Statyka jest pierwszym warunkiem równowagi. Warunki równowagi ciał

Ciało pozostaje w spoczynku (lub porusza się ruchem jednostajnym i prostoliniowym), jeśli suma wektorowa wszystkich działających na nie sił jest równa zeru. Mówią, że siły równoważą się. Gdy mamy do czynienia z ciałem o określonym kształcie geometrycznym, przy obliczaniu siły wypadkowej wszystkie siły można przyłożyć do środka masy ciała.

Warunek równowagi ciał

Aby ciało, które się nie obraca, znajdowało się w równowadze, konieczne jest, aby wypadkowa wszystkich sił działających na nie była równa zeru.

fa → = fa 1 → + fa 2 → + . . + fa n → = 0 .

Powyższy rysunek przedstawia równowagę ciała sztywnego. Blok znajduje się w stanie równowagi pod wpływem trzech działających na niego sił. Linie działania sił F 1 → i F 2 → przecinają się w punkcie O. Punktem przyłożenia siły ciężkości jest środek masy ciała C. Punkty te leżą na tej samej linii prostej i przy obliczaniu siły wypadkowej F 1 →, F 2 → i m g → są doprowadzane do punktu C.

Warunek, że wypadkowa wszystkich sił będzie równa zeru, nie wystarczy, jeśli ciało może obracać się wokół określonej osi.

Ramię siły d jest długością prostopadłej poprowadzonej od linii działania siły do ​​punktu jej przyłożenia. Moment siły M jest iloczynem ramienia siły i jego modułu.

Moment siły ma tendencję do obracania ciała wokół własnej osi. Te momenty, które obracają ciało w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, są uważane za pozytywne. Jednostką miary momentu siły w międzynarodowym układzie SI jest 1 niutonometr.

Definicja. Zasada momentów

Jeżeli algebraiczna suma wszystkich momentów działających na ciało względem ustalonej osi obrotu jest równa zero, wówczas ciało znajduje się w stanie równowagi.

M 1 + M 2 + . . +Mn=0

Ważny!

W ogólnym przypadku, aby ciała znajdowały się w równowadze, muszą być spełnione dwa warunki: siła wypadkowa musi być równa zeru i musi być zachowana zasada momentów.

W mechanice istnieją różne rodzaje równowagi. W ten sposób rozróżnia się równowagę stabilną i niestabilną oraz równowagę obojętną.

Typowym przykładem równowagi obojętnej jest toczące się koło (lub kula), które zatrzymane w jakimkolwiek punkcie będzie w stanie równowagi.

Równowaga stabilna to równowaga ciała, w której przy niewielkich odchyleniach powstają siły lub momenty sił, które mają tendencję do przywracania ciała do stanu równowagi.

Równowaga niestabilna to stan równowagi, przy niewielkim odchyleniu od którego siły i momenty sił mają tendencję do jeszcze większego wytrącania ciała z równowagi.

Na powyższym rysunku położenie piłki to (1) - równowaga obojętna, (2) - równowaga niestabilna, (3) - równowaga stabilna.

Ciało o ustalonej osi obrotu może znajdować się w dowolnym z opisanych położeń równowagi. Jeśli oś obrotu przechodzi przez środek masy, zachodzi równowaga obojętna. W równowadze stabilnej i niestabilnej środek masy leży na pionowej linii prostej przechodzącej przez oś obrotu. Gdy środek masy znajduje się poniżej osi obrotu, równowaga jest stabilna. W przeciwnym razie jest odwrotnie.

Szczególnym przypadkiem równowagi jest równowaga ciała na podporze. W tym przypadku siła sprężystości rozkłada się na całą podstawę ciała, a nie przechodzi przez jeden punkt. Ciało pozostaje w równowadze, gdy pionowa linia poprowadzona przez środek masy przecina obszar podparcia. W przeciwnym razie, jeśli linia środka masy nie wpadnie w kontur utworzony przez linie łączące punkty podparcia, nadwozie się przewróci.

Przykładem równowagi ciała na podporze jest słynna Krzywa Wieża w Pizie. Według legendy Galileo Galilei upuszczał z niego kule, przeprowadzając eksperymenty dotyczące badania swobodnego spadania ciał.

Linia poprowadzona od środka masy wieży przecina podstawę w odległości około 2,3 m od jej środka.

Jeśli zauważysz błąd w tekście, zaznacz go i naciśnij Ctrl+Enter

DEFINICJA

Stabilna równowaga- jest to równowaga, w której ciało wyrwane z położenia równowagi i pozostawione samemu sobie powraca do poprzedniego położenia.

Dzieje się tak, jeśli przy niewielkim przemieszczeniu ciała w dowolnym kierunku od położenia pierwotnego wypadkowa sił działających na ciało staje się niezerowa i jest skierowana w stronę położenia równowagi. Na przykład kula leżąca na dnie kulistego wgłębienia (ryc. 1 a).

DEFINICJA

Niestabilna równowaga- jest to równowaga, w której ciało wyrwane z położenia równowagi i pozostawione samemu sobie będzie jeszcze bardziej odchylać się od położenia równowagi.

W tym przypadku przy niewielkim przemieszczeniu ciała z położenia równowagi wypadkowa przyłożonych do niego sił jest niezerowa i skierowana z położenia równowagi. Przykładem może być kula znajdująca się w górnym punkcie wypukłej powierzchni kulistej (ryc. 1 b).

DEFINICJA

Obojętna równowaga- jest to równowaga, w której ciało wyrwane z położenia równowagi i pozostawione samym sobie nie zmienia swojego położenia (stanu).

W tym przypadku przy niewielkich przemieszczeniach ciała od położenia pierwotnego wypadkowa sił przyłożonych do ciała pozostaje równa zeru. Na przykład piłka leżąca na płaskiej powierzchni (ryc. 1, c).

Ryc.1. Różne rodzaje równowagi ciała na podporze: a) równowaga stabilna; b) niestabilna równowaga; c) równowaga obojętna.

Równowaga statyczna i dynamiczna ciał

Jeżeli w wyniku działania sił ciało nie uzyska przyspieszenia, może znajdować się w spoczynku lub poruszać się ruchem jednostajnym po linii prostej. Dlatego możemy mówić o równowadze statycznej i dynamicznej.

DEFINICJA

Równowaga statyczna- jest to równowaga, gdy pod wpływem przyłożonych sił ciało znajduje się w spoczynku.

Równowaga dynamiczna- jest to równowaga, gdy pod wpływem działania sił ciało nie zmienia swojego ruchu.

Latarnia zawieszona na kablach lub jakakolwiek konstrukcja budynku znajduje się w stanie równowagi statycznej. Jako przykład równowagi dynamicznej rozważmy koło, które toczy się po płaskiej powierzchni przy braku sił tarcia.

Warunki równowagi ciała stałego na lekcjach fizyki w szkole średniej są studiowane w dziale „Mechanika” podczas studiowania statyki jako gałęzi mechaniki. Podkreśla się fakt, że ruch ciała jest dwojakiego rodzaju: translacyjny i obrotowy. Translacja to ruch, podczas którego dowolna linia prosta poprowadzona przez dowolne dwa punkty ciała w danym inercjalnym układzie odniesienia pozostaje równoległa do siebie podczas ruchu. Ruch obrotowy to ruch, w którym wszystkie punkty należące do ciała obracają się pod tym samym kątem względem osi obrotu w danym okresie czasu.

Wprowadzono środek ciężkości ciała. Aby to zrobić, ciało jest mentalnie podzielone na wiele elementów. Środek ciężkości będzie punktem przecięcia prostych, na których leżą wektory grawitacji działające na elementy ciała. Następnie rozważymy szczególne przypadki ilustrujące zależność rodzaju ruchu ciała sztywnego od punktu przyłożenia siły zewnętrznej:

1. Niech siła zostanie przyłożona do środka ciężkości lub do nieustalonej osi obrotu – ciało będzie się poruszać translacyjnie, nie będzie obrotu;
2. Niech siła zostanie przyłożona do dowolnego punktu ciała, podczas gdy oś obrotu jest ustalona - ciało będzie się obracać, nie będzie ruchu translacyjnego;
3. Niech siła zostanie przyłożona do dowolnego punktu ciała, podczas gdy oś obrotu nie jest ustalona - ciało będzie się obracać wokół własnej osi i jednocześnie poruszać się translacyjnie.

Wprowadzono moment siły. Moment siły jest wektorową wielkością fizyczną charakteryzującą obrotowe działanie siły. Matematycznie, na uniwersyteckim kursie fizyki ogólnej, moment siły wprowadza się jako iloczyn wektorowy ramienia siłowego i wektora danej siły:

gdzie jest dźwignia siły. Jest oczywiste, że równanie (2) jest konsekwencją równania (1).

Wyjaśnia się uczniom, że ramię siły to najkrótsza odległość od punktu podparcia (lub osi obrotu) do linii działania siły.

Warunek pierwszy (równanie (3)) zapewnia brak ruchu postępowego, warunek drugi (równanie (4)) zapewnia brak ruchu obrotowego. Warto byłoby zwrócić uwagę na fakt, że równanie (3) jest szczególnym przypadkiem II zasady Newtona (w ).

Studenci muszą dowiedzieć się, że moment siły jest wielkością wektorową, dlatego zapisując równanie skalarne (4) należy wziąć pod uwagę znak momentu. W przypadku uczniów szkoły obowiązują następujące zasady:

1. Jeżeli siła ma tendencję do obracania ciała w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara, jej moment względem danej osi jest dodatni;
2. Jeśli siła ma tendencję do obracania ciała zgodnie z ruchem wskazówek zegara, jej moment względem danej osi jest ujemny.

Przykładem zastosowania warunków równowagi ciała sztywnego jest zastosowanie dźwigni i bloków. Niech siła działa na jedno ramię dźwigni i na drugie (ryc. 1).

W tym przypadku wyobraźmy sobie, że podpora ciała jest nieruchoma, dlatego potrzebny jest nam jedynie drugi warunek równowagi:

W postaci skalarnej, biorąc pod uwagę znaki, otrzymujemy:

Wynikowe wyrażenie nazywa się warunkiem równowagi dźwigni. Studenci muszą mocno zrozumieć, że jest to tylko przypadek szczególny, a w bardziej ogólnych przypadkach konieczne jest skorzystanie z równania (4).

Jak wiadomo z zajęć w klasie 7, klocki można przesuwać i stawiać. Wykorzystując warunki równowagi analizowano pracę równomiernego podnoszenia ładunku za pomocą klocka nieruchomego oraz układu bloków ruchomych i nieruchomych.

1. Naprawiono blok.
Niech średnica bloku D. Korzystając z warunku równowagi (4) otrzymujemy: Uzyskany fakt pokazuje, że nieruchomy klocek nie zapewnia przyrostu siły, to znaczy, aby go podnieść, będziemy musieli przyłożyć siłę równą ciężarowi ładunku. Blok stały używany jest wyłącznie dla wygody, głównie w połączeniu z blokiem ruchomym.
2. Ruchomy blok.
Skorzystajmy z równania (4) analogicznie jak w przypadku bloku stałego:

Stwierdziliśmy, że w układzie ruchomych i nieruchomych bloków przy braku sił tarcia przyrost siły jest 2-krotny. W tym przypadku średnice bloków były takie same. Przydatne będzie dla uczniów przeanalizowanie sposobów uzyskania przyrostu siły 4, 6 itd. razy.

Podsumowując, po przeanalizowaniu tego, co omówiono powyżej, sformułowano „złotą zasadę” mechaniki. Rozwiązywane są problemy dotyczące dźwigni, bloków i innych przypadków równowagi ciał.

Jest oczywiste, że ciało może znajdować się w spoczynku tylko względem jednego określonego układu współrzędnych. W statyce bada się warunki równowagi ciał w właśnie takim układzie. W stanie równowagi prędkość i przyspieszenie wszystkich części (elementów) ciała są równe zeru. Biorąc to pod uwagę, jeden z niezbędnych warunków równowagi ciał można ustalić, korzystając z twierdzenia o ruchu środka masy (patrz § 7.4).

Siły wewnętrzne nie wpływają na ruch środka masy, ponieważ ich suma zawsze wynosi zero. Tylko siły zewnętrzne determinują ruch środka masy ciała (lub układu ciał). Ponieważ gdy ciało jest w równowadze, przyspieszenie wszystkich jego elementów wynosi zero, to przyspieszenie środka masy również wynosi zero. Natomiast przyspieszenie środka masy wyznacza suma wektorów sił zewnętrznych przyłożonych do ciała (patrz wzór (7.4.2)). Zatem w stanie równowagi suma ta musi wynosić zero.

Rzeczywiście, jeśli suma sił zewnętrznych F i jest równa zeru, to przyspieszenie środka masy a c = 0. Wynika z tego, że prędkość środka masy c = const. Jeżeli w chwili początkowej prędkość środka masy wynosiła zero, to w przyszłości środek masy pozostanie w spoczynku.

Otrzymany warunek bezruchu środka masy jest warunkiem koniecznym (ale, jak się wkrótce przekonamy, niewystarczającym) dla równowagi ciała sztywnego. Jest to tak zwany pierwszy warunek równowagi. Można go sformułować w następujący sposób.

Aby ciało się zrównoważyło, suma sił zewnętrznych przyłożonych do ciała musi być równa zeru:

Jeżeli suma sił wynosi zero, to suma rzutów sił na wszystkie trzy osie współrzędnych również wynosi zero. Oznaczając siły zewnętrzne przez 1, 2, 3 itd., otrzymujemy trzy równania odpowiadające jednemu równaniu wektorowemu (8.2.1):

Aby ciało znajdowało się w spoczynku, konieczne jest również, aby prędkość początkowa środka masy była równa zeru.

Drugi warunek równowagi ciała sztywnego

Równość do zera sumy sił zewnętrznych działających na ciało jest konieczna do osiągnięcia równowagi, ale nie wystarczająca. Jeśli ten warunek zostanie spełniony, tylko środek masy będzie koniecznie w spoczynku. Nie jest to trudne do zweryfikowania.

Przyłóżmy do deski siły o równej wielkości i przeciwnym kierunku w różnych punktach, jak pokazano na rysunku 8.1 (dwie takie siły nazywane są parą sił). Suma tych sił wynosi zero: + (-) = 0. Ale deska się obróci. Tylko środek masy pozostaje w spoczynku, jeśli jego prędkość początkowa (prędkość przed przyłożeniem sił) była równa zeru.

Ryż. 8.1

W ten sam sposób dwie siły o równej wielkości i przeciwnym kierunku obracają kierownicę roweru lub samochodu (ryc. 8.2) wokół osi obrotu.

Ryż. 8.2

Nietrudno zobaczyć, co się tutaj dzieje. Każde ciało znajduje się w równowadze, gdy suma wszystkich sił działających na każdy z jego elementów jest równa zeru. Ale jeśli suma sił zewnętrznych wynosi zero, to suma wszystkich sił przyłożonych do każdego elementu ciała może nie być równa zeru. W takim przypadku ciało nie będzie w równowadze. W rozważanych przykładach deska i kierownica nie są w równowadze, ponieważ suma wszystkich sił działających na poszczególne elementy tych ciał nie jest równa zeru. Ciała obracają się.

Dowiedzmy się, jaki inny warunek, oprócz równości sumy sił zewnętrznych do zera, musi zostać spełniony, aby ciało nie obracało się i znajdowało się w równowadze. Aby to zrobić, używamy podstawowego równania dynamiki ruchu obrotowego ciała sztywnego (patrz § 7.6):

Przypomnijmy, że we wzorze (8.2.3)

reprezentuje sumę momentów sił zewnętrznych przyłożonych do ciała względem osi obrotu, a J jest momentem bezwładności ciała względem tej samej osi.

Jeżeli , to P = 0, tj. ciało nie ma przyspieszenia kątowego, a co za tym idzie, prędkość kątowa ciała

Jeżeli w chwili początkowej prędkość kątowa wynosiła zero, to w przyszłości ciało nie będzie wykonywało ruchu obrotowego. Dlatego równość

(przy ω = 0) jest drugim warunkiem niezbędnym do osiągnięcia równowagi ciała sztywnego.

Kiedy ciało sztywne znajduje się w równowadze, suma momentów wszystkich sił zewnętrznych działających na nie względem dowolnej osi(1), równy zeru.

W ogólnym przypadku dowolnej liczby sił zewnętrznych warunki równowagi ciała sztywnego zostaną zapisane jako:

Warunki te są konieczne i wystarczające dla równowagi dowolnego ciała stałego. Jeżeli są one spełnione, wówczas suma wektorów sił (zewnętrznych i wewnętrznych) działających na każdy element ciała jest równa zeru.

Równowaga ciał odkształcalnych

Jeśli ciało nie jest całkowicie stałe, to pod działaniem przyłożonych do niego sił zewnętrznych może nie znajdować się w równowadze, chociaż suma sił zewnętrznych i suma ich momentów względem dowolnej osi wynosi zero. Dzieje się tak dlatego, że pod wpływem sił zewnętrznych ciało może się odkształcić i w procesie odkształcania suma wszystkich sił działających na każdy z jego elementów nie będzie w tym przypadku równa zeru.

Przyłóżmy na przykład dwie siły do ​​końców gumowego sznurka, równe co do wielkości i skierowane wzdłuż sznurka w przeciwnych kierunkach. Pod wpływem tych sił linka nie będzie w równowadze (linka zostanie rozciągnięta), chociaż suma sił zewnętrznych jest równa zeru i suma ich momentów względem osi przechodzącej przez dowolny punkt linki do zera.

Kiedy ciała ulegają odkształceniu, dodatkowo zmieniają się ramiona sił, a co za tym idzie, zmieniają się momenty sił przy danych siłach. Zauważmy też, że tylko dla ciał stałych możliwe jest przeniesienie punktu przyłożenia siły wzdłuż linii działania siły na dowolny inny punkt ciała. Nie zmienia to momentu siły i stanu wewnętrznego ciała.

W ciałach rzeczywistych możliwe jest przeniesienie punktu przyłożenia siły wzdłuż linii jej działania tylko wtedy, gdy odkształcenia powodowane przez tę siłę są małe i można je pominąć. W tym przypadku zmiana stanu wewnętrznego ciała podczas przesuwania punktu przyłożenia siły jest nieznaczna. Jeśli nie można zaniedbać odkształceń, wówczas takie przeniesienie jest niedopuszczalne. Na przykład, jeśli dwie siły 1 i 2, równe pod względem wielkości i dokładnie przeciwne w kierunku, zostaną przyłożone wzdłuż gumowego bloku do jego dwóch końców (ryc. 8.3, a), wówczas blok zostanie rozciągnięty. Kiedy punkty przyłożenia tych sił zostaną przeniesione wzdłuż linii działania na przeciwległe końce bloku (ryc. 8.3, b), te same siły będą ściskać blok, a jego stan wewnętrzny będzie inny.

Ryż. 8.3

Aby obliczyć równowagę ciał odkształcalnych, należy znać ich właściwości sprężyste, czyli zależność odkształceń od działających sił. Nie rozwiążemy tego trudnego problemu. Proste przypadki zachowania się ciał odkształcalnych zostaną omówione w następnym rozdziale.

(1) Rozważaliśmy momenty sił względem rzeczywistej osi obrotu ciała. Można jednak udowodnić, że gdy ciało jest w równowadze, suma momentów sił jest równa zeru względem dowolnej osi (linii geometrycznej), w szczególności względem trzech osi współrzędnych lub względem osi przechodzącej przez środek masy.

Statyka.

Dział mechaniki zajmujący się badaniem warunków równowagi układów mechanicznych pod wpływem przyłożonych do nich sił i momentów.

Balans mocy.

Równowaga mechaniczna, zwana także równowagą statyczną, to stan ciała w spoczynku lub w ruchu jednostajnym, w którym suma działających na nie sił i momentów wynosi zero

Warunki równowagi ciała sztywnego.

Warunki konieczne i wystarczające równowagi swobodnego ciała sztywnego to równość do zera sumy wektorów wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało, równość do zera sumy wszystkich momentów sił zewnętrznych względem dowolnej osi, równość do zera początkowej prędkości ruchu postępowego ciała i warunek równości do zera początkowej prędkości kątowej obrotu.

Rodzaje równowagi.

Równowaga ciała jest stabilna, jeżeli przy niewielkich odchyleniach od położenia równowagi, na które pozwalają połączenia zewnętrzne, w układzie powstają siły lub momenty siły, zmierzające do przywrócenia ciała do stanu pierwotnego.

Równowaga ciała jest niestabilna, jeśli przynajmniej w przypadku pewnych niewielkich odchyleń od położenia równowagi, na które pozwalają połączenia zewnętrzne, w układzie powstają siły lub momenty sił, które mają tendencję do dalszego odchylania ciała od początkowego stanu równowagi.

Równowaga ciała nazywana jest obojętną, jeżeli w przypadku niewielkich odchyleń od położenia równowagi, na które pozwalają połączenia zewnętrzne, w układzie powstają siły lub momenty sił, zmierzające do przywrócenia ciała do stanu pierwotnego

Środek ciężkości ciała sztywnego.

Środek ciężkości ciało to punkt, względem którego całkowity moment ciężkości działający na układ jest równy zeru. Przykładowo w układzie składającym się z dwóch identycznych mas połączonych sztywnym prętem i umieszczonych w nierównomiernym polu grawitacyjnym (np. planeta) środek masy będzie znajdował się pośrodku pręta, natomiast środek masy grawitacja układu zostanie przesunięta w stronę końca pręta, który znajduje się bliżej planety (ponieważ ciężar masy P = m g zależy od parametru pola grawitacyjnego g), a ogólnie rzecz biorąc, znajduje się nawet na zewnątrz pręta.

W stałym równoległym (jednorodnym) polu grawitacyjnym środek ciężkości zawsze pokrywa się ze środkiem masy. Dlatego w praktyce te dwa centra prawie się pokrywają (ponieważ zewnętrzne pole grawitacyjne w zagadnieniach innych niż kosmiczne można uznać za stałe w objętości ciała).

Z tego samego powodu pojęcia środka masy i środka ciężkości pokrywają się, gdy terminy te są stosowane w geometrii, statyce i dziedzinach pokrewnych, gdzie ich zastosowanie w porównaniu z fizyką można nazwać metaforycznym i gdzie w sposób dorozumiany zakłada się sytuację ich równoważności (ponieważ nie ma prawdziwego pola grawitacyjnego i warto wziąć pod uwagę jego niejednorodność). W tych zastosowaniach tradycyjnie oba terminy są synonimami i często drugi jest preferowany po prostu dlatego, że jest starszy.