दोन वर्तुळांची सापेक्ष स्थिती. विमानावरील दोन वर्तुळांची सापेक्ष स्थिती

धड्याचा विषय: " विमानावरील दोन वर्तुळांची सापेक्ष स्थिती.”

लक्ष्य :

शैक्षणिक - दोन मंडळांच्या सापेक्ष स्थितीबद्दल नवीन ज्ञान मिळवणे, परीक्षेची तयारी करणे

विकासात्मक - संगणकीय कौशल्यांचा विकास, तार्किक-संरचनात्मक विचारांचा विकास; तर्कशुद्ध उपाय शोधण्यात आणि अंतिम परिणाम साध्य करण्यासाठी कौशल्ये विकसित करणे; संज्ञानात्मक क्रियाकलाप आणि सर्जनशील विचारांचा विकास.

शैक्षणिक – विद्यार्थ्यांमध्ये जबाबदारी आणि सातत्य निर्माण करणे; संज्ञानात्मक आणि सौंदर्यात्मक गुणांचा विकास; विद्यार्थ्यांच्या माहिती संस्कृतीची निर्मिती.

सुधारक - स्थानिक विचार, स्मृती, हात मोटर कौशल्ये विकसित करा.

धड्याचा प्रकार:नवीन शैक्षणिक साहित्य शिकणे, एकत्रीकरण.

धड्याचा प्रकार:मिश्र धडा.

शिकवण्याची पद्धत:शाब्दिक, दृश्य, व्यावहारिक.

अभ्यासाचे स्वरूप:सामूहिक

शिक्षणाची साधने:बोर्ड

वर्गांदरम्यान:

1. संघटनात्मक टप्पा

- शुभेच्छा;

- धड्याची तयारी तपासत आहे;

2. मूलभूत ज्ञान अद्यतनित करणे.
मागील धड्यांमध्ये आम्ही कोणते विषय समाविष्ट केले?

वर्तुळाच्या समीकरणाचे सामान्य रूप?

तोंडी करा:

ब्लिट्झ सर्वेक्षण

3. नवीन साहित्याचा परिचय.

आज आपण कोणत्या आकृतीचा विचार करू असे तुम्हाला वाटते... त्यापैकी दोन असतील तर?

ते कसे शोधता येतील???

मुले त्यांच्या हाताने दाखवतात (शेजारी) मंडळे कशी व्यवस्थित केली जाऊ शकतात ( शारीरिक शिक्षण मिनिट)

बरं, आज आपण दोन वर्तुळांच्या सापेक्ष स्थितीचा विचार केला पाहिजे असे तुम्हाला वाटते? आणि स्थानानुसार केंद्रांमधील अंतर किती आहे ते शोधा.

धड्याचा विषय:« दोन वर्तुळांची सापेक्ष स्थिती. समस्या सोडवणे.»

1. एकाग्र वर्तुळे

2. मंडळे वेगळे करा

3.बाह्य स्पर्श

4. एकमेकांना छेदणारी मंडळे

5. अंतर्गत स्पर्श

तर निष्कर्ष काढूया

4. कौशल्ये आणि क्षमतांची निर्मिती

डेटा किंवा विधानामध्ये त्रुटी शोधा आणि तुमचे मत योग्य ठरवून ती दुरुस्त करा:

अ) दोन वर्तुळे स्पर्श करतात. त्यांची त्रिज्या R = 8 सेमी आणि r = 2 सेमी इतकी आहे, केंद्रांमधील अंतर d = 6 आहे.
ब) दोन वर्तुळांमध्ये किमान दोन बिंदू समान आहेत.

B) R = 4, r = 3, d = 5. वर्तुळांना कोणतेही समान बिंदू नाहीत.

D) R = 8, r = 6, d = 4. लहान वर्तुळ मोठ्या वर्तुळाच्या आत स्थित आहे.

ड) दोन वर्तुळे अशा प्रकारे ठेवता येत नाहीत की एक दुसऱ्याच्या आत असेल.

5. कौशल्ये आणि क्षमतांचे एकत्रीकरण.

मंडळे बाहेरून स्पर्श करतात. लहान वर्तुळाची त्रिज्या 3 सेमी आहे मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या केंद्रांमधील अंतर किती आहे?

उपाय: 3+5=8(सेमी)

मंडळे अंतर्गत स्पर्श करतात. लहान वर्तुळाची त्रिज्या 3 सेमी आहे मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी आहे.

उपाय: ५-३=२(सेमी)

मंडळे अंतर्गत स्पर्श करतात. वर्तुळांच्या केंद्रांमधील अंतर 2.5 सेमी आहे. वर्तुळांची त्रिज्या किती आहेत?

उत्तर: (5.5 सेमी आणि 3 सेमी), (6.5 सेमी आणि 4 सेमी), इ.

आकलन तपासत आहे

1) दोन वर्तुळे कशी ठेवता येतील?

2) कोणत्या बाबतीत वर्तुळांमध्ये एक समान बिंदू असतो?

3) दोन वर्तुळांच्या सामाईक बिंदूला काय म्हणतात?

4) तुम्हाला कोणते स्पर्श माहित आहेत?

5) वर्तुळे कधी छेदतात?

6) कोणत्या वर्तुळांना केंद्रीभूत म्हणतात?

विषयावरील अतिरिक्त कार्ये: वेक्टर. समन्वय पद्धत"(वेळ शिल्लक असल्यास)

1)E(4;12), F(-4;-10), G(-2;6), H(4;-2) शोधा:

a) EF, GH वेक्टरचे समन्वय

b) वेक्टर FG ची लांबी

c) बिंदू O चे समन्वय - EF च्या मध्यभागी

बिंदू W चे समन्वय - GH चा मध्यबिंदू

d) FG व्यासासह वर्तुळाचे समीकरण

e) FH सरळ रेषेचे समीकरण

6. गृहपाठ

आणि 96 क्रमांक 1000. यापैकी कोणती समीकरणे वर्तुळाची समीकरणे आहेत. केंद्र आणि त्रिज्या शोधा

7. धड्याचा सारांश(३ मि.)

(वर्ग आणि वैयक्तिक विद्यार्थ्यांच्या कामाचे गुणात्मक मूल्यांकन द्या).

8. प्रतिबिंब स्टेज(2 मिनिटे.)

(चित्रांचा वापर करून विद्यार्थ्यांच्या भावनिक स्थितीवर, त्यांच्या क्रियाकलापांवर, शिक्षकांशी आणि वर्गमित्रांशी संवाद साधण्यासाठी त्यांचे प्रतिबिंब सुरू करा)

एक वर्तुळ आणि त्याच्या केंद्र C शी एकरूप नसलेला बिंदू द्या (चित्र 205). तीन प्रकरणे शक्य आहेत: बिंदू वर्तुळाच्या आत आहे (Fig. 205, a), वर्तुळावर (Fig. 205, b), वर्तुळाच्या बाहेर (Fig. 205, c). चला एक सरळ रेषा काढू जी वर्तुळाला K आणि L बिंदूंवरून छेदेल (b बाबतीत) बिंदू एकाशी जुळेल ज्यापैकी एक बिंदू वर्तुळाच्या इतर सर्व बिंदूंच्या तुलनेत सर्वात जवळ असेल) आणि दुसरा असेल सर्वात दूर.

तर, उदाहरणार्थ, अंजीर मध्ये. 205, आणि वर्तुळाचा बिंदू K सर्वात जवळ आहे. खरं तर, वर्तुळावरील इतर कोणत्याही बिंदूसाठी, तुटलेली रेषा SAG या सेगमेंटपेक्षा लांब असते: परंतु त्याउलट, बिंदू L साठी आपल्याला आढळते (पुन्हा तुटलेली रेषा सरळ रेषाखंडापेक्षा लांब आहे). उर्वरित दोन प्रकरणांचे विश्लेषण आम्ही वाचकांवर सोडतो. लक्षात घ्या की सर्वात मोठे अंतर सर्वात लहान if किंवा if च्या बरोबरीचे आहे.

चला दोन वर्तुळांच्या व्यवस्थेच्या संभाव्य प्रकरणांचे विश्लेषण करूया (चित्र 206).

अ) वर्तुळांची केंद्रे एकसारखी असतात (चित्र 206, अ). अशा वर्तुळांना एकाग्र म्हणतात. जर या वर्तुळांची त्रिज्या समान नसेल, तर त्यापैकी एक दुसऱ्याच्या आत असते. जर त्रिज्या समान असतील तर ते एकरूप होतात.

b) आता वर्तुळांची केंद्रे वेगळी असू द्या. चला त्यांना एका सरळ रेषेने जोडू या, तिला वर्तुळांच्या दिलेल्या जोडीच्या केंद्रांची रेषा म्हणतात. वर्तुळांची सापेक्ष स्थिती केवळ त्यांच्या केंद्रांना जोडणाऱ्या विभागातील d चे मूल्य आणि R, r वर्तुळाच्या त्रिज्येच्या मूल्यांमधील संबंधांवर अवलंबून असेल. 206 (मोजणी).

1. केंद्रांमधील अंतर त्रिज्यामधील फरकापेक्षा कमी आहे:

(Fig. 206, b), लहान वर्तुळ मोठ्या वर्तुळाच्या आत आहे. यात अ) केंद्रांच्या योगायोगाचाही समावेश आहे (d = 0).

2. केंद्रांमधील अंतर त्रिज्यामधील फरकाइतके आहे:

(अंजीर 206, एस). लहान वर्तुळ मोठ्या वर्तुळाच्या आत असते, परंतु केंद्रांच्या रेषेवर एक सामान्य बिंदू असतो (ते म्हणतात की अंतर्गत स्पर्शिका आहे).

3. केंद्रांमधील अंतर त्रिज्यामधील फरकापेक्षा जास्त आहे, परंतु त्यांच्या बेरजेपेक्षा कमी आहे:

(चित्र 206, ड). प्रत्येक वर्तुळ काही अंशी आत आणि अर्धवट बाहेर असते.

वर्तुळांमध्ये दोन छेदनबिंदू K आणि L आहेत, केंद्रांच्या रेषेच्या सापेक्ष सममितीयपणे स्थित आहेत. खंड ही दोन छेदणाऱ्या वर्तुळांची एक सामान्य जीवा आहे. हे केंद्रांच्या रेषेला लंब आहे.

4. केंद्रांमधील अंतर त्रिज्यांच्या बेरजेइतके आहे:

(चित्र 206, ड). प्रत्येक वर्तुळ दुसऱ्याच्या बाहेर आहे, परंतु त्यांचा केंद्रांच्या रेषेवर एक सामान्य बिंदू आहे (बाह्य स्पर्शिका).

5. केंद्रांमधील अंतर त्रिज्यांच्या बेरजेपेक्षा जास्त आहे: (चित्र 206, f). प्रत्येक वर्तुळ पूर्णपणे दुसऱ्याच्या बाहेर आहे. मंडळांमध्ये कोणतेही समान बिंदू नाहीत.

वरील वर्गीकरण पूर्णपणे चर्चा केलेल्या गोष्टींचे अनुसरण करते. एका बिंदूपासून वर्तुळापर्यंतच्या सर्वात मोठ्या आणि सर्वात लहान अंतराच्या प्रश्नाच्या वर. तुम्हाला फक्त एका वर्तुळावरील दोन बिंदूंचा विचार करणे आवश्यक आहे: दुसऱ्या वर्तुळाच्या मध्यभागी सर्वात जवळचे आणि सर्वात दूरचे. उदाहरणार्थ, स्थितीनुसार केस पाहू. परंतु लहान वर्तुळाचा बिंदू जो O पासून सर्वात जास्त अंतरावर आहे तो केंद्र O पासून काही अंतरावर स्थित आहे. म्हणून, संपूर्ण लहान वर्तुळ मोठ्या वर्तुळाच्या आत आहे. इतर प्रकरणांचा विचार त्याच प्रकारे केला जातो.

विशेषतः, जर वर्तुळांची त्रिज्या समान असेल, तर फक्त शेवटची तीन प्रकरणे शक्य आहेत: छेदनबिंदू, बाह्य स्पर्शिका, बाह्य स्थान.

धड्याचा विषय: " विमानावरील दोन वर्तुळांची सापेक्ष स्थिती.”

लक्ष्य :

शैक्षणिक - दोन मंडळांच्या सापेक्ष स्थितीबद्दल नवीन ज्ञान मिळवणे, परीक्षेची तयारी करणे

विकासात्मक - संगणकीय कौशल्यांचा विकास, तार्किक-संरचनात्मक विचारांचा विकास; तर्कशुद्ध उपाय शोधण्यात आणि अंतिम परिणाम साध्य करण्यासाठी कौशल्ये विकसित करणे; संज्ञानात्मक क्रियाकलाप आणि सर्जनशील विचारांचा विकास .

शैक्षणिक – विद्यार्थ्यांमध्ये जबाबदारी आणि सातत्य निर्माण करणे; संज्ञानात्मक आणि सौंदर्यात्मक गुणांचा विकास; विद्यार्थ्यांच्या माहिती संस्कृतीची निर्मिती.

सुधारक - स्थानिक विचार, स्मृती, हात मोटर कौशल्ये विकसित करा.

धड्याचा प्रकार: नवीन शैक्षणिक साहित्य शिकणे, एकत्रीकरण.

धड्याचा प्रकार: मिश्र धडा.

शिकवण्याची पद्धत: शाब्दिक, दृश्य, व्यावहारिक.

अभ्यासाचे स्वरूप: सामूहिक

शिक्षणाची साधने: बोर्ड

वर्गांदरम्यान:

1. संघटनात्मक टप्पा

- शुभेच्छा;

- धड्याची तयारी तपासत आहे;

2. मूलभूत ज्ञान अद्यतनित करणे.
मागील धड्यांमध्ये आम्ही कोणते विषय समाविष्ट केले?

वर्तुळाच्या समीकरणाचे सामान्य रूप?

तोंडी करा:

ब्लिट्झ सर्वेक्षण

3. नवीन साहित्याचा परिचय.

आज आपण कोणत्या आकृतीचा विचार करू असे तुम्हाला वाटते... त्यापैकी दोन असतील तर?

ते कसे शोधता येतील???

मुले त्यांच्या हाताने दाखवतात (शेजारी) मंडळे कशी व्यवस्थित केली जाऊ शकतात (शारीरिक शिक्षण मिनिट)

बरं, आज आपण दोन वर्तुळांच्या सापेक्ष स्थितीचा विचार केला पाहिजे असे तुम्हाला वाटते? आणि स्थानानुसार केंद्रांमधील अंतर किती आहे ते शोधा.

धड्याचा विषय: « दोन वर्तुळांची सापेक्ष स्थिती. समस्या सोडवणे. »

1. एकाग्र वर्तुळे

2. मंडळे वेगळे करा

3.बाह्य स्पर्श

4. एकमेकांना छेदणारी मंडळे

5. अंतर्गत स्पर्श

तर निष्कर्ष काढूया

4. कौशल्ये आणि क्षमतांची निर्मिती

डेटा किंवा विधानामध्ये त्रुटी शोधा आणि तुमचे मत योग्य ठरवून ती दुरुस्त करा:

अ) दोन वर्तुळे स्पर्श करतात. त्यांची त्रिज्या R = 8 सेमी आणि r = 2 सेमी इतकी आहे, केंद्रांमधील अंतर d = 6 आहे.
ब) दोन वर्तुळांमध्ये किमान दोन बिंदू समान आहेत.

B) R = 4, r = 3, d = 5. वर्तुळांना कोणतेही समान बिंदू नाहीत.

D) R = 8, r = 6, d = 4. लहान वर्तुळ मोठ्या वर्तुळाच्या आत स्थित आहे.

ड) दोन वर्तुळे अशा प्रकारे ठेवता येत नाहीत की एक दुसऱ्याच्या आत असेल.

5. कौशल्ये आणि क्षमतांचे एकत्रीकरण.

मंडळे बाहेरून स्पर्श करतात. लहान वर्तुळाची त्रिज्या 3 सेमी आहे मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या केंद्रांमधील अंतर किती आहे?

उपाय: 3+5=8(सेमी)

मंडळे अंतर्गत स्पर्श करतात. लहान वर्तुळाची त्रिज्या 3 सेमी आहे मोठ्या वर्तुळाची त्रिज्या 5 सेमी आहे.

उपाय: ५-३=२(सेमी)

मंडळे अंतर्गत स्पर्श करतात. वर्तुळांच्या केंद्रांमधील अंतर 2.5 सेमी आहे. वर्तुळांची त्रिज्या किती आहेत?

उत्तर: (5.5 सेमी आणि 3 सेमी), (6.5 सेमी आणि 4 सेमी), इ.

आकलन तपासत आहे

1) दोन वर्तुळे कशी ठेवता येतील?

2) कोणत्या बाबतीत वर्तुळांमध्ये एक समान बिंदू असतो?

3) दोन वर्तुळांच्या सामाईक बिंदूला काय म्हणतात?

4) तुम्हाला कोणते स्पर्श माहित आहेत?

5) वर्तुळे कधी छेदतात?

6) कोणत्या वर्तुळांना केंद्रीभूत म्हणतात?

विषयावरील अतिरिक्त कार्ये: वेक्टर. समन्वय पद्धत "(वेळ शिल्लक असल्यास)

1)E(4;12),एफ(-4;-10), जी(-2;6), एच(४;-२) शोधा:

a) वेक्टर समन्वयEF, जी.एच.

b) वेक्टर लांबीFG

c) बिंदू O चे समन्वय - मध्यEF

बिंदू समन्वयप- मधलाजी.एच.

d) व्यासासह वर्तुळाचे समीकरणFG

e) रेषेचे समीकरणएफएच

6. गृहपाठ

& 96 क्रमांक 1000. यापैकी कोणती समीकरणे वर्तुळाची समीकरणे आहेत. केंद्र आणि त्रिज्या शोधा

7. धड्याचा सारांश (३ मि.)

(वर्ग आणि वैयक्तिक विद्यार्थ्यांच्या कामाचे गुणात्मक मूल्यांकन द्या).

8. प्रतिबिंब स्टेज (2 मिनिटे.)

(चित्रांचा वापर करून विद्यार्थ्यांच्या भावनिक स्थितीवर, त्यांच्या क्रियाकलापांवर, शिक्षकांशी आणि वर्गमित्रांशी संवाद साधण्यासाठी त्यांचे प्रतिबिंब सुरू करा)

या वर्तुळाच्या उत्पत्तीपासून केंद्रापर्यंत आणि या वर्तुळाच्या त्रिज्यापर्यंत वेक्टरद्वारे वर्तुळे परिभाषित करू द्या.

त्रिज्या Ra आणि Rb आणि त्रिज्या वेक्टर (मध्यभागी वेक्टर) a आणि b असलेली वर्तुळ A आणि B विचारात घ्या. शिवाय, Oa आणि Ob ही त्यांची केंद्रे आहेत. सामान्यता न गमावता, आम्ही असे गृहीत धरू की Ra > Rb.

मग खालील अटी पूर्ण केल्या जातात:

उद्दिष्ट 1: महत्वाच्या थोरांच्या वाड्या

दोन वर्तुळांचे छेदनबिंदू

समजा A आणि B दोन बिंदूंना छेदतात. चला हे छेदनबिंदू शोधूया.

हे करण्यासाठी, a पासून बिंदू P पर्यंत एक वेक्टर, जो वर्तुळ A वर स्थित आहे आणि OaOb वर स्थित आहे. हे करण्यासाठी, तुम्हाला व्हेक्टर b - a घ्यावा लागेल, जो दोन केंद्रांमधील व्हेक्टर असेल, तो सामान्य करा (त्याला सहदिशात्मक एकक वेक्टरने बदला) आणि Ra ने गुणाकार करा. आम्ही परिणामी वेक्टर p म्हणून दर्शवतो. हे कॉन्फिगरेशन अंजीर मध्ये पाहिले जाऊ शकते. 6

तांदूळ. 6. वेक्टर a, b, p आणि ते कुठे राहतात.

दोन वर्तुळांच्या a पासून छेदनबिंदू I1 आणि I2 पर्यंत व्हेक्टर म्हणून i1 आणि i2 दर्शवू. हे स्पष्ट होते की i1 आणि i2 p पासून रोटेशनद्वारे प्राप्त होतात. कारण OaI1Ob आणि OaI2Ob (त्रिज्या आणि केंद्रांमधील अंतर) त्रिकोणाच्या सर्व बाजू आपल्याला माहीत आहेत, आपण हा कोन fi मिळवू शकतो, p वेक्टर एका दिशेने फिरवल्यास I1 मिळेल आणि दुसऱ्या दिशेने I2.

कोसाइन प्रमेयानुसार, ते समान आहे:

तुम्ही p द्वारे फाई फिरवल्यास, तुम्हाला i1 किंवा i2 मिळेल, तुम्ही कोणत्या मार्गाने फिरता यावर अवलंबून. पुढे, छेदनबिंदू प्राप्त करण्यासाठी वेक्टर i1 किंवा i2 a मध्ये जोडणे आवश्यक आहे

एका वर्तुळाचे केंद्र दुसऱ्या वर्तुळात असले तरीही ही पद्धत कार्य करेल. पण तेथे p वेक्टर निश्चितपणे a ते b या दिशेने निर्दिष्ट करावे लागेल, जे आपण केले. जर तुम्ही दुसऱ्या वर्तुळावर आधारित p तयार केले तर त्यातून काहीही मिळणार नाही

बरं, शेवटी, एका वस्तुस्थितीचा उल्लेख करणे आवश्यक आहे: जर मंडळे स्पर्श करतात, तर P हा संपर्काचा बिंदू आहे हे सत्यापित करणे सोपे आहे (हे अंतर्गत आणि बाह्य दोन्ही संपर्कांसाठी खरे आहे).
येथे तुम्ही व्हिज्युअलायझेशन पाहू शकता (ते लाँच करण्यासाठी तुम्हाला क्लिक करणे आवश्यक आहे).

समस्या 2: छेदनबिंदू

ही पद्धत कार्य करते, परंतु रोटेशन कोनाऐवजी, आपण त्याचे कोसाइन आणि त्याद्वारे साइनची गणना करू शकता आणि नंतर वेक्टर फिरवताना त्यांचा वापर करू शकता. हे त्रिकोणमितीय फंक्शन्समधून कोड काढून टाकून गणना लक्षणीयरीत्या सुलभ करेल.