अविभाज्य म्हणजे काय आणि ते कसे सोडवायचे. कॉम्प्लेक्स इंटिग्रल्स

पाठ्यपुस्तकातील व्याख्या खूप क्लिष्ट आणि अस्पष्ट असल्यास, आमचा लेख वाचा. आम्ही शक्य तितक्या सोप्या पद्धतीने समजावून सांगण्याचा प्रयत्न करू, “बोटांवर”, गणिताच्या अशा शाखेचे मुख्य मुद्दे निश्चित अविभाज्य घटक म्हणून. इंटिग्रलची गणना कशी करायची, या मॅन्युअलमध्ये वाचा.

भौमितिक दृष्टिकोनातून, फंक्शनचे इंटिग्रल म्हणजे दिलेल्या फंक्शनच्या आलेखाने तयार केलेल्या आकृतीचे क्षेत्रफळ आणि समाकलनाच्या मर्यादेतील अक्ष होय. इंटिग्रल लिहा, इंटिग्रल अंतर्गत फंक्शनचे विश्लेषण करा: जर इंटिग्रँड सरलीकृत केले जाऊ शकते (कमी केले, अविभाज्य चिन्हामध्ये घटक, दोन साध्या अविभाज्यांमध्ये विभागले), तसे करा. इंटिग्रल अंतर्गत कोणते फंक्शन डेरिव्हेटिव्ह आहे हे निर्धारित करण्यासाठी अविभाज्यांचे सारणी उघडा. उत्तर सापडले? इंटिग्रलमध्ये जोडलेला घटक लिहा (जर हे घडले असेल तर), टेबलमधून सापडलेले फंक्शन लिहा आणि इंटिग्रलच्या सीमा बदला.

अविभाज्य मूल्याची गणना करण्यासाठी, त्याचे मूल्य वरच्या सीमारेषेवर मोजा आणि खालच्या बाउंडमध्ये त्याचे मूल्य वजा करा. फरक इच्छित मूल्य आहे.

अविभाज्य समस्या सोडवण्याची प्रक्रिया स्वतःची चाचणी घेण्यासाठी किंवा किमान समजून घेण्यासाठी, अविभाज्य शोधण्यासाठी ऑनलाइन सेवा वापरणे सोयीचे आहे, परंतु आपण सोडवणे सुरू करण्यापूर्वी, फंक्शन्स प्रविष्ट करण्याचे नियम वाचा. त्याचा सर्वात मोठा फायदा असा आहे की इंटिग्रलसह समस्येचे संपूर्ण निराकरण चरण-दर-चरण वर्णन केले आहे.

अर्थात, येथे केवळ अविभाज्य आवृत्त्यांचा विचार केला जातो - खरं तर, तांत्रिक वैशिष्ट्यांच्या विद्यार्थ्यांसाठी उच्च गणित, गणितीय विश्लेषण आणि विभेदक समीकरणांच्या अभ्यासक्रमात अनेक प्रकारचे अविभाज्य प्रकार आहेत; .

उच्च गणित आणि विज्ञानाच्या इतर तांत्रिक शाखांमध्ये अनिश्चित पूर्णांक शोधणे ही एक सामान्य समस्या आहे. अगदी साध्या भौतिक समस्या देखील अनेक साध्या अविभाज्य घटकांची गणना केल्याशिवाय सोडवल्या जाऊ शकत नाहीत. म्हणून, शालेय वयापासून आम्हाला अविभाज्य निराकरणासाठी तंत्रे आणि पद्धती शिकवल्या जातात; तथापि, कालांतराने, हे सर्व सुरक्षितपणे विसरले जाते, एकतर आमच्याकडे गणना करण्यासाठी पुरेसा वेळ नाही किंवा आम्हाला आवश्यक आहे अनिश्चित अविभाज्य उपाय शोधाअतिशय जटिल कार्यातून. या समस्यांचे निराकरण करण्यासाठी, आमची सेवा तुमच्यासाठी अपरिहार्य असेल, ज्यामुळे तुम्हाला अनिश्चित अविभाज्य ऑनलाइन अचूकपणे शोधता येईल.

अनिश्चित अविभाज्य सोडवा

येथे ऑनलाइन सेवा संकेतस्थळआपल्याला शोधण्याची परवानगी देते अविभाज्य ऑनलाइन निराकरणजलद, विनामूल्य आणि उच्च दर्जाचे. तुम्ही आमच्या सेवेसह आवश्यक इंटिग्रलसाठी टेबलमधील शोध बदलू शकता, जिथे इच्छित फंक्शन त्वरीत प्रविष्ट करून, तुम्हाला टॅब्युलर आवृत्तीमध्ये अनिश्चित इंटिग्रलचे समाधान मिळेल. सर्व गणितीय साइट्स ऑनलाइन फंक्शन्सच्या अनिश्चित अविभाज्यांची त्वरीत आणि कार्यक्षमतेने गणना करण्यास सक्षम नाहीत, विशेषत: आपल्याला शोधण्याची आवश्यकता असल्यास अनिश्चित अविभाज्यजटिल फंक्शन किंवा अशा फंक्शन्समधून जे उच्च गणिताच्या सामान्य कोर्समध्ये समाविष्ट नाहीत. संकेतस्थळ संकेतस्थळमदत करेल अविभाज्य ऑनलाइन निराकरण आणि कार्याचा सामना करा. वेबसाइटवरील इंटिग्रलचे ऑनलाइन सोल्यूशन वापरून, तुम्हाला नेहमीच अचूक उत्तर मिळेल.

जरी तुम्ही स्वतः अविभाज्य गणना करू इच्छित असाल, तरीही आमच्या सेवेमुळे तुमचे उत्तर तपासणे, चूक किंवा टायपो शोधणे किंवा कार्य निर्दोषपणे पूर्ण झाले आहे याची खात्री करणे तुमच्यासाठी सोपे होईल. जर तुम्ही एखादी समस्या सोडवत असाल आणि तुम्हाला सहाय्यक क्रिया म्हणून अनिश्चित अविभाज्य गणना करायची असेल, तर तुम्ही आधीच हजार वेळा केलेल्या या क्रियांवर वेळ का वाया घालवायचा? शिवाय, इंटिग्रलची अतिरिक्त गणना टायपो किंवा लहान त्रुटीचे कारण असू शकते, ज्यामुळे नंतर चुकीचे उत्तर मिळाले. फक्त आमच्या सेवा वापरा आणि शोधा अनिश्चित अविभाज्य ऑनलाइनकोणत्याही प्रयत्नाशिवाय. शोधण्याच्या व्यावहारिक समस्यांसाठी अविभाज्यकार्ये ऑनलाइनहा सर्व्हर खूप उपयुक्त आहे. आपल्याला दिलेले कार्य प्रविष्ट करणे आवश्यक आहे, मिळवा अनिश्चित इंटिग्रलचे ऑनलाइन समाधानआणि उत्तराची तुमच्या सोल्यूशनशी तुलना करा.

अनिश्चित अविभाज्य (अँटीडेरिव्हेटिव्ह किंवा "अँटीडेरिव्हेटिव्ह्ज" चा संच) शोधणे म्हणजे या फंक्शनच्या ज्ञात व्युत्पन्नातून फंक्शनची पुनर्रचना करणे. अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जचा संच पुनर्संचयित केला एफ(x) + सह कार्यासाठी f(x) एकत्रीकरण स्थिरांक विचारात घेते सी. भौतिक बिंदू (व्युत्पन्न) च्या हालचालीच्या गतीवर आधारित, या बिंदूच्या गतीचा नियम (अँटीडेरिव्हेटिव्ह) पुनर्संचयित केला जाऊ शकतो; बिंदूच्या हालचालीच्या प्रवेगानुसार - त्याचा वेग आणि गतीचा नियम. जसे आपण पाहू शकता, भौतिकशास्त्राच्या शेरलॉक होम्सेसच्या क्रियाकलापांसाठी एकत्रीकरण हे एक विस्तृत क्षेत्र आहे. आणि अर्थशास्त्रात, अनेक संकल्पना फंक्शन्स आणि त्यांच्या डेरिव्हेटिव्हद्वारे दर्शविल्या जातात आणि म्हणूनच, उदाहरणार्थ, विशिष्ट वेळी (व्युत्पन्न) श्रम उत्पादकता वापरून संबंधित वेळी उत्पादित उत्पादनांची मात्रा पुनर्संचयित करणे शक्य आहे.

अनिश्चित अविभाज्य शोधण्यासाठी मूलभूत एकीकरण सूत्रांची अगदी कमी संख्या आवश्यक आहे. परंतु ते शोधण्याची प्रक्रिया ही सूत्रे लागू करण्यापेक्षा खूप कठीण आहे. सर्व क्लिष्टता एकात्मतेशी संबंधित नाही, परंतु अविभाज्य अभिव्यक्तीला एका फॉर्ममध्ये आणण्यासाठी ज्यामुळे वर नमूद केलेल्या मूलभूत सूत्रांचा वापर करून अनिश्चित पूर्णांक शोधणे शक्य होते. याचा अर्थ असा की एकत्रीकरणाचा सराव सुरू करण्यासाठी, तुम्ही हायस्कूलमध्ये प्राप्त केलेली अभिव्यक्ती परिवर्तन कौशल्ये सक्रिय करणे आवश्यक आहे.

आपण वापरून पूर्णांक शोधायला शिकू गुणधर्म आणि अनिश्चित पूर्णांकांची सारणीया विषयाच्या मूलभूत संकल्पनांच्या धड्यातून (नवीन विंडोमध्ये उघडते).

अविभाज्य शोधण्यासाठी अनेक पद्धती आहेत, त्यापैकी व्हेरिएबल बदलण्याची पद्धतआणि भाग पद्धतीद्वारे एकत्रीकरण- उच्च गणित यशस्वीपणे उत्तीर्ण झालेल्या प्रत्येकासाठी अनिवार्य सज्जन संच. तथापि, अनिश्चित इंटिग्रलच्या गुणधर्मांवरील खालील दोन प्रमेयांच्या आधारे विस्तार पद्धतीचा वापर करून मास्टरींग इंटिग्रेशन सुरू करणे अधिक उपयुक्त आणि आनंददायक आहे, जे आम्ही येथे सोयीसाठी पुन्हा करत आहोत.

प्रमेय 3.इंटिग्रँडमधील स्थिर घटक अनिश्चित अविभाज्य चिन्हाच्या बाहेर काढला जाऊ शकतो, म्हणजे.

प्रमेय ४.फंक्शन्सच्या मर्यादित संख्येच्या बीजगणितीय बेरीजचे अनिश्चित पूर्णांक या फंक्शन्सच्या अनिश्चित पूर्णांकांच्या बीजगणितीय बेरीजच्या बरोबरीचे असते, उदा.

(2)

या व्यतिरिक्त, खालील नियम एकत्रीकरणासाठी उपयुक्त ठरू शकतात: जर इंटिग्रँडच्या अभिव्यक्तीमध्ये स्थिर घटक असेल, तर अँटीडेरिव्हेटिव्हची अभिव्यक्ती स्थिर घटकाच्या व्यस्ततेने गुणाकार केली जाते, म्हणजे

(3)

एकीकरण समस्या सोडवण्याचा हा एक प्रास्ताविक धडा असल्याने, दोन गोष्टी लक्षात घेणे महत्त्वाचे आहे की एकतर अगदी सुरुवातीला किंवा थोड्या वेळाने तुम्हाला आश्चर्य वाटेल. आश्चर्य या वस्तुस्थितीमुळे आहे की एकत्रीकरण हे भिन्नतेचे व्यस्त ऑपरेशन आहे आणि अनिश्चित अविभाज्यांना योग्यरित्या "अँटीडेरिव्हेटिव्ह" म्हटले जाऊ शकते.

समाकलित करताना आपण आश्चर्यचकित होऊ नये अशी पहिली गोष्ट.इंटिग्रल्सच्या टेबलमध्ये अशी सूत्रे आहेत ज्यांचे व्युत्पन्न सारणी सूत्रांमध्ये कोणतेही analogues नाहीत . ही खालील सूत्रे आहेत.

तथापि, आपण हे सुनिश्चित करू शकता की या सूत्रांच्या उजव्या बाजूला असलेल्या अभिव्यक्तींचे व्युत्पन्न संबंधित इंटिग्रँड्सशी एकरूप आहेत.

एकत्रीकरण करताना आश्चर्य वाटू नये अशी दुसरी गोष्ट. जरी कोणत्याही प्राथमिक कार्याचे व्युत्पन्न देखील एक प्राथमिक कार्य आहे, काही प्राथमिक कार्यांचे अनिश्चित पूर्णांक यापुढे प्राथमिक कार्ये नाहीत . अशा अविभाज्यांची उदाहरणे खालीलप्रमाणे असू शकतात:

एकीकरण तंत्र विकसित करण्यासाठी, खालील कौशल्ये उपयुक्त ठरतील: अपूर्णांक कमी करणे, अपूर्णांकाच्या अंशातील बहुपदीला भाजकातील एकपदी भागणे (अनिश्चित पूर्णांकांची बेरीज मिळवणे), मुळांचे शक्तींमध्ये रूपांतर करणे, एकपदी गुणाकार करणे. बहुपदी, शक्ती वाढवणे. इंटिग्रँडच्या परिवर्तनासाठी ही कौशल्ये आवश्यक आहेत, ज्याचा परिणाम अविभाज्यांच्या सारणीमध्ये उपस्थित असलेल्या अविभाज्यांच्या बेरीजमध्ये झाला पाहिजे.

एकत्र अनिश्चित अविभाज्य शोधणे

उदाहरण १.अनिश्चित अविभाज्य शोधा

.

उपाय. आपण इंटिग्रँडच्या भाजकामध्ये एक बहुपदी पाहतो ज्यामध्ये x चा वर्ग आहे. हे जवळजवळ निश्चित चिन्ह आहे की आपण टेबल इंटिग्रल 21 लागू करू शकता (परिणामी म्हणून आर्कटँजंटसह). आम्ही भाजक मधून घटक-दोन काढतो (अविभाज्य घटकाचा असा गुणधर्म आहे - स्थिर घटक अविभाज्य चिन्हाच्या पलीकडे काढला जाऊ शकतो; तो प्रमेय 3 वर नमूद केला आहे). या सर्वांचा परिणाम:

आता भाजक ही चौरसांची बेरीज आहे, याचा अर्थ आपण नमूद केलेले सारणी इंटिग्रल लागू करू शकतो. शेवटी आम्हाला उत्तर मिळते:

.

उदाहरण २.अनिश्चित अविभाज्य शोधा

उपाय. आम्ही पुन्हा प्रमेय 3 लागू करतो - अविभाज्य गुणधर्म, ज्याच्या आधारावर अविभाज्य चिन्हातून स्थिर घटक काढला जाऊ शकतो:

आम्ही इंटिग्रॅण्ड फंक्शनमध्ये इंटिग्रलच्या सारणीतून (पॉवर टू व्हेरिएबल) फॉर्म्युला 7 लागू करतो:

.

आम्ही परिणामी अपूर्णांक कमी करतो आणि आमच्याकडे अंतिम उत्तर आहे:

उदाहरण ३.अनिश्चित अविभाज्य शोधा

उपाय. गुणधर्मांवर प्रथम प्रमेय 4 आणि नंतर प्रमेय 3 लागू केल्यास, आम्हाला हे अविभाज्य तीन अविभाज्यांची बेरीज म्हणून आढळते:

प्राप्त केलेले तिन्ही अविभाज्य सारणीबद्ध आहेत. आम्ही अविभाज्यांच्या सारणीतून सूत्र (7) वापरतो n = 1/2, n= 2 आणि n= 1/5, आणि नंतर

तिन्ही अविभाज्य स्थिरांकांना एकत्र करते जे तीन पूर्णांक शोधताना सादर केले होते. म्हणून, तत्सम परिस्थितींमध्ये, फक्त एक अनियंत्रित एकीकरण स्थिरांक सादर केला पाहिजे.

उदाहरण ४.अनिश्चित अविभाज्य शोधा

उपाय. जेव्हा इंटिग्रँडच्या भाजकामध्ये एकपद असते, तेव्हा आपण अंशाला पदानुसार भाजक पदाने भागू शकतो. मूळ अविभाज्य दोन अविभाज्यांच्या बेरजेमध्ये बदलले:

.

टेबल इंटिग्रल लागू करण्यासाठी, आम्ही मुळांचे शक्तींमध्ये रूपांतर करतो आणि येथे अंतिम उत्तर आहे:

आम्ही एकत्र अनिश्चित अविभाज्य शोधणे सुरू ठेवतो

उदाहरण 7.अनिश्चित अविभाज्य शोधा

उपाय. जर आपण द्विपदाचे वर्ग करून पूर्णांकाचे रूपांतर केले आणि अंशाला पदानुसार भाजक पदाने भागले तर मूळ पूर्णांक तीन पूर्णांकांची बेरीज होईल.

विद्यार्थ्यांनी आणि शाळकरी मुलांसाठी त्यांनी कव्हर केलेली सामग्री एकत्रित करण्यासाठी साइटवर ऑनलाइन इंटिग्रल्स. प्रत्येक वेळी जेव्हा तुम्ही अविभाज्यपणे सोडवायला सुरुवात करता, तेव्हा तुम्हाला त्याचा प्रकार ओळखण्याची आवश्यकता असते, जोपर्यंत तुम्ही ती सारणी पद्धत मानत नाही तोपर्यंत तुम्ही कोणतीही पद्धत वापरू शकत नाही. दिलेल्या उदाहरणावरून प्रत्येक टेबल इंटिग्रल स्पष्टपणे दिसत नाही; सराव मध्ये, अविभाज्य सोडवणे मूळ शोधण्याच्या समस्येचा अर्थ लावण्यासाठी खाली येते, म्हणजे, फंक्शन्सच्या अनंत कुटुंबातील अँटीडेरिव्हेटिव्ह, परंतु जर एकत्रीकरणाची मर्यादा दिली गेली, तर न्यूटन-लेबनिझ सूत्रानुसार, फक्त एकच शिल्लक राहते. कार्य ज्यासाठी गणना लागू करणे आवश्यक आहे. अनौपचारिकपणे, ऑनलाइन इंटिग्रल हे फंक्शनचा आलेख आणि एक्स-अक्ष यांच्यामधील एकीकरणाच्या मर्यादेतील क्षेत्र आहे. चला एका व्हेरिएबलवर कॉम्प्लेक्स इंटिग्रलचे मूल्यमापन करू आणि त्याचे उत्तर समस्येच्या पुढील निराकरणाशी संबंधित करू. आपण, जसे ते म्हणतात, ते थेट इंटिग्रँडमधून शोधू शकता. विश्लेषणाच्या मुख्य प्रमेयानुसार, एकीकरण हे भिन्नतेचे व्यस्त ऑपरेशन आहे, जे भिन्न समीकरणे सोडविण्यास मदत करते. एकीकरणाच्या ऑपरेशनच्या अनेक भिन्न व्याख्या आहेत, तांत्रिक तपशीलांमध्ये भिन्न आहेत. तथापि, ते सर्व सुसंगत आहेत, म्हणजे, एकीकरणाच्या कोणत्याही दोन पद्धती, जर त्या दिलेल्या फंक्शनवर लागू केल्या जाऊ शकतात, तर समान परिणाम देईल. सर्वात सोपा म्हणजे रिमन इंटिग्रल - हे एक निश्चित अविभाज्य किंवा अनिश्चित अविभाज्य आहे. अनौपचारिकपणे, एका व्हेरिएबलचे अविभाज्य आलेखाखालील क्षेत्रफळ म्हणून ओळखले जाऊ शकते (फंक्शनचा आलेख आणि x-अक्ष यांच्यामध्ये बंद केलेली आकृती). हे क्षेत्र शोधण्याचा प्रयत्न करताना, आम्ही विशिष्ट संख्येच्या उभ्या आयत असलेल्या आकृत्यांचा विचार करू शकतो, ज्याचे पायथ्या एकत्रीकरणाचा एक विभाग बनवतात आणि भागांना योग्य संख्येने लहान विभागांमध्ये विभाजित करून प्राप्त केले जातात. कॅल्क्युलेटर क्रियांच्या तपशीलवार वर्णनासह अविभाज्य निराकरण करते आणि विनामूल्य! फंक्शनसाठी ऑनलाइन अनिश्चित पूर्णांक म्हणजे दिलेल्या फंक्शनच्या सर्व अँटीडेरिव्हेटिव्ह्जचा संच. जर एखादे फंक्शन परिभाषित केले असेल आणि मध्यांतरावर सतत असेल, तर त्याच्यासाठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन (किंवा अँटीडेरिव्हेटिव्हचे कुटुंब) आहे. या प्रकरणाकडे काळजीपूर्वक संपर्क साधणे आणि केलेल्या कामातून आंतरिक समाधान अनुभवणे चांगले आहे. परंतु शास्त्रीय पद्धतीपेक्षा वेगळी पद्धत वापरून इंटिग्रलची गणना केल्याने काहीवेळा अनपेक्षित परिणाम होतात आणि याचे आश्चर्य वाटू नये. मला आनंद आहे की या वस्तुस्थितीमुळे जे घडत आहे त्यावर सकारात्मक अनुनाद होईल. संपूर्ण तपशीलवार चरण-दर-चरण समाधानासह निश्चित पूर्णांक आणि अनिश्चित पूर्णांकांची यादी. उच्च गणित आणि विज्ञानाच्या इतर तांत्रिक क्षेत्रांमध्ये अनिश्चित अविभाज्य ऑनलाइन शोधणे ही एक सामान्य समस्या आहे. एकत्रीकरणाच्या मूलभूत पद्धती. चुका दिसण्यापूर्वी पूर्ण झालेल्या इमारतींचा विचार करा. इंटिग्रल्स ऑनलाइन सोडवणे - तुम्हाला वेगवेगळ्या प्रकारच्या इंटिग्रल्ससाठी तपशीलवार समाधान मिळेल: अनिश्चित, निश्चित, अयोग्य. फंक्शनचे इंटिग्रल हे अनुक्रमाच्या बेरीजचे ॲनालॉग असते. अनौपचारिकपणे बोलायचे झाल्यास, एक निश्चित अविभाज्य म्हणजे फंक्शनच्या आलेखाच्या भागाचे क्षेत्रफळ. बहुतेकदा असे इंटिग्रल समान घनतेच्या तुलनात्मक वस्तूपेक्षा शरीर किती जड आहे हे निर्धारित करते आणि त्याचा आकार काय आहे हे महत्त्वाचे नसते कारण पृष्ठभाग पाणी शोषत नाही. अविभाज्य ऑनलाइन कसे शोधायचे हे प्रत्येक कनिष्ठ विद्यार्थ्याला माहित आहे. शालेय अभ्यासक्रमाच्या आधारे, गणिताचा हा विभाग देखील अभ्यासला जातो, परंतु तपशीलवार नाही, परंतु अशा जटिल आणि महत्त्वपूर्ण विषयाच्या केवळ मूलभूत गोष्टींचा अभ्यास केला जातो. बऱ्याच प्रकरणांमध्ये, विद्यार्थी एका विस्तृत सिद्धांतासह अविभाज्य घटकांचा अभ्यास करण्यास सुरवात करतात, ज्याच्या अगोदर डेरिव्हेटिव्ह्ज आणि मर्यादेपर्यंत जाणे यासारख्या महत्त्वाच्या विषयांचा समावेश होतो - त्या देखील मर्यादा असतात. इंटिग्रल्स सोडवणे हळूहळू साध्या फंक्शन्सच्या सर्वात प्राथमिक उदाहरणांपासून सुरू होते आणि गेल्या शतकात आणि अगदी पूर्वीच्या अनेक पद्धती आणि नियमांच्या वापराने समाप्त होते. इंटिग्रल कॅल्क्युलस हे लिसेम्स आणि शाळांमध्ये, म्हणजे माध्यमिक शैक्षणिक संस्थांमध्ये शैक्षणिक हेतूंसाठी आहे. आमची वेबसाइट तुम्हाला नेहमीच मदत करेल आणि ऑनलाइन अविभाज्य प्रश्न सोडवणे तुमच्यासाठी सामान्य होईल आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे समजण्यासारखे काम होईल. या संसाधनाच्या आधारे, आपण या गणित विभागात सहजतेने परिपूर्णता प्राप्त करू शकता. तुम्ही टप्प्याटप्प्याने अभ्यास करत असलेले नियम समजून घेऊन, उदाहरणार्थ, भागांद्वारे एकत्रीकरण किंवा चेबीशेव्ह पद्धतीचा वापर, तुम्ही जास्तीत जास्त गुणांसाठी कोणतीही चाचणी सहजपणे सोडवू शकता. तर, अविभाज्यांचे सुप्रसिद्ध तक्त्या वापरून, परंतु समाधान योग्य, बरोबर आणि शक्य तितक्या अचूक उत्तरासह अशा प्रकारे आपण अविभाज्य कसे काढू शकतो? हे कसे शिकायचे आणि सामान्य नवख्या माणसाला ते कमीत कमी वेळेत करणे शक्य आहे का? चला या प्रश्नाचे होकारार्थी उत्तर देऊ - आपण हे करू शकता! त्याच वेळी, आपण केवळ कोणतेही उदाहरण सोडवू शकत नाही तर उच्च पात्र अभियंता स्तरावर देखील पोहोचू शकता. रहस्य नेहमीपेक्षा सोपे आहे - आपल्याला जास्तीत जास्त प्रयत्न करणे आणि स्वत: ची तयारी करण्यासाठी आवश्यक वेळ घालवणे आवश्यक आहे. दुर्दैवाने, कोणीही अद्याप दुसरा मार्ग शोधला नाही! परंतु सर्व काही पहिल्या दृष्टीक्षेपात दिसते तितके ढगाळ नाही. आपण या प्रश्नासह आमच्या सेवा साइटशी संपर्क साधल्यास, आम्ही आपले जीवन सोपे करू, कारण आमची साइट अतिशय वेगाने आणि अचूक उत्तरासह तपशीलवार ऑनलाइन इंटिग्रल्सची गणना करू शकते. त्याच्या केंद्रस्थानी, वितर्कांचे गुणोत्तर संपूर्ण प्रणालीच्या स्थिरतेवर कसा परिणाम करते हे अविभाज्य ठरवत नाही. इंटिग्रलचा यांत्रिक अर्थ अनेक लागू समस्यांमध्ये आहे, जसे की शरीराची मात्रा निर्धारित करणे आणि शरीराच्या वस्तुमानाची गणना करणे. या गणनेमध्ये तिहेरी आणि दुहेरी अविभाज्य भाग समाविष्ट आहेत. आम्ही आग्रही आहोत की इंटिग्रल्सचे निराकरण केवळ अनुभवी शिक्षकांच्या देखरेखीखाली केले जाते आणि अनेक तपासण्यांद्वारे आम्हाला वारंवार विचारले जाते की जे विद्यार्थी व्याख्यानांना उपस्थित राहत नाहीत, त्यांना विनाकारण वगळतात आणि ते कसे शोधतात. अविभाज्य स्वतः. आम्ही उत्तर देतो की विद्यार्थी मुक्त लोक आहेत आणि बाहेरून अभ्यास करण्यास, त्यांच्या स्वतःच्या घरी आरामात चाचणी किंवा परीक्षेची तयारी करण्यास सक्षम आहेत. काही सेकंदात, आमची सेवा कोणालाही व्हेरिएबलवर दिलेल्या कोणत्याही फंक्शनचे इंटिग्रल मोजण्यात मदत करेल. प्राप्त झालेले परिणाम अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शनचे व्युत्पन्न घेऊन तपासले पाहिजे. या प्रकरणात, समाकलनाच्या सोल्युशनमधून स्थिरांक शून्य होतो. हा नियम साहजिकच प्रत्येकाला लागू होतो. अशा अनेक साइट्स नाहीत ज्या काही सेकंदात चरण-दर-चरण उत्तरे देतात आणि सर्वात महत्त्वाचे म्हणजे उच्च अचूकतेसह आणि सोयीस्कर स्वरूपात. परंतु तयार सेवा वापरून अविभाज्य शोधणे कसे शक्य आहे हे आपण विसरू नये, वेळ-चाचणी केली आणि हजारो ऑनलाइन उदाहरणांवर चाचणी केली.

एक निश्चित अभिन्न करून सतत कार्य पासून f(x) अंतिम विभागावर [ a, b] (जेथे ) ही या विभागातील काही अँटीडेरिव्हेटिव्हची वाढ आहे. (सर्वसाधारणपणे, आपण अनिश्चित अविभाज्य विषयाची पुनरावृत्ती केल्यास समजून घेणे लक्षणीय सोपे होईल) या प्रकरणात, नोटेशन वापरले जाते

खालील आलेखांमध्ये पाहिल्याप्रमाणे (अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शनची वाढ द्वारे दर्शविली जाते), एक निश्चित अविभाज्य एकतर सकारात्मक किंवा ऋण संख्या असू शकते(उच्च मर्यादेतील अँटीडेरिव्हेटिव्हचे मूल्य आणि खालच्या मर्यादेतील त्याचे मूल्य यांच्यातील फरक म्हणून त्याची गणना केली जाते, म्हणजे एफ(b) - एफ(a)).

संख्या aआणि bअनुक्रमे एकात्मतेच्या खालच्या आणि वरच्या मर्यादा म्हणतात आणि सेगमेंट [ a, b] - एकीकरणाचा विभाग.

अशा प्रकारे, जर एफ(x) – साठी काही अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शन f(x), नंतर, व्याख्येनुसार,

(38)

समानता (38) म्हणतात न्यूटन-लेबनिझ सूत्र . फरक एफ(b) – एफ(a) थोडक्यात खालीलप्रमाणे लिहिले आहे:

म्हणून, आम्ही न्यूटन-लेबनिझ सूत्र असे लिहू:

(39)

आपण हे सिद्ध करूया की निश्चित इंटिग्रल गणना करताना इंटिग्रँडचे कोणते अँटीडेरिव्हेटिव्ह घेतले आहे यावर अवलंबून नाही. द्या एफ(x) आणि F( एक्स) हे इंटिग्रँडचे अनियंत्रित अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहेत. हे एकाच फंक्शनचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह असल्याने, ते स्थिर पदानुसार भिन्न असतात: Ф( एक्स) = एफ(x) + सी. म्हणून

हे स्थापित करते की विभागावर [ a, b] फंक्शनच्या सर्व अँटीडेरिव्हेटिव्हची वाढ f(x) जुळवा.

अशा प्रकारे, एक निश्चित अविभाज्य गणना करण्यासाठी, इंटिग्रँडचे कोणतेही अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधणे आवश्यक आहे, म्हणजे. प्रथम आपल्याला अनिश्चित अविभाज्य शोधण्याची आवश्यकता आहे. स्थिर सह त्यानंतरच्या गणनेतून वगळलेले. मग न्यूटन-लेबनिझ सूत्र लागू केले जाते: वरच्या मर्यादेचे मूल्य अँटीडेरिव्हेटिव्ह फंक्शनमध्ये बदलले जाते. b , पुढे - खालच्या मर्यादेचे मूल्य a आणि फरक मोजला जातो F(b) - F(a) . परिणामी संख्या निश्चित अविभाज्य असेल..

येथे a = bव्याख्येनुसार स्वीकारले

उदाहरण १.

उपाय. प्रथम, अनिश्चित अविभाज्य शोधूया:

अँटीडेरिव्हेटिव्हवर न्यूटन-लेबनिझ सूत्र लागू करणे

(वर सह= 0), आम्हाला मिळते

तथापि, निश्चित इंटिग्रलची गणना करताना, अँटीडेरिव्हेटिव्ह स्वतंत्रपणे न शोधणे चांगले आहे, परंतु ताबडतोब फॉर्ममध्ये इंटिग्रल लिहिणे चांगले आहे (39).

उदाहरण २.निश्चित इंटिग्रलची गणना करा

उपाय. सूत्र वापरणे

निश्चित इंटिग्रलचे गुणधर्म

प्रमेय 2.निश्चित इंटिग्रलचे मूल्य इंटिग्रेशन व्हेरिएबलच्या पदनामावर अवलंबून नसते, म्हणजे

(40)

द्या एफ(x) – साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह f(x). च्या साठी f(ट) अँटीडेरिव्हेटिव्ह हे समान कार्य आहे एफ(ट), ज्यामध्ये स्वतंत्र व्हेरिएबल फक्त वेगळ्या प्रकारे नियुक्त केले जाते. त्यामुळे,

सूत्र (39) वर आधारित, शेवटची समानता म्हणजे अविभाज्यांची समानता

प्रमेय 3.स्थिर घटक निश्चित अविभाज्य चिन्हाच्या बाहेर काढला जाऊ शकतो, म्हणजे

(41)

प्रमेय ४.फंक्शन्सच्या मर्यादित संख्येच्या बीजगणितीय बेरीजचे निश्चित पूर्णांक हे या फंक्शन्सच्या निश्चित पूर्णांकांच्या बीजगणितीय बेरजेइतके असते., म्हणजे

(42)

प्रमेय 5.जर एकीकरणाचा विभाग भागांमध्ये विभागला गेला असेल, तर संपूर्ण खंडावरील निश्चित अविभाज्य त्याच्या भागांवरील निश्चित अविभाज्यांच्या बेरजेइतके असेल., म्हणजे तर

(43)

प्रमेय 6.एकत्रीकरणाच्या मर्यादेची पुनर्रचना करताना, निश्चित पूर्णांकाचे परिपूर्ण मूल्य बदलत नाही, परंतु केवळ त्याचे चिन्ह बदलते., म्हणजे

(44)

प्रमेय 7(म्हणजे मूल्य प्रमेय). एक निश्चित अविभाज्य हे समाकलन विभागाच्या लांबीच्या गुणाकाराच्या बरोबरीचे असते आणि त्याच्या आतील काही ठिकाणी इंटिग्रँडचे मूल्य असते., म्हणजे

(45)

प्रमेय 8.जर एकत्रीकरणाची वरची मर्यादा खालच्या मर्यादेपेक्षा जास्त असेल आणि इंटिग्रँड नॉन-नकारात्मक (सकारात्मक) असेल तर निश्चित इंटिग्रल देखील नॉन-नकारात्मक (सकारात्मक) असेल, म्हणजे. तर

प्रमेय ९.जर समाकलनाची वरची मर्यादा खालच्या मर्यादेपेक्षा जास्त असेल आणि फंक्शन्स आणि सतत असतील, तर असमानता

टर्म द्वारे समाकलित केले जाऊ शकते, म्हणजे

(46)

निश्चित इंटिग्रलच्या गुणधर्मांमुळे इंटिग्रल्सची थेट गणना सुलभ करणे शक्य होते.

उदाहरण ५.निश्चित इंटिग्रलची गणना करा

प्रमेय 4 आणि 3 वापरून, आणि अँटीडेरिव्हेटिव्ह शोधताना - टेबल इंटिग्रल्स (7) आणि (6), आम्ही प्राप्त करतो

व्हेरिएबल वरच्या मर्यादेसह निश्चित अविभाज्य

द्या f(x) - विभागावर सतत [ a, b] फंक्शन, आणि एफ(x) त्याचे अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे. निश्चित अविभाज्य विचार करा

(47)

आणि माध्यमातून टइंटिग्रेशन व्हेरिएबल नियुक्त केले आहे जेणेकरून ते वरच्या बाउंडसह गोंधळात टाकू नये. जेव्हा ते बदलते एक्सनिश्चित अविभाज्य (47) देखील बदलते, उदा. हे एकत्रीकरणाच्या वरच्या मर्यादेचे कार्य आहे एक्स, जे आम्ही द्वारे सूचित करतो एफ(एक्स), म्हणजे

(48)

फंक्शन सिद्ध करू एफ(एक्स) साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह आहे f(x) = f(ट). खरंच, भिन्नता एफ(एक्स), आम्हाला मिळते

कारण एफ(x) – साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह f(x), ए एफ(a) हे स्थिर मूल्य आहे.

कार्य एफ(एक्स) – साठी अँटीडेरिव्हेटिव्हच्या असीम संख्येपैकी एक f(x), म्हणजे एक x = aशून्यावर जाते. समानतेमध्ये (48) ठेवल्यास हे विधान प्राप्त होते x = aआणि मागील परिच्छेदाचा प्रमेय 1 वापरा.

भागांच्या एकत्रीकरणाच्या पद्धती आणि चल बदलण्याच्या पद्धतीद्वारे निश्चित पूर्णांकांची गणना

जेथे, व्याख्येनुसार, एफ(x) – साठी अँटीडेरिव्हेटिव्ह f(x). जर आपण इंटिग्रँडमध्ये व्हेरिएबल बदलला

मग, सूत्र (16) नुसार, आपण लिहू शकतो

या अभिव्यक्तीमध्ये

साठी antiderivative कार्य

खरं तर, त्याच्या व्युत्पन्न, त्यानुसार जटिल कार्यांच्या भिन्नतेचा नियम, समान आहे

α आणि β ही व्हेरिएबलची मूल्ये असू द्या ट, ज्यासाठी कार्य

त्यानुसार मूल्ये घेतात aआणि b, म्हणजे

पण, न्यूटन-लाइबनिझ सूत्रानुसार, फरक एफ(b) – एफ(a) तेथे आहे