Como calcular a integral de uma fração. Integrando frações racionais

O material apresentado neste tópico é baseado nas informações apresentadas no tópico “Frações racionais. Decomposição de frações racionais em frações elementares (simples)”. Eu recomendo fortemente que você pelo menos dê uma olhada neste tópico antes de prosseguir com a leitura deste material. Além disso, precisaremos de uma tabela de integrais indefinidas.

Deixe-me lembrá-lo de alguns termos. Eles foram discutidos no tópico correspondente, portanto aqui me limitarei a uma breve formulação.

A proporção de dois polinômios $\frac(P_n(x))(Q_m(x))$ é chamada de função racional ou fração racional. A fração racional é chamada correto, se $n< m$, т.е. если степень многочлена, стоящего в числителе, меньше степени многочлена, стоящего в знаменателе. В противном случае (если $n ≥ m$) дробь называется errado.

Frações racionais elementares (simples) são frações racionais de quatro tipos:

1. $\frac(A)(x-a)$;
2. $\frac(A)((x-a)^n)$ ($n=2,3,4, \ldots$);
3. $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ ($p^2-4q< 0$);
4. $\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)$ ($p^2-4q< 0$; $n=2,3,4,\ldots$).

Nota (desejável para uma compreensão mais completa do texto): mostrar\ocultar

Por que a condição $p^2-4q é necessária?< 0$ в дробях третьего и четвертого типов? Рассмотрим квадратное уравнение $x^2+px+q=0$. Дискриминант этого уравнения $D=p^2-4q$. По сути, условие $p^2-4q < 0$ означает, что $D < 0$. Если $D < 0$, то уравнение $x^2+px+q=0$ не имеет действительных корней. Т.е. выражение $x^2+px+q$ неразложимо на множители. Именно эта неразложимость нас и интересует.

Por exemplo, para a expressão $x^2+5x+10$ obtemos: $p^2-4q=5^2-4\cdot 10=-15$. Já que $p^2-4q=-15< 0$, то выражение $x^2+5x+10$ нельзя разложить на множители.

A propósito, para esta verificação não é necessário que o coeficiente antes de $x^2$ seja igual a 1. Por exemplo, para $5x^2+7x-3=0$ obtemos: $D=7^ 2-4\cponto 5 \cdot (-3)=$109. Como $D > 0$, a expressão $5x^2+7x-3$ é fatorável.

Podem ser encontrados exemplos de frações racionais (próprias e impróprias), bem como exemplos de decomposição de uma fração racional em frações elementares. Aqui estaremos interessados ​​​​apenas nas questões de sua integração. Vamos começar com a integração de frações elementares. Portanto, cada um dos quatro tipos de frações elementares acima é fácil de integrar usando as fórmulas abaixo. Deixe-me lembrá-lo de que ao integrar frações dos tipos (2) e (4), são assumidos $n=2,3,4,\ldots$. As fórmulas (3) e (4) exigem o cumprimento da condição $p^2-4q< 0$.

\begin(equação) \int \frac(A)(x-a) dx=A\cdot \ln |x-a|+C \end(equação) \begin(equação) \int\frac(A)((x-a)^n )dx=-\frac(A)((n-1)(x-a)^(n-1))+C \end(equação) \begin(equação) \int \frac(Mx+N)(x^2 +px+q) dx= \frac(M)(2)\cdot \ln (x^2+px+q)+\frac(2N-Mp)(\sqrt(4q-p^2))\arctg\ frac(2x+p)(\sqrt(4q-p^2))+C \end(equação)

Para $\int\frac(Mx+N)((x^2+px+q)^n)dx$ a substituição $t=x+\frac(p)(2)$ é feita, após a qual o intervalo resultante é dividido em dois. O primeiro será calculado inserindo-se sob o sinal diferencial, e o segundo terá a forma $I_n=\int\frac(dt)((t^2+a^2)^n)$. Esta integral é obtida usando a relação de recorrência

\begin(equação) I_(n+1)=\frac(1)(2na^2)\frac(t)((t^2+a^2)^n)+\frac(2n-1)(2na ^2)Eu_n,\; n\in N\end(equação)

O cálculo de tal integral é discutido no exemplo nº 7 (ver terceira parte).

Esquema para cálculo de integrais de funções racionais (frações racionais):

1. Se o integrando for elementar, aplique as fórmulas (1)-(4).
2. Se o integrando não for elementar, represente-o como uma soma de frações elementares e depois integre usando as fórmulas (1)-(4).

O algoritmo acima para integração de frações racionais tem uma vantagem inegável - é universal. Aqueles. usando este algoritmo você pode integrar qualquer fração racional. É por isso que quase todas as mudanças de variáveis ​​​​em uma integral indefinida (Euler, Chebyshev, substituição trigonométrica universal) são feitas de tal forma que após essa mudança obtemos uma fração racional no intervalo. E então aplique o algoritmo a ele. Analisaremos a aplicação direta deste algoritmo através de exemplos, após fazer uma pequena observação.

$$\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C. $$

Em princípio, esta integral é fácil de obter sem aplicação mecânica da fórmula. Se tirarmos a constante $7$ do sinal integral e levarmos em conta que $dx=d(x+9)$, obtemos:

$$ \int\frac(7dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(dx)(x+9)=7\cdot \int\frac(d(x+9))(x+9 )=|u=x+9|=7\cdot\int\frac(du)(u)=7\ln|u|+C=7\ln|x+9|+C. $$

Para informações detalhadas, recomendo consultar o tópico. Explica em detalhes como tais integrais são resolvidas. Aliás, a fórmula é comprovada pelas mesmas transformações que foram aplicadas neste parágrafo ao resolvê-la “manualmente”.

2) Novamente, existem duas maneiras: usar a fórmula pronta ou ficar sem ela. Se você aplicar a fórmula, deverá levar em consideração que o coeficiente antes de $x$ (número 4) deverá ser removido. Para fazer isso, vamos simplesmente tirar estes quatro dos colchetes:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=\int\frac(11dx)(\left(4\left(x+\frac(19)(4)\right)\right)^ 8)= \int\frac(11dx)(4^8\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=\int\frac(\frac(11)(4^8)dx) (\esquerda(x+\frac(19)(4)\direita)^8). $$

Agora é hora de aplicar a fórmula:

$$ \int\frac(\frac(11)(4^8)dx)(\left(x+\frac(19)(4)\right)^8)=-\frac(\frac(11)(4 ^8))((8-1)\esquerda(x+\frac(19)(4) \direita)^(8-1))+C= -\frac(\frac(11)(4^8)) (7\esquerda(x+\frac(19)(4) \direita)^7)+C=-\frac(11)(7\cdot 4^8 \esquerda(x+\frac(19)(4) \direita )^7)+C. $$

Você pode fazer isso sem usar a fórmula. E mesmo sem tirar a constante $4$ dos colchetes. Se levarmos em conta que $dx=\frac(1)(4)d(4x+19)$, obtemos:

$$ \int\frac(11dx)((4x+19)^8)=11\int\frac(dx)((4x+19)^8)=\frac(11)(4)\int\frac( d(4x+19))((4x+19)^8)=|u=4x+19|=\\ =\frac(11)(4)\int\frac(du)(u^8)=\ frac(11)(4)\int u^(-8)\;du=\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-8+1))(-8+1)+C= \\ =\frac(11)(4)\cdot\frac(u^(-7))(-7)+C=-\frac(11)(28)\cdot\frac(1)(u^7 )+C=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C. $$

Explicações detalhadas para encontrar tais integrais são fornecidas no tópico “Integração por substituição (substituição sob o sinal diferencial)”.

3) Precisamos integrar a fração $\frac(4x+7)(x^2+10x+34)$. Esta fração tem a estrutura $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$, onde $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$. No entanto, para ter certeza de que esta é realmente uma fração elementar do terceiro tipo, você precisa verificar se a condição $p^2-4q é atendida< 0$. Так как $p^2-4q=10^2-4\cdot 34=-16 < 0$, то мы действительно имеем дело с интегрированием элементарной дроби третьего типа. Как и в предыдущих пунктах есть два пути для нахождения $\int\frac{4x+7}{x^2+10x+34}dx$. Первый путь - банально использовать формулу . Подставив в неё $M=4$, $N=7$, $p=10$, $q=34$ получим:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx = \frac(4)(2)\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(2\cdot 7-4\cdot 10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(4\cdot 34-10^2))+C=\\ = 2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(\sqrt(36)) \arctg\frac(2x+10)(\sqrt(36))+C =2\cdot \ln (x^2+10x+34)+\frac(-26)(6) \arctg\frac(2x+10)(6)+C=\\ =2\cdot \ln (x^2+10x +34)-\frac(13)(3) \arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Vamos resolver o mesmo exemplo, mas sem usar fórmula pronta. Vamos tentar isolar a derivada do denominador no numerador. O que isto significa? Sabemos que $(x^2+10x+34)"=2x+10$. É a expressão $2x+10$ que temos que isolar no numerador. Até agora o numerador contém apenas $4x+7$, mas isso não durará muito. Vamos aplicar a seguinte transformação ao numerador:

$$ 4x+7=2\cdot 2x+7=2\cdot (2x+10-10)+7=2\cdot(2x+10)-2\cdot 10+7=2\cdot(2x+10) -13. $$

Agora a expressão necessária $2x+10$ aparece no numerador. E nossa integral pode ser reescrita da seguinte forma:

$$ \int\frac(4x+7)(x^2+10x+34) dx= \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx. $$

Vamos dividir o integrando em dois. Bem, e, portanto, a própria integral também é “bifurcada”:

$$ \int\frac(2\cdot(2x+10)-13)(x^2+10x+34)dx=\int \left(\frac(2\cdot(2x+10))(x^2 +10x+34)-\frac(13)(x^2+10x+34) \direita)\; dx=\\ =\int \frac(2\cdot(2x+10))(x^2+10x+34)dx-\int\frac(13dx)(x^2+10x+34)=2\cdot \int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34). $$

Vamos primeiro falar sobre a primeira integral, ou seja, sobre $\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)$. Como $d(x^2+10x+34)=(x^2+10x+34)"dx=(2x+10)dx$, então o numerador do integrando contém o diferencial do denominador. Em suma, em vez disso da expressão $( 2x+10)dx$ escrevemos $d(x^2+10x+34)$.

Agora digamos algumas palavras sobre a segunda integral. Vamos selecionar um quadrado completo no denominador: $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$. Além disso, levamos em consideração $dx=d(x+5)$. Agora, a soma das integrais que obtivemos anteriormente pode ser reescrita de uma forma ligeiramente diferente:

$$ 2\cdot\int \frac((2x+10)dx)(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(dx)(x^2+10x+34) =2\cdot \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+5)^2+ 9). $$

Se fizermos a substituição $u=x^2+10x+34$ na primeira integral, então ela assumirá a forma $\int\frac(du)(u)$ e pode ser obtida simplesmente aplicando a segunda fórmula de . Quanto à segunda integral, a mudança $u=x+5$ é viável para ela, após a qual ela assumirá a forma $\int\frac(du)(u^2+9)$. Esta é a décima primeira fórmula mais pura da tabela de integrais indefinidas. Então, voltando à soma das integrais, temos:

$$ 2\cdot\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)-13\cdot\int\frac(d(x+5))((x+ 5 )^2+9) =2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x+5)(3)+C. $$

Recebemos a mesma resposta da aplicação da fórmula, o que, a rigor, não surpreende. Em geral, a fórmula é provada pelos mesmos métodos que utilizámos para determinar esta integral. Acredito que o leitor atento possa ter uma dúvida aqui, então vou formulá-la:

Pergunta nº 1

Se aplicarmos a segunda fórmula da tabela de integrais indefinidas à integral $\int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)$, obteremos o seguinte:

$$ \int \frac(d(x^2+10x+34))(x^2+10x+34)=|u=x^2+10x+34|=\int\frac(du)(u) =\ln|u|+C=\ln|x^2+10x+34|+C. $$

Por que não havia módulo na solução?

Resposta à pergunta nº 1

A questão é completamente natural. O módulo estava faltando apenas porque a expressão $x^2+10x+34$ para qualquer $x\in R$ é maior que zero. Isso é muito fácil de mostrar de várias maneiras. Por exemplo, como $x^2+10x+34=(x+5)^2+9$ e $(x+5)^2 ≥ 0$, então $(x+5)^2+9 > 0$ . Você pode pensar de forma diferente, sem usar a seleção de um quadrado completo. Desde $10^2-4\cdot 34=-16< 0$, то $x^2+10x+34 >0$ para qualquer $x\in R$ (se esta cadeia lógica for surpreendente, aconselho você a observar o método gráfico para resolver desigualdades quadráticas). Em qualquer caso, como $x^2+10x+34 > 0$, então $|x^2+10x+34|=x^2+10x+34$, ou seja, Em vez de um módulo, você pode usar parênteses regulares.

Todos os pontos do exemplo nº 1 foram resolvidos, só falta anotar a resposta.

Responder:

1. $\int\frac(7dx)(x+9)=7\ln|x+9|+C$;
2. $\int\frac(11dx)((4x+19)^8)=-\frac(11)(28(4x+19)^7)+C$;
3. $\int\frac(4x+7)(x^2+10x+34)dx=2\cdot\ln(x^2+10x+34)-\frac(13)(3)\arctg\frac(x +5)(3)+C$.

Exemplo nº 2

Encontre a integral $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx$.

À primeira vista, o integrando $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ é muito semelhante a uma fração elementar do terceiro tipo, ou seja, por $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$. Parece que a única diferença é o coeficiente de $3$ na frente de $x^2$, mas não demora muito para remover o coeficiente (colocá-lo fora dos colchetes). No entanto, esta semelhança é aparente. Para a fração $\frac(Mx+N)(x^2+px+q)$ a condição $p^2-4q é obrigatória< 0$, которое гарантирует, что знаменатель $x^2+px+q$ нельзя разложить на множители. Проверим, как обстоит дело с разложением на множители у знаменателя нашей дроби, т.е. у многочлена $3x^2-5x-2$.

Nosso coeficiente antes de $x^2$ não é igual a um, portanto verifique a condição $p^2-4q< 0$ напрямую мы не можем. Однако тут нужно вспомнить, откуда взялось выражение $p^2-4q$. Это всего лишь дискриминант квадратного уравнения $x^2+px+q=0$. Если дискриминант меньше нуля, то выражение $x^2+px+q$ на множители не разложишь. Вычислим дискриминант многочлена $3x^2-5x-2$, расположенного в знаменателе нашей дроби: $D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49$. Итак, $D >0$, portanto a expressão $3x^2-5x-2$ pode ser fatorada. Isso significa que a fração $\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)$ não é uma fração elementar do terceiro tipo, e aplica-se $\int\frac(7x+12)(3x^2- ) para a fórmula integral 5x-2)dx$ não é possível.

Bem, se a fração racional dada não for uma fração elementar, então ela precisa ser representada como uma soma de frações elementares e depois integrada. Resumindo, aproveite a trilha. Como decompor uma fração racional em frações elementares é descrito em detalhes. Vamos começar fatorando o denominador:

$$ 3x^2-5x-2=0;\\ \begin(alinhado) & D=(-5)^2-4\cdot 3\cdot(-2)=49;\\ & x_1=\frac( -(-5)-\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5-7)(6)=\frac(-2)(6)=-\frac(1)(3); \\ & x_2=\frac(-(-5)+\sqrt(49))(2\cdot 3)=\frac(5+7)(6)=\frac(12)(6)=2.\ \\end(alinhado)\\ 3x^2-5x-2=3\cdot\left(x-\left(-\frac(1)(3)\right)\right)\cdot (x-2)= 3\cponto\esquerda(x+\frac(1)(3)\direita)(x-2). $$

Apresentamos a fração subintercal nesta forma:

$$ \frac(7x+12)(3x^2-5x-2)=\frac(7x+12)(3\cdot\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2) )=\frac(\frac(7)(3)x+4)(\esquerda(x+\frac(1)(3)\direita)(x-2)). $$

Agora vamos decompor a fração $\frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))$ em frações elementares:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2)) =\frac(A)(x+\frac( 1)(3))+\frac(B)(x-2)=\frac(A(x-2)+B\left(x+\frac(1)(3)\right))(\left(x+ \frac(1)(3)\direita)(x-2));\\ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\esquerda(x+\frac(1)( 3)\direita). $$

Para encontrar os coeficientes $A$ e $B$ existem duas formas padrão: o método dos coeficientes indeterminados e o método da substituição de valores parciais. Vamos aplicar o método de substituição de valor parcial, substituindo $x=2$ e depois $x=-\frac(1)(3)$:

$$ \frac(7)(3)x+4=A(x-2)+B\esquerda(x+\frac(1)(3)\direita).\\ x=2;\; \frac(7)(3)\cdot 2+4=A(2-2)+B\esquerda(2+\frac(1)(3)\direita); \; \frac(26)(3)=\frac(7)(3)B;\; B=\frac(26)(7).\\ x=-\frac(1)(3);\; \frac(7)(3)\cdot \left(-\frac(1)(3) \right)+4=A\left(-\frac(1)(3)-2\right)+B\left (-\frac(1)(3)+\frac(1)(3)\direita); \; \frac(29)(9)=-\frac(7)(3)A;\; A=-\frac(29\cdot 3)(9\cdot 7)=-\frac(29)(21).\\ $$

Como os coeficientes foram encontrados, resta anotar a expansão finalizada:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=\frac(-\frac(29)( 21))(x+\frac(1)(3))+\frac(\frac(26)(7))(x-2). $$

Em princípio, você pode deixar esta entrada, mas gosto de uma opção mais precisa:

$$ \frac(\frac(7)(3)x+4)(\left(x+\frac(1)(3)\right)(x-2))=-\frac(29)(21)\ cdot\frac(1)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2). $$

Voltando à integral original, substituímos nela a expansão resultante. Em seguida, dividimos a integral em duas e aplicamos a fórmula a cada uma. Prefiro colocar imediatamente as constantes fora do sinal de integral:

$$ \int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\frac(1)(x+\frac(1) (3))+\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx=\\ =\int\left(-\frac(29)(21)\cdot\ frac(1)(x+\frac(1)(3))\right)dx+\int\left(\frac(26)(7)\cdot\frac(1)(x-2)\right)dx =- \frac(29)(21)\cdot\int\frac(dx)(x+\frac(1)(3))+\frac(26)(7)\cdot\int\frac(dx)(x-2 )dx=\\ =-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right|+\frac(26)(7)\cdot\ln|x- 2|+C. $$

Responder: $\int\frac(7x+12)(3x^2-5x-2)dx=-\frac(29)(21)\cdot\ln\left|x+\frac(1)(3)\right| +\frac(26)(7)\cdot\ln|x-2|+C$.

Exemplo nº 3

Encontre a integral $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx$.

Precisamos integrar a fração $\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))$. O numerador contém um polinômio de segundo grau e o denominador contém um polinômio de terceiro grau. Como o grau do polinômio no numerador é menor que o grau do polinômio no denominador, ou seja, US$ 2< 3$, то подынтегральная дробь является правильной. Разложение этой дроби на элементарные (простейшие) было получено в примере №3 на странице, посвящённой разложению рациональных дробей на элементарные. Полученное разложение таково:

$$ \frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))=-\frac(3)(x-1)+\frac(5)(x +4)-\frac(1)(x-9). $$

Tudo o que precisamos fazer é dividir a integral dada em três e aplicar a fórmula a cada uma. Prefiro colocar imediatamente as constantes fora do sinal de integral:

$$ \int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=\int\left(-\frac(3)(x-1) +\frac(5)(x+4)-\frac(1)(x-9) \right)dx=\\=-3\cdot\int\frac(dx)(x-1)+ 5\cdot \int\frac(dx)(x+4)-\int\frac(dx)(x-9)=-3\ln|x-1|+5\ln|x+4|-\ln|x- 9|+C. $$

Responder: $\int\frac(x^2-38x+157)((x-1)(x+4)(x-9))dx=-3\ln|x-1|+5\ln|x+ 4 |-\ln|x-9|+C$.

A continuação da análise de exemplos deste tópico está localizada na segunda parte.

São considerados exemplos de integração de funções racionais (frações) com soluções detalhadas.

Contente

Veja também: Raízes de uma equação quadrática

Aqui fornecemos soluções detalhadas para três exemplos de integração das seguintes frações racionais:
, , .

Exemplo 1

Calcule a integral:
.

Aqui, sob o sinal de integral existe uma função racional, pois o integrando é uma fração de polinômios. Grau polinomial do denominador ( 3 ) é menor que o grau do polinômio do numerador ( 4 ). Portanto, primeiro você precisa selecionar toda a parte da fração.

1. Vamos selecionar toda a parte da fração. Dividir x 4 por x 3 - 6 x 2 + 11 x - 6:


Daqui
.

2. Vamos fatorar o denominador da fração. Para fazer isso, você precisa resolver a equação cúbica:
.
6
1, 2, 3, 6, -1, -2, -3, -6 .
Vamos substituir x = 1 :
.

1 . Divida por x - 1 :

Daqui
.
Resolvendo uma equação quadrática.
.
As raízes da equação são: , .
Então
.

3. Vamos decompor a fração na sua forma mais simples.

.

Então encontramos:
.
Vamos integrar.

Exemplo 2

Calcule a integral:
.

Aqui o numerador da fração é um polinômio de grau zero ( 1 =x0). O denominador é um polinômio de terceiro grau. Porque o 0 < 3 , então a fração está correta. Vamos dividi-lo em frações simples.

1. Vamos fatorar o denominador da fração. Para fazer isso, você precisa resolver a equação do terceiro grau:
.
Vamos supor que tenha pelo menos uma raiz inteira. Então é um divisor do número 3 (membro sem x). Ou seja, a raiz inteira pode ser um dos números:
1, 3, -1, -3 .
Vamos substituir x = 1 :
.

Então, encontramos uma raiz x = 1 . Dividir x 3 + 2 x - 3 em x - 1 :

Então,
.

Resolvendo a equação quadrática:
x 2 + x + 3 = 0.
Encontre o discriminante: D = 1 2 - 4 3 = -11. Desde D< 0 , então a equação não tem raízes reais. Assim, obtivemos a fatoração do denominador:
.

2.
.
(x - 1)(x 2 + x + 3):
(2.1) .
Vamos substituir x = 1 . Então x - 1 = 0 ,
.

Vamos substituir (2.1) x = 0 :
1 = 3 A - C;
.

Vamos igualar a (2.1) coeficientes para x 2 :
;
0 = A + B;
.

.

3. Vamos integrar.
(2.2) .
Para calcular a segunda integral, isolamos a derivada do denominador no numerador e reduzimos o denominador à soma dos quadrados.

;
;
.

Calcule eu 2 .


.
Como a equação x 2 + x + 3 = 0 não tem raízes reais, então x 2 + x + 3 > 0. Portanto, o sinal do módulo pode ser omitido.

Nós entregamos para (2.2) :
.

Exemplo 3

Calcule a integral:
.

Aqui sob o sinal integral há uma fração de polinômios. Portanto, o integrando é uma função racional. O grau do polinômio no numerador é igual a 3 . O grau do polinômio do denominador da fração é igual a 4 . Porque o 3 < 4 , então a fração está correta. Portanto, pode ser decomposto em frações simples. Mas para fazer isso você precisa fatorar o denominador.

1. Vamos fatorar o denominador da fração. Para fazer isso, você precisa resolver a equação do quarto grau:
.
Vamos supor que tenha pelo menos uma raiz inteira. Então é um divisor do número 2 (membro sem x). Ou seja, a raiz inteira pode ser um dos números:
1, 2, -1, -2 .
Vamos substituir x = -1 :
.

Então, encontramos uma raiz x = -1 . Divida por x - (-1) = x + 1:


Então,
.

Agora precisamos resolver a equação do terceiro grau:
.
Se assumirmos que esta equação tem uma raiz inteira, então ela é um divisor do número 2 (membro sem x). Ou seja, a raiz inteira pode ser um dos números:
1, 2, -1, -2 .
Vamos substituir x = -1 :
.

Então, encontramos outra raiz x = -1 . Seria possível, como no caso anterior, dividir o polinômio por , mas agruparemos os termos:
.

Como a equação x 2 + 2 = 0 não tem raízes reais, então obtemos a fatoração do denominador:
.

2. Vamos decompor a fração na sua forma mais simples. Estamos procurando uma expansão no formato:
.
Nos livramos do denominador da fração, multiplicamos por (x + 1) 2 (x 2 + 2):
(3.1) .
Vamos substituir x = -1 . Então x + 1 = 0 ,
.

Vamos diferenciar (3.1) :

;

.
Vamos substituir x = -1 e leve em consideração que x + 1 = 0 :
;
; .

Vamos substituir (3.1) x = 0 :
0 = 2 A + 2 B + D;
.

Vamos igualar a (3.1) coeficientes para x 3 :
;
1 = B + C;
.

Então, encontramos a decomposição em frações simples:
.

3. Vamos integrar.


.

Veja também:

Para integrar uma função racional \(\large\frac((P\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize,\) onde \((P\left(x \ right ))\) e \((Q\left(x \right))\) são polinômios, a seguinte sequência de etapas é usada:

Se a fração for uma fração imprópria (ou seja, o grau de \((P\left(x \right))\) for maior que o grau de \((Q\left(x \right))\)), converta-a para uma fração própria, destacando toda a expressão;

Expanda o denominador \((Q\left(x \right))\) no produto de monômios e/ou expressões quadráticas irredutíveis;

Resolva uma fração racional em frações mais simples usando ;

Calcule integrais de frações simples.

Vejamos essas etapas com mais detalhes.

Passo 1: Convertendo uma fração racional imprópria

Se a fração for imprópria (ou seja, o grau do numerador \((P\left(x \right))\) for maior que o grau do denominador \((Q\left(x \right))\)), dividindo o polinômio \((P\ left(x \right))\) por \((Q\left(x \right)).\) Obtemos a seguinte expressão: \[\frac((P\left(x \direita)))((Q\esquerda (x \direita))) = F\esquerda(x \direita) + \frac((R\esquerda(x \direita)))((Q\esquerda(x \direita) ))),\] onde \(\ large\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right)))\normalsize\) é uma fração racional adequada.

Passo 2. Decomposição do denominador em frações simples

Vamos escrever o polinômio denominador \((Q\left(x \right))\) na forma \[ (Q\left(x \right) ) = ((\left((x - a) \right)^ \alpha ) \ cdots (\left((x - b) \right)^\beta )(\left(((x^2) + px + q) \right)^\mu ) \cdots (\left(( (x^2 ) + rx + s) \right)^\nu ),) \] onde funções quadráticas são irredutíveis, ou seja, não possuem raízes reais.

Etapa 3. Decomposição de uma fração racional em uma soma de frações simples.

Vamos escrever a função racional na seguinte forma: \[ (\frac((R\left(x \right)))((Q\left(x \right))) = \frac(A)((((\ esquerda(( x - a) \direita))^\alfa ))) + \frac(((A_1)))((((\esquerda((x - a) \direita))^(\alfa - 1) ))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((A_(\alpha - 1))))((x - a)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(B)(((( \left( (x - b) \right))^\beta ))) + \frac(((B_1)))((((\left((x - b) \right))^(\beta - 1 ))) ) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((B_(\beta - 1))))((x - b)) )\kern0pt (+ \frac((Kx + L))(( ((\ esquerda(((x^2) + px + q) \direita))^\mu ))) + \frac(((K_1)x + (L_1)))((((\esquerda((( x^2 ) + px + q) \right))^(\mu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((K_(\mu - 1))x + (L_(\ mu - 1 ))))(((x^2) + px + q)) + \ldots )\kern0pt (+ \frac((Mx + N))((((\left(((x^2) + rx + s) \direita))^\nu ))) + \frac(((M_1)x + (N_1)))((((\esquerda(((x^2) + rx + s) \direita ))^ (\nu - 1)))) + \ldots )\kern0pt (+ \frac(((M_(\nu - 1))x + (N_(\nu - 1))))(((x ^2) + rx + s)).) \] Número total de coeficientes indeterminados \((A_i),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i ),\) \((N_i), \ldots\) deve ser igual ao grau do denominador \((Q\left(x \right)).\)

Em seguida, multiplicamos ambos os lados da equação resultante pelo denominador \((Q\left(x \right))\) e igualamos os coeficientes dos termos com os mesmos graus \(x.\) Como resultado, obtemos um sistema de equações lineares para coeficientes desconhecidos \((A_i ),\) \((B_i),\) \((K_i),\) \((L_i),\) \((M_i),\) \((N_i ), \ldots\) Este sistema sempre tem apenas decisão. O algoritmo descrito é método de coeficientes incertos .

Passo 4. Integração de frações racionais simples.

As frações mais simples obtidas pela decomposição de uma fração racional própria arbitrária são integradas usando as seis fórmulas a seguir: \ \ Para frações com denominador quadrático, primeiro você precisa isolar o quadrado perfeito: \[\int (\frac((Ax + B) )((((\ left(((x^2) + px + q) \right))^k)))dx) = \int (\frac((At + B"))((((\left (((t^2 ) + (m^2)) \right))^k)))dt) ,\] onde \(t = x + \large\frac(p)(2)\normalsize,\) \((m^2 ) = \grande\frac((4q - (p^2)))(4)\tamanho normal,\) \(B" = B - \grande\frac((Ap))(2) \normalsize.\) Em seguida, as seguintes fórmulas são usadas: \ \[ (4.\;\;\int (\frac((tdt))((((\left(((t^2) + (m^2 )) \direita))^k )))) ) = (\frac(1)((2\esquerda((1 - k) \direita)((\esquerda(((t^2) + (m^2 )) \right))^( k - 1)))) ) \] \Integral \(\large\int\normalsize (\large\frac((dt))((((\left(((t^2 ) + (m^2)) \right))^k)))\normalsize) \) pode ser calculado em \(k\) etapas usando fórmulas de redução\[ (6.\;\;\int (\frac((dt))((((\left(((t^2) + (m^2)) \right))^k)))) ) = (\frac(t)((2(m^2)\esquerda((k - 1) \direita)((\esquerda(((t^2) + (m^2)) \direita))^( k - 1)))) ) (+ \frac((2k - 3))((2(m^2)\left((k - 1) \right)))\int (\frac((dt)) ((((\esquerda(((t^2) + (m^2)) \direita))^(k - 1))))) ) \]

TÓPICO: Integração de frações racionais.

Atenção! Ao estudar um dos métodos básicos de integração: a integração de frações racionais, é necessário considerar polinômios no domínio complexo para realizar provas rigorosas. Portanto é necessário estudar com antecedência algumas propriedades de números complexos e operações sobre eles.

Integração de frações racionais simples.

Se P(z) E P(z) são polinômios no domínio complexo, então são frações racionais. É chamado correto, se grau P(z) menos grau P(z) , E errado, se grau R nada menos que um diploma P.

Qualquer fração imprópria pode ser representada como: ,

P(z) = Q(z) S(z) + R(z),

a R(z) – polinômio cujo grau é menor que o grau P(z).

Assim, a integração de frações racionais se resume à integração de polinômios, ou seja, funções de potência, e frações próprias, por se tratar de uma fração própria.

Definição 5. As frações mais simples (ou elementares) são os seguintes tipos de frações:

1) , 2) , 3) , 4) .

Vamos descobrir como eles se integram.

3) (estudado anteriormente).

Teorema 5. Cada fração própria pode ser representada como uma soma de frações simples (sem prova).

Corolário 1. Se for uma fração racional própria, e se entre as raízes do polinômio houver apenas raízes reais simples, então na decomposição da fração na soma das frações simples haverá apenas frações simples do 1º tipo:

Exemplo 1.

Corolário 2. Se for uma fração racional própria, e se entre as raízes do polinômio houver apenas múltiplas raízes reais, então na decomposição da fração na soma de frações simples haverá apenas frações simples do 1º e 2º tipos :

Exemplo 2.

Corolário 3. Se for uma fração racional própria, e se entre as raízes do polinômio houver apenas raízes conjugadas complexas simples, então na decomposição da fração na soma das frações simples haverá apenas frações simples do 3º tipo:

Exemplo 3.

Corolário 4. Se for uma fração racional própria, e se entre as raízes do polinômio houver apenas múltiplas raízes conjugadas complexas, então na decomposição da fração na soma das frações simples haverá apenas frações simples da 3ª e 4ª tipos:

Para determinar os coeficientes desconhecidos nas expansões dadas, proceda da seguinte forma. Os lados esquerdo e direito da expansão contendo coeficientes desconhecidos são multiplicados por. A igualdade de dois polinômios é obtida. A partir dele, são obtidas equações para os coeficientes requeridos usando:

1. A igualdade é verdadeira para quaisquer valores de X (método do valor parcial). Neste caso, obtém-se qualquer número de equações, qualquer m das quais permite encontrar os coeficientes desconhecidos.

2. os coeficientes coincidem para os mesmos graus de X (método dos coeficientes indefinidos). Neste caso, obtém-se um sistema de m - equações com m - incógnitas, a partir do qual são encontrados os coeficientes de incógnitas.

3. método combinado.

Exemplo 5. Expanda uma fração ao mais simples.

Solução:

Vamos encontrar os coeficientes A e B.

Método 1 - método de valor privado:

Método 2 – método dos coeficientes indeterminados:

Responder:

Integrando frações racionais.

Teorema 6. A integral indefinida de qualquer fração racional em qualquer intervalo em que o seu denominador não seja igual a zero existe e é expressa através de funções elementares, nomeadamente frações racionais, logaritmos e arcotangentes.

Prova.

Vamos imaginar uma fração racional na forma: . Neste caso, o último termo é uma fração própria e, segundo o Teorema 5, pode ser representado como uma combinação linear de frações simples. Assim, a integração de uma fração racional se reduz à integração de um polinômio S(x) e frações simples, cujas primitivas, como foi mostrado, têm a forma indicada no teorema.

Comente. A principal dificuldade neste caso é a decomposição do denominador em fatores, ou seja, a busca de todas as suas raízes.

Exemplo 1. Encontre a integral

O integrando é uma fração racional adequada. A expansão do denominador em fatores irredutíveis tem a forma Isso significa que a expansão do integrando em uma soma de frações simples tem a seguinte forma:

Vamos encontrar os coeficientes de expansão usando um método combinado:

Por isso,

Exemplo 2. Encontre a integral

O integrando é uma fração imprópria, então isolamos a parte inteira:

A primeira das integrais é tabular e calculamos a segunda decompondo a fração adequada em frações simples:

Usando o método dos coeficientes indeterminados, temos:

Por isso,

“Um matemático, assim como um artista ou poeta, cria padrões. E se os seus padrões são mais estáveis, é apenas porque são compostos de ideias... Os padrões de um matemático, tal como os padrões de um artista ou de um poeta, devem ser belos; As ideias, assim como as cores ou as palavras, devem corresponder entre si. A beleza é o primeiro requisito: não há lugar no mundo para matemática feia».

G. H. Hardy

No primeiro capítulo notou-se que existem primitivas de funções bastante simples que não podem mais ser expressas através de funções elementares. A este respeito, aquelas classes de funções sobre as quais podemos dizer com precisão que as suas antiderivadas são funções elementares adquirem enorme importância prática. Esta classe de funções inclui funções racionais, representando a razão de dois polinômios algébricos. Muitos problemas levam à integração de frações racionais. Portanto, é muito importante poder integrar tais funções.

2.1.1. Funções racionais fracionárias

Fração racional(ou função racional fracionária) é a relação de dois polinômios algébricos:

onde e são polinômios.

Lembremos que polinomial (polinomial, toda a função racional) nº grau chamada de função da forma

Onde - numeros reais. Por exemplo,

– polinômio de primeiro grau;

– polinômio de quarto grau, etc.

A fração racional (2.1.1) é chamada correto, se o grau for inferior ao grau , ou seja, n<eu, caso contrário a fração é chamada errado.

Qualquer fração imprópria pode ser representada como a soma de um polinômio (parte inteira) e uma fração própria (parte fracionária). A separação das partes inteiras e fracionárias de uma fração imprópria pode ser feita de acordo com a regra de divisão de polinômios com “canto”.

Exemplo 2.1.1. Identifique as partes inteiras e fracionárias das seguintes frações racionais impróprias:

A) , b) .

Solução . a) Usando o algoritmo de divisão de “canto”, obtemos

Assim, obtemos

.

b) Aqui também usamos o algoritmo de divisão de “canto”:

Como resultado, obtemos

.

Vamos resumir. No caso geral, a integral indefinida de uma fração racional pode ser representada como a soma das integrais do polinômio e da fração racional própria. Encontrar primitivas de polinômios não é difícil. Portanto, a seguir consideraremos principalmente frações racionais próprias.

2.1.2. As frações racionais mais simples e sua integração

Entre as frações racionais próprias, existem quatro tipos, que são classificados como as frações racionais mais simples (elementares):

3) ,

4) ,

onde é um número inteiro, , ou seja trinômio quadrático não tem raízes reais.

A integração de frações simples do 1º e 2º tipos não apresenta grandes dificuldades:

, (2.1.3)

. (2.1.4)

Consideremos agora a integração de frações simples do 3º tipo, mas não consideraremos frações do 4º tipo.

Vamos começar com integrais da forma

.

Esta integral geralmente é calculada isolando o quadrado perfeito do denominador. O resultado é uma integral de tabela da seguinte forma

ou .

Exemplo 2.1.2. Encontre as integrais:

A) , b) .

Solução . a) Selecione um quadrado completo de um trinômio quadrático:

A partir daqui encontramos

b) Ao isolar um quadrado completo de um trinômio quadrático, obtemos:

Por isso,

.

Para encontrar a integral

você pode isolar a derivada do denominador no numerador e expandir a integral na soma de duas integrais: a primeira delas por substituição se resume à aparência

,

e o segundo - ao discutido acima.

Exemplo 2.1.3. Encontre as integrais:

.

Solução . notar que . Vamos isolar a derivada do denominador no numerador:

A primeira integral é calculada usando substituição :

Na segunda integral, selecionamos o quadrado perfeito no denominador

Finalmente, obtemos

2.1.3. Expansão adequada da fração racional
para a soma de frações simples

Qualquer fração racional adequada pode ser representado de forma única como uma soma de frações simples. Para fazer isso, o denominador deve ser fatorado. Da álgebra superior sabe-se que todo polinômio com coeficientes reais