan ln(x)).

Eksponennya adalah 2,718281828…. Untuk mengingat eksponen, Anda dapat mempelajari aturannya: eksponen sama dengan 2,7 dan dua kali tahun kelahiran Leo Nikolaevich Tolstoy. Mengetahui aturan ini, Anda akan mengetahui nilai pasti eksponen dan tanggal lahir Leo Tolstoy.

Dan logaritma penting lainnya ke basis dua dilambangkan dengan

Turunan logaritma suatu fungsi sama dengan satu dibagi variabelnya

Logaritma integral atau antiturunan ditentukan oleh hubungan

Materi yang diberikan cukup bagi Anda untuk menyelesaikan berbagai macam soal yang berkaitan dengan logaritma dan logaritma. Untuk membantu Anda memahami materi, saya hanya akan memberikan beberapa contoh umum dari kurikulum sekolah dan universitas.

Contoh logaritma

Ekspresi logaritma

Contoh 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Menggunakan properti 3.5 kami menghitung

2.
Berdasarkan sifat perbedaan logaritma yang kita miliki

3.
Menggunakan properti 3.5 kami temukan

4. Di mana .

Ekspresi yang tampaknya rumit disederhanakan menjadi bentuk menggunakan sejumlah aturan

Menemukan nilai logaritma

Contoh 2. Temukan x jika

Larutan. Untuk perhitungannya, kami menerapkan properti suku 5 dan 13 terakhir

Kami mencatatnya dan berduka

Karena basisnya sama, kita menyamakan persamaannya

Logaritma. Tingkat pertama.

Biarkan nilai logaritma diberikan

Hitung log(x) jika

Solusi: Mari kita ambil logaritma variabel untuk menuliskan logaritma melalui jumlah suku-sukunya

Ini hanyalah awal dari perkenalan kita dengan logaritma dan sifat-sifatnya. Latih perhitungan, perkaya keterampilan praktis Anda - Anda akan segera membutuhkan pengetahuan yang Anda peroleh untuk menyelesaikan persamaan logaritma. Setelah mempelajari metode dasar untuk menyelesaikan persamaan tersebut, kami akan memperluas pengetahuan Anda ke topik lain yang sama pentingnya - pertidaksamaan logaritma...

Sifat dasar logaritma

Logaritma, seperti bilangan lainnya, dapat dijumlahkan, dikurangi, dan diubah dengan segala cara. Tetapi karena logaritma bukanlah bilangan biasa, ada aturan di sini yang disebut properti utama.

Anda pasti perlu mengetahui aturan-aturan ini - tanpa aturan tersebut, tidak ada satu pun masalah logaritma serius yang dapat diselesaikan. Selain itu, jumlahnya sangat sedikit - Anda dapat mempelajari semuanya dalam satu hari. Jadi mari kita mulai.

Penjumlahan dan pengurangan logaritma

Pertimbangkan dua logaritma dengan basis yang sama: logax dan logay. Kemudian mereka dapat dijumlahkan dan dikurangkan, dan:

1. logax + logay = loga(x y);
2. logax − logay = loga (x: y).

Jadi, jumlah logaritma sama dengan logaritma hasil kali, dan selisihnya sama dengan logaritma hasil bagi. Harap dicatat: poin kuncinya di sini adalah alasan yang identik. Jika alasannya berbeda, aturan ini tidak berlaku!

Rumus ini akan membantu Anda menghitung ekspresi logaritma meskipun bagian-bagian individualnya tidak dipertimbangkan (lihat pelajaran “Apa itu logaritma”). Lihatlah contohnya dan lihat:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log6 4 + log6 9.

Karena logaritma mempunyai basis yang sama, kita menggunakan rumus penjumlahan:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log2 48 − log2 3.

Basisnya sama, kita gunakan rumus selisihnya:
log2 48 − log2 3 = log2 (48:3) = log2 16 = 4.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log3 135 − log3 5.

Sekali lagi basisnya sama, jadi kita punya:
log3 135 − log3 5 = log3 (135:5) = log3 27 = 3.

Seperti yang Anda lihat, ekspresi aslinya terdiri dari logaritma “buruk”, yang tidak dihitung secara terpisah. Tetapi setelah transformasi, diperoleh angka yang sepenuhnya normal. Banyak tes didasarkan pada fakta ini. Ya, ekspresi seperti ujian ditawarkan dengan sangat serius (terkadang hampir tidak ada perubahan) pada Ujian Negara Bersatu.

Mengekstraksi eksponen dari logaritma

Sekarang mari kita mempersulit tugas ini sedikit. Bagaimana jika basis atau argumen suatu logaritma adalah suatu pangkat? Maka eksponen derajat tersebut dapat dikeluarkan dari tanda logaritma dengan aturan sebagai berikut:

Sangat mudah untuk melihat bahwa aturan terakhir mengikuti dua aturan pertama. Namun lebih baik mengingatnya - dalam beberapa kasus ini akan mengurangi jumlah perhitungan secara signifikan.

Tentu saja, semua aturan ini masuk akal jika ODZ logaritma diperhatikan: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dan satu hal lagi: belajar menerapkan semua rumus tidak hanya dari kiri ke kanan, tetapi juga sebaliknya , yaitu Anda dapat memasukkan angka sebelum tanda logaritma ke dalam logaritma itu sendiri.

Cara menyelesaikan logaritma

Inilah yang paling sering dibutuhkan.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log7 496.

Mari kita hilangkan derajat argumen menggunakan rumus pertama:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa penyebutnya berisi logaritma, yang basis dan argumennya merupakan pangkat eksak: 16 = 24; 49 = 72. Kita mempunyai:

Saya pikir contoh terakhir memerlukan beberapa klarifikasi. Kemana perginya logaritma? Hingga saat-saat terakhir kami hanya bekerja dengan penyebutnya. Kami menyajikan basis dan argumen logaritma dalam bentuk pangkat dan mengeluarkan eksponennya - kami mendapatkan pecahan "tiga lantai".

Sekarang mari kita lihat pecahan utamanya. Pembilang dan penyebutnya mengandung angka yang sama: log2 7. Karena log2 7 ≠ 0, kita dapat mengurangi pecahan tersebut - 2/4 akan tetap berada di penyebutnya. Menurut aturan aritmatika, empat dapat dipindahkan ke pembilang, itulah yang telah dilakukan. Hasilnya adalah jawabannya: 2.

Transisi ke yayasan baru

Berbicara tentang aturan penjumlahan dan pengurangan logaritma, saya secara khusus menekankan bahwa aturan tersebut hanya bekerja dengan basis yang sama. Bagaimana jika alasannya berbeda? Bagaimana jika keduanya bukan pangkat eksak dari bilangan yang sama?

Formula untuk transisi ke yayasan baru datang untuk menyelamatkan. Mari kita rumuskan dalam bentuk teorema:

Biarkan logaritma logax diberikan. Maka untuk sembarang bilangan c sehingga c > 0 dan c ≠ 1, persamaannya benar:

Secara khusus, jika kita menetapkan c = x, kita mendapatkan:

Dari rumus kedua dapat disimpulkan bahwa basis dan argumen logaritma dapat ditukar, tetapi dalam kasus ini seluruh ekspresi “dibalik”, yaitu. logaritma muncul di penyebut.

Rumus ini jarang ditemukan dalam ekspresi numerik biasa. Anda dapat menilai betapa mudahnya hal tersebut hanya ketika menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan logaritma.

Namun ada permasalahan yang tidak bisa diselesaikan sama sekali kecuali dengan pindah ke yayasan baru. Mari kita lihat beberapa di antaranya:

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log5 16 log2 25.

Perhatikan bahwa argumen kedua logaritma mengandung pangkat yang pasti. Mari kita keluarkan indikatornya: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Sekarang mari kita “membalikkan” logaritma kedua:

Karena hasil kali tidak berubah ketika mengatur ulang faktornya, kami dengan tenang mengalikan empat dan dua, lalu menangani logaritma.

Tugas. Temukan nilai ekspresi: log9 100 lg 3.

Basis dan argumen logaritma pertama adalah pangkat eksak. Mari kita tuliskan ini dan hilangkan indikatornya:

Sekarang mari kita hilangkan logaritma desimal dengan berpindah ke basis baru:

Identitas logaritma dasar

Seringkali dalam proses penyelesaian, suatu bilangan perlu direpresentasikan sebagai logaritma terhadap basis tertentu. Dalam hal ini, rumus berikut akan membantu kita:

Dalam kasus pertama, bilangan n menjadi eksponen dalam argumen. Angka n bisa berupa apa saja, karena hanya berupa nilai logaritma.

Rumus kedua sebenarnya adalah definisi yang diparafrasekan. Itulah sebutannya: .

Faktanya, apa yang terjadi jika bilangan b dipangkatkan sedemikian rupa sehingga bilangan b yang dipangkatkan tersebut menghasilkan bilangan a? Betul sekali: hasilnya sama dengan bilangan a. Baca kembali paragraf ini dengan cermat - banyak orang terjebak di dalamnya.

Seperti rumus untuk berpindah ke basis baru, identitas logaritma dasar terkadang merupakan satu-satunya solusi yang mungkin.

Tugas. Temukan arti dari ungkapan:

Perhatikan bahwa log25 64 = log5 8 - cukup ambil kuadrat dari basis dan argumen logaritma. Dengan memperhatikan aturan perkalian pangkat dengan basis yang sama, kita peroleh:

Kalau ada yang belum tahu, ini tugas nyata dari Unified State Examination :)

Satuan logaritma dan logaritma nol

Sebagai kesimpulan, saya akan memberikan dua identitas yang hampir tidak dapat disebut properti - melainkan merupakan konsekuensi dari definisi logaritma. Mereka terus-menerus muncul dalam masalah dan, yang mengejutkan, menciptakan masalah bahkan bagi siswa “mahir”.

1. logaa = 1 adalah. Ingatlah sekali untuk selamanya: logaritma untuk setiap basis a dari basis itu sendiri sama dengan satu.
2. loga 1 = 0 adalah. Basis a dapat berupa apa saja, tetapi jika argumen berisi satu, logaritmanya sama dengan nol! Karena a0 = 1 merupakan konsekuensi langsung dari definisi tersebut.

Itu semua propertinya. Pastikan untuk berlatih mempraktikkannya! Unduh lembar contekan di awal pelajaran, cetak, dan selesaikan soal.

Mari kita mulai dengan sifat-sifat logaritma satu. Rumusannya sebagai berikut: logaritma kesatuan sama dengan nol, yaitu mencatat 1=0 untuk setiap a>0, a≠1. Pembuktiannya tidak sulit: karena a 0 =1 untuk sembarang a yang memenuhi kondisi di atas a>0 dan a≠1, maka persamaan log a 1=0 yang harus dibuktikan langsung mengikuti definisi logaritma.

Mari kita beri contoh penerapan properti yang dipertimbangkan: log 3 1=0, log1=0 dan .

Mari beralih ke properti berikutnya: logaritma suatu bilangan yang sama dengan basis sama dengan satu, itu adalah, log a a = 1 untuk a>0, a≠1. Memang, karena a 1 =a untuk sembarang a, maka menurut definisi logaritma log a a=1.

Contoh penggunaan sifat logaritma ini adalah persamaan log 5 5=1, log 5.6 5.6 dan lne=1.

Misalnya log 2 2 7 =7, log10 -4 =-4 dan .

Logaritma hasil kali dua bilangan positif x dan y sama dengan hasil kali logaritma bilangan-bilangan berikut: log a (x y)=log a x+log a y, a>0 , a≠1 . Mari kita buktikan sifat logaritma suatu produk. Karena sifat derajatnya log a x+log a y =a log a x ·a log a y, dan karena dengan identitas logaritma utama a log a x =x dan a log a y =y, maka a log a x ·a log a y =x·y. Jadi, log a x+log a y =x·y, yang berdasarkan definisi logaritma, persamaannya harus dibuktikan.

Mari kita tunjukkan contoh penggunaan properti logaritma suatu produk: log 5 (2 3)=log 5 2+log 5 3 dan .

Sifat logaritma suatu hasil kali dapat digeneralisasikan ke hasil kali suatu bilangan berhingga n bilangan positif x 1 , x 2 , …, x n sebagai log a (x 1 ·x 2 ·…·x n)= log a x 1 +log a x 2 +…+log a x n . Kesetaraan ini dapat dibuktikan tanpa masalah.

Misalnya, logaritma natural suatu hasil kali dapat diganti dengan penjumlahan tiga logaritma natural dari bilangan 4, e, dan.

Logaritma hasil bagi dua bilangan positif x dan y sama dengan selisih logaritma bilangan-bilangan tersebut. Properti logaritma hasil bagi sesuai dengan rumus bentuk , di mana a>0, a≠1, x dan y adalah beberapa bilangan positif. Validitas rumus ini dibuktikan begitu pula dengan rumus logaritma suatu hasil kali: sejak , lalu menurut definisi logaritma.

Berikut adalah contoh penggunaan properti logaritma ini: .

Mari kita lanjutkan ke milik logaritma pangkat. Logaritma suatu derajat sama dengan hasil kali eksponen dan logaritma modulus dasar derajat tersebut. Mari kita tuliskan sifat logaritma suatu pangkat sebagai rumus: log a b p =p·log a |b|, dimana a>0, a≠1, b dan p adalah bilangan sedemikian rupa sehingga derajat b p masuk akal dan b p >0.

Pertama kita buktikan sifat ini positif b. Identitas logaritmik dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu b p =(a log a b) p , dan ekspresi yang dihasilkan, karena sifat pangkat, sama dengan a p·log a b . Jadi kita sampai pada persamaan b p =a p·log a b, yang darinya, berdasarkan definisi logaritma, kita menyimpulkan bahwa log a b p =p·log a b.

Tetap membuktikan sifat ini untuk negatif b. Di sini kita perhatikan bahwa ekspresi log a b p untuk negatif b hanya masuk akal untuk eksponen genap p (karena nilai derajat b p harus lebih besar dari nol, jika tidak, logaritma tidak akan masuk akal), dan dalam hal ini b p =|b| P. Kemudian bp =|b| p =(a log a |b|) p =a p·log a |b|, dari mana log a b p =p·log a |b| .

Misalnya, dan ln(-3) 4 =4·ln|-3|=4·ln3 .

Ini mengikuti dari properti sebelumnya properti logaritma dari akar: logaritma akar ke-n sama dengan hasil kali pecahan 1/n dengan logaritma ekspresi radikal, yaitu, , dimana a>0, a≠1, n adalah bilangan asli yang lebih besar dari satu, b>0.

Pembuktiannya didasarkan pada persamaan (lihat), yang berlaku untuk sembarang b positif, dan sifat logaritma pangkat: .

Berikut adalah contoh penggunaan properti ini: .

Sekarang mari kita buktikan rumus untuk pindah ke basis logaritma baru jenis . Untuk melakukan ini, cukup membuktikan validitas persamaan log c b=log a b·log c a. Identitas logaritma dasar memungkinkan kita untuk merepresentasikan bilangan b sebagai log a b , lalu log c b=log c a log a b . Tetap menggunakan properti logaritma derajat: log c a log a b =log a b log c a. Hal ini membuktikan persamaan log c b=log a b·log c a, yang berarti rumus transisi ke basis logaritma baru juga telah terbukti.

Mari kita tunjukkan beberapa contoh penggunaan properti logaritma ini: dan .

Rumus untuk berpindah ke basis baru memungkinkan Anda melanjutkan bekerja dengan logaritma yang memiliki basis “nyaman”. Misalnya, dapat digunakan untuk beralih ke logaritma natural atau desimal sehingga Anda dapat menghitung nilai logaritma dari tabel logaritma. Rumus untuk berpindah ke basis logaritma baru juga memungkinkan, dalam beberapa kasus, untuk menemukan nilai logaritma tertentu ketika nilai beberapa logaritma dengan basis lain diketahui.

Kasus khusus dari rumus transisi ke basis logaritma baru untuk bentuk c=b sering digunakan . Hal ini menunjukkan bahwa log a b dan log ba a – . Misalnya, .

Rumusnya juga sering digunakan , yang berguna untuk menemukan nilai logaritma. Untuk mengkonfirmasi kata-kata kami, kami akan menunjukkan bagaimana hal itu dapat digunakan untuk menghitung nilai logaritma dalam bentuk . Kita punya . Untuk membuktikan rumusnya cukup menggunakan rumus transisi ke basis baru logaritma a: .

Masih membuktikan sifat-sifat perbandingan logaritma.

Mari kita buktikan bahwa untuk sembarang bilangan positif b 1 dan b 2, b 1 log a b 2 , dan untuk a>1 – pertidaksamaan log a b 1

Akhirnya, masih harus membuktikan sifat terakhir dari logaritma. Mari kita batasi diri kita pada pembuktian bagian pertama, yaitu kita akan membuktikan bahwa jika a 1 >1, a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b>log a 2 b . Pernyataan selebihnya dari sifat logaritma ini dibuktikan menurut prinsip serupa.

Mari kita gunakan metode sebaliknya. Misalkan untuk a 1 >1, a 2 >1 dan a 1 1 benar log a 1 b≤log a 2 b . Berdasarkan sifat-sifat logaritma, pertidaksamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi Dan masing-masing, dan darinya masing-masing log b a 1 ≤log b a 2 dan log b a 1 ≥log b a 2. Kemudian, menurut sifat-sifat pangkat dengan basis yang sama, persamaan b log b a 1 ≥b log b a 2 dan b log b a 1 ≥b log b a 2 harus berlaku, yaitu a 1 ≥a 2 . Jadi kita sampai pada kontradiksi dengan kondisi a 1

Bibliografi.

• Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. dan lain-lain.Aljabar dan permulaan analisis: Buku ajar untuk kelas 10 - 11 lembaga pendidikan umum.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematika (panduan bagi mereka yang memasuki sekolah teknik).

Membandingkan nilai logaritma atau nilai logaritma dengan bilangan tertentu terjadi dalam praktik pemecahan masalah di sekolah tidak hanya sebagai tugas mandiri. Anda harus membandingkan logaritma, misalnya saat menyelesaikan persamaan dan pertidaksamaan. Materi artikel (masalah dan penyelesaiannya) disusun menurut prinsip “dari yang sederhana sampai yang kompleks” dan dapat digunakan untuk mempersiapkan dan melaksanakan pembelajaran (pelajaran) tentang topik tersebut, serta di kelas pilihan. Jumlah tugas yang dipertimbangkan dalam suatu pelajaran tergantung pada tingkat kelas dan bidang spesialisasinya. Pada kelas matematika tingkat lanjut, materi ini dapat digunakan untuk pembelajaran ceramah selama dua jam.

1. (Secara lisan.) Manakah fungsi yang bertambah dan mana yang menurun:

Komentar. Latihan ini merupakan latihan persiapan.

2. (Secara lisan.)Bandingkan dengan nol:

Komentar. Saat menyelesaikan latihan No. 2, Anda dapat menggunakan sifat-sifat fungsi logaritma menggunakan grafik fungsi logaritma, dan yang berikut ini properti yang berguna:

jika bilangan positif a dan b terletak pada garis bilangan di sebelah kanan 1 atau di sebelah kiri 1 (yaitu a>1 dan b>1 atau 0 0 ;
jika bilangan positif a dan b terletak pada garis bilangan yang berhadapan dengan 1 (yaitu 0 .

Mari kita tunjukkan penggunaan properti ini dalam keputusan No. 2(a).

Sejak fungsinya y = log 7 ton meningkat sebesar R+, 10 > 7, maka log 7 10 > log 7 7, yaitu log 7 10 > 1. Jadi, bilangan positif sin3 dan log 7 10 terletak pada sisi yang berhadapan dengan 1. Oleh karena itu, log sin3 log 7 10< 0.

3. (Secara lisan.) Temukan kesalahan dalam penalaran:

Fungsi y = lgt meningkat sebesar R + , lalu ,

Mari kita bagi kedua ruas pertidaksamaan terakhir dengan . Kita mendapatkan bahwa 2 > 3.

Larutan.

Bilangan positif dan 10 (basis logaritma) terletak pada sisi berlawanan dari 1. Artinya< 0. При делении обеих частей неравенства на число знак неравенства следует изменить на противоположный.

4. (Secara lisan.) Bandingkan angkanya:

Komentar. Saat menyelesaikan latihan No. 4(a–c), kita menggunakan sifat monotonisitas dari fungsi logaritma. Untuk solusi No. 4(d), kita menggunakan properti:

jika c > a >1, maka untuk b>1 pertidaksamaan log a b > log c b benar.

Solusi 4(d).

Sejak 1< 5 < 7 и 13 >1, lalu log 5 13 > log 7 13.

5. Bandingkan angka catatan 2 6 dan 2.

Larutan.

Cara pertama (menggunakan monotonisitas fungsi logaritma).

Fungsi y = log 2 ton meningkat sebesar R+, 6 > 4. Jadi, catatan 2 6 > catatan 2 4 Dan catatan 2 5 > 2.

Cara kedua (menyusun perbedaannya).

Mari kita buat perbedaannya.

6. Bandingkan angka Dan -1.

Fungsi kamu = berkurang sebesar R+ , 3 < 5. Значит, >Dan > -1 .

7. Bandingkan angka Dan 3log 8 26 .

Fungsi y = log 2 ton meningkat sebesar R+, 25 < 26. Значит, log 2 25 < log 2 26 и.

Cara pertama.

Kalikan kedua ruas pertidaksamaan dengan 3:

Fungsi y = log 5 ton meningkat sebesar R+ , 27 > 25. Jadi,

Cara kedua.

Mari kita buat perbedaannya
. Dari sini.

9. Bandingkan angka log 4 26 Dan catatan 6 17.

Mari kita perkirakan logaritmanya, dengan memperhitungkan bahwa fungsi y = log 4 t dan y = log 6 t bertambah sebesar R+:

Mengingat fungsinya menurun sebesar R+, kita punya:

Cara,

Komentar. Metode perbandingan yang diusulkan disebut metode “penyisipan”. atau metode “pemisahan”.(kami menemukan angka 4 yang memisahkan kedua angka ini).

11. Bandingkan angka log 2 3 Dan catatan 3 5.

Perhatikan bahwa kedua logaritma lebih besar dari 1 tetapi kurang dari 2.

Cara pertama. Mari kita coba menggunakan metode “pemisahan”. Mari kita bandingkan logaritma dengan bilangan.

Metode kedua ( perkalian dengan bilangan asli).

Catatan 1. Intinya metode “mengalikan dengan bilangan asli” adalah kita mencari bilangan asli k, jika dikalikan dengan angka yang dibandingkan A Dan B dapatkan nomor-nomor ini ka Dan kb bahwa ada setidaknya satu bilangan bulat di antara mereka.

Catatan 2. Penerapan metode di atas bisa sangat memakan waktu jika angka yang dibandingkan sangat berdekatan.
Dalam hal ini, Anda dapat mencoba perbandingan metode “mengurangi satu”" Mari kita tunjukkan pada contoh berikut.

12. Bandingkan angka log 7 8 Dan catatan 6 7.

Cara pertama (kurangi satu).

Kurangi 1 dari angka yang dibandingkan.

Pada pertidaksamaan pertama kita menggunakan fakta bahwa

jika c > a > 1, maka untuk b > 1 pertidaksamaan log a b > log c b benar.

Pada pertidaksamaan kedua – monotonisitas fungsi y = log a x.

Cara kedua (penerapan pertidaksamaan Cauchy).

13. Bandingkan angka log 24 72 Dan catatan 12 18.

14. Bandingkan angka log 20 80 Dan mencatat 80 640.

Misalkan log 2 5 = X. perhatikan itu X > 0.

Kami mendapatkan ketidaksetaraan.

Mari kita temukan banyak solusi terhadap ketimpangan tersebut, memenuhi kondisi x > 0.

Mari kita membangun kedua sisi pertidaksamaan tersebut kuadrat (pada X> 0 kedua sisi pertidaksamaan bernilai positif). Kami memiliki 9x 2< 9x + 28.

Himpunan penyelesaian pertidaksamaan terakhir adalah interval.

Mengingat bahwa X> 0, kita peroleh: .

Jawaban: Pertidaksamaan tersebut benar adanya.

Lokakarya pemecahan masalah.

1. Bandingkan angkanya:

2. Susunlah angka-angka dalam urutan menaik:

3. Selesaikan ketimpangan tersebut 4 4 – 2 2 4+1 – 3< 0 . Apakah nomornya √2 solusi atas ketimpangan ini? (Menjawab:(–∞; catatan 2 3) ; nomor √2 adalah solusi untuk ketidaksetaraan ini.)

Kesimpulan.

Ada banyak metode untuk membandingkan logaritma. Tujuan dari pelajaran tentang topik ini adalah untuk mengajarkan seseorang untuk menavigasi berbagai metode, untuk memilih dan menerapkan solusi yang paling rasional dalam setiap situasi tertentu.

Di kelas yang mempelajari matematika secara mendalam, materi tentang topik ini dapat disajikan dalam bentuk ceramah. Bentuk kegiatan pendidikan ini mengandaikan bahwa materi perkuliahan harus dipilih, dikerjakan, dan disusun secara cermat dalam urutan logis tertentu. Catatan yang dibuat guru di papan tulis harus bijaksana dan akurat secara matematis.

Disarankan untuk mengkonsolidasikan materi perkuliahan dan melatih keterampilan pemecahan masalah dalam pembelajaran praktik. Tujuan dari lokakarya ini tidak hanya untuk mengkonsolidasikan dan menguji pengetahuan yang diperoleh, tetapi juga untuk memperluasnya. Oleh karena itu, tugas harus berisi tugas dengan tingkat yang berbeda, dari tugas yang paling sederhana hingga tugas dengan kompleksitas yang meningkat. Guru di lokakarya tersebut bertindak sebagai konsultan.

Literatur.

1. Galitsky M.L. dan lain-lain Kajian mendalam tentang mata kuliah aljabar dan analisis matematis: Metode. rekomendasi dan bahan ajar: Panduan untuk guru. – M.: Pendidikan, 1986.
2. Ziv B.G., Goldich V.A. Materi didaktik aljabar dan analisis dasar untuk kelas 10. – Sankt Peterburg: “CheRo-on-Neva”, 2003.
3. Litvinenko V.N., Mordkovich A.G. Workshop matematika dasar. Aljabar. Trigonometri: Publikasi pendidikan. – M.: Pendidikan, 1990.
4. Ryazanovsky A.R. Aljabar dan permulaan analisis: 500 cara dan metode pemecahan masalah matematika untuk anak sekolah dan mereka yang masuk perguruan tinggi. – M.: Bustard, 2001.
5. Sadovnichy Yu.V. Matematika. Masalah persaingan dalam aljabar beserta solusinya. Bagian 4. Persamaan logaritma, pertidaksamaan, sistem. Buku Ajar.-3rd ed., ster.-M.: Bagian Penerbitan UNTsDO, 2003.
6. Sharygin I.F., Golubev V.I. Kursus opsional dalam matematika: Pemecahan masalah: Proc. tunjangan untuk kelas 11. sekolah menengah – M.: Prosveshchenie, 1991.

Pada bagian pertanyaan bagaimana membandingkan logaritma ketika....(+)? diberikan oleh penulis Menyaring jawaban terbaiknya adalah Atau Anda tidak dapat menguranginya menjadi satu basis, tetapi menggunakan properti fungsi logaritma.
Jika basis suatu fungsi logaritma lebih besar dari 1, maka fungsi tersebut bertambah, dan untuk x > 1, semakin kecil basisnya, semakin tinggi letak grafiknya,
untuk 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Jika basis logaritma lebih besar dari nol dan kurang dari 1, maka fungsinya menurun,
Selain itu, untuk x > 1, semakin kecil alasnya, semakin tinggi grafiknya,
untuk 0< x < 1 чем меньше основание, тем график ниже.
Ini akan menjadi seperti ini:

Jawaban dari kurus[guru]
Kurangi logaritma ke basis yang sama (misalnya, ke bilangan asli), lalu bandingkan.
1.a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a;
2.a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
3.a=-Ln(16)/Ln(7); b=-Ln(16)/Ln(3); a>b;
4.a=Ln(16)/Ln(7); b=Ln(16)/Ln(3); b>a.

Jawaban dari Ahli saraf[guru]
Gunakan rumus untuk pindah ke pangkalan baru: log(a)b=1/log(b)a.
Kemudian bandingkan penyebut pecahan seperti logaritma dengan basis yang sama.
Dari dua pecahan yang pembilangnya sama, pecahan yang penyebutnya lebih kecil adalah pecahan yang lebih besar.
Misalnya, log(7)16 dan log(3)16
1/log(16)7 dan 1/log(16)3
Karena log(16)7>log(16)3, maka 1/log(16)7< 1/log(16)3.