Логарифм 6 на підставі 4 дорівнює. Записи з міткою "логарифми"

Що таке логарифм?

Увага!
До цієї теми є додаткові
матеріали у розділі 555.
Для тих, хто сильно "не дуже..."
І для тих, хто "дуже навіть...")

Що таке логарифм? Як вирішувати логарифми? Ці питання багатьох випускників вводять у ступор. Традиційно тема логарифмів вважається складною, незрозумілою та страшною. Особливо – рівняння з логарифмами.

Це зовсім не так. Абсолютно! Не вірите? Добре. Зараз, за ​​якісь 10 – 20 хвилин ви:

1. Зрозумієте, що таке логарифм.

2. Навчіться розв'язувати цілий клас показових рівнянь. Навіть якщо про них нічого не чули.

3. Навчіться обчислювати прості логарифми.

Причому для цього вам потрібно буде знати лише таблицю множення, та як зводиться число до ступеня...

Відчуваю, сумніваєтеся ви... Ну гаразд, засікайте час! Поїхали!

Для початку вирішіть в умі ось таке рівняння:

Якщо Вам подобається цей сайт...

До речі, у мене є ще кілька цікавих сайтів для Вас.)

Можна потренуватися у вирішенні прикладів та дізнатися свій рівень. Тестування з миттєвою перевіркою. Вчимося – з інтересом!)

можна познайомитися з функціями та похідними.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтеся з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запрошено надання вашої персональної інформації у будь-який момент, коли ви зв'язуєтесь з нами.

Нижче наведено приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, електронну адресу і т.д.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами і повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються нами, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно чи доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників і суворо стежимо за дотриманням заходів дотримання конфіденційності.

Логарифмомданого числа називається показник ступеня, в який потрібно звести інше число, зване основоюлогарифму, щоб отримати дане число. Наприклад, логарифм числа 100 на підставі 10 дорівнює 2. Інакше кажучи, 10 потрібно звести в квадрат, щоб отримати число 100 (10 2 = 100). Якщо n– задане число, b– основа та l– логарифм, то b l = n. Число nтакож називається антилогарифмом на підставі bчисла l. Наприклад, антилогарифм 2 на підставі 10 дорівнює 100. Сказане можна записати у вигляді співвідношень log b n = lта antilog b l = n.

Основні властивості логарифмів:

Будь-яке позитивне число, крім одиниці, може бути основою логарифмів, але, на жаль, виявляється, що якщо bі n- раціональні числа, то в окремих випадках знайдеться таке раціональне число l, що b l = n. Однак можна визначити ірраціональне число l, наприклад, таке, що 10 l= 2; це ірраціональне число lможна з будь-якою необхідною точністю наблизити раціональними числами. Виявляється, що у наведеному прикладі lприблизно дорівнює 0,3010, і це наближене значення логарифму на основі 10 числа 2 можна знайти в чотиризначних таблицях десяткових логарифмів. Логарифми на підставі 10 (або десяткові логарифми) настільки часто використовуються при обчисленнях, що їх називають звичайнимилогарифмами та записують у вигляді log2 = 0,3010 або lg2 = 0,3010, опускаючи явну вказівку основи логарифму. Логарифми на підставі e, трансцендентному числу, приблизно рівному 2,71828, називаються натуральнимилогарифмами. Вони зустрічаються переважно у роботах з математичного аналізу та його додатків до різних наук. Натуральні логарифми також записують, не вказуючи явно підстави, але використовуючи спеціальне позначення ln: наприклад, ln2 = 0,6931, т.к. e 0,6931 = 2.

Користування таблицями звичайних логарифмів.

Звичайний логарифм числа - це показник ступеня, в який потрібно звести 10, щоб отримати це число. Так як 10 0 = 1, 10 1 = 10 і 10 2 = 100, ми одразу отримуємо, що log1 = 0, log10 = 1, log100 = 2 і т.д. для зростаючих цілих ступенів 10. Аналогічно, 10 -1 = 0,1, 10 -2 = 0,01 і, отже, log0,1 = -1, log0,01 = -2 і т.д. всім цілих негативних ступенів 10. Звичайні логарифми інших чисел укладені між логарифмами найближчих до них цілих ступенів числа 10; log2 має бути укладений між 0 і 1, log20 – між 1 і 2, а log0,2 – між -1 і 0. Таким чином, логарифм складається з двох частин, цілого числа та десяткового дробу, укладеного між 0 та 1. Цілочисленна частина називається характеристикоюлогарифма і визначається за самим числом, дробова частина називається мантисоюі може бути знайдено з таблиць. Крім того, log20 = log(2ґ10) = log2 + log10 = (log2) + 1. Логарифм числа 2 дорівнює 0,3010, тому log20 = 0,3010 + 1 = 1,3010. Аналогічно, log0,2 = log(2?10) = log2 - log10 = (log2) - 1 = 0,3010 - 1. Виконавши віднімання, ми отримаємо log0,2 = - 0,6990. Однак зручніше уявити log0,2 у вигляді 0,3010 - 1 або як 9,3010 - 10; можна сформулювати і загальне правило: всі числа, що виходять з цього числа множенням на ступінь числа 10, мають однакові мантиси, рівні мантисі заданого числа. У більшості таблиць наведені мантиси чисел, що лежать в інтервалі від 1 до 10, оскільки мантиси всіх інших чисел можуть бути отримані з наведених у таблиці.

У більшості таблиць логарифми даються з чотирма або п'ятьма десятковими знаками, хоча існують семизначні таблиці та таблиці з ще більшим числом знаків. Навчитися користуватися такими таблицями найлегше на прикладах. Щоб знайти log3,59, перш за все зауважимо, що число 3,59 укладено між 10 0 і 10 1 тому його характеристика дорівнює 0. Знаходимо в таблиці число 35 (ліворуч) і рухаємося по рядку до стовпця, у якого зверху стоїть число 9 ; на перетині цього стовпця та рядка 35 стоїть число 5551, тому log3,59 = 0,5551. Щоб знайти мантису числа з чотирма цифрами, необхідно вдатися до інтерполяції. У деяких таблицях інтерполювання полегшується пропорційними частинами, наведеними останніх дев'яти стовпцях у правій частині кожної сторінки таблиць. Знайдемо тепер log736,4; число 736,4 лежить між 10 2 і 10 3 тому характеристика його логарифма дорівнює 2. У таблиці знаходимо рядок, зліва від якої стоїть 73 і стовпець 6. На перетині цього рядка і цього стовпця стоїть число 8669. Серед лінійних частин знаходимо стовпець 4 .На перетині рядка 73 і стовпця 4 стоїть число 2. Додавши 2 до 8669, отримаємо мантису - вона дорівнює 8671. Таким чином, log736,4 = 2,8671.

Натуральні логарифми.

Таблиці та властивості натуральних логарифмів аналогічні таблицям та властивостям звичайних логарифмів. Основна відмінність між тими та іншими полягає в тому, що ціла частина натурального логарифму не має істотного значення при визначенні положення десяткової коми, і тому відмінність між мантисою та характеристикою не відіграє особливої ​​ролі. Натуральні логарифми чисел 5432; 54,32 та 543,2 рівні, відповідно, 1,6923; 3,9949 та 6,2975. Взаємозв'язок між цими логарифмами стане очевидним, якщо розглянути різницю між ними: log543,2 – log54,32 = 6,2975 – 3,9949 = 2,3026; останнє число не що інше, як натуральний логарифм числа 10 (пишається так: ln10); log543,2 - log5,432 = 4,6052; останнє число дорівнює 2ln10. Але 543,2 = 10 ґ54,32 = 10 2 ґ5,432. Таким чином, за натуральним логарифмом даного числа aможна знайти натуральні логарифми чисел, рівні добуткам числа aна будь-які ступені nчисла 10, якщо до ln aдодавати ln10, помножений на n, тобто. ln( aґ10n) = ln a + n ln10 = ln a + 2,3026n. Наприклад, ln0,005432 = ln(5,432ґ10 –3) = ln5,432 – 3ln10 = 1,6923 – (3ґ2,3026) = – 5,2155. Тому таблиці натуральних логарифмів, як і таблиці звичайних логарифмів, зазвичай містять лише логарифми чисел від 1 до 10. У системі натуральних логарифмів можна говорити про антилогарифми, але частіше говорять про експонентну функцію або про експонент. Якщо x= ln y, то y = e x, і yназивається експонентою від x(Для зручності друкарського набору часто пишуть y= exp x). Експонента відіграє роль антилогарифму числа x.

За допомогою таблиць десяткових і натуральних логарифмів можна скласти таблиці логарифмів з будь-якої основи, відмінної від 10 і e. Якщо log b a = x, то b x = a, і, отже, log c b x= log c aабо x log c b= log c a, або x= log c a/log c b= log b a. Отже, за допомогою цієї формули звернення з таблиці логарифмів на основі cможна побудувати таблиці логарифмів з будь-якої іншої основи b. Множник 1/log c bназивається модулем переходувід основи cдо основи b. Ніщо не заважає, наприклад, користуючись формулою звернення або переходу від однієї системи логарифмів до іншої, знайти натуральні логарифми за таблицею звичайних логарифмів або здійснити зворотний перехід. Наприклад, log105,432 = log e 5,432/log e 10 = 1,6923/2,3026 = 1,6923 0,4343 = 0,7350. Число 0,4343, на яке потрібно помножити натуральний логарифм цього числа, щоб отримати звичайний логарифм, є модулем переходу до системи звичайних логарифмів.

Спеціальні таблиці.

Спочатку логарифми були винайдені для того, щоб, користуючись їх властивостями log ab= log a+ log bта log a/b= log a- log b, перетворювати твори на суми, а приватні у різниці. Інакше кажучи, якщо log aта log bвідомі, то за допомогою додавання та віднімання ми легко можемо знайти логарифм твору та приватного. В астрономії, однак, часто за заданими значеннями log aта log bпотрібно знайти log( a + b) або log( a – b). Зрозуміло, можна було б спочатку за таблицями логарифмів знайти aі b, потім виконати вказане додавання або віднімання і, знову звернувшись до таблиць, знайти потрібні логарифми, але така процедура зажадала триразового звернення до таблиць. З.Леонеллі в 1802 опублікував таблиці т.зв. гаусових логарифмів– логарифмів складання сум та різниць – що дозволяли обмежитися одним зверненням до таблиць.

У 1624 І. Кеплером було запропоновано таблиці пропорційних логарифмів, тобто. логарифмів чисел a/x, де a- Деяка позитивна постійна величина. Ці таблиці використовуються переважно астрономами та навігаторами.

Пропорційні логарифми при a= 1 називаються кологарифмамиі застосовуються у обчисленнях, коли доводиться мати справу з творами та приватними. Кологарифм числа nдорівнює логарифму зворотного числа; тобто. colog n= log1/ n= - log n. Якщо log2 = 0,3010, то colog2 = - 0,3010 = 0,6990 - 1. Перевага використання кологарифмів полягає в тому, що при обчисленні значення логарифму виразів виду pq/rпотрійна сума позитивних десяткових часток log p+ log q+ colog rзнаходиться легше, ніж змішана сума та різниця log p+ log q- log r.

Історія.

Принцип, що лежить в основі будь-якої системи логарифмів, відомий дуже давно і може бути простежений у глиб історії аж до давньовилонської математики (близько 2000 до н.е.). У ті часи інтерполяція між табличними значеннями цілих позитивних ступенів цілих чисел використовувалася для обчислення складних відсотків. Набагато пізніше Архімед (287-212 до н.е.) скористався ступенями числа 10 8 для знаходження верхньої межі числа піщин, необхідного для того, щоб повністю заповнити відомий на той час Всесвіт. Архімед звернув увагу на властивість показників ступенів, що лежить в основі ефективності логарифмів: добуток ступенів відповідає сумі показників ступенів. Наприкінці Середньовіччя і початку Нового часу математики все частіше почали звертатися до співвідношення між геометричною та арифметичною прогресіями. М.Штіфель у своєму творі Арифметика цілих чисел(1544) навів таблицю позитивних та негативних ступенів числа 2:

Штифель зауважив, що сума двох чисел у першому рядку (рядку показників ступеня) дорівнює показнику ступеня двійки, що відповідає добутку двох відповідних чисел у нижньому рядку (рядку ступенів). У зв'язку з цією таблицею Штифель сформулював чотири правила, еквівалентні чотирма сучасними правилами операцій над показниками ступенів або чотирма правилами дій над логарифмами: сума у ​​верхньому рядку відповідає добутку в нижньому рядку; віднімання у верхньому рядку відповідає поділу в нижньому рядку; множення у верхньому рядку відповідає зведенню в ступінь у нижньому рядку; розподіл у верхньому рядку відповідає вилученню кореня в нижньому рядку.

Очевидно, правила, аналогічні правилам Штифеля, навели Дж.Нейперадо формального введення першої системи логарифмів у творі Опис дивовижної таблиці логарифмів, опублікованому в 1614. Але думки Непера були зайняті проблемою перетворення творів у суми ще з тих пір, як більш ніж за десять років до виходу свого твору Непер отримав з Данії звістку про те, що в обсерваторії Тихо Бразі його помічники мають у своєму розпорядженні метод, що дозволяє перетворювати твори до сум. Метод, про який йшлося в отриманому Неперому повідомленні, був заснований на використанні тригонометричних формул типу

тому таблиці Нейпера складалися головним чином логарифмів тригонометричних функцій. Хоча поняття основи не входило у явному вигляді у запропоноване Непером визначення, роль, еквівалентну основи системи логарифмів, у його системі відігравало число (1 – 10 –7)ґ10 7 , приблизно 1/ e.

Незалежно від Нейпера і майже одночасно з ним система логарифмів, досить близька за типом, була винайдена та опублікована Й.Бюргі у Празі, що видав у 1620 р. Таблиці арифметичної та геометричної прогресій. Це були таблиці антилогарифмів на підставі (1 + 10 –4) ґ10 4 досить хорошому наближенню числа e.

У системі Нейпера логарифм числа 107 був прийнятий за нуль, і в міру зменшення чисел логарифми зростали. Коли Г. Бріггс (1561-1631) відвідав Непера, обидва погодилися, що було б зручніше використовувати в якості підстави число 10 і вважати логарифм одиниці рівним нулю. Тоді зі збільшенням чисел їхні логарифми зростали б. Таким чином, ми отримали сучасну систему десяткових логарифмів, таблицю яких Бріггс опублікував у своєму творі. Логарифмічна арифметика(1620). Логарифми на підставі eХоча й не зовсім ті, що були введені Нейпером, часто називають нейперовими. Терміни «характеристика» та «мантіса» були запропоновані Бріггсом.

Перші логарифми з історичних причин використовували наближення до числа 1/ eі e. Дещо пізніше ідею натуральних логарифмів стали пов'язувати з вивченням площ під гіперболою xy= 1 (рис. 1). У 17 ст. було показано, що площа, обмежена цією кривою, віссю xта ординатами x= 1 і x = a(на рис. 1 ця область покрита більш жирними та рідкісними точками) зростає в арифметичній прогресії, коли aзростає у геометричній прогресії. Саме така залежність виникає у правилах дій над експонентами та логарифмами. Це дало підставу називати нейперові логарифми «гіперболічними логарифмами».

Логарифмічна функція.

Був час, коли логарифми розглядалися виключно як засіб обчислень, однак у 18 ст, головним чином завдяки працям Ейлера, сформувалася концепція логарифмічної функції. Графік такої функції y= ln x, ординати якого зростають в арифметичній прогресії, тоді як абсциси – у геометричній, представлений на рис. 2, а. Графік зворотної або показової (експоненційної) функції y = e x, ординати якого зростають у геометричній прогресії, а абсциси – в арифметичній, представлений, відповідно, на рис. 2, б. (Криві y= log xі y = 10xза формою аналогічні кривим y= ln xі y = e x.) Були запропоновані також альтернативні визначення логарифмічної функції, наприклад,

kpi; і, аналогічно, натуральні логарифми числа -1 є комплексними числами виду (2 k + 1)pi, де k- ціле число. Аналогічні твердження справедливі щодо загальних логарифмів чи інших систем логарифмів. Крім того, визначення логарифмів можна узагальнити, користуючись тотожністю Ейлера так, щоб воно включало комплексні логарифми комплексних чисел.

Альтернативне визначення логарифмічної функції надає функціональний аналіз. Якщо f(x) – безперервна функція дійсного числа x, що має наступні три властивості: f (1) = 0, f (b) = 1, f (uv) = f (u) + f (v), то f(x) визначається як логарифм числа xна підставі b. Це визначення має низку переваг перед визначенням, наведеним на початку цієї статті.

Програми.

Логарифми спочатку використовувалися виключно для спрощення обчислень, і цей додаток досі залишається одним з найголовніших. Обчислення творів, приватних, ступенів та коренів полегшується не лише завдяки широкій доступності опублікованих таблиць логарифмів, а й завдяки використанню т.зв. логарифмічної лінійки – обчислювального інструменту, принцип роботи якого ґрунтується на властивостях логарифмів. Лінійка має логарифмічними шкалами, тобто. відстань від числа 1 до будь-якого числа xвибрано рівним log x; зсуваючи одну шкалу щодо іншої, можна відкладати суми чи різниці логарифмів, що дає змогу зчитувати безпосередньо зі шкали добутку чи приватних відповідних чисел. Скористатися перевагами представлення чисел у логарифмічному вигляді дозволяє і т.зв. логарифмічний папір для побудови графіків (папір з нанесеними на нього по обох осях координат логарифмічними шкалами). Якщо функція задовольняє статечному закону виду y = kx n, її логарифмічний графік має вигляд прямий, т.к. log y= log k + n log x- Рівняння, лінійне щодо log yта log x. Навпаки, якщо логарифмічний графік якоїсь функціональної залежності має вигляд прямої, то ця залежність – статечна. Напівлогарифмічний папір (у якого вісь ординат має логарифмічну шкалу, а вісь абсцис – рівномірну шкалу) зручна у тих випадках, коли потрібно ідентифікувати експоненційні функції. Рівняння виду y = kb rxвиникають щоразу, коли певна величина, така як чисельність населення, кількість радіоактивного матеріалу або банківський баланс, зменшується чи зростає зі швидкістю, пропорційною наявній на даний момент кількості жителів, радіоактивної речовини або грошей. Якщо таку залежність нанести на напівлогарифмічний папір, то графік матиме вигляд прямий.

Логарифмічна функція виникає у зв'язку з різними природними формами. За логарифмічними спіралями вишиковуються квітки в суцвіттях соняшника, закручуються раковини молюска. Nautilusроги гірського барана і дзьоби папуг. Всі ці природні форми можуть бути прикладами кривої, відомої під назвою логарифмічної спіралі, тому що в полярній системі координат її рівняння має вигляд r = ae bq, або ln r= ln a + bq. Таку криву описує точка, що рухається, відстань від полюса якої зростає в геометричній прогресії, а кут, що описується її радіусом-вектором – в арифметичній. Повсюдність такої кривої, а отже й логарифмічної функції, добре ілюструється тим, що вона виникає в таких далеких і різних областях, як контур кулачка-ексцентрика і траєкторія деяких комах, що летять на світ.