Obliczanie pól figur za pomocą całek. Temat lekcji: „Obliczanie obszarów za pomocą całek Obliczmy pole wynikowej figury za pomocą wzoru

Sekcje: Matematyka

Cele Lekcji: uogólnienie i udoskonalenie wiedzy na ten temat.

Zadania:

• Edukacyjny:
  • organizacja komunikacji na lekcji (nauczyciel – uczeń, uczeń – nauczyciel);
  • wdrożenie zróżnicowanego podejścia do uczenia się;
  • zapewnić powtarzalność podstawowych pojęć.
• Edukacyjny:
  • rozwinąć umiejętność podkreślania najważniejszej rzeczy;
  • logicznie wyrażać myśli.
• Edukacyjny:
  • kształtowanie kultury działalności edukacyjnej i kultury informacyjnej;
  • rozwijanie umiejętności pokonywania trudności.

Konspekt lekcji.

Oglądając prezentację, uczniowie odpowiadają na następujące pytania:

1. Co to jest zakrzywiony trapez?
2. Jakie jest pole zakrzywionego trapezu?
3. Podaj definicję całki.

Klasa jest podzielona na 2 podgrupy. Pierwsza podgrupa jest silniejsza od drugiej, dlatego podgrupa 2 najpierw pracuje z nauczycielem (powtarza zasady liczenia całek – sprawdzian wykonuje się przy tablicy), a następnie pracuje przy komputerze, wykonując samodzielną pracę. Druga podgrupa o przeciętnych zdolnościach działa samodzielnie. W grze dydaktycznej „Integral” należy rozszyfrować powiedzenie: „Czyste sumienie to najmiększa poduszka”. Zadane zadanie domowe ma charakter kreatywny – wybierz 5 oryginalnych przykładów wyznaczania pól figur płaskich na podstawie rysunków.

Opcja 1.

Instrukcje

2. Rysowanie wykresów:

A) Wykresy – Dodaj wykres… - w terenie Formuła wprowadź wzór funkcji - wybierz grubość linii - OK.
.

Edytuj — dodaj etykietę...

Widok – Listy wykresów.

Ćwiczenia

A) _______________
B) _______________

4. Oblicz obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji:

A) ________________________
________________________
________________________

B)_________________________________
________________________
________________________

Niezależna praca „Obliczanie powierzchni figur płaskich za pomocą całki oznaczonej”

Uczniowie____11 klasa, grupy ____________________________

Opcja 2

Instrukcje

1. Otwórz zaawansowany ploter wykresów na pulpicie.

2. Rysowanie wykresów:

A) Wykresy – Dodaj wykres…
b) Aby wskazać stopnie, użyj znaku ^ (na przykład )
c) Aby ustawić funkcje trygonometryczne, skorzystaj z diagramu: Wykresy – Zbiór właściwości – Zbiór trygonometryczny. Dalej według zwykłego schematu, ale musisz zwiększyć skalę.

3. Podpisz nazwę funkcji: Edytuj — dodaj etykietę...

4. Wyłącz wyświetlanie wszystkich wykresów na panelu: Widok – Listy wykresów

Ćwiczenia

1. Korzystając z załączonej instrukcji skonstruuj wykresy funkcji:

2. Znajdź punkty przecięcia tych wykresów

A) ______________________________
B) ______________________________

3. Wyznacz przedział całkowania

A) _______________
B) _______________

A) ________________________
________________________
________________________

B) _________________________________
________________________
________________________

Niezależna praca „Obliczanie powierzchni figur płaskich za pomocą całki oznaczonej”

Uczniowie____11 klasa, grupy ____________________________

Opcja 3.

Instrukcje

1. Otwórz zaawansowany ploter wykresów na pulpicie.

2. Rysowanie wykresów:

A) Wykresy – Dodaj wykres…– w polu Formuła wprowadź formułę funkcji – wybierz grubość linii – OK.
b) Aby wskazać stopnie, użyj znaku ^ (na przykład )
c) Aby ustawić funkcje trygonometryczne, skorzystaj z diagramu: Wykresy – Zbiór właściwości – Zbiór trygonometryczny. Dalej według zwykłego schematu, ale musisz zwiększyć skalę.

3. Podpisz nazwę funkcji: Edytuj — dodaj etykietę...

4. Wyłącz wyświetlanie wszystkich wykresów na panelu: Widok – Listy wykresów

Ćwiczenia

1. Korzystając z załączonej instrukcji skonstruuj wykresy funkcji:

A)

2. Znajdź punkty przecięcia tych wykresów

A) ______________________________
B) ______________________________

3. Wyznacz przedział całkowania

A) __________________
B) __________________

4. Oblicz obszar figury ograniczony wykresami tych funkcji.

A) ________________________
________________________
________________________

B) _________________________________
________________________
________________________

Są trzy lekcje na ten temat, ta lekcja jest druga.

Cele Lekcji:

Utrwalanie i pogłębianie wiedzy na temat całki oznaczonej i jej zastosowania do wyznaczania pola figur;

Kształtowanie umiejętności stosowania wiedzy i metod działania w zmienionych i nowych sytuacjach edukacyjnych; - rozwój kultury informacyjnej i komunikacyjnej studentów;

Wspieranie aktywności poznawczej, umiejętności pracy w zespole, wytrwałości i osiągania celów.

Cele Lekcji:

Powtórz tabelę i zasady znajdowania funkcji pierwotnych, koncepcję trapezu krzywoliniowego, algorytm znajdowania obszaru trapezu krzywoliniowego; - zastosować posiadaną wiedzę i umiejętności do wyznaczania pól figur płaskich.

Formy organizacji pracy studentów: praca w grupach.

Wykorzystany sprzęt i programy: tablica interaktywna Smart Board, „Matematyka na żywo”.

Wykorzystane funkcje oprogramowania tablicy interaktywnej:

Funkcja – kurtyna:

Funkcja – klonowanie obiektu:

Funkcja – przeciąganie obiektu;

Funkcja: inteligentny długopis.

Pobierać:

Zapowiedź:

Lekcja na temat: „Obliczanie obszarów figur za pomocą całek”

W 11 klasie.

Podczas zajęć:

1. Czas organizacyjny ((sprawdzana jest gotowość do lekcji, ogłaszany jest temat i cel lekcji, zapisywany jest jej termin).

Lekcja przebiega pod hasłem: Powiedz mi, a zapomnę, Pokaż mi, a zapamiętam, Pozwól mi działać samodzielnie, a się nauczę.

Konfucjusz.

1. Etap aktualizacji wcześniej zdobytej wiedzy(cel tego etapu: powtórzenie tabeli i zasady znajdowania funkcji pierwotnych, koncepcja trapezu krzywoliniowego, algorytm znajdowania pola trapezu krzywoliniowego).

Nauczyciel: Na poprzednich lekcjach zapoznaliśmy się z pojęciem funkcji pierwotnych, tabelą i zasadami ich znajdowania.

Pytanie 1 : Co nazywa się funkcją pierwotną funkcji y = f (x) w pewnym przedziale? pytanie 2 : Jak ustawić wszystkie funkcje pierwotne y = f (x), jeśli F (x) jest jedną z nich? Pytanie 3: Wymień zasady znajdowania funkcji pierwotnych. Po udzieleniu odpowiedzi przez uczniów otwiera się slajd 2 i odsuwana jest kurtyna, za którą ukryte są pytania do uczniów.Ćwiczenie 1 : Znajdź jedną z funkcji pierwotnych dla podanych funkcji. (uczniowie korzystają z funkcji „przeciągnij i upuść”, aby dopasować funkcję do funkcji pierwotnej). Zadanie 2 : Dla podanej funkcji znajdź jedną z funkcji pierwotnych, której wykres przechodzi przez dany punkt. (Uczniowie podejmują decyzję samodzielnie na miejscu; jeden z uczniów sprawdza odpowiedź przesuwając ekran).

A) Funkcje: 2x 5 – 3x 2; 3 cos x – 4 grzech x; 3ex + 5x – 2; e 2x – cos3x; 1/x + 1/ grzech 2 x – x.

Funkcje pierwotne: ln |x| -ctg x – x 2/2; 1/2e 2x – 1/3 grzech 3x; x 6 /3 – x 3; 3 grzech x + 4 cos x; 3e x + 5 x /ln5.

B) Dla funkcji f(x) = 2x + 3 znajdź funkcję pierwotną, której wykres przechodzi przez punkt M (1;2).

Pytanie 4: Jaką figurę nazywa się zakrzywionym trapezem? Zadanie 3: Zapisz brakujący warunek w definicji zapisanej na slajdzie. Zadanie 4: Zapisz wzór Leibniza Newtona.

Zadanie 5: Oblicz całkę. (Studenci wykonują obliczenia samodzielnie, po czym następuje weryfikacja). A) x 2 – 2x) dx; B)

Zadanie 6: Oblicz pole figury ograniczone liniami y = 0, x = e, y = 1/x. (Uczniowie samodzielnie wykonują zadanie, a następnie sprawdzają je otwierając ekrany na tablicy).

1. Etap kształtowania i ćwiczenia umiejętności podczas rozwiązywania różnych zadań na ten temat „Obliczanie pól kształtów za pomocą całek»

1. Uczniowie zapamiętują właściwości obszarów

i podaj przykład figury, której pole można obliczyć ze wzoru S =Oblicz obszar figury ograniczony liniami y = 0, y = x 2 – 4. (Jeden uczeń korzysta z funkcji inteligentnego pióra i zapisuje rozwiązanie na tablicy interaktywnej).

2. Studenci dyskutująplan obliczenia pola figury ograniczonego liniami y = x 2 – 6x +11 i y = x +1. Każdemu etapowi towarzyszy otwarcie kurtyny.

1. Praca grupowa. Klasa jest wcześniej dzielona na grupy. Trzech uczniów pracuje przy tablicy, a pozostali uczniowie pracują w trzech wariantach (grupy podzielone są według opcji) na miejscu:Oblicz obszar figury ograniczony liniami:Opcja 1 - y = (x – 3) 2 , y = 0, x = 1, x = 4. Opcja 2 – y = x – 2, y = x 2 - 4x +2. Opcja 3 – y = x, y = 5 – x, x =1, x = 2. Sprawdź po otwarciu ekranów.
2. Praca grupowa. Dla każdego z kolejnych 8 slajdów musisz obliczyć obszar figury. Uczniowie w grupach dysponują zbiorem danych w postaci rysunków. Uczniowie wybierają wzór na obliczenie pola. Otwiera się slajd, po prawej stronie rysunku znajdują się formuły, na których zastosowano funkcję klonowania. Po dyskusji w grupach wychodzi jeden uczeń z grupy i przesuwa wybraną formułę lub zapisuje własną, jeśli jej nie ma na tablicy. Dyskusja przebiega następująco: - Dlaczego wybrano taką formułę? - Czy są inne sposoby na znalezienie pola danej figury? - Która formuła jest najwygodniejsza w użyciu?

Praca domowa.

Podsumowanie lekcji. Uczniowie odpowiadają na pytania: - Co zostało zrobione na lekcji? - Czego nowego nauczyli się na lekcji? - Jak im się pracowało w tej grupie?

Praca ustna 1. Za pomocą całki wyraź obszary figur pokazanych na rysunkach:

2. Oblicz całki:

Znajdź obszar figury:

5)1/3; ln2 ;√2

Trochę historii

Wynaleziono „Integral”. Jakub Bernoulli(1690)

„przywrócić” z łac. integro

„cały” z łacińskiej liczby całkowitej

„Funkcja pierwotna”

z łaciny

pierwotny- wstępny,

Józefa Ludwika Lagrange’a

Integralność w starożytności

Pierwszą znaną metodą obliczania całek jest Metoda wyczerpania Eudoksosa (około 370 p.n.e BC), który próbował znaleźć pola i objętości, dzieląc je na nieskończoną liczbę części, dla których pole lub objętość było już znane.

Metodę tę przejęto i rozwinięto Archimedes i został użyty do obliczenia pól paraboli i przybliżenia pola koła.

Eudoksos z Knidos

Izaaka Newtona (1643-1727)

Najbardziej kompletna prezentacja rachunku różniczkowego i całkowego znajduje się w

Zmienne - płynne (całka pierwotna lub całka nieoznaczona)

Szybkość zmiany płynności - fluksja (pochodna)

Leibniz Gottfried Wilhelm (1646-1716)

• użyte po raz pierwszy przez Leibniza na końcu

Z litery powstał symbol

S - skróty słów

suma(suma)

Wzory do obliczania pól zacieniowanych figur na rysunkach

Algorytm obliczania pola figury płaskiej :

• Zgodnie z warunkami zadania wykonaj rysunek schematyczny.
• Przedstaw wymaganą funkcję jako sumę lub różnicę obszarów krzywoliniowych trapez, wybierz odpowiedni wzór.
• Znajdź granice całkowania (a i B) z warunków problemu lub rysunku, jeśli nie są one określone.
• Oblicz obszar każdego zakrzywionego trapezu i obszar pożądanej figury.

ZADANIE

Podjęto decyzję o posadzeniu kwietnika przed budynkiem szkoły. Ale kształt kwietnika nie powinien być okrągły, kwadratowy ani prostokątny. Powinien zawierać linie proste i zakrzywione. Niech będzie to płaska figura ograniczona liniami

Y = 4/X + 2; X = 4; Y = 6.

Obliczmy obszar wynikowej figury za pomocą wzoru:

Gdzie f(x)= 6 , A g(x)=4/x +2

Ponieważ za każdy metr kwadratowy płaci się 50 rubli, zarobki będą wynosić:

6,4 * 50 = 320 (rubli).

Praca domowa:

1125 Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki Instrukcje metodyczne do samodzielnego wykonywania pracy z matematyki dla studentów pierwszego roku Wydziału Średniego Kształcenia Zawodowego Opracował: S.L. Rybina, N.V. Fedotova 0 Ministerstwo Edukacji i Nauki Federacji Rosyjskiej Federalna Państwowa Budżetowa Instytucja Edukacyjna Szkolnictwa Wyższego „Woroneż Państwowy Uniwersytet Architektury i Inżynierii Lądowej” Obliczanie obszarów figur płaskich przy użyciu integralnych Wytycznych dotyczących wykonywania samodzielnej pracy z matematyki dla Studenci I roku wydziału SPO Opracowanie: S.L. Rybina, N.V. Fedotova Voronezh 2015 1 UDC 51:373(07) BBK 22.1ya721 Opracowano: Rybina S.L., Fedotova N.V. Obliczanie pól figur płaskich za pomocą całki: wytyczne do samodzielnej pracy z matematyki dla studentów I roku szkoły średniej zawodowej/Państwowy Uniwersytet Inżynierii Lądowej w Woroneżu; komp.: S.L. Rybina, N.V. Fedotowa. – Woroneż, 2015. – s. 25 Podano informacje teoretyczne na temat obliczania obszarów figur płaskich za pomocą całki, podano przykłady rozwiązywania problemów i podano zadania do samodzielnej pracy. Możliwość wykorzystania do przygotowania indywidualnych projektów. Przeznaczone dla studentów I roku Wydziału Liceum Otwartego. Ił. 18. Bibliografia: 5 tytułów. UDC 51:373(07) BBK 22.1я721 Opublikowano decyzją rady edukacyjno-metodologicznej Państwowego Uniwersytetu Rolniczego w Woroneżu Recenzent – ​​dr Glazkova Maria Yurievna. fizyka i matematyka Nauk ścisłych, profesor nadzwyczajny, wykładowca na Wydziale Matematyki Wyższej Państwowego Uniwersytetu Rolniczego w Woroneżu 2 Wprowadzenie Niniejsze wytyczne przeznaczone są dla studentów pierwszego roku Wydziału Średniego Kształcenia Zawodowego wszystkich specjalności. W akapicie 1 podano informacje teoretyczne na temat obliczania pól figur płaskich za pomocą całki, w akapicie 2 podano przykłady rozwiązywania problemów, a w akapicie 3 przedstawiono problemy do samodzielnej pracy. Postanowienia ogólne Samodzielną pracą uczniów jest praca, którą wykonują oni na polecenie nauczyciela, bez jego bezpośredniego udziału (ale pod jego kierunkiem) w specjalnie do tego przeznaczonym czasie. Cele i zadania samodzielnej pracy: systematyzacja i utrwalenie zdobytej wiedzy i umiejętności praktycznych studentów; pogłębianie i poszerzanie wiedzy teoretycznej i praktycznej; rozwijanie umiejętności korzystania ze specjalistycznej literatury przedmiotu i Internetu; rozwój zdolności poznawczych i aktywności uczniów, inicjatywy twórczej, samodzielności, odpowiedzialności i organizacji; kształtowanie samodzielnego myślenia, zdolności do samorozwoju, samodoskonalenia i samorealizacji; rozwój wiedzy badawczej. zapewnienie bazy wiedzy do przygotowania zawodowego absolwentów zgodnie z Federalnym Państwowym Standardem Edukacyjnym dla Średniego Kształcenia Zawodowego; kształtowanie i rozwój kompetencji ogólnych określonych w Federalnym Państwowym Standardzie Edukacyjnym dla Średniego Kształcenia Zawodowego; przygotowanie do kształtowania i rozwoju kompetencji zawodowych odpowiadających głównym rodzajom działalności zawodowej. systematyzacja, utrwalanie, pogłębianie i poszerzanie zdobytej wiedzy teoretycznej i umiejętności praktycznych studentów; rozwój zdolności poznawczych i aktywności uczniów: inicjatywa twórcza, samodzielność, odpowiedzialność i organizacja; kształtowanie samodzielnego myślenia: zdolności do samorozwoju, samodoskonalenia i samorealizacji; opanowanie praktycznych umiejętności wykorzystania technologii informacyjno-komunikacyjnych w działalności zawodowej; rozwój umiejętności badawczych. Kryteriami oceny efektów samodzielnej pracy pozalekcyjnej ucznia są: poziom opanowania przez ucznia materiału edukacyjnego; 3 umiejętność wykorzystania przez studenta wiedzy teoretycznej przy rozwiązywaniu problemów; ważność i jasność odpowiedzi; projekt materiału zgodnie z wymogami Federalnego Państwowego Standardu Edukacyjnego. 4 1. Obliczanie pól figur płaskich z wykorzystaniem całki 1. Materiał pomocniczy. 1.1. Trapez zakrzywiony to figura ograniczona od góry wykresem ciągłej i nieujemnej funkcji y=f(x), od dołu odcinkiem osi Ox, a od boków odcinkami x=a, x= b (ryc. 1) Ryc. 1 Pole zakrzywionego trapezu można obliczyć za pomocą całki oznaczonej: b S f x dx F x b a F b (1) F a a 1.2. Niech funkcja y=f(x) będzie ciągła na odcinku i przyjmie na tym odcinku wartości dodatnie (rys. 2). Następnie należy podzielić segment na części, następnie obliczyć za pomocą wzoru (1) obszary odpowiadające tym częściom, dodać powstałe obszary. S = S1 + S2 c S b f x dx f x dx a (2) c Ryc. 2 1.3. W przypadku, gdy funkcja ciągła f(x)< 0 на отрезке [а,b], для вычисления площади криволинейной трапеции следует использовать формулу: 5 b S f (x) dx (3) a Рис. 3 1.4. Рассмотрим случай, когда фигура ограничена графиками произвольных функций у =f(x) и у = g(x), графики которых пересекаются в точках с абсциссами а и b (а < b). Пусть эти функции непрерывны на и f(x)> g(x) w całym przedziale (a; b). W tym przypadku pole figury oblicza się ze wzoru y b S= (f (x) g (x))dx y=f(x) (4) a 1 a -1 O -1 b 1 y =g(x) x rys. 4 1,5. Zadania obliczania pól figur płaskich można rozwiązać według następującego planu: 1) zgodnie z warunkami zadania wykonaj rysunek schematyczny; 2) przedstawić żądaną liczbę jako sumę lub różnicę obszarów trapezów krzywoliniowych. Z warunków zadania i rysunku wyznaczane są granice całkowania dla każdej składowej trapezu krzywoliniowego; 3) każdą funkcję zapisz w postaci f x ; 4) obliczyć powierzchnię każdego trapezu krzywoliniowego i pożądaną figurę. 6 2. Przykłady rozwiązywania problemów 1. Oblicz pole zakrzywionego trapezu ograniczone liniami y = x + 3, y = 0, x = 1 i x = 3. Rozwiązanie: Narysujmy linie podane przez równania i zacień zakrzywiony trapez, którego obszar znajdziemy. SАВД= Odpowiedź: 10. 2. Figurę ograniczoną liniami y = -2x + 8, x = -1, y = 0 dzielimy linią y = x2 – 4x + 5 na dwie części. Znajdź obszar każdej części. Rozwiązanie: Rozważmy funkcję y = x2 – 4x +5. y = x2 – 4x +5 = (x2 – 4x + 4) – 4 + 5 = (x – 2)2 + 1, tj. Wykresem tej funkcji jest parabola z wierzchołkiem K(2; 1). SABC= . 7 SABCME = S1 = SABCME + SEMC, S1 = S2 = SABC – S1, S2 = Odpowiedź: i = . . 3. Zadania do samodzielnej pracy Kolokwium ustne 1. Jaką figurę nazywamy zakrzywionym trapezem? 2. Które z figur są zakrzywionymi trapezami: 3. Jak znaleźć pole zakrzywionego trapezu? 4. Znajdź pole zacieniowanej figury: 8 5. Podaj wzór na obliczenie pola przedstawionych figur: Test pisemny 1. Która figura przedstawia figurę, która nie jest zakrzywionym trapezem? 2. Korzystając ze wzoru Newtona-Leibniza oblicz: A. Funkcja pierwotna funkcji; B. Powierzchnia zakrzywionego trapezu; V. Całka; D. Pochodna. 3. Znajdź obszar zacienionej figury: 9 A. 0; B. –2; W 1; D. 2. 4. Znajdź obszar figury ograniczony osią Wołu i parabolą y = 9 – x2 A. 18; B. 36; w. 72; D. Nie można obliczyć. 5. Znajdź obszar figury ograniczony wykresem funkcji y = sin x, liniami x = 0, x = 2 i osią x. A. 0; B.2; O 4; D. Nie można obliczyć. Opcja 1 Oblicz pole figury ograniczone liniami: a) y x2, b) y x2 c) y cos x, d) y 1, x3 y 0, x y 0; x, y 0, 0, 4; x x 1, x 0, x 6; 2. 10 Opcja 2 Oblicz pole figury ograniczone liniami: b) y 1 2 x, y 2 x2 2 x, c) y sin x, d) y 1, x2 a) y y 0, x y 0 ; 0, x 0, x 3; 3 2, ; x 1. Opcja 3 Oblicz pole figury ograniczone liniami: a) y = 2 – x3, y = 1, x = -1, x = 1; b) y = 5 – x2, y = 2x2 + 1, x = 0, x = 1; c) y = 2sin x, x = 0, x = p, y = 0; d) y = 2x – 2, y = 0, x = 3, x = 4. Opcja 4 Oblicz pole figury ograniczone liniami: a) y = x2+1, y = 0, x = - 1, x = 2; b) y = 4 – x2 i y = x + 2; c) y = x2 + 2, y = 0, x = - 1, x = 2; d) y = 4 – x2 i y = 2 – x. Opcja 5 Oblicz obszar figury ograniczony liniami: a) y 7 x, x=3, x=5, y=0; b) y c) y d) y 8, x= - 8, x= - 4, y=0; x 0,5 x 2 4 x 10, y x 2; x 2, y x 6, x=-6 i osie współrzędnych. 11 Opcja 6 Oblicz obszar figury ograniczony liniami a) y 4 x 2, y = 0; b) y cos x, x, x c) y x 2 8 x 18, y d) y x, y 2, y=0; 2x 18; 1,x=4. x Opcja 7 Oblicz obszar figury ograniczony liniami a) y x 2 6 x, x = -1, x = 3, y = 0; b) y=-3x, x=1, x=2, y=0; c) y x 2 10 x 16, y=x+2; d) y 3 x, y = -x +4 i osie współrzędnych. Opcja 8 Oblicz obszar figury ograniczony liniami a) y sin x, x 3, x, y=0; b) y x 2 4, x=-1, x=2, y=0; c) y x 2 2 x 3, y 3 x 1; d) y x 2, y x 4 2, y = 0, opcja 1 1. Oblicz pole figury ograniczone liniami: a) y = x2, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = - Ï Ï , x= ; 2 2 c) y = 2x2, y = 2x. 2. (opcjonalnie) Znajdź pole figury ograniczone wykresem funkcji y = x2 – 2x + 3, styczną do wykresu w jego punkcie z odciętą 2 i prostą x = -1. 12 Opcja 2 1. Oblicz pole figury ograniczone liniami: a) y = x3, x = 1, x = 3, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = 0, x = Ï; 2 c) y = 0,5x2, y = x. 2. (opcjonalnie) Znajdź pole figury ograniczone wykresem funkcji y = 3 + 2x - x2, styczną do wykresu w jego punkcie z odciętą 3 i prostą x = 0. Opcja 3 1. Oblicz obszar figury ograniczony liniami: a) y = x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï 3Ï , x= ; 2 2 c) y = x2, y = -x2 + 2. 2. (opcjonalnie) Znajdź obszar figury ograniczony wykresem funkcji y = 2x - x2, styczny do wykresu w jego punkcie z odciętą 2 i oś rzędnych. Opcja 4 1. Oblicz pole figury ograniczone liniami: a) y = 0,5 x, x = 1, x = 2, y = 0; b) y = 2cos x, y = 0, x = Ï Ï , x= ; 4 2 c) y = 9 - x2, y = 2x + 6. 2. (opcjonalnie) Znajdź pole figury ograniczone wykresem funkcji y = x2+ 2x, styczną do wykresu w jego punkcie z odciętą -2 i oś rzędnych. Zadania do pracy w parach: 1. Oblicz pole zacienionej figury 2. Oblicz pole zacienionej figury 13 3. Oblicz pole zacienionej figury 4. Oblicz pole zacienionej figury rysunek 14 5. Oblicz pole zacieniowanej figury 6. Przedstaw pole zacieniowanej figury jako sumę lub różnicę pól krzywoliniowych trapezów ograniczonych wykresami znanych Ci linii. 7. Wyobraź sobie obszar zacienionej figury jako sumę lub różnicę obszarów krzywoliniowych trapezów ograniczonych wykresami znanych Ci linii. 15 Bibliografia 1. Sharygin, I. F. Matematyka: algebra i zasady analizy matematycznej, geometria. Geometria. Podstawowy poziom. Klasy 10–11: podręcznik / I.F. Sharygin. - wyd. 2, skreślone. – Moskwa: Drop, 2015. – 238 s. 2. Muravin G.K. Matematyka: algebra i zasady analizy matematycznej, geometria. Podstawowy poziom. Klasa 11: podręcznik / G.K. Muravin, O.V. Muravin - wyd. 2, usunięte. - Moskwa: Drop, 2015. - 189 s. 3. Muravin G.K. Matematyka: algebra i zasady analizy matematycznej, geometria. Podstawowy poziom. Klasa 10: podręcznik / G.K. Muravin, O.V. - wyd. 2, skreślone. - Moskwa: Drop, 2013 – 285 s. 4. Nauka geometrii w klasach 10-11: Metoda. rekomendacje dotyczące studiów: Książka. dla nauczyciela/S. M. Sahakyan, V. F. Butuzow. – wyd. 2 – M.: Edukacja, 2014. – 222 s.: il. 5. Nauka algebry i początki analizy w klasach 10-11: Książka. dla nauczyciela / N. E. Fedorova, M. V. Tkacheva. – wyd. 2 – M.: Edukacja, 2014. – 205 s.: il. 6. Algebra i początki analizy. Klasy 10-11: W dwóch częściach. Część 1: Podręcznik do kształcenia ogólnego. instytucje / Mordkovich A.G. – 5. wyd. – M.: Mnemosyne, 2014. – 375 s.: il. Zasoby internetowe: 1. http://www.exponenta.ru/educat/links/l_educ.asp#0 – Przydatne linki do stron matematycznych i edukacyjnych: Materiały edukacyjne, testy 2. http://www.fxyz.ru / - Interaktywny podręcznik zawierający wzory i informacje z zakresu algebry, trygonometrii, geometrii i fizyki. 3. http://maths.yfa1.ru - Podręcznik zawiera materiały z matematyki (arytmetyka, algebra, geometria, trygonometria). 4. allmatematika.ru - Podstawowe wzory algebry i geometrii: przekształcenia tożsamości, postępy, pochodne, stereometria itp. 5. http://mathsun.ru/ – Historia matematyki. Biografie wielkich matematyków. 16 Spis treści Wprowadzenie. .................................................. ...................................................... .................. .................................. 3 Obliczanie pola figur płaskich przy użyciu całki............................................ .. 5 1. Materiał referencyjny............................................ .............. ............... .................. 5 2. Przykłady rozwiązań problemów....................... ............................................... .................................. .. .............. 7 3. Zadania do pracy samodzielnej............................ ........... .................................. 8 Bibliografia.............. .................................................... ........................................... ... 16 Obliczanie pól figur płaskich z wykorzystaniem integralnych Wytycznych do samodzielnego wykonywania prac z matematyki dla studentów I roku Wydziału Szkolnictwa Średniego Opracowała: Rybina Svetlana Leonidovna Fedotova Natalya Viktorovna Podpisano do druku __.__. 2015. Format 60x84 1/16. Wyd. akademickie. l. 1.1.Warunek-pieczenie l. 1.2. 394006, Woroneż, ul. 20. rocznica października 84 17

Temat lekcji: „Obliczanie pól za pomocą całek”

Cel lekcji :

pielęgnuj wolę i wytrwałość w osiąganiu końcowych wyników przy wyznaczaniu pola trapezu krzywoliniowego za pomocą wzoru Newtona-Leibniza, naucz, jak znaleźć pole figur, korzystając z wcześniej poznanej teorii. Rozwijaj umiejętności samokontroli, kompetentnie konstruuj rysunki i wykorzystuj je do zilustrowania rozwiązania. Podsumuj i usystematyzuj materiał teoretyczny na dany temat. Ćwicz umiejętność obliczania funkcji pierwotnych. Ćwicz umiejętność obliczania całki oznaczonej ze wzoru Newtona-Leibniza.

Sprzęt: tablica interaktywna, ulotki.

Struktura lekcji:

1. Org. Za chwilę

2. Sprawdzanie pracy domowej. Aktualizacja podstawowej wiedzy i umiejętności

3. Nowy materiał

4. Konsolidacja (praca w grupach) kontrola zróżnicowana

5. Dom. tyłek (zróżnicowany)

Metody : wyjaśniająco-ilustracyjny, częściowo badawczy, praktyczny.

Rodzaj sesji szkoleniowej: lekcja zintegrowana

Formy pracy : czołowy, grupowy.

Podczas zajęć:

IOrg. Za chwilę

IISprawdzanie domu. tyłek:. Powtórz koncepcję funkcji pierwotnych, podstawowych wzorów. (materiał teoretyczny)

Zapamiętaj algorytm konstruowania funkcji kwadratowej (rozmowa z przodu)

Zaprogramowane sterowanie

Ćwiczenia	Odpowiedź
opcja 1	Opcja 2
Znajdź ogólną postać funkcji pierwotnej.
Oblicz:
Znajdź obszar figury ograniczony liniami:
y = x2, y = 0, x = 2	y = x3, y = 0, x = 2

Każdy kadet ma tę niezależną pracę na swoim biurku, co pozwala sprawdzić wykonanie zadania. niewolnik. Prawidłowa odpowiedź jest zakreślona i przekazana do weryfikacji.

IIIMateriał teoretyczny

Problem 1: Znajdź pole trapezu krzywoliniowego ograniczonego osią OX, liniami x=a, x=b i wykresem funkcji y=f(x)

y(x)=9-x2, x=-1, x=2

Jeden kadet zostaje przywołany do tablicy i korzystając z programu Advanced Grapher buduje zakrzywiony trapez, a wynik wyświetla na tablicy interaktywnej. Reszta pracuje w zeszytach i potem sprawdza tablicę

Zakrzywiony trapez jest zacieniony na tablicy i narysowane jest rozwiązanie.

https://pandia.ru/text/78/387/images/image015_18.jpg" szerokość="476" wysokość="359">

Podczas frontalnej rozmowy zacienimy postać, której obszar musimy znaleźć

Kadetom zadaje się pytanie: „Czy uzyskana figura jest zakrzywionym trapezem? Jak obliczyć pole danej figury na podstawie wcześniej zdobytej wiedzy?”

Jak znaleźć granice całkowania dla każdego zakrzywionego trapezu?

Znajdźmy punkty przecięcia tych dwóch funkcji:

X2 =2 X- X2 ( odpowiedź ucznia)

Wniosek: Sф=∫x2dx + ∫(2x-x2)dx=1 (na tablicy wyświetlana jest tylko odpowiedź). Konsultanci pracują dla słabych.

· Budujemy wykresy funkcji

Sф=∫ f(x)dx + ∫ g(x)dx

https://pandia.ru/text/78/387/images/image017_20.jpg" szerokość="512" height="260 src=">Korzystając z tego samego rysunku, oblicz pole zacienionej figury:

Kadet na tablicy przybliża rysunek dla lepszej przejrzystości.

Jak znaleźć pole danej figury?

Uczniowie dochodzą do wniosku, że figura ta składa się z dwóch zakrzywionych trapezów.

Zapiszmy otrzymany wynik w formie ogólnej (kadeci sami wyciągają wnioski, nauczyciel pełni jedynie rolę przewodnią)

· Budujemy wykresy funkcji

· Znajdź odciętą punktów przecięcia wykresów funkcji f(x)=g(x), x1, x2

Sф=∫(g(x)-f(x))dx

https://pandia.ru/text/78/387/images/image019_16.jpg" szerokość="396" height="297 src=">Kadeci podsumowują:

IV Konsolidacja (praca różnicowa w grupach)

Grupa 1: Znajdź obszar figury ograniczony liniami

y(x)=x2+2, g(x)=4-x

Grupa 2: Znajdź obszar figury ograniczony liniami

y(x)=-x2-4x, g(x)=x+4

Grupa 3: Znajdź obszar figury ograniczony liniami

y(x)=4/x2, g(x)=-3x+7

Klucz autotestu jest wyświetlany na tablicy:

		III grupa

Zreasumowanie:

· Jak oblicza się pole zakrzywionego trapezu?

· Które z zacieniowanych figur (patrz rysunki w zeszycie) to zakrzywione trapezy?

· Dlaczego innych figur nie można nazwać trapezami krzywoliniowymi? Jaki jest ich obszar?

V Róż. dom. Stanowisko

1 grupa: Nr 000, Nr 000(2), Nr 000(1)

Grupa 2: Nr 000(2), Nr 1, Nr 000(4)