हेरॉनच्या सूत्राच्या विषयावर एक संदेश. हेरॉनचे सूत्र वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ

हेरॉनचे सूत्र हेरॉनचे सूत्र

क्षेत्र व्यक्त करते sत्रिकोणाच्या तीन बाजूंच्या लांबीमधून ए, bआणि सहआणि अर्धपरिमिती आर = (ए + b + सह)/2: . अलेक्झांड्रियाच्या हेरॉनच्या नावावरून नाव देण्यात आले.

हेरोना फॉर्म्युला

हेरोना फॉर्म्युला, क्षेत्र व्यक्त करतो एसत्रिकोणाच्या तीन बाजूंच्या लांबीमधून a, bआणि cआणि अर्धपरिमिती पी = (a + b + c)/2
अलेक्झांड्रियाच्या हेरॉनच्या नावावरून नाव देण्यात आले.

विश्वकोशीय शब्दकोश. 2009 .

इतर शब्दकोशांमध्ये "हेरॉनचे सूत्र" काय आहे ते पहा:

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ S हे तिन्ही बाजूंच्या a, b आणि c आणि अर्ध-परिमिती P = (a + b + c)/2 या अलेक्झांड्रियाच्या हेरॉनच्या नावावरून व्यक्त करतो... मोठा विश्वकोशीय शब्दकोश

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या तीन बाजूंनी व्यक्त करणारे सूत्र. उदाहरणार्थ, जर a, b, C ही त्रिकोणाच्या बाजूंची लांबी असेल आणि S त्याचे क्षेत्रफळ असेल, तर G. f. फॉर्म आहे: जेथे p त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती दर्शवतो G. f.... ...

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूंनी व्यक्त करणारे एक सूत्र a, b, c: जेथे हेरॉन (इ. स. 1 ले शतक), ए.बी. इव्हानोव्ह... गणितीय विश्वकोश

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ 5 त्याच्या तीन बाजू a, b आणि c आणि अर्ध-परिमिती p = (a + b + c)/2: s = चौरस यांच्या लांबीद्वारे व्यक्त करतो. मूळ p(p a)(p b)(p c). अलेक्झांड्रियाच्या हेरॉनच्या नावावरून... नैसर्गिक विज्ञान. विश्वकोशीय शब्दकोश

- ... विकिपीडिया

तुम्हाला त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजण्याची अनुमती देते (S) त्याच्या बाजू a, b, c: जेथे p हा त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती आहे: . कोन त्रिकोणी आहे याचा पुरावा... विकिपीडिया

वर्तुळात कोरलेल्या चतुर्भुजाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूंच्या लांबीचे कार्य म्हणून व्यक्त करते. जर कोरलेल्या चौकोनाची बाजू लांबी आणि अर्ध-परिमिती असेल, तर त्याचे क्षेत्रफळ ... विकिपीडिया

या लेखात माहितीच्या स्त्रोतांच्या दुव्यांचा अभाव आहे. माहिती सत्यापित करणे आवश्यक आहे, अन्यथा ती शंकास्पद आणि हटविली जाऊ शकते. अधिकृत स्रोतांच्या लिंक जोडण्यासाठी तुम्ही हा लेख संपादित करू शकता. हे चिन्ह... ... विकिपीडिया

- (हेरोनस अलेक्झांड्रिनस) (जन्म आणि मृत्यूची वर्षे अज्ञात, कदाचित 1 ले शतक), अलेक्झांड्रियामध्ये काम करणारे प्राचीन ग्रीक शास्त्रज्ञ. कार्यांचे लेखक ज्यामध्ये त्यांनी पद्धतशीरपणे उपयोजित यांत्रिकी क्षेत्रातील प्राचीन जगाच्या मुख्य यशांची रूपरेषा दर्शविली, व्ही... ... ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

अलेक्झांड्रिया (हेरोनस अलेक्झांड्रिनस) (जन्म आणि मृत्यूची वर्षे अज्ञात, कदाचित पहिले शतक), अलेक्झांड्रियामध्ये काम करणारे प्राचीन ग्रीक शास्त्रज्ञ. कामांचे लेखक ज्यात त्यांनी पद्धतशीरपणे प्राचीन जगाच्या क्षेत्रातील मुख्य यशांची रूपरेषा मांडली ... ... ग्रेट सोव्हिएत एनसायक्लोपीडिया

अलेक्झांड्रियाच्या हेरॉनबद्दल हे तथ्य असूनही, जो इसवी सन 1 व्या शतकात राहत होता. e फार कमी माहिती आहे. परंतु तरीही आपल्यापर्यंत आलेल्या कामांच्या आधारे, आपण आत्मविश्वासाने म्हणू शकतो की अलेक्झांड्रियाचा हेरॉन हा प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ आणि हुशार अभियंता होता. आपोआप उघडलेले दरवाजे पाहून मंदिरात आलेल्या लोकांना अवर्णनीय आनंद आणि आश्चर्य वाटले; एक वेंडिंग मशीन जे एका नाण्यासाठी पवित्र पाणी वितरीत करते. स्टीम टर्बाइन, फायरआर्म क्रॉसबो, स्वयंचलित थिएटर आणि बरेच काही शोधण्याचे श्रेय हेरॉनला जाते. दुर्दैवाने, त्याचे सर्व शोध लागू झाले नाहीत. हेरॉनच्या सन्मानार्थ एक गणितीय सूत्र नाव देण्यात आले, जे त्याच्या बाजूंच्या आकारावर आधारित त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ मोजणे शक्य करते. त्रिकोण ही एक भौमितिक आकृती आहे जी विभागांचा वापर करून एकाच सरळ रेषेवर नसलेल्या तीन बिंदूंना जोडून मिळवली जाते. या बिंदूंना सहसा शिरोबिंदू म्हणतात, आणि खंडांना त्रिकोणाच्या बाजू म्हणतात. सर्व बाजूंची मूल्ये ज्ञात असल्यास, हेरॉनचे सूत्र वापरून, आपण सूत्र वापरून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ काढू शकता:

जेथे de a, b, c हे त्रिकोणाच्या बाजूंचे आकार आहेत आणि p हा अर्ध-परिमिती आहे, जो 2 ने भागलेल्या तीन बाजूंच्या बेरजेइतका आहे.

हेरॉनने त्रिकोण मानले ज्यांच्या बाजू पूर्णांक होत्या त्यानुसार, त्रिकोणांचे क्षेत्र पूर्णांक होते. या त्रिकोणांना हेरॉन त्रिकोण म्हणतात.

प्राथमिक माहिती

प्रथम, आपल्याला नंतर आवश्यक असलेली माहिती आणि नोटेशन सादर करूया.

आम्ही $A$ आणि $C$ तीव्र कोनांसह $ABC$ त्रिकोणाचा विचार करू. आपण त्यात $BH$ उंची काढू. चला खालील नोटेशन सादर करूया: $AB=c,\BC=a,\$$AC=b,\AH=x,\BH=h\$(चित्र 1).

चित्र १.

पुराव्याशिवाय त्रिकोणाच्या क्षेत्रफळावर प्रमेय मांडू.

प्रमेय १

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ त्याच्या बाजूच्या लांबीच्या निम्मे गुणाकार आणि त्यावर काढलेली उंची म्हणून परिभाषित केले जाते, म्हणजे

हेरॉनचे सूत्र

तीन ज्ञात बाजूंमधून त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधण्याविषयी एक प्रमेय ओळखू आणि सिद्ध करूया. हे सूत्र म्हणतात हेरॉनची सूत्रे.

प्रमेय 2

त्रिकोणाच्या $a,\b\ आणि\c$ च्या तीन बाजू देऊ. मग या त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ खालीलप्रमाणे व्यक्त केले आहे

जेथे $p$ हा दिलेल्या त्रिकोणाचा अर्ध-परिमिती आहे.

पुरावा.

आम्ही आकृती 1 मध्ये सादर केलेल्या नोटेशनचा वापर करू.

त्रिकोण $ABH$ विचारात घ्या. पायथागोरियन प्रमेयानुसार, आपल्याला मिळते

हे उघड आहे की $HC=AC-AH=b-x$

त्रिकोण $\CBH$ विचारात घ्या. पायथागोरियन प्रमेयानुसार, आपल्याला मिळते

\ \ \

दोन मिळवलेल्या गुणोत्तरांमधून चौरस उंचीच्या मूल्यांची समानता करू या

\ \ \

पहिल्या समानतेपासून आपण उंची शोधतो

\ \ \ \ \ \

अर्ध-परिमिती $p=\frac(a+b+c)(2)$, म्हणजेच $a+b+c=2p$ च्या समान असल्याने

\ \ \ \

प्रमेय 1 द्वारे, आपल्याला मिळते

प्रमेय सिद्ध झाले आहे.

हेरॉनचे सूत्र वापरून समस्यांची उदाहरणे

उदाहरण १

त्रिकोणाचे क्षेत्रफळ शोधा जर त्याच्या बाजू $3$ cm, $6$ cm आणि $7$ cm असतील.

उपाय.

आपण प्रथम या त्रिकोणाची अर्ध-परिमिती शोधू

प्रमेय 2 द्वारे, आपल्याला मिळते

उत्तर:$4\sqrt(5)$.