क्षितिजाच्या कोनात फेकलेल्या शरीराची हालचाल! क्षैतिज कोनात फेकलेल्या शरीराचे पडणे.

क्षैतिजरित्या फेकलेल्या आणि केवळ गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रभावाखाली फिरणाऱ्या शरीराच्या हालचालीचा विचार करूया (आम्ही हवेच्या प्रतिकाराकडे दुर्लक्ष करतो). उदाहरणार्थ, कल्पना करा की टेबलवर पडलेल्या बॉलला धक्का दिला जातो आणि तो टेबलच्या काठावर फिरतो आणि क्षैतिज दिशेने प्रारंभिक गतीसह मुक्तपणे पडू लागतो (चित्र 174).

बॉलची हालचाल उभ्या अक्षावर आणि क्षैतिज अक्षावर प्रक्षेपित करू. अक्षावर चेंडूच्या प्रक्षेपणाची गती गतीसह प्रवेगविना गती असते; अक्षावर चेंडूच्या प्रक्षेपणाची हालचाल ही गुरुत्वाकर्षणाच्या प्रभावाखाली सुरुवातीच्या वेगापेक्षा जास्त प्रवेग असलेली मुक्त घसरण असते. आम्हाला दोन्ही चळवळींचे नियम माहित आहेत. वेग घटक स्थिर आणि समान राहतो. घटक वेळेच्या प्रमाणात वाढतो: . अंजीर मध्ये दाखवल्याप्रमाणे समांतरभुज चौकोन नियम वापरून परिणामी गती सहज शोधता येते. 175. तो खाली झुकलेला असेल आणि कालांतराने त्याचा कल वाढत जाईल.

तांदूळ. 174. टेबलावरून लोळणाऱ्या चेंडूची हालचाल

तांदूळ. 175. वेगाने आडव्या फेकलेल्या चेंडूला तात्कालिक वेग असतो

आडव्या फेकलेल्या शरीराचा मार्ग शोधूया. वेळेच्या क्षणी शरीराच्या समन्वयांना अर्थ आहे

प्रक्षेपण समीकरण शोधण्यासाठी, आम्ही (112.1) पासून वेळ व्यक्त करतो आणि या अभिव्यक्तीला (112.2) मध्ये बदलतो. परिणामी आम्हाला मिळते

या कार्याचा आलेख अंजीर मध्ये दर्शविला आहे. 176. ट्रॅजेक्टोरी पॉइंट्सचे ऑर्डिनेट ॲब्सिसाच्या चौरसांच्या प्रमाणात असतात. आपल्याला माहित आहे की अशा वक्रांना पॅराबोलस म्हणतात. एकसमान प्रवेगक गतीच्या मार्गाचा आलेख पॅराबोला (§ 22) म्हणून दर्शविण्यात आला. अशा प्रकारे, एक मुक्तपणे घसरणारे शरीर ज्याचा प्रारंभिक वेग पॅराबोलाच्या बाजूने आडवा असतो.

उभ्या दिशेने प्रवास केलेला मार्ग सुरुवातीच्या वेगावर अवलंबून नाही. परंतु क्षैतिज दिशेने प्रवास केलेला मार्ग सुरुवातीच्या वेगाच्या प्रमाणात आहे. म्हणून, उच्च क्षैतिज प्रारंभिक गतीने, शरीर ज्या बाजूने पडते तो पॅराबोला क्षैतिज दिशेने अधिक लांब असतो. जर क्षैतिज नळीतून पाण्याचा प्रवाह सोडला गेला (चित्र 177), तर पाण्याचे वैयक्तिक कण, बॉलप्रमाणे, पॅराबोलाच्या बाजूने फिरतील. ज्या नळातून पाणी नलिकेत प्रवेश करते तो नळ जितका अधिक उघडा तितका पाण्याचा प्रारंभिक वेग जास्त आणि टॅपमधून प्रवाह क्युवेटच्या तळाशी पोहोचतो. जेटच्या मागे पूर्व-रेखांकित पॅराबोलासह स्क्रीन ठेवून, आपण खात्री करू शकता की वॉटर जेटला खरोखरच पॅराबोलाचा आकार आहे.

किनेमॅटिक्स सोपे केले!

फेकल्यानंतर, उड्डाण करताना, गुरुत्वाकर्षण शक्ती शरीरावर कार्य करते फूटआणि हवाई प्रतिकार शक्ती Fс.
जर शरीर कमी वेगाने फिरत असेल तर गणना करताना हवेच्या प्रतिकार शक्तीचा विचार केला जात नाही.
म्हणून, आपण असे गृहीत धरू शकतो की केवळ गुरुत्वाकर्षण शक्ती शरीरावर कार्य करते, म्हणजे फेकलेल्या शरीराची हालचाल मुक्तपणे पडणे.
जर हे फ्री फॉल असेल तर फेकलेल्या शरीराचा प्रवेग फ्री फॉलच्या प्रवेग सारखा आहे g.
पृथ्वीच्या पृष्ठभागाच्या सापेक्ष कमी उंचीवर, गुरुत्वाकर्षण शक्ती Ft व्यावहारिकपणे बदलत नाही, म्हणून शरीर सतत प्रवेग सह हलते.

तर, क्षितिजाच्या कोनात फेकलेल्या शरीराची हालचाल फ्री फॉलचा एक प्रकार आहे, म्हणजे. स्थिर प्रवेग आणि वक्र मार्गासह गती(वेग आणि प्रवेग वेक्टर दिशेने जुळत नसल्यामुळे).

वेक्टर स्वरूपात या हालचालीसाठी सूत्रे: शरीराच्या हालचालीची गणना करण्यासाठी, आयताकृती XOY समन्वय प्रणाली निवडली जाते, कारण शरीराचा मार्ग म्हणजे विमानात पडलेला पॅराबोला Ft आणि Vo या वेक्टरमधून जातो.
कोऑर्डिनेट्सची उत्पत्ती सामान्यतः बिंदू म्हणून निवडली जाते ज्यावर फेकलेले शरीर हलू लागते.

वेळेच्या कोणत्याही क्षणी, दिशेने शरीराच्या हालचालींच्या गतीतील बदल प्रवेगशी जुळतात.

प्रक्षेपणाच्या कोणत्याही बिंदूवर शरीराचा वेग वेक्टर 2 घटकांमध्ये विघटित केला जाऊ शकतो: वेक्टर V x आणि सदिश V y.
कोणत्याही क्षणी, शरीराचा वेग या वेक्टरच्या भौमितिक बेरीज म्हणून निर्धारित केला जाईल:

आकृतीनुसार, OX आणि OY समन्वय अक्षांवर वेग वेक्टरचे अंदाज यासारखे दिसतात:

कोणत्याही वेळी शरीराच्या गतीची गणना:

कोणत्याही वेळी शरीराच्या हालचालीची गणना:

शरीराच्या हालचालीच्या मार्गातील प्रत्येक बिंदू X आणि Y समन्वयांशी संबंधित आहे:

कोणत्याही वेळी फेकलेल्या शरीराच्या निर्देशांकांसाठी गणना सूत्रे:

गतीच्या समीकरणावरून, कमाल फ्लाइट श्रेणी L ची गणना करण्यासाठी सूत्रे काढली जाऊ शकतात:

आणि कमाल उड्डाण उंची H:

P.S.
1. समान प्रारंभिक वेग Vo सह, उड्डाण श्रेणी:
- प्रारंभिक फेकण्याचा कोन 0 o वरून 45 o पर्यंत वाढल्यास वाढते,
- प्रारंभिक फेकण्याचा कोन 45 o वरून 90 o पर्यंत वाढल्यास कमी होतो.

2. समान प्रारंभिक फेकण्याच्या कोनात, फ्लाइट श्रेणी L वाढत्या प्रारंभिक वेग Vo सह वाढते.

3. क्षैतिज कोनात फेकलेल्या शरीराच्या हालचालीचे एक विशेष प्रकरण आहे क्षैतिजरित्या फेकलेल्या शरीराची हालचाल, तर प्रारंभिक फेकण्याचा कोन शून्य आहे.

अद्यतनित:

अनेक उदाहरणे वापरून (जे मी सुरुवातीला नेहमीप्रमाणे, otvet.mail.ru वर सोडवले होते), प्राथमिक बॅलिस्टिक्सच्या समस्यांचा एक वर्ग विचारात घ्या: शरीराचे उड्डाण क्षितिजाच्या एका कोनात एका विशिष्ट प्रारंभिक गतीने सुरू होते, न घेता. खाते हवा प्रतिकार आणि पृथ्वीच्या पृष्ठभागाची वक्रता (म्हणजेच दिशा आपण गृहीत धरतो की फ्री फॉल प्रवेग वेक्टर g अपरिवर्तित राहतो).

कार्य १.एखाद्या शरीराची उड्डाण श्रेणी पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरील त्याच्या उड्डाणाच्या उंचीइतकी असते. शरीर कोणत्या कोनात फेकले जाते? (काही कारणास्तव काही स्त्रोत चुकीचे उत्तर देतात - 63 अंश).

आपण उड्डाणाची वेळ 2*t म्हणून दर्शवू (नंतर t दरम्यान शरीर वर येते आणि पुढील मध्यांतर t दरम्यान ते खाली येते). वेगाचा क्षैतिज घटक V1 आणि अनुलंब घटक V2 असू द्या. नंतर फ्लाइट रेंज S = V1*2*t. फ्लाइटची उंची H = g*t*t/2 = V2*t/2. आम्ही बरोबरी करतो
S=H
V1*2*t = V2*t/2
V2/V1 = 4
उभ्या आणि क्षैतिज गतींचे गुणोत्तर हे इच्छित कोनाचे स्पर्शक आहे α, ज्यापासून α = आर्कटान(4) = 76 अंश.

कार्य २.पृथ्वीच्या पृष्ठभागावरून क्षितिजापर्यंत α कोनात V0 वेगाने शरीर फेकले जाते. शरीराच्या प्रक्षेपणाच्या वक्रतेची त्रिज्या शोधा: अ) हालचालीच्या सुरूवातीस; b) मार्गाच्या वरच्या बिंदूवर.

दोन्ही प्रकरणांमध्ये, वक्र गतीचा स्त्रोत गुरुत्वाकर्षण आहे, म्हणजेच, अनुलंब खाली दिशेने निर्देशित केलेल्या फ्री फॉल g चे प्रवेग. येथे फक्त आवश्यक आहे ते प्रक्षेपण g वर्तमान गती V ला लंबवत शोधणे आणि ते केंद्राभिमुख प्रवेग V^2/R शी समीकरण करणे, जेथे R वक्रतेची इच्छित त्रिज्या आहे.

आकृतीवरून पाहिल्याप्रमाणे, चळवळ सुरू करण्यासाठी आपण लिहू शकतो
gn = g*cos(a) = V0^2/R
कुठून आवश्यक त्रिज्या R = V0^2/(g*cos(a))

प्रक्षेपणाच्या वरच्या बिंदूसाठी (आकृती पहा) आपल्याकडे आहे
g = (V0*cos(a))^2/R
कुठून R = (V0*cos(a))^2/g

कार्य 3. (थीमवर भिन्नता)प्रक्षेपणास्त्र h उंचीवर क्षैतिजरित्या हलले आणि दोन समान तुकड्यांमध्ये स्फोट झाला, त्यापैकी एक स्फोटानंतर t1 च्या वेळी जमिनीवर पडला. पहिला तुकडा पडल्यानंतर दुसरा तुकडा किती वेळ पडेल?

पहिल्या तुकड्याला V कितीही अनुलंब वेग प्राप्त होईल, दुसरा समान उभ्या वेग प्राप्त करेल, परंतु विरुद्ध दिशेने निर्देशित करेल (हे तुकड्यांचे समान वस्तुमान आणि संवेग संवर्धनामुळे होते). याव्यतिरिक्त, V खाली निर्देशित केला जातो, कारण अन्यथा दुसरा तुकडा पहिल्याच्या आधी जमिनीवर उडेल.

h = V*t1+g*t1^2/2
V = (h-g*t1^2/2)/t1
दुसरा वरच्या दिशेने उड्डाण करेल, V/g नंतर उभ्या गती गमावेल आणि नंतर त्याच वेळेनंतर ते सुरुवातीच्या उंचीवर खाली उडेल आणि पहिल्या तुकड्याच्या तुलनेत त्याची विलंब वेळ t2 असेल (त्या क्षणापासून उड्डाणाची वेळ नाही. स्फोट) असेल
t2 = 2*(V/g) = 2h/(g*t1)-t1

अपडेटेड 2018-06-03

कोट:
एक दगड 10 मीटर/से वेगाने 60° च्या कोनात क्षैतिज दिशेने फेकला जातो. हालचाली सुरू झाल्यानंतर 1.0 s नंतर शरीराची स्पर्शिका आणि सामान्य प्रवेग, या वेळी प्रक्षेपणाच्या वक्रतेची त्रिज्या, फ्लाइटचा कालावधी आणि श्रेणी निश्चित करा. t = 1.0 s वर वेग वेक्टरसह एकूण प्रवेग वेक्टर कोणता कोन बनवतो

प्रारंभिक क्षैतिज वेग Vg = V*cos(60°) = 10*0.5 = 5 m/s, आणि तो संपूर्ण फ्लाइटमध्ये बदलत नाही. आरंभिक अनुलंब वेग Vв = V*sin(60°) = 8.66 m/s. सर्वोच्च बिंदूवर फ्लाइटची वेळ t1 = Vв/g = 8.66/9.8 = 0.884 सेकंद, म्हणजे संपूर्ण फ्लाइटचा कालावधी 2*t1 = 1.767 सेकंद आहे. या वेळी, शरीर क्षैतिजरित्या Vg*2*t1 = 8.84 मीटर (फ्लाइट रेंज) उडेल.

1 सेकंदानंतर, अनुलंब गती 8.66 - 9.8*1 = -1.14 m/s (खाली दिशेने) असेल. याचा अर्थ क्षितिजाकडे गतीचा कोन आर्कटान (1.14/5) = 12.8° (खाली) असेल. येथे एकूण प्रवेग हा एकमेव आणि स्थिर असल्यामुळे (हे मुक्त पडण्याचे प्रवेग आहे g, अनुलंब खालच्या दिशेने निर्देशित), नंतर शरीराच्या गतीमधील कोन आणि gया वेळी 90-12.8 = 77.2° असेल.

स्पर्शिक प्रवेग एक प्रक्षेपण आहे gवेग वेक्टरच्या दिशेकडे, ज्याचा अर्थ g*sin(12.8) = 2.2 m/s2. सामान्य प्रवेग हे वेग वेक्टरला लंब असलेले प्रोजेक्शन आहे g, ते g*cos(12.8) = 9.56 m/s2 च्या बरोबरीचे आहे. आणि नंतरचा V^2/R अभिव्यक्तीद्वारे वक्रतेच्या गती आणि त्रिज्याशी संबंधित असल्याने, आपल्याकडे 9.56 = (5*5 + 1.14*1.14)/R आहे, जेथून इच्छित त्रिज्या R = 2.75 मी.

जर वेग \(~\vec \upsilon_0\) अनुलंब निर्देशित केला नसेल, तर शरीराची हालचाल वक्र असेल.

उंचीवरून क्षैतिजरित्या फेकलेल्या शरीराच्या हालचालीचा विचार करा hगतीसह \(~\vec \upsilon_0\) (चित्र 1). आम्ही हवेच्या प्रतिकाराकडे दुर्लक्ष करू. हालचालीचे वर्णन करण्यासाठी, दोन समन्वय अक्ष निवडणे आवश्यक आहे - बैलआणि ओय. निर्देशांकांची उत्पत्ती शरीराच्या प्रारंभिक स्थितीशी सुसंगत आहे. आकृती 1 वरून हे स्पष्ट होते υ 0x = υ 0 , υ 0y = 0, g x = 0, g y = g.

मग शरीराच्या गतीचे वर्णन समीकरणांद्वारे केले जाईल:

\(~\upsilon_x = \upsilon_0,\ x = \upsilon_0 t; \qquad (1)\) \(~\upsilon_y = gt,\ y = \frac(gt^2)(2). \qquad (2) \)

या सूत्रांचे विश्लेषण असे दर्शविते की क्षैतिज दिशेने शरीराची गती अपरिवर्तित राहते, म्हणजे शरीर एकसारखे हलते. उभ्या दिशेने, शरीर प्रवेग \(~\vec g\) सह एकसमान हलते, म्हणजे, प्रारंभिक गतीशिवाय मुक्तपणे खाली पडणाऱ्या शरीराप्रमाणे. चला प्रक्षेपण समीकरण शोधू. हे करण्यासाठी, समीकरण (1) वरून आपण वेळ शोधतो \(~t = \frac(x)(\upsilon_0)\) आणि, त्याचे मूल्य सूत्र (2) मध्ये बदलून, आपल्याला \[~y = \frac( मिळते. g)(2 \ upsilon^2_0) x^2\] .

हे पॅराबोलाचे समीकरण आहे. परिणामी, क्षैतिजरित्या फेकलेले शरीर पॅराबोलाच्या बाजूने फिरते. कोणत्याही क्षणी शरीराचा वेग हा पॅराबोलाकडे स्पर्शिकपणे निर्देशित केला जातो (चित्र 1 पहा). पायथागोरियन प्रमेय वापरून वेग मॉड्यूलची गणना केली जाऊ शकते:

\(~\upsilon = \sqrt(\upsilon^2_x + \upsilon^2_y) = \sqrt(\upsilon^2_0 + (gt)^2).\)

उंची जाणून घेणे hज्याने शरीर फेकले जाते, वेळ सापडतो ट 1 ज्याद्वारे शरीर जमिनीवर पडेल. या क्षणी समन्वय yउंचीच्या समान: y 1 = h. समीकरण (2) वरून आपल्याला\[~h = \frac(gt^2_1)(2)\] सापडतो. येथून

\(~t_1 = \sqrt(\frac(2h)(g)). \qquad (3)\)

सूत्र (3) शरीराच्या उड्डाणाची वेळ ठरवते. या वेळी शरीर आडव्या दिशेने एक अंतर प्रवास करेल l, ज्याला फ्लाइट रेंज म्हणतात आणि जे सूत्र (1) च्या आधारे आढळू शकते, ते लक्षात घेऊन l 1 = x. म्हणून, \(~l = \upsilon_0 \sqrt(\frac(2h)(g))\) ही शरीराची उड्डाण श्रेणी आहे. या क्षणी शरीराच्या वेगाचे मापांक \(~\upsilon_1 = \sqrt(\upsilon^2_0 + 2gh)\) आहे.

साहित्य

अक्सेनोविच एल.ए. माध्यमिक शाळेत भौतिकशास्त्र: सिद्धांत. कार्ये. चाचण्या: पाठ्यपुस्तक. सामान्य शिक्षण देणाऱ्या संस्थांसाठी फायदे. पर्यावरण, शिक्षण / L. A. Aksenovich, N. N. Rakina, K. S. Farino; एड. के.एस. फारिनो. - Mn.: Adukatsiya i vyhavanne, 2004. - P. 15-16.

एखादे शरीर एका गतीने α क्षैतिज कोनात फेकले जाऊ द्या. मागील प्रकरणांप्रमाणे, आम्ही हवेच्या प्रतिकाराकडे दुर्लक्ष करू. हालचालीचे वर्णन करण्यासाठी, दोन समन्वय अक्ष निवडणे आवश्यक आहे - ऑक्स आणि ओय (चित्र 29).

अंजीर.29

संदर्भ बिंदू शरीराच्या प्रारंभिक स्थितीशी सुसंगत आहे. Oy आणि Ox अक्षांवर प्रारंभिक वेगाचे अनुमान: , . प्रवेग प्रक्षेपण: ,

मग शरीराच्या गतीचे वर्णन समीकरणांद्वारे केले जाईल:

(8)

(9)

या सूत्रांवरून असे दिसून येते की क्षैतिज दिशेने शरीर एकसारखे हलते, आणि उभ्या दिशेने - एकसमान प्रवेगक.

शरीराचा मार्ग एक पॅराबोला असेल. पॅराबोलाच्या वरच्या बिंदूवर, शरीराला पॅराबोलाच्या वरच्या बिंदूवर जाण्यासाठी लागणारा वेळ आपण शोधू शकतो:

t 1 चे मूल्य समीकरण (8) मध्ये बदलून, आपल्याला शरीराची कमाल उंची आढळते:

शरीराची कमाल उचलण्याची उंची.

t=t 2 चे समन्वय y 2 =0 या स्थितीवरून आपल्याला शरीराची उड्डाण वेळ सापडतो. त्यामुळे, . म्हणून, - शरीराच्या उड्डाणाची वेळ. या सूत्राची सूत्र (१०) शी तुलना केल्यास, आपण पाहतो की t 2 =2t 1.

जास्तीत जास्त उंचीवरून शरीराच्या हालचालीची वेळ t 3 =t 2 -t 1 =2t 1 -t 1 =t 1 आहे. परिणामी, शरीराला त्याच्या कमाल उंचीवर जाण्यासाठी जितका वेळ लागतो, तितकाच वेळ या उंचीवरून खाली उतरायला लागतो. वेळ मूल्य t 2 ला x समन्वय समीकरण (6) मध्ये बदलून, आम्हाला आढळते:

- शरीर फ्लाइट श्रेणी.

प्रक्षेपकाच्या कोणत्याही बिंदूवरील तात्काळ गती प्रक्षेपकाला स्पर्शिकपणे निर्देशित केली जाते (चित्र 29 पहा), वेग मॉड्यूल सूत्राद्वारे निर्धारित केले जाते

अशा प्रकारे, क्षितिजाच्या कोनात किंवा क्षैतिज दिशेने फेकलेल्या शरीराची हालचाल दोन स्वतंत्र हालचालींचा परिणाम मानली जाऊ शकते - क्षैतिज एकसमान आणि अनुलंब एकसमान प्रवेग (प्रारंभिक गतीशिवाय मुक्त होणे किंवा अनुलंब फेकलेल्या शरीराची हालचाल). ऊर्ध्वगामी).

किनेमॅटिक समस्यांचे ध्येय काय असू शकते याचा विचार करूया.

1. मधील किनेमॅटिक परिमाणांमधील बदलामध्ये आम्हाला स्वारस्य असू शकते हालचालीची प्रक्रिया, म्हणजे निर्देशांक, वेग, प्रवेग, तसेच संबंधित कोनीय मूल्यांमधील बदलांबद्दल माहिती मिळवणे.

2. अनेक समस्यांमध्ये, उदाहरणार्थ, क्षितिजाच्या कोनात शरीराच्या हालचालींच्या समस्येमध्ये, भौतिक प्रमाणांच्या मूल्यांबद्दल जाणून घेणे आवश्यक आहे. विशिष्ट परिस्थिती: फ्लाइट रेंज, कमाल लिफ्ट इ.

3. ज्या प्रकरणांमध्ये शरीर एकाच वेळी अनेक हालचालींमध्ये भाग घेते (उदाहरणार्थ, बॉलचे रोलिंग) किंवा अनेक शरीरांच्या सापेक्ष गतीचा विचार केला जातो, तेव्हा विस्थापन, वेग आणि प्रवेग (रेखीय आणि कोनीय) यांच्यातील संबंध स्थापित करणे आवश्यक होते. म्हणजे समीकरणे शोधा किनेमॅटिक कनेक्शन.

विविध प्रकारच्या किनेमॅटिक्स समस्या असूनही, त्यांचे निराकरण करण्यासाठी खालील अल्गोरिदम प्रस्तावित केले जाऊ शकते:

1. एक योजनाबद्ध रेखाचित्र बनवा, शरीराची प्रारंभिक स्थिती आणि त्यांची प्रारंभिक स्थिती दर्शविते, म्हणजे. आणि .

2. समस्या परिस्थितीच्या विश्लेषणावर आधारित एक संदर्भ प्रणाली निवडा. हे करण्यासाठी, तुम्हाला एक संदर्भ मुख्य भाग निवडणे आवश्यक आहे आणि त्याच्याशी समन्वय प्रणाली संबद्ध करणे आवश्यक आहे, निर्देशांकांची उत्पत्ती, समन्वय अक्षांची दिशा आणि वेळेच्या संदर्भाच्या सुरूवातीचा क्षण दर्शविते. सकारात्मक दिशानिर्देश निवडताना, ते हालचालीच्या दिशेने (वेग) किंवा प्रवेगच्या दिशेने निर्देशित केले जातात.

3. गतीच्या नियमांच्या आधारे, सर्व शरीरांसाठी वेक्टर स्वरूपात समीकरणांची एक प्रणाली तयार करा आणि नंतर स्केलर स्वरूपात, गतीची ही वेक्टर समीकरणे समन्वय अक्षांवर प्रक्षेपित करा. ही समीकरणे लिहिताना, तुम्ही त्यात समाविष्ट असलेल्या वेक्टर प्रमाणांच्या अंदाजांच्या “+” आणि “-” चिन्हांकडे लक्ष दिले पाहिजे.

4. उत्तर विश्लेषणात्मक सूत्राच्या स्वरूपात (सर्वसाधारण स्वरूपात) मिळणे आवश्यक आहे आणि शेवटी, संख्यात्मक गणना करणे आवश्यक आहे.

उदाहरण ४. 54 किमी/तास वेगाने प्रवास करणाऱ्या ट्रेनच्या खिडकीवर बसलेल्या प्रवाशाला किती वेळ येणारी ट्रेन जवळून जाताना दिसेल, ज्याचा वेग 36 किमी/तास आहे आणि तिची लांबी 250 मीटर आहे?

उपाय.आम्ही निश्चित फ्रेम ऑफ रेफरन्सला पृथ्वीशी जोडू आणि प्रवासी ज्या ट्रेनमध्ये आहे त्या ट्रेनशी आम्ही जोडू. वेग जोडण्याच्या कायद्यानुसार, येणाऱ्या ट्रेनचा वेग पहिल्याच्या तुलनेत कुठे आहे. ऑक्स अक्षावरील अंदाजांमध्ये:

पहिल्या मार्गाच्या तुलनेत येणाऱ्या ट्रेनने प्रवास केलेला मार्ग रेल्वेच्या लांबीएवढा असल्याने, नंतर वेळ

उदाहरण ५.स्टीमरला निझनी नोव्हगोरोड ते आस्ट्रखान पर्यंत ५.० दिवस लागतात आणि ७.० दिवस मागे. निझनी नोव्हगोरोड ते आस्ट्रखान पर्यंत राफ्ट किती काळ प्रवास करेल? पार्किंग आणि रहदारीला होणारा विलंब टाळा.

दिलेले: t 1 = 5 दिवस, t 2 = 7 दिवस.

उपाय.आम्ही रेफरन्सची निश्चित फ्रेम किनाऱ्याशी आणि फिरणारी फ्रेम पाण्याशी जोडू. आपण असे गृहीत धरू की संपूर्ण प्रवासात पाण्याचा वेग सारखाच आहे आणि पाण्याच्या सापेक्ष स्टीमशिपचा वेग हा पाण्याच्या सापेक्ष वाफेच्या तात्काळ वेगाच्या मॉड्यूलसच्या बरोबरीचा आहे.

तराफा नदीच्या प्रवाहाच्या वेगाने किनाऱ्याच्या सापेक्ष पुढे जात असल्याने, त्याच्या हालचालीचा वेळ आहे, जेथे s हे शहरांमधील अंतर आहे. जेव्हा वाफेचे जहाज विद्युतप्रवाहासोबत फिरते तेव्हा त्याचा वेग वेग जोडण्याच्या नियमानुसार किंवा ऑक्स अक्षावरील अंदाजानुसार असतो:

जहाजाचा वेग किनाऱ्याच्या सापेक्ष कुठे आहे, नदीच्या सापेक्ष जहाजाचा वेग आहे.

हालचालीची वेळ जाणून घेतल्यास, आपण वेग शोधू शकता:

(१) आणि (२) सूत्रांमधून आपल्याकडे आहे:

जेव्हा जहाज प्रवाहाच्या विरुद्ध किंवा ऑक्स अक्षावर प्रक्षेपणात फिरत असते, तेव्हा जहाजाचा वेग किनाऱ्याच्या सापेक्ष कुठे असतो.

दुसऱ्या बाजूला, . मग

साठी (3) आणि (4) समीकरणांची प्रणाली सोडवताना, आम्हाला मिळते:

चला तराफाच्या हालचालीची वेळ शोधूया:

उदाहरण 6.एकसमान प्रवेगक गतीसह, शरीर अनुक्रमे s 1 = 24 m आणि s 2 = 64 m या मार्गांवरून पहिल्या दोन समान सलग कालावधीत, प्रत्येकी 4.0 s ने प्रवास करते. शरीराचा प्रारंभिक वेग आणि प्रवेग निश्चित करा.

दिलेले: t 1 =t 2 = 4.0 s, s 1 =24 m, s 2 = 64 m.

उपाय.आपण अनुक्रमे s 1 आणि (s 1 + s 2) साठी पथ समीकरणे लिहू. या प्रकरणात प्रारंभिक गती समान असल्याने, नंतर

t1=t2 पासून, नंतर

(1) वरून व्यक्त करून (2) मध्ये बदलून, आम्हाला मिळते:

मग प्रारंभिक गती

उदाहरण 7. 5.0 m/s च्या प्रारंभिक गतीने एकसमान गतीने जाणारी कार, पहिल्या सेकंदात 6.0 मीटर अंतर कापते, दुसऱ्या सेकंदाच्या शेवटी तात्कालिक वेग शोधा 2.0 s मध्ये विस्थापन.

उपाय.पहिल्या सेकंदात शरीराने प्रवास केलेला मार्ग जाणून घेतल्यास, आपण प्रवेग शोधू शकता:

आपण सूत्र वापरून दुसऱ्या सेकंदाच्या शेवटी गती शोधतो

उदाहरण 8. एक्स) मध्ये x = A + Bt + Ct 3 आहे, जेथे A = 4 m, B = 2 m/s, C = -0.5 m/s 3.

वेळ t 1 =2 s, निश्चित करा: 1) बिंदू x 1 बिंदूचा समन्वय; 2) तात्काळ वेग v 1; 3) त्वरित प्रवेग a 1.

दिलेले: x = A + Bt + Ct 3, A = 4 m, B = 2 m/s, C = -0.5 m/s 3, t 1 = 2 s.

शोधा: x 1; v 1 ; a 1.

उपाय. 1. गतीच्या समीकरणात t ऐवजी निर्दिष्ट वेळ मूल्य t 1 बदला: x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 3. या अभिव्यक्तीमध्ये A, B, C, t 1 ही मूल्ये बदलू आणि गणना करू: x 1 = 4 m.

2. तात्काळ गती: नंतर t 1 वेळी तात्काळ वेग v 1 = B + 3Ct 1 2 असतो. येथे B, C, t 1: v 1 = – 4 m/s ची मूल्ये बदलू. वजा चिन्ह सूचित करते की t 1 =2 s वेळी बिंदू समन्वय अक्षाच्या नकारात्मक दिशेने जात आहे.

3. झटपट प्रवेग: t 1 वेळी तात्काळ प्रवेग 1 = 6Сt 1 च्या बरोबरीचा असतो. C, t 1: a 1 = –6 m/s 2 ची मूल्ये बदलू. वजा चिन्ह सूचित करते की प्रवेग वेक्टरची दिशा निर्देशांक अक्षाच्या नकारात्मक दिशेशी एकरूप आहे आणि या समस्येच्या परिस्थितीत हे कोणत्याही क्षणी घडते.

उदाहरण ९.एका सरळ रेषेसह भौतिक बिंदूच्या गतीचे किनेमॅटिक समीकरण (अक्ष एक्स) मध्ये x = A + Bt + Ct 2 आहे, जेथे A = 5 m, B = 4 m/s, C = -1 m/s 2. t 1 =1 s ते t 2 =6 s या वेळेच्या अंतरासाठी सरासरी वेग v xsr निश्चित करा.

दिलेले: x = A + Bt + Ct 2, A = 5 m, B = 4 m/s, C = - 1 m/s 2, t 1 = 1 s, t 2 = 6 s.

शोधा: v xsr -? आणि khsr -?

उपाय. t 2 -t 1 या कालावधीतील सरासरी गती v cf = (x 2 - x 1)/(t 2 - t 1) या अभिव्यक्तीद्वारे निर्धारित केली जाते.

x 1 = A + Bt 1 + Ct 1 2 = 8 m, x 2 = A + Bt 2 + Ct 2 2 = –7 मी.

चला x 1, x 2, t 1, t 2 मूल्ये बदलू आणि गणना करू: v xsr = -3 m/s.

उदाहरण 10. h = 300 मीटर उंचीवर असलेल्या हेलिकॉप्टरमधून भार टाकण्यात आला. मालवाहू जमिनीवर पोहोचण्यासाठी किती वेळ लागेल जर: अ) हेलिकॉप्टर स्थिर असेल; b) हेलिकॉप्टर v 0 = 5 m/s वेगाने खाली उतरते; 3) हेलिकॉप्टर v 0 = 5 m/s वेगाने वर येते. s(t), v(t) आणि a(t) अक्षांमधील लोडच्या संबंधित हालचालींचे ग्राफिकरित्या वर्णन करा.

उपाय.अ) स्थिर हेलिकॉप्टरमधून निघणारा भार मुक्तपणे पडतो, म्हणजे. गुरुत्वाकर्षण g च्या प्रवेग सह एकसमान हालचाल करते. आम्ही या संबंधातून हालचालीची वेळ शोधू: आकृतीमध्ये ऑब्जेक्टच्या हालचालीचे आलेख 1 चिन्हांकित केले आहेत.

b) हेलिकॉप्टरमधून बाहेर पडणाऱ्या लोडची हालचाल, जी स्थिर गती v 0 = 5 m/s ने खाली येत आहे, स्थिर प्रवेग g सह एकसमान प्रवेगक हालचाल आहे आणि समीकरणाद्वारे वर्णन केले आहे

संख्यात्मक मूल्ये बदलल्याने 9.8t 2 +10t-600=0 हे समीकरण मिळते.

नकारात्मक परिणामाचा भौतिक अर्थ नाही, म्हणून हालचालीची वेळ t=7.57 s आहे.

आकृतीमध्ये ऑब्जेक्टच्या हालचालीचे आलेख 2 चिन्हांकित केले आहेत.

3) हेलिकॉप्टरमधून निघालेल्या मालवाहू हालचाली, जी स्थिर गती v 0 =5 m/s ने वाढते, त्यात दोन टप्पे असतात. पहिल्या टप्प्यावर, भार स्थिर प्रवेग g सह तितकाच मंद गतीने सरकतो, वेगाच्या विरुद्ध निर्देशित केला जातो आणि समीकरणांद्वारे वर्णन केले जाते.

प्रक्षेपणाच्या वरच्या बिंदूवर, गती शून्य होते, म्हणून

प्रणालीचे दुसरे समीकरण पहिल्यामध्ये बदलून, आपल्याला मिळते

दुस-या टप्प्यावर - h 0 =h+h 1 =300+1.28=301.28 मीटर उंचीवरून फ्री फॉल.

कारण द

आकृतीमध्ये ऑब्जेक्टच्या हालचालीचे आलेख 3 चिन्हांकित केले आहेत.

उदाहरण 11.जमिनीच्या सापेक्ष 2 m/s च्या स्थिर गतीने 18 m/s च्या वेगाने खाली उतरणाऱ्या फुग्यावरून भार उभ्याने वर फेकला जातो. जेव्हा लोड त्याच्या वाढीच्या सर्वोच्च बिंदूवर पोहोचतो तेव्हा बॉल आणि लोडमधील अंतर निश्चित करा. चेंडूवरून उडून खाली पडायला किती वेळ लागेल?

दिलेले: v 01 = 2 m/s, v 02 = 18 m/s

शोधा: s-? τ -?

उपाय.चला 0Y अक्ष अनुलंब वरच्या दिशेने निर्देशित करूया, मूळ बिंदू 0 शी सुसंगत आहे, जेथे भार टाकला गेला त्या क्षणी चेंडू होता.

मग मालवाहू आणि फुग्याच्या गतीची समीकरणे आहेत:

लोडच्या हालचालीचा वेग v 2 = v 02 – gt या नियमानुसार बदलतो.

लोड उचलण्याच्या सर्वोच्च बिंदू B वर v 2 =0. नंतर या बिंदूपर्यंत वाढण्याची वेळ बिंदू B वरील लोडचा समन्वय

या वेळी, फुगा बिंदू A वर खाली आला; त्याचे समन्वय

बिंदू A आणि B मधील अंतर:

काही कालावधीनंतर τ, जेव्हा दगड चेंडूवरून उडतो, तेव्हा शरीराचे निर्देशांक समान असतील: y 1C = y 2C;

उदाहरण 12.उड्डाण करताना वायव्य वारा 30° च्या कोनात मेरिडियनला 27 किमी/तास वेगाने वाहतो तर दोन तासात 300 किमी उत्तरेकडे उड्डाण करण्यासाठी विमान कोणत्या वेगाने आणि कोणत्या मार्गाने उड्डाण करावे?

दिलेले: t=7.2∙10 3 s; l=3∙10 5 मी; α=30° ≈ 0.52 rad; v 2 ≈7.2 मी/से.

शोधा: v 2 -? φ -?

उपाय.जमिनीशी संबंधित संदर्भ चौकटीत विमानाच्या हालचालीचा विचार करू.

चला OX अक्ष पूर्व दिशेला आणि OY अक्ष उत्तर दिशेला काढू. मग निवडलेल्या संदर्भ फ्रेममध्ये विमानाचा वेग

जेथे v= l/t (2)

समीकरण (1) अक्षावरील प्रोजेक्शनमध्ये

OX: 0=v 1 ∙sinα – v 2 ∙sinφ;

OY: v= v 2 ∙cosφ - v 1 ∙cosα, किंवा v 1 ∙sinα = v 2 ∙sinφ, v 2 ∙cosφ=v 1 ∙cosα + v (3)

ही समीकरणे पदानुसार विभागली असता, आपल्याला tanφ=v 1 sinα/(v 1 cosα+ v) प्राप्त होते.

किंवा विचारात घेऊन (2)

tgφ=v 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/ट);

φ=arctgv 1 ∙sinα/(v 1 ∙cosα+ l/t) ≈0.078 rad.

समीकरणांच्या उजव्या आणि डाव्या बाजूंचे वर्गीकरण करून (3) आणि परिणामी समीकरणे जोडून, ​​आपल्याला आढळते

v 2 2 ∙sin 2 φ + v 2 2 ∙cos 2 φ = v 1 2 sin 2 α+ (v 1 ∙cosα + v) 2 ,

कुठून, किंवा विचारात घेऊन (२)

उदाहरण 13.अनुलंब वर फेकलेले शरीर t=3 s नंतर जमिनीवर परत येते. शरीराच्या वाढीची उंची आणि त्याचा प्रारंभिक वेग शोधा.

उपाय.शरीराची ऊर्ध्वगामी हालचाल तितकीच मंद आणि प्रवेगक असते - gआणि कालांतराने घडते ट 1, आणि अधोगामी हालचाल त्वरण g सह समान रीतीने प्रवेगित होते आणि कालांतराने होते ट 2. AB आणि BA विभागातील हालचालींचे वर्णन करणारी समीकरणे एक प्रणाली तयार करतात:

v B =0 पासून, नंतर v 0 =gt 1. प्रणालीच्या पहिल्या समीकरणामध्ये v 0 च्या जागी, आपल्याला मिळते. जर आपण या अभिव्यक्तीची तुलना प्रणालीच्या तिसऱ्या समीकरणाशी केली, तर आपण असा निष्कर्ष काढू शकतो की चढाईची वेळ t 1 =t 2 =t/2=1.5s या उतरत्या वेळेच्या समान आहे. सुरुवातीचा वेग आणि लँडिंगचा वेग एकमेकांच्या बरोबरीचा आहे आणि त्याचे प्रमाण v 0 =v A =gt 1 =9.8∙1.5=14.7 m/s आहे.

शरीर उचलण्याची उंची

उदाहरण 14.हालचालीच्या शेवटच्या सेकंदात, मुक्तपणे घसरणारे शरीर अर्धे अंतर पार केले आहे. ज्या उंचीवरून ते फेकले जाते आणि हालचालीची वेळ शोधा.

उपाय.मुक्तपणे पडणाऱ्या शरीरासाठी वेळेवर प्रवास केलेल्या अंतराचे अवलंबित्व. सेक्शन BC, संपूर्ण मार्गाचा अर्धा भाग, 1 s च्या बरोबरीच्या वेळेत व्यापलेला असल्याने, नंतर मार्ग AB चा पहिला अर्धा भाग वेळेत (t-1) s मध्ये व्यापला गेला. मग विमान विभागावरील हालचालीचे वर्णन केले जाऊ शकते.

प्रणाली सोडवणे

आम्हाला t 2 -4t+2=0 मिळेल. या समीकरणाची मुळे t 1 = 3.41 s आणि t 2 = 0.59 s आहेत. दुसरे रूट योग्य नाही, कारण समस्येच्या परिस्थितीवर आधारित हालचालीचा वेळ एका सेकंदापेक्षा जास्त असणे आवश्यक आहे. परिणामी, शरीर 3.41 सेकंदांपर्यंत खाली पडले आणि यावेळी काही अंतर कापले

उदाहरण 15. 25 मीटर उंच टॉवरवरून 15 मीटर/से वेगाने दगड आडवा फेकला जातो.

शोधा: 1) दगड किती काळ गतीमान असेल, 2) किती अंतरावर तो जमिनीवर पडेल, 3) तो कोणत्या वेगाने जमिनीवर पडेल, 4) दगडाचा प्रक्षेपण कोणत्या कोनातून होईल? जमिनीवर पडण्याच्या बिंदूवर क्षितिज. हवेच्या प्रतिकाराकडे दुर्लक्ष करा.

दिलेले: H=25 m, v o = 15 m/s

शोधा: t-? s x - ? v - ? φ-?

उपाय.क्षैतिजरित्या फेकलेल्या दगडाची हालचाल दोन भागांमध्ये विघटित केली जाऊ शकते: क्षैतिज s xआणि उभ्या s y:

जेथे ती चळवळीची वेळ आहे.

2) s x =v o t = 33.9 m;

3) v y =gt=22.1m/s;

4) sinφ= v y /v=0.827;

उदाहरण 16. v x = 10 m/s वेगाने 25 मीटर उंच टॉवरवरून शरीर क्षैतिजरित्या फेकले जाते.

शोधा: 1) शरीराच्या घसरण्याची वेळ, 2) किती अंतरावर lटॉवरच्या पायथ्यापासून ते खाली पडेल, 3) फॉलच्या शेवटी वेग v, 4) शरीराचा प्रक्षेपण जमिनीवर उतरण्याच्या बिंदूवर जो कोन करेल.

उपाय.शरीराची हालचाल गुंतागुंतीची आहे. हे क्षैतिजरित्या एकसमान गतीमध्ये भाग घेते आणि त्वरण g अनुलंबपणे एकसमान प्रवेग करते. म्हणून, विभाग AB समीकरणांद्वारे वर्णन केले आहे:

बिंदू A साठी ही समीकरणे फॉर्म घेतात:

मग l=10∙2.26=22.6 मी, आणि v y =9.8∙2.26=22.15 मी/से.

तेंव्हापासून

प्रक्षेपण जमिनीसह जो कोन बनवतो तो बिंदू A मधील गतीच्या त्रिकोणातील φ या कोनाइतका असतो, ज्याची स्पर्शिका , म्हणून φ=68.7°.

उदाहरण 17.क्षैतिज गतीने फेकलेल्या शरीरासाठी v x =10 m/s, हालचाली सुरू झाल्यानंतर t=2 s नंतर, शोधा: सामान्य, स्पर्शिका आणि एकूण प्रवेग, तसेच या बिंदूवरील प्रक्षेपकाच्या वक्रतेची त्रिज्या.

उपाय.अनुलंब वेग घटक v y =gt=9.8∙2=19.6 m/s

बिंदू A वर वेग:

वेक्टर वेगाचा त्रिकोण बनवतात आणि वेक्टर प्रवेगांचा त्रिकोण बनवतात. आकृतीवरून पाहिल्याप्रमाणे, हे त्रिकोण सारखेच आहेत, याचा अर्थ त्यांच्या बाजू आनुपातिक आहेत: .

सामान्य प्रवेग, त्यामुळे प्रक्षेपकाच्या वक्रतेची त्रिज्या

उदाहरण 18. 40° च्या कोनात 10 m/s वेगाने चेंडू आडव्याला टाकला जातो.

शोधा: 1) चेंडू किती उंचीवर जाईल; 2) चेंडू फेकण्याच्या ठिकाणापासून किती अंतरावर जमिनीवर पडेल, 3) तो किती काळ गतीमान असेल.

दिलेले: v o =10 m/s, α=40 o.

शोधा: s y - ? s x - ? ट - ?

उपाय. 1) क्षितिजापर्यंत α या कोनात v o वेगाने फेकले जाणारे शरीर किती उंच होते ते जास्तीत जास्त s y कमाल शोधू या. आमच्याकडे (आकृती पहा):

v y =v o sinα – gt; (१)

s y =v o t∙sinα – gt 2/2. (२)

वरच्या बिंदूवर v y = 0 आणि (1) पासून आपल्याला v o ∙sin𝛼 = gt 1 मिळते, त्यामुळे चेंडू उचलण्याची वेळ t 1 =v o ∙sinα/g. t 1 ला (2) मध्ये बदलल्यास, आपल्याला मिळेल

s y कमाल = v o 2 ∙sin 2 α/(2g)= 2.1 मी.

2) क्षितिजाच्या कोनात फेकलेल्या शरीराची फ्लाइट श्रेणी s x कमाल शोधा.

आमच्याकडे आहे: v x =v o∙cosα , (3)

s x =v x t=v o t∙cosα. (४)

शरीर t 2 =2t 1 =2v o sinα/g नंतर आडव्या विमानावर पडेल.

t 2 ला (4) मध्ये बदलून, आम्हाला s xmax = v o 2 sin2α/ मिळते. g=१०.० मी.

३) t 2 =2t 1 =2v o sinα/g=1.3 s.

उदाहरण 19.शरीराला v 0 = 10 m/s 2 वेगाने α=30° क्षैतिज कोनात फेकले जाते. शरीर किती उंचीवर जाईल? जिथून ते फेकले गेले ते किती अंतरावर जमिनीवर आदळणार? तो किती काळ फिरत असेल?

उपाय.प्रारंभिक वेगाचे क्षैतिज आणि अनुलंब घटक

OA विभागातील हालचाली दोन सोप्या हालचालींमध्ये विघटित केल्या जाऊ शकतात: एकसमान क्षैतिज आणि एकसमान मंद अनुलंब:

बिंदूवर ए

मग आणि

जर एखादे शरीर एकाच वेळी अनेक हालचालींमध्ये भाग घेते, तर ते त्या प्रत्येकामध्ये स्वतंत्रपणे भाग घेते, म्हणून, विभाग एबी मधील हालचालीची वेळ खाली जाण्याच्या वेळेनुसार निर्धारित केली जाते - टी 2. वर जाण्याची वेळ खाली जाण्याच्या वेळेइतकी असते, याचा अर्थ

समान कालावधीत एकसमान क्षैतिज गतीसह, शरीर मार्गाचे समान विभाग पार करते, म्हणून,

फ्लाइटची श्रेणी

शरीर उचलण्याची उंची

उदाहरण 20. x=4(t-2) 2 नियमानुसार बिंदू विमानावर सरळ रेषेत फिरतो. प्रारंभिक वेग v 0 आणि बिंदूचे प्रवेग काय आहेत a? हालचालीच्या पाचव्या सेकंदाच्या सुरूवातीस v t =5 बिंदूचा तात्काळ वेग शोधा.

उपाय.

1) कारण v=x’, नंतर v 0 =(4∙(t-2) 2)’=(4∙(t 2 -4t+4))’=(4t 2 -16t+16)’=8t-16

t=0 v 0 =-16 m/s वर.

2) कारण a= , नंतर a=(8t-16)’=8 मी/से.

3) t=4 वाजता, कारण 5 s सुरू होण्यापूर्वी 4 s पास झाले.

v t =5 =8t-16=8∙4-16=32 मी/से.

उत्तर:बिंदूचा प्रारंभिक वेग v 0 = -16 m/s आहे, प्रवेग a = 8 m/s आहे, हालचालीच्या पाचव्या सेकंदाच्या सुरूवातीस बिंदूचा वेग v t = 5 = 32 m/s आहे.

उदाहरण 21.भौतिक बिंदूच्या हालचालीचे वर्णन समीकरणांद्वारे केले जाते: a) s=αt 3 ; b) s=αt 2 +βt. प्रारंभिक आणि अंतिम गतीची सरासरी गती आणि अंकगणितीय सरासरी यांची तुलना करा v cf वेळेच्या अंतराने 0 - t. येथे α आणि β सकारात्मक स्थिरांक आहेत.

उपाय.चला सरासरी आणि तात्काळ गतीची व्याख्या आठवूया:

गतीचे समीकरण वेगळे करून तात्कालिक गतीसाठी अभिव्यक्ती प्राप्त केली जातात.

सरासरी वेगासाठी अभिव्यक्ती वक्र समन्वयातील बदलाचे गुणोत्तर म्हणून आढळतात:

आम्ही अंकगणित सरासरी गतीसाठी अभिव्यक्ती प्राप्त करतो:

चला समस्येच्या परिस्थितीबद्दल प्रश्नाचे उत्तर देऊया. हे पाहिले जाऊ शकते की "a" च्या बाबतीत सरासरी आणि अंकगणित सरासरी वेग जुळत नाहीत, परंतु "b" च्या बाबतीत ते एकरूप होतात.

उदाहरण 22.एक भौतिक बिंदू वक्र मार्गावर एकसमान हलतो. प्रवेगाच्या कोणत्या बिंदूवर प्रवेग कमाल आहे?

उपाय.वक्र मार्गाने जाताना, प्रवेग स्पर्शिका आणि सामान्य असतात. स्पर्शिक प्रवेग वेगाच्या परिमाणात (मॉड्यूल) बदलाचा दर दर्शवितो. जर वेगाचे परिमाण बदलत नसेल तर स्पर्शिका प्रवेग शून्य आहे. सामान्य प्रवेग a n = प्रक्षेपकाच्या वक्रतेच्या त्रिज्यावर अवलंबून असते v२/आर. वक्रतेच्या सर्वात लहान त्रिज्यासह बिंदूवर प्रवेग कमाल आहे, म्हणजे. C बिंदूवर.

उदाहरण 23.भौतिक बिंदू कायद्यानुसार हलतो:

1) स्थिर प्रवेग असलेल्या गतीच्या नियमाशी तुलना करून प्रारंभिक समन्वय, प्रारंभिक वेग आणि प्रवेग निश्चित करा. वेग प्रक्षेपणासाठी समीकरण लिहा.

उपाय.स्थिर प्रवेग असलेल्या गतीच्या नियमाचे स्वरूप आहे

या समीकरणाची समस्या स्थितीच्या समीकरणाशी तुलना केल्यास, आम्ही प्राप्त करतो

x 0 = - 1 मी,

v 0 x = 1 m/s,

a x = - ०.२५ मी/से २ .

प्रश्न उद्भवतो: वजा चिन्हाचा अर्थ काय आहे? सदिशाचे प्रक्षेपण ऋणात्मक कधी असते? केवळ अशा परिस्थितीत जेव्हा वेक्टर समन्वय अक्षाच्या विरूद्ध निर्देशित केला जातो.

आकृतीमध्ये प्रारंभिक समन्वय, वेग आणि प्रवेग वेक्टर दर्शवू.

फॉर्ममध्ये गतीचे समीकरण लिहू

आणि प्राप्त डेटा (प्रारंभिक परिस्थिती) त्यामध्ये बदला

2) या प्रमाणांच्या व्याख्या वापरून वेळेवर वेग आणि प्रवेग यांचे अवलंबित्व शोधा.

उपाय.वेग आणि प्रवेग या तात्काळ मूल्यांसाठी व्याख्या लागू करूया:

भिन्नता पार पाडणे, आम्हाला मिळते v x =1-0.25t, a x = - 0.25 m/s 2.

हे पाहिले जाऊ शकते की प्रवेग वेळेवर अवलंबून नाही.

3) v x (t) आणि a x (t) चे आलेख काढा. आलेखाच्या प्रत्येक विभागातील हालचाल वैशिष्ट्यीकृत करा.

उपाय.वेळेवर वेगाचे अवलंबन रेषीय आहे, आलेख सरळ रेषा आहे.

t = 0 v x = 1 m/s वर. v x = 0 सह t = 4 वर.

आलेखावरून हे स्पष्ट होते की विभाग "a" मध्ये वेग प्रक्षेपण सकारात्मक आहे, आणि त्याचे मूल्य कमी होते, म्हणजे. बिंदू x-अक्ष दिशेने हळूहळू सरकतो. विभाग "b" मध्ये वेग प्रक्षेपण नकारात्मक आहे, आणि त्याचे मॉड्यूल वाढते. बिंदू x-अक्षाच्या विरुद्ध दिशेने वेगाने फिरतो. परिणामी, ॲब्सिसा अक्षासह आलेखाच्या छेदनबिंदूवर, एक रोटेशन उद्भवते, हालचालीच्या दिशेने बदल होतो.

4) वळणाच्या बिंदूचे निर्देशांक आणि वळणाचा मार्ग निश्चित करा.

उपाय.पुन्हा लक्षात घ्या की टर्निंग पॉइंटवर वेग शून्य आहे. या अवस्थेसाठी, गतीच्या समीकरणांमधून आपल्याला मिळते:

दुसऱ्या समीकरणावरून आपल्याला मिळते ट pov = 4 से. (वरवर पाहता, हे मूल्य मिळविण्यासाठी आलेख तयार करणे आणि त्याचे विश्लेषण करणे आवश्यक नाही). चला हे मूल्य पहिल्या समीकरणात बदलू: x पृष्ठभाग = -1+4-4 2 /8 = 1 मीटर बिंदू कसा हलला ते चित्रित करू.

वळणाचा मार्ग, आकृतीवरून पाहिल्याप्रमाणे, निर्देशांकातील बदलाप्रमाणे आहे: s turn =x turn -x 0 =1-(-1)=2 m.

5) बिंदू कोणत्या वेळी उगमस्थानातून जातो?

उपाय.गतीच्या समीकरणामध्ये आपण x = 0 ठेवले पाहिजे. आपल्याला 0=-1+t-t 2 /8 किंवा t 2 -8t+8=0 हे द्विघात समीकरण मिळते. या समीकरणाची दोन मुळे आहेत: . t 1 = 1.17 s, t 2 = 6.83 s. खरंच, एक बिंदू दोनदा निर्देशांकांच्या उत्पत्तीमधून जातो: जेव्हा "तेथे" आणि "मागे" हलतो.

6) हालचाली सुरू झाल्यानंतर 5 सेकंदात बिंदूने प्रवास केलेला मार्ग आणि या वेळी होणारे विस्थापन, तसेच मार्गाच्या या विभागावरील सरासरी भू गती शोधा.

उपाय.सर्व प्रथम, 5 सेकंदांच्या हालचालीनंतर बिंदू कोठे संपला ते समन्वय शोधू आणि त्यास आकृतीमध्ये चिन्हांकित करू.

x(5)=-1+5-5 2 /8= 0.875 मी.

या स्थितीत बिंदू वळणानंतर स्थित असल्याने, प्रवास केलेले अंतर यापुढे समन्वय (हालचाल) मधील बदलाच्या बरोबरीचे नाही, परंतु दोन पदांचा समावेश आहे: वळणाच्या आधीचा मार्ग

s 1 = x पृष्ठभाग - x 0 = 1 - (-1) = 2 मी

आणि वळण नंतर

s 2 = x पृष्ठभाग - x(5) = 1 - 0.875 = 0.125 मी,

s = s 1 + s 2 = 2.125 मी.

बिंदूचे विस्थापन आहे

s x = x(5) - x 0 = 0.875 - (-1) = 1.875 मी

सरासरी जमिनीचा वेग सूत्राद्वारे मोजला जातो

विचारात घेतलेली समस्या सर्वात सोप्या प्रकारच्या गतीचे वर्णन करते - स्थिर प्रवेग असलेली गती. तथापि, चळवळीच्या स्वरूपाचे विश्लेषण करण्याचा हा दृष्टीकोन सार्वत्रिक आहे.

उदाहरण 24.स्थिर प्रवेग असलेल्या एक-आयामी गतीमध्ये, कणाच्या वेळेवर समन्वय आणि वेग यांचे अवलंबित्व संबंधांद्वारे वर्णन केले जाते:

कणाचा समन्वय आणि त्याचा वेग यांच्यातील संबंध स्थापित करा.

उपाय.आम्ही या समीकरणांमधून वेळ टी वगळतो. हे करण्यासाठी, आम्ही प्रतिस्थापन पद्धत वापरतो. दुसऱ्या समीकरणातून आपण वेळ व्यक्त करतो आणि पहिल्या समीकरणात बदला:

जर चळवळ मूळपासून सुरू झाली ( एक्स० =०) विश्रांतीपासून ( v 0 x =0), नंतर परिणामी अवलंबन फॉर्म घेते

माझ्या शालेय भौतिकशास्त्राच्या अभ्यासक्रमातून सुप्रसिद्ध.

उदाहरण 25.भौतिक बिंदूच्या हालचालीचे वर्णन समीकरणाद्वारे केले जाते: , जिथे i आणि j हे x आणि y अक्षांचे एकक वेक्टर आहेत, α आणि β हे सकारात्मक स्थिरांक आहेत. वेळेच्या सुरुवातीच्या क्षणी, कण x 0 = y 0 = 0 या बिंदूवर होता. कण प्रक्षेपवक्र समीकरण y(x) शोधा.

उपाय.गतीचे वर्णन करण्याच्या वेक्टर पद्धतीचा वापर करून समस्येची स्थिती तयार केली जाते. चला समन्वय पद्धतीकडे जाऊया. युनिट वेक्टरचे गुणांक हे वेग वेक्टरचे प्रक्षेपण आहेत, म्हणजे:

प्रथम, प्रथम श्रेणी समस्या सोडवून आम्ही अवलंबित्व x(t) आणि y(t) प्राप्त करतो.

उदाहरण 28.उंच बुरुजावरून hवेगाने दगडफेक केली vα ते क्षैतिज कोनात 0. शोधणे:

1) दगड किती काळ चालत असेल;

२) किती अंतरावर ते जमिनीवर पडेल;

3) ते कोणत्या वेगाने जमिनीवर पडेल;

4) दगडाच्या पडण्याच्या बिंदूवर क्षितिजासह त्याच्या प्रक्षेपणाद्वारे β कोणता कोन बनविला जाईल;

5) या बिंदूवर दगडाचे सामान्य आणि स्पर्शिक प्रवेग, तसेच प्रक्षेपणाच्या वक्रतेची त्रिज्या;

6) दगड उचलण्याची सर्वात मोठी उंची.

हवेच्या प्रतिकाराकडे दुर्लक्ष करा.

उपाय.उदाहरण म्हणून या समस्येचा वापर करून, आम्ही या वर्गाच्या कोणत्याही समस्येचे निराकरण करण्यासाठी दिलेला अल्गोरिदम सामान्यीकृत स्वरूपात कसा स्थापित केला जाऊ शकतो हे दर्शवू.

1. समस्या पृथ्वीच्या गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रात भौतिक बिंदू (दगड) च्या हालचालीचा विचार करते. म्हणून, ही गुरुत्वाकर्षणाच्या स्थिर प्रवेगसह एक हालचाल आहे जी, अनुलंब खाली दिशेने निर्देशित केली जाते.